GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 14 દોલનો in Gujarati

Solving these GSEB Std 11 Physics MCQ Gujarati Medium Chapter 14 દોલનો will make you revise all the fundamental concepts which are essential to attempt the exam.

GSEB Std 11 Physics MCQ Chapter 14 દોલનો in Gujarati

નીચેના દરેક પ્રશ્નમાં વિધાન A અને કારણ R આપેલા છે. કાળજીપૂર્વક અભ્યાસ કરી નીચે આપેલી સૂચના મુજબ યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

A. વિધાન A અને કારણ R બંને સાચાં છે તથા કારણ R એ વિધાન Aની સાચી સમજૂતી આપે છે.
B. વિધાન A અને કારણ R બંને સાચાં છે, પરંતુ કારણ R એ વિધાન Aની સાચી સમજૂતી આપતું નથી.
C. વિધાન A સાચું છે અને કારણ R ખોટું છે.
D. વિધાન A ખોટું છે અને કારણ R સાચું છે.

પ્રશ્ન 1.
વિધાન A : દરેક દોલિત ગતિ આવર્તગતિ છે, પરંતુ દરેક આવર્તગતિ દોલિત ગતિ નથી.
કારણ R : સાદું લોલક એ દોલિત ગતિનું ઉદાહરણ છે.
ઉત્તર:
B

પ્રશ્ન 2.
વિધાન A : અવમંદિત દોલનો ઊર્જાનો ઘટાડો સૂચવે છે. કારણ
R : અવમંદિત દોલનોમાં ઊર્જાનો ઘટાડો ઘર્ષણ, હવાનો અવરોધ વગેરેને કારણે થાય છે.
ઉત્તર:
B

પ્રશ્ન 3.
વિધાન A : દોલન કરતા સાદા લોલકનો કંપવિસ્તાર સમય સાથે ક્રમશઃ ઘટે છે.
કારણ R : સાદા લોલકની આવૃત્તિ સમય સાથે ઘટે છે.
ઉત્તર:
C

પ્રશ્ન 4.
વિધાન A : પ્રણોદિત દોલનોનો કંપવિસ્તાર અચળ હોય છે. કારણ
R : પ્રણોદિત દોલક પર બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
ઉત્તર:
C

પ્રશ્ન 5.
વિધાન A : સાદા લોલકની લંબાઈમાં 4%નો વધારો કરતાં તેના આવર્તકાળમાં 2 %નો ઘટાડો થાય છે.
કારણ R : T ∝ √l
ઉત્તર:
D

પ્રશ્ન 6.
વિધાન A : મૃદુ/સ્પ્રિંગ કરતાં કડક સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ નાનો હોય છે.
કારણ R : આવર્તકાળ સ્પ્રિંગ-અચળાંકના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
ઉત્તર:
B

પ્રશ્ન 7.
વિધાન A : સ.આ.ગ.માં જ્યારે પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે ત્યારે વેગ મહત્તમ હોય છે.
કારણ R : સ્થાનાંતર અને વેગ વચ્ચે કળા-તફાવત $\frac{\pi}{2}$ છે.
ઉત્તર:
D

પ્રશ્ન 8.
વિધાન A : સ.આ.ગ.માં સ્થાનાંતર $\frac{A}{\sqrt{2}}$ જેટલું થાય ત્યારે ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા સમાન હોય છે.
કારણ R: સ.આ.ગ.માં ગતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય ત્યારે સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
ઉત્તર:
B

નીચેના દરેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરી લખો :

પ્રશ્ન 1.
સ.આ.ગ.માં કણનો પ્રવેગ શૂન્ય ત્યારે થાય જ્યારે …
A. તેનો વેગ શૂન્ય હોય.
B. તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય.
C. તેનો વેગ અને સ્થાનાંતર બંને શૂન્ય હોય.
D. તેનો વેગ અને સ્થાનાંતર બંને મહત્તમ હોય.
ઉત્તર:
B. તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય.
Hint : સ.આ.ગતિ કરતા કણનો પ્રવેગ a = – ω²x અનુસાર
જ્યારે સ્થાનાંતર x = 0 થશે ત્યારે a = 0 થશે.

પ્રશ્ન 2.
સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થનો મહત્તમ પ્રવેગ a_max અને મહત્તમ વેગ a_max છે, તો તેનો કંપવિસ્તાર …
A. υ²_max/a_max
B. a²_max/υ_max
C. υ²_max/a²_max
D. υ_max/a_max
ઉત્તર :
A. υ²_max/a_max
Hint : સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થ માટે,
પ્રવેગ a = – ω²y
∴ મહત્તમ પ્રવેગ a_max = ω²A
મહત્તમ વેગ υ_max = ± Aω
∴ $\frac{υ_{\max }^2}{a_{\max }}=\frac{A^2 \omega^2}{A \omega^2}$ = A = કંપવિસ્તાર

પ્રશ્ન 3.
ગતિ એ સરળ આવર્ત બને તે માટેની આવશ્યક શરત કઈ છે?
A. પદાર્થ પર લાગતું સમાસ બળ અચળ હોય.
B. સમાન બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં હોય.
C. સમાસ બળ સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
D. સમાસ બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
ઉત્તર :
D. સમાસ બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
Hint : F = – kx અનુસાર સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થ પર લાગતું સમાસ બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
સાદા લોલકની લંબાઈ l અને તેના આવર્તકાળ Tનો આલેખ …
A. સુરેખા છે.
B. ઉપવલય છે.
C. પરવલય છે.
D. અતિવલય છે.
ઉત્તર:
C. પરવલય છે.
Hint : આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$ પરથી T² = $\frac{4 \pi^2}{g}$ · l
જે પરવલયના સમીકરણ y² =4ax જેવું છે. એટલે કે l અને T વચ્ચેનો સંબંધ પરવલય આકારનો હશે.

પ્રશ્ન 5.
બે દોલકના આવર્તકાળ અનુક્રમે T અને $\frac{5 T}{4}$ છે. તેઓ તેમના ગતિપથના મધ્યમાન સ્થાનેથી એકસાથે ઊર્ધ્વદિશામાં દોલનો શરૂ કરે છે. જ્યારે T આવર્તકાળ ધરાવતા દોલકનું એક દોલન પૂર્ણ થયું હોય, ત્યારે તેમની કળાનો તફાવત ……… છે.
A. 45°
B. 72°
C. 90°
D. 112°
ઉત્તર:
B. 72°
Hint :

પ્રશ્ન 6.
એક સ.આ.દોલકનો આવર્તકાળ T છે. નિયતબિંદુથી શરૂ કરીને $\frac{3}{8}$ જેટલું દોલન પૂરું કરતાં તેને કેટલો સમય લાગશે?
A. $\frac{3}{8}$ T
B. $\frac{5}{8}$ T
C. $\frac{5}{12}$ T
D. $\frac{8}{3}$ T
ઉત્તર:
C. $\frac{5}{12}$ T
Hint : $\frac{3}{8}$ દોલન = ($\frac{1}{4}$ + $\frac{1}{8}$) દોલન
$\frac{1}{4}$ દોલન પૂરું કરવા લાગતો સમય = $\frac{T}{4}$
અંતિમ બિંદુથી $\frac{1}{8}$ દોલન પૂરું કરવા લાગતો સમય,
y = Acos ωt
∴ $\frac{A}{2}$ = A cos ($\frac{2 \pi}{T}$) t
∴ $\frac{1}{2}$ = cos ($\frac{2 \pi}{T}$) t
∴ ($\frac{2 \pi}{T}$) t$\frac{\pi}{3}$ … t = $\frac{T}{6}$
∴ $\frac{3}{8}$ દોલન પૂરું કરવા લાગતો સમય = $\frac{T}{4}$ + $\frac{T}{6}$
= $\frac{5}{12}$ T

પ્રશ્ન 7.
નિયતબિંદુ પરથી પસાર થતા એક 0.5m લંબાઈવાળા સાદા લોલકના ગોળાનો વેગ 3m/s છે. જ્યારે લોલક શિરોલંબ સાથે 60°નો કોણ બનાવે, ત્યારે તેના ગોળાનો વેગ ………………. હશે.
(g = 10m/s² લો.)
A. $\frac{1}{3}$ m s^-1
B. $\frac{1}{2}$ m s^-1
C. 2 m s^-1
D. 3 m s^-1
ઉત્તર :
C. 2 m s^-1
Hint :

નિયતબિંદુ ૦ આગળ ગોળાની ગતિ-ઊર્જા = $\frac{1}{2}$ mυ²
= $\frac{1}{2}$ m(3)²
= $\frac{9}{2}$ m
ધારો કે, B બિંદુએ ગોળાનો વેગ υ’ છે.
ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં,
$\frac{9}{2}$ m = $\frac{1}{2}$ mυ² + mgl(1 – cos θ)
∴ 9 = υ’² + 2 × 10 × 0.5 (1 – $\frac{1}{2}$)
∴ υ’² = 4
∴ υ’ = 2 m s^-1

પ્રશ્ન 8.
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે સમાન સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો સાથે m દળ લટકાવેલ છે. $\frac{T_1}{T_2}$ કેટલો થશે?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
ઉત્તર:
A. 1
Hint : આકૃતિ (a)માં બંને સ્પ્રિંગ સમાંતરમાં હોવાથી k_p = k + k = 2k.
આકૃતિ (b)માં ઉપર અને નીચે સ્પ્રિંગના છેડા જિડત આધાર સાથે જોડેલા હોવાથી તેઓ સમાંતર જોડાણમાં છે તેમ કહેવાય. આથી સમતુલ્ય બળ-અચળાંક k’_p = k + k = 2k. બંને કિસ્સામાં દળ (m) અને સ્પ્રિંગ-અચળાંક સમાન હોવાથી આવર્તકાળ પણ સમાન થશે. આથી = $\frac{T_1}{T_2}$ = 1.

પ્રશ્ન 9.
આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે m દળને ત્રણ સ્પ્રિંગો સાથે જોડેલ છે, તો T શું થશે?

A. 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$
B. 2π $\sqrt{\frac{m}{3 k}}$
C. 2π $\sqrt{\frac{3 m}{2 k}}$
D. 2π $\sqrt{\frac{2 k}{3 m}}$
ઉત્તર:
C. 2π $\sqrt{\frac{3 m}{2 k}}$
Hint : આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે નીચેની બે સ્પ્રિંગો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી તેનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ-અચળાંક
k’ = k +k = 2k.
હવે ‘ અને ઉપરની સ્પ્રિંગ k બંને શ્રેણીમાં હોવાથી સમતુલ્ય સ્વિંગ-અચળાંક,
k”= $\frac{k \times 2 k}{k+2 k}$ = $\frac{2}{3}$ k
∴ આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{m}{k^{\prime \prime}}}$ = 2π $\sqrt{\frac{m}{\frac{2}{3} \pi}}$ = 2π $\sqrt{\frac{3 m}{2 k}}$

પ્રશ્ન 10.
જો સ્પ્રિંગના પુનઃસ્થાપક બળ F અને સ્પ્રિંગ-અચળાંક k હોય, તો સ્પ્રિંગને છેડે વજન લટકાવતાં તે y જેટલી ખેંચાય ત્યારે સ્પ્રિંગમાં સંગૃહીત સ્થિતિ-ઊર્જા કેટલી હશે ?
A. $\frac{F^2}{2 y}$
B. $\frac{F^2}{2 k}$
C. $\frac{2 y}{F^2}$
D. $\frac{2 k}{F^2}$
ઉત્તર:
B. $\frac{F^2}{2 k}$
Hint : સ્પ્રિંગમાં સંગૃહીત ઊર્જા,
U = $\frac{1}{2}$ky²
પરંતુ સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થ પર લાગતા બળ
F = – ky પરથી y = $\frac{F}{k}$ મૂકતાં,
U = $\frac{1}{2}$ k ($\frac{F}{k}$)² = $\frac{F^2}{2 k}$

પ્રશ્ન 11.
અવમંદિત દોલનના કિસ્સામાં કંપવિસ્તાર એ મૂળ કંપવિસ્તારના મા ભાગનો થવા લાગતો સમય ……………. છે.
A. $\frac{m}{2 b}$
B. $\frac{2 m}{b}$
C. e^-bt/2m
D. e^2m/b
ઉત્તર:
B. $\frac{2 m}{b}$
Hint :

પ્રશ્ન 12.
એક સ.આ.દોલક તેનાં દોલનો તેના ગતિપથના નીચેના અંતિમ છેડેથી શરૂ કરે છે. 10 દોલનોના અંતે તેની કળા …………… હશે. ગતિ Y-અક્ષ પર અને સંદર્ભદિશા ધન X-અક્ષ પર લો.
A. $\frac{1}{2}$ π rad
B. 5 π rad
C. 10 π rad
D. $\frac{43}{2}$ π rad
ઉત્તર :
D. $\frac{43}{2}$ π rad
Hint : સ.આ.દોલક ગતિપથના નીચેના અંતિમ છેડેથી દોલનની શરૂઆત કરે છે.
આથી પ્રારંભિક કળા Φ = $\frac{3 \pi}{2}$ rad
n દોલનને અંતે સ.આ.દોલકની કળા
= Φ + 2πn
= $\frac{3 \pi}{2}$ + 2π(10)
= $\frac{43 \pi}{2}$ π rad

પ્રશ્ન 13.
એક દોલક પર બાહ્ય આવર્ત બળ F = F₀ sin ωt લાગે છે. જો ω = ω₁ માટે દોલકનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ અને ω = ω₂ માટે ઊર્જા મહત્તમ હોય ત્યારે (ω₀ એ પ્રાકૃતિક કોણીય આવૃત્તિ છે. (b = 0 છે.))
A. ω₁ = ω₀ અને ω₂ ≠ ω₀
B. ω₁ ≠ ω₀ અને ω₂ ω₀
C. ω₁ ≠ ω₀ અને ω₂ ≠ ω₀
D. ω₁ = ω₀ અને ω₂ = ω₀
ઉત્તર:
D. ω₁ = ω₀ અને ω₂ = ω₀
Hint : અનુનાદની ઘટનામાં જ્યારે બાહ્ય બળની કોણીય આવૃત્તિ ω₁ અને તંત્રની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન થાય ત્યારે દોલનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ બને છે.
સ.આ.ગ.ની યાંત્રિક ઊર્જા = $\frac{1}{2}$ mω₀²A²
અનુનાદની ઘટનામાં કંપવિસ્તાર મહત્તમ થતાં ઊર્જા પણ મહત્તમ થાય છે. આ સ્થિતિમાં ω₂ = ω₀ થાય.
આમ, ω₁ = ω₀ અને ω₂ = ω₀ સત્ય છે.
નોંધ : જો આપેલ પ્રશ્નમાં b ≠ 0 હોય, તો ω₁નું મૂલ્ય ω₀ કરતાં ઓછું હોય. (જુઓ અનુનાદ વક્ર) ત્યારે કંપવિસ્તાર
મહત્તમ થાય ω₁ ≠ ω₀ જ્યારે દોલકની ઊર્જા મહત્તમ ત્યારે જ થાય જ્યારે ω₂ = ω₀ હોય.)

પ્રશ્ન 14.
સ્પ્રિંગના નીચેના છેડે 1kg દળ લગાડેલ છે, જેના દોલનની એક ચોક્કસ આવૃત્તિ છે. આમાં કેટલું દળ ઉમેરતાં તેની આવૃત્તિમાં
અડધો ઘટાડો થાય ?
A. 1 kg
B. 2 kg
C. 3 kg
D. 4 kg
ઉત્તર:
C. 3g
Hint : પ્રથમ કિસ્સામાં આવૃત્તિ f₁ = $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m_1}}$ ………… (1)
બીજા કિસ્સામાં આવૃત્તિ $\frac{f_1}{2}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m_1+m}}$ ……….. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,
2 = $\sqrt{\frac{m_1+m}{m_1}}$
∴ 4 = $\frac{m_1+m}{m_1}$
∴ m = 4m₁ – m₁ = 4(1) – 1 = 3kg

પ્રશ્ન 15.
જ્યારે ટ્રેન 10ms^-2થી પ્રવેગી ગતિ કરે છે ત્યારે ટ્રેનના ડબ્બાની છત પરથી લટકાવેલ લોલકનો આવર્તકાળ 2s છે. જ્યારે ટ્રેન 10ms^-2ના પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરશે ત્યારે આ લોલકનો આવર્તકાળ કેટલો હશે?
A. 2 s
B. √2 s
C. 2√2 s
D. $\frac{2}{\sqrt{2}}$ s
ઉત્તર:
A. 2 s
Hint :

ટ્રેન પ્રવેગી ગતિ કરે ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ,
g_eff = $\sqrt{g^2+a^2}$
ટ્રેન પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ,
g_eff = $\sqrt{g^2+(-a)^2}$
= $\sqrt{g^2+a^2}$
અહીં, બંને કિસ્સામાં અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ સમાન હોવાથી લોલકનો આવર્તકાળ બદલાશે નહિ. એટલે કે T₁ = T₂ = 2 s

પ્રશ્ન 16.
$\frac{d^2 x}{d t^2}$ + αx = 0 વડે દર્શાવવામાં આવતી સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ ……………….. થાય.
A. 2 π α
B. 2 π √α
C. $\frac{2 \pi}{\alpha}$
D. $\frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$
ઉત્તર:
D. $\frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$
Hint : $\frac{d^2 x}{d t^2}$ + ax = 0ને $\frac{d^2 x}{d t^2}$ + ω²x = 0 સાથે
સરખાવતાં,
ω² = α
∴ ω = √α
∴ $\frac{2 \pi}{T}$ = √α .. T = $\frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}$

પ્રશ્ન 17.
સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થનો આવર્તકાળ 4s છે, તો t = 0થી કેટલા સમય પછી તે પદાર્થનું સ્થાનાંતર તેના કંપવિસ્તારથી અડધું થશે?
A. $\frac{1}{2}$ s
B. $\frac{1}{3}$ s
C. $\frac{1}{4}$ s
D. $\frac{1}{6}$ s
ઉત્તર:
B. $\frac{1}{3}$ s
Hint : y = Asin ωt
∴ $\frac{A}{2}$ = A sin $\frac{2 \pi}{T}$ · t
∴ $\frac{1}{2}$ = sin ($\frac{2 \pi}{4}$ t)
∴ $\frac{1}{2}$ = sin ($\frac{\pi}{4}$ t)
∴ $\frac{\pi}{2}$ t = sin^-1 ($\frac{1}{2}$) = $\frac{\pi}{6}$
∴ t = $\frac{1}{3}$ s

પ્રશ્ન 18.
સ.આ.ગતિનાં બે સમીકરણો y = a sin (ωt – α) અને y = b cos(ωt – α) આપેલા છે, તો તેમની વચ્ચેનો કળા-તફાવત ………………. મળે.
A. 0
B. 90°
C. α
D. 180°
ઉત્તર:
B. 90°
Hint : y = asin(ωt – α) = a cos (ωt – α + $\frac{\pi}{2}$ અને y = bcos (ωt – α)
આથી કળા-તફાવત = (ωt – α + $\frac{\pi}{2}$) – (ωt – α)
= $\frac{\pi}{2}$ rad અથવા 90°

પ્રશ્ન 19.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ નીચે દર્શાવવામાં આવેલ છે, તો આ આલેખ સાથે સુસંગત હોય તેવો બળ–સમયનો કયો આલેખ સાચો છે?


ઉત્તર:

Hint : સ.આ.ગ.માં બળ F = – kx છે, જે દર્શાવે છે કે બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચે કળા-તફાવત 180° છે.
આથી વિકલ્પ Cમાં દર્શાવેલ આલેખ સાચો છે.

પ્રશ્ન 20.
એક કણ નિયતબિંદુથી સરળ આવર્તગતિની શરૂઆત કરે છે. તેનો કંપવિસ્તાર A અને આવર્તકાળ T છે, તો કયા સ્થાનાંતરે તે કણની ઝડપ મહત્તમ ઝડપથી અડધી થાય?
A. $\frac{A}{2}$
B. $\frac{A}{\sqrt{2}}$
C. $\frac{A \sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{2 A}{\sqrt{3}}$
ઉત્તર:
C. $\frac{A \sqrt{3}}{2}$
Hint : υ = ± ω$\sqrt{A^2-y^2}$ પરથી,
$\frac{\omega A}{2}= \pm \omega \sqrt{A^2-y^2}$ (∵ υ_max = ωA)
∴ $\frac{A^2}{4}$ = A² – y²
∴ y² = A² – $\frac{A^2}{4}=\frac{3 A^2}{4}$
∴ y = ± $\frac{A \sqrt{3}}{2}$

પ્રશ્ન 21.
એક કણના સ્થાનાંતરનું સમીકરણ x = 3 sin 2 t+ 4 cos 2t છે, તો કંપવિસ્તાર અને મહત્તમ ઝડપ અનુક્રમે ………………. એકમ થાય.
A. 5, 10
B. 3, 2
C. 4, 2
D. 3, 4
ઉત્તર:
A. 5, 10
Hint : x = 3 sin 2t + 4 cos 2tને
x = A cos Φ sin ωt + A sin Φ cos ωt
સાથે સરખાવતાં,
A cos Φ = 3, A sin Φ = 4, ω = 2 એકમ
કંપવિસ્તાર, A² cos² Φ + A² sin² Φ
= (3)² + (4)² = 25
∴ A² = 25 .. A = 5 એકમ
મહત્તમ ઝડપ υ_max = ωA = (2) (5) = 10 એકમ

પ્રશ્ન 22.
સરળ આવર્તગતિના સ્થાનાંતરનું સૂત્ર y = 3 sin (100t – $\frac{\pi}{6}$) વડે આપવામાં આવે છે, તો તેનો મહત્તમ વેગ ………………. મળે.
A. 300
B. 100
C. $\frac{3 \pi}{6}$
D. $\frac{\pi}{6}$
ઉત્તર:
A. 300
Hint : y = 3 sin (100t – $\frac{\pi}{6}$ )ને
y = A sin (ωt + Φ) સાથે સરખાવતાં,
A = 3 એકમ, ω = 100 એકમ
મહત્તમ વેગ υ_max = ωA = (100) (3) = 300 એકમ

પ્રશ્ન 23.
સરળ આવર્તગતિ કરતા ણનો કંપવિસ્તાર 4 cm છે. નિયતબિંદુએ કણની ઝડપ 16 cm s^-1 છે, તો જ્યારે કણની ઝડપ 8√3 cm
થાય ત્યારે કણનું નિયતબિંદુથી અંતર ………….. મળે.
A. 2√3 cm
B. √3 cm
C. 1 cm
D. 2 cm
ઉત્તર:
D. 2 cm
Hint : નિયતબિંદુએ ઝડપ મહત્તમ હોય છે.
∴ υ_max = ωA
∴ ω = $\frac{v_{\max }}{A}=\frac{16}{4}$ = 4 rad s^-1
હવે, υ = ± ω $\sqrt{A^2-y^2}$
∴ $8 \sqrt{3}= \pm 4 \sqrt{(4)^2-y^2}$
∴ 192 = 16 (16 – y²)
∴ y = ±2 cm

પ્રશ્ન 24.
સ.આ.દોલકનો મહત્તમ વેગ અને કંપવિસ્તાર અનુક્રમે 100 cm s^-1 10 cm છે, તો નિયતબિંદુથી ………………. અંતરે તેનો વેગ 50 cm s^-1 થશે.
A. 5 cm
B. 5√2 cm
C. 5√3 cm
D. 10/2 cm
ઉત્તર:
C. 5√3 cm
Hint : υ_max = 100 cm s^-1, A = 10 cm,
υ = 50 cm s^-1
υ_max = ωA
∴ 100 = ω(10)
∴ ω = 10 rad s^-1
υ = ± ω $\sqrt{A^2-y^2}$
∴ 50 = ± (10) $\sqrt{(10)^2-y^2}$
∴ 25 = 100 – y²
∴ y² = 75
∴ y = ± 5√3 cm

પ્રશ્ન 25.
સ.આ.ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર y = 2 sin ($\frac{\pi}{2}$ + θ) મુજબ મળે છે. જ્યાં y cmમાં છે, તો કણનો મહત્તમ પ્રવેગ કેટલો મળશે?
A. $\frac{\pi}{2}$ cm s^-2
B. $\frac{\pi^2}{2}$ cm s^-2
C. $\frac{\pi}{2}$ cm s^-2
D. $\frac{\pi^2}{4}$ cm s^-2
ઉત્તર:
B. $\frac{\pi^2}{2}$ cm s^-2
Hint : y = 2 sin ($\frac{\pi}{2}$ + θ)ને y = A sin (ωt + Φ) સાથે સરખાવતાં,
ω = $\frac{\pi}{2}$ rad/s, A = 2 cm
મહત્તમ પ્રવેગ a_max = ω²A = ($\frac{\pi}{2}$)² (2)
∴ a_max = $\frac{\pi^2}{2}$ cm s^-2

પ્રશ્ન 26.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો પ્રવેગ (a) – સ્થાનાંતર (૪)નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે, તો તેના દોલનનો આવર્તકાળ secમાં શોધો.

A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. π
D. 2π
ઉત્તર:
D. 2π
Hint : પ્રવેગ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરના આલેખનો ઢાળ ω²નું મૂલ્ય આપે છે. (∵ a = – ω²y)
∴ ઢાળ = tan θ = ω²
∴ tan 45° = ($\frac{2 \pi}{T}$)²
∴ 1 = $\frac{4 \pi^2}{T^2}$ .. T² = 4π² .. T = 2π s

પ્રશ્ન 27.
400 g દળ ધરાવતો પદાર્થ સ.આ.ગ. ક૨ે છે. તેનો કંપવિસ્તાર 20 cm છે. જો તેનો આવર્તકાળ 0.2 s હોય, તો આ તંત્રની કુલ ઊર્જા ………………. થાય.
A. 80 J
B. 8 J
C. 0.8 J
D. 0.08 J
ઉત્તર:
B. 8 J
Hint : m = 400 g = 0.4 kg, A = 20 cm, T = 0.2 s
કુલ ઊર્જા E = $\frac{1}{2}$ kA²
= $\frac{1}{2}$ mω²A²
= $\frac{1}{2}$ m × $\frac{4 \pi^2}{T^2}$ × A
= $\frac{1}{2} \times \frac{0.4 \times 4 \times(3.14)^2 \times(0.2)^2}{(0.2)^2}$
≈ 8J

પ્રશ્ન 28.
સરળ આવર્તગતિમાં જ્યારે સ્થાનાંતર એ કંપવિસ્તારથી અડધું હોય ત્યારે ગતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
A. 0
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{4}$
ઉત્તર:
D. $\frac{3}{4}$
Hint :

પ્રશ્ન 29.
સરળ આવર્તગતિ કરતો કણ જ્યારે તેના ગતિપથના ઉપરના અંત્યબિંદુથી અડધા અંતરે પહોંચે ત્યારે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા કેટલી થાય? (જ્યાં, E તેની કુલ ઊર્જા છે.)
A. $\frac{E}{8}$
B. $\frac{E}{4}$
C. $\frac{E}{2}$
D. $\frac{E}{3}$
ઉત્તર:
B. $\frac{E}{4}$
Hint : સ્થિતિ-ઊર્જા = $\frac{1}{2}$ ky²
= $\frac{1}{2}$ k($\frac{A}{2}$)²
= $\frac{1}{2}$ k $\frac{A^2}{4}$
= $\frac{E}{4}$ (∵ E = $\frac{1}{2}$ kA²)

પ્રશ્ન 30.
સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થનો કંપવિસ્તાર A₀ છે, તો નિયતબિંદુથી કેટલા અંતરે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા કુલ ઊર્જાથી ચોથા ભાગની થશે?
A. $\frac{A_0}{4}$
B. $\frac{A_0}{2}$
C. $\frac{3 A_0}{2}$
D. $\frac{3 A_0}{4}$
ઉત્તર:
B. $\frac{A_0}{2}$
Hint : સ્થિતિ-ઊર્જા = $\frac{1}{4}$ (કુલ ઊર્જા)
∴ $\frac{1}{2}$ ky² = $\frac{1}{4}$ ($\frac{1}{2}$ kA₀²)
∴ y² = $\frac{A_0^2}{4}$
∴ y = ± $\frac{A_0}{2}$

પ્રશ્ન 31.
નિયતબિંદુથી કેટલા અંતરે સ.આ.દોલકની ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા સમાન થશે?
A. A√2
B. $\frac{A}{\sqrt{2}}$
C. $\frac{A}{2}$
D. $\frac{A}{\sqrt{3}}$
ઉત્તર:
B. $\frac{A}{\sqrt{2}}$
Hint : સ્થિતિ-ઊર્જા = ગતિ-ઊર્જા
∴ $\frac{1}{2}$ ky² = E – $\frac{1}{2}$ ky²
∴ $\frac{1}{2}$ ky² = $\frac{1}{2}$ kA² – $\frac{1}{2}$ ky²
∴ 2y² = A²
∴ y = ± $\frac{A}{\sqrt{2}}$

પ્રશ્ન 32.
સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા E છે. જ્યારે તેનું સ્થાનાંતર કંપવિસ્તારથી અડધું થાય ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જા ………………….. થશે.
A. $\frac{E}{2}$
B. $\frac{E}{4}$
C. $\frac{3 E}{4}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$ E
ઉત્તર:
C. $\frac{3 E}{4}$
Hint : ગતિ-ઊર્જા = E – $\frac{1}{2}$ ky²
= $\frac{1}{2}$ kA² – $\frac{1}{2}$ k ($\frac{A}{2}$)²
= $\frac{1}{2}$ kA² (1 – $\frac{1}{4}$)
E = ($\frac{3}{4}$) = $\frac{3}{4}$ E

પ્રશ્ન 33.
સ.આ.ગ. કરતા કણની મહત્તમ ઝડપ 1 ms^-1 અને તેનો મહત્તમ પ્રવેગ 1.57 m s^-2 છે, તો તેનો આવર્તકાળ કેટલો
થશે?
A. $\frac{1}{1.57}$ s
B. 2 s
C. 1.57 s
D. 4 s
ઉત્તર:
D. 4 s
Hint : υ_max = ωA, a_max = ω²A
∴ $\frac{a_{\max }}{v_{\max }}=\frac{\omega^2 A}{\omega A}$
∴ $\frac{1.57}{1}$ = ω
∴ 1.57 = $\frac{2 \pi}{T}$
∴ T = $\frac{2 \pi}{1.57}$ = 4s

પ્રશ્ન 34.
0.5 kg દળ ધરાવતો એક પથ્થર સરળ આવર્તગતિ કરે છે. જો તેનો આવર્તકાળ 2 s અને કુલ ઊર્જા 0.1 J હોય, તો તેની ગતિનો કંપવિસ્તાર કેટલો થશે?
A. 1 cm
B. 20 cm
C. 4 cm
D. 5 cm
672:
B. 20 cm
Hint : m = 0.5 kg, T = 2 s, E = 0.1 J
E = $\frac{1}{2}$ mω²A²
∴ E = $\frac{1}{2}$ m ($\frac{2 \pi}{T}$)² A²
∴ 0.1 = $\frac{1}{2}$ × 0.5 × ($\frac{2 \pi}{2}$)² × A²
∴ A² = 0.04 m
∴ A = 0.2 m = 20 cm

પ્રશ્ન 35.
પૃથ્વી પર રહેલા એક સેકન્ડ લોલકને અન્ય ગ્રહ પર લઈ જવામાં આવે છે. આ ગ્રહના દળ અને ત્રિજ્યાનાં મૂલ્યો પૃથ્વીના દળ અને ત્રિજ્યા કરતાં બમણા હોય, તો તેની પર લોલકનો આવર્તકાળ
સેકન્ડ હશે.
A. \([\frac{1}{\sqrt{2}}/latex]
B. √2
C. 2
D. 2√2
ઉત્તર:
D. 2√2
Hint :

પ્રશ્ન 36.
એક સાદા લોલકની લંબાઈ 19% જેટલી ઘટાડતાં તેનો આવર્તકાળ …
A. 9.5 % ઘટશે.
B. 10% ઘટશે.
C. 19 % વધશે.
D. 9.5 % વધશે.
ઉત્તર:
B. 10% ઘટશે.
Hint : પ્રારંભમાં T₁ = 2π [latex]\sqrt{\frac{l_1}{g}}\)
લોલકની નવી લંબાઈ l₂ = l₁ – $\frac{19}{100}$ l₁ = $\frac{81}{100}$ l₁
નવો આવર્તકાળ T₂ = 2π$\sqrt{\frac{l_2}{g}}$
= 2π$\sqrt{\frac{81}{100} \times \frac{l_1}{g}}$ = 0.9 T₁
∴ આવર્તકાળમાં ફેરફાર = $\frac{0.9 T_1-T_1}{T_1}$ × 100
= – 10%
ઋણ નિશાની આવર્તકાળમાં ઘટાડો સૂચવે છે.

પ્રશ્ન 37.
એક દોલન દરમિયાન સાદા લોલક વડે થતું કાર્ય ……………… .
A. શૂન્ય
B. $\sqrt{m g}$
C. υ sin (θ/2)
D. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{l / g}$
ઉત્તર:
A. શૂન્ય
Hint : એક દોલન પૂર્ણ થયા બાદ લોલક પોતાના મૂળ સ્થાને પાછું આવતું હોવાથી સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે. આથી સાદા લોલક વડે થતું કાર્ય શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 38.
કોઈ એક ગ્રહ પર રહેલ વસ્તુને 8m ઊંચાઈએથી પડવા દેતાં, સપાટી પર પહોંચતાં તેને 2 sનો સમય લાગે છે. આ ગ્રહ પર 1 m લંબાઈ ધરાવતાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ………………. .
A. 4π s
B. 2π s
C. π s
D. 0.5π s
ઉત્તર:
C. π s
Hint : d = υ₀t + $\frac{1}{2}$ gt²
∴ 8 = 0 + $\frac{1}{2}$ g (2)²
∴ g = 4 m s^-2
ગ્રહ પર લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$
= 2π $\sqrt{\frac{1}{4}}$
= π s

પ્રશ્ન 39.
સ.આ.ગ. કરતા સાદા લોલકની લંબાઈમાં 21 %નો વધારો કરતાં તેના આવર્તકાળમાં થતો વધારો …………… .
A. 10 %
B. 11 %
C. 21 %
D. 42 %
ઉત્તર:
A. 10 %
Hint : પ્રારંભિક લંબાઈ = l₁ અને આવર્તકાળ = T₁
લોલકની નવી લંબાઈ l₂ = l₁ + $\frac{21}{100}$ l₁ = 1.21 l₁
હવે, = $\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$
∴ T₂ = T₁ $\sqrt{\frac{1.21 l_1}{l_1}}$ = 1.1 T₁
આવર્તકાળમાં ફેરફાર (%) = $\frac{1.1 T_1-T_1}{T_1}$ × 100
= 10%
ધન નિશાની આવર્તકાળમાં વધારો સૂચવે છે.

પ્રશ્ન 40.
એક સાદા લોલકનો આવર્તકાળ સ્થિર લિફ્ટમાં T મળે છે. હવે જો આ લિફ્ટ ઉપરની દિશામાં $\frac{g}{3}$ ms^-2 પ્રવેગથી ગતિ શરૂ
કરે, તો સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ………………… થશે.
A. √3 T
B. $\frac{T}{\sqrt{3}}$
C. $\frac{T}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3} T}{2}$
ઉત્તર:
D. $\frac{\sqrt{3} T}{2}$
Hint : સ્થિર લિફ્ટમાં આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$
પ્રવેગિત લિફ્ટમાં અસરકારક પ્રવેગ,

પ્રશ્ન 41.
સેકન્ડ લોલકની લંબાઈમાં 2%નો ઘટાડો કરતાં તેણે 1 દિવસમાં ગુમાવેલ સેકન્ડ ……………… .
A. 3927 s
B. 3727 s
C. 3427 s
D. 864 S
ઉત્તર :
D. 864 s
Hint : T ∝ √l
∴ $\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$
= $\frac{1}{2}$ (0.02) = 0.01
∴ ΔT = 0.01 T
એક દિવસમાં ગુમાવાતો સમય (સેકન્ડમાં)
= 0.01 × 24 × 60 × 60
= 864 s

પ્રશ્ન 42.
એક સાદા લોલકનો આવર્તકાળ T છે. તેના ગોળાને ઋણ વિદ્યુતભાર અને તેની નીચેની સપાટીને ધન વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે, તો લોલકનો નવો આવર્તકાળ …
A. T કરતાં ઓછો થશે.
B. T જેટલો જ થશે.
C. અનંત થશે.
D. T કરતાં વધશે.
ઉત્તર:
A. T કરતાં ઓછો થશે.
Hint : અહીં, ગોળા પર ઋણ અને સપાટી પર ધન વિદ્યુતભાર હોવાથી, ગોળા અને સપાટી વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર (E) ઉત્પન્ન થાય છે. આથી ગોળા પર mg ઉપરાંત qE
જેટલું વધારાનું વિદ્યુતબળ લાગે છે પરિણામે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ g’નું મૂલ્ય વધે છે. આથી T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g’}}$
અનુસાર આવર્તકાળ ઘટશે.

પ્રશ્ન 43.
10 cm જેટલી ઊર્ધ્વદિશામાં ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરી શકતા સાદા લોલકના ગોળાનો તેના ગતિપથના મધ્યસ્થાને વેગ કેટલો મળશે?
A. 2.2 m s^-1
B. 1.8 m s^-1
C. 1.4 m s^-1
D. 0.6 m s^-1
ઉત્તર:
C. 1.4 ms^-1
Hint : ગતિપથના મધ્યબિંદુએ ગતિ-ઊર્જા = ગતિપથના અંત્યબિંદુએ સ્થિતિ-ઊર્જા
∴ $\frac{1}{2}$ mυ² = mgh
∴ υ² = 2gh = 2 × 9.8 × 0.1 = 1.96
∴ υ = $\sqrt{1.96}$ = 1.4 m s^-1

પ્રશ્ન 44.
m દળ ધરાવતા ગોળાનું બનેલ સાદું લોલક Aથી C સુધી દોલન કરી ફરી પાછું A પાસે એવી રીતે આવે છે કે જેથી PB = H થાય. જો ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ ‘g’ હોય, તો ગોળો B બિંદુ પાસેથી પસાર થાય ત્યારે તેનો વેગ ……………. .

A. mgh
B. $\sqrt{2 g H}$
C. 2 hH
D. 0
ઉત્તર:
B. $\sqrt{2 g H}$
Hint : લોલક બિંદુ B પાસે ગતિ-ઊર્જા ધરાવે છે. જ્યારે ‘H’ઊંચાઈએ બિંદુ C પાસે સ્થિતિ-ઊર્જા ધરાવે છે.
ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
$\frac{1}{2}$ mυ² = mgH
∴ υ² = 2gH
∴ υ = $\sqrt{2 g H}$

પ્રશ્ન 45.
બે લોલકની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર 2 : 3 છે, તો તેની લંબાઈનો ગુણોત્તર ………………. થશે.
A.
B.
C. $\frac{4}{9}$
D. $\frac{9}{4}$
ઉત્તર:
D. $\frac{9}{4}$
Hint :

પ્રશ્ન 46.
સ્પ્રિંગના છેડે 0.5kg પદાર્થ લટકાવતાં તેની લંબાઈમાં 0.2m વધારો થાય છે. હવે આ સ્પ્રિંગના છેડે 0.25kg પદાર્થ લટકાવી દોલન કરાવતાં મળતો આવર્તકાળ ……………… .
(g = 10m s^-2 લો.)
A. 4 π s
B. 2 π s
C. 0.4 π s
D. 0.2 π s
ઉત્તર:
D. 0.2 π s
Hint :

પ્રશ્ન 47.
સ્પ્રિંગના છેડે કોઈ પદાર્થ લટકાવતાં તેના દોલનનો આવર્તકાળ T મળે છે. જો આ સ્પ્રિંગના ચાર સરખા ભાગ કરી તેના કોઈ એક ટુકડાના છેડે આ જ પદાર્થ લટકાવતાં મળતો નવો આવર્તકાળ ………….. .
A. $\frac{T}{2}$
B. T
C. 2T
D. $\frac{T}{4}$
ઉત્તર:
A. $\frac{T}{2}$
Hint : સ્પ્રિંગ આખી હોય ત્યારે આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$ સ્પ્રિંગના ચાર સરખા ટુકડા કરતાં તેનો બળ-અચળાંક k બદલાશે.
હવે, k₁l₁ = kl = અચળ
∴ k₁ ($\frac{1}{4}$) = kl .. k₁ = 4k
આથી ટુકડા કરેલી સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ,
T’ = $2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \times \frac{1}{2}$
∴ T’ = $\frac{T}{2}$

પ્રશ્ન 48.
k અને 2k બળ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ mદળના બ્લૉક સાથે જોડવામાં આવે, તો આ બ્લૉકના દોલનની આવૃત્તિ ………….. મળે.

A. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$
B. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 k}{m}}$
C. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3 k}{m}}$
D. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{m}{k}}$
ઉત્તર:
C. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3 k}{m}}$
Hint : જ્યારે બ્લૉક કોઈ એક બાજુ x જેટલું સ્થાનાંતર કરશે ત્યારે સ્પ્રિંગોમાં ઉત્પન્ન થતું પુનઃસ્થાપક બળ,
F₁ = k₁x = kx અને F₂ = k₂x = (2k)x
અહીં, બંને પુનઃસ્થાપક બળ એક જ દિશામાં હોવાથી,
∴ F = F₁ + F₂ = kx + 2kx (3k)x
∴ સમતુલ્ય બળ-અચળાંક k’ = 3k
આવૃત્તિ f = $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k^{\prime}}{m}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{3 k}{m}}$

પ્રશ્ન 49.
k₁ અને k₂ બળ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોના છેડે m દળનો બ્લૉક સ્વતંત્ર લટકાવતાં મળતા આવર્તકાળ અનુક્રમે T₁ અને T₂ છે. હવે જો આ જ m દળના બ્લૉકને બંને સ્પ્રિંગો સાથે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લટકાવવામાં આવે, તો મળતા આવર્તકાળ Tનો સંબંધ ……………. .

A. T = T₁ + T₂
B. T = $\frac{T_1 T_2}{T_1+T_2}$
C. T^-2 = T₁^-2 + T₂^-2
D. T² = T₁² + T₂^-2
ઉત્તર:
C. T^-2 = T₁^-2 + T₂^-2
Hint : પ્રથમ સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ,
T₁ = 2π $\sqrt{\frac{m}{k_1}}$ ∴ k₁ = $\frac{4 \pi^2 m}{T_1^2}$
બીજી સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ,
T₂ = 2π $\sqrt{\frac{m}{k_2}}$ ∴ k₂ = $\frac{4 \pi^2 m}{T_2^2}$
બંને સ્પ્રિંગનો સમતુલ્ય આવર્તકાળ,
T = 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$ .. k = $\frac{4 \pi^2 m}{T^2}$
હવે, બંને સ્પ્રિંગ સમાંતર હોવાથી, k = k₁ + k₂
∴ $\frac{4 \pi^2 m}{T^2}=\frac{4 \pi^2 m}{T_1^2}+\frac{4 \pi^2 m}{T_2^2}$
∴ $\frac{1}{T^2}=\frac{1}{T_1^2}+\frac{1}{T_2^2}$ ⇒ T^-2 = T₁^-2 + T₂^-2

પ્રશ્ન 50.
સમાન બળ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોને (1) સમાંતર અને (2) શ્રેણીમાં જોડેલ છે. હવે જો m દળના પદાર્થને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લટકાવવામાં આવે, તો પ્રથમ ગોઠવણીમાં આવર્તકાળ T₁ અને બીજી ગોઠવણીમાં આવર્તકાળ T₂ મળતો હોય, તો $\frac{T_1}{T_2}$ નો ગુણોત્તર ……………. .

A. 0.5
B. 1.5
C. 1.0
D. 2.0
ઉત્તર:
A. 0.5
Hint: સમાંતર જોડાણમાં આવર્તકાળ,

પ્રશ્ન 51.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ્પ્રિંગોના જોડાણનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક …

A. k
B. 2k
C. 4k
D. $\frac{5 k}{2}$
ઉત્તર:
C. 4k
Hint : આપેલ ત્રણેય સ્પ્રિંગોનો એક છેડો જડ આધાર સાથે અને બીજો છેડો m દળ ધરાવતા પદાર્થ સાથે જોડેલ હોવાથી તેઓ સ્પ્રિંગોના સમાંતર જોડાણ તરીકે વર્તે છે.
આથી સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k’ = k + k + 2k = 4k

પ્રશ્ન 52.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ લીસી સપાટી પર મૂકેલ m દળના બ્લૉક સાથે k જેટલો બળ-અચળાંક ધરાવતી 4 દળ રહિત સ્પ્રિંગોને જોડવામાં આવે છે. હવે m દળના બ્લૉકને સમક્ષિતિજ દિશામાં ખસેડી છોડી દેતાં તેના દોલનની આવૃત્તિ ………….. મળે.

A. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{2 m}}$
B. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 k}{5 m}}$
C. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4 k}{m}}$
D. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{5 k}{2 m}}$
ઉત્તર:
D. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{5 k}{2 m}}$
Hint : બે સમાંતર સ્પ્રિંગનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k’ = k + k = 2k
બે શ્રેણીમાં જોડેલ સ્પ્રિંગનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k” = $\frac{k k}{k+k}=\frac{k}{2}$
આ બંને જોડાણનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k”’ = 2k + $\frac{k}{2}=\frac{5 k}{2}$
બ્લૉકના દોલનની આવૃત્તિ f = $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k^{\prime m}}{m}}$
= $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\frac{5 k}{2}}{m}}$
= $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{5 k}{2 m}}$

પ્રશ્ન 53.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ચાર સમાન સ્પ્રિંગોથી બનાવેલ સ.આ.ગ. કરતા લોલકનો આવર્તકાળ …………… .

A. T = 2π $\sqrt{\frac{m}{4 k}}$
B. T = 2π $\sqrt{\frac{m}{4 k}}$
C. T = 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$
D. T = 2π $\sqrt{\frac{2 m}{k}}$
ઉત્તર :
C. T = 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$
Hint : આકૃતિમાં દર્શાવેલ P અને Q સ્પ્રિંગ એકબીજાને સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. .. k’ = k + k = 2k
R અને S સ્પ્રિંગ પણ સમાંતરમાં જોડાયેલ હોવાથી સમતુલ્ય બળ-અચળાંક_k” = k + k = 2k
આપેલ બંને જોડાણ શ્રેણીમાં હોવાથી સમતુલ્ય
બળ-અચળાંક k”’ = $\frac{k^{\prime} k^{\prime \prime}}{k^{\prime}+k^{\prime \prime}}=\frac{2 k \cdot 2 k}{2 k+2 k}$ = k
∴ આવર્તકાળT = 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$

પ્રશ્ન 54.
અવમંદિત દોલનોનો પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર 6cm છે અને 12s પછી તે 4cm થાય છે, તો કયા સમયે તે 2cm થશે?
A. 16 s
B. 20 s
C. 18 s
D. 32 s
ઉત્તર:
D. 32 s
Hint :

≈ 32 s

પ્રશ્ન 55.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ સ.આ.ગ. માટે t = $\frac{4}{3}$ sને અંતે દોલકનો પ્રવેગ ………………… cm s^-2.

A. $\frac{\sqrt{3}}{32}$ π²
B. – $\frac{\sqrt{3}}{32}$ π²
C. $\frac{\pi^2}{32}$
D. – $\frac{\pi^2}{32}$
ઉત્તર:
B. – $\frac{\sqrt{3}}{32}$ π²
Hint : આલેખ પરથી, A= 1 cm, T= 8 s
t = $\frac{4}{3}$ sના અંતે દોલકનું સ્થાનાંતર,
x = Asin ωt
= 1 × sin ($\frac{2 \pi}{8}$ × $\frac{4}{3}$)
= sin $\frac{\pi}{3}$
= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cm
પ્રવેગ a = – ω²x
= – $\frac{4 \pi^2}{T^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
= – $\frac{4 \pi^2}{(8)^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ a = – $\frac{\sqrt{3}}{32}$ π² cm s^-2

પ્રશ્ન 56.
k બળ-અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગનો $\frac{1}{4}$ ભાગ કાપી લેતાં બાકીની સ્પ્રિંગનો બળ-અચળાંક કેટલો થાય?
A. $\frac{3 k}{4}$
B. $\frac{4 k}{3}$
C. k
D. 4k
ઉત્તર:
B. $\frac{4 k}{3}$
Hint : k₁l₁ = k₂l₂ = k (∵ kl = અચળ)
∴ k₁ ($\frac{l}{4}$) = k₂ ($\frac{3}{4}$ l) = kl
∴ k₂ = ($\frac{4}{3}$) k

પ્રશ્ન 57.
એક કણ x = A cos ωt અનુસાર સ.આ.ગ. કરે છે. નીચે દર્શાવેલ આલેખોમાંથી કયો આલેખ સ્થિતિ-ઊર્જા વિરુદ્ધ સમય અને સ્થિતિ-ઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ દર્શાવે છે?

A. I, III
B. II, IV
C. II, III
D. I, IV
ઉત્તર:
A. I, III
Hint : આપેલ કિસ્સામાં x = 0 સ્થાને સ્થિતિ-ઊર્જા લઘુતમ અને અંત્યબિંદુઓએ સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ થશે. આથી આલેખ III યોગ્ય છે.
હવે, t = 0 સમયે x = A cos ωt = Acos 0 = A થશે. એટલે કે સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ હશે. આથી આલેખ I એ યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 58.
એક સ્પ્રિંગના છેડે 700g, 500g અને 400g દળના ત્રણ પદાર્થો લટકાવેલ છે. જ્યારે 700g દળનો પદાર્થ દૂર કરવામાં આવે, તો તંત્રનો આવર્તકાળ 3s મળે છે. જો 500g દળનો પદાર્થ પણ દૂર કરવામાં આવે, તો તંત્રનો આવર્તકાળ …………… .

A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
D. $\sqrt{\frac{12}{5}}$
ઉત્તર:
B. 2 s
Hint : જ્યારે 700 g દળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે આવર્તકાળ,
T = 3 = 2π $\sqrt{\frac{500+400}{k}}$ = 2π $\sqrt{\frac{900}{k}}$ ………….. (1)
હવે, 500 g દળ દૂર કરતાં આવર્તકાળ,
T’ = 2π $\sqrt{\frac{400}{k}}$ …………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો ગુણોત્તર લેતાં,
∴ $\frac{3}{T^{\prime}}=\sqrt{\frac{900}{400}}$
∴ T’ = 2 s

પ્રશ્ન 59.
એક અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર 1 મિનિટમાં અડધો થાય છે. 3 મિનિટ બાદ તેનો કંપવિસ્તાર મૂળ કંપવિસ્તારના ગણો થાય છે, તો x = …………… .
A. 2 × 3
B. 2³
C. 3²
D. 3 × 2²
ઉત્તર :
B. 2³
Hint :

પ્રશ્ન 60.
સ.આ.ગ. કરતા દોલકનું સ્થાનાંતર 4cm અને 5 cm હોય ત્યારે તેનો વેગ અનુક્રમે 10 cm s^-1 અને 8 cm s^-1 છે.
આ દોલકનો આવર્તકાળ …………….. .
A. 2 π s
B. $\frac{\pi}{2}$ s
C. πs
D. $\frac{3 \pi}{T}$s
ઉત્તર:
C. πs
Hint : υ = ± ω $\sqrt{A^2-y^2}$નો ઉપયોગ કરતાં,
10 = ± ω $\sqrt{A^2-(4)^2}$ અને
8 = ± ω $\sqrt{A^2-(5)^2}$
બંને સમીકરણોને ઉકેલતાં,
ω = 2 ∴ $\frac{2 \pi}{T}$ = 2 ∴ T = πs

પ્રશ્ન 61.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો આવર્તકાળ 16s છે. t = 2 s સમયે કણ મધ્યમાન બિંદુ આગળથી પસાર થાય છે અને t = 4 s બાદ તેનો વેગ 4m s^-1 છે. આ કણનો કંપવિસ્તાર ………….. m.
A. √2 π
B. 16√2 π
C. 24√2 π
D. $\frac{32 \sqrt{2}}{\pi}$
ઉત્તર:
D. $\frac{32 \sqrt{2}}{\pi}$
Hint: સ.આ.ગ. માટે,
y = A sin ω t

પ્રશ્ન 62.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો કંપવિસ્તાર 2 cm છે. જ્યારે કણ એ મધ્યમાન સ્થાનથી 1 cm અંતરે હોય ત્યારે તેના વેગનું મૂલ્ય પ્રવેગના મૂલ્ય જેટલું થાય છે. આ સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ …………….. s.
A. $\frac{1}{2 \pi \sqrt{3}}$
B. 2π√3
C. $\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2 \pi}$
ઉત્તર:
C. $\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}$
Hint : υ = ω $\sqrt{A^2-x^2}$ અને a = ω²x
હવે, x = 1 cm અંતરે υ = a હોવાથી,
ω²x = ω $\sqrt{A^2-x^2}$
∴ ω²(1) = ω $\sqrt{2^2-1^2}$
∴ ω = √3
∴ T = $\frac{2 \pi}{\omega}$
= $\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}$ s

પ્રશ્ન 63.
સ.આ.ગ. કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર અને વેગ વચ્ચેનો સંબંધ 4υ² = 25 – x² સમીકરણ વડે આપવામાં આવે છે. આ કણનો આવર્તકાળ ……………….. .
A. π
B. 2π
C. 4π
D. 6π
ઉત્તર :
C. 4π
Hint : 4υ² = 25 – x²
∴ υ² = $\frac{1}{2}$ (25 – x²)
આપેલ સમીકરણને υ² = ω² (A² – x²) સાથે
સરખાવતાં,
ω² = $\frac{1}{4}$
ω = $\frac{1}{2}$ ∴ $\frac{2 \pi}{T}$ = $\frac{1}{2}$ ∴ T = 4π s

પ્રશ્ન 64.
સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થની x સ્થાનાંતરે સ્થિતિ-ઊર્જા E₁ અને y સ્થાનાંતરે સ્થિતિ-ઊર્જા E₂ છે, તો (x + y) સ્થાનાંતરે આ પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા ……………. .
A. E₁ + E₂
B. $\sqrt{E_1^2+E_2^2}$
C. E₁ + E₂ + 2 $\sqrt{E_1 E_2}$
D. $\sqrt{E_1 E_2}$
ઉત્તર:
C. E₁ + E₂ + 2 $\sqrt{E_1 E_2}$
Hint :

પ્રશ્ન 65.
l_A અને l_B લંબાઈ ધરાવતી બે સ્પ્રિંગના છેડે અનુક્રમે દળ M_A અને M_B લટકાવેલ છે. જો તેમની દોલનની આવૃત્તિનો સંબંધ f_A = 2f_B હોય, તો …………….. .
A. l_A = $\frac{l_{\mathrm{B}}}{4}$ જે દળ પર આધારિત નથી
B. l_A = 4l_B, જે દળ પર આધારિત નથી
C. l_A = 2l_B અને M_A = 2M_B
D. l_A = $\frac{l_{\mathrm{B}}}{2}$ અને M_A = $\frac{M_{\mathrm{B}}}{2}$
ઉત્તર:
A. l_A = $\frac{l_{\mathrm{B}}}{4}$ જે દળ પર આધારિત નથી
Hint : f_A = 2f_B
∴ $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{\mathrm{A}}}}$ = 2 × $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l_{\mathrm{B}}}}$
∴ $\frac{1}{l_{\mathrm{A}}}$ = 4 × $\frac{1}{l_{\mathrm{B}}}$
l_A = $\frac{l_{\mathrm{B}}}{4}$ જે દળ પર આધારિત નથી

પ્રશ્ન 66.
જ્યારે એક દોલક તેનાં 100 દોલનો પૂરાં કરે છે ત્યારે તેનો કંપવિસ્તાર એ મૂળ કંપવિસ્તારના $\frac{1}{3}$ ગણો થાય છે. જ્યારે તે 200 દોલન પૂર્ણ કરશે ત્યારે તેનો કંપવિસ્તાર મૂળ કંપવિસ્તારના કેટલા ગણો થશે?
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{9}$
ઉત્તર:
D. $\frac{1}{9}$
Hint : t₁ = 100T, A₁ = $\frac{A}{3}$
= t₁ = 200T, A₂ = ?

પ્રશ્ન 67.
સ.આ.ગ. કરતા કણ માટે મહત્તમ સ્થિતિ-ઊર્જા અને મહત્તમ ગતિ-ઊર્જાનાં સ્થાનો વચ્ચે કણનું સ્થાનાંતર …………….. .
A. ± $\frac{A}{2}$
B. + A
C. ± A
D. – 1
ઉત્તર:
C. ± A
Hint : સ..ગ. કરતા કણ માટે ગતિ-ઊર્જા મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ હોય છે, જ્યારે અંત્યબિંદુઓ(A અને B)એ સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ હોય છે. આથી મહત્તમ સ્થિતિ- ઊર્જા અને મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા વચ્ચે પદાર્થનું સ્થાનાંતર ± A જેટલું થશે.

પ્રશ્ન 68.
પ્રણોદિત દોલનોમાં અનુનાદ વક્ર તીક્ષ્ણ ક્યારે મળે?
A. જ્યારે અવમંદિત બળ નાનું હોય
B. જ્યારે પુનઃસ્થાપક બળ નાનું હોય
C. જ્યારે બાહ્ય આવર્તક બળ નાનું હોય
D. જ્યારે Q-અંક નાનો હોય
ઉત્તર:
A. જ્યારે અવમંદિત બળ નાનું હોય
Hint : જ્યારે અવમંદિત બળો નાના હોય ત્યારે અવરોધક ગુણાંક b નાનો મળે છે. આ કિસ્સામાં અનુનાદ વક્ર સાંકડો અને તીક્ષ્ણ મળે છે.

પ્રશ્ન 69.
m દળનો પદાર્થ x₁ અને x₂ સ્થાનો વચ્ચે દોલન કરે છે. જો O એ તેનું નિયતબિંદુ હોય, તો આપેલ આલેખોમાંથી કયો આલેખ સ્થિતિ-ઊર્જાનો આલેખ દર્શાવે છે?


ઉત્તર:

Hint : સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થની સ્થિતિ-ઊર્જા નિયતબિંદુએ શૂન્ય અને અંત્યબિંદુઓએ મહત્તમ હોય છે. આ બંને સ્થાનોએ સ્થિતિ-ઊર્જા ધન હોય છે. આથી વિકલ્પ Aમાં દર્શાવેલ આલેખ યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 70.
સ.આ.ગ. કરતા કણના વેગ અને પ્રવેગ માટે કયું વિધાન સત્ય છે?
A. જ્યારે υ મહત્તમ હોય ત્યારે a મહત્તમ હોય છે.
B. υના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે a શૂન્ય હોય છે.
C. જ્યારે υ શૂન્ય હશે ત્યારે a શૂન્ય થશે.
D. જ્યારે υ મહત્તમ હશે ત્યારે a શૂન્ય હશે.
ઉત્તર:
D. જ્યારે υ મહત્તમ હશે ત્યારે a શૂન્ય હશે.
Hint : υ = – ω A cos ωt અને a = – ω² A sin ω t = – ω²A cos (ωt + $\frac{\pi}{2}$)
આમ, કણના વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચે કળા-તફાવત $\frac{\pi}{2}$ હોય છે. આથી જ્યારે υ મહત્તમ થશે ત્યારે વ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 71.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો કંપવિસ્તાર 5 cm અને મહત્તમ વેગ 31.4 cm/s છે. આ કણના દોલનની આવૃત્તિ ………………… .
A. 4 Hz
B. 3 Hz
C. 2 Hz
D. 1 Hz
ઉત્તર:
D. 1 Hz
Hint : υ_max = ω A = (2 π f) A
∴ f = $\frac{v_{\max }}{2 \pi A}=\frac{31.4}{2 \times 3.14 \times 5}$ = 1 Hz

પ્રશ્ન 72.
M દળ અને A જેટલા આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો લાકડાનો ચોરસ ટુકડો ρ ઘનતા ધરાવતા પાણીમાં તરે છે. આ ટુકડાને સહેજ દબાવીને છોડી દેતાં તે સ.આ.ગ. કરે છે. આ દોલનનો આવર્તકાળ T ……………
A. T ∝ $\frac{1}{\sqrt{m}}$
B. T ∝ $\sqrt{\rho}$
C. T ∝ $\frac{1}{\sqrt{A}}$
D. T ∝ $\frac{1}{\rho}$
ઉત્તર:
C. T ∝ $\frac{1}{\sqrt{A}}$
Hint : જુઓ પરીક્ષાલક્ષી વધારાના દાખલાના વિભાગમાં દાખલા નં. (6)નો ઉકેલ.

પ્રશ્ન 73.
સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા K₀ cos² ωt અનુસાર બદલાય છે. આ પદાર્થ માટે મહત્તમ સ્થિતિ-ઊર્જા અને કુલ ઊર્જા અનુક્રમે ……………. હશે.
A. $\frac{K_0}{2}$ K₀
B. K₀, 2K₀
C. K₀, K₀
D. 0, 2K₀
ઉત્તર:
C. K₀, K₀
Hint : E = K + U
મહત્તમ ગતિ-ઊર્જા K_max = K₀ cos² ωt = K₀
આથી જ્યારે K = 0 હશે ત્યારે U_max = K₀ થશે.
જ્યારે K મહત્તમ હશે ત્યારે U શૂન્ય થશે.
∴ કુલ ઊર્જા E = K₀ + 0 = K₀

પ્રશ્ન 74.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઊર્ધ્વદિશામાં ગોઠવેલ સ્પ્રિંગ પર હલકા પાટિયા પર 2 kg દળનો પદાર્થ મૂકેલો છે. સ્પ્રિંગનું દળ અવગણ્ય છે. સ્પ્રિંગને થોડી દબાવીને છોડી દેતાં તે સ.આ.ગ. ક૨ે છે. સ્પ્રિંગનો બળ-અચળાંક 200 N m^-1 છે. આ દોલનનો ઓછામાં ઓછો કંપવિસ્તાર કેટલો હોવો જોઈએ જેથી પદાર્થ એ પાટિયા પરથી છૂટો પડી જાય? (g = 10 m s^-2 લો.)

A. 10 cm
B. 12 cmથી નાનું કોઈ પણ મૂલ્ય
C. 4 cm
D. 8 cm
ઉત્તર:
A. 10 cm
Hint : જ્યારે પાટિયું ઉપરના અંત્યબિંદુ પરથી મધ્યમાન સ્થાન તરફ જશે ત્યારે પદાર્થ એ પાટિયાથી છૂટો પડી શકે.

આ અંત્યબિંદુએ
R = mg – mω²A = 0
∴ g = Aω²A
∴ A = $\frac{g}{\omega^2}=\frac{m g}{k}$
∴ A = $\frac{(2)(10)}{200}$
= 0.1 m
= 10 cm

પ્રશ્ન 75.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો કંપવિસ્તાર અને આવર્તકાળ અનુક્રમે A અને T છે. આ કણને કંપવિસ્તારના અડધા મૂલ્યથી મધ્યમાન બિંદુ સુધી જતાં કેટલો સમય લાગશે?
A. $\frac{T}{8}$
B. $\frac{T}{12}$
C. $\frac{T}{2}$
D. $\frac{T}{4}$
ઉત્તર:
B. $\frac{T}{12}$
Hint : y (t) = A sin ωt

પ્રશ્ન 76.
બે સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થની કોણીય આવૃત્તિ 100 rad s^-1 અને 1000 rad s^-1 છે. તેમનો કંપવિસ્તાર સમાન છે. આ બંને ગતિ માટે તેમના મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર …………… .
A. 1 : 10s³
B. 1 : 10s⁴
C. 1 : 10
D. 1 : 10s²
ઉત્તર :
D. 1 : 10s²
Hint : પહેલી સ.આ.ગ.નો મહત્તમ પ્રવેગ a₁ = – ω₁²A
બીજી સ.આ.ગ.નો મહત્તમ પ્રવેગ a₂ = – ω₂²A
∴ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{\omega_1^2}{\omega_2^2}=\frac{(100)^2}{(1000)^2}$
∴ $\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{100}$ = 1 : 10²

પ્રશ્ન 77.
એક સ.આ.દોલક x = 0ની આસપાસ દોલન ક૨ે છે. તેનો આવર્તકાળ અને કંપવિસ્તાર અનુક્રમે T અને A છે, તો x = $\frac{A}{2}$ સ્થાને દોલકનો વેગ કેટલો હશે?
A. $\frac{\pi A}{T}$
B. $\frac{3 \pi^2 A}{T}$
C. $\frac{\pi A \sqrt{3}}{T}$
D. $\frac{\pi A \sqrt{3}}{2 T}$
ઉત્તર:
C. $\frac{\pi A \sqrt{3}}{T}$
Hint :

પ્રશ્ન 78.
અવગણ્ય દળ ધરાવતી સ્પ્રિંગના છેડે M દળનો પદાર્થ લટકાવેલ છે. આ પદાર્થનો આવર્તકાળ T છે. હવે જો બીજો M દળનો પદાર્થ સ્પ્રિંગના છેડે મૂકવામાં આવે, તો આ દોલનનો આવર્તકાળ …………….. .
A. T
B. $\frac{T}{\sqrt{2}}$
C. 2T
D. √2 T
ઉત્તર:
D. √2 T
Hint :
પ્રથમ કિસ્સામાં T = 2π $\sqrt{\frac{M}{k}}$
બીજા કિસ્સામાં T’ = 2π $\sqrt{\frac{M+M}{k}}$ = 2π $\sqrt{\frac{2 M}{k}}$
∴ T’ = √2(2π $\sqrt{\frac{M}{k}}$) = √2 T

પ્રશ્ન 79.
નીચે દર્શાવેલ સમીકરણોમાં કયું સમીકરણ સ.આ.ગ. દર્શાવે છે?
(1) y = sin ωt – cos ωt
(2) y = sin³ ωt
(3) y = 5 cos ($\frac{3 \pi}{4}$ – 3ωt)
(4) y = 1 + ωt + ω²t²
A. ફક્ત સમીકરણ (1)
B. ફક્ત સમીકરણ (4) સ.આ.ગ. દર્શાવતું નથી.
C. સમીકરણ (1) અને (૩)
D. સમીકરણ (1) અને (2)
ઉત્તર:
C. સમીકરણ (1) અને (૩)
Hint :
(1) y = sin ωt – cos ωt
= √2 ($\frac{1}{\sqrt{2}}$ sin ωt – $\frac{1}{\sqrt{2}}$ cos ωt)
= √2 sin (ωt – $\frac{\pi}{4}$)
જે સ.આ.ગ. દર્શાવે છે, જેનો આવર્તકાળ T = $\frac{2 \pi}{\omega}$ છે.

(2) y = sin³ ωt = $\frac{1}{2}$ (3 sin ωt – sin 3 ωt)
(∵ sin 3 ωt = 3 sin ωt – 4 sin³ ωt પરથી)
જે આવર્તગતિ દર્શાવે છે, પરંતુ સ.આ.ગ. નથી.

(3) y = 5 cos ($\frac{3 \pi}{4}$ – 3ωt)
= 5 cos (3ωt – $\frac{3 \pi}{4}$) (∵ cos (- θ) = cos θ)
જે સ.આ.ગ. દર્શાવે છે, જેનો આવર્તકાળ T = $\frac{2 \pi}{3 \omega}$ છે.

(4) y = 1 + ωt + ω²t²
અહીં t → ∞ થશે તેમ y → ∞ થશે, જે આવર્તગતિ દર્શાવતું નથી.

પ્રશ્ન 80.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણનો મહત્તમ પ્રવેગ α અને મહત્તમ વેગ β છે. ણના આ દોલનનો આવર્તકાળ …………….. .
A. $\frac{2 \pi \beta}{\alpha}$
B. $\frac{\beta^2}{\alpha^2}$
C. $\frac{\alpha}{\beta}$
D. $\frac{\beta^2}{\alpha}$
ઉત્તર:
A. $\frac{2 \pi \beta}{\alpha}$
Hint : મહત્તમ પ્રવેગજ α = ω²A
મહત્તમ વેગ β = ωA
∴ $\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\omega^2 A}{\omega A}$ ω = $\frac{2 \pi}{T}$
∴ T = 2π $\frac{2 \pi \beta}{\alpha}$

પ્રશ્ન 81.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો કંપવિસ્તાર 3 cm છે. જ્યારે કણ તેના મધ્યસ્થાનેથી 2 cm દૂર હોય ત્યારે તેના વેગનું મૂલ્ય પ્રવેગના મૂલ્ય જેટલું થાય છે. આ સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ …………….. .
A. $\frac{2 \pi}{\sqrt{3}}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{\pi}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2 \pi}$
D. $\frac{4 \pi}{\sqrt{5}}$
ઉત્તર:
D. $\frac{4 \pi}{\sqrt{5}}$
Hint : υ = ω $\sqrt{A^2-x^2}$ અને a = ω²x
x = 2 cm અંતરે a = υ હોવાથી,
ω²x = ω $\sqrt{A^2-x^2}$
ω²(2) = ω $\sqrt{3^2-2^2}$ ∴ ω = $\frac{\sqrt{5}}{2}$
T = $\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{\sqrt{5}}$ × 2 = $\frac{4 \pi}{\sqrt{5}}$

પ્રશ્ન 82.
સ્પ્રિંગ-અચળાંક k ધરાવતી સ્પ્રિંગના ત્રણ ટુકડા 1 : 2 : 3ના ગુણોત્તરમાં કરવામાં આવે છે. આ ટુકડાઓને શ્રેણીમાં જોડતાં નવો સ્પ્રિંગ-અચળાંક k’ અને સમાંતર જોડતાં સ્પ્રિંગ-અચળાંક
k′′ મળે છે. તો $\frac{k^{\prime}}{k^{\prime \prime}}$ = …………….. .
A. 1 : 14
B. 1 : 6
C. 1 : 9
D. 1 : 11
ઉત્તર:
D. 1 : 11
Hint : સ્પ્રિંગ માટે kl = અચળ,
ધારો કે, સ્પ્રિંગની લંબાઈ 6l છે અને તેના ત્રણ ટુકડા l, 2l, અને 3l છે.
∴ k₁l = k₂2l = k₃3l = k6l
સ્પ્રિંગના પહેલા ટુકડા માટે, k₁l = k(6l) ∴ k₁ = 6k.
સ્પ્રિંગના બીજા ટુકડા માટે, k₂2l = k6l ∴ k₂ = 3k.
સ્પ્રિંગના ત્રીજા ટુકડા માટે, k₃3l = k6l ∴ k₃ = 2k.
સ્પ્રિંગના શ્રેણી-જોડાણ માટે,
$\frac{1}{k^{\prime}}=\frac{1}{2 k}+\frac{1}{3 k}+\frac{1}{6 k}$ ∴ k’ = k
સ્પ્રિંગના સમાંતર જોડાણ માટે,
k” = 2k + 3k + 6k = 11k
∴ $\frac{k^{\prime}}{k^{\prime \prime}}=\frac{k}{11 k}=\frac{1}{11}$

પ્રશ્ન 83.
એક લોલકને ઊંચા મકાનના છત પરથી લટકાવેલ છે અને તે મુક્ત રીતે સ.આ.ગ. ક૨ે છે. લોલક જ્યારે મધ્યમાન સ્થાનેથી 5 cm દૂર છે ત્યારે તેનો પ્રવેગ 20 m s–2 છે. આ લોલકનો આવર્તકાળ …………… .
A. 2π s
B. π s
C. 2 s
D. 1 s
ઉત્તર :
B. π s
Hint : x = 5 cm, a = 20 m s^-2
લોલકનો પ્રવેગ, a = ω²x
∴ 20 = ω²(5)
∴ ω² = 4
∴ ω = 2 rad s^-1
આવર્તકાળ T = $\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{2}$ = π s

પ્રશ્ન 84.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો એક આવર્તકાળ દરમિયાન સરેરાશ વેગ ……………….. .
A. $\frac{A \omega^2}{2}$
B. શૂન્ય
C. $\frac{A \omega}{2}$
D. A ω
ઉત્તર:
B. શૂન્ય
Hint : સરેરાશ વેગ =
= $\frac{0}{T}$ = 0

પ્રશ્ન 85.
સ.આ.ગ. કરતાં કણનું સ્થાનાંતર
y = A₀ + A sin ωt + B cos ωt વડે આપવામાં આવે છે.
આ દોલનનો કંપવિસ્તાર ……………. .
A. $\sqrt{A_0^2+(A+B)^2}$
B. A + B
C. A₀ + $\sqrt{A^2+B^2}$
D. $\sqrt{A^2+B^2}$
ઉત્તર:
D. $\sqrt{A^2+B^2}$
Hint : y = A₀ + A sin ωt + B cos ωt
A sin ωt + B cos ωtનો કંપવિસ્તાર = $\sqrt{A^2+B^2}$

પ્રશ્ન 86.
આકૃતિમાં વર્તુળની ત્રિજ્યા, ભ્રમણનો આવર્તકાળ, પ્રારંભિક સ્થિતિ અને દિશા દર્શાવેલ છે. ભ્રમણ કરતા કણ Pના ત્રિજ્યાના સદિશનો Y પ્રક્ષેપ ………………. .

A. y (t) = 3 cos ($\frac{3 \pi}{2}$ t)m
B. y (t) = 3 cos ($\frac{\pi}{2}$ t)m
C. y (t) = – 3 cos 2 π t m
D. y (t) = 4 sin ($\frac{\pi}{2}$ t)m
ઉત્તર:
B. y (t) = 3 cos ($\frac{\pi}{2}$ t)m
Hint : t = 0 સમયે OP, X-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{2}$નો ખૂણો બનાવે છે. ω t સમય બાદ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં otનો
કોણ આંતરે છે અને તે X-અક્ષ સાથે ($\frac{\pi}{2}$ – ωt) ખૂણો બનાવે છે.

t સમયે OPનો Y-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ,
y (t) = OP sin ($\frac{\pi}{2}$ – ωt)
= OP cos ωt
= 3 cos $\frac{2 \pi}{4}$ · t (∵ ω = $\frac{2 \pi}{T}$)
= 3 cos ($\frac{\pi}{2}$ t) m

પ્રશ્ન 87.
એક સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ T છે. આ સ્પ્રિંગને n સરખા નાના ટુકડામાં કાપવામાં આવે, તો દરેક સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ ……………….. .
A. T √n
B. $\frac{T}{\sqrt{n}}$
C. nT
D. T
ઉત્તર:
B. $\frac{T}{\sqrt{n}}$
Hint : આખી સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{m}{k}}$
સ્પ્રિંગના n ટુકડા કરતાં દરેક ટુકડાનો બળ-અચળાંક k’ = nk
∴ T’ = 2π $\sqrt{\frac{m}{k^{\prime}}}$ = 2π $\sqrt{\frac{m}{n k}}$
∴ T’ = $\frac{T}{\sqrt{n}}$

પ્રશ્ન 88.
સ.આ.ગ.માં ગતિપથના મધ્યમાન સ્થાને …
A. ગતિ-ઊર્જા લઘુતમ અને સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ હોય છે.
B. ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા બંને મહત્તમ હોય છે.
C. ગતિ-ઊર્જા મહત્તમ અને સ્થિતિ-ઊર્જા લઘુતમ હોય છે.
D. ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા બંને લઘુતમ હોય છે.
ઉત્તર:
C. ગતિ-ઊર્જા મહત્તમ અને સ્થિતિ-ઊર્જા લઘુતમ હોય છે.
Hint : મધ્યમાન સ્થાને ગતિ-ઊર્જા $\frac{1}{2}$ kA² જેટલી મહત્તમ અને સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 89.
એક બાળક હીંચકા પર બેસી ઝૂલા ખાય છે. જો બાળક ઊભો થઈને ઝૂલા ખાય, તો હીંચકાનો આવર્તકાળ …
A. વધશે.
B. ઘટશે.
C. બદલાશે નહિ.
D. વધશે જો બાળક લાંબો હશે અને ઘટશે જો બાળક ઠીંગણો હશે.
ઉત્તર:
B. ઘટશે.
Hint : જ્યારે બાળક ઊભો થશે ત્યારે (ઝૂલા + બાળક)ના તંત્રનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ઉપર તરફ ખસે છે, એટલે કે લોલકની
અસરકારક લંબાઈ ઘટે છે. આથી T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$ અનુસાર આવર્તકાળ ઘટશે.

પ્રશ્ન 90.
અવગણ્ય દળ ધરાવતી સ્પ્રિંગના છેડે M દળનો પદાર્થ લટકાવેલ છે. સ્પ્રિંગને ખેંચીને છોડી દેતાં તે T આવર્તકાળથી સ.આ.ગ. કરે છે. પદાર્થનું દળ m જેટલું વધારતાં સ્પ્રિંગનો આવર્તકાળ $\frac{5 T}{3}$ થાય છે, તો $\frac{m}{M}$ = ……………. .
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{25}{9}$
C. $\frac{16}{9}$
D. $\frac{5}{3}$
ઉત્તર:
C. $\frac{16}{9}$
Hint : પ્રારંભમાં T = 2π $\sqrt{\frac{M}{k}}$ ………… (1)
બીજા કિસ્સામાં $\frac{5 T}{3}$ = 2π $\sqrt{\frac{M+m}{k}}$ ……….. (2)
સમીકરણ (2) અને (1)નો ગુણોત્તર લેતાં,
$\frac{5 T / 3}{T}=\frac{2 \pi \sqrt{(M+m) / k}}{2 \pi \sqrt{M / k}}$
∴ $\frac{5}{3}=\sqrt{\frac{M+m}{M}}$
∴ 25M = 9M + 9m
∴ 16M = 9m
∴ $\frac{m}{M}=\frac{16}{9}$

પ્રશ્ન 91.
બે પદાર્થો A અને Bને બે દળ રહિત સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલ છે. બંને સ્પ્રિંગનો બળ-અચળાંક અનુક્રમે k₁ અને k₂ છે. A અને Bનાં દોલનો દરમિયાન તેમનો મહત્તમ વેગ સમાન હોય, તો તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર ………….. .
A. $\sqrt{k_1 / k_2}$
B. k₂/k₁
C. $\sqrt{k_2 / k_1}$
D. k₁/k₂
ઉત્તર:
C. $\sqrt{k_2 / k_1}$
Hint : સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થ Aનો મહત્તમ વેગ,
υ_m1 = ω₁A₁
સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થ Bનો મહત્તમ વેગ,
υ_m2 = ω₂A₂
પરંતુ υ_m1 = υ_m2
∴ ω₁A₁ = ω₂A₂
∴ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{T_1}{T_2}$
∴ $\frac{A_1}{A_2}=\frac{2 \pi \sqrt{m / k_1}}{2 \pi \sqrt{m / k_2}}=\sqrt{\frac{k_2}{k_1}}$

પ્રશ્ન 92.
લોલકના ગોળાનો પાણીમાં આવર્તકાળ t છે. જ્યારે હવાના માધ્યમમાં તેનો આવર્તકાળ t₀ છે. જો ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા ($\frac{4}{3}$ × 1000)kg m^-3 હોય અને પાણીનું અવરોધક બળ અવગણ્ય હોય, તો t અને t₀ વચ્ચેનો નીચેના પૈકી કયો સંબંધ સાચો છે?
A. t = t₀
B. t = t₀/2
C. t = 2t₀
D. t = 4t₀
ઉત્તર:
C. t = 2t₀
Hint : હવામાં લોલકનો આવર્તકાળ t₀ = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$ …………. (1)
હવે, ગોળાને પાણીમાં ડુબાડતાં ગોળાના વજનમાં
ઘટાડો થાય છે.
∴ ઉત્લાવક બળ = ગોળાએ ખસેડેલ પાણીનું વજન
∴ અસરકારક વજન = (m – m₀) g
∴ V ρ g’ = V ρ g – Vσ g

પ્રશ્ન 93.
એક સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલ કણનો આવર્તકાળ t₁ છે. બીજી સ્પ્રિંગ માટે આ કણનો આવર્તકાળ t₂ છે. જો બંને સ્પ્રિંગોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે, તો કણનો આવર્તકાળ T = ……………. .
A. T = t₁ + t₂
B. T² = t₁² + t₂²
C. T^-1 = t₁^-1 + t₂^-1
D. T^-2 = t₁^-2 + t₂^-2
ઉત્તર:
B. T² = t₁² + t₂²
Hint :

∴ t₁² + t₂² = T²
[નોંધ : જો ઉપરોક્ત સ્પ્રિંગોને સમાંતરમાં જોડેલ હોય, તો ઉત્તર વિકલ્પ D આવશે.]

પ્રશ્ન 94.
સ્પ્રિંગ-અચળાંક k ધરાવતી સ્પ્રિંગના છેડે m દળનો કણ છે. તેની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ ω₀ છે. જો દોલક પર લાગતું બાહ્ય આવર્તક
બળ cos ωt (ω ≠ ω₀) અનુસાર બદલાતું હોય, તો સમય પર આધારિત આ કણનું સ્થાનાંતર ∝ ………………. . (b = 0 લો.)
A. $\frac{m}{\omega_0^2-\omega^2}$
B. $\frac{1}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}$
C. $\frac{1}{m\left(\omega_0^2+\omega^2\right)}$
D. $\frac{m}{\omega_0^2+\omega^2}$
ઉત્તર:
B. $\frac{1}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}$
Hint : પ્રણોદિત દોલનોના કિસ્સામાં દોલકનો કંપવિસ્તાર,
A = $\frac{F_0 / m}{\omega_0^2-\omega^2}=\frac{F_0}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}$
હવે, x = A cos (ωt + Φ) હોવાથી,
આથી x ∝ $\frac{1}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}$

પ્રશ્ન 95.
sin²(ωt) વિધેય દર્શાવે છે કે …
A. તે $\frac{2 \pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સ.આ.ગ. છે.
B. તે $\frac{\pi}{\omega}$આવર્તકાળ ધરાવતી સ.આ.ગ. છે.
C. તે આવર્તીય છે, પરંતુ $\frac{2 \pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સ.આ.ગ. નથી.
D. તે આવર્તીય છે, પરંતુ $\frac{\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સ.આ.ગ. નથી.
ઉત્તર:
D. તે આવર્તીય છે, પરંતુ $\frac{\pi}{\omega}$ આવર્તકાળ ધરાવતી સ.આ.ગ. નથી.
Hint : y = sin² ωt
= $\frac{1-\cos 2 \omega t}{2}=\frac{1}{2}-\frac{\cos 2 \omega t}{2}$
υ = $\frac{d x}{d t}=\frac{2 \omega \sin 2 \omega t}{2}$ = ω sin 2 ωt
a = $\frac{d v}{d t}$ = 2ω² cos 2ωt
અહીં, a ∝ (- x) એ સંતોષાતું નથી, જે દર્શાવે છે કે વિધેય આવર્તીય છે, પરંતુ સ.આ.ગ. નથી.
અહીં, કોણીય આવૃત્તિ ω’ = 2ω છે.
∴ આવર્તકાળ = $\frac{2 \pi}{\omega^{\prime}}=\frac{2 \pi}{2 \omega}=\frac{\pi}{\omega}$

પ્રશ્ન 96.
y₁ = 0.1 sin (100 πt + $\frac{\pi}{3}$) અને y₂ = 0.1 cos πt વડે રજૂ થતી સ.આ.ગ.માં કણ 2ની સાપેક્ષે કણ 1ના વેગનો પ્રારંભમાં કળા-તફાવત ………………. .
A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{\pi}{6}$
C. – $\frac{\pi}{6}$
D. $\frac{\pi}{3}$
ઉત્તર:
C. $\frac{\pi}{6}$
Hint : y₁ = 0.1 sin (100 πt + $\frac{\pi}{3}$)
∴ υ₁ = $\frac{d y_1}{d t}$ = (0.1 × 100π) cos(100 πt + $\frac{\pi}{3}$)
y₂ = 0.1 cos πt
∴ υ₂ = $\frac{d y_2}{d t}$ = – (0.1 × π) sin πt
= 0.1 πcos (πt + $\frac{\pi}{2}$
કળા-તફાવત Δ Φ = $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{6}$ rad

પ્રશ્ન 97.
સંપૂર્ણ પાણીથી ભરેલા ગોળાના તળિયે એક છિદ્ર છે. દોલનો દરમિયાન આ છિદ્ર ખોલી નાખવામાં આવે અને ગોળો સંપૂર્ણ ખાલી થાય ત્યાં સુધી આવર્તકાળનાં અવલોકનો લેવામાં આવે, તો …
A. આવર્તકાળ અચળ રહેશે.
B. આવર્તકાળ અમુક હદ સુધી વધશે ત્યારબાદ અચળ રહેશે.
C. આવર્તકાળ પ્રથમ વધશે ત્યારબાદ મૂળ આવર્તકાળનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી ઘટશે.
D. આવર્તકાળ પ્રથમ ઘટે છે ત્યારબાદ મૂળ આવર્તકાળનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી વધે છે.
ઉત્તર:
C. આવર્તકાળ પ્રથમ વધશે ત્યારબાદ મૂળ આવર્તકાળનું મૂલ્ય પ્રાપ્ત થાય ત્યાં સુધી ઘટશે.
Hint : લોલક માટે આવર્તકાળ T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$ ; જ્યાં, l એ લોલકના આધારબિંદુથી ગોળાના ગુરુત્વકેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે. જેમ જેમ પાણી ખાલી થતું જાય તેમ ગોળાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર નીચે આવતું જાય છે. આથી પ્રારંભમાં લોલકની લંબાઈ વધતાં આવર્તકાળ વધશે. જ્યારે ગોળો સંપૂર્ણ ખાલી થઈ જાય ત્યારે ગુરુત્વકેન્દ્ર તેના મૂળ સ્થાને આવે છે અને ક્ષણભરમાં લોલક મૂળ લંબાઈ પ્રાપ્ત કરે છે. એટલે કે આવર્તકાળ ઘટીને મૂળ આવર્તકાળ જેટલો થાય છે.

પ્રશ્ન 98.
મધ્યમાન સ્થાન(નિયતબિંદુ)થી શરૂ થતી સ.આ.ગ. કરતા એક દોલકનો આવર્તકાળ 2 s છે. કેટલા સમયને અંતે તેની ગતિ-ઊર્જા એ કુલ ઊર્જાના 75% જેટલી થશે?
A. $\frac{1}{12}$ s
B. $\frac{1}{6}$ s
C. $\frac{1}{4}$ s
D. $\frac{1}{3}$ s
ઉત્તર:
B. $\frac{1}{6}$ s
Hint : K = $\frac{3}{4}$ E
$\frac{1}{2}$ mω²A² cos²ωt = $\frac{3}{4}$ × $\frac{1}{2}$ mω²A²
∴ cos²ωt = $\frac{3}{4}$
∴ cos ωt = $\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ ωt = $\frac{\pi}{6}$
∴ t = $\frac{\pi}{6 \omega}=\frac{\pi}{6\left(\frac{2 \pi}{T}\right)}=\frac{\pi}{6\left(\frac{2 \pi}{2}\right)}$
∴ t = $\frac{1}{6}$ s

પ્રશ્ન 99.
7 mm કંપવિસ્તાર ધરાવતા સ.આ.ગ. કરતા કણનો મહત્તમ વેગ 4.4m s^-1 છે. આ દોલનનો આવર્તકાળ ………………… .
A. 100 s
B. 0.01 s
C. 10 s
D. 0.1 s
ઉત્તર:
B. 0.01 s
Hint : υ_max = ωA = ($\frac{2 \pi}{T}$) A
T = $\frac{2 \pi A}{v_{\max }}$ = 2 × $\frac{22}{7} \times \frac{7 \times 10^{-3}}{4.4}$ = 10^-2 s
∴ T = 0.01 s

પ્રશ્ન 100.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ k₁ અને k₂ બળ-અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગોને m દળના પદાર્થ સાથે જોડેલ છે. આ પદાર્થના દોલનની આવૃત્તિ f છે. જો k₁ અને k₂નાં મૂલ્યો ચાર ગણા કરવામાં આવે, તો દોલનની આવૃત્તિ …………… .

A. 2f
B. f/2
C. f/4
D. 4f
ઉત્તર:
A. 2f
Hint : આપેલ આકૃતિમાં બંને સ્પ્રિંગો સમાંત૨માં જોડેલ હોય તેમ વર્તે છે.
આથી સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k = k₁ + k₂
∴ f = $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$
બીજા કિસ્સામાં k₁‘ = 4k₁ અને k₂‘ = 4k₂
નવી આવૃત્તિ f’ = $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4 k_1+4 k_2}{m}}$
= 2 ($\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}}$) = 2f

પ્રશ્ન 101.
m દળ ધરાવતા કણના દોલનની આવૃત્તિ f અને કંપવિસ્તાર a છે. તેના ગતિપથ પરના નિયતબિંદુથી કોઈ એક અંત્યબિંદુ વચ્ચે સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા ……………. .
A. 2π² ma² f²
B. π² ma² f²
C. $\frac{1}{4}$ ma² f²
D. 4π² ma² f²
ઉત્તર:
B. π² ma² f²
Hint : કણનો વેગ υ = ωa cos ωt
∴ ગતિ-ઊર્જા K = $\frac{1}{2}$ mυ²
= $\frac{1}{2}$ = mω² a² cos² ωt
∴ સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા,
= $\frac{1}{2}$ = mω² a² <cos² ωt>
= $\frac{1}{2}$ = mω² a² ($\frac{1}{2}$) [∵ <cos² ω > = $\frac{1}{2}$]
= $\frac{1}{4}$m(2πf)² a²
= π² mf²a²

પ્રશ્ન 102.
એક સ્પ્રિંગને છેડે બાંધેલ પદાર્થ સ.આ.ગ. ક૨ે છે. તેનું t સમયે સ્થાનાંતર x = 2 × 10^-2cos πt (m) છે, તો સૌપ્રથમ વાર કયા સમયે તે મહત્તમ વેગ પ્રાપ્ત કરશે?
A. 0.25 s
B. 0.5 s
C. 0.75 s
D. 0.125 s
ઉત્તર:
B. 0.5 s
Hint : x = 2 × 10^-2 cos π t
∴ υ = $\frac{d x}{d t}$ = – (2 × 10^-2) (π) sin πt
જ્યારે sin π t = 1 થશે ત્યારે વેગ મહત્તમ થશે.
∴ sin π t = 1
∴ π t = sin^-1(1) = $\frac{\pi}{2}$
∴ t = $\frac{1}{2}$ = 0.5 s

પ્રશ્ન 103.
એક બિંદુત્ પદાર્થ X-અક્ષ પર x = x₀ cos (ωt – $\frac{\pi}{4}$ સૂત્ર અનુસાર સ.આ.ગ. કરે છે. જો પદાર્થનો પ્રવેગ a = A cos (ωt + δ) સૂત્ર દ્વારા અપાતો હોય, તો …
A. A = x₀ ω², δ = $\frac{3 \pi}{4}$
B. A = x₀, δ = – $\frac{\pi}{4}$
C. A = x₀ ω², δ = – $\frac{\pi}{4}$
D. A = x₀ ω², δ = – $\frac{\pi}{4}$
ઉત્તર:
A. A = x₀ ω², δ = $\frac{3 \pi}{4}$
Hint : x = x₀ cos (ωt – $\frac{\pi}{4}$
∴ υ = $\frac{d x}{d t}$ = – x₀ ω sin (ωt – $\frac{\pi}{4}$
∴ a = $\frac{d^2 x}{d t^2}$ = – x₀ ω² cos (ωt – $\frac{\pi}{4}$
= x₀ ω² cos (ωt – $\frac{\pi}{4}$ + π)
∴ a = x₀ ω² cos (ωt + $\frac{3 \pi}{4}$
હવે, a = A cos (ωt + δ) સાથે સરખાવતાં,
A = x₀ ω², δ = $\frac{3 \pi}{4}$ rad

પ્રશ્ન 104.
સ.આ.ગ. કરતા કણ માટે x, υ અને a અનુક્રમે સ્થાનાંતર, વેગ અને પ્રવેગ દર્શાવે છે. જો કણનો આવર્તકાળ T હોય, તો નીચે દર્શાવેલ કયું પદ સમય સાથે બદલાશે નહિ?
A. a²T² + 4π²υ²
B. $\frac{a T}{x}$
С. аТ + 2πƒ
D. $\frac{a T}{υ}$
ઉત્તર:
B. $\frac{a T}{x}$
Hint : સ.આ.ગ. માટે a = ω² x
∴ α = $\frac{4 \pi^2}{T^2}$ · x
∴ $\frac{a T}{x}=\frac{4 \pi^2}{T}$
અહીં, આવર્તકાળ T અચળ હોવાથી $\frac{a T}{x}$ પણ અચળ થશે.

પ્રશ્ન 105.
સમક્ષિતિજ રહેલી સ્પ્રિંગ સાથે બાંધેલ M દળનો પદાર્થ સ.આ.ગ. કરે છે. તેનો કંપવિસ્તાર A₁ છે. જ્યારે પદાર્થ નિયતબિંદુ પાસેથી પસાર થાય ત્યારે m દળનો પદાર્થ તેના પર મૂકવામાં આવે છે. બંને પદાર્થો A₂ કંપવિસ્તાર સાથે સ.આ.ગ. કરે છે, તો $\frac{A_1}{A_2}$ = ……………. .
A. $\frac{M}{M+m}$
B. $\frac{M+m}{M}$
C. $\left(\frac{M}{M+m}\right)^{\frac{1}{2}}$
D. $\left(\frac{M+m}{M}\right)^{\frac{1}{2}}$
ઉત્તર:
D. $\left(\frac{M+m}{M}\right)^{\frac{1}{2}}$
Hint : પ્રથમ કિસ્સામાં T₁ = 2π $\sqrt{\frac{M}{k}}$
બીજા કિસ્સામાં T₂ = 2π $\sqrt{\frac{M+m}{k}}$
હવે, રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
Mυ₁ = (M + m)υ₂
M (ω₁A₁) = (M + m) (ω₂A₂) (∵ υ = ωA)

પ્રશ્ન 106.
અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર 5 sના અંતે તેના મૂળ મૂલ્યથી ઘટીને 0.9 ગણો થાય છે. બીજી 10 sના અંતે તે તેના મૂળ મૂલ્યથી ઘટીને α ગણો બને છે. જ્યાં, α = …………….. .
A. 0.6
B. 0.7
C. 0.81
D. 0.729
ઉત્તર :
D. 0.729
Hint : t સમયે અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર,
A = A_o $e^{-\frac{b t}{2 m}}$
t = 5 sના અંતે દોલકનો કંપવિસ્તાર,
0.9A_o = A_o $e^{-\frac{b(5)}{2 m}}$
∴ ln_e 0.9 = – $\frac{b(5)}{2 m}$ ………… (1)
બીજા 10 sના અંતે એટલે કે t = 10 + 5 = 15 sના અંતે કંપવિસ્તાર,
α A_o = A_o $e^{-\frac{b(15)}{2 m}}$
∴ ln_e α = – $\frac{b(15)}{2 m}$ ……….. (2)
સમીકરણ (2) અને (1)નો ગુણોત્તર લેતાં,
$\frac{\ln \alpha}{\ln (0.9)}=\frac{15}{5}$ = 3
∴ ln α = 3 ln (0.9) = ln (0.9)³
α = (0.9)³ = 0.729

પ્રશ્ન 107.
L લંબાઈ, M દળ ધરાવતાં અને A જેટલું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સમાન (Uniform) નળાકારને તેની લંબાઈ શિરોલંબ દિશામાં રહે તેમ દળ રહિત સ્પ્રિંગ વડે નિયતબિંદુ આગળ σ જેટલી ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં અડધો ડૂબેલો રહે તેમ લટકાવવામાં આવે છે. અહીં, નળાકાર સમતોલન સ્થિતિમાં છે. નળાકારની સમતોલન સ્થિતિમાં થતો સ્પ્રિંગની લંબાઈનો વધારો x₀ = ……………… થશે.
A. $\frac{M g}{k}\left(1+\frac{L A \sigma}{M}\right)$
B. $\frac{M g}{k}$
C. $\frac{M g}{k}\left(1-\frac{L A \sigma}{M}\right)$
D. $\frac{M g}{k}\left(1+\frac{L A \sigma}{2 M}\right)$
અહીં, એ સ્પ્રિંગ-અચળાંક છે.
ઉત્તર:
D. $\frac{M g}{k}\left(1+\frac{L A \sigma}{2 M}\right)$
Hint : આકૃતિમાં પ્રવાહીમાં અર્ધ ડૂબેલ નળાકાર પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યા છે.
F₀ = નળાકાર પર લાગતું ઉચ્છ્વાવક બળ છે.
= m’g
જ્યાં, m’ એ નળાકાર દ્વારા ખસેડેલ પ્રવાહીનું દળ છે.
m’ = ઘનતા × કદ
= σ (\(\frac{L}{2}[latex] · A)
∴ F₀ = [latex]\frac{\sigma L A}{2}\) g
નળાકાર સંતુલિત સ્થિતિમાં છે. આથી kx₀ + F₀ = Mg જ્યાં kx₀ એ સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ છે.
∴ kx₀ + $\frac{\sigma L A}{2}$ g = Mg
∴ x₀ = (Mg – $\frac{\sigma L A g}{2}$) $\frac{1}{k}$ = $\frac{Mg}{k}$ (1 – $\frac{\sigma L A}{2 M}$)

પ્રશ્ન 108.
શિરોલંબ નળાકારીય પાત્રમાં ભરેલ આદર્શ વાયુ, M દળ ધરાવતા અને મુક્ત ગતિ કરતા પિસ્ટનને ટેકવે છે. પિસ્ટન અને નળાકાર બંને સમાન A જેટલું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે. પિસ્ટનની સમતોલન સ્થિતિમાં વાયુનું કદ V₀ અને તેનું દબાણ P₀ છે. હવે, પિસ્ટનને તેની સમતોલન સ્થિતિમાંથી થોડુંક સ્થાનાંતરિત કરી મુક્ત કરવામાં આવે છે. ધારો કે આ તંત્ર પર્યાવરણથી અલગ (Isolate) કરેલ હોય ત્યારે પિસ્ટન …………………… આવૃત્તિ સાથે સ૨ળ આવર્તગતિ કરશે.
A. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M V_0}{A \gamma P_0}}$
B. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A \gamma P_0}{V_0 M}}$
C. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A^2 \gamma P_0}{M V_0}}$
D. $\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{V_0 M P_0}{A^2 \gamma}$
ઉત્તર:
C. $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{A^2 \gamma P_0}{M V_0}}$
Hint : PV^γ = અચળ
∴ V^γdP + γPV^{γ – 1} = 0
∴ dp = – $\frac{\gamma P}{V}$ dV
આથી દબાણમાં ફેરફાર,
∴ dp = – $\frac{\gamma P_0}{V_0}$ dV (∵ પ્રારંભિક દબાણ અને કદ = – $\frac{\gamma P_0}{V_0}$ (Ax) અનુક્રમે P₀ અને V₀ છે.)
∴ પિસ્ટન પર લાગતા બળનું મૂલ્ય
F = (દબાણમાં ફેરફાર) (ક્ષેત્રફળ) = dp × A
F = – $\frac{\gamma P_0(A x)}{V_0}$ × A = – $\frac{\gamma P_0 A^2}{V_0}$ × x = – kx
જ્યાં, k = $\frac{\gamma P_0 A^2}{V_0}$
પિસ્ટનના સ.આ.ગ.ની આવૃત્તિ,
f = $\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\gamma P_0 A^2}{V_0 M}}$

પ્રશ્ન 109.
એક કણ રેખીય સ.આ.ગ. કરે છે. પ્રારંભમાં સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરી પ્રથમ τsમાં ‘a’ જેટલું અંતર કાપે છે. ત્યારબાદના τsમાં 2a જેટલું અંતર સમાન દિશામાં કાપે છે, તો ……… .
A. દોલનનો આવર્તકાળ 8τ હશે.
B. દોલનનો કંપવિસ્તાર 4a હશે.
C. દોલનનો આવર્તકાળ 6τ હશે.
D. દોલનનો કંપવિસ્તાર 3a હશે.
ઉત્તર:
C. દોલનનો આવર્તકાળ 6τ હશે.
Hint : પ્રારંભમાં કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી સ.આ.ગ. કરે છે.
∴ x = A cos ωt
t = τ સમયે, A – a = A cos ω τ ………… (1)
t = 2τ સમયે, A – 3a = A cos 2ω τ ……….. (2)
cos 2ω τ = 2 cos² ω τ – 1
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,

પ્રશ્ન 110.
સાદા લોલક માટે ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરના આલેખો નીચે દર્શાવેલ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કયો વિકલ્પ સાચો છે?

ઉત્તર:

Hint : KE = $\frac{1}{2}$ mω² (A² – d²), PE = $\frac{1}{2}$ mω²d² d = 0 સ્થાને PE = 0 અને KE = મહત્તમ. d = ± A સ્થાને PE = મહત્તમ અને KE = 0. બંને વક્રો પરવલય છે. આથી વિકલ્પ (B) યોગ્ય છે.

પ્રશ્ન 111.
અવમંદિત દોલકનો આવર્તકાળ 1s છે. અવમંદનને લીધે તે ઊર્જા ગુમાવે છે. કોઈ એક સમયે તેની ઊર્જા 45 J છે. 15 દોલનો બાદ તેની ઊર્જા 15 J થાય છે. આ દોલનનો અવમંદન
અચળાંક ……………… s^-1 હશે.
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{30}$ ln 3
C. 2
D. $\frac{1}{15}$ ln 3
ઉત્તર:
D. $\frac{1}{15}$ ln 3
Hint : અવમંદિત દોલકનો કંપવિસ્તાર A’ = A $e^{-\frac{b t}{2 m}}$
દોલકની ઊર્જા E = $\frac{1}{2}$ kA’² = $\frac{1}{2}$ kA² $e^{-\frac{b t}{m}}$
15 દોલનો માટેનો સમય = 15 s. આટલા સમયમાં દોલકની ઊર્જા 45 Jથી ઘટીને 15 J થાય છે.

પ્રશ્ન 112.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો કંપવિસ્તાર A છે. જ્યારે કણ મધ્યમાન સ્થાનેથી $\frac{2 A}{3}$ જેટલા અંતરે છે ત્યારે તેની ઝડપ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે છે. આ ગતિનો નવો કંપવિસ્તાર …………. હશે.
A. $\frac{A}{3} \sqrt{41}$
B. 3A
C. A√3
D. $\frac{7 A}{3}$
ઉત્તર:
D. $\frac{7 A}{3}$
Hint :

પ્રશ્ન 113.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો આવર્તકાળ T છે. t = ૦ સમયે કણ મધ્યમાન સ્થિતિમાં છે. આ દોલન માટે KE – સમયનો આલેખ કયો હશે?

ઉત્તર:

Hint : x = A sin ωt
υ = $\frac{d x}{d t}$ = A ω cos ω t
KE = $\frac{1}{2}$ mA² ω² cos² ωt
= $\frac{1}{2}$ m A² ω² cos² $\frac{2 \pi}{T}$t
ઉપરોક્ત સમીકરણ અનુસાર KE – t ના આલેખ દોરતા વિકલ્પ (D) જેવો આલેખ મળશે.

પ્રશ્ન 114.
ઘન અવસ્થાના સિલ્વરના અણુઓ 10¹²/secથી સ.આ.ગ. કરે છે. બે અણુઓ વચ્ચેના સહસંયોજક બંધનો બળ-અચળાંક કેટલો હશે?
(સિલ્વરનો અણુભાર = 108 g, ઍવોગેડ્રો નંબર = 6.02 × 10²³)
A. 6.4 N m^-1
B. 7.1 N m^-1
C. 2.2 N m^-1
D. 5.5 N m^-1
ઉત્તર :
B. 7.1 N m^-1
Hint :

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સિલ્વર અણુ વચ્ચેના સહસંયોજક બંધને બે સ્પ્રિંગના શ્રેણી-જોડાણ તરીકે લઈ શકાય. દરેક સ્પ્રિંગની લંબાઈ l/2 હોય, તો આ સ્પ્રિંગનો બળ-અચળાંક, k’ = 2 થશે.

પ્રશ્ન 115.
અવમંદિત દોલકની આવૃત્તિ 5 દોલન પ્રતિ સેકન્ડ છે. તેના દરેક 10 દોલનોના અંતે કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે. મૂળ કંપવિસ્તારના $\frac{1}{1000}$ જેટલો કંપવિસ્તાર થતા લાગતો આશરે સમય ………………. .
A. 50 s
B. 100 s
C. 10 s
D. 20 s
ઉત્તર:
D. 20 s
Hint : T = $\frac{1}{f}=\frac{1}{5}$ = 0.2 s
હવે, 10 દોલનો એટલે કે 10 × 0.2 = 2 s બાદ કંપવિસ્તાર અડધો થાય છે.

(સમીકરણ (1) પરથી)
∴ t = 2 × 10 = 20 second

પ્રશ્ન 116.
હવામાં સ.આ.ગ. કરતાં લોલકનો આવર્તકાળ T છે. લોલકના ગોળાને અસિગ્નધ પ્રવાહીમાં ડુબાડેલ છે. પ્રવાહીની ઘનતા ગોળાની ઘનતા કરતાં 1/16 ગણી છે. જો ગોળો સંપૂર્ણપણે પ્રવાહીમાં રહેતો હોય, તો પ્રવાહીમાં દોલનનો આવર્તકાળ ……………. .
A. 2T$\sqrt{\frac{1}{14}}$
B. 2T$\sqrt{\frac{1}{10}}$
C. 4T$\sqrt{\frac{1}{15}}$
D. 4T$\sqrt{\frac{1}{14}}$
ઉત્તર :
C. 4T$\sqrt{\frac{1}{15}}$
Hint : લોલકનો આવર્તકાળ (હવામાં)T = 2π $\sqrt{\frac{l}{g}}$
ગોળાની ઘનતા = ρ
પ્રવાહીની ઘનતા ρ₀ = $\frac{1}{16}$ρ
ગોળો પ્રવાહીમાં ડૂબેલો હોય ત્યારે તેના પર લાગતું ઉત્લાવક બળ m₀g થશે. જ્યાં m₀ એ ગોળાએ ખસેડેલ પ્રવાહીનું દળ.
પ્રવાહીમાં ગોળાનું અસરકારક વજન
= mg – m₀g

પ્રવાહીમાં લોલકનો આવર્તકાળ,

પ્રશ્ન 117.
અવમંદિત દોલકના સ્થાનાંતરનું સમીકરણ
x (t) = e^{– 0.1 t} cos (10πt + Φ), t એ સેકન્ડમાં છે.
આ દોલનનો કંપવિસ્તાર પ્રારંભના કંપવિસ્તાર કરતાં અડધો થતાં આશરે કેટલો સમય લાગશે?
A. 4 s
B. 13 s
C. 7 s
D. 27 s
ઉત્તર :
C. 7 s
Hint : A’ = A₀ e^{– 0.1 t}
∴ $\frac{A_0}{2}$ = A₀ e^{– 0.1 t}
∴ t = 10 ln (2)
∴ t = 7s

પ્રશ્ન 118.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કયો વિકલ્પ સેકન્ડ લોલકનું વિકલ સમીકરણ દર્શાવે છે?
A. $\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{x}{\pi}$ = 0
B. $\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{x}{\pi^2}$ = 0
C. $\frac{d^2 x}{d t^2}$ + πx = 0
D. $\frac{d^2 x}{d t^2}$ + π²x = 0
ઉત્તર:
D. $\frac{d^2 x}{d t^2}$ + π²x = 0
Hint : સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2 s
∴ ω = $\frac{2 \pi}{T}$
= $\frac{2 \pi}{2}$
= π rad s^-1
સ.આ.ગ.નું વિકલ સમીકરણ,
$\frac{d^2 x}{d t^2}$ + ω²x = 0
∴ $\frac{d^2 x}{d t^2}$ + π²x = 0