GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :

પ્રશ્ન 1.
m₁ અને m₂ દળવાળા બે કણોથી બનેલાં તંત્રમાં, m₁ દળવાળા કણને તેમના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C તરફ ત જેટલું અંતર ખસેડવામાં આવે છે. આ તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર એ જ સ્થાન ૫૨ ૨હે તે માટે બીજા કણને કેટલું અંતર ખસેડવું જોઈએ?
A. d
B. \(\frac{m_1}{m_2}\)d
C. \(\frac{m_2}{m_1}\)d
D. \(\frac{m_1}{\left(m_1+m_2\right)}\)d
ઉત્તર:
B. \(\frac{m_1}{m_2}\)d
Hint : યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O થી m₁ અને m₂ દળવાળા બે કણના અંતર x₁ અને x₂ છે, તો તેમનાથી રચાતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું ઉગમબિંદુથી અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે :
X = \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\)

ધારો કે, પ્રથમ કણને Δ x₁ જેટલું અંતર અને બીજા કણને Δ x₂ જેટલું અંતર ખસેડતાં, દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય :
ΔX = \(\frac{m_1 \Delta x_1+m_2 \Delta x_2}{m_1+m_2}\)
પણ, અહીં આપેલ રકમ મુજબ ΔX = 0 છે.
∴ \(\frac{m_1 \Delta x_1+m_2 \Delta x_2}{m_1+m_2}\) = 0
∴ m₁ Δ x₁ + m₂ Δ x₂ = 0
અહીં, Δ x₁ = d આપેલ છે.
∴ m₁ × d + m₂ Δ x₂ = 0
∴ Δx₂ = – \(\frac{m_1}{m_2}\)d
આમ, બીજા કણને \(\frac{m_1}{m_2}\)d જેટલું અંતર ખસેડવો જોઈએ. ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બીજા કણને વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડવો જોઈએ.

પ્રશ્ન 2.
નીચેની આકૃતિમાં આપેલ ક્ષણે બે કણના સ્થાન અને વેગ (સદિશ) દર્શાવેલ છે. બંનેની ગતિની શરૂઆત થયા બાદ 1s ના અંતે તેમના વડે બનતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન શોધો.

A. x = 2 m
B. x = 3 m
C. x = 5 m
D. x = 6 m
ઉત્તર:
D. x = 6 m
Hint : અહીં, બંને કણોના વેગ સમય સાથે અચળ છે, તેથી ગતિની શરૂઆત થયા બાદ તેમના સ્થાન અનુક્રમે x’₁ અને x’₂ નીચે મુજબ શોધી શકાય છે :

x’₁ = 2 + x₁
= 2 + υ₁t
= 2 + 5 × 1
= 7m

x’₂ = 8 – x₂
= 8 – υ₂t
= 8 – 3 × 1
= 5 m
∴ 1s ના અંતે તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન,
x’ = \(\frac{m_1 x_1^{\prime}+m_2 x_2^{\prime}}{m_1+m_2}=\frac{1 \times 7+1 \times 5}{1+1}=\frac{12}{2}\) = 6 m

પ્રશ્ન 3.
એક અલગ કરેલું m દળ ધરાવતું કણ સમક્ષિતિજ (X – Y) સમતલમાં X-અક્ષની દિશામાં જમીનથી અમુક ઊંચાઈએ ગતિ કરે છે. તે અચાનક જ (પોતાની જાતે) m/4 અને 3m/ 4 દળવાળા બે કણોમાં વિભાજિત થઈ જાય છે. જો એક નાનું કણ y = + 15 cm પર હોય, તો તે જ ક્ષણે મોટું કણ કયા સ્થાને હશે?
A. y = – 5 cm
B. y = – 20 cm
C. y= + 5 cm
D. y = + 20 cm
ઉત્તર:
A. y = – 5 cm
Hint : અહીં, બાહ્ય બળની ગેરહાજરીમાં ‘m’ દળનો કણ, બે નાના કણોમાં વિભાજિત થઈ જાય છે.
તેથી દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો y-યામ, Y = 0 થાય.
પણ Y = \(\frac{m_1 y_1+m_2 y_2}{m_1+m_2}\) છે.
∴ \(\frac{m_1 y_1+m_2 y_2}{m_1+m_2}\) = 0
∴ m₁y₁ + m₂y₂ = 0
∴ \(\frac{m}{4}\) × 15 + \(\frac{3 m}{4}\) × y₂ = 0
∴ y₂ = – \(\frac{15}{3}\)
∴ y₂ = – 5 cm

પ્રશ્ન 4.
નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ …………………… છે.

A. (a/3, 0)
B. (0, a /3)
C. (a/2, a/2)
D. (a/3, a/3)
(a, 0)
ઉત્તર:
D. (a/3, a/3)
Hint : અહીં, m₁ = m₂ = m₃ = m છે.
x₁ = 0, x₂ = a અને x₃ = 0 તથા
y₁ = 0, y₂ = 0 અને y₃ = a લેતાં, દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર
Cના યામ નીચે મુજબ શોધી શકાય :
X = \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2+m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}\) = a/3 અને
Y = \(\frac{m_1 y_1+m_2 y_2+m_3 y_3}{m_1+m_2+m_3}\) = a/3

પ્રશ્ન 5.
m દળવાળી વ્યક્તિ, M દળ ધરાવતાં તથા L લંબાઈના પાટિયા પર ઊભી છે. પાટિયું પાણી પર તરે છે. વ્યક્તિ પાટિયાના એક છેડાથી બીજા છેડા તરફ જાય છે અને ઊભી રહે છે, તો પાટિયાનું થયેલું સ્થાનાંતર શોધો.
A. \(\frac{L m}{(M+m)}\)
B. Lm (M + m)LM
C. \(\frac{(M+m)}{L m}\)
D. \(\frac{L M}{(M+m)}\)
ઉત્તર:
A. \(\frac{L m}{(M+m)}\)
Hint : અહીં, તંત્ર (પાટિયું + વ્યક્તિ) પર સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી. તેથી તે દિશામાં તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન અચળ રહેશે. તદુપરાંત તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન પણ બદલાશે નહીં, એટલે કે Δ X = 0.

હવે, વ્યક્તિ પાટિયા પર પોતાની જાતે આગળ તરફ ગતિ કરે છે, તેથી પાટિયું પોતે પાછળની તરફ ગતિ કરે છે.

ધારો કે, પાટિયું પાછળની તરફ આપેલ સમયગાળામાં x જેટલું અંતર ખસે છે અને તેથી વ્યક્તિ આગળની તરફ ચોખ્ખું (L – x) જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે.
હવે, Δ X = \(\frac{M(-x)+m(L-x)}{M+m}\)
પણ અહીં, ΔX = 0 છે.
∴ 0 = – Mx + m (L – x)
∴ x = \(\frac{m L}{M+m}\)
નોંધ : ઉપરના પ્રશ્નમાં જો વ્યક્તિ પાટિયા પર આગળની તરફ u જેટલા વેગથી ગતિ કરતી હોય, તો પાટિયું પાછળની તરફ υ = \(\frac{m u}{M+m}\) જેટલા વેગથી ગતિ કરશે.

પ્રશ્ન 6.
R ત્રિજ્યા અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતો એક નક્કર ગોળો એક ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પરથી સરક્યા વિના ગબડે છે, તો તેની કુલ ગતિ-ઊર્જાનો ………………… મો ભાગ ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલો હશે.
A. \(\frac{R^2}{k^2+R^2}\)
B. \(\frac{k^2+R^2}{R^2}\)
C. \(\frac{k^2}{R^2}\)
D. \(\frac{k^2}{k^2+R^2}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{k^2}{k^2+R^2}\)
Hint : ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલો કુલ ગતિ-ઊર્જાનો ભાગ

નોંધ : ઉપરના આ પ્રશ્નમાં કુલ ગતિ-ઊર્જાનો …………….. મો ભાગ સ્થાનાંતરિત (અથવા રેખીય) ગતિ સાથે સંકળાયેલો હશે, તેમ પૂછ્યું હોય, તો
ઉત્તર:
\(\frac{R^2}{k^2+R^2}\)

પ્રશ્ન 7.
આકૃતિમાં દર્શાવેલા સમગ્ર તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર કયા સ્થાને હશે?

A. A
B. B
C. C
D. D
ઉત્તર:
C. C
Hint : તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના જે વિસ્તારમાં દળનું વિતરણ વધુ હોય તે વિસ્તારમાં સ્થિત હોય છે.

પ્રશ્ન 8.
કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જ્યારે નિયમિત તકતી અચળ કોણીય વેગથી ચાકતિ કરતી હોય ત્યારે નીચેનાં પૈકી કયું વિધાન સાચું નથી?
A. તકતીની ચાકગતિ યથાવત્ જળવાઈ રહે છે.
B. પરિભ્રમણ અક્ષ તેની તે જ રહે છે.
C. તકતીના દરેક કણની કોણીય ઝડપ અશૂન્ય અને સમાન હશે.
D. તકતીના દરેક કણનો કોણીય પ્રવેગ અશૂન્ય અને સમાન હશે.
ઉત્તર:
D. તકતીના દરેક કણનો કોણીય પ્રવેગ અશૂન્ય અને સમાન હશે.
Hint : અહીં, તકતીનો કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) = અચળ છે.
∴ તકતીનો કોણીય પ્રવેગ α = \(\frac{d \omega}{d t}\) = 0 હશે.

પ્રશ્ન 9.
2 kgનું એક પક્ષી (2î – 4ĵ)m/sના અચળવેગથી તથા 3 kgનું બીજું પક્ષી (2î + 6ĵ) m/sના અચળવેગથી ઊડતાં હોય, તો બંને પક્ષી વડે બનતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ …………….. m/s હોય.
A. 2î + 5.2ĵ
B. 2î + 2ĵ
C. 2î – 2ĵ
D. 10î + 10ĵ
ઉત્તર:
B. 2î + 2ĵ
Hint : \(\vec{V}=\frac{m_1 \overrightarrow{v_1}+m_2 \overrightarrow{v_2}}{m_1+m_2}\)
= \(\frac{(2)(2 \hat{i}-4 \hat{j})+(3)(2 \hat{i}+6 \hat{j})}{2+3}\)
= \(=\frac{10 \hat{i}+10 \hat{j}}{5}\)
= 2î + 2ĵ m/s

પ્રશ્ન 10.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ નિયમિત ઘનતાવાળા પાતળા પતરાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર …………….. cm છે.

A. (10.00, 14.28)
B. (11.67, 16.67)
C. (8.75, 12.50)
D. (7.78, 11.11)
ઉત્તર:
B. (11.67, 16.67)
Hint :

ધારો કે, આકૃતિમાં દર્શાવેલ પાતળા પતરાના દરેક ખંડનું દળ સમાન (m) છે.
A ખંડના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_1}\) = (15, 5) cm
B ખંડના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_2}\) = (5, 5) cm
C ખંડના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_3}\) = (5, 15) cm
D ખંડના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_4}\) = (5, 25)cm
E ખંડના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_5}\) = (15, 25) cm
F ખંડના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_6}\) = (25, 25) cm
સમગ્ર પતરાના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ,

પ્રશ્ન 11.
સમાન દળનું વિતરણ ધરાવતો એક પાતળો ચોરસ છે. જો તેના એક વિકર્ણનાં અંત્યબિંદુઓ (−2, 0)m અને (2, 2)m હોય, તો ચોરસ પ્લેટના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના યામ
………………. m.
A. (2, 1)
B. (2, 2)
C. (1, 0)
D. (0, 1)
ઉત્તર:
D. (0, 1)
Hint: સમાન દળ વિતરણ ધરાવતો ચોરસ હોવાથી ચોરસના વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ એ જ ચોરસ પ્લેટનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર થશે.
વિકર્ણના મધ્યબિંદુના યામ = \(\frac{(2,2)+(-2,0)}{2}\)
= \(\frac{(0,2)}{2}\)
= (0, 1)m

પ્રશ્ન 12.
સમાન ઘનતા ધરાવતી એક ચોરસ પ્લેટ અને વર્તુળાકાર તકતીને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવેલ છે. આ સંયુક્ત તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર …………………. હશે.

A. ચોરસ તકતીની અંદર
B. વર્તુળાકાર તકતીની અંદર
C. બંને પદાર્થોના સંપર્કબિંદુ ૫૨
D. તંત્રની બહારના ભાગમાં
ઉત્તર:
A. ચોરસ તકતીની અંદર
Hint : ધારો કે, આપેલ પદાર્થોનું એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ દળ σ છે.
આથી ચોરસ તકતીનું દળ m₁ = σl²
વર્તુળાકાર તકતીનું દળ m₂ = σπ(\(\frac{l}{2}\))² = σl²(\(\frac{\pi}{4}\))
અહીં, m₁ > m₂ હોવાથી તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ચોરસ તકતીની અંદર હશે.

પ્રશ્ન 13.
m₁ અને m₂ દળ ધરાવતા બે પદાર્થોને વજન રહિત દોરીના છેડે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગરગડી પરથી લટકાવેલ છે. m₂ < m₁ છે. ગરગડી ઘર્ષણ રહિત અને વજન રહિત છે.
આ બે પદાર્થોથી બનતા તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ ……………. .

A. \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) g
B. \(\frac{m_1-m_2}{\left(m_1+m_2\right)^2}\) g
C. \(\frac{\left(m_1-m_2\right)^2}{m_1+m_2}\) g
D. \(\frac{\left(m_1-m_2\right)^2}{\left(m_1+m_2\right)^2}\) g
ઉત્તર:
D. \(\frac{\left(m_1-m_2\right)^2}{\left(m_1+m_2\right)^2}\) g
Hint : અહીં, દરેક પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\) g છે.
દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો પ્રવેગ,
\(\vec{A}=\frac{m_1 \vec{a}_1+m_2 \vec{a}_2}{m_1+m_2}\)
બંને પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,

પ્રશ્ન 14.
HCl અણુમાં બે પરમાણુઓના ન્યુક્લિયસ વચ્ચેનું અંતર 1.27 Å છે. CIનો પરમાણુ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુ કરતાં આશરે 35.5 ગણો ભારે છે. આ અણુનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર H-પરમાણુના કેન્દ્રથી આશરે ……………… અંતરે હશે.
A. 1 Å
B. 2.5 Å
C. 1.2 Å
D. 1.5 Å
ઉત્તર:
C. 1.24 Å
Hint :

\(\vec{R}=\frac{m_1 \overrightarrow{r_1}+m_2 \vec{r}_2}{m_1+m_2}\)
= \(\frac{(1)(0)+(35.5)(1.27)}{1+35.5}\)
\(\frac{35.5}{36.5}\) × 1.27
= 1.24 Å

પ્રશ્ન 15.
80kg દળ ધરાવતી વ્યક્તિ 320kg દળ ધરાવતી ટ્રૉલી પર ઊભી છે. ટ્રૉલી એ ઘર્ષણ રહિત સમક્ષિતિજ રેલ પર સ્થિર છે. જો વ્યક્તિ ટ્રૉલી પર 1m/sની ઝડપથી ચાલે, તો 4s સમય બાદ તેનું જમીનની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર કેટલું હશે?
A. 5m
B. 4.8m
C. 3.2m
D. 3.0m
ઉત્તર:
C. 8.2m
Hint : જ્યારે વ્યક્તિ ટ્રૉલી ૫૨ આગળની દિશામાં ચાલશે ત્યારે સમગ્ર તંત્ર એ સમાન વેગમાનથી પાછળની દિશામાં ગતિ કરશે.

∴ υ = 0.2m/s
આથી વ્યક્તિનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ = 1.0 – 0.2
= 0.8m/s
આથી 4s સમય બાદ, વ્યક્તિનું જમીનની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર = 0.8 × 4 = 3.2m

પ્રશ્ન 16.
10kg, 20kg અને 30kg દળ ધરાવતા ત્રણ પદાર્થોનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (0, 0, 0)m છે. 40kg દળ ધરાવતો પદાર્થ ક્યાં મૂકવો જોઈએ જેથી દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન (3, 3, 3)m થાય?
A. (0, 0, 0) m
B. (7.5, 7.5, 7.5) m
C. (1, 2, 3) m
D. (4, 4, 4)m
ઉત્તર:
B. (7.5, 7.5, 7.5) m
Hint : M = 10 + 20 + 30 = 60kg, \(\vec{R}\) = (0, 0, 0) m
m = 40kg, \(\vec{r}\) = ?
નવા તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર \(\vec{R}\) = (3, 3, 3) m
\(\vec{R}=\frac{M \vec{r}_{\mathrm{cm}}+m \vec{r}}{M+m}\)
= (3, 3, 3) = \(\frac{60(0,0,0)+40(x, y, z)}{60+40}\)
= \(\frac{40(x, y, z)}{100}\)
∴ (3, 3, 3) = (0.4x, 0.4y, 0.4z)
બંને બાજુના યામ સરખાવતાં,
0.4x = 3 ∴ x = \(\frac{3}{0.4}\) = 7.5m
આ જ રીતે y = 7.5m, z = 7.5m
આથી \(\vec{r}\) = (7.5, 7.5, 7.5)m

પ્રશ્ન 17.
સ્થિર રહેલા પદાર્થના એકાએક ત્રણ ટુકડા થાય છે. બે ટુકડાઓનું વેગમાન અનુક્રમે 2p î અને p ĵ છે. જ્યાં, p એ ધન સંખ્યા છે. ત્રીજા ટુકડાનું …
A. વેગમાનનું મૂલ્ય 3p હશે.
B. વેગમાનનું મૂલ્ય √5p હશે.
C. વેગમાન X-અક્ષ સાથે tan^-1(\(\frac{1}{4}\)) જેટલા કોણ બનાવશે.
D. વેગમાન X-અક્ષ સાથે π – tan^-1(\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) જેટલો કોણ બનાવશે.
ઉત્તર:
B. વેગમાનનું મૂલ્ય √5p હશે.
Hint : વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
0 = 2pî + pĵ + \(\overrightarrow{p_3}\)
∴ \(\overrightarrow{p_3}\) = -2pî – pĵ
∴ |\(\overrightarrow{p_3}\)| = \(p \sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=p \sqrt{4+1}\)
∴ |\(\overrightarrow{p_3}\)| = p√5

પ્રશ્ન 18.
દૃઢ પદાર્થની ભ્રમણાક્ષથી 10cm અંતરે આવેલા કણની કોણીય ઝડપ 12 rads^-1 છે, તો તે ભ્રમણાક્ષથી 20 cm અંતરે આવેલા કણની કોણીય ઝડપ કેટલી હશે?
A. 2 rad s^-1
B. 15 rad s^-1
C. 12 rad s^-1
D. 10 rad s^-1
ઉત્તર :
C. 12 rad s^-1
Hint : દૃઢ પદાર્થની વ્યાખ્યા પરથી તેના દરેક કણનો નિયત ભ્રમણાક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગ સમાન હોય છે. આથી 20 cm અંતરે આવેલા કણની કોણીય ઝડપ 12 rad s^-1હશે.

પ્રશ્ન 19.
ધારો કે, પૃથ્વીનું દળ અચળ રહે તેમ એકાએક સંકોચન થઈ તેની ત્રિજ્યા \(\frac{R}{4}\) થઈ જાય, તો પૃથ્વી પરનો 24 કલાકનો દિવસ કેટલા કલાકનો થઈ જાય? R એ પૃથ્વીની હાલની ત્રિજ્યા છે.
A. 1.5 h
B. 6 h
C. 48 h
D. 36 h
ઉત્તર:
A. 1.5 h
Hint : પ્રસ્તુત કિસ્સામાં કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
L₁ = L₂
∴ I₁ω₁ = I₂ω₂
∴ \(\frac{2}{5}\) M₁R₁²ω₁ = \(\frac{2}{5}\) M₂R₂²ω₂
∴ \(\frac{2}{5}\)R₁²ω₁ = \(\frac{2}{5}\)(\(\frac{R_1}{4}\))² (∵ M₁ = M₂)
∴ \(\frac{2 \pi}{T_1}=\frac{1}{16} \cdot \frac{2 \pi}{T_2}\)
∴ T₂ = \(\frac{T_1}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\) = 1.5 h

પ્રશ્ન 20.
એક ઢાળનો કોણ 30° છે. આ ઢાળ પર ગતિ કરતા નક્કર નળાકારનો ઢાળ સાથેનો સ્થિત-ઘર્ષણાંક 0.35 છે, તો આ નળાકાર ઢાળ પર સરક્યા વગર ગબડશે?
A. નળાકાર ઢાળ પર સ્થિર રહેશે.
B. કશું કહી શકાય નહિ.
C. હા
D. ના
ઉત્તર:
C. હા
Hint : અહીં, μ_s = 0.35 છે.
હવે, \(\frac{1}{3}\) tan θ = \(\frac{1}{3}\) tan30° = 0.1924
તેથી અહીં, μ_s > tan θ છે. પરિણામે નક્કર નળાકાર ઢાળ પર સરક્યા વગર ગબડશે.

પ્રશ્ન 21.
દૃઢ વસ્તુનું કોણીય વેગમાન 50% વધે છે, તો પદાર્થની ચાકગતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો …
A. 50 %
B. 75 %
C. 100 %
D. 125 %
ઉત્તર:
D. 125 %
Hint :

= 1.25 × 100
= 125%
નોંધ : જો દૃઢ વસ્તુનું કોણીય વેગમાન 2% વધે, તો પદાર્થની ચાકગતિ-ઊર્જામાં થતો વધારો 4% હશે.
અહીં, સૂત્ર \(\frac{d K_{\mathrm{r}}}{K_{\mathrm{r}}}\) = 2 (\(\frac{d L}{L}\)) સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો.

પ્રશ્ન 22.
એક વર્તુળાકાર તકતીની તેના કોઈ એક વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I છે, તો આ વ્યાસને સમાંતર અને તકતીને સ્પર્શતા હોય તેવા અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
A. 4I
B. 5I
C. \(\frac{3}{2}\) I
D. 3I
ઉત્તર:
B. 51
Hint : તકતીના કોઈ એક વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I = \(\frac{1}{4}\) MR². હવે, તકતીને સ્પર્શતી હોય તેવા અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકમાત્રા I’ = I_C + Ma² = I + MR²

∴ I’ = \(\frac{1}{4}\) MR² + MR²
= 5 (\(\frac{1}{4}\) MR²
= 5I

પ્રશ્ન 23.
જમીન અને પૈડા વચ્ચેનો સંપર્કબિંદુ P છે. જ્યારે પૈડું જમીન પર સરક્યા વિના અડધું ચક્ર પૂર્ણ કરે, તો ‘P’નું સ્થાનાંતર કેટલું થયું હશે? પૈડાની ત્રિજ્યા 1m છે.
A. 2 m
B. \(\sqrt{\pi^2+4}\) m
C. π m
D. \(\sqrt{\pi^2+2}\) m
ઉત્તર:
B. \(\sqrt{\pi^2+4}\) m
Hint :

પૈડું જ્યારે અડધું ભ્રમણ કરશે ત્યારે સમક્ષિતિજ દિશામાં πr = π (1) = π m જેટલું અંતર કાપશે. જ્યારે ઊર્ધ્વદિશામાં બિંદુ P 2m જેટલું અંતર કાપે છે (જુઓ આકૃતિ). આથી બિંદુ Pનું પરિણામી સ્થાનાંતર, \(\sqrt{\pi^2+2^2}=\sqrt{\pi^2+4}\) m

પ્રશ્ન 24.
M દળ અને r ત્રિજ્યાવાળી પાતળી વર્તુળાકાર રિંગ એ ω જેટલા અચળ કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે. હવે, m દળવાળા ચાર પદાર્થોને તે રિંગની પરસ્પર લંબ એવા બે વ્યાસના છેડે ધીરેથી મૂકવામાં આવે છે. આ રિંગનો કોણીય વેગ ………………. .
A. \(\frac{M \omega}{4 m}\)
B. \(\frac{M \omega}{M+4 m}\)
C. \(\frac{(M+4 m) \omega}{M}\)
D. \(\frac{(M-4 m)}{M+4 m}\) ω
ઉત્તર:
B. \(\frac{M \omega}{M+4 m}\)
Hint : પ્રથમ કિસ્સામાં રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I₁ = Mk² ચાર પદાર્થ મૂક્યા પછી રિંગની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I₂ = (M + 4m) k²
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
I₂ω₂ = I₁ω₁
∴ ω₂ = \(\frac{I_1}{I_2}\) · ω₁
= \(\frac{M k^2}{(M+4 m) k^2}\) · ω
∴ ω₂ = \(\frac{M}{M+4 m}\) ω

પ્રશ્ન 25.
m ગ્રામ દળ ધરાવતા ત્રણ કણ સમબાજુ ત્રિકોણ ABCના શિરોબિંદુ પર છે. ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ l cm છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ABC સમતલમાં AX અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા gcmમાં કેટલી થશે?

A. \(\frac{3}{4}\) ml²
B. 2 ml²
C. \(\frac{5}{4}\) ml²
D. \(\frac{3}{2}\) ml²
ઉત્તર:
C. \(\frac{5}{4}\) ml²
Hint :

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ત્રણેય કણોના ભ્રમણાક્ષથી લંબઅંતર,
r_A = 0, r_B = l, r_C = l sin 30° = \(\frac{l}{2}\)
∴ AX અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = mr_A² + mr_B² +mr_C²
= m(0)² + m(l)² + m(\(\frac{l}{2}\))² = \(\frac{5}{4}\) ml²

પ્રશ્ન 26.
એક નિયમિત સળિયો જેની લંબાઈ l અને દળ m છે, તે બિંદુ Aને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરે છે. સ્થિર સળિયાને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. બિંદુ Aને અનુલક્ષીને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા ml²/3 હોય, તો તેનો પ્રારંભિક કોણીય પ્રવેગ ……………….

A. \(\frac{m g l}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\) gl
C. \(\frac{3 g}{2 l}\)
D. \(\frac{2 g}{2 l}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{3 g}{2 l}\)
Hint : સળિયાનું વજન ટૉર્ક ઉત્પન્ન કરશે.

τ = Iα
∴ mg × \(\frac{l}{2}\) = \(\frac{m l^2}{3}\) × α
∴ કોણીય પ્રવેગ α = \(\frac{3 g}{2 l}\)

પ્રશ્ન 27.
L લંબાઈ અને M દળ ધરાવતા પાતળા સળિયાને તેના મધ્યબિંદુ થી 90° ના ખૂણે વાળવામાં આવે છે. વાળેલા સળિયાના સમતલમાંથી અને બિંદુ O માંથી પસાર થતા અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા …………… .
A. \(\frac{M L^2}{6}\)
B. \(\frac{\sqrt{2} M L^2}{24}\)
C. \(\frac{M L^2}{24}\)
D. \(\frac{M L^2}{12}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{M L^2}{12}\)
Hint :

L લંબાઈના સળિયાની તેના કોઈ એક છેડા આગળના અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I = \(\frac{1}{3}\)ML² થાય.
આ પરથી,
OA સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા I_A = \(\frac{1}{3}\)(\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{L}{2}\))²
OB સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા I_B = \(\frac{1}{3}\)(\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{L}{2}\))²
∴ તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = I_A + I_B
= \(\frac{1}{3}\)(\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{L}{2}\))² + \(\frac{1}{3}\)(\(\frac{M}{2}\))(\(\frac{L}{2}\))²
= \(\frac{M L^2}{24}+\frac{M L^2}{24}\)
∴ I = \(\frac{1}{12}\) ML²

પ્રશ્ન 28.
M દળ અને l લંબાઈના ચાર સળિયા એક ચોરસ ફ્રેમની રચના કરે છે. આ ચોરસના સમતલને લંબ અને ફ્રેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા ……………. .
A. \(\frac{2}{3}\) Ml²
B. \(\frac{13}{3}\) Ml²
C. \(\frac{1}{3}\) Ml²
D. \(\frac{4}{3}\) Ml²
ઉત્તર:
D. \(\frac{4}{3}\) Ml²
Hint :

AB સળિયાની તેના કેન્દ્ર Pમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
I_C = \(\frac{1}{12}\) Ml²
AB સળિયાની Oમાંથી પસાર થતી અને ચોરસના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = I_C + Ma² = \(\frac{1}{12}\) Ml² + (\(\frac{l}{2}\))²
∴ I = \(\frac{M l^2}{3}\)
આ ચારેય સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I’ = 4 (\(\frac{M l^2}{3}\)) = \(\frac{4}{3}\) Ml²

પ્રશ્ન 29.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ T આકારનો નિયમિત દળ વિતરણ ધરાવતો પદાર્થ લીસી સપાટી પર છે. હવે બિંદુP ૫૨, AB ને સમાંતર દિશામાં બળ \(\vec{F}\) એવી રીતે લગાવવામાં આવે છે, જેથી પદાર્થ ચાકગતિ કર્યા વિના ફક્ત રેખીય ગતિ કરે, તો બિંદુ Cની સાપેક્ષે બિંદુ Pનું સ્થાન શોધો.

A. \(\frac{4}{3}\) l
B. l
C. \(\frac{3}{4}\) l
D. \(\frac{3}{2}\) l
ઉત્તર:
A. \(\frac{4}{3}\) l
Hint : પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પર બળ લગાડવામાં આવે, તો પદાર્થ ચાકગતિ કર્યા વિના રેખીય ગતિ કરે છે. તેથી બિંદુ Q એ T આકારના પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર ગણાય. ધારો કે, l લંબાઈના AB સળિયાનું દળ m છે. આથી 2l લંબાઈના CD સળિયાનું દળ 2m થશે. AB સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર બિંદુ D અને CD સળિયાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર બિંદુ P છે.
AB સળિયાનું દળ = m અને \(\overrightarrow{r_1}\) = (0, 2l)
CD સળિયાનું દળ = 2m અને \(\overrightarrow{r_2}\) = (0, l)
આથી સમગ્ર તંત્રનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર,
\(\vec{R}=\frac{m(0,2 l)+2 m(0, l)}{m+2 m}\)
Y = \(\frac{4 m l}{3 m}=\frac{4}{3} l\)

પ્રશ્ન 30.
એક ગ્રામોફોન રેકૉર્ડ ω જેટલા કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે. આ રેકૉર્ડના કેન્દ્રથી r અંતરે એક સિક્કો મૂકેલો છે. સ્થિત-ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય µ છે. સિક્કો એ રેકૉર્ડની સાથે ભ્રમણ ક૨શે જો ………………… .
A. r = μgω²
B.r < \(\frac{\omega^2}{\mu g}\)
C.r ≤ \(\frac{\mu g}{\omega^2}\)
D.r ≥ \(\frac{\mu g}{\omega^2}\)
ઉત્તર:
C. r ≤ \(\frac{\mu g}{\omega^2}\)
Hint : સિક્કો એ રેકૉર્ડની સાથે ભ્રમણ કરે તે માટે,
ઘર્ષણબળ ≥ કેન્દ્રત્યાગી બળ
μmg ≥ mrω²
∴ r ≤ \(\frac{\mu g}{\omega^2}\)

પ્રશ્ન 31.
m દળ ધરાવતા ચાર બિંદુવત્ કણો એ ABCD ચોરસના શિરોબિંદુ પર મૂકેલા છે. ચોરસની લંબાઈ l છે, તો બિંદુ Aમાંથી પસાર થતી અને BDને સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા કેટલી થશે?
A. ml²
B. 2ml²
C. √3 ml²
D. 3ml²
ઉત્તર:
D. 3ml²
Hint :

કણ B અને કણ D એ અક્ષથી \(\frac{l}{\sqrt{2}}\) જેટલા લંબ-અંતરે છે.
કણ C એ અક્ષથી 2(\(\frac{l}{\sqrt{2}}\)) જેટલા લંબઅંતરે છે.
(જુઓ આકૃતિ)
આથી I = I_B + I_D + I_C
= m (\(\frac{l}{\sqrt{2}}\))² + m(\(\frac{l}{\sqrt{2}}\))² + m(2\(\frac{l}{\sqrt{2}}\))²
= \(\frac{2 m l^2}{2}+\frac{4 m l^2}{2}\) = 3ml2

પ્રશ્ન 32.
l લંબાઈ અને m દળવાળો પાતળો સળિયો સમક્ષિતિજ અક્ષને અનુલક્ષીને ઊર્ધ્વસમતલમાં દોલન કરે છે. સળિયાનો મહત્તમ કોણીય વેગ ω છે, તો તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર મહત્તમ કેટલી ઊંચાઈએ જશે?
A. \(\frac{1}{3} \frac{l^2 \omega^2}{g}\)
B. \(\frac{1}{6} \frac{l \omega}{g}\)
C. \(\frac{1}{2} \frac{l^2 \omega^2}{g}\)
D. \(\frac{1}{6} \frac{l^2 \omega^2}{g}\)
ઉત્તર:
D. \(\frac{1}{6} \frac{l^2 \omega^2}{g}\)
Hint :

જ્યારે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર h જેટલી ઊંચાઈએ જશે ત્યારે સળિયાની સ્થિતિ-ઊર્જા mgh જેટલી થશે, જે ચાકગતિ-ઊર્જા = \(\frac{1}{2}\) Iω² બરાબર હશે.
∴ mgh = \(\frac{1}{2}\) Iω²
= \(\frac{1}{2}\)(\(\frac{1}{3}\) ml²) ω²
∴ h = \(\frac{l^2 \omega^2}{6 g}\)

પ્રશ્ન 33.
ઘર્ષણ રહિત પુલીને વીંટાળેલ દોરીના છેડે m દળ લટકાવેલ છે. પુલીનું દળ m અને ત્રિજ્યા R છે. પુલી એ નિયમિત વર્તુળાકાર તકતી હોય અને દોરી પુલી પર સરકતી ના હોય, તો m દળનો પ્રવેગ ……………… .
A. \(\frac{3}{2}\) g
B. g
C. \(\frac{2}{3}\) g
D. \(\frac{g}{3}\)
ઉત્તર:
C. \(\frac{2}{3}\) g
Hint : પુલી અને m દળના પદાર્થનો FBD નીચે મુજબ છે :

આકૃતિ પરથી,
mg – T = ma
∴ T = m (g – a) ……. (1)
જો તકતીનો કોણીય પ્રવેગ α હોય, તો
Iα = TR
પરંતુ α = \(\frac{a}{R}\) અને I = \(\frac{1}{2}\) mR² છે.
∴ \(\frac{m R^2}{2} \cdot \frac{a}{R}\) = m(g – a)R (∵ સમીકરણ (1) પરથી)
∴ \(\frac{a}{2}\) = g – a
∴ a = \(\frac{2}{3}\) g

પ્રશ્ન 34.
30cm ત્રિજ્યાનું પૈડું પોતાની ધરીની આસપાસ નિયમિત રીતે ભ્રમણ કરી 30°નું કોણીય સ્થાનાંતર કરે છે. આ પેડાએ કાપેલ રેખીય અંતર ………….. હશે.
A. \(\frac{\pi}{10}\) m
B. \(\frac{\pi}{20}\) m
C. \(\frac{\pi}{30}\) m
D. \(\frac{2 \pi}{30}\) m
ઉત્તર:
B. \(\frac{\pi}{20}\) m
Hint : આકૃતિ પરથી,
d = PQ = Rθ
∴ d = 0.3 X \(\frac{\pi}{6}\)
= \(\frac{\pi}{20}\) m

પ્રશ્ન 35.
સમાંતર અક્ષ પ્રમેય અનુસાર, I = I_C + Ma² છે. નીચેનામાંથી I વિરુદ્ધ તનો કયો આલેખ યોગ્ય છે?

ઉત્તર:

Hint : I = I_C + Ma² સમીકરણ દર્શાવે છે કે, આલેખ એ I અક્ષને અનુલક્ષીને સંમિત પરવલય આકાર ધરાવે છે, પરંતુ તે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર નહિ થાય, કારણ કે જ્યા૨ે a = 0 છે ત્યારે I = I_C જેટલું અચળ મૂલ્ય ધરાવે છે.