GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :

પ્રશ્ન 1.
એક તારને ખેંચીને તેની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે. નીચેનાં પૈકી કયું વિધાન આ સંદર્ભમાં ખોટું છે?
A. તેનું કદ અચળ રહે છે.
B. સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ = 1 થાય છે.
C. પ્રતિબળ = યંગ મૉડ્યુલસ
D. પ્રતિબળ = 2 (યંગ મૉડ્યુલસ)
ઉત્તર:
D. પ્રતિબળ = 2 (યંગ મૉડ્યુલસ)
Hint : ધારો કે, તારની લંબાઈ L છે. તે બમણી થતાં લંબાઈમાં વધારો ΔL = L’ – L = 2L – L = L થાય.
∴ સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ ε₁ = \(\frac{\Delta L}{L}=\frac{L}{L}\) = 1
∴ સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ = 1 છે.

• હવે, યંગ મૉડ્યુલસ Y =
  પણ સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ \(\frac{\Delta L}{L}\) = 1 છે.
  ∴ Y = પ્રતિબળ
  એટલે કે પ્રતિબળ = યંગ મૉડ્યુલસ
• તારને ખેંચીને લંબાઈ વધારીએ તો તેનું કદ અચળ જ રહે છે.
• આથી વિકલ્પ D ખોટો છે.

પ્રશ્ન 2.
દઢતા અંક(આકાર સ્થિતિસ્થાપકતા અંક)નું પારિમાણિક સૂત્ર કયું છે?
A. M¹L¹T^-2
B. M¹L^-1T^-2
C. M¹L¹T^-2
D. M¹L^-2T^-2
ઉત્તર:
B. M¹L^-1T^-2
Hint : દૃઢતા (આકાર સ્થિતિસ્થાપકતા) અંક,

પ્રશ્ન 3.
એક દઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલ એક તાર પર 20 kg થી વધુ દળ લટકાવતાં તે તૂટી જાય છે. આ જ દ્રવ્યના બનેલા બીજા અડધી ત્રિજ્યાવાળા તાર પર લટકાવી શકાતું મહત્તમ દળ કેટલું હશે?
A. 20 kg
B. 5 kg
C. 80 kg
D. 160 kg
ઉત્તર:
B. 5 kg
Hint : તારને તોડી નાખવા માટેનું બળ (બ્રેકિંગ બળ) σ_u
= અંતિમ તણાવ પ્રબળતા σ_u
= Mg
= કદ × ઘનતા × g
= AL × d × g
જ્યાં, A = તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ
d = તારના દ્રવ્યની ઘનતા
L = તારની લંબાઈ
∴ બ્રેકિંગ બળ ∝ A (∵ અહીં L, d, g અચળ)
∴ બ્રેકિંગ બળ ∝ r²
F ∝ r²
∴ \(\frac{F_2}{F_1}=\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2\)
∴ \(\frac{m_2 g}{m_1 g}=\left(\frac{r_1}{2}\right)^2\)
∴ \(\frac{m_2}{20}=\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
∴ m₂ = 20 × \(\frac{1}{4}\)
∴ m₂ = 5 kg

પ્રશ્ન 4.
એક ધાતુના બનેલા L લંબાઈના અને m જેટલા દળના સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A છે. આ સળિયાને દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલ છે. આ સળિયાના નીચેના છેડે M દળ લટકાવવામાં આવે છે, તો સળિયાના ઉપરના છેડેથી \(\frac{3 L}{4}\) અંતરે આવેલા આડછેદ ૫૨ પ્રતિબળ કેટલું હશે?
A. Mg/A
B. (M + m / 4) g/A
C. (M + 3 m) g/A
D. (M + \(\frac{3}{4}\)m) g/A
ઉત્તર :
B. (M + m /4) g/A
Hint : L લંબાઈના સળિયાનું દળ m અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A છે.
સળિયાના ઉપરના છેડેથી \(\frac{3 L}{4}\) અંતરે આવેલ આડછેદ માટે હવે સળિયાનો \(\frac{L}{4}\) લંબાઈનો ભાગ તેની નીચે રહે.
∴ આ નીચેના \(\frac{L}{4}\) લંબાઈના સળિયાનું દળ = \(\frac{m}{4}\)
અને \(\frac{L}{4}\) લંબાઈના સળિયાનું વજન = \(\frac{m g}{4}\)

સળિયાના નીચેના છેડે લટકાવેલ M દળનું વજન = Mg
∴ માગેલ આડછેદ પાસે કુલ વજન = Mg + \(\frac{m}{4}\) g
∴ આ આડછેદ પાસે પ્રતિબળ =
= \(\frac{M g+\frac{m}{4} g}{A}\)
= \(\left(M+\frac{m}{4}\right) \frac{g}{A}\)

પ્રશ્ન 5.
અહીં સમાન દ્રવ્યના ચાર તારની લંબાઈ અને વ્યાસનાં મૂલ્ય આપેલ છે. દરેકના છેડે સમાન દળ લટકાવતાં કયા તારની લંબાઈમાં થતો વધારો મહત્તમ હશે?
A. l = 0.5 m, d = 0.05 mm
B. l = 1 m, d = 1 mm
C. l = 2 m, d = 2 mm
D. l = 3 m, d = 3 mm
ઉત્તર:
A. l = 0.5 m, d = 0.05 mm
Hint :

= 0.33 × 10⁶ m^-1
અહીં, A અવલોકન માટે \(\frac{l}{d^2}\) નું મૂલ્ય સૌથી વધુ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ A છે.

પ્રશ્ન 6.
10^-6m² જેટલું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તારને 100 N સંગત (પ્રતાન) બળ આપતાં તેની લંબાઈમાં 1 % વધારો થાય છે, તો દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ ………………. છે.
A. 10¹² Pa
B. 10¹¹ Pa
C. 10¹⁰ Pa
D. 10² Pa
ઉત્તર:
C. 10¹⁰ Pa
Hint : યંગ મૉડ્યુલસ,
Y = \(\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta L}{L}}\)
= \(\frac{100}{10^{-6} \times 0.01}\)
= 10¹⁰ Pa

અહીં, F = 100 N
A = 10^-6m²
\(\frac{\Delta L}{L}\) = 1%
= 0.01

પ્રશ્ન 7.
સમાન પરિમાણ ધરાવતાં કૉપર અને સ્ટીલના તારના છેડા જોડીને સંયુક્ત તાર બનાવ્યો છે. આ સંયુક્ત તારને દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવી તારના નીચેના છેડે વજન લટકાવતાં તેમની લંબાઈમાં થતા અનુરૂપ વધારાનો ગુણોત્તર …………….. છે.
Y_{સ્ટીલ} \(\frac{20}{7}\) Y_કાપર
A. 20 : 7
B. 10 : 7
C. 7 : 20
D. 1 : 7
ઉત્તર : ક
A. 20 : 7
Hint : યંગ મૉડ્યુલસ,
Y ∝ \(\frac{1}{\Delta L}\)
જ્યાં, W = વજન (બળ)
L = સમાન લંબાઈ
Δ L = લંબાઈમાં વધારો

અહીં બંને તાર માટે W, A અને L સમાન હોવાથી,

પ્રશ્ન 8.
100 m ઊંડા તળાવના તળિયે એક રબર બૉલને લઈ જતાં તેના કદમાં 1 % જેટલો ઘટાડો થાય છે, તો રબરનો બલ્ક મૉડ્યુલસ …………….. છે. (g = 10 m s^-2)
A. 10⁶ Pa
B. 10⁸ Pa
C. 10⁷ Pa
D. 10⁹ Pa
ઉત્તર :
B. 10⁸ Pa
Hint : તળાવના તળિયે રબર બૉલને લઈ જતાં તેના કદમાં થતો પ્રતિશત ઘટાડો (\(\frac{\Delta V}{V}\)) 100% = 1%
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) × 100 = 1
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) = \(\frac{1}{100}\)
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) = 0.01
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) = – 0.01, કારણ કે અહીં કદમાં ઘટાડો થાય છે. તેથી ઋણ ચિહ્ન મૂકેલ છે.

બલ્ક મૉડ્યુલસ B = – \(\frac{P}{\frac{\Delta V}{V}}\)
પણ, P = hρ g
= 100 × 1000 × 10 (∵ પાણીની ઘનતા ρ = 1000\(\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\))
= 10⁶ N m^-2.
∴ B = – \(\frac{10^6}{-0.01}\)
= 10⁸ Pa

પ્રશ્ન 9.
દૃઢ પદાર્થનો યંગ મૉડ્યુલસ ………………. હોય છે.
A. 0
B. 1
C. ∞
D. 0.5
ઉત્તર:
C. ∞
Hint : દૃઢ પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવા છતાં તેમાં વિરૂપણ (વિકૃતિ) ઉત્પન્ન થતી નથી.

∴ Y = ∞

પ્રશ્ન 10.
એક પદાર્થ પરનું દબાણ 1.01 × 10⁵ Paથી વધીને 1.165 × 10⁵ Pa થતાં તેનું કદ અચળ તાપમાને 10% જેટલું ઘટે છે, તો દ્રવ્યનો બલ્ક મૉડ્યુલસ ………… છે.
A. 1.55 × 10⁵ Pa
B. 51.2 × 10⁵ Pa
C. 102.4 × 10⁵ Pa
D. 204.8 × 10⁵ Pa
ઉત્તર:
A. 1.55 × 10⁵ Pa
Hint : અહીં, P = 1.165 × 10⁵ – 1.010 × 10⁵
= 0.155 × 10⁵ Pa
\(\frac{\Delta V}{V}\) × 100 % = – 10%
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) × 100 = – 10
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) = – \(\frac{10}{100}\)
∴ \(\frac{\Delta V}{V}\) = – 0.1
બલ્ક મૉડ્યુલસ B = – \(\frac{P}{\frac{\Delta V}{V}}\)
∴ B = – \(\frac{0.155 \times 10^5}{-0.1}\)
= 1.55 × 10⁵ Pa

પ્રશ્ન 11.
દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલ એક તારના છેડે 200 N બળ લગાડતાં તેની લંબાઈમાં 1 mm જેટલો વધારો થાય છે, તો આ ફેરફારને કારણે તેમાં સંગૃહીત સ્થિતિ-સ્થાપકીય સ્થિતિ- ઊર્જા ………… છે.
A. 0.2 J
B. 10 J
C. 20 J
D. 0.1 J
ઉત્તર:
D. 0.1 J
Hint : સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
U = \(\frac{1}{2}\) × પ્રતિબળ × વિકૃતિ × કદ
∴ U = \(\frac{1}{2}\) × (\(\frac{F}{A}\)) × (\(\frac{\Delta L}{L}\)) × (AL)
= \(\frac{F}{2}\) Δ L
અહીં, F = 200 N, Δ L = 1 mm = 10^-3m
∴ U = \(\frac{200}{2}\) × 10^-3
= 0.1 J

પ્રશ્ન 12.
દૃઢ આધાર સાથે બાંધેલા અને શિરોલંબ લટકાવેલા તારના મુક્ત છેડા પર F બળ લગાડતાં તેની લંબાઈમાં l જેટલો વધારો કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય ……………… થાય.
A. \(\frac{F}{2 l}\)
B. Fl
C. 2Fl
D. \(\frac{1}{2}\) Fl
ઉત્તર:
D. \(\frac{1}{2}\) Fl
Hint : ધારો કે, તારની મૂળ લંબાઈ L છે.

દૃઢ આધાર સાથે બાંધેલા અને શિરોલંબ લટકાવેલા તારના મુક્ત છેડા પર F બળ લગાડતાં તેની લંબાઈમાં l જેટલો વધારો કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એટલે તારમાં સંગૃહીત સ્થિતિસ્થાપકીય સ્થિતિ-ઊર્જા,
W = U
= \(\frac{A Y}{2 L}\) (l)²
(જ્યાં, l = તારની લંબાઈમાં થતો વધારો)
પણ, Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{l}\)
∴ W = \(\frac{A}{2 L}\left(\frac{F L}{A l}\right)\) (l)² = \(\frac{1}{2}\) Fl

પ્રશ્ન 13.
સંપૂર્ણ પ્લાસ્ટિક પદાર્થ માટે યંગ મૉડ્યુલસની કિંમત ……………… છે.
A. I
B. શૂન્ય
C. ∞
D. 2
ઉત્તર:
B. શૂન્ય
Hint : જ્ઞાન આધારિત

પ્રશ્ન 14.
સ્થિતિસ્થાપકતા અંક પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ………………. ને સમતુલ્ય છે.
A. બળ
B. પ્રતિબળ
C. વિકૃતિ
D. આપેલ પૈકી એક પણ નહીં
ઉત્તર:
B. પ્રતિબળ
Hint :

પણ, [વિકૃતિ] = M⁰L⁰T⁰
∴ [સ્થિતિસ્થાપક અંક] = [પ્રતિબળ]

પ્રશ્ન 15.
L લંબાઈના એક મેટલ વાયરના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A છે અને તેના દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ Y છે. આ તાર સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તતો હોય, તો તેનો બળ-અચળાંક કેટલો થાય?
A. \(\frac{Y A}{L}\)
B. \(\frac{Y A}{2 L}\)
C. \(\frac{2 Y A}{L}\)
D. \(\frac{Y L}{A}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{Y A}{L}\)
Hint : યંગ મૉડ્યુલસ Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}\)
જ્યાં, Δ L = તારની લંબાઈમાં થતો વધારો
∴ F = \(\frac{Y A \Delta L}{L}\)
આ સંબંધને F = k Δ L સાથે સરખાવતાં, k = \(\frac{Y A}{L}\) જે તારનો બળ-અચળાંક છે.

પ્રશ્ન 16.
જ્યારે મેટલ વાયરમાં 10 Nનો તણાવ પેદા કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેની કુલ લંબાઈ 5.001 m અને 20 N તણાવ માટે તેની કુલ લંબાઈ 5.002 m છે, તો તારની મૂળ લંબાઈ ……………….. છે.
A. 5.001 m
B. 4.009 m
C. 5.0 m
D. 4.008 m
ઉત્તર :
C. 5.0 m
Hint : ધારો કે, તારની મૂળ લંબાઈ l છે.
T₁ તણાવ બળ લગાડતાં તેની લંબાઈ l₁ અને T₂ તણાવ બળ લગાડતાં તેની લંબાઈ l₂ થાય છે.
∴ T₁ તણાવ બળ લગાડતાં લંબાઈમાં વધારો,
Δ l₁ = l₁ – l
∴ T₂ તણાવ બળ લગાડતાં લંબાઈમાં વધારો,
Δ l₂ = l₂ – l

હવે, યંગ મૉડ્યુલસ
Y = \(\frac{T_1}{A} \times \frac{l}{\Delta l_1}\) અને Y = \(\frac{T_2}{A} \times \frac{l}{\Delta l_2}\)
∴ \(\frac{T_1}{A} \times \frac{l}{\Delta l_1}=\frac{T_2}{A} \times \frac{l}{\Delta l_2}\)
∴ \(\frac{T_1}{l_1-l}=\frac{T_2}{l_2-l}\)
∴ T₁l₂ – T₁l = T₂l₁ – T₂l
∴ T₂l – T₁l = T₂l₁ – T₁l₂
∴ (T₂ – T₁)l = T₂l₁ – T₁l₂
∴ l = \(\frac{T_2 l_1-T_1 l_2}{T_2-T_1}\)
અહીં, T₁ = 10 N, T₂ = 20 N,
l₁ = 5.001 m, l₂ = 5.002 m મૂકતાં,
∴ l = \(\frac{20 \times 5.001-10 \times 5.002}{20-10}=\frac{50}{10}\)
∴ l = 5.0 m

પ્રશ્ન 17.
નીચેના L લંબાઈ અને r ત્રિજ્યાવાળા ચાર તાર એક જ દ્રવ્યમાંથી
બનાવેલા છે. જ્યારે તેમના પર સમાન તણાવ બળ લગાડવામાં આવે છે ત્યારે કોની લંબાઈમાં સૌથી વધુ વધારો થશે?
A. L = 40 cm, r = 0.20 mm
B. L = 100 cm, r = 0.5 mm
C. L = 200 cm, r = 1 mm
D. L = 300 cm, r = 1.5 mm
ઉત્તર:
A. L = 40 cm, r = 0.20 mm
Hint : Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}=\frac{F L}{\pi r^2 \Delta L}\)
∴ ΔL = \(\frac{F L}{\pi r^2 Y}\)

વિકલ્પ A માટે \(\frac{L}{r^2}\) મહત્તમ મળે છે. તેથી તેની લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ થશે.

પ્રશ્ન 18.
8m લંબાઈ, 5 × 10⁶ N m^-2ના યંગ મૉડ્યુલસ તથા 1.5 × 10³ kg m^-3 ઘનતાવાળા રબરના પાતળા દોરડાને એક રૂમમાં છત પરથી લટકાવેલ છે, તો તેના પોતાના વજનના લીધે તેની લંબાઈમાં કેટલો વધારો થશે? (g = 10 m s^-2)
A. 9.6 × 10^-2 m
B. 19.2 × 10^-2 m
C. 9.6 × 10^-3 m
D. 9.6 m
ઉત્તર:
A. 9.6 × 10^-2 m
Hint : અહીં, દળ M તથા મૂળ લંબાઈ L ધરાવતા રબરના દોરડાને છત (દૃઢ આધાર) પરથી લટકાવવામાં આવેલ છે. તેથી તેની લંબાઈમાં થતો વધારો (ΔL) તેના પોતાના વજન (Mg)ના કારણે હોય છે.
અહીં, તારનું વજન (બળ) Mg, તારના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર / ગુરુત્વકેન્દ્ર પર લાગે છે. તેથી તારની જે લંબાઈમાં વધારો થશે, તે મૂળ લંબાઈ \(\frac{L}{2}\) હશે, L નહીં.
∴ રબરના દોરડાની લંબાઈમાં થતો વધારો,

પ્રશ્ન 19.
પ્રવાહીની સ્થિતિસ્થાપકતાનો યંગ મૉડ્યુલસ ………………….. .
A. અનંત
B. એકમ
C. અમુક નિશ્ચિત, શૂન્ય સિવાયનો અચળ
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
D. શૂન્ય
Hint : પ્રવાહી પર બાહ્ય બળ લગાડતાં તે પોતાના આકારના ફેરફારનો વિરોધ કરતું નથી. તેથી તેના પર બાહ્ય બળ લગાડતાં પ્રતિબળ શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 20.
પદાર્થના બલ્ક મૉડ્યુલસના વ્યસ્તને …………… કહે છે.
A. દબનીયતા
B. સંપૂર્ણ દઢતા
C. શ્યાનતા
D. સ્થિતિસ્થાપકતા અંક
ઉત્તર:
A. દબનીયતા
Hint : જ્ઞાન આધારિત

પ્રશ્ન 21.
સમાન લંબાઈ અને સમાન આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળા બે તારોને આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે લટકાવ્યા છે. તેમના યંગ મૉડ્યુલસ અનુક્રમે Y₁ અને Y₂ છે, તો તેમનો સમતુલ્ય યંગ મૉડ્યુલસ …………………. થશે.

A. Y₁ + Y₂
B. \(\frac{Y_1+Y_2}{2}\)
C. \(\frac{Y_1 Y_2}{Y_1+Y_2}\)
D. \(\sqrt{Y_1 Y_2}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{Y_1+Y_2}{2}\)
Hint : તારનો બળ-અચળાંક k = \(\frac{F}{\Delta L}\) ………. (1)
પણ યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર Y = \(\frac{F L}{A \Delta L}\) પરથી,
∴ F = \(\frac{Y A \Delta L}{L}\)
સમીકરણ (1)માં Fનું ઉપર્યુક્ત મૂલ્ય મૂકતાં,
k = \(\frac{Y A \Delta L}{L \times \Delta L}\)
∴ k = \(\frac{Y A}{L}\)
એક તાર માટે, k₁ = \(\frac{Y_1 A}{L}\)
બીજા તાર માટે, k₂ = \(\frac{Y_1 A}{L}\)
તારોના સમાંતર જોડાણ માટે સમતુલ્ય બળ-અચળાંક, k = \(\frac{Y(2 A)}{L}\)
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k = k₁ + k₂
∴ \(\frac{Y(2 A)}{L}=\frac{Y_1 A}{L}+\frac{Y_2 A}{L}\)
∴ Y = \(\frac{Y_1+Y_2}{2}\)

પ્રશ્ન 22.
આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબના સ્ટીલ અને પિત્તળ(બ્રાસ)ના તારો માટે લંબાઈઓ, ત્રિજ્યાઓ અને યંગ મૉડ્યુલસનો ગુણોત્તર અનુક્રમે a, b અને c હોય, તો તેમને અનુરૂપ તેમની લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર ………… હશે.
(બંને તારોના પોતાના વજનને કારણે તેમની લંબાઈમાં થતો વધારો અવગણો.)

A. \(\frac{2 a c}{b^2}\)
B. \(\frac{3 a}{2 b^2 c}\)
C. \(\frac{3 c}{2 a b^2}\)
D. \(\frac{2 a^2 c}{b}\)
ઉત્તર:
B. \(\frac{3 a}{2 b^2 c}\)
Hint : Y = \(\frac{F L}{A \Delta L}\)
∴ ΔL = \(\frac{F L}{A Y}=\frac{F L}{\pi r^2 Y}\)
∴ \(\frac{\Delta L_{\mathrm{S}}}{\Delta L_{\mathrm{B}}}=\frac{F_{\mathrm{S}}}{F_{\mathrm{B}}} \times \frac{L_{\mathrm{S}}}{L_{\mathrm{B}}} \times \frac{\pi r_{\mathrm{B}}^2}{\pi r_{\mathrm{S}}^2} \times \frac{Y_{\mathrm{B}}}{Y_{\mathrm{S}}}\)

બ્રાસના તારના છેડે લાગતું તણાવ બળ, F_B = 2mg
સ્ટીલના તારના છેડે લાગતું તણાવ બળ,
F_S = (m + 2m)g = 3mg
∴ \(\frac{\Delta L_{\mathrm{S}}}{\Delta L_{\mathrm{B}}}\) = \(\frac {3}{2}\) × a × \(\frac{1}{b^2} \times \frac{1}{c}\)
∴ \(\frac{\Delta L_{\mathrm{S}}}{\Delta L_{\mathrm{B}}}=\frac{3 a}{2 b^2 c}\)

પ્રશ્ન 23.
20 kg વજનનો લોડ લગાડીને તારને તોડી શકાય છે. સમાન લંબાઈ અને સમાન દ્રવ્યના તથા બમણા વ્યાસવાળા તારને તોડવા માટે જરૂરી બળ ……………….. છે.
A. 5 kg wt
B. 160 kg wt
C. 80 kg wt
D. 20 kg wt
(જ્યાં, wt = weight = વજન)
ઉત્તર:
C. 80 kg wt
Hint : બ્રેકિંગ બળ = અંતિમ તણાવ પ્રબળતા
= Mg = (AL × d × g)

બ્રેકિંગ બળ F, તારની મૂળ લંબાઈ ઉપર આધારિત નથી.
હવે,
બ્રેકિંગ બળ F = બ્રેકિંગ પ્રતિબળ X આડછેદનું ક્ષેત્રફળ (∵ પ્રતિબળ σ = )
હવે, બ્રેકિંગ પ્રતિબળ
= (સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ) × (યંગ મૉડ્યુલસ) પણ, અહીં આપેલ બંને તારના દ્રવ્ય સમાન છે. તેથી તેમના યંગ મૉડ્યુલસ Yનાં મૂલ્યો સરખાં હશે અને બ્રેકિંગ પ્રતિબળનાં મૂલ્યો પણ સમાન હશે. પરિણામે સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ સરખી હશે.
ટૂંકમાં, બ્રેકિંગ બળ F ∝ A પણ A = π(\(\frac{D}{2}\))²
જ્યાં, D = તારનો વ્યાસ
∴ F ∝ D² થાય.
∴ \(\frac{F_2}{F_1}=\left(\frac{D_2}{D_1^{\prime}}\right)^2\)
∴ \(\frac{F_2}{20}\) = (2)²
∴ F₂ = 20 × 4
∴ F₂ = 80 kg wt

પ્રશ્ન 24.
Y = 2 × 10¹¹N/m² અને 1 m લંબાઈ તથા 1 mm² આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળા તારની લંબાઈમાં 2 mm જેટલો વધારો કરવા જરૂરી કાર્ય ………………. .
A. 400 J
B. 40 J
C. 4 J
D. 0.4 J
ઉત્તર:
D. 0.4 J
Hint :

= 4 × 10^-1
= 0.4 J

પ્રશ્ન 25.
L લંબાઈ અને r ત્રિજ્યાવાળા તારના દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ Y N m^-2 છે. જો તેની લંબાઈ ઘટાડીને \(\frac{L}{2}\) અને ત્રિજ્યા
\(\frac{r}{2}\)કરવામાં આવે, તો તેનો યંગ મૉડ્યુલસ ……………….. થશે.
A. \(\frac{Y}{2}\)
B. Y
C. 2Y
D. 4Y
ઉત્તર:
B. Y
Hint: યંગ મૉડ્યુલસનું મૂલ્ય વસ્તુના (અહીં તારના) દ્રવ્યની જાત પર આધાર રાખે છે. તે વસ્તુની લંબાઈ અને ત્રિજ્યા પર આધારિત નથી.

પ્રશ્ન 26.
જ્યારે તારના છેડે ચોક્કસ વજન લટકાવવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈ 1 cm વધે છે. જો તે જ દ્રવ્યમાંથી બનેલા બીજા સમાન લંબાઈવાળા અડધા વ્યાસવાળા તાર સાથે તેટલું જ વજન લટકાવવામાં આવે, તો તેની લંબાઈમાં થતો વધારો …………….. હશે.
A. 0.5 cm
B. 2 cm
C. 4 cm
D. 8 cm
ઉત્તર :
C. 4 cm
Hint :

= 1 × 4 (∵ ΔL = 1 cm)
= 4 cm

પ્રશ્ન 27.
R ત્રિજ્યાની લાકડાની તકતી પર, A આડછેદના ક્ષેત્રફળ અને r ત્રિજ્યાવાળી સ્ટીલની રિંગ જડવી છે. જો સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ Y હોય, તો સ્ટીલની રિંગને વિસ્તારવા માટે કેટલા બળની જરૂર પડશે? R > r છે.
A. AY\(\frac{R}{r}\)
B. A[latex]\frac{R-r}{r}[/latex]
C. \(\frac{Y}{A}\left[\frac{R-r}{r}\right]\)
D. \(\frac{Y r}{A R}\)
ઉત્તર:
B. A[latex]\frac{R-r}{r}[/latex]
Hint : લાકડાની તકતીનો પરિઘ = 2πR
સ્ટીલની રિંગનો પરિઘ L = 2πr
∴ સ્ટીલની રિંગના પરિઘમાં વધારો Δ L = = 2πR – 2πr
∴ વિકૃતિ = \(\frac{\Delta L}{L}\)
= \(\frac{2 \pi(R-r)}{2 \pi r}\)
= \(\frac{R-r}{r}\)

હવે, પ્રતિબળ = Y × વિકૃતિ
\(\frac{F}{A}\) = Y × (\(\frac{R-r}{r}\))
∴ F = AY(\(\frac{R-r}{r}\))

પ્રશ્ન 28.
100cm લાંબા અને 4mm ત્રિજ્યાવાળા એક તારનો એક છેડો પકડ(સાણસી)થી પકડેલો છે અને બીજા છેડાને 30॰ જેટલો વળ ચઢાવવામાં આવે છે, તો આકાર વિકૃતિ ………………. .
A. 12°
B. 1.2°
C. 0.12°
D. 0.012°
ઉત્તર:
C. 0.12°
Hint : આકાર વિકૃતિ θ = \(\frac{r \phi}{l}\)
∴ θ = \(\frac{0.4 \times 30^{\circ}}{100}\)
∴ θ = 0.12°

પ્રશ્ન 29.
2 mmના વ્યાસવાળા એક સ્ટીલના તાર માટેનું બ્રેકિંગ બળ 4 × 10⁵N છે, તો તેના જેવા જ 1 mm વ્યાસવાળા તાર માટેનું બ્રેકિંગ બળ ………………. .
A. 4 × 10⁵ N
B. 2 × 10⁵ N
C. 1 × 10⁵ N
D. 0.5 × 10⁵ N
ઉત્તર:
C. 1 × 10⁵ N
Hint : બ્રેકિંગ બળ F ∝ A પરથી,
F ∝ D² જ્યાં, D = વ્યાસ
(∵ બ્રેકિંગ બળ = બ્રેકિંગ પ્રતિબળ X આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
∴ \(\frac{F_2}{F_1}=\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2\)
∴ F₂ = F₁ (\(\frac{D_2}{D_1}\))²
= 4 × 10⁵ × (\(\frac{1}{2}\))² = 10⁵N

પ્રશ્ન 30.
3 × 10^-6 m² આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળા સ્ટીલના તારમાં મહત્તમ વિકૃતિ 10^-3 થઈ શકે છે. સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 2 × 10¹¹ N m^-2 છે, તો તારનું મહત્તમ દળ ………………… હોઈ શકે. (g = 10 m s^-2 લો.)
A. 40 kg
B. 60 kg
C. 80 kg
D. 100 kg
ઉત્તર:
B. 60 kg
Hint : મહત્તમ પ્રતિબળ = યંગ મૉડ્યુલસ × મહત્તમ વિકૃતિ
σ_max = Y × ε_max
= 2 × 10¹¹ × 10^-3
= 2 × 10⁸ N m^-2

• મહત્તમ પ્રતિબળ =
  ∴ મહત્તમ બળ F_max
  = મહત્તમ પ્રતિબળ σ_max × ક્ષેત્રફળ A
  = 2 × 10⁸ × 3 × 10^-6
  = 6 × 10² = 600 N
• મહત્તમ દળ M_max =
  = \(\frac{600}{10}\)
  = 60 kg
  
  = 60 kg

પ્રશ્ન 31.
M દળ અને A આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળા સળિયાના એક છેડાને દૃઢ આધાર પરથી લટકાવેલ છે અને તેના બીજા છેડા સાથે તે જ દ્રવ્યનો M દળવાળો પદાર્થ લટકાવ્યો છે, તો સળિયાના મધ્યબિંદુ પાસે પ્રતિબળ ……………… હશે.
A. \(\frac{2 M g}{A}\)
B. \(\frac{3 M g}{2 A}\)
C. \(\frac{M g}{A}\)
D. 0
ઉત્તર:
B. \(\frac{3 M g}{2 A}\)
Hint : આકૃતિમાં નિયમિત આડછેદ Aવાળો સળિયો OB દર્શાવ્યો છે. તેનું મધ્યબિંદુ C છે.

સળિયાના મધ્યબિંદુથી નીચેની તરફ સળિયાની \(\frac{L}{2}\) લંબાઈ છે. તેથી સિળયાનું અડધું દળ \(\frac{M}{2}\) સળિયાના
મધ્યબિંદુ (ગુરુત્વકેન્દ્ર દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર) પર લાગશે.
તેથી હવે સળિયાના મધ્યબિંદુ પાસે લાગતું કુલ બળ,
F = Mg + (\(\frac{M}{2}\))g = \(\frac{3 M g}{2}\)
∴ C બિંદુ પાસે પ્રતિબળ = \(\frac{F}{A}=\frac{\frac{3 M g}{2}}{A}=\frac{3 M g}{2 \mathrm{~A}}\)

પ્રશ્ન 32.
સમાન વ્યાસ અને સમાન લંબાઈના એક તાંબાના અને બીજા સ્ટીલના તા૨ના છેડાઓને જોડીને બનેલા સંયુક્ત તાર પર તણાવ બળ લગાડતાં તેમની સંયુક્ત લંબાઈ 1cm જેટલી ખેંચાય છે, તો બંને તાર …
A. સમાન પ્રતિબળ અને સમાન વિકૃતિવાળા છે.
B. જુદા જુદા પ્રતિબળ અને સમાન વિકૃતિવાળા છે.
C. જુદા જુદા પ્રતિબળ અને જુદા જુદા વિકૃતિવાળા છે.
D. સમાન પ્રતિબળ અને જુદા જુદા વિકૃતિવાળા છે.
ઉત્તર:
D. સમાન પ્રતિબળ અને જુદા જુદા વિકૃતિવાળા છે.
Hint : બંને તાર પર લાગતાં બળ અને તારના આડછેદના ક્ષેત્રફળ સમાન છે. તેથી બંને તારમાં સંગત (પ્રતાન)

પણ, Y_{તાંબુ} ≠ Y_{સ્ટીલ}
∴ સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ (સ્ટીલ) ≠ સંગત (પ્રતાન) વિકૃતિ (તાંબુ)
ખરેખર Y_{સ્ટીલ} > Y_{તાંબું} હોવાથી સ્ટીલના તારમાં, તાંબાના તારની સાપેક્ષે ઓછી વિકૃતિ ઉદ્ભવશે.

પ્રશ્ન 33.
એક ધાતુના તાર પર T₁ જેટલું તણાવ બળ લગાડતાં તેની લંબાઈ l₁ થાય છે અને T₂ જેટલું તણાવ બળ લગાડતાં તેની લંબાઈ l₂ થાય છે, તો તારની મૂળ લંબાઈ ……………… .
A. \(\frac{l_{1+} l_2}{2}\)
B. \(\frac{l_1 T_2+l_2 T_1}{T_1+T_2}\)
C. \(\frac{l_1 T_2-l_2 T_1}{T_2-T_1}\)
D. \(\sqrt{T_1 T_2 l_1 l_2}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{l_1 T_2-l_2 T_1}{T_2-T_1}\)
Hint : ધારો કે, તારની મૂળ લંબાઈ l છે.
→T₁ તણાવ બળ લગાડતાં તેની લંબાઈમાં વધારો,
A l = l₁ – l
T₂ તણાવ બળ લગાડતાં તેની લંબાઈમાં વધારો,
A l₂ = l₂ – l

તાર એક જ હોવાથી યંગ મૉડ્યુલસ સમાન.
તેથી Y = \(\frac{F L}{A \Delta L}\) સૂત્ર પરથી,
∴ \(\frac{T_1}{A} \times \frac{l}{\Delta l_1}=\frac{T_2}{A} \times \frac{l}{\Delta l_2}\)
∴ \(\frac{T_1}{\Delta l_1}=\frac{T_2}{\Delta l_2}\)
∴ \(\frac{T_1}{l_1-l}=\frac{T_2}{l_2-l}\)
∴ T₁l₂ – T₁l = T₂l₁ – T₂l
∴ (T₂ – T₁)l = T₂l₁ – T₁l₂
∴ l = \(\frac{T_2 l_1-T_1 l_2}{T_2-T_1}\)

પ્રશ્ન 34.
દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલા એક ધાતુના તાર પર 10⁶ N m^-2 જેટલું પ્રતિબળ લગાડતાં તે પોતાની જાતે ભાંગી
પડે તે માટે તારની લંબાઈ ……………….. રાખવી જોઈએ. ધાતુની ઘનતા 3 × 10³ kg m^-3 અને g = 10ms^-2 છે.
A. 66.6 m
B. 60.0 m
C. 33.3 m
D. 30.0 m
ઉત્તર:
C. 33.3m
Hint : બ્રેકિંગ પ્રતિબળ = અંતિમ તણાવ પ્રબળતા σ_u
= \(\frac{F}{A}\)
= \(\frac{mg}{A}\)
=
= l ρ g
∴ l =
= \(\frac{10^6}{3 \times 10^3 \times 10}\)
= \(\frac{100}{3}\)
∴ l = 33.3m

પ્રશ્ન 35.
1000 kg દળવાળા જાડા લોખંડના તારથી એક લિફ્ટ બાંધેલી છે. જો તારમાં મહત્તમ સલામત પ્રતિબળ (અથવા અંતિમ તણાવ પ્રબળતા σ_u) 1.4 × 10⁸N/m² હોય અને લિફ્ટનો ઊર્ધ્વદિશામાં મહત્તમ પ્રવેગ 1.2 m s^-2 જોઈતો હોય, તો તારનો
લઘુતમ વ્યાસ ………………. છે. g = 10 m s^-2 લો.
A. 0.00141 m
B. 0.00282 m
C. 0.005 m
D. 0.01 m
ઉત્તર:
D. 0.01 m
Hint :

પણ, T = m (g + a) (∵ T > mg)
m = 1000 kg,
g = 10 m s^-2,
a = 1.2 m s^-2
પ્રતિબળ = 1.4 × 10⁸ N/m²
∴ T = 1000 (10 + 1.2) = 11200 N

સમીકરણ (1)માં ઉપરની કિંમતો મૂકતાં,
r² = \(\frac{11200}{3.14 \times 1.4 \times 10^8}\)
∴ r² = 2548 × 10^-8
∴ r = 50.5 m × 10^-4
∴ r ≈ 0.005 m
∴ વ્યાસ D = 2r
= 2 × 0.005 = 0.01 m

પ્રશ્ન 36.
સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 2 × 10¹¹N/m² છે. જો ધાતુના આંતરપરમાણુ અંતર 2.8 Å હોય, તો જ્યારે 10⁹ Nm ^-2 જેટલું પ્રતિબળ લાગતું હોય ત્યારે આંત૨૫૨માણુ અંતરમાં ……………… વધારો થાય.
A. 1.4 × 10^-3 Å
B. 1.4 × 10^-2 Å
C. 1.4 × 10^-1 Å
D. 1.4 Å
ઉત્તર:
B. 1.4 × 10^-2 Å
Hint : યંગ મૉડ્યુલસ Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}\)
∴ Δ L = \(\frac{F L}{A Y}\)
અહીં, \(\frac{F}{A}\) = 10⁹ N m^-2,
Y = 2 × 10¹¹N/m²
L = 2.8 × 10^-10 m
∴ Δ L = \(\frac{10^9 \times 2.8 \times 10^{-10}}{2 \times 10^{11}}\)
= 1.4 × 10^-12 m
= 1.4 × 10^-2 Å

પ્રશ્ન 37.
સ્ટીલ અને તાંબાની સમાન સ્પ્રિંગોને સરખી રીતે ખેંચતા …………… (Y_S > Y_Cu છે.)
A. સ્ટીલની સ્પ્રિંગ માટે ઓછું કાર્ય કરવું પડે.
B. તાંબાની સ્પ્રિંગ માટે ઓછું કાર્ય કરવું પડે.
C. બંને સ્પ્રિંગો માટે સમાન કાર્ય કરવું પડે.
D. આપેલી હકીકતો પૂર્ણ નથી.
ઉત્તર:
B. તાંબાની સ્પ્રિંગ માટે ઓછું કાર્ય કરવું પડે.
Hint : સ્પ્રિંગની અથવા સ્થિતિસ્થાપક તારની લંબાઈમાં Δ L જેટલો વધારો કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય
W = \(\frac{1}{2}\) F Δ L જેટલું હોય છે.
પણ, F = \(\frac{Y A \Delta L}{L}\)
∴ W = \(\frac{1}{2}\) (\(\frac{Y A \Delta L}{L}\))Δ L
∴ W = \(\frac{1}{2}\)Y (\(\frac{A}{L}\))Δ L²
હવે, અહીં બંને સ્પ્રિંગો માટે L અને A સમાન છે તથા તેમની લંબાઈમાં પણ એકસરખો વધારો કરવો છે. તેથી W ∝ Y થાય. પણ Y_S > Y_Cu છે.
∴ W_S > W_Cu

પ્રશ્ન 38.
દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલાં એક તારને 1 kg/mm² જેટલું પ્રતિબળ લગાડેલું છે. જો તારનો સ્થિતિસ્થાપકતા અંક 10¹² dyn/cm² હોય, તો તારની લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો …………….. .
A. 0.0098 %
B. 0.98 %
C. 9.8 %
D. 98 %
ઉત્તર:
A. 0.0098 %
Hint :

પ્રશ્ન 39.
પાણીની દબનીયતા 4 × 10^-5 atm^-1છે. 100 atm જેટલા કેટલાદબાણે 100 cm³ પાણીના કદમાં …………….. ઘટાડો થશે.
A. 0.004 cm³
B. 0.025 cm³
C. 0.4 cm³
D. 4 × 10-5 cm³
ઉત્તર:
C. 0.4 cm³
Hint : દબનીયતા k =
= – \(\frac{\Delta V}{P V}\)
∴ Δ V = – k PV
અહીં, k = 4 × 10^-5 atm^-1
P = 100 atm
V = 100 cm³
∴ Δ V = – 4 × 10^-5 × 100 × 100
= -0.4 cm³
ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
∴ પાણીના કદમાં ઘટાડો = 0.4 cm³

પ્રશ્ન 40.
સોનાની ઘનતા ρ અને તેનો બલ્ક મૉડ્યુલસ B છે. સોનાના ટુકડા પર બધી બાજુઓ પર સમાન રીતે દબાણ p લગાડવામાં આવે ત્યારે તેની ઘનતામાં વધારો ……………….. .
A. \(\frac{\rho p}{B}\)
B. \(\frac{\rho B}{P}\)
C. \(\frac{B \rho}{B-\rho}\)
D. \(\frac{\rho p}{B-\rho}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{\rho p}{B}\)
Hint : ઘનતા ρ = \(\frac{m}{V}\)
∴ ઘનતા ρ માં સાપેક્ષ (આંશિક) ફેરફાર,
\(\frac{\Delta \rho}{\rho}=\frac{\Delta m}{m}+\frac{\Delta V}{V}\)
પણ, અહીં આપેલ સોનાના ટુકડાનું દળ અચળ છે. તેથી Δ m = 0
∴ \(\frac{\Delta \rho}{\rho}=-\frac{\Delta V}{V}\) ………….. (1)
કારણ કે, અહીં ટુકડા ૫૨ બધી જ બાજુઓથી સમાન દબાણ લગાડતાં તેના કદમાં ઘટાડો થાય છે. તેથી જમણી બાજુ ઋણ નિશાની મૂકેલી છે.
હવે, બલ્ક મૉડ્યુલસ B = – \(\frac{p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\)
∴ – \(-\frac{\Delta V}{V}=\frac{p}{B}\) ………. (2)
∴ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી, \(\frac{\Delta \rho}{\rho}=\frac{p}{B}\)
∴ Δρ = \(\frac{p}{B}\) ρ

પ્રશ્ન 41.
એક વિદ્યાર્થી 2m લંબાઈના તારનો યંગ મૉડ્યુલસ માપવાનો પ્રયોગ કરે છે. એક અવલોકનમાં તે 1 kgનું દળ લટકાવીને લંબાઈનો વધારો (0.8 ± 0.05) mm નોંધે છે તથા તારનો વ્યાસ (0.4 ± 0.01) mm નોંધે છે, તો તારનો યંગ મૉડ્યુલસ (g = 9.8 ms^-2 લો..)
A. (2.0 ± 0.3) × 10¹¹ N m^-2
B. (2.0 ± 0.2) × 10¹¹ Nm^-2
C. (2.0 ± 0.1) × 10¹¹ N m^-2
D. (2.0 ± 0.5) × 10¹¹ N m^-2
ઉત્તર:
B. (2.0 ± 0.2) × 10¹¹ N m^-2
Hint :
યંગ મૉડ્યુલસ Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}\)
∴ Y = \(\frac{4 m g L}{\pi D^2 \Delta L}\) ……. (1) [∵ A = \(\frac{\pi D^2}{4}\)]
અહીં, m = 1 kg, g = 9.8 m s^-2, L = 2 m,
π 3.14, Δ L = 0.8 × 10^-3 m અને
D = 0.4 mm = 0.4 × 10^-3 m
∴ Y = \(\frac{4 \times 1 \times 9.8 \times 2}{3.14 \times(0.4)^2 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-3}}\)
= 1.95 × 10¹¹
∴ Y ≈ 2 × 10¹¹ Nm^-2

યંગ મૉડ્યુલસમાં સાપેક્ષ વધારો,
\(\frac{\Delta Y}{Y}=2 \frac{\Delta D}{D}+\frac{\Delta L}{L}\)
∴ \(\frac{\Delta Y}{2 \times 10^{11}}=\frac{2 \times 0.01}{0.4}+\frac{0.05}{0.8}\)
∴ Δ Y = 2 × 10¹¹ (0.05 + 0.0625)
= 2 × 10¹¹ (0.1125)
= 0.2250 × 10¹¹
∴ ΔY ≈ 0.2 × 10¹¹.
∴ Y = 2.0 × 10¹¹ ± 0.2 × 10¹¹
∴ Y = (2.0 ± 0.2) × 10¹¹ N m^-2

પ્રશ્ન 42.
L લંબાઈના એક સ્થિતિસ્થાપક સળિયાનો આડછેદ A છે. તેનો યંગ મૉડ્યુલસ Y અને રેખીય પ્રસરણાંક α છે. આ સળિયાને બે મજબૂત દીવાલો વચ્ચે જડ્યો છે. હવે, સળિયાનું તાપમાન t°C જેટલું વધારવામાં આવે છે, તો સળિયા વડે દીવાલ ૫૨ લાગતું બળ ………………. હશે.

A. YA α t
B. YALt
C. YA α Lt
D. \(\frac{Y A L t}{\alpha}\)
ઉત્તર:
A. Y A α t
Hint: L લંબાઈના સળિયાના તાપમાનમાં t°C જેટલો વધારો કરતાં તેની લંબાઈમાં થતો વધારો Δ L હોય, તો
Δ L = α L t …………. (1)
સળિયાની લંબાઈ વધતાં તેમાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ \(\frac{F}{A}\) છે.
યંગ મૉડ્યુલસ Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}\)
∴ F = \(\frac{Y A \Delta L}{L}\)
= \(\frac{Y A}{L}\) × α L t [∵ પરિણામ (1) પરથી]
= Y A α t

પ્રશ્ન 43.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે L₁ અને L₂ લંબાઈના Y₁ અને Y₂ યંગ મૉડ્યુલસવાળા તથા α₁ અને α₂ રેખીય પ્રસરણાંકવાળા બે સળિયાઓને બે મજબૂત દીવાલો વચ્ચે જડવામાં આવ્યા છે. બંને સળિયાઓના તાપમાનમાં સમાન વધારો કરવામાં આવે છે. α₁ : α₂ = 2 : 3 છે. સળિયાઓ ગરમ થવાથી વાંકા વળી જતાં નથી. જો Y₁ : Y₂ = ………….. હોય, તો બંને સળિયામાં ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ સમાન હશે.

A. 2 : 3
B. 1 : 1
C. 3 : 2
D. 4 : 9
ઉત્તર:
C. 3 : 2
Hint : [ઉષ્મીય પ્રતિબળ : જ્યારે કોઈ સળિયાના બે છેડાઓને મજબૂત આધાર સાથે જડવામાં આવે અને સળિયાના તાપમાનમાં ફેરફાર કરવામાં આવે, તો તેની લંબાઈમાં ફેરફાર થાય છે, પણ છેડાઓને જડેલાં હોવાથી લંબાઈમાં ફેરફાર થતો નથી. પરિણામે સળિયાઓમાં તણાવ પ્રતિબળ અથવા દાબીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવે છે. (જો તાપમાન વધારવામાં આવે, તો દાબીય પ્રતિબળ અને તાપમાન ઘટાડવામાં આવે, તો તણાવ પ્રતિબળ ઉદ્ભવે છે.) આ રીતે ઉદ્ભવતાં પ્રતિબળને ઉષ્મીય પ્રતિબળ કહે છે.]

• ધારો કે, બંને સળિયાઓના તાપમાનનો વધારો Δ T છે.
  ∴ L₁ અને L₂ લંબાઈના સળિયામાં અનુક્રમે થતો વધારો,
  Δ L₁ = α₁L₁ΔT અને ΔL₂ = α₂L₂ΔT
  ∴ \(\frac{\Delta L_1}{L_1}\) = α₁ΔT અને \(\frac{\Delta L_2}{L_2}\) = α₂ΔT ……….. (1)
• યંગ મૉડ્યુલસ = × L
  ∴ L₁ અને L₂ લંબાઈના સળિયા માટે ઉષ્મીય
  પ્રતિબળ = \(\frac{Y_1 \Delta L_1}{L_1}=\frac{Y_2 \Delta L_2}{L_2}\)
  ∴ Y₁α₁ΔT = Y₂α₂ΔT [∵ પરિણામ (1) પરથી)
  ∴ \(\frac{Y_1}{Y_2}=\frac{\alpha_2}{\alpha_1}=\frac{3}{2}\)
  ∴ Y₁ : Y₂ = 3 : 2

પ્રશ્ન 44.
બ્રાસ અને સ્ટીલના યંગ મૉડ્યુલસ અનુક્રમે 10¹¹ N m^-2 અને 2 × 10¹¹ N m^-2 છે. આ બંને ધાતુના સરખી લંબાઈના તારમાં એકસરખા બળ વડે 1 mm જેટલો વધારો કરવામાં આવે છે. જો બ્રાસ અને સ્ટીલના તારની ત્રિજ્યા અનુક્રમે R_B અને R_S હોય, તો ……………… .
A. R_S = √2R_B
B. R_S = \(\frac{R_{\mathrm{B}}}{\sqrt{2}}\)
C. R_S = 4R_B
D. R_S = \(\frac{R_{\mathrm{B}}}{2}\)
ઉત્તર:
B. R_S = \(\frac{R_{\mathrm{B}}}{\sqrt{2}}\)
Hint : યંગ મૉડ્યુલસ,

પ્રશ્ન 45.
1 m લંબાઈ અને 10^-6 m² આડછેદ ધરાવતા એક તારના એક
છેડાને છત પરના હૂક સાથે બાંધી તેના નીચેના છેડે W વજન લટકાવેલ છે. તારની લંબાઈમાં થતો વધારો વિરુદ્ધ લટકાવેલ વજનનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે, તો તારનો યંગ મૉડ્યુલસ …………….. N m^-2 .

A. 2 × 10⁶ N m^-2
B. 5 × 10⁶ N m^-2
C. 2 × 10¹¹ N m^-2
D. 5 × 10¹¹ N m^-2
ઉત્તર:
C. 2 × 10¹¹ Nm^-2
Hint : આલેખ પરથી 1 m લંબાઈના તારના નીચેના છેડે 100 N વજન લટકાવતાં તેની લંબાઈમાં વધારો 5 × 10^-4m
થાય છે તથા A = 10^-6m² છે.

યંગ મૉડ્યુલસ,
Y = \(\frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}\)
= \(\frac{100 \times 1}{10^{-6} \times 5 \times 10^{-4}}\)
= 2 × 10¹¹ Nm^-2

પ્રશ્ન 46.
નિમ્ન ચાર તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા છે. જ્યારે સમાન તણાવ આપવામાં આવે ત્યારે કયા તારની લંબાઈમાં મહત્તમ વધારો થશે?
A. લંબાઈ = 100 cm, વ્યાસ = 1 mm
B. લંબાઈ = 200 cm, વ્યાસ = 2 mm
C. લંબાઈ = 300 cm, વ્યાસ = 3 mm
D. લંબાઈ = 50 cm, વ્યાસ = 0.5 mm
ઉત્તર:
D. લંબાઈ = 50 cm, વ્યાસ = 0.5 mm
Hint :


વિકલ્પ D માટે, \(\frac{L}{r^2}\) મહત્તમ મળે છે. તેથી તેની લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ થશે.

પ્રશ્ન 47.
એક તારના દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ Y છે. જો S પ્રતિબળ હોય, તો તારમાં એક એકમ કદદીઠ સંગૃહીત સ્થિતિ-ઊર્જા ………………. હશે.
A. \(\frac{2 Y}{S}\)
B. \(\frac{S}{2 Y}\)
C. 2S²Y
D. \(\frac{S^2}{2 Y}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{S^2}{2 Y}\)
Hint : એક એકમ કદદીઠ સંગૃહીત સ્થિતિ-ઊર્જા
= \(\frac{1}{2}\) × પ્રતિબળ × વિકૃતિ

પ્રશ્ન 48.
એક તારને દૃઢ આધાર પરથી લટકાવીને તેના મુક્ત છેડે W વજન લટકાવતાં તેની લંબાઈમાં l mm જેટલો વધારો થાય છે. હવે જો આ તારને ગરગડી (પુલી) પરથી લટકાવવામાં આવે અને તેના બંને મુક્ત છેડે તેટલું જ W વજન લટકાવવામાં આવે, તો તારની લંબાઈમાં થતો વધારો (mmમાં) ……………… હશે.
A. \(\frac{1}{2}\)
B. l
C. 2l
D. શૂન્ય
ઉત્તર:
B. l
Hint : યંગ મૉડ્યુલસ Y = \(\frac{\frac{W}{A}}{\left(\frac{1}{L}\right)}\)
∴ l = \(\frac{W L}{A Y}\)

તારને ગરગડી પરથી લટકાવતાં તેની બંને બાજુ તારની લંબાઈ \(\frac{L}{2}\) થશે.
હવે, બંને મુક્ત છેડા પર એકસરખું W વજન લટકાવતાં બંને બાજુએ લંબાઈમાં થતો વધારો એકસરખો \(\frac{l}{2}\) અને \(\frac{l}{2}\) થશે.
તેથી સમગ્ર તારની લંબાઈમાં થતો કુલ વધારો
= \(\frac{l}{2}\) + \(\frac{l}{2}\) = l હશે.

પ્રશ્ન 49.
બે તારનાં દ્રવ્યો સમાન છે અને કદ એકસરખાં છે, પરંતુ એક તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A અને બીજા તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 3A છે. પહેલા એક તાર પર F જેટલું બળ લગાડતાં તેની લંબાઈમાં Δx જેટલો વધારો થાય છે, તો બીજા તારની લંબાઈમાં તેટલો જ (Δx જેટલો) વધારો કરવા માટે …………. બાહ્ય બળ લગાડવું જોઈએ.
A. F
B. 4F
C. 6F
D. 9F
ઉત્તર:
D. 9F
Hint : અત્રે, બંને તારનાં દ્રવ્ય એકસરખાં છે. તેથી તેમના યંગ મૉડ્યુલસ Y નાં મૂલ્યો સમાન હશે. પહેલા તારની લંબાઈ L₁ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A છે. બીજા તારની લંબાઈ L₂ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 3A છે.
હવે બંને તારના કદ સમાન છે.
તેથી V = V₁ = V₂ થાય.
∴ V = A₁L₁ = A₂L₂ = A × L₁ = 3A × L₂
∴ L₂ = \(\frac{L_1}{3}\)
પહેલા તાર માટે, F₁ = YA₁ \(\frac{\Delta L_1}{L_1}\) અને
બીજા તાર માટે, F₂ = YA₂ \(\frac{\Delta L_2}{L_2}\)
અહીં, Δ L₁ = Δ x, F₁ = F આપેલ છે.
Δ L₂ = Δ x માટે
F₂ = Y (3A) × \(\frac{\Delta x}{\left(\frac{L_1}{3}\right)}\)
= 9 \(\frac{Y A \Delta x}{L_1}\)
= 9F₁ (∵ F₁ = \(\frac{Y A \Delta x}{L_1}\) છે. )
= 9F