GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 8 Maths Chapter 7 ઘન અને ઘનમૂળ Ex 7.2

1. નીચે આપેલી દરેક સંખ્યાનું ઘનમૂળ અવિભાજ્ય અવયવીકરણની રીતે શોધોઃ

પ્રશ્ન (i).
64
ઉત્તરઃ
64
\(\begin{array}{l|l}
2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
64ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
∴ \(\sqrt[3]{64}\) = 2 × 2
= 4
આમ, 64નું ઘનમૂળ 4 છે.

પ્રશ્ન (ii).
512
ઉત્તરઃ
512
\(\begin{array}{l|l}
2 & 512 \\
\hline 2 & 256 \\
\hline 2 & 128 \\
\hline 2 & 64 \\
\hline 2 & 32 \\
\hline 2 & 16 \\
\hline 2 & 8 \\
\hline 2 & 4 \\
\hline 2 & 2 \\
\hline & 1
\end{array}\)
512ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
∴ \(\sqrt[3]{512}\) = 2 × 2 × 2
= 8
આમ, 512નું ઘનમૂળ 8 છે.

પ્રશ્ન (iii).
10648
ઉત્તરઃ
10648
\(\begin{array}{r|l}
2 & 10648 \\
\hline 2 & 5324 \\
\hline 2 & 2662 \\
\hline 11 & 1331 \\
\hline 11 & 121 \\
\hline 11 & 11 \\
\hline & 1
\end{array}\)
10648ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
10648 = 2 × 2 × 2 × 11 × 11 × 11
∴ \(\sqrt[3]{10648}\) = 2 × 11
= 22
આમ, 10648નું ઘનમૂળ 22 છે.

પ્રશ્ન (iv).
27000
ઉત્તરઃ
27000
\(\begin{array}{l|l}
2 & 27000 \\
\hline 2 & 13500 \\
\hline 2 & 6750 \\
\hline 3 & 3375 \\
\hline 3 & 1125 \\
\hline 3 & 375 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
27000ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
27000 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
∴ \(\sqrt[3]{27000}\) = 2 × 3 × 5 = 30
આમ, 27000નું ઘનમૂળ 30 છે.

પ્રશ્ન (v).
15625
ઉત્તરઃ
15625
\(\begin{array}{l|l}
5 & 15625 \\
\hline 5 & 3125 \\
\hline 5 & 625 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
15625ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
15625 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
∴ \(\sqrt[3]{27000}\) = 5 × 5 = 25
આમ, 15625નું ઘનમૂળ 25 છે.

પ્રશ્ન (vi).
13824
ઉત્તરઃ
13824
\(\begin{array}{l|l}
2 & 13824 \\
\hline 2 & 6912 \\
\hline 2 & 3456 \\
\hline 2 & 1728 \\
\hline 2 & 864 \\
\hline 2 & 432 \\
\hline 2 & 216 \\
\hline 2 & 108 \\
\hline 2 & 54 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
13824ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
13824 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
∴ \(\sqrt[3]{13824}\) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24
આમ, 13824નું ઘનમૂળ 24 છે.

પ્રશ્ન (vii).
110592
ઉત્તરઃ
110592
\(\begin{array}{l|l}
2 & 110592 \\
\hline 2 & 55296 \\
\hline 2 & 27648 \\
\hline 2 & 13824 \\
\hline 2 & 6912 \\
\hline 2 & 3456 \\
\hline 2 & 1728 \\
\hline 2 & 864 \\
\hline 2 & 432 \\
\hline 2 & 216 \\
\hline 2 & 108 \\
\hline 2 & 54 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
110592ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
110592 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
∴ \(\sqrt[3]{110592}\) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 48
આમ, 110592નું ઘનમૂળ 48 છે.

પ્રશ્ન (viii).
46656
ઉત્તરઃ
46656
\(\begin{array}{l|l}
2 & 46656 \\
\hline 2 & 23328 \\
\hline 2 & 11664 \\
\hline 2 & 5832 \\
\hline 2 & 2916 \\
\hline 2 & 1458 \\
\hline 3 & 729 \\
\hline 3 & 243 \\
\hline 3 & 81 \\
\hline 3 & 27 \\
\hline 3 & 9 \\
\hline 3 & 3 \\
\hline & 1
\end{array}\)
46656ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
46656 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
∴ \(\sqrt[3]{46656}\) = 2 × 2 × 3 × 3 = 36
આમ, 46656નું ઘનમૂળ 36 છે.

પ્રશ્ન (ix).
175616
ઉત્તરઃ
175616
\(\begin{array}{l|l}
2 & 175616 \\
\hline 2 & 87808 \\
\hline 2 & 43904 \\
\hline 2 & 21952 \\
\hline 2 & 10976 \\
\hline 2 & 5488 \\
\hline 2 & 2744 \\
\hline 2 & 1372 \\
\hline 2 & 686 \\
\hline 7 & 343 \\
\hline 7 & 49 \\
\hline 7 & 7 \\
\hline & 1
\end{array}\)
175616ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
175616 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 7
∴ \(\sqrt[3]{175616}\) = 2 × 2 × 2 × 7 = 56
આમ, 175616નું ઘનમૂળ 56 છે.

પ્રશ્ન (x).
91125
ઉત્તરઃ
91125
\(\begin{array}{l|l}
3 & 91125 \\
\hline 3 & 30375 \\
\hline 3 & 10125 \\
\hline 3 & 3375 \\
\hline 3 & 1125 \\
\hline 3 & 375 \\
\hline 5 & 125 \\
\hline 5 & 25 \\
\hline 5 & 5 \\
\hline & 1
\end{array}\)
91125ના અવિભાજ્ય અવયવો મેળવીએ.
91125 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
∴ \(\sqrt[3]{91125}\) = 3 × 3 × 5 = 45
આમ, 91125નું ઘનમૂળ 45 છે.

2. નીચેનું વિધાન ખરું છે કે ખોટું તે કહોઃ

પ્રશ્ન (i).
કોઈ પણ એકી સંખ્યાનો ઘન બેકી સંખ્યા હોય.
ઉત્તરઃ
ખોટું, કારણ કે એકી સંખ્યાનો ઘન હંમેશાં એકી સંખ્યા જ હોય.

પ્રશ્ન (ii).
પૂર્ણઘન સંખ્યાના અંતિમ બે અંકો શૂન્ય ન હોય.
ઉત્તરઃ
ખરું, કારણ કે જેના અંતિમ અંકો શૂન્ય હોય તેવી પૂર્ણઘન સંખ્યાને હંમેશાં ત્રણ કે ત્રણના ગુણકમાં શૂન્યો હોય.

પ્રશ્ન (iii).
જો કોઈ સંખ્યાનો વર્ગ કરતાં એકમનો અંક 5 આવે, તો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યાના છેલ્લા બે અંક 25 આવે.
ઉત્તરઃ
ખોટું, આવું હંમેશાં ન હોય.
જુઓ 15² = 225 અને 15³ = 3375

પ્રશ્ન (iv).
એવી કોઈ પૂર્ણઘન સંખ્યા ના મળે કે જેનો એકમનો અંક 8 હોય.
ઉત્તરઃ
ખોટું, જુઓ 8 = 2³, 1728 = 12³

પ્રશ્ન (v).
બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં મળતી સંખ્યા ત્રણ અંકોની પણ હોય.
ઉત્તરઃ
ખોટું, જુઓ 10³ = 1000; ઘન ચાર અંકોની સંખ્યા જ હોય.

પ્રશ્ન (vi).
બે અંકોવાળી સંખ્યાનો ઘન કરતાં સાત કે તેથી વધુ અંકોની સંખ્યા પણ મળે.
ઉત્તરઃ
ખોટું, જુઓ 99³ = 970299; છ અંકોની સંખ્યા જ હોય.

પ્રશ્ન (vii).
એક અંકની સંખ્યાનો ઘન કરવાથી એક અંકની સંખ્યા પણ મળે.
ઉત્તરઃ
ખરું, જુઓ 1³ = 1 તથા 2³ = 8

3. જો તમને એમ કહેવામાં આવે કે 1331 એ પૂર્ણઘન સંખ્યા છે. શું તમે અવિભાજ્ય અવયવીકરણની પ્રક્રિયા વિના જ તેનું ઘનમૂળ શોધી શકો? તેવી જ રીતે 4913; 12187; 32768ના ઘનમૂળનું અનુમાન કરો.
ઉત્તરઃ
1331 સંખ્યાને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
1331 → 1 અને 331
પહેલો વિભાગ 331ના એકમનો અંક 1 છે.
∴ 133ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 1 હોય. (∵ 1³ = 1 અને \(\sqrt[3]{1}\) = 1)
હવે બીજો વિભાગ 1 છે.
∴ 1નું ઘનમૂળ 1 છે.
આમ, 1331નું ઘનમૂળ 11 છે. (∵ \(\sqrt[3]{1331}\) = 11)

(i) 4913 સંખ્યાને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
4913 → 4 અને 913
પહેલો વિભાગ 913ના એકમનો અંક 3 છે.
∴ 4913ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 7 હોય.
(∵ 7³ = 343 અને \(\sqrt[3]{343}\) = 7)
હવે બીજો વિભાગ 4 છે.
1³ = 1 અને 2³ = 8 અહીં, 1 < 4 < 8
∴ 1³ < 4 < 2³
∴ 4913ના ઘનમૂળનો દશકનો અંક 1 છે.
આમ, 4913નું ઘનમૂળ 17 છે. (∵ \(\sqrt[3]{4913}\) = 17)

(ii) 12167
12167ને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
12167 → 12 અને 167
પહેલો વિભાગ 167ના એકમનો અંક 7 છે.
∴ 12167ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 3 હોય. (∵ 3³ = 27)
હવે બીજો વિભાગ 12 છે.
2³ = 8 અને 3³ = 27
8 < 12 < 27
એટલે કે 2³ < 12 < 3³
∴ 12167ના ઘનમૂળનો દશકનો અંક 2 હોય.
આમ, 12167નું ઘનમૂળ 23 છે. (∵ \(\sqrt[3]{12167}\) = 23)

(iii) 32768 સંખ્યાને બે વિભાગમાં વહેંચીએ.
32768 → 32 અને 768
પહેલો વિભાગ 768ના એકમનો અંક 8 છે.
∴ 32768ના ઘનમૂળનો એકમનો અંક 2 હોય.
(∵ 2³ = 8 અને \(\sqrt[3]{8}\) = 2)
હવે બીજો વિભાગ 32 છે.
3³ = 27 અને 4³ = 64
અહીં, 27 < 32 < 64
∴ 3³ < 32 < 4³
∴ 32768ના ઘનમૂળનો દશકનો અંક 3 હોય.
આમ, 32768નું ઘનમૂળ 32 છે. (∵ \(\sqrt[3]{32768}\) = 32)