GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 4 ગતિમાન વિધુતભારો અને ચુંબકત્વ

પ્રશ્ન 1.
એંડનું અવલોકન જણાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે કોઈ વાહક તાર સાથે વિદ્યુતકોષનું જીવણ કરેલ છે,

• વાહક તાર પાસે ચુંબકીય સોય રાખેલ છે. આ ચુંબકીય સોય ઉત્તર-દકિન્ન દિશામાં સ્થિર થયેલ છે.
• સ્વિચ દબાવતાં કારમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે ત્યારે ચુંબકીય સોયનું કોણાવર્તન તારને કેન્દ્ર તરીકે ગણતાં તેને લંબસમતલમાં રહેલા કાલ્પનિક વર્તુળના સ્પર્શરૂપે હોય છે જે આકૃતિ (a) માં દર્શાવી છે.
• અહીં સૌય તારની ખૂબ જ નજીક હોવાથી પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અવગણી શકાય છે, જો પ્રવાહની દિશા ઊલટાવીએ તો સોયનું કૌવાવર્તન પણ ઊલટાઈ જાય છે, જે આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ છે.
• પ્રવાહ વધારતા અથવા ચુંબકીય સોયને તારની નજીક લાવતાં કોણાવર્તન વધે છે.
• આ દર્શાવે છે કે ગતિમાન વિધુતભાર અથવા પ્રવાહો આસપાસના અવકાશમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.

પ્રશ્ન 2.
સ્ટે’ડના અવલોકન બાદ વિધુત ચુંબકત્વ અંગે વૈજ્ઞાનિકોએ કરેલા સંશોધન જણાવો.
ઉત્તર:

• એંડના અવલોકન બાદ વૈજ્ઞાનિકોએ નીચે પ્રમાણે સંશોધન કર્યા.
• ઇ.સ. 1864 માં જેમ્સ મેક્સવેલે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ જે નિયમોનું પાલન કરે છે. તે નિયમો તારવ્યા. ત્યારબાદ એવી અનુભૂતિ કરી કે પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો છે.
• રેડિયો તરંગોની શોધ હઝ કરી અને 19 મી સદીના અંતભાગમાં જગદીશચંદ્ર બોઝ તથા જી. માર્કોનીએ આ રેડિયો તરંગો ઉત્પન્ન કરી બતાવ્યા.
• 20 મી સદીમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ઉત્પન્ન કરવા, વિવર્ધિત કરવા, તેનું પ્રસારણ અને પરખ (Detection, તેમની હાજરીની નોંધ કરવા માટેના સાધનોની શોધના કારણે આ શક્ય બન્યું.

પ્રશ્ન 3.
વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારના લીધે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે તે દશાવતો બીજો પ્રયોગ વવો,
ઉત્તર:

• એક સુરેખ લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારને પુસ્તકના પાનાના પૃષ્ઠને લંબરૂપે મૂકેલો છે.
• પુસ્તકના પાનાના સમતલમાં આકૃતિ (a) અને (b) માં દશાવ્યા અનુસાર તારની આજુબાજુ ગોળાકાર માર્ગ પર ચુંબકીય સોયને મૂકતાં તેમના ભ્રમણ દર્શાવ્યા છે.

• જયારે વિદ્યુતપ્રવાહ પાનાના પૃષ્ઠમાંથી બહાર ત૨ફ આવતો હોય ત્યારે ખાકૃતિ (a) અનુસાર ચુંબકીય સોયનું કોણાવર્તન થાય છે.
• જ્યારે વિદ્યુતપ્રવાહ પાનાના પૃષ્ઠમાં અંદર તરફ જતો હોય ત્યારે આકૃતિ (b) અનુસાર ચુંબકીય સોયનું કોબ્રાવર્તન થાય છે.
  આકૃતિઓમાં ચુંબકીય સોયનો જે ભાગ ઘટ્ટ (છાંયાક્તિ) કર્યો છે તે તેનો ઉત્તરધ્રુવ છે.
• જે પાના પર તારની આસપાસ લોખંડનો ભૂકો અસ્તવ્યસ્ત મૂકેલો હોય તો જયારે તારમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય ત્યારે તે નીકૃતિ (c) માં દર્શાવ્યા અનુસાર તારની આસપાસ સમકેન્દ્રીય વર્તુળો બનાવે છે.
• આમ, આ પ્રયોગ પરથી એવો નિર્ણય કરી શકાય કે જયારે તારમાંથી વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. ત્યારે તેની આસપાસ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન થાય છે.

પ્રશ્ન 4.
પૃષ્ઠમાંથી બહાર આવતા અને ચાંદર દાખલ થતાં વિધુતપ્રવાહોથી વિધુત ક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર દર્શાવવાની પ્રણાલિકા જણાવો.
ઉત્તર:

• પૃષ્ઠમાંથી બહાર આવતા વિદ્યુતપ્રવાહ, વિધુત ક્ષેત્ર, ચુંબકીય ક્ષેત્રને ટપકાં (.) (dot) વડે દેશવાય અને પૃષ્ઠમાં પ્રવેશતા વિદ્યુતપ્રવાહ, વિદ્યુત ક્ષેત્ર, ચુંબકીય ક્ષેત્રને ચોકડી (×) (cross) વડે દર્શાવાય છે.
• (.) પૃષ્ઠમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહો કે ક્ષેત્રો (બહાર આવે તો ડોટ એટલે બાડો યાદ રાખો). બાડો એટલે બાહર આવતાં ડોટ (×) અંદર જતાં પ્રવાહો કે ક્ષેત્રો (અંદર જતાં “ધન એટલે અંધ યાદ રાખો). અંધ એટલે અંદર જતા ધન.
• નોંધ : (.) ડોટ (ટપકું) જાણે કે તીરની અણી આપજ્ઞી તરફ રાખી હોય તેમ દેખાય છે. જ્યારે (×) ચોકડી એ જાણે કે પુછ પર પીંછાં ધરાવતું તીર આપણાથી દૂરની તરફ ગતિ કરે છે એમ દેખાય છે.

પ્રશ્ન 5.
વિધુતકોત્ર અને તેનું ઉદ્ગમ તથા ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને તેનાં ઉદ્ગમની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
વિધુતક્ષેત્રનું ઉદ્ગમ વિદ્યુતભાર છે. ધારો કે, વિદ્યુતભાર Q સ્થિર હોય તો તેની આસપાસ Q ના લીધે મળતું વિધુતક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{k \mathrm{Q}}{r^2} \cdot \hat{r}\) અથવા \( \overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{Q} \hat{r}}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\) છે.
જયાં r̂ એ સ્થાન સદિશ \(\vec{r}\) ની દિશામાંનો એકમે સંદિશ અને \( \overrightarrow{\mathrm{E}}\) એ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે જે સદિશ વૅત્ર છે, ‘
વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}} \) માં રહેલા અન્ય q વિદ્યુતભાર પર ક્ષેત્રના લીધે લાગતું વિદ્યુતબળ,
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{e}}}=\frac{k \mathrm{Q} q}{r^2} \hat{r} \) અથવા \(\frac{\mathrm{Q} q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \hat{r}\)

વિધુતક્ષેત્ર એ ઊર્જા અને વેગમાનનું વહન કરી શકે છે તથા તે તાણ ઉદ્ભવતું નથી અને વહન માટે ચોક્કસ સમય લે છે.
તે અવકાશના દરેક સ્થાન પર આધારિત છે પણ સમય સાથે બદલાઈ શકે છે એટલે કે તે સમયનું વિધેય છે.
આ પ્રકરણમાં આપણે એવું ધારીશું કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતું નથી.
જો એક કરતાં વધારે વિદ્યુતભારોના કારણે કોઈ એક બિંદુ વિદ્યુતક્ષેત્ર મેળવવું હોય તો બધા વિદ્યુતભારોના કારણે મળતાં વિદ્યુતક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો કરવો પડે. જેને સંપાતપણાનો સિદ્ધાંત કહે છે,

પરીક્ષણ વિદ્યુતભારની મદદથી વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{E}} q_0\) સૂત્રથી જાણી શકાય છે જયાં q₀ એ પરીક્ષણ વિધુતભાર છે.
ગતિમાન વિધુતભારો વિદ્યુતક્ષેત્ર તો ઉત્પન્ન કરે છે તેમજ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પણ ઉત્પન્ન કરે છે જેને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}(\vec{r})\) વડે દર્શાવાય છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ રાશિ છે અને તે અવકાશના દરેક બિંદુએ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે તેમજ સમય પર આધારિત હોઈ શકે છે.
એક કરતાં વધારે ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઉદ્દગમોના લીધે ઉત્પન્ન થતાં ચુંબકીય દોત્રોનો સદિશ સરવાળો કરવાથી તે બિંદુ આગળનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર મળે છે એટલે કે તે સંપાતપણાના સિદ્ધાંતને અનુસરે છે.

પ્રશ્ન 6.
સમાને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં \(\overrightarrow{v_d} \) વેગથી ગતિ કરતાં વિધુતભાર પર લાગતાં બાળનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
વાહકના A આડછેદમાંથી \(\vec{v}\) વેગથી ગતિ કરતાં q વિધુતભારથી રચાતો પ્રવાહ નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે.
l = nAvq
∴ Id\(\vec{l} \) = nAvqd\(\vec{l} \)
Id\(\vec{l} \) પ્રવાહખંડને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં મૂકતાં તેનાં પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
d\(\overrightarrow{\mathrm{F}} \) = Id\(\vec{l} \) × \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\)
= nA\(\vec{v} \)qdl × \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\)
∴d\(\overrightarrow{\mathrm{F}} \) = nAqdl \((\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) …………………. (1)
પણ nAdl = dl ખંડના તારમાં વિદ્યુતભારની સંખ્યા.
q વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=\frac{d \overrightarrow{\mathrm{F}}}{n \mathrm{~A} d l}=\frac{n \mathrm{~A} d l q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})}{n \mathrm{~A} d l}\)
સમી કરલ (1) પરથી)
∴ \(\overrightarrow{F_m} \) = q\((\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) = qvBsinθ n̂
જ્યાં n̂બળની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.

પ્રશ્ન 7.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિધુતભાર પર લાગતાં બળની લાક્ષણિકતાઓ લખો.
ઉત્તર:
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં \(\vec{v}\) વેગથી ગતિ કરતાં q વિધુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)
∴ F_m = qvBsinθ જયાં θ એ \(\vec{v}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.

લાક્ષણિકતાઓ :
(i) ચુંબકીય બળ એ q, v અને B (વિદ્યુતભાર, વેગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર પર આધાર રાખે છે,
ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ, ધન વિધુતભાર પર લાગતાં બળની વિરુદ્ધ છે તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{m}}=q(\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \vec{v})\) લખાય.

(ii) F_m = qvBsinθ અથવા \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \) અથવા
\(\left|\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}\right| \) = qvBsinθ એ વેગ \((\vec{v})\) અને \((\overrightarrow{\mathrm{B}}) \) ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સદિશ ગુણાકાર છે તેથી જે θ = 0° અથવા θ = 180° હોય તો, F_m = quBsin0° = 0 F_m = qvBsin 180° = 0

ચુંબકીય બળ, વૈગ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર એમ બંનેને લંબરૂપે લાગે છે અને તેની દિશા જમણા હાથના ફૂના નિયમથી મળે છે જે આકૃતિ (a) અને આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ છે.
આકૃતિ (a) ધન વિદ્યુતભાર માટેની અને આકૃતિ (b) એ ઋણ વિદ્યુતભાર માટેની છે.

(iii) જે વિદ્યુતભાર ગતિ કરતો ન હોય તો v = 0 થાય.
∴ ચુંબકીય બળ F_m = qvBsinθ માં v = 0 લેતાં,
∴ F_m = 0 મળે.
આમ, ગતિમાન વિદ્યુતભારો જ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં બળ અનુભવે છે પક્ષ ચિર વિધુતભારો પર બળ લાગતું નથી.

પ્રશ્ન 8.
ચુંબકીય લોનની વ્યાખ્યા સાને સોકમ લખો.
ઉત્તર:
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર પર લાગતાં બળનું મૂલ્ય,
F = Bqvsinθ
∴ B = \(\frac{\mathrm{F}}{q \nu \sin \theta}\)
જો ઉપરના સમીકરણમાં q = 1C, v = 1 m/s, θ = 90° ⇒ sin90° = 1
લેવામાં આવે તો, B = F માટે ક્ષેત્રને લંબરૂપે એકમ વેગથી ગતિ કરતાં એકમ વિદ્યુતભાર પર લાગતાં ચુંબકીય બળને તે બિંદુ આગળનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર કહે છે.

SI એકમ :
B નો એકમ = \(\frac{\mathrm{F}}{q \nu \sin \theta} \) નો એકમ
= \(\frac{1 \mathrm{~N}}{1 \mathrm{C} \times 1 \mathrm{~ms}^{-1} \times 1}=\frac{1 \mathrm{~N}}{1 \mathrm{Cs}^{-1} \times 1 \mathrm{~m}}\)
= 1 NsC^-1m^-1 ને નિકોલા ટેસ્લા કહે છે.
= \(1 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{Am}}\) અથવા \(1 \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{Am}^2}\)
= INA^-1m^-1 = 1ઢેલા

B નો CGS એકમ ગસ છે. 1 ગૌસ = 10^-4 ટેસ્લા
ટેસ્લાની સંજ્ઞા T છે અને હું Φ = AB પરથી B = \(\frac{\phi}{A}\)
∴ B નો એકમ = Wbm^-2

પ્રશ્ન 9.
લેરેન્ઝ બળનું સૂત્ર તારવો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{E}}(\vec{r})\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}(\vec{r})\) ની હાજરીમાં \(\vec{v} \) વેગથી ગતિ કરતો અને t સમયે \(\vec{r}\) સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુવતું વિદ્યુતભાર q પર લાગતું બળ,
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{F}_{\text {विद्युत }}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{\text {घुंબકीय }}}=\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{e}}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}} \)
પણ \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{e}}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}(\vec{r}) \) અને
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=q[\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}(\vec{r})]\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}(\vec{r})+q[\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}(\vec{r})]\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q[\overrightarrow{\mathrm{E}}(\vec{r})+\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}(\vec{r})] \)
ઘણાં પ્રયોગોના આધારે એચ. એ. લોરેન્સ અને ઍપિયરે આ સૂત્ર દર્શાવ્યું જેને લૉરેન્સ બળ કહે છે.
અથવા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલાં બિંદુવતું વિદ્યુતભાર q પર લાગતાં કુલ બળને લોરેન્સ બળ કહે છે,

પ્રશ્ન 10.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલાં વિધુતપ્રવાહધારિત સુરેખ સળિયા પર લાગતાં બળનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

• l લંબાઈ અને A આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો નિયમિત (સમાંગ) સળિયો વિચારો.
• ગતિમાન વિદ્યુતભારો તરીકે ઇલેક્ટ્રોન ધારીશું.
• ધારો કે આ સળિયામાં ગતિમાન વિદ્યુતભારોની સંખ્યા ઘનતા n છે.
• સળિયાનું કદ v = Al હોવાથી સળિયામાં રહેલા કુલ ગતિમાન વિધુતભારોની સંખ્યા N = nV = nlA છે.
• જ દરેક કણ પર q વિધુતભાર હોય, તો સળિયામાં કુલ Q = Nq = nlAq
• જો ગતિમાન વિધુતભારિત કણોનો સરેરાશ ડ્રિફ્ટ વેગ \(\overrightarrow{v_d}\) હોય, તો ગતિમાન વિધુતભારિત કણો (વાહક સળિયા) પર બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની હાજરીમાં લાગતું ચુંબકીય બળ,
  \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{Q}\left(\overrightarrow{v_d} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\right)\)
  = (nlAq) \(\left(\overrightarrow{v_d} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\right) \) [∵Q = nlAq]
• પણ વળ nq\( \overrightarrow{v_d}=\vec{j}\) વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા મૂક્તાં,
  \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{I} \vec{l} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) – (A) જયાં \(\vec{j} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\) = I
• જયાં \(\vec{l}\) એ સળિયાની લંબાઈ l જેટલા મૂલ્યનો સદિશ છે અને તેની દિશા, વિદ્યુતપ્રવાહ Iની દિશામાં છે.
  સમીકરણ (A) એ સુરેખ સળિયા માટે લાગુ પાડી શકાય છે. આ સમીકરક્ષમાં B એ વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સળિયા વડે ઉદ્દભવેલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નથી પણ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
• વિદ્યુતપ્રવાહધારિત સળિયા પર લાગતાં બળની દિશા “ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમથી મળે છે.”
• જો વાહક સળિયો યાદેચ્છિક આકારનો હોય તો તેના પર લાગતું બળ શોધવા આ સળિયાને dl_j, લંબાઈના સુરેખ સૂક્ષ્મ ખંઘેનો બનેલો ધારીને તેનાં દરેક સૂથમ ખંડ પર લાગતાં બળોનો સરવાળો કરવો પડે છે.
  ∴ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\sum_{j=1}^n \mathrm{I} \overrightarrow{d l_j} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)

મોટે ભાગે આ સરવાળો સંકલનથી મળે છે,
ખાસ કિસ્સાઓ :
(i) જો θ = 0° અથવા 180° હોય, તો
F = IlBsin0° = 0 [ ∵ sin0° = 0 અને sin180° = 0].
તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર કે પ્રતિસમાંતર ગતિ કરતાં વિધુતપ્રવાહ વાહક પર ચુંબકીય ક્ષેત્રના લીધે લાગતું બળ શૂન્ય હોય છે.
(ii) જો θ = 90° હોય, તો
F = I/Bsin 90°
∴ F = I/B [∵ sin90° = 1]
તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે મૂકેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત વાહક પર મહત્તમ બળ લાગે છે.

પ્રશ્ન 11 .
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં, ફોનને લંબરૂપે પ્રારંભિક વેગથી ગતિ કરીને દાખલ થતાં વિધુતભારિત કણની ગતિની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં ક્ષેત્રને લંબરૂપે દાખલ થતાં વિદ્યુતભાર q પર q\((\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \) બળ લાગે છે. આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે વર્તે છે અથવા વિદ્યુતભાર q ને વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરાવે છે.
(i) જયારે \(\vec{v}\) અને \( \overrightarrow{\mathrm{B}}\) એકબીજાને લંબરૂપે હોય ત્યારે જ કણનો માર્ગ નિયમિત વર્તુળાકાર હશે. જે આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યું છે.

નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ, ચુંબકીય બળ Bqv પૂરું પાડશે.
∴ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે, કેન્દ્રગામી બળ = ચુંબકીય બળ
\(\frac{m v^2}{r}\) = Bqv
∴ r = \(\frac{m v}{\mathrm{~B} q} \) ………………….. (1)
પણ mv = p વેગમાન મૂકતાં,
∴ r = \(\frac{p}{\mathrm{~B} q}\)

જે દર્શાવે છે કે જેમ જેમ વેગમાન વધે તેમ તેમ વર્તુળની ત્રિજયા મોટી થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય વેગ v = ωr
∴ \(\frac{v}{\omega}=\frac{m v}{\mathrm{~B} q}\)
(∵ સમીકરણ (1) માં r = \(\frac{v}{\omega} \) મૂકતાં)
∴ ω = \(\frac{\mathrm{B} q}{m} \) …………………………… (2)
જયાં ω એ કોબ્રીય આવૃત્તિ છે.
પણ ω = 2πv જયાં v આવૃત્તિ છે.
∴ v = \(\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{\mathrm{B} q}{2 \pi m} \) જેને સાઇક્લોટ્રોન આવૃત્તિ પણ કહે છે.
આમ, વિદ્યુતભારિત કણની આવૃત્તિ v એ રેખીય વૈગ કે ઊર્જા કે વેગમાન પર આધાર રાખતી નથી. આ પરિણામ સાઈકલોટ્રોનની રચનામાં ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

પ્રશ્ન 12.
\(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) જેટલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં \(\vec{v}\) વેગથી θ કોણે દાખલ થતા વિધુતભારિત કણના ગતિપથની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
જો કન્નનો વેગ ક્ષેત્ર સાથે θ કોલ બનાવતો હોય, તો વેગના બે પરસ્પર લંબ ધટક ધ્યાનમાં લેવા પડે.
(a) ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર કે પ્રતિસમાંતર ધટક
(b) ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ઘટક છે,
\(v_{\|}\) ધટકના લીધે વિદ્યુતભારિત કણ પર કોઈ બળ લાગતું નથી તેથી કણ અચળવેગથી ક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ ચાલુ રાખે છે.
\(v_{\perp}\) ઘટકના લીધે વિધુતભારિત કન્ન પ૨ બળ લાગવાથી તે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે, પરિજ્ઞામે કણનો ગતિપથ આકૃતિ (b)માં દર્શાવ્યા મુજબની હેલિકલ કે સર્પિલ આકારનો હોય છે.

જો વેગનો ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કંઈક ઘટક હોય, તો તે આ કણને ક્ષેત્રની દિશામાં ગતિ કરાવશે અને કન્નનો ગતિમાર્ગ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર હેલિકલ (કમાન આકાર હશે.
હેલિકલ માર્ગે ગતિ કરતાં કણે એક પરિભ્રમણ દરમિયાન ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં કાપેલાં અંતરને પેચ (Pitch) કહે છે.
∴ પંચ p = \(v_{\|}\) જયાં વેગને સમાંતર ધટક \(v_{\|}\)= v cosθ
∴ p = v cosθ x \(\frac{2 \pi m}{\mathrm{~B} q}\) જયાં T = \(\frac{2 \pi m}{\mathrm{~B} q}\)
∴ p = \(\frac{2 \pi m v \cos \theta}{\mathrm{B} q} \) અથવા p = \(\frac{2 \pi m v_{\|}}{\mathrm{B} q}\)
ગતિના વર્તુળાકાર ઘટકની ત્રિજયાને હેલિક્ષની ત્રિજયા કહે છે.

પ્રશ્ન 13.
સંયુક્ત સૌવા વિધુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોમાં વિધુતભારની ગતિને વેગ પસંદગીકારના સંદર્ભમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
qવિદ્યુતભાર, \(\vec{v}\) વેગથી વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે. ત્યારે તેના પર લાગતું લોરેન્સ બળ નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}+\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{B}}}\)
= \(\overrightarrow{\mathrm{E}} q+q(\vec{v}+\overrightarrow{\mathrm{B}})\) ……………………………. (1)

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણેનો એક કિસ્સો વિચારો કે જેમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર \((\overrightarrow{\mathrm{E}}) \) y-એશની દિશામાં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( (\overrightarrow{\mathrm{B}})\) z-અની દિશામાં અને કણનો વૈગ x-અક્ષની દિશામાં છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}=q \overrightarrow{\mathrm{E}}=q \mathrm{E} \hat{j} \) …………………. (2)
અને \(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{B}}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})=q(v \hat{i} \times \mathrm{B} \hat{k})\)
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{B}}}=-q v \mathrm{~B}(\hat{j})\) …………………………. (3) (∵ î × k̂= -ĵ )
∴ આના પરથી \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q[\mathrm{E}-\nu \mathrm{B}] \hat{j}\)
આમ, \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{E}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{\mathrm{B}}\) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

ધારો કે, \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ના મૂલ્યો એવાં રાખીએ કે જેથી \( \left|\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{E}}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{B}}}\right|\) થાય, તો વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય થશે અને તે કોઈ પણ કૌણાવર્તન પામ્યા વગર આ ક્ષેત્રોમાં ગતિ કરશે.
આમ,
E_q= qvB અથવા
∴ v = \(\frac{E}{B}\) ……………………. (4)
આ શરતનો ઉપયોગ કરીને જુદી જુદી ઝડપથી ગતિ કરતા વિધુતભારની કિરણાવલિમાંથી ચોક્કસ વેગના વિદ્યુતભારિત કણોને તેમના વિદ્યુતભાર અને દળ પર આધાર રાખ્યા વગર) પસંદ કરી (જુદા પાડી) શકાય. આમ, પરસ્પર લંબ \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને \(\vec{B}\) ક્ષેત્રો વેગ પસંદગીકાર તરીકે વર્તે છે, પરસ્પર

લંબક્ષેત્રોમાંથી ફક્ત \(\frac{E}{B}\) ઝડપ ધરાવતા ક્ષો જ કોઈ પણ કોણાવર્તન વગર પસાર થઈ શકે છે.
આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ઈ.સ. 1897 માં જે. જે. થોમસને ઇલેક્ટ્રૉનના વિદ્યુતભાર (e) અને દળ (m) નો ગુણોત્તર \(\frac{e}{m}\) માપવા માટે કર્યો હતો. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ માસ સ્પેક્ટ્રોમીટર (Mass Spectrometer) નામના સાધનમાં થાય છે. આ સાધન આયનોને તેમના \(\frac{q}{m}\) ગુણોત્તર અનુસાર જુદા પાડવા માટે ઉપયોગી છે.

પ્રશ્ન 14.
સાઇક્લોટ્રૉન એટલે શું ? સાઇક્લોટ્રોનના સિદ્ધાંત લખો.
ઉત્તર:

• સાઇક્લોટ્રોન એ પ્રોટોન, ડ્યુટેરોન, α-કણ જેવાં વિદ્યુતભારિત કણ કે આયનોને ઊંચી ઊર્જા સુધી પ્રવેગિત કરવા માટેનું સાધન છે. તેની શોધ E.O.Lawrence અને M.S.Livingston એ ઈ.સ. 1934 માં ન્યુક્લિયસનું બંધારણ જાણવા માટે કરી હતી.
• સાઇક્લોટ્રૉનમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સંયુક્ત રીતે ઉપયોગ વિદ્યુતભારિત કણોની ઊર્જા વધારવા માટે થાય છે. આ માટે બંને ક્ષેત્રો એક્ષ્મીજીને લંબરૂપે હોવાથી તેઓ ક્રૉસ્ડ ફિલ્ડસ કહેવાય છે. ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારિત કક્ષની પરિભ્રમણની આવૃત્તિ તેની ઊર્જ પર આધાર રાખતી નથી. આ હકીકતનો ઉપયોગ સાઇક્લોટ્ટનમાં થાય છે.
• સિદ્ધાંત : વિધુતભારને મધ્યમક્રમના વિધુતક્ષેત્રમાંથી વારંવાર પસાર કરીને તેની ઊર્જા ખૂબ વધારવામાં આવે છે.
• લંબરૂપે રહેલું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વિધુતભારને વર્તુળાકાર માર્ગે જ ગતિ કરાવે છે. પરિભ્રમણની આવૃત્તિ વિદ્યુતભારિત કણની ઝડપ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજયા પર આધાર રાખતી નથી.

પ્રશ્ન 15.
સાઇકલોટ્રોનની રચના કૃતિ દોરીને સમજાવો.
ઉત્તર:
સાઇક્લોટ્રોનની રેખાકૃતિ આકૃતિમાં દર્શાવી છે.

• સાઇક્લોટ્રૉન બે નાના, પોલા ધાતુના અર્થનળાકાર (તકતીઓ) D₁ અને D₂ નું બનેલું છે. તેમનો આકાર અંગે જીના D જેવો હોવાથી તેમને Dees કહે છે.
• તેમને અંદર શૂન્યાવકાશ કરેલા પાત્રની અંદર પ્રબળ વિદ્યુતચુંબકીના કુવો વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે.
• Dees ને અમુક કિલોવોટના અને ઊંચી આવૃત્તિવાળા એ.સી. વોલ્ટેજ પ્રાપ્તિસ્થાન સાથે જોડવામાં આવે છે.
• જે વિદ્યુતભારિત કણને પ્રવેગિત કરવો હોય તેના બીમને Dees ના કેન્દ્ર P ની નજીક દાખલ કરવામાં આવે છે. જેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે હોય છે.
• પ્રવેગિત થયેલા વિદ્યુતભારોને Dees માંથી બહાર ખેંચવા માટે ઋણ વિધુતભારિત પ્લેટ વડે વિચલિત કરવામાં આવે છે.
• આયનો અને હવાના અણુઓ વચ્ચેની અથડામ નિવારવા આ આખી રચનાને શૂન્યાવકાશિત કરવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 16.
સાઇકલોટ્રોનનું કાર્ય સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં સાઇક્લોટ્રૉનની રૂપરેખા દર્શાવી છે.

• ધાતુના પાત્રોમાં વિદ્યુતભારિત ક્ષ પર વિદ્યુતત્રની અસર થતી નથી. કારણ કે, વિદ્યુતક્ષેત્ર Dees માં પ્રવેશી શક્યું નથી. (માત્ર બે Dees વચ્ચેના વિસ્તારમાં જ વિધુતક્ષેત્ર હોય છે.)
• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમા કેન્દ્ર P પાસે ધન આયનો કે ઋણ વિદ્યુતભારિત કણોને મુક્ત કરવામાં આવે છે. દા.ત. પ્રોટોનને મુક્ત કરવામાં આવ્યો છે.
• મોટા ભાગના સમય માટે આ વિદ્યુતભારિત કણ ધાતુની બે Dees માં ગતિ કરે છે.
• પરંતુ, વિધુતભારિત કણ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B}\) અસર કરે છે અને કાને Dee ની અંદર વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરાવે છે.
• જેટલી વખત કણ એક Dee માંથી બીજી Dee માં જાય છે એટલી વારે તેના પર વિદ્યુતક્ષેત્રની અસર થાય છે.
• વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા આ કણની ગતિ સાથે અનુરૂપ રીતે વારાફરતી ઊલટ-સુલટ થયા કરે છે. આ એવી રીતે થાય છે કે, જેથી દરેક વખતે આ કણ પ્રવેગિત થાય. દરેક વખતે પ્રવેગના કારણે આ કણની ઊર્જા વધતી જાય છે. જેમ ઊર્જા વધે તેમ તેના
• વર્તુળાકાર ગતિપથની ત્રિજયા પણ વધતી જાય છે. આ માર્ગ સ્થાઇરલ (Spiral) હોય છે.
• કોઈ પણ એક Dee માં વિદ્યુતભાર અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરીને \(\frac{\mathrm{T}}{2}\) (અર્ધ આવર્તકાળ) સમયમાં બે Dees વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે. જયાં T એ એક પરિભ્રમણ માટેનો સમય છે.
• પેચ p = \(\nu_{\|} \mathrm{T}=\frac{2 \pi m v_{\|}}{q \mathrm{~B}}\)
  ∴ T = \(\frac{2 \pi m}{q \mathrm{~B}}\)
  ∴ \(\frac{1}{v_c}=\frac{2 \pi m}{q \mathrm{~B}}\)
  ∴ આવૃત્તિ v_c = \(\frac{q \mathrm{~B}}{2 \pi m}\) ………………………… (1)
• આ આવૃત્તિને સાઇક્લોટ્રોનની આવૃત્તિ (v_c) કહે છે. આ આવૃત્તિ કણની ઝડપ, વેગમાન કે ગતિઊર્જા પર આધારિત નથી. જે મહત્ત્વની બાબત છે.
• આપેલા એ.સી. વોલ્ટેજની આવૃત્તિ v_a, એવી રાખવામાં આવે છે, કે જેથી આયન (વિદ્યુતભારિત કર્ણા) અડધું પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે ત્યારે Dee પરના ધ્રુવની દિશા ઊલટાય છે. જયારે v_a = v_c હેય ત્યારે અનુવાદ (Resonance) થાય છે. આ અનુનાદની શરત છે.
• જયારે ધન આયનો D₁ ની ધાર પર આવે છે ત્યારે સામેની D₂ પર ઋણ સ્થિતિમાન હોય તેથી આયનો પ્રવેગિત થાય.
  Dee ની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્રથી મુક્ત અવકાશમાં આયનો ગતિ કરે છે. જેટલી વખત આયનો એક Dee માંથી બીજી Dee માં જાય ત્યારે તેમની ગતિ ઊર્જામાં થતો વધારો eV જેટલો હોય છે. (જયાં V = વીજસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.)
• આ સમીકરણ અનુસાર જેટલીવાર કણની ગતિ ઊર્જા વધે છે તેટલીવાર તેના ગતિમાર્ગની ત્રિજયા વધતી જાય છે, જ્યાં સુધી આયનો એટલી ઊર્જા પ્રાપ્ત ન કરે કે જેથી તેમના ગતિમાર્ગની ત્રિજયા Dees ની ત્રિજપા જેટલી ન થાય ત્યાં સુધી જેટલી વખત તેઓ એક Dee માંથી બીજી Dee માં જાય ત્યારે તે પ્રવેગિત થતાં રહે છે ત્યારે મહત્તમ ગતિઊર્જી ધારણ કરે છે. આ તબક્કે તેના વર્તુળ માર્ગની ત્રિજ્યા r, Dee ની ત્રિજ્યા જેટલી થાય છે. ત્યારબાદ તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વડે કાણાવર્તન અનુભવીને છિદ્ર (Slit) માંથી પ્રણાલીની બહાર નીકળી જય છે.
  Dee ની ધાર પાસે કક્ષની ઝડપ,

v = \(\frac{q \mathrm{BR}}{m}\) ………………………… (2)

જ્યાં R એ બહાર નીકળતી વખતે કણના ગતિમાર્ગની ત્રિજ્યા છે, જે Dee ની ત્રિજયા જેટલી હોય છે. આથી, આયનોની ગતિ ઊર્જા,
\(\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} m\left(\frac{q \mathrm{BR}}{m}\right)^2\)
∴ \(\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} \frac{q^2 \mathrm{~B}^2 \mathrm{R}^2}{m}\) ………………………………….. (3)
સમીકરણ (1) અને (3) દર્શાવે છે કે,
(1) આયનના એક પરિભ્રમલ માટે લાગતો સમય અથવા તેની આવૃત્તિ v_c તેની ઝડપ (v) અથવા તેની ત્રિજયા પર આધારિત નથી.
(2) પરંતુ, તેની ગતિ ઊર્જા તેના વર્તુળ માર્ગની ત્રિજ્યા પર આધારિત છે, ટૂકમાં વિદ્યુતભારિત કણની ઝડપ v વધતાં તેના વર્તુળ માર્ગની ત્રિજયા (r) વધે છે પરંતુ, તેની આવૃત્તિ v_c અચળ રહે છે.)

પ્રશ્ન 17.
સાઇક્લોટ્રોનના ઉપયોગો જણાવો.
ઉત્તર:
સાઈક્લોટ્રૉનના ઉપયોગો નીચે પ્રમાણે છે :

1. સાઇક્લોટ્રોનનો ઉપયોગ તેના દ્વારા પ્રવેગિત થયેલા ઊંચી ઊર્જાવાળા આયનોને ન્યુક્લિયસ પર પ્રતાડિત (બૉમ્બાર્ડ) કરીને પરિણામે થતી ન્યુક્લિયર્સ પ્રક્રિયાનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે. તેથી, ન્યુક્લિયસનું બંધારણ જાણી શકાય છે.
2. તેનો ઉપયોગ ઘન પદાર્થોમાં બીજું આયનો ઘુસાડીને (Implan કરીને તેમના ગુaધર્મો બદલવા માટે અથવા નવા પ્રકારના દ્રવ્યો બનાવવા (સિન્થસાઇઝ કરવા માટે – પણ થાય છે.
3. તેનો ઉપયોગ હૉસ્પિટલમાં રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો બનાવવા માટે થાય છે. જે રૌગ નિદાન અને તેના નિવારણ માટે ઉપયોગી છે.

પ્રશ્ન 18.
વિધુતપ્રવાહધારિત ખંડના કારણે ઉત્પન્ન થતાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટે બાયો-સાવરનો નિયમ લખો. ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જણાવો અને આ નિયમ પરથી ચુંબકીય ફોમનો એકમ દર્શાવો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતપ્રવાહ અને તેના કારણે મળતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચેનો સંબંધ બાયો-સાવરના નિયમ વડે અપાય છે.
બાયૉ-સાવરનો નિયમ : “\(\text { I } d \vec{l}\) જેટલા વિદ્યુતપ્રવાહ ખંડને લીધે ખંડની સાપેક્ષે \(\vec{r}\) સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુ પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર
\(d \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{\mathrm{I} d \vec{l} \times \vec{r}}{r^3}\) સૂત્રથી અપાય છે”.

નિયમની સમજૂતી : આકૃતિમાં યાદચ્છિક આકારનો વિદ્યુતપ્રવાહધારિત વાહકતારે XY દર્શાવ્યો છે. આ વાહનો અતિ સૂથમ ખંડ \(d \vec{l}\) છે. આ ખંડના કારણે, તેનાથી r અંતરે આવેલા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર તે \(d \overrightarrow{\mathrm{B}} \) છે.

આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
1. વાહકમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહ I ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,
∴ dB ∝ I
2. ખંડ લંબાઈ \(|d \vec{l}|\) ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
∴ dB ∝ dl
3. sinθ ના સમપ્રમાલમાં હોય છે.
∴ dB ∝ sinθ
4. પ્રવાહ ખંડથી અંતર r ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
∴ dB ∝ \(\frac{1}{r^2}\)

આ બાબતનો સમન્વય કરતાં,
dB ∝ \(\frac{\mathrm{I} d l \sin \theta}{r^2}\)
dB ∝ \(\frac{\mathrm{I} d l r \sin \theta}{r^3}\)
\(d \overrightarrow{\mathrm{B}} \propto \frac{\mathrm{I} d \vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \)
∴ \(d \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d \vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \) …………………. (1)

જયાં \(\frac{\mu_0}{4 \pi}\) એ સપ્રમાણતાનો અચળાંક છે. સમીકરન્ન (1) બાયો-સાવરનો નિયમ દેશવિ છે.
જયાં μ_o = શૂન્યાવકાશની મુક્ત અવકાશની પરમિએબિલિટી છે.
μ_o = 4π x 10^-7 \(\frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}\)
∴ \(\frac{\mu_0}{4 \pi}\) = 10^-7 \(\frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}\) અથવા NA^-2 છે. સમીકરણ (1) શૂન્યાવકાશ માટે મળતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું છે.

સમીકરણ (1) પરથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,
\(|d \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d l r \sin \theta}{r^3}\) અથવા \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \cdot \frac{|\mathrm{I} d \vec{l} \times \vec{r}|}{r^3}\)
∴ \(|d \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d l \sin \theta}{r^2}\) ………………………. (2)

જયાં θ એ \(\mathrm{I} d \vec{l}\) અને \(\vec{r}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જમણા હાથના જૂના નિયમ પ્રમાણે \(d \overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશા \(\mathrm{I} d \vec{l}\) અને \(\vec{r} \) થી રચાતા સમતલને લંબરૂપે અને અંદર તરફ મળે છે જેને P પાસે (×) ક્રૉસ વડે દર્શાવેલ છે.
નોંધ : જમણા હાથના સ્કૂને \(\mathrm{I} d \vec{l}\) અને \(\vec{r} \) થી બનતા સમતલને લંબરૂપે રાખીને ક્રૂને \(\mathrm{I} d \vec{l}\) થી \(\vec{r} \) ની દિશામાં ધુમાવતા અંગૂઠો \(\mathrm{I} d \vec{l} \times \vec{r}\) એટલે કે, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( d \overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશા દર્શાવે છે જે પૃષ્ઠને લંબ અંદર તરફ છે.

પ્રશ્ન 19
બાયો-સાવર્ટના નિયમ પસ્થી ચુંબકીય ક્ષેત્રનો SI એકમ જણાવો.
ઉત્તર:
બાયો-સાવર્ટના નિયમ પરથી ચુંબકીય ક્ષેત્રનો એકમ નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય છે.
dB = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \mathrm{I} d l \frac{\sin \theta}{r^2}\)
dB = \(\left(\frac{\mathrm{T} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{A}}\right)\left(\frac{\mathrm{A} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{m}^2}\right)\)
= T (ટેસ્લા)

જો I = 1A , dl = 1m, r= 1m અને θ = 90° લઈએ તો,
dB = \(\frac{\mu_0}{4 \pi}=\frac{4 \pi \times 10^{-7}}{4 \pi} \) = 10^-7 ટેસ્લો
∴ 1 ટેસ્લા= 10⁷ dB
આમ, 1 ટેસ્લા ચુંબકીય ક્ષેત્ર, 1A વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારથી, 1m લંબ અંતરે ઉત્પન્ન થતાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર dB કરતાં 10⁷
ગણું વધુ હોય છે.

પ્રશ્ન 20.
બાયો-સાવર્ટના નિયમના ખાસ કિસ્સાઓ ચર્યો.
ઉત્તર:

1. તારની અશ્વના દરેક બિંદુએ θ = 0° તેથી sin0° = 0 તેથી dB = 0 આમ, વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ખંડતારની અશ પરના દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય મળે છે,
2. જો θ = 90° તો sin90° = 1 જે મહત્તમ છે, તેથી dB = મહત્તમ, આમ, વિધુતપ્રવાહધારિત ખંડમાંથી પસાર થતા અને ખંડને લંબ એવા સમતલમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર મહત્તમ મળે છે.

પ્રશ્ન 21.
બાયો-સાવટના નિયમ અને સ્થિત વિધુતક્ષેત્ર માટે કુલંબના નિયમની સામ્યતાઓ અને વિષમતાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
બાય-સાવર્ટના નિયમ અને સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે કુલંબના નિયમની સામ્યતાઓ અને વિષમતાઓ નીચે પ્રમાણે છે.
સામ્યતાઓ :

1. બંને નિયમો અંતરના વર્ગના વ્યસ્તના નિયમો છે.
2. બંને નિયમો ગુરૂઅંતરીય ક્ષેત્રો છે.
3. બંને માટે સંપાતપન્નાનો સિદ્ધાંત લાગુ પાડી શકાય છે.

સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર E = \(\frac{k \mathrm{Q}}{r^2}\) પરથી E ∝ Q છે તેવી જ રીતે બાય-સાવર્ટનો નિયમ B = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d l \times \hat{r}}{r^2}\) પરથી B ∝ Idl છે.

વિષમતાઓ :

1. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ ઘટક \(\mathrm{I} d \vec{l}\) ના કારણે મળી છે. જયારે વિદ્યુતક્ષેત્ર અદિશ પટક વિદ્યુતભાર dq ના કારણે મળે છે.
2. ચિતવિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા ઉદ્ગમ (સ્રોત વિદ્યુતભાર અને અવકાશમાં રહેલા બિંદુને જ તા સ્થાનાંતર સદિશની દિશામાં હોય છે, જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વિદ્યુતપ્રવાહખંડ \(\mathrm{I} d \vec{l}\) અને \(\vec{r}\) ને સમાવતા સમતલને લંબરૂપે હોય છે.
3. બાયો-સાવર્ટનો નિયમ ખૂણા θ પર આધારિત છે, (sinθ પર) \(d \vec{l}\) ખંડની અક્ષ પરના કોઈ પણ બિંદુ માટે θ = 0° મળે, તેથી sin 0° = 0 થવાથી અક્ષ પરના કોઈ પણ બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય મળે છે. જયારે કુલંબનો નિયમ θ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 22.
મુક્તા અવકાશની પરમિટિવિટી ε₀ અને મુકત અવકાશની પરમિએબિલિટી μ₀ તથા શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ c વચ્ચેનો સંબંધ જણાવો.
ઉત્તર:
આપણે જાણીએ છીએ, કે
\(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9 \frac{\mathrm{Nm}^2}{c^2}\) અને \(\frac{\mu_0}{4 \pi}=10^{-7} \frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}\)
કવે,
μ₀ε₀ = \(\left(\frac{\mu_0}{4 \pi}\right)\left(\frac{4 \pi \varepsilon_0}{1}\right)\)
= \(\left(1 \times 10^{-7}\right)\left(\frac{1}{9 \times 10^9}\right)\) = \(\frac{1}{9 \times 10^{16}}\)
= \(\frac{1}{\left(3 \times 10^8\right)^2}\)
પરંતુ 3 x 10⁸ m/s એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ (c) છે.
∴ μ₀ε₀ = \(\frac{1}{c^2}\)
∴ c = \(\frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}\)

પ્રશ્ન 23.
બાયો-સાવર્ટના નિયમની મદદથી વિધુતપ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર પ્રવાહગાળા (રિંગ)ની અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ મેળવો. (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
આકૃતિમાં વિદ્યુતપ્રવાહધારિત R ત્રિજયાની વર્તુળાકાર એક લૂપ (રિંગ) વિચારો.

• લૂપનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ O પર અને તેની એક, X-અક્ષ પર, સંપાત થાય તેમ મૂકેલું છે.
• ભૂપનું સમતલ પુસ્તકના પાનાના સમતલને લંબરૂપે છે. ધારો કે, ભૂપની એફ પર તેનાં કેન્દ્ર O થી x અંતરે P બિંદુ છે અને P પાસેનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવું છે,
• બાયો-સાવર્ટના નિયમ પ્રમાણે, પ્રવાહગાળાના \(\mathrm{I} d \vec{l}\) ખંડના કારણે, ખંડની સાપેક્ષ \(\vec{r}\) સ્થાનસદિશ ધરાવતા P બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
  \(d \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I}|\overrightarrow{d l} \times \vec{r}|}{r^3}\)
• આ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,
  \(|d \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{|\mathrm{I} \overrightarrow{d l} \times \vec{r}|}{r^3}\)
  = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d l r \sin \theta^{\prime}}{r^3} \)
• જયાં θ’= \(\overrightarrow{d l}\) અને \(\vec{r}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે. પરંતુ, \(\overrightarrow{d l} \perp \vec{r} \)
• હોવાથી sin θ’ = \(\sin \frac{\pi}{2}=1\)
  ∴ \(|d \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{4 \pi} \frac{d l}{r^2} \) ……………………….. (1)
• આકૃતિ પરથી r² = x² + R² લેતાં,
  \(|d \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{d l}{\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)}\) ………………………… (2)
  \(d \overrightarrow{\mathrm{B}}\) ની દિશા \(\overrightarrow{d l}\) અને \(\vec{r}\) વડે બનતા સમતલને લંબ દિશામાં છે.
  \(d \overrightarrow{\mathrm{B}}\) ના બે ઘટકો વિચારી શકાય.

રિંગની અને સમાંતર ઘટક dB_x = dBcosθ
રિંગની અને લંબ ઘટેક dB_⊥ = dBsinθ
સમગ્ર રિંગ પરના બધાં જ પ્રવાહખંડો વડે મળતી તીવ્રતાઓનો સદિશ સરવાળો કરવામાં આવે તો, સામ-સામેના ખંડો વડે મળતી તીવ્રતાનો dB_⊥ = dBsinθ જેવાં ઘટકો પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશાના હોવાથી એકબીજીની અસર નાબૂદ કરે છે. તેથી, સરવાળો કરવા માત્ર dBsinθ ઘટકો જ ધ્યાનમાં લેવાં પડે. આમ, P બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
dB_x = dBcosθ ……………………….. (3)
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,
cosθ = \(\frac{\mathrm{R}}{\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{1 / 2}}\) …………………………….. (4)

સમીકરણ (3) માં dB અને cosθ ની કિંમત લખતાં,
dB_x = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d l}{\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)} \cdot \frac{\mathrm{R}}{\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{1 / 2}} \)
∴ dB_x = \( \frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I} d l \mathrm{R}}{\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}}\)
…………………. (5)

સમગ્ર રિંગ માટે ઉપરના પદનું સંકલન કરતાં ૪-દિશા પરનું પરિક્ષામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર મળે છે.
B = ∫dB_x
B = \( \frac{\mu_0 \mathrm{IR}}{4 \pi\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}} \int d l\)
B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{IR}}{4 \pi\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}}(2 \pi \mathrm{R})\) [∵∫dl = 2R]
∴ B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{IR}^2}{2\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}}\) …………………….. (6)

આ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સદિશ સ્વરૂપે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{IR}^2}{2\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}} \hat{i}\)
[∵ x -દિશામાં એકમ સદિશા î]
જે માગેલું સમીકરણ છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર હિંગની અક્ષ પર છે.

પ્રશ્ન 24.
વિધુતપ્રવાહધારિત ગાળા (રિંગ)ના કૅન્દ્રથી અક્ષ પર x અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ લખો અને તેના ખાસ કિસ્સા ચર્ચો.
ઉત્તર:
I વિદ્યુતપ્રવાહધારિત R ત્રિજયાના પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્રથી x અંતરે અક્ષ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{IR}^2}{2\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}} \hat{i}\)

કિસ્સો 1
લૂ૫ના N સાંટા કોય તો \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{NIR}^2}{2\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}} \hat{i} \)

કિસ્સો 2
N આંયવાળી લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{2 \mathrm{R}} \hat{i}\)

કિસ્સો 3
અથ પરના x >> R બિંદુએ \( \overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{NIR}^2}{2 x^3} \hat{i}\)

કિસ્સો 4
અક્ષ પર કેન્દ્રથી ત્રિજ્યા જેટલાં અંતરે x = R માટે,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{NIR}^2}{2\left(\mathrm{R}^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}}=\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{2^{5 / 2} \mathrm{R}} \hat{i}\)

પ્રશ્ન 25.
વિદ્યુતપ્રવાહધારિત લૂપના કારણે/વિધુતપ્રવાહધારિત રિંગના કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવો. આ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જાણવા માટેનો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતપ્રવાહધારિત રિંગના કારણે ઉદ્ભવતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બંધગાળાઓ રચે છે.

ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ વર્ડ મળે છે જે નીચે આપેલ છે.
“તમારા જમણા હાથની મુઠ્ઠી વર્તુળાકાર તારની ફરતે એ રીતે વાળો કે જેથી તમારી આંગળીઓ વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં હોય તો જમણા હાથનો અંગૂઠો ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દર્શાવે છે,”

પ્રશ્ન 26.
એમ્પિયરનો સર્કીટલ નિયમ સમજાવો.
ઉત્તર:

• બાય-સાવરના નિયમને વધુ સારી અને સચોટ રીતે દર્શાવવાની રીત એટલે ઍપિયરનો સર્કિટલ નિયમ.
• આ નિયમમાં આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર સીમા રેખા ધરાવતી મુક્ત (ખુલ્લી) સપાટી ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.

• આ સપાટીમાંથી પ્રવાહ પસાર થાય છે અને સીમા રેખાને નાના ખંડોમાં વહેંચાયેલી ગલી શકીએ. dl લંબાઈનો આવો એક સૂકમ ખંડ ધ્યાનમાં લો.
• આ ખંડ માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સ્પર્શીય (‘Thangential) ધટેક B_t, નો ખંડની લંબાઈ dl સાથેનો ગુણાકાર કરીએ
  B_t dl = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\)
  = B_tdlcos0° = B_tdl
• આવા બધા ખંડો માટેના ગુણાકારોનો સરવાળો સંકલનની રીતે મળે,
• એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ : “ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈ બંધ વક્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન તે બંધ વક્ર દ્વારા ઘેરાતા કુલ વિધુતપ્રવાહ અને શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટીના ગુણાકાર બરાબર હોય છે.”
  ∴ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = μ₀ΣI
• જયાં ΣI એ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહોનો સરવાળો છે. ધારો કે, ગાળાની લંબાઈ L એ અનંત લંબાઈનો સીધો તાર છે અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સ્પર્શકની દિશામાં છે તથા આ ગાળા વડે ઘેરાયેલ પ્રવાહ I_e, છે,
  ∴ \( \oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = BL અને ΣI = I_e
  ∴ ઍમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ BL = µ₀I_e

જો ધ્યાનમાં લીધેલ ગાળાની સીમા વર્તુળાકાર છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વર્તુળના પરિધાને સ્પર્શકની દિશામાં છે તો એમ્પિયરનો નિયમ,
B x 2πr = µ₀I
∴ B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi r}\)
ઍમ્પિયરનો નિયમ, જમણા હાથના નિયમ વડે દર્શાવતી સંજ્ઞાપ્રણાલિકાનું પાલન કરે છે.
જમણા હાથની આંગળીઓને આ સીમા પર જે દિશામાં જવાના હોઈએ તે રીતે વાળો કે જે માટે બંધ ગાળા પર સંકલન \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot d \vec{l} \) લીધું હોય.
અહીં અંગૂઠાની દિશામાંના વિદ્યુતપ્રવાહ અને ધન ગણવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 27.
કેટલાક ઉપયોગો માટે એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમનું સ્વરૂપ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = μ₀I એ સરળ છે” સમજાવો.
ઉત્તર:
આવા કેટલાક ઉપયોગો માટે આપણે એવો બંધ ગાળો (જેને ઐમ્પિયરન લૂપ કહે છે), ધારીશું કે જે ગાળાના દરેક બિંદુએ કાં તો,

• \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) આ ગાળાને સ્પર્શતું (સ્પર્શકની દિશામાં હોય અને B અશૂન્ય અચળ હોય. અથવા
• \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) આ ગાળાને લંબરૂપે હોય અથવા
• \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નાબૂદ થતું હોય.

આમ, એમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ અને બાયો-સાવર્ટનો નિયમ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને વિદ્યુતપ્રવાહને સાંકળે છે. આ બંને નિયમો સ્થિર પ્રવાહના કારણે મળતા સમાન પરિબ્રામો દર્શાવે છે.
જે રીતે કુલંબના નિયમ માટે ગૌસનો નિયમ છે, તે જ રીતે બાયોસાવર્ટના નિયમ માટે એમ્પિયરનો નિયમ છે.
ઍમ્પિયરનો સર્કિટલ નિયમ સ્થિર વિદ્યુતપ્રવાહો માટે સત્ય છે.

પ્રશ્ન 28.
B = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\) એ કયા દૃષ્ટિકોણથી રસપ્રદ છે.
ઉત્તર:

1. જો અનંત લંબાઈના તારને અક્ષ તરીકે ગણીએ તો r ત્રિજયાના વર્તુળના દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય એકસરખું હોય છે, બીજા શબ્દોમાં, અહીં મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નળાકારીય સંમિતિ ધરાવે છે તેથી આ ક્ષેત્ર ત્રણ પામીના બદલે માત્ર r કામ પર જ આધાર રાખે છે.
2. વર્તુળના દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. તેથી ચુંબકીય શૈત્રરેખાઓ એ અચળ મૂલ્યવાળા સમકેન્દ્રી વર્તુળો છે જે સીધા તાર વડે ઉદ્ભવતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સ્ટેડ કરેલા પ્રયોગોનું સૈદ્ધાંતિક સમાધાન કરે છે.
3. તાર અનંત લંબાઈનો હોવાં છતાં, તેનાથી નહિવતું અંતરે (અત્યંત નજીક) ચુંબકીય ક્ષેત્ર અનંત નથી. તારની નજીક પહોંચતા ઝડપથી વધે છે પણ શું બકીય ક્ષેત્ર વિદ્યુતપ્રવાહના સમપ્રમાણમાં અને વિધુતપ્રવાહધારિત તારથી અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
4. લાંબા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારથી ઉદ્ભવતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા શોધવા માટેનો જમણા હાથનો નિયમ નીચે મુજબ છે. તારને તમારા જમણા હાથથી એવી રીતે પકડી કે જેથી તમારો વિરતારેલો અંગૂઠો વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં રહે અને તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં વળેલી રહે.

પ્રશ્ન 29.
સોલેનોઇડ એટલે શું ? લાંબા સોલેનોઇડનો અર્થ જણાવી તેના ચુંબકીય લોનની માહિતી આપો.
ઉત્તર:

• પાસ-પાસે વીંટાળેલા પરંતુ, અલગ કરેલા વાહકતારના હેલિકલ આકારના નળાકાર ગૂંચળાને સૉલેનોઇડ કહે છે.
• જે સોલેનોઇડની ત્રિજયાની સરખામલ્લીમાં તેની લંબાઈ વધુ હોય તેવાં સૉલેનોઇડને લાંબો સૉલેનોઇડ કહે છે અને
• સોલેનોઇડની ત્રિજયાની સરખામણીમાં તેની લંબાઈ ઓછી હોય તેને ટૂંકો સૉલેનોઇડ કહે છે.

• એક લાંબા તારને ખૂબ પાસે રહેલાં આંટાઓમાં હેલિકલ આકારમાં વીંટાળીને બનાવેલ હોય છે. આથી, દરેક આંટાને વર્તુળાકારે ગણી શકાય.
• આંટા વટવા માટે ઇર્નમલ (અવાહક પડ ચઢાવેલા) તારનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, જેથી આ આંટા એ કબીજાના સંપર્કમાં અવાહક તરીકે વર્તે છે.
• એક આંટાના કારડ્યું, આંટાની નજીક મળતી ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ, સુરેખતારના કાર મળતી વર્તુળાકાર ક્ષેત્રરેખાઓ જેવી હોય છે.
• કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દરેક યઓના કારણે ઉદ્દ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે.
• આકૃતિ (a) માં સિમિત સોલેનોઇડની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ દર્શાવી છે.
• આકૃતિ (b) માં સમગ્ર સોલેનોઇડ તેના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે દર્શાવ્યો છે.
• આકૃતિ (a) માં વર્તુળાકાર ગાળાઓ પરથી જણાય છે કે બાજુબાજુના આંટાઓનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાબૂદ થઈ જાય છે.
• આકૃતિ (b) દર્શાવે છે, કે સોલેનોઇડની અંદર મધ્યમાં આવેલા P બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નિયમિત, પ્રબળ અને અને સમાંતર છે. બહારના Q બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નબળું અને અને સમાંતર છે.
• સોલેનોઇડ જેમ મોઢે બનતો જાય તેમ તે જાણે લાંબી નળાકાર ધાતુની તકતી જેવો લાગે છે.

• ઉપરની આકૃતિમાં તેનું આદર્શ નિરૂપણ દર્શાવ્યું છે.
• સોલેનોઇડની બહાર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થતું જાય છે. આપણે ધારીશું કે બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે. અંદરની તરફ દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને સમાંતર છે.

પ્રશ્ન 30.
અનંત લંબાઈના સોલેનોઇડના કારણે ઉદ્દ્ભવતા ચુંબકીય મનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં અનંત લંબાઈના સૉલેનોઇડના કોઈ ભાગના અને સમાંતર આડછેદ દર્શાવ્યો છે. (.) (dot) સંશા પૃષ્ઠમાંથી. બહાર આવતાં તાર અને પ્રવાહ તથા (×) (ક્રોસ સંજ્ઞા પૃષ્ઠમાં દાખલ થતાં તાર અને પ્રવાહ દવિ છે,

આપણે ધારીશું કે સોલેનોઇડની બહારની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે, અંદરની તરફ દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને સમાંતર છે.
એક લંબચોરસ એમ્પિરિયન ગાળો abcda ધારો. તેના માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રનું રેખા સંકલન લેતાં,
\(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}=\int_a^b \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}+\int_b^c \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}+\int_c^d \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}+\int_d^a \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l} \) ……………………………….(1)

cd ભાગ સોલેનોઇડની બહાર છે. બહારના ભાગમાં \(|\overrightarrow{\mathrm{B}}|\) = 0 છે તેથી,
\(\int_c^d \vec{B} \cdot \overrightarrow{d l}\) = 0
d – a અને b – c વિભાગો ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને લંબ છે તેથી,
\(\int_b^c \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}=\int_d^a \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = 0 મળે

તેથી સમીકરણ (1) નીચે પ્રમાણે મળે,
\(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}=\int_a^b \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}=\int_a^b \mathrm{~B} d l \cos 0=\mathrm{B} \int_a^b d l\)
∴ \(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = B(h) ……………………… (2)
(જયાં \(\int_a^b d l\) = h = ab વિભાગની લંબાઈ છે.)

ધારો કે, એકમ લંબાઈ દીઠ n સાંટા છે તેથી h લંબાઈમાં સાંટા nh મળે.
એક આંટા દીઠ પ્રવાહ I હોય, તો nh આંટાનો પ્રવાહ nhI હોય.
બંધગાળા વડે ઘેરાયેલો પ્રવાહ I_e = I (nh) ………………………………. (3)
એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ પ્રમાણે,
\(\oint \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d l}\) = μ₀I_e …………………… (4) ,
∴ સમીકરક્ષ (4) માં સમીકરણ (2) અને (3) ની કિંમત મૂકતાં,
B(h) = μ₀Inh
B = μ₀nI ………………………….. (5)

ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના નિયમ પરથી મળે છે. (જમણા હાથની આંગળીઓ પ્રવાહની દિશામાં રહે તેમ રાખતા, અંગૂઠો ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા દેશવિ છે.)
સોલેનોઇડનો ઉપયોગ મોય ભાગે સમાન (નિયમિત) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા થાય છે.

પ્રશ્ન 31.
ટૉરોઇડ એટલે શું ? પ્રવાહધારિત ટૉરોઇડના ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
મૅરોઇડ એ પોલી વર્તુળાકાર રિંગ (વલય) છે. તેના પર તારના ઘણા બધા આંટા પાસપાસે વીંટાળેલા હોય છે.

લાંબા સૉલેનોઇડને વર્તુળાકારવાળી તેના બે છેડા જોડતાં ટૉરોઇડ મળે છે. જે આકૃતિ (a) માં દર્શાવેલ છે.
ટરોઇડમાંથી I પ્રવાહ પસાર થાય છે.
ટૉરૉઇડની અંદરની ખુલ્લી જગ્યામાં (P બિંદુએ) અને તેની બહાર (Q બિંદુએ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય છે, ખૂબ નજીક આંટા ધરાવતાં આદર્શ ટૉરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) નું મૂલ્ય અચળ હોય છે.

આકૃતિ (b)માં વૈરોઇડનો આડછેદ દર્શાવ્યો છે. વર્તુળાકાર ગાળા માટે જમણા હાથના નિયમ મુજબ ટૉરોઇડની અંદરના ભાગમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા સમડી હોય છે.
ત્રણ એમ્પિરિયન ગાળાઓ 1, 2 અને 3ને તૂટક રેખાઓ વડે દશવિલ છે.
સંમિતિ મુજબ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર દરેક ગાળાને સ્પર્શકની દિશામાં હોવું જોઈએ તથા આપેલા ગાળા માટે તેનું મૂલ્ય અચળ હોવું જોઈએ.
2 અને 3 વડે બનતા બંને વર્તુળાકાર વિસ્તારો ટોરોઇડને એવી રીતે છેદે છે, કે જેથી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારનો દરેક આંટો એક વખત ગાળા-2 વડે અને બે વખત ગાળા-3 વડે છેદાય છે.

ધારો કે ગાળા-1 પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય B₁ છે, એમ્પિયરના સર્કિટલ નિયમ મુજબ L = 2πr₁, પણ આ ગાળો વિદ્યુતપ્રવાહને ઘેરતો ન હોવાથી I_e = 0
∴ B₁ (2πr₁) = μ₀I_e
∴ B₁ = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_e}{2 \pi r_1}\) માં I_e = 0 મૂકતાં,
∴ B₁ = 0

આથી, ટોરોઇડની અંદર ખુલ્લી જગ્યામાં દરેક બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે ગાળા-3 પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર B છે. ઍમ્પિયરના નિયમ પરથી L = 2πr₃,

અહીં પુસ્તકના સમતલમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહ, તેની અંદર તેટલાં જ મૂલ્યના પ્રવાહ વડે નાબૂદ થાય છે તેથી I_e= 0
∴ B₃(2πr₃) = μ₀I_e, માં I_e = 0
∴ B₃ = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_e}{2 \pi r_3}\) માં I_e = 0
∴ B₃ = 0

હવે ધારો કે s પાસે L = 2πr અને I_e = NI છે.
∴ B(2πr) = μ₀I_e.
∴ B = \(\frac{\mu_0(\mathrm{NI})}{2 \pi r}\)
અહીં N = 2πrn

જયાં n = એકમ લંબાઈ દીઠ આંટા હોય તો,
B = \(\frac{\mu_0 \times 2 \pi r n \times I}{2 \pi r}\)
∴B = μ₀nI જે સૉલેનોઇડમાંથી પ્રવાહ વહેતાં ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આદર્શ વૈરોઇડનાં આંટાઓ વર્તુળાકાર હોય છે.
વાસ્તવમાં ટૉરોઇડના ગૂંચળામાં આંટાઓ હેલિક્ષ બનાવે છે, જેમાં ટૉરોઇડની બહાર થોડુંક ચુંબકીય ક્ષેત્ર તો હોય જ છે.

પ્રશ્ન 32.
બે સમાંતર વિધુતપ્રવાહધારિત તાર વચ્ચે લાગતાં બળનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં એકબીજાથી d અંતરે રહેલાં બે લાંબા, સમાંતર વાહકો a અને b દર્શાવ્યા છે જેમાંથી અનુક્રમે I_a અને I_b પ્રવાહ પસાર થાય છે.

• વાહક “a” દ્વારા વાહક “b” પર દરેક બિંદુએ સમાન ચુંબકીય શેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_a\) ઉત્પન્ન થાય છે.
• જમવા હાથના અંગૂઠાના નિયમ પ્રમાણે આ ક્ષેત્રની દિશા નીચે તરફ હોય છે. આ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય નીચેના સમીકરન્ન પરથી મળે છે.
  B_a = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_a}{2 \pi d}\) …………………………. (1)
• આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_a\) ના કારણે વિદ્યુતપ્રવાહ , ધરાવતો I_b સુવાહક, બાજુની તરફ (ચુંબકીય) બળ અનુવભૉ.
  \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_a\) ના કારણે લાગતું આ બળ સુવાહક a ની દિશામાં હશે.
• આ ચુંબકીય બળને \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{b a} \) વડે દર્શાવીશું જે \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{b a}\) એ b ના વિભાગ (ખંડ) L પર “a” ના કારણે લાગતું બળ છે.
• આ બળનું મૂલ્ય સમીકરણ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=\mathrm{I} \vec{l} \times \overrightarrow{\mathrm{B}} \) પરથી,
  F_ba = (I_bL)B_a
  F_ba = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_a \mathrm{I}_b \mathrm{~L}}{2 \pi d}\) …………………….. (2)
• “b” ના કારણે “a” પર લાગતું બળ શોધવું પણ શક્ય છે. a ના વિભાગ ખંડ (L) પર છ વડે લાગતું બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{a b}\) શોધી શકીએ.
  તે \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_{b a}\) ના મૂલ્ય જેટલું અને છ તરફ હોય છે.
  \( \overrightarrow{\mathrm{F}}_{b a}\) = – \(\overrightarrow{\mathrm{F}}_{a b}\) મળે છે. …………………………… (3)
• આ ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ જેવું છે. આમ સમાંતર વાહકો અને સ્થિર વિદ્યુતપ્રવાહો માટે બાયો-સાવરનો નિયમ અને લૉરેન્સ બળનું પરિણામ ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ મળે છે.
• એક જ દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજાને આકર્ષે છે જયારે વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહો એ કબીજાને અપાકર્ષે છે.
• આમ, સમાંતર વિદ્યુતપ્રવાહો આકર્ષ અને પ્રતિસમાંતર પ્રવાહો અપાકર્ષી હોય છે.
• સ્થિત વિદ્યુતના નિયમ કરતાં આ નિયમ ઊલટો છે, સમાન વિધુતભારો એક્બીજાને અપાકર્ષે છે જ્યારે સમાન (સમાંતર) વિદ્યુતપ્રવાહો એકબીજાને આકર્ષે છે.

પ્રશ્ન 33.
બે સુરેખ સમાંતર વિધુતપ્રવાહધારિત તારની એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતાં બળનું સમીકરણ લખી તેના પરથી એમ્પિયર (A) ની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:
એકબીજથી d અંતરે રહેલાં બે લાંબા સમાંતર વાહકો a અને b માંથી અનુક્રમે I_a અને I_b પ્રવાહ પસાર થાય છે.
તાર a અને b ના કારણે તાર b ની L લંબાઈ દીઠ લાગતું ચુંબકીય બળ નીચે પ્રમાણે છે.
F_ba = \( \frac{\mu_0 \mathrm{I}_a \mathrm{I}_b \mathrm{~L}}{2 \pi d}\) ………………… (1)
એકમ લંબાઈ (L = 1 એકમ) દીઠ લાગતું આ બળ f_ba વડે દર્શાવીએ તો સમીકરણ (1) પરથી,
F_ba = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_a \mathrm{I}_b}{2 \pi d}\) …………………….. (2)
આ સમીકરણનો ઉપયોગ વિદ્યુતપ્રવાહના એ કમ એમ્પિયર (A) ને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થાય છે જે SI એકમ છે.
ઉપરના સમીકરણમાં, I_a = I_b = 1A,
d = 1m, μ₀ = 4π x 10^-7 \(\frac{\mathrm{T} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{A}}\) લેતાં
f_ba = 2 x 10^-7 N મળે.

ઍમ્પિયરની વ્યાખ્યા : બે ખૂબ લાંબા, સુરેખ, અવગણ્ય આડછેદ ધરાવતા, શૂન્યાવકાશમાં એકબીજાથી એક મીટર અંતરે મૂકેલા, સમાંતર તારમાંથી જે સમાન વિધુતપ્રવાહ માટે બંને વાહકો પર એકમ લંબાઈ દીઠ લાગતું બળ 2 x 10^-7 N હોય, તો દરેક તારમાંથી પસાર થતો વિધુતપ્રવાહ 1A છે તેમ કહી શકાય. આ સૈદ્ધાંતિક વ્યાખ્યા છે. વ્યવહારમાં આ વ્યાખ્યા માટે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની અસર નાબુદ કરવી જોઈએ તથા ખૂબ લાંબા તારની જગ્યાએ યોગ્ય ભૌમિતિક આકારના ઘણા આંટા ધરાવતા ગૂંચળાઓનો ઉપયોગ કરવો પડે.
વિદ્યુતપ્રવાહ તુલા (કાંટા, Balance) નામના સાધનના ઉપયોગથી આ યાંત્રિક બળ મપાય છે.

પ્રશ્ન 34.
વિધુતભારના SI એકમ કુલંબને એમ્પિયરના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતભારનો SI એકમ કુલંબ છે, તેને એમ્પિયરના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.
જયારે સુવાહકમાંથી 1A જેટલો સ્થિર (અચળ) વિદ્યુતપ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે છે ત્યારે તેના આડછેદમાંથી 16 માં પસાર ઘતો વિધુતભાર એક કુલંબ (1C) જેટલો હોય છે.

પ્રશ્ન 35.
નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં, ક્ષેત્રના સમતલમાં જ રાખેલ વિધુતપ્રવાહધારિત લંબચોરસ ગૂંચળા પર લાગતાં ટોર્કનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં ABCD લંબચોરસ ગૂંચળું ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એવી રીતે રાખ્યું છે કે જેથી ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં જ રહે છે.

ધારો કે ABCD ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ I, AB = DC = b અને AD = BC = a બાજુની લંબાઈ છે, ક્ષેત્રફળ A = ab,
આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ગૂંચળાની બાજુઓ AD અને BC પર કોઈ બળ લગાડતું નથી કારણ કે આ બાજુઓ માટે I_a અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) પરસ્પર સમાંતર હોવાથી,
\(|\overrightarrow{\mathrm{F}}|=|\overrightarrow{\mathrm{I}} \vec{a} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|\) = (IaB)sin0° = 0 ………………… (1) મળે છે.

ગૂંચળાની બાજુ AB અને CD ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે છે.
AB બાજુ પર લાગતું બળ,
\(\left|\overrightarrow{\mathrm{F}_1}\right|=|\overrightarrow{\mathrm{I}} \vec{b} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|\) =lbsin\(\frac{\pi}{2}\) = IbB ……………………………….. (2)
જમણા હાથના પંજાના નિયમ મુજબ આ બળ ગૂંચળાના સમતલને લંબ, અંદર તરફ છે.
ગૂંચળાની CD બાજુ પર લાગતું બળ,
\(\left|\overrightarrow{\mathrm{F}_2}\right|=|\mathrm{I} \vec{b} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\left|\mathrm{I} b \mathrm{~B} \sin \frac{\pi}{2}\right|\)
F₂ = IbB = F₁ ………………………………. (2)

આ બળ ગૂંચળામાં સમતલને લંબ બાર તરફ છે.
અને સમાન મૂલ્યના પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં તથા એક રેખ ન હોવાથી પરિણામી બળ શૂન્ય થશે, પરંતુ,
આ બળો બળયુગ્મ રચશે. આ બળયુગ્મ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ ટોર્ક ગૂંચળાને વિષમઘડી દિશામાં ઘુમાવવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ગૂંચળા પરનું પરિણામી ટૉર્ક,
τ = τ₁ +τ₂
τ = F₁(\((a / 2)\)) + F₂ (\((a / 2)\))
τ = IAB ……………………………. (3)
જયાં A = ab એ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ છે.

પ્રશ્ન 36.
નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર \((\overrightarrow{\mathbf{B}})\) ના સમતલ સાથે કોઈ ખૂણો બનાવે તેમ રાખેલા વિધુતપ્રવાહધારિત લંબચોમ્સ ગૂંચળા પર લાગતાં ટૉર્કનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \((\overrightarrow{\mathbf{B}})\) ના સમતલમાં વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ABCD લંબચોરસ ગૂંચળું ગોઠવ્યું છે.

ગૂંચળાના સમતલને દોરેલો લંબ, ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સાથે θ ખૂણો રચે છે.
BC અને D બાજુઓ પર લાગતાં બળો સમાન મૂલ્યના, પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં તથા BC અને DA ના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર એક જ રેખામાં લાગે છે. તેથી આ બળો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે જેથી પરિજ્ઞામી બળ કે ટોર્ક લાગતું નથી.
AB અને CD બાજુઓ પરના બળો \(\overrightarrow{\mathrm{F}_1}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{F}_2}\) અને તેઓ એક રેખસ્થ નથી.
આથી, બળયુગ્મ ઉદ્ભવે છે. આ બળનું મૂલ્ય F₁ = F₂ = IbB છે.

આકૃતિ (b) માં AD છેડા તરફથી જોતાં દેખાતું દૃશ્ય દર્શાવ્યું છે અને તે બળયુગ્મ રચતાં બે બળો F₁ અને F₂ દર્શાવ્યા છે.
ગૂંચળા પર લાગતા ટોર્કનું મૂલ્ય,
τ = τ₁ + τ₂
τ = F₁\(\left(\frac{a}{2} \sin \theta\right)+\mathrm{F}_2\left(\frac{a}{2} \sin \theta\right)\)
(∵ટોર્ક τ = (બળનું મૂલ્ય) (સંદર્ભબિંદુથી બળનું લંબઅંતર))
τ = (lbB) \(\left(\frac{a}{2} \sin \theta\right)+(\mathrm{I} b \mathrm{~B})\left(\frac{a}{2} \sin \theta\right)\)
τ= I(ab)Bsinθ
τ = IABsinθ …………………………….. (1)
\(\vec{\tau}=I \vec{A} \times \vec{B} \) ……………………… (2)

જેમ θ → 0, તેમ બંને બળો વચ્ચેનું લંબઅંતર ઘટીને શૂન્ય થાય છે અને બંને બળો એક રેખસ્થ થાય છે. પરિણામે બળ અને ટૌર્ક બંને શૂન્ય થાય છે.
પરંતુ, વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળાની ચુંબકીય પ્રયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{m}=\overrightarrow{\mathrm{IA}} \) ………………………… (3)

જમણા હાથમાં રાખેલ સૂની અક્ષ, ગૂંચળાના સમતલને લંબરૂપે રહે તેમ ગોઠવી જૂને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં ભ્રમણ આપતા જે દિશામાં આગળ વધે તે ગૂંચળાના ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{m}\) ની દિશા ગણાય છે.
\(\vec{m}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો ખૂર્ણા θ હોવાથી સમીકરણ (2), (3) પરથી નીચે પ્રમાણેનું સમીકરલ્સ મળે છે,
\(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\) ………………………… (4)

જો ગૂંચળાને ૫ આંટા હોય તો
\(\vec{\tau}=\mathrm{NI} \overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
= NIAB છે જયાં \(\vec{m}=\mathrm{NI} \overrightarrow{\mathrm{A}} \)
(આ સમીકરણ સ્થિત વિદ્યુતના કિસ્સાના સમીકરન્ન \(\vec{\tau}=\overrightarrow{p_e} \times \overrightarrow{\mathrm{E}} \) જેવું છે.)

પ્રશ્ન 37.
ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ એટલે શું ? તેનો SI એકમ અને પારિમાણિક સૂત્ર લખો તથા સ્થિર સંતુલન અને અસ્થિર સંતુલન સમજાવો.
ઉત્તર:
ગૂંચળામાં વહેતા પ્રવાહ અને તેના શૌત્રફળ સદિશના | ગુણાકારને ગૂંચળાનું ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ કહે છે,
જે ગૂંચળામાં પ્રવાહ I વહેતો હોય અને તેનું ક્ષેત્રફળ A હોય તો તેની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ,
\(\vec{m}=\overrightarrow{\mathrm{IA}}\)
જે ગૂંચળાને ય આંય હોય તો તેની ડાયપોલ મોમેન્ટ,
\(\vec{m}=\overrightarrow{\mathrm{IA}}\)

ડાયપોલ મોમેન્ટનો SI એકમ Am² છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર [M⁰L²T⁰A^1>] છે.
\(\vec{\tau}=\vec{m} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}\)
∴ τ = mBsinθ
∴ જો \(\vec{m}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) સમાંતર (θ = 0° ) કે પ્રતિ સમાંતર (θ = 180°) હોય, તો ટોર્કનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય જે ગૂંચળાની સંતુલન સ્થિતિ છે.
જયારે θ = 0° હોય ત્યારે ગૂંચળું સ્થિર સંતુલનમાં છે.
જયારે θ = 180° હોય ત્યારે ગૂંચળું મહત્તમ અસ્થિર સંતુલનમાં છે કારણ કે, આ સ્થિતિમાં તેના પર લાગતાં ટોર્કના લીધે તેને મૂળ સ્થિતિમાં લાવે છે.

પ્રશ્ન 38.
ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વિધુતપ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પરના બિંદુ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
I વિદ્યુતપ્રવાહધારિત R ત્રિજયાના વર્તુળાકાર ગૂંચળા વડે તેની અક્ષ પરના તેના કેન્દ્રથી x અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચેના સૂત્ર પ્રમાળે મળે છે.
B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{IR}^2}{2\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}} \) ……………………… (1)
આ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ અક્ષ પર હોય છે. અહીં એ ગૂંચળાના કેન્દ્રથી અા પર આપેલ બિંદુનું અંતર છે,
x >> R માટે છેદમાં આવેલ R² ને અવગણી શકાય.
∴ B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{IR}^2}{2 x^3}\) ……………………………….. (2)

સમીકરણ (2) ના ડાબી બાજુના અંશ અને છેદન π વડે ગુણતાં,
∴ B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}\left(\pi \mathrm{R}^2\right)}{2 \pi x^3}\)
પરંતુ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ A = πR²
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \mathrm{IA}}{2 \pi x^3}\)
અહીં \(\overrightarrow{\mathrm{IA}}\) = ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ \(\vec{m} \)
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0 \vec{m}}{2 \pi x^3}\)
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{2 \mu_0 \vec{m}}{4 \pi x^3}\) [∵ x>>R]
જે ગૂંચળાની અા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 39.
ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વિધુતપ્રવાહધારિત વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સમીકરણ લખી તેની વિધુત ડાયપોલના વિધુતક્ષેત્ર સાથે સરખામણી કરો.
ઉત્તર:
ગૂંચળાની અક્ષ પર ચુંબકીય શ્રેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{2 \vec{m}}{x^3}\right) \) ……………………. (1) [R << x માટે]
અને R = ગૂંચળાની ત્રિજયા
આ સમીકરણ વિદ્યુત ડાયપોલની અલ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{2 \overrightarrow{p_e}}{4 \pi \varepsilon_0 x^3}\) ………………………. (2) જેવું છે.

સમીકરણ (1), (2) સરખાવતાં,
મૅગ્નેટિક પરમિએબિલિટી µ₀ = \(\frac{1}{\varepsilon_0}\)
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ \( \vec{m} \rightarrow\) સ્થિત વિદ્યુત વયપોલ મોમેન્ટ \(\left(\overrightarrow{p_e}\right) \) ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \rightarrow \) સ્થિત વિદ્યુતક્ષેત્ર \((\overrightarrow{\mathrm{E}})\) .

પ્રશ્ન 40.
વિધુત ડાયપોલના લંબદ્વિભાજક પર વિધુતક્ષેત્ર અને વિધુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળાના કેન્દ્રથી તેની અક્ષ પરના x અંતરે આવેલાં બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રો લખો.
ઉત્તર:
સ્થિત વિદ્યુત ડાયપોલના કેન્દ્રથી તેનાં લંબદ્વિભાજક પરના x અંતરે આવેલાં બિંદુવિદ્યુતક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{E}}=\frac{\overrightarrow{p_e}}{4 \pi \varepsilon_0 x^3}\) (x >> a માટે)
(જયાં a = વિજાતીય સમાન વિધુતભાર વચ્ચેનું અડધું અંત૨) વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંગળાના કેન્દ્રથી તેની અક્ષ પરના x અંતરે આવેલાં બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\vec{m}}{x^3}\) (x >> R માટે)
આ બંને સમીકરઠ્ઠો વડે બિંદુવતું ડાયપોલ માટે મળતા પરિણામો એકદમ ચોક્કસ મળે છે.

પ્રશ્ન 41.
વિધુત ડાયપોલ અને ચુંબકીય ડાયપોલ વચ્ચેનો પાયાનો તફાવત જણાવો.
ઉત્તર:

• વિદ્યુત ડાયપોલ અને ચુંબકીય ડાયપોલ વચ્ચેનો પાયાનો તફાવત એ છે કે વિદ્યુત ડાયપોલ એ બે મૂળભૂત એકમ વિધુતભારો (અથવા વિદ્યુત એકઠુવીઓ-Monopoles) નો બનેલો છે, ચુંબકત્વમાં ચુંબકીય ડાયપોલ (અથવા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળું)
• એ સૌથી મૂળભૂત (પ્રાથમિક) ઘટક છે.
• વિધુતભારોને સમતુલ્ય ચુંબકીય એકઠુવીઓ અસ્તિત્વમાં હોવાનું માલૂમ પડ્યું નથી.

પ્રશ્ન 42.
વિધુતપ્રવાઘારિત ગૂંચળાની બે લાક્ષણિકતા જણાવો અને તે પરથી સયોમ્પિયરનુ સૂાન જણાવો.
ઉત્તર:
વિદ્યુતપ્રવાહધારિત ગૂંચળાંની બે લાક્ષલિક્તાઓ :

1. ચુંબકીય ક્ષેત્રે ઉત્પન્ન કરે છે અને મોટા અંતરો માટે ચુંબકીય ડાયપોલ તરીકે વર્તે છે.
2. ચુંબકીય સોયની માફક ટોર્ક અનુભવે છે.

આ પરથી એમ્પિયરે સુચન કર્યું કે “બધુ જ ચુંબકત્વ, બ્રમણ કરતા (વર્તુળમાર્ગી) વિદ્યુતપ્રવાહોને આભારી છે.”
આ થોડા અંશે સાચું પણ લાગે છે અને હજી સુધી કોઈ પણ એકઠુવી ચુંબક લેવામાં આવ્યું નથી.
આમ છતાં, ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન જેવા પ્રાથમિક કન્નો જે આંતરિક ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવે છે, જે ભ્રમણ કરતાં વિદ્યુતપ્રવાહ પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 43.
ન્યુક્લિયસની ફતે પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનું સમીકરણ મેળવી ગાયરોમેગ્નેટિક ગુણોત્તર સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં હાઇડ્રોજન પરમાણૂના બોફર મૉડલને દર્શાવ્યું છે.

વિધુતભાર (- e) ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન + Ze વિધુતભાર ધરાવતા સ્થિર અને ભારે નુકલિયસની આસપાસ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે અને વિદ્યુતપ્રવાહ I રચે છે જયા ,
I = \( \frac{e}{\mathrm{~T}}\) ………………………… (1)
અહીં T જુએ એક પરિભ્રમણ માટેનો સમય આવર્તકાળ) છે,

ધારો કે r એ ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષાની ત્રિજયા તથા vએ તેની કક્ષીય ઝડપ છે, આથી,
v = \(\frac{2 \pi r}{\mathrm{~T}}\)
∴ T = \( \frac{2 \pi r}{v}\) …………………………………… (2)
સમીકરલ (1) માં (2) ની કિંમત મૂકતાં,
I = \(\frac{e v}{2 \pi r} \) ……………………………. (3) મળે.

આ પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રૉનથી રચાતા વિદ્યુતપ્રવાહ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ (ચાકમાત્રા) મળે છે જેને સામાન્ય રીતે μ_l વડે દર્શાવાય છે.
μ_l = IA
μ_l = I (πr²)
= \(\frac{e v}{2 \pi r}\left(\pi r^2\right) \)
μ_l = \(\frac{e v r}{2} \) …………………………….. (4)

આ ચુંબકીય મોમેન્ટની દિશા આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાન્ને પૃષ્ઠના સમતલમાં અંદરની તરફ છે. (ઋણ વિદ્યુતભાર ધારિત ઇલેક્ટ્રૉન વિષમઘડી ગતિ કરતો હોય તો તેથી પ્રવાહ સમડી મળે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ μ_l ની દિશા અંદર તરફ મળે છે. આંગળીઓ પ્રવાહની દિશામાં રાખો તો અંગૂઠો μ_l, ની દિશા દર્શાવે છે.)

સમીકરણ (4) ની જમણી બાજુને ઇલેક્ટ્રોનના દળ m_e વડે ગુણી અને ભાગતાં,
μ_l = \(\frac{e}{2 m_e}\left(m_e v r\right) \)
પરંતુ, m_evr = ઈલેક્ટ્રૉનનું કથીય કોણીય વેગમાન છે.
(∵ \(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\) = l = rpsinθ = rm_evsin90°=m_evr )
∴ μ_l = \(\frac{e}{2 m_e}(l)\) ……………………………… (5)

સદિશની રીતે,
\(\overrightarrow{\mu_l}=\frac{-e}{2 m_e}(\vec{l})\) ………………………… (6)
ઋણ ચિન દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રૉનનું કોણીય વેગમાન \((\vec{l})\) ચુંબકીય મોમેન્ટ (ચાકમાત્રા) \(\left(\overrightarrow{\mu_l}\right)\) ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. જો -e વિદ્યુતભારેવાળા ઇલેક્ટ્રૉનના સ્થાને + q વિદ્યુતભારિત કણ લીધો હોય, તો કોણીય વેગમાન અને ચુંબકીય મોમેન્ટ એક જ દિશામાં હોય.

સમીકરણ (5) પરથી μ_l, અને l તેનો ગુણોત્તર,
\( \frac{\mu_l}{l}=\frac{+q}{2 m_e}\) …………………………………. (7)
અહીં, આ ગુજ્ઞોત્તરને ગાયરોમૅગ્નેટિક ગુણોત્તર કહે છે. ઇલેક્ટ્રૉન માટે તેનું મૂલ્ય 8.8 x 10¹⁰ C/kg છે, જે પ્રયોગ દ્વારા ચકાસવામાં આવ્યું છે.

પ્રશ્ન 44.
બોહરના પ્રથમ અધિતર્કની મદદથી બોલ્ફ મેઝેટોન સમજાવો.
ઉત્તર:
બોફરે અધિતર્ક આપ્યો કે કોણીય વેગમાન અમુક વિભિન્ન મૂલ્યો નો સમૂહ (Set) ધરાવે છે, જેને બોની
ક્વૉન્ટમીકરણની શરત કહે છે. l = \(n\left(\frac{h}{2 \pi}\right)\) છે, જયાં n એ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
n = 1, 2, 3,…. અને h એ પ્લાન અચળાંક છે.
h = 6.626 x 10-³⁴Js છે,
આપણે જાણીએ છીએ કે,

જયાં “min’ એ લધુતમ મૂલ્ય દેશવિ છે. (μ_l) ના આ લધુતમ મૂલ્યને બોહર મૅગ્નેટોન કહે છે.

પ્રશ્ન 45.
કક્ષીય ચુંબકીય ચાકમાબા અને સ્પિન ચુંબકીય પાકમાત્રા સમજાવો.
ઉત્તર:
વર્તુળમય ગતિ કરતા કોઈ પણ વિધુતભાર સાથે ચુંબકીય મોમેન્ટ સંકળાયેલી હોય છે જેને કક્ષીય ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ) કહે છે.
μ_l = \(\frac{e}{2 m_e}(l)\)
ઇલેક્ટ્રૉનને આંતરિક (પ્રાકૃતિક) ચુંબકીય મોમેન્ટ પણ હોય છે, જેનું મૂલ્ય 9.27 x 10^-24 Am² જેટલું હોય છે જેને સ્પિન ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ) કહે છે.
ઇલેક્ટ્રૉન એ પ્રાથમિક કક્ષ છે. તેને ભમરડા કે પૃથ્વીની જેમ ફરવા માટે કોઈ અલ હોતી નથી. આમ છતાં તે આંતરિક ચુંબકીય ચાકમાત્રા (મોમેન્ટ) ધરાવે છે.

પ્રશ્ન 46.
ગેલ્વેનોમીટર કોને કહે છે ? તેના ઉપયોગો જણાવો.
ઉત્તર:

• વિધુતપ્રવાહ કે વોલ્ટેજ માપનાર પાયાના ઉપકરણને ગૅલ્વેનોમીટર કહે છે,
• સૂક્ષ્મ પ્રવાહના માપન તથા તેની હાજરીની નોંધ લેવા માટે ગેલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ થાય છે.
• ગેલ્વેનોમીટરની રચનામાં યોગ્ય ફેરફાર કરીને વિદ્યુતપ્રવાહનું માપન કરે તેવાં એમીટર, મિલીઍમીટર કે માઇક્રોમીટર બનાવવામાં આવે છે.
• આ ઉપરાંત તેની રચનામાં યોગ્ય ફેરફાર કરીને વોલ્ટેજ માપનાર સાધન વોલ્ટમીટર પણ બનાવવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 47.
ગેલ્વેનોમીટરની આકૃતિ દોરીને તેની ચના અને સિદ્ધાંત સમજાવો.
ઉત્તર:
ગેલ્વેનોમીટરની આકૃતિ દર્શાવી છે.

• ગેલ્વેનોમીટરની રચનામાં પ્રબળ લોહચુંબકના બે અંતગળ અને નળાકાર ધ્રુવો વચ્ચે હલકી લંબચોરસ ફેમ પર તાંબાના પાતળા તાર વીંટાળીને બનાવેલાં લંબચોરસ ગૂંચળાને ધર્ષલરહિત આધાર પર ભ્રમણ કરી શકે તેમ ગોઠવવામાં આવે છે.
• ત્રિજયાવર્તી (કેન્દ્રવર્તી) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવા માટે ગૂંચળાની અક્ષ પર ગૂંચળાને અડકે નહીં તે રીતે નરમ લોખંડનો નાનો નળાકાર રાખવામાં આવે છે.
• આ નળાકારના લીધે બે યુવોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર મળે છે. તેથી ગૂંચળાના ભ્રમણની કોઈ પત્ત સ્થિતિમાં ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો 90° રહે છે.
• તેથી, ગૂંચળા પર ટોર્ક τ = NBIAsinθ અનુસાર મહત્તમ લાગે છે. તેથી ગૂંચળાનું ભ્રમણ થાય છે,
• ગૂંચળાનું ભ્રમણ થતાં તેના છેડે રાખેલી કમાન S_p, માં પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક ઉદ્દભવે છે અને ગૂંચળું સ્થિર કોણાવર્તન દર્શાવે છે,
• ગૂંચળા સાથે જોડેલા દર્શકની મદદથી તેનું સ્થિર કોણાવર્તન જાણી શકાય છે.
• આ દર્શક યોગ્ય સ્કેલ પર ફરી શકે તેવી ગોઠવણ કરેલી હોય છે અને સ્કેલમાં શૂન્યાંક મધ્યમાં રાખેલો હોય છે તેથી વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા પક્ષ જણી શકાય છે.
• સિદ્ધાંત : સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વિધતપ્રવાહધારિત ગૂંચળાને લટકાવતાં તેના પર ટૉર્ક લાગે છે પરિણામે તેનું કોણાવર્તન થાય છે.

પ્રશ્ન 48.
ગેલ્વેનોમીટરનું કાર્ય સમજાવો.
ઉત્તર:
ગૅલવેનોમીટરના ગૂંચળામાંથી 1 પ્રવાહ પસાર કરતાં તેમાં ઉદ્ભવતું ટોફી τ = NIABsinθ છે,
આકૃતિ માટે જુઓ પ્રશ્ન નં. 47 ની આકૃતિ ત્રિજ્યાવર્ત ચુંબકીય ક્ષેત્રના કારણે ગૂંચળાનો પૃષ્ઠ સદિશ \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) ચુંબકીય ક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{B}}\) સામે હંમેશાં θ = 90° ખૂણો રચે છે. તેથી ટોર્ક મહત્તમ મળે છે.
∴ τ_max = NIAB ……………………….. (1)
આ વૈર્કના કારણે ગૂંચળું કોષાવર્તન અનુભવે છે. આ કોણાવર્તનના કારણે કમાનાકાર સિંપ્રગ s_p માં Φ જેટલી વળ ચઢે છે.
સિંપ્રગ s_p માં ઉદ્દભવતું પુનઃસ્થાપક ટોર્ક,
τ ∝ Φ
∴ τ = kΦ …………………….. (2)

આ ટૉર્ક (τ) એ ગૂંચળાના મહત્તમ ટોર્ક τ_max ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે અને મહત્તમ ટૉર્કને સમતોલે છે. તેથી ગૂંચળું સ્થિર કોણાવર્તન દેશવિ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,
∴ τ = τ_max
∴ kΦ = NIAB …………………… (3)

અલ્હીં kએ સ્પ્રિંગનો વળ અચળાંક છે તેને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાશ્ચિત કરી શકાય.
એ કમ બળ દીઠ લાગતાં પુનઃસ્થાપક ટૉકને કમાનાકાર સ્પ્રિંગનો વળ અચળાંક કહે છે.”
બળ અચળાંકનો એકમ \( \frac{\text { જૂલ }}{\text { રૂડિયન }}\left(k=\frac{\tau}{\phi} \text { પરથી }\right)\) છે.
સ્મિગ સાથે જોડેલો દર્શક (પોઇન્ટર) કોણાવર્તન Φ દર્શાવે છે,

આમ,
Φ = \(\left(\frac{\mathrm{NAB}}{k}\right) \mathrm{I} \) …………………………… (4)
કૌંસમાંનું પદ અચળ હોય છે,
∴ Φ ∝ I ……………………….. (5)

પ્રશ્ન 49.
ગેલ્વેનોમીટરને સીધેસીધું પ્રવાહ માપવા માટે નડતી મુશ્કેલીઓ જણાવો.
ઉત્તર:
ગેલ્વેનોમીટરને વિદ્યુતપ્રવાહ માપવા માટે સીધું જ ઍમીટરની જેમ પરિપથમાં ન જોડી શકાય. આ માટેના બે કારડ્યો છે.

• ગેલ્વેનોમીટર ખૂબ જ સંવેદનશીલ સાધન છે. પ્રેમ ના ક્રમના વિદ્યુતપ્રવાહ માટે પણ તે પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન દર્શાવે છે. તેથી વ્યવહારમાં મળતાં પ્રવાહો ન માપી શકાય.
• વિદ્યુતપ્રવાહ માપવા માટે, ગેલ્વેનોમીટરને શ્રેણીમાં જોડવું પડે. આમ કરતાં પરિપથના અવરોધમાં ગૅલ્વેનોમીટરનો અવરોધ ઉમેરાય છે અને મૂળ પ્રવાહ (1) બદલાય

• ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્યાંક મધ્યમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 50.
શંટ એટલે શું ? પરિપથમાં તેનું કાર્ય સમજાવો.
અથવા
ગેલ્વેનોમીટરૂં સીધું જ ઍમીટરની જેમ પરિપથમાં જોતાં ઉદ્ભવતી મુશ્કેલીનું નિવારણ કેવી રીતે કરી શકાય ?
ઉત્તર:
ગેલ્વેનોમીટરને સીધું જ ઍમીટરની જેમ પરિપથમાં જોડતાં ઉદ્દભવતી મુશ્કેલીનું નિવારણ કરવા માટે શંટ વપરાય છે.

શંટ : ગેલ્વેનોમીટરને સમાંતર, ગૅલવેનોમીટરના અવરોધ કરતા નાના મૂલ્યનો જે અવરોધ જોડવામાં આવે છે તેને શંટ (r_s) કહે છે.

શંટ ગેલ્વેનોમીટરને સમાંતર જોડેલ છે અને તેનો અવરોધ (r_s) ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ (R_G) કરતાં ખૂબ ઓછો હોય છે તેથી મોય ભાગનો પ્રવાહ શાંટમાંથી પસાર થઈ જાય છે, ગેલ્વેનોમીટરમાંથી નહિવતું પ્રવાહ પસાર થતાં તે પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન દર્શાવતું નથી. (ગૂંચળું બળી જવાનો ભય રહેતો નથી.)

શૈવેનોમીટર અને ઇંટનો સંયુક્ત અવરોષ = \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{G}} r_s}{\mathrm{R}_{\mathrm{G}}+r_s}\)
પરંતુ, RG >> r_s થવાથી છેદમાં r_s અવગણતાં,
= \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{G}} r_s}{\mathrm{R}_{\mathrm{G}}}\) = r_s

r_s નું મૂલ્ય પરિપથના અવરોધ R કરતાં પ્રમાણમાં નાનું હોવાથી મૂળ પ્રવાહ બદલાતો નથી.
(મૂળ પ્રવાહ I = \(\frac{V}{R} \) શંટ જોડતાં I’ = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}+r_s}\) પરંતુ r_s અવગણતાં પ્રવાહ I’ =\(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}} \) = થાય છે.)

પ્રશ્ન 51.
શંટ એટલે શું ? તેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
શંટ : ગેલ્વેનોમીટરને સમાંતર, ગેલ્વેનોમીટરના અવરોધ કરતા નાના મૂલ્યનો જે અવરોધ જોડવામાં આવે છે તેને શંટ કહે છે.

શંટનું સમીકરણ :
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ R_G છે તેમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ I_G છે.
શંટનો અવરોધ r_s છે તેમાંથી (I – I_G) પ્રવાહ પસાર થાય છે.
A-E-C-D-A બંધગાળા માટે કિર્યોફનો બીજો નિયમ વાપરતાં,
– I_GR_G +r_s(I – I_G) = 0
∴ r_s = \(\frac{R_G I_G}{\left(I-I_G\right)}\)
(I = એમીટરની પ્રવાહ ક્ષમતા છે, I_G = ગૅલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ ક્ષમતા છે.)

પ્રશ્ન 52.
ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ સંવેદિતા એટલે શું ? તે કેવી રીતે વધારી શકાય ?
ઉત્તર:
ગૅલ્વેનોમીટર માટે,
kΦ = NIAB
∴ \(\frac{\phi}{\mathrm{I}}=\frac{\mathrm{NAB}}{k}\)
ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહ સંવેદિતા \(\left(\frac{\phi}{I}\right) \) એટલે એકમ પ્રવાહ દીઠ મળતું આવર્તન.
ગેલ્વેનોમીટરના ગૂંચળાના આયઓની સંખ્યા (N) વધારીને તેની સંવેદિતા વધારી શકાય છે.

પ્રશ્ન 53.
શંટ એટલે શું ? તેની ઉપયોગિતા જણાવો.
ઉત્તર:
શંટ : ગેલ્વેનોમીટરને સમાંતર, ઍલ્વેનોમીટરના અવરોધ કરતા નાના મૂલ્યનો જે અવરોધ જોડવામાં આવે છે તેને શંટ કહે છે. શંટની ઉપયોગિતા :

• ગેલ્વેનોમીટરને વધુ મૂલ્યના વિદ્યુતપ્રવાહો સામે રક્ષણ આપે છે.
• ગેલ્વેનોમીટરમાંથી એમીટર બનાવવા ઉપયોગી છે.
• કાંટનું મૂલ્ય ઘટાડીને ઍમીટરની રેન્જ વધારી શકાય છે.

પ્રશ્ન 54.
ગેલ્વેનોમીટરનો વોલ્ટમીટર તરીકેનો ઉપયોગ જણાવો.
ઉત્તર:
ગૅલ્વેનોમીટરનો ઉપયોગ પરિપથના આપેલ ઘટકના બે છેડાઓ વચ્ચે વોલ્ટેજ વીજ દબાણ) માપવા માટે પણ થઈ શકે છે,

• આ માટે તેને પરિપથના એ ઘટકને સમાંતર જોડવું પડે.
• આ ઉપરાંત તેમાંથી ખૂબ ઓછો પ્રવાહ પસાર થતો હોવો જોઈએ, નહીંતર (મોટા પ્રવાહ પસાર થાય તો) પરિપથના ઘટકના બે છેડા વચ્ચેનો p.d. મૂળ મૂલ્ય કરતાં બદલાઈ જાય છે.
• આ માટે ગેલ્વેનોમીટરની સાથે શ્રેણીમાં મોઢે અવરોધ R જોડવામાં આવે છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે,
• આમ, વૉલ્ટમીટરનો અવરોધ = R_G + R (R ઘણો મોટો અવરોધ છે.)
• વોલ્ટમીટરનો સ્કેલ પ્રમાણિત કરીને અંક્તિ કરવામાં આવે છે કે જેથી વોલ્ટેજનું મૂલ્ય સહેલાઈથી વાંચી શકાય.

પ્રશ્ન 55.
વોલ્ટમીટરની સંવેદિતા ચોટલે શું ? તેનું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
એકમ વોલ્ટ દીઠ મળતાં આવર્તનને વોલ્ટમીટરને સંવેદિતા કહે છે.
\(\frac{\phi}{I}=\frac{\text { NAB }}{k}\)
∴ Φ = \(\left(\frac{\mathrm{NAB}}{k}\right) \mathrm{I}\)
દરેક બાજુ V વડે ભાગતાં,
\(\frac{\phi}{\mathrm{V}}=\left(\frac{\mathrm{NAB}}{k}\right) \frac{\mathrm{I}}{\mathrm{V}}\)
પરંતુ, \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{V}}=\frac{1}{\mathrm{R}}\) લેતાં,
∴ \(\frac{\phi}{V}=\left(\frac{\mathrm{NAB}}{k}\right) \frac{1}{\mathrm{R}}\)
જે વોલ્ટમિટરની સંવેદિતાનું સમીકરણ છે,

પ્રશ્ન 56.
સમજાવો : “પ્રવાહ સંવેદિતા વધારીએ તો વોટેજ સંવૈદિતા વધે એવું જરૂરી નથી”,
ઉત્તર:
ઍમીટરની પ્રવાહ સંવેદિતા નીચેના સમીકરણ પરથી આપી શકાય,
\(\frac{\phi}{\mathrm{I}}=\frac{\mathrm{NAB}}{k} \) …………………….. (1)
છે આ સમીકરણમાં N → 2N એટલે કે આંટાની સંખ્યા બન્ની કરીએ તો
\(\frac{\phi}{I}=\frac{2 \phi}{I}\)

આમ, પ્રવાહ સંવેદિતા વધીને બમણી થાય છે પરંતુ, આથી ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ પણ બમણો થાય છે, કારણ કે, આંટની સંખ્યા બમણી કરવા માટે તારની લંબાઈ બમણી કરવી પડે. R ∝ l પ્રમાણે અવરોધ પણ બમશ્નો થાય છે.
વોલ્ટેજ સંવેદિતા,
\(\frac{\phi}{\mathrm{V}}=\left(\frac{\mathrm{NAB}}{k}\right)\left(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{V}}\right)=\left(\frac{\mathrm{NAB}}{k}\right) \frac{1}{\mathrm{R}} \)
જે N → 2N અને R → 2R કરીએ, તો વોલ્ટેજ સંવેદિતા બદલાતી નથી.
\(\frac{\phi}{V} \rightarrow \frac{\phi}{V} \)
આમ, પ્રવાહ સંવેદિતા વધારીએ તો વોલ્ટેજ સંવૈદિતા વર્ષે તેવું જરૂરી નથી.

પ્રશ્ન 57.
ચોમીટર અને વોલ્ટમીટરનો તફાવત લખો.
ઉત્તર:

ચોમીટર	વોલ્ટમીટર
1. આ પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ માપે છે.	1.  આ પરિપથના ધટકના બે છેડા વચ્ચેનો p.d. માપે છે.
2. પ્રવાહ માપવા માટે એમીટરને ધટકની સાથે શ્રેણીમાં જો વય છે.	2. p.d. માપવા માટે વોલ્ટમીટરને ઘટકની સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે.
3. મીટરનો અવરોધ ઘણો જ ઓછો હોય છે. આદર્શ ચોમીટરનો અવરોધ શૂન્ય છે.	3. વોલ્ટમીટરનો અવરોધ પણો જ વધારે હોય છે. આદર્શી વાલ્ટમીટરનો અવરોધ અનંત છે.
4. ગૅલ્વેનોમીટરને સમાંતરમાં લઘુ અવરોધ જોડવાથી ઍમીટર બને છે.	4. ગિલ્વેનોમીટરની સાથે શ્રેણીમાં ગુરુ અવરોધ જોડવાથી વોલ્ટમીટર બને છે.

પ્રશ્ન 58.
વિધુતપ્રવાહ માપક (મીટર) નો અવરોધ શાથી શક્ય એટલો ઓછો હોવો જોઈએ ?
ઉત્તર:

• પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહ માપવા માટે એ મીટરને ઘટક (એવરોધની સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
• જો એમીટરનો અવરોધ R₁ હોય અને પરિપથનો અવરોધ R હોય તો, ઍમીટર જોડ્યા બાદ પરિપથનો કુલ અવરોધ R + R₁ થાય.

• આથી પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ I = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}+\mathrm{R}_1}\) થાય, જે ખરેખર સાચો પ્રવાહ ન હોય પણ ઘટેલો પ્રવાહ હોય છે.
• આ ઉપરાંત એમીટર બનાવવા જોડેલો શંટ લધુ અવરોધનો હોવાથી તેમાંથી મોટા પ્રમાણમાં પ્રવાહ પસાર થઈ જતો હોવાથી તેના તારનાં ગૂંચળાને રક્ષણ મળે છે.

દર્પણાના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં પ્રોટોનની ફરતે ઇલેક્ટ્રોન 2 x 10⁶ ms^-1ની ઝડપથી 5.2 x 10^-11m ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે, તો કક્ષાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધો.
ઉત્તર:
v = 2 x 10⁶ ms^-1
r = 5.2 x 10^-11 m
e = 1.6 x 10^-19 C
કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રૉનની આવૃત્તિ v = \(\frac{v}{2 \pi r}\)
અહીં, વિદ્યુતપ્રવાહ
I = ve = \(\frac{v}{2 \pi r} \times e\)
= \(\frac{2 \times 10^6}{2 \times 3.14 \times 5.2 \times 10^{-11}} \times 1.6 \times 10^{-19}\)
= 9.8 × 10^-4A

વર્તુળાકાર કક્ષાના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = \(\frac{\mu_0 I}{2 r}\)
= \( \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 9.8 \times 10^{-4}}{2 \times 5.2 \times 10^{-11}}\)
∴ B = 11.8T

પ્રશ્ન 2.
એક અવાહક દ્રવ્યની બનેલી R ત્રિજ્યાની એક તકતી પર Q જેટલો વિધુતભાર સમાન રીતે પથરાયેલો છે. હવે આ તકતીને તેની ભૌમિતિક અક્ષ ફરતે આવૃત્તિથી ભ્રમણ કરાવવામાં આવે, તો તકતીના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય પ્રેરણ શોધો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ધારો કે R નિયાવાળી તકતીને સમકેન્દ્રિત જુદી-જુદી ત્રિજ્યાવાળી રિંગોની શ્રેણીમાં વિભાજિત કરી શકાય.

આમાંની કોઈ એક રિંગની ત્રિજયા r તથા જઈ dr છે. તકતી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર Q છે, તેથી એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ
વિધુતભાર = \(\frac{\mathrm{Q}}{\pi \mathrm{R}^2}\) = (રિંગનું ક્ષેત્રફળ) x (એકમ ક્ષેત્રફળ પર રહેલો વિદ્યુતભાર) .
∴ તેથી r ત્રિજયાવાળી ધટક રિંગ પર વિદ્યુતભાર
= (2πr .dr) \(\left(\frac{\mathrm{Q}}{\pi \mathrm{R}^2}\right) \)

જો આ તકતી v આવૃત્તિથી ભ્રમણ કરતી હોય તો રિંગ પરના | વિદ્યુતભારને લીધે ઉદ્દભવતો પ્રવાહ [I = \(\frac{\mathrm{Q}}{\pi \mathrm{R}^2}\)2πr .dr.v] થાય.
આ પ્રવાહને લીધે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
dB = \(\frac{\mu_0 I}{2 r} \)
= \(\frac{\mu_0 \mathrm{Q} 2 \pi}{\pi \mathrm{R}^2} \frac{r d r}{2 r} \mathrm{v}\) = \(\frac{\mu_0 \mathrm{Qv}}{\mathrm{R}^2} \cdot d r\)

સા પ્રવાહને લીધે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
dB = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 r}\)
= \(\frac{\mu_0 \mathrm{Q} 2 \pi}{\pi \mathrm{R}^2} \frac{r d r}{2 r} \mathrm{v}\) = \(\frac{\mu_0 \mathrm{Qv}}{\mathrm{R}^2} \cdot d r\)
∴ સમગ્ર તકતીને લીધે ઉદૂભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દશર્વિલ બિંદુ O પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધો. O બિંદુ પાસે તાર એક્બીજાને મળતા નથી. બિંદુ O તારના નીચેના ખાંચાઓથી અત્યંત નજીક છે.

ઉત્તર:
અહીં, બિંદુ O એ સમક્ષિતિજ પ્રવાહોની દિશા પર જ છે. પરિણામે તેમને કારણે બિંદુ O પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉદ્દભવતું નથી. વળી, O બિંદુ ત્રિજયાવર્તી પ્રવાહોની દિશાઓ પર પણ આવે છે. આથી તેમને કારણે પણ બિંદુ 0 પાસે કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉદ્દભવે નહિ.
હવે ચાપ માટે આપન્ને R ત્રિજપાની n આંટાવાળી, વિદ્યુતવહન કરતી રિંગના કેન્દ્ર પર ઉદ્દભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેના સૂત્ર અનુસાર,
B = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I}}{2 \mathrm{R}}\) (પુસ્તકના પાનામાં અંદર જતી દિશામાં)
ચાપની લંબાઈ = Rθ
હવે, જો ચાપની લંબાઈ 2πR હોય, તો એક આંટે કહેવાય, તેથી ચાપની લંબાઈ Rθ હોય તો

આંટની સંખ્યા, n = \(\frac{\mathrm{R} \theta}{2 \pi \mathrm{R}}=\frac{\theta}{2 \pi}\)
સૂત્ર (1)માં 1નું આ મૂલ્ય મૂક્તાં,
B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I} \theta}{2 \mathrm{R} \times 2 \pi}\)
∴ B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I} \theta}{4 \pi \mathrm{R}}\) (પુસ્તકના પાનામાં અંદર જતી દિશામાં)

પ્રશ્ન 4.
એક નિયમિત આડછંદવાળા બાર વર્ષે એક વર્તુળ બનાવવામાં આવેલ છે. આ વર્તુળના પરિઘ પરનાં કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચે બેટરી જોડવામાં આવી છે, તો સાબિત કરો કે આ વર્તુળના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય પ્રેરણ (B) શૂન્ય છે. (Kerala PMT 2001)
ઉત્તર:
આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ A અને B બિંદુઓ વચ્ચે બેટરી જોડેલ છે, તારનો આડછેદ નિયમિત હોવાથી, તારના કોઈ ભાગનો અવરોધ તે ભાગની લંબાઈના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
(∵ R = ρ\(\frac{l}{\mathrm{~A}}\))

ધારો કે એકમ લંબાઈના તારનો અવરોધ R’ છે.
તાર ACBની લંબાઈ = l₁
તાર ADBની લંબાઈ = l₂
∴ તારે ACBનો અવરોધ R₁ = R’l₁
તાર ADB માં અવરોધ = R₂ = R’l₂
તાર ACBમાં વિધુતપ્રવાહ = I₁
તાર ADBમાં વિદ્યુતપ્રવાહ = I₂

આ બે ભાગ ACB અને ADB એ A અને B બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાયેલા છે.
V = I₁R₁ = I₂R₂
= I₁(R’l₁) = I₂ (R’l₂)
∴ I₁l₁ = I₂l₂
તારનો દરેક સૂક્ષ્મ પ્રવાહ-ખંડ, તેની સાપેક્ષે O બિંદુના સ્થાનસદિશને લંબ છે.
∴ બાયો-સાવટના નિયમ પરથી O બિંદુએ ACB ને લીધે મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B₁ = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I}_1 l_1 \sin 90^{\circ}}{r^2}\)

અને ADBને લીધે મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B₂ = \(\frac{\mu_0}{4 \pi} \frac{\mathrm{I}_2 l_2 \sin 90^{\circ}}{r^2}\)
I₁l₁ = I₂l₂, હોવાથી, B₁ = B₂ મળે.
જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ B₁ અને B₂, ની દિશાઓ પરસ્પર વિરોધી છે, આથી O આગળનું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર શુન્ય થશે.

પ્રશ્ન 5.
એક ગેલ્વેનોમીટરના ડાયલ પર 21 કાપાઓ (શૂન્યથી 20) એટલે કે 20 વિભાગો (divisions) છે. તેમાં 10 A પ્રવાહ પસાર કરતાં તેનું 1 division જેટલું આવર્તન થાય છે. તેનો અવરોધ 20 Ω છે, તો તેને
(a) 1A પ્રવાહ માપી શકે તેવા મીટરમાં કેવી રીતે ફેસ્વશો ?
(b) હવે મૂળ ગેલ્વેનૌમીટર 1 V વીજસ્થિતિમાનનો તફાવત માપે તેવા વોલ્ટમીટરમાં કેવી રીતે ફૈરવશો ? તથા ઉપર્યુક્ત બંને મીટરનો અસફાક અવરોધ શોધો.
ઉત્તર:
(a) ગેલ્વેનોમીટરના દર્શકનાં 1 division દીઠ 10 μA પ્રવાહ પસાર થાય છે.
∴ ગેલ્વેનોમીટરના વડે મપાતો મહત્તમ પ્રવાહ = I_G
= 10 x 10^-6 x 20.
= 200 x 10^-6 A
I_G = 200 x 10^-6A, G = 20Ω, I = 1A
એમીટર માટે ગેલ્વેનોમીટરને સમાંતર જરૂરી શુંટ
∴ S = \(\frac{\mathrm{GI}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{I}-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}} \)
= \(\frac{20 \times 200 \times 10^{-6}}{1-200 \times 10^{-6}}\)
∴ S ≈ 0.004 Ω
આ ઍમીટરનો અસરકારક અવરોધ,
G’ = \(\frac{\mathrm{GS}}{\mathrm{G}+\mathrm{S}}\)
= \(\frac{20 \times 0.004}{20+0.004}\)
∴ G’ ≈ 0.004 Ω

(b) વોલ્ટમીટર માટે : ગેલ્વેનોમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા જરૂરી શૈલ્લી અવરોધનું સૂત્ર,
R_s = \( \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}}}-\mathrm{G}\)
= \(\frac{1}{2 \times 10^{-4}}-20\)
= 0.5 × 10⁴ – 20
અહીં I_G = 2 x 10⁴A
G = 20 Ω
V = 1V
= 5000 – 20
= 4980 Ω

વોલ્ટમીટરનો અવરોધ = R_s + G
= 1980 + 20
= 5000 Ω

પ્રશ્ન 6.
અતિ લાંબા બે સમાંતર તારો વચ્ચેનું લંબાઅંતર 0.2 m છે. પ્રથમ તારમાંથી 4 A અને બીજા તારમાંથી 6 A વિધુતપ્રવાહ એક જ દિશામાં વહે છે. આ બંને તારોને લંબરૂપે જોડતી રેખા પર ક્યા બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા શૂન્ય થશે ?

ઉત્તર:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર ધારો કે I₁ વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારથી x અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે.
I₁ અને I₂ વિધુતપ્રવાહધારિત તારોમાંથી એક જ દિશામાં પ્રવાહ વહેતો હોવાને કારણે બિંદુ P પાસે ચુંબકીય ક્ષેત્રોની દિશા વિરુદ્ધ થશે.
∴ B₁ = B₂
∴ \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1}{2 \pi x}=\frac{\mu_0 \mathrm{I}_2}{2 \pi(0.2-x)}\)
∴ \(\frac{4}{x}=\frac{6}{0.2-x}\)
∴ 4(0.2 – x) = 6x
∴ 0.8 -4x = 6x
∴ 10x = 0.8
∴ x = 0.08 m
∴ x = 80 mm

પ્રશ્ન 7.
એક અતિ લાંબા તારને પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રની ક્ષતિજ તીવ્રતાને લંબરૂપે ઉd ગોઠવ્યો છે, આ તારમાંથી કેટલો વિધુતપ્રવાહ પસાર કરીએ કે જેથી તાસ્થી 10 cm લંબાંતરે આવેલો એક બિંદુએ ચુંબકીય પ્રેરણ શું થાય ? આ બિંદુની સામેની બાજુએ તારથી 10 crn અંતરે પરિણામી ચુંબકીય પ્રેરણ કેવું હશે ? પૃથ્વીનું ચુંબકીય પ્રેરણ = 0.36 × 10^-4 T તથા µ₀= 4π x 10^-7 Tm/A.
ઉત્તર:
B_h = 0.36 x 10^-4 T
µ₀ = 4π x 10^-7 \( \frac{\mathrm{Tm}}{\mathrm{A}}\)
y = 10 cm = 10^-1 m

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બિંદુ o પાસે વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તારે પાનાને લંબરૂપે હોય છે.

તેમાંથી પ્રવાહ પાનાને લંબરૂપે બહાર તરફ આવે છે.
બિંદુ P પાસે વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તાર વડે ઉદ્દભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને પૃથ્વીનાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હો. .
∴ B = B_h
∴ \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi y}\) = B_h
I = \(\frac{2 \pi y \mathrm{~B}_h}{\mu_0}\)
= \(\frac{0.36 \times 10^{-4} \times 2 \times \pi \times 10 \times 10^{-2}}{4 \pi \times 10^{-7}}\)
∴ I = 18 A

બિંદુ Q પાસે કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર = B’ = B + B_h
∴ B’ = 2B_h
= 2 x 0.36 x 10^-4
∴ B’ = 0.72 x 10^-4T

પ્રશ્ન 8.
શંટ જોડેલા એક ગેલ્વેનોમીટરને વિધુતપરિપથમાં જોડતાં કલ વિધુતપ્રવાહનો 2% વિદ્યુતપ્રવાહ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો હોય તથા ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ ઉ હોય, તો ઈંટનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
કુલ વિદ્યુતપ્રવાહનો 2% વિદ્યુતપ્રવાહ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો હોવાથી,
I_G = 1 ના 2% = \(\frac{2}{100} \mathrm{I} \)
∴n = \(\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}_{\mathrm{G}}}=\frac{\mathrm{I}}{\frac{2}{100} \mathrm{I}}\)
∴ n = 50
∴ રાંટ S = \(\frac{\mathrm{G}}{n-1}=\frac{\mathrm{G}}{50-1}=\frac{\mathrm{G}}{49}\)

પ્રશ્ન 9.
M₁ અને M₂ દળવાળા સમાન વિધુતભાર ધરાવતા બે કણો સમાન વીજસ્થિતિમાનના તફાવત વડે પ્રવેશિત થયા બાદ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે. તેમના વર્તુળમય ગતિપથની ત્રિજ્યા અનુક્રમે R₁ અને R₂ હોય, તો તેમનાં દળોનો ગુણોત્તર શોધો. (ઓક્ટ 2013)
ઉત્તર:
M₁ અને M₂ દળવાળા સમાન વિધુતભાર ધરાવતા બે કલ્લો ધારો કે V સ્થિતિમાન હેઠળ ગતિ કરે છે.
M₁ દળવાળા કણ માટે, qV = \(\frac{1}{2}\) M₁v₁²
M₂ દળવાળા કક્સ માટે, qV = \(\frac{1}{2}\) M₂v₂²
∴ \(\frac{1}{2}\) M₁v₁² = \(\frac{1}{2}\) M₂v₂² …………………… (1)

સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થયા બાદ બંને કર્તા પર કેન્દ્રગામી બળ લાગવાને કારશ્ને તે વર્તુળમય ગતિ કરે છે.
M₁ દળવાળા કશ માટે, \(\frac{\mathrm{M}_1 v_1^2}{\mathrm{R}_1}\) = qv₁B
∴ \(\frac{\mathrm{M}_1 v_1}{\mathrm{R}_1}\) = qB

તે જ રીતે M, દળનાં કન્ન માટે, \(\frac{\mathrm{M}_2 v_2^2}{\mathrm{R}_2}\) = qv₂B
∴ \(\frac{\mathrm{M}_2 \nu_2}{\mathrm{R}_2}\) = qB
∴ \(\frac{\mathrm{M}_1 v_1}{\mathrm{R}_1}\) = \(\frac{\mathrm{M}_2 v_2}{\mathrm{R}_2} \)
∴ \(\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2} \) = \(\frac{v_2}{v_1} \frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\)

સમીકરણ (1) પરથી, \(\frac{v_2}{v_1}=\left(\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}\right)^{\frac{1}{2}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}=\left(\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\)
∴ \(\left(\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\)
∴ \(\frac{\mathrm{M}_1}{\mathrm{M}_2}=\left(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}\right)^2\)

પ્રશ્ન 10.
સમાન ગતિ-ઊર્જા ધરાવતું એક પ્રોટોન અને એક ડ્યુટેરોન આયન, એકસાથે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રે લેબરૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે. જો ડ્યુટેરોનનું દળ, પ્રોટોનના દળ કરતાં બમણું હોય, તો તેમના વર્તુળમય ગતિપથની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે દાખલ થતાં વીજભારિત કણનો ગતિપથ | વર્તુળાકાર હોય છે. વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કણ ઉપર લાગતું ચુંબકીયબળ qvB પૂરું પાડે છે.
∴ \(\frac{m v^2}{r} \) = qvB
∴ \(\frac{m v}{r} \) = qB = \( \frac{p}{r}\)

પ્રોનની ગતિ માટે, \(\frac{m_p v_p}{r_p}\) = Bq = \(\frac{p_p}{r_p}\) ………………………….. (1)
ટેરોનની ગતિ માટે, \(\frac{m_d v_d}{r_d}=\mathrm{B} q=\frac{p_d}{r_d}\) ………………………….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,

પ્રશ્ન 11.
X અને Y વલયોની ભૌમિતિક આક્ષ અનુક્રમે X અને Y ચાલો પર સંપાત થાય તે રીતે ગોઠવેલ છે. વલય X અને Y ની સમાન ત્રિજ્યાનું મૂલ્ય 3.14 cm છે. જો X અને Y| વલયોમાંથી વહેતા વીજપ્રવાહો અનુક્રમે 0.6 A અને 0.8 A હોય, તો ગમબિંદુ પર સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય શોધો. (μ_o = 4 x 10^-7 SI)
ઉત્તર:
X વલયમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહ I₁ = 0.6 A ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B₁ = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}_1}{2 r}\) ……………………….. (1)
Y વલયમાંથી પસાર થતાં પ્રવાહ I₂ = 0.8A ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B₂ = \(\frac{\mu_0 I_2}{2 r} \) …………………………………. (2)

ઉગમબિંદુ પાસે ઉદ્ભવતું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{B}}_1+\overrightarrow{\mathrm{B}}_2 \)
∴ B = \(\sqrt{\mathrm{B}_1^2+\mathrm{B}_2^2}\)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,

પ્રશ્ન 12.
એક અતિ લાંબા સુરેખ તારમાંથી 5A નો વિધુતપ્રવાહ વહે છે. એક ઇલેક્ટ્રોન તારને સમાંતર રહી 10 cm દૂર 10⁶ ms^-1ના વેગથી વિધુતપ્રવાહની દિશાથી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોય તો ઇન્હેક્ટ્રોન પર લાગતા બાળનું મૂલ્ય શોધો. (અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ અચળ રવીકારેલ છે.)
e = -1.6x 10^-19C, μ_o = 4π x 10^-7SI. (ઓક્ટ 2015)
ઉત્તર:
I = 5 A,
v = 10⁶ m/s
y= 0.1 m
e = 1.6 x 10^-19 C
μ_o = 4π x 10^-7SI

વાહકતારથી y અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi y}\)
= \( \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 5}{2 \pi \times 0.1}\)
∴ B = 10^-5 T

આ ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃષ્ઠને લંબ છે. ઇલેક્ટ્રૉન વિદ્યુતપ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી v અને B પરસ્પર લંબ હોય.
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ sin θ = sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1
હવે, \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=e(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\)
= Bev sinθ = Bev
= 10^-5 x 1.6 x 10^-19 x 10⁶
= 16 x 10^-19 N

પ્રશ્ન 13.
આકૃતિમાં દશાવેલ તારમાંથી 6A નો વિધુતપ્રવાહ પસાર થાય છે. C બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું માન નક્કી કરો. ત્રિજ્યા 0.2 m છે. (μ_o = 4π x 10^-7T mA^-1).

ઉત્તર:
I = 6 A, a = 0.2 m, θ = 90° = \(\frac{\pi}{2}\)
μ_o = 4π x 10^-7 TmA^-1
B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}(2 \pi-\theta)}{4 \pi a}\)
= \(\frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 6\left(\frac{3 \pi}{2}\right)}{4 \pi \times 0.2}\)
= 1.41 x 10^–5 T

વિશેષ માહિતી : Higher Order Thinking Skills (HOTS)

પ્રવાહ્યારિત સુરેખ તાર્થી ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા જાણવા માટેનો નિયમ જણાવો અને આ દિશા કેવી રીતે નક્કી કરી શકાય છે ? જમણા હાથના અંગૂઠાનો નિયમ.

આમ વાહક તારને જમણા હાથમાં એવી રીતે પકડીએ કે જેથી અંગૂઠો પ્રવાહની દિશામાં રહે અને આંગળીઓ તારને વીંટળાય, તો આંગળીઓ તાર પર જે રીતે વીંટળાય છે તે રીતે વર્તુળાકાર બંધગાળાઓ રચતી ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ હોય છે.

NEET, JEE અને GUJCET માટે
(1) I વિદ્યુતપ્રવાહધારિત R ત્રિજ્યાની ચાપ વર્તુળના કેન્દ્ર પાસે θ ખૂણો આંતરે છે તો કેન્દ્ર પરનું
યુંબડીય ક્ષેત્ર B = \( \frac{\mu_0 \mathrm{I} \theta}{4 \pi \mathrm{R}}\)

(2) વાહક રિંગના પરિષ પરના કોઈ પણ બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતકોષ જોડવામાં આવે તો રિંગના કેન્દ્ર પર મળતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(3) સમકેન્દ્રીય રિંગની બે અક્ષ વચ્ચે θ ખૂણો છે. તેમાંથી પસાર થતાં વિદ્યુતપ્રવાહના કારણે રિંગના કેન્દ્ર પર મળતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રો અનુક્રમે \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_1\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_2\) છે તો તેમના કેન્દ્ર પર મળતું પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર,

\(\overrightarrow{\mathrm{B}}=\overrightarrow{\mathrm{B}_1}+\overrightarrow{\mathrm{B}_2} \)
∴ \( |\overrightarrow{\mathrm{B}}|=\sqrt{\mathrm{B}_1^2+\mathrm{B}_2^2+2 \mathrm{~B}_1 \mathrm{~B}_2 \cos \theta}\)
જે બે અઠ્ઠો પરસ્પર લંબ હોય, તો

\( \overrightarrow{\mathrm{B}}|=\sqrt{\mathrm{B}_1^2+\mathrm{B}_2^2}\)

મહત્વના પરિણામો
a ત્રિજ્યાનો અનંત લંબાઈના વાહકતારમાંથી I પ્રવાહ પસાર થાય છે, તો તારથી r જેટલા લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે પ્રમાણે મળો.

(i) r > a (ત્રિજ્યા તારની બહારના
વિસ્તારના બિંદુ માટે,
B_out = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi r}\)
B_out ∝ \(\frac{\mathrm{I}}{r}\)

(ii) r < a તારની અંદરના વિસ્તારના બિંદુ માટે,
B_in = \(\left(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi a^2}\right) r\)
∴ B_in ∝ r

(iii) તારની અલ પરના બિંદુએ (r = 0) તેથી B_સક્ષ = 0
(વિશેષ સમજૂતી માટે જુઓ ઉદાહરણ 4.B)

(iv) મર્યાદિત લંબાઈના તારથી r જેટલા લંબ અંતરે બહારના
બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર (બાયો-સાવર્ટના નિયમ પરથી)

B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{4 \pi r}\) (sin θ₁ +sin θ₂)
B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{4 \pi r}\) (cos α₁ + cos α₂)
(a) જો અનંત લંબાઈનો તાર લઈએ તો,
θ₁ = θ₂ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{4 \pi r}(2)=\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{2 \pi r} \) મળે.

(b) તારનો એક છેડો અનંત અંતરે છે અને બીજા છેડેથી r લંબઅંતરે P બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવું છે.

B = \(\frac{\mu_0 I}{4 \pi r}\) (sinθ₁ + sinθ₂) માં θ₁ = 0 અને θ₂ = \(\frac{\pi}{2} \) rad લેતાં, B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{I}}{4 \pi r}\)

વિધુતપ્રવાહધારિત પરિમિતિ, લંબાઈના સોલેનોઇડની અંદરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર

બાય-સાવર્ટના નિયમનો ઉપયોગ કરી તેના અંદરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય,
B = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I}}{2}\left(\sin \alpha_1+\sin \alpha_2\right]\)
જ્યાં µ₀ = શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિય
n = સોલેનોઇડના એકમ લંબાઈદીઠ આંટાની સંખ્યા
I = સૉલેનોઇડમાંથી વહેતો પ્રવાહ

α₁ અને α₂ = સોલેનોઇડના બે છેડાઓને અનુલક્ષીને આપેલા બિંદુ પાસે લંબ સાથે બનતો ખૂણો.
તથા B = \(\frac{\mu_0 n \mathrm{I}}{2}\left[\cos \theta_1+\cos \theta_2\right]\)
જયાં θ₁ = 90° – α₁ , અને θ₂ = 90° – α₂ તથા છે, θ₁ અને θ₂ તેના મધ્યબિંદુને છેડાઓ સાથે જોડતાં છેડા પાસે બનતા ખુણા છે.

R_G અવરોધવાળા પ્રવાહ માપક (ગેલ્વેનોમીટર)ની પ્રવાહક્ષમતા n ગણી કરવા જરૂરી શુંટનું સૂત્ર મેળવો.
R_G અવરોધવાળા ગેલ્વેનોમીટરની પ્રવાહલમતા I_G છે.
આ પ્રવાહ ક્ષમતા n ગણી કરતાં તેની નવી પ્રવાહશમતા I મળે.
∴ I= nI_G

ગૅલ્વેનોમીટરનું I પ્રવાહ માપે તેવાં ઍમીટરમાં રૂપાંતર કરવા જરૂરી શંટ R_s હોય તો,
R_s = \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{G}} \mathrm{I}_{\mathrm{G}}}{\mathrm{I}-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}}\)
પરંતુ I= nI_G મૂકતાં,
R_s = \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{G}} \mathrm{I}_{\mathrm{G}}}{n \mathrm{I}_{\mathrm{G}}-\mathrm{I}_{\mathrm{G}}}\)
R_s = \(\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{G}}}{n-\mathrm{I}}\)
(નોંધ : શંટનો અવરોધ s અને ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ G લેતાં S = \(\frac{\mathrm{G}}{n-\mathrm{I}}\) મળે.)