GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 9 કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર અને પ્રકાશીય ઉપકરણો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 9 કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર અને પ્રકાશીય ઉપકરણો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 9 કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર અને પ્રકાશીય ઉપકરણો

GSEB Class 12 Physics કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર અને પ્રકાશીય ઉપકરણો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
36 cm વક્રતાત્રિજ્યા ધરાવતાં અંતર્ગોળ અરીસાની સામે 2.5 cm ઊંચાઈની એક નાની મીણબત્તી 27 cm અંતરે મૂકવામાં આવે છે. મીણબત્તીનું સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે પડદાને અરીસાથી કેટલા અંતરે મૂકવો જોઈએ ? પ્રતિબિંબનો પ્રકાર અને ઊંચાઈ જણાવો. જો મીણબત્તીને અરીસાની નજીક ખસેડવામાં આવે તો પડદાને કેવી રીતે ખસેડવો પડે ?
ઉત્તર:

• અહીં વસ્તુની ઊંચાઈ h₁ = 2.5 cm અંતર્ગોળ અરીસા માટે,
  વસ્તુઅંતર u = – 27 cm
  વક્રતાત્રિજ્યા R = – 36 cm
  કેન્દ્રલંબાઈ f = – 18 cm
  અરીસાના સૂત્ર પરથી,
  \(\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{-18}-\frac{1}{-27}=\frac{-1}{18}+\frac{1}{27}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{-3+2}{54}=-\frac{1}{54}\)
  v = – 54 cm
• આમ, અંતર્ગોળ અરીસાની સામે તેનાથી – 54 cm દૂર પ્રતિબિંબ મળશે.
• મોટવણી,
  m = –\(\frac{v}{u}\)
  ∴ = \(\frac{h_2}{h_1}=-\frac{-54}{-27}\)
  ∴ h₂ = h × (- 2) = – 2.5 × 2
  ∴ h₂ = – 5 cm
  આમ, પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ 5 cm, પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક, ઊલટું અને મોટું છે.
• જો મીણબત્તીને અરીસાની નજીક લઈ જવામાં આવે તો પ્રતિબિંબ અરીસાની સામે દૂરને દૂર જાય છે. તેથી પડદાને અરીસાથી દૂરને દૂર લઈ જવો પડે છે. એટલે જ્યારે u → f થાય ત્યારે v → ∞ થાય.
• જ્યારે મીણબત્તીને અરીસાની સામે 18cm કરતાં ઓછા અંતરે લાવીએ ત્યારે મીણબત્તીનું આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ મળે જે પડદા પર ઝીલી શકાય નહીં.

પ્રશ્ન 2.
15 cm કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતાં બહિર્ગોળ અરીસાથી 4.5 cm ઊંચાઈવાળી સોયને 12 cm દૂર મૂકવામાં આવે છે. પ્રતિબિંબનું સ્થાન અને મોટવણી આપો. સોયને અરીસાથી જેમ દૂર ખસેડવામાં આવે તેમ શું થશે તે જણાવો.
ઉત્તર:

• અહીં સોયની ઊંચાઈ h₁ = 4.5 cm
  વસ્તુઅંતર u = – 12 cm
  બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ f = + 15 cm
• અરીસાના સૂત્ર,
  \(\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{+15}-\frac{1}{-12}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{4+5}{60}=\frac{9}{60}\)
  ∴ v = \(\frac{60}{9}\)cm = \(\frac{20}{3}\)cm
  ∴ v = + 6.67 cm
• પ્રતિબિંબ અંતર ધન મળે છે. તેથી પ્રતિબિંબ આભાસી અને ચત્તું મળે અને તે અરીસાની પાછળ 6.67 cm અંતરે મળે છે.
  મોટવણી m = \(-\frac{v}{u}=-\frac{20}{-3 \times 12}\) = +0.56
  \(\frac{h_2}{h_1}=-\frac{20}{3 \times(-12)}=\frac{5}{9}\)
  ∴ h₂ = \(\frac{5}{9}\) × h₁ = \(\frac{5}{9}\) × 4.5 = 2.5 cm
• સોયને અરીસાથી દૂર લઈ જવામાં આવે તેમ પ્રતિબિંબ F સુધી અરીસાથી દૂર જાય અને પ્રતિબિંબ નાનું થતું જાય.

પ્રશ્ન 3.
એક ટાંકીને 12.5 cm ની ઊંચાઈ સુધી પાણીથી ભરવામાં આવે છે. ટાંકીના તળિયે રહેલી સોયની આભાસી ઊંડાઈ માઇક્રોસ્કોપ વડે માપતાં તે 9.4 cm મળે છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક કેટલો હશે ? જો 1.63 વક્રીભવનાંક ધરાવતાં પ્રવાહીને પાણીના બદલે તેટલી જ ઊંચાઈએ ભરવામાં આવે તો, સોય પર ફરીથી માઇક્રોસ્કોપને કેન્દ્રિત કરવા માટે તેને કેટલા અંતરે ખસેડવું પડે ?
ઉત્તર:

• સોયની સાચી ઊંડાઈ = ટાંકીમાં ભરેલાં પાણીની ઊંચાઈ
  h = 12.5 cm
  સોયની આભાસી ઊંડાઈ h’ = 9.4 cm
  પાણીનો વક્રીભવનાંક ^aμ_w = \(\frac{h}{h^{\prime}}=\frac{12.5}{9.4}\) ≈ 1.33
• પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક,
  ^aμ_l = \(\frac{h}{h^{\prime \prime}}\)
  ∴ 1.63 = \(\frac{12.5}{h^{\prime \prime}}\)
  ∴ h” = \(\frac{12.5}{1.63}\) = 7.669 ≈ 7.7 cm
  ∴ પ્રવાહીમાં સોયની આભાસી ઊંડાઈ h” = 7.7 cm
• માઇક્રોસ્કોપને સોય પર કેન્દ્રિત કરવા ખસેડવા માટે કરવું પડતું અંતર,
  = h’ – h”
  = 9.4 – 7.7
  = 1.7 cm

પ્રશ્ન 4.
હવામાં ગતિ કરતું કિરણ કાચ-હવા અને પાણી-હવાની સપાટીએ રચેલા લંબ સાથે 60° ના ખૂણે આપાત થાય છે. જેનાં વક્રીભવન આકૃતિઓ અનુક્રમે (a) અને (b) દર્શાવે છે.

પાણી-કાચની આંતર સપાટીએ રચેલા લંબ સાથે પાણીમાં 45° નો આપાતકોણ હોય ત્યારે કાચમાં વક્રીભવનકોણનું મૂલ્ય શોધો. (આકૃતિ (c))
ઉત્તર:
(a) આકૃતિ (a) માટે, હવાની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક,
^aμ_g = \(\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}=\frac{0.8660}{0.5736}\) = 1.51

(b) હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક,

∴ r = 33° પણ પાઠ્યપુસ્તકનો જવાબ નથી.

(c) પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક,

log table પરથી, r = 33.7° ≈ 34°

પ્રશ્ન 5.
80 cm ઊંડાઈ સુધી પાણી ભરેલી ટાંકીના તળિયે એક નાનો બલ્બ મૂક્યો છે. બલ્બમાંથી ઉત્સર્જિત થતો પ્રકાશ પાણીની સપાટી પાસેથી કેટલા ક્ષેત્રફળમાંથી બહાર આવશે ? પાણીનો વક્રીભવનાંક 1.33 છે. (બલ્બને બિંદુવત્ ઉદ્ગમ તરીકે ગણો).
ઉત્તર:

• પાણી ભરેલી ટાંકીના તળિયે રહેલા નાના બલ્બ S માંથી નીકળતાં કિરણો જે સપાટી પર ક્રાંતિકોણ કરતાં મોટા ખૂણો (i > i_c) આપાત થાય તેનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવાથી નિર્ગમન કિરણ પાણીની સપાટી બહાર આવશે નહીં.
• r ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાંથી બહાર આવતાં પ્રકાશ માટે,

∴ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ A = πr²
= π × h²tan² i_c
= 3.14 × (0.8)² × \(\frac{9}{7}\)
= 2.5837
A ≈ 2.6 m²

પ્રશ્ન 6.
અજ્ઞાત વક્રીભવનાંક ધરાવતાં કાચમાંથી એક પ્રિઝમ બનાવેલ છે. તેની એક સપાટી ઉપર પ્રકાશનું સમાંતર કિરણજૂથ આપાત કરવામાં આવે છે. લઘુતમ વિચલન કોણ 40° મળે છે. પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક શોધો. પ્રિઝમનો વક્રતાકારક કોણ 60॰ છે. જો આ પ્રિઝમને (1.33 વક્રીભવનાંક ધરાવતાં) પાણીમાં મૂકવામાં આવે તો સમાંતર કિરણજૂથ માટે લઘુતમ વિચલન કોણ શોધો.
ઉત્તર:

• પ્રિઝમને જ્યારે હવામાં મૂકેલો હોય ત્યારે,
  D_m = 40°, A = 60°
• હવાની સાપેક્ષે પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક,

∴ ^aμ_g = 1.532

• પ્રિઝમને જ્યારે પાણીમાં મૂકેલો હોય ત્યારે,
  D’_m = ?, A = 60°
  ∴ પાણીની સાપેક્ષે પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક,

પ્રશ્ન 7.
1.55 વક્રીભવનાંક ધરાવતાં કાચમાંથી બંને સપાટીઓની વક્રતાત્રિજ્યા સમાન હોય તેવા દ્વિ-બહિર્ગોળ લેન્સ બનાવવો છે, તો 20 cm કેન્દ્રલંબાઈ મેળવવા માટે જરૂરી વક્રતાત્રિજ્યા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• અહીં બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ f = + 20 cm
  કાચનો વક્રીભવનાંક μ = 1.55
  ધારો કે, = – R₁ = R અને R₂ = – R
• લેન્સમેકરના સૂત્ર પરથી,
  \(\frac{1}{f}\) = (μ – 1)[latex]\frac{1}{\mathrm{R}_1}-\frac{1}{\mathrm{R}_2}[/latex]
  \(\frac{1}{20}\) = (1.55 – 1.00)[latex]\frac{1}{R}+\frac{1}{R}[/latex]
  \(\frac{1}{20}=\frac{0.55 \times 2}{R}\)
  ∴ R = 1.1 × 20 = 22 cm

પ્રશ્ન 8.
પ્રકાશની કિરણાવલી કોઈ એક બિંદુ P પાસે કેન્દ્રિત થાય છે. જો માર્ગમાં P બિંદુથી 12 cm ના અંતરે (a) 20 cm કેન્દ્રલંબાઈવાળો બહિર્ગોળ લેન્સ અને (b) 16 cm કેન્દ્રલંબાઈવાળો અંતર્ગોળ લેન્સ મૂકવામાં આવે તો, આ કિરણાવલી કયા બિંદુએ કેન્દ્રિત થશે ?
ઉત્તર:
અહીં બંને લેન્સ માટે તેની જમણી બાજુએ P બિંદુ આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે. જ્યારે તેનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ I મળે છે. જે આકૃતિઓ (a) અને (b) માં દર્શાવ્યું છે.

(a) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે :
u = + 12 cm, f = + 20 cm
લેન્સના સમીકરણ,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) ⇒ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}+\frac{1}{u}\)
∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{20}+\frac{1}{12}\) = \(\frac{3+5}{60}=\frac{8}{60}=\frac{2}{15}\)
∴ v = \(\frac{15}{2}\) = 7.5 cm
આમ, લેન્સની જમણી બાજુએ કિરણો 7.5 cm અંતરે કેન્દ્રિત થઈને પ્રતિબિંબ I મળે છે.

(b) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે :
u = + 12 cm, f = – 16 cm
લેન્સના સમીકરણ,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) ⇒ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}+\frac{1}{u}\)
∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{-16}+\frac{1}{12}\) = \(\frac{-3+4}{48}=\frac{1}{48}\)
∴ v = 48 cm
આમ, લેન્સની જમણી બાજુએ કિરણો 48 cm અંતરે કેન્દ્રિત થઈને પ્રતિબિંબ મળે છે.

પ્રશ્ન 9.
21 cm કેન્દ્રલંબાઈવાળા અંતર્ગોળ લેન્સની સામે 14 cm નાં અંતરે, 3.0 cm ની ઊંચાઈની એક વસ્તુ મૂકેલી છે. લેન્સ વડે મળતાં પ્રતિબિંબનું વર્ણન કરો. જો વસ્તુને લેન્સથી વધુ દૂર લઈ જવામાં આવે, તો શું થશે ?
ઉત્તર:

• અંર્તગોળ લેન્સ માટે :
  અહીં વસ્તુની ઊંચાઈ h = 3cm
  વસ્તુઅંતર u = – 14 cm
  કેન્દ્રલંબાઈ f = – 21 cm
  પ્રતિબિંબ અંતર v = ?

• લેન્સના સમીકરણ,

ઋણ નિશાની સૂચવે છે, કે પ્રતિબિંબ લેન્સની વસ્તુ તરફ આભાસી, ચત્તું અને નાનું મળે છે.

• મોટવણી,
  m = \(\frac{v}{u}\)
  ∴ \(\frac{h^{\prime}}{h}=\frac{-8.4}{-14}\)
  ∴ h’ = 0.6 × h = 0.6 × 3
  ∴ h’ = 1.8 cm
  ∴ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ = 1.8 cm
• જેમ-જેમ વસ્તુને લેન્સથી દૂર લઈ જવામાં આવે તેમ આભાસી પ્રતિબિંબ લેન્સના મુખ્યકેન્દ્ર તરફ ખસે છે. (પણ મુખ્યકેન્દ્રથી દૂર કદી મળતું નથી.) પણ ક્રમશઃ ઘટતી સાઇઝનું મળે છે.

પ્રશ્ન 10.
30 cm કેન્દ્રલંબાઈના બહિર્ગોળ લેન્સને 20 cm કેન્દ્રલંબાઈના અંતર્ગોળ લેન્સ સાથે સંપર્કમાં રાખ્યો છે. આ સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ શોધો. આ સંયોજન (તંત્ર) અભિસારી (બહિર્ગોળ) લેન્સ હશે કે અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ હશે ? લેન્સની જાડાઈ અવગણો.
ઉત્તર:

• અહીં બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ f₁ = + 30 cm
  અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ f₂ = – 20 cm
• લેન્સના સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ,
  \(\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}\) = \(\frac{1}{30}+\frac{1}{-20}=\frac{2-3}{60}=-\frac{1}{60}\)
  ∴ f = – 60 cm
  ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે સંયોજન અપસારી (અંતર્ગોળ) લેન્સ તરીકે વર્તે છે.

પ્રશ્ન 11.
2.0 cm કેન્દ્રલંબાઈનો ઓબ્જેક્ટિવ અને 6.25 cm કેન્દ્રલંબાઈના આઈપીસ ધરાવતાં સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં તે બે લેન્સ વચ્ચેનું અંતર 15 cm છે. વસ્તુને ઑબ્જેક્ટિવથી કેટલા અંતરે રાખવી જોઈએ કે જેથી મળતું અંતિમ પ્રતિબિંબ (a) નજીકબિંદુ અંતરે (25 cm) અને (b) અનંત અંતરે મળે ? બંને કિસ્સામાં માઇક્રોસ્કોપની મોટવશક્તિ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં ઑબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ f₀ = 2.0 cm
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ f_e = 6.25 cm
વસ્તુઅંતર u₀ = ? નજીકબિંદુ અંતર D = 25 cm

(a) જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ નજીકબિંદુ અંતરે મળે.
∴ પ્રતિબિંબ અંતર v_e = – 25 cm

• લેન્સના સમીકરણ પરથી, આઈપીસ માટે,

∴ u_e = – 5 cm

• ઑબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર 15 cm છે.
  ∴ ઑબ્જેક્ટિવથી પ્રતિબિંબનું અંતર = v₀ = 15 – 5
  ∴ v₀ = 10 cm
  હવે ઑબ્જેક્ટિવ માટે લેન્સના સમીકરણ પરથી,
  \(\frac{1}{f_0}=\frac{1}{v_0}-\frac{1}{u_0}\)
  ∴ \(\frac{1}{u_0}=\frac{1}{v_0}-\frac{1}{f_0}\) = \(\frac{1}{10}-\frac{1}{2}=\frac{1-5}{10}=\frac{-4}{10}\)
  ∴ u₀ = – 2.5 cm
  ∴ ઑબ્જેક્ટિવથી વસ્તુનું અંતર = 2.5 cm
• મોટવશક્તિ (મૅગ્નિફાઇંગ પાવર),
  m = m₀ × m_e = \(\frac{v_0}{u_0}\)(1 + \(\frac{\mathrm{D}}{f_e}\))
  ∴ m = \(\frac{10}{2.5}\)(1 + \(\frac{25}{6.25}\)) = 4 (1 + 4) = 4 × 5
  ∴ m = 20

(b) જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે મળે,
ત્યારે V_e = ∞, f_e = 6.25 cm
∴ લેન્સના સમીકરણ પરથી,
\(\frac{1}{f_e}=\frac{1}{v_e}-\frac{1}{u_e}\)
∴ \(\frac{1}{u_e}=\frac{1}{v_e}-\frac{1}{f_e}=\frac{1}{\infty}-\frac{1}{6.25}\) = 0 – \(\frac{1}{6.25}\)
∴ u_e = -6.25 cm
પણ ઑબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર = 15 cm
∴ ઑબ્જેક્ટિવથી રચાતા પ્રતિબિંબનું તેનાથી અંતર,
V₀ = 15 – 6.25 = 8.75 cm અને ƒ₀ = +2 cm .
∴ લેન્સના સમીકરણ પરથી,

∴ u₀ = – 2.59 cm
∴ ઑબ્જેક્ટિવથી વસ્તુનું અંતર 2.59 cm
અને મોટવશક્તિ m = m₀ × m_e
= \(\frac{v_0}{u_0} \times \frac{\mathrm{D}}{f_e}\)
= \(\frac{8.75}{2.59} \times \frac{25}{6.25}\)
= 3.378 × 4
= 13.512
≈ 13.5

પ્રશ્ન 12.
સામાન્ય નજીકબિંદુ (25 cm) ધરાવતો એક વ્યક્તિ 8.0 mm કેન્દ્રલંબાઈવાળા ઑબ્જેક્ટિવ અને 2.5 cm કેન્દ્રલંબાઈના આઈપીસ ધરાવતા સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ વડે ઑબ્જેક્ટિવથી 9.0 mm દૂર રાખેલી વસ્તુનું સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ મેળવે છે. બંને લેન્સ વચ્ચેનું અંતર શોધો. માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી શક્તિ પણ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, ઑબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ f₀ = 0.8 cm
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ f_e = 2.5 cm
ઑબ્જેક્ટિવ માટે :
વસ્તુઅંતર u₀ = – 0.9 cm
લેન્સના સમીકરણ પરથી,

⇒ બંને લેન્સો વચ્ચેનું અંતર = v₀ + |u_e|
= 7.2 + 2.27
= 9.47 cm
⇒ મોટવશક્તિ m = m₀ × m_e
= \(\frac{v_0}{\left|u_0\right|}\) × (1 + \(\frac{\mathrm{D}}{f_e}\))
= \(\frac{7.2}{0.9}\) × (1 + \(\frac{25}{2.5}\) ) = 8 × (1 + 10)
= 8 × 11
= 88

પ્રશ્ન 13.
એક નાના ટેલિસ્કોપના ઑબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ 144 cm અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ 6.0 cm છે. ટેલિસ્કોપની મોટવશક્તિ તથા ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર શોધો.
ઉત્તર:
અહીં ઑબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ f₀ = 144 cm
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ f_e = 6 cm
⇒ ટેલિસ્કોપની મોટવશક્તિ,
m = \(\frac{f_0}{f_e}=\frac{144}{6}\) = 24
⇒ ઑબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર,
= f₀ + f_e
= 144 + 6
= 150 cm

પ્રશ્ન 14.
(a) એક વેધશાળામાં આવેલ વિશાળ વક્રીકારક ટેલિસ્કોપમાં ઑબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ 15 m અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ 1 cm છે, તો કોણીય મોટવણી શોધો.
(b) આ ટેલિસ્કોપના ઑબ્જેક્ટિવ વડે મળતાં ચંદ્રના પ્રતિબિંબનો વ્યાસ કેટલો હશે ? ચંદ્રનો વ્યાસ 3.48 × 10⁶ m અને ચંદ્રની કક્ષાની ત્રિજ્યા 3.8 × 10⁸ m છે.
ઉત્તર:
અહીં ઑબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ f₀ = 15 m
આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ f_e = 1 cm = 0.01 m
(a) કોણીય મોટવણી,
m = \(\frac{f_0}{f_e}=\frac{15}{0.01}\) = 1500

(b) ધારો કે, પ્રતિબિંબનો વ્યાસ d મીટર છે તેથી ચંદ્ર વડે બનતો ખૂણો α હોય તો,

ઑબ્જેક્ટિવથી રચાતા પ્રતિબિંબે આંતરેલો ખૂણો પણ છે. α જે નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 15.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરી સાબિત કરો કે :
(a) અંતર્ગોળ અરીસાના f અને 2f ની વચ્ચે વસ્તુને મૂકવામાં આવે તો વસ્તુનું સાચું પ્રતિબિંબ 2fથી દૂર મળે. (ઓગષ્ટ 2020)
(b) બહિર્ગોળ અરીસો હંમેશાં વસ્તુના સ્થાનથી સ્વતંત્ર એવું આભાસી પ્રતિબિંબ જ આપે છે.
(c) બહિર્ગોળ અરીસા વડે મળતું આભાસી પ્રતિબિંબ હંમેશાં કદમાં નાનું અને અરીસાના ધ્રુવ તેમજ મુખ્ય કેન્દ્રની વચ્ચે જ હોય છે. (ઑગષ્ટ 2020)
(d) અંતર્ગોળ અરીસાના ધ્રુવ અને મુખ્યકેન્દ્ર વચ્ચે મૂકેલ વસ્તુનું પ્રતિબિંબ કદમાં મોટું અને આભાસી હોય છે. (આ સ્વાધ્યાય કિરણ આકૃતિઓથી મળતાં પ્રતિબિંબના ગુણધર્મો તમને બીજગણિતથી મેળવવામાં મદદ કરે છે.)
ઉત્તર:
(a) અરીસાનું સૂત્ર,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\)
∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\) …………… (1)
હવે અંતર્ગોળ અરીસા માટે f < 0 (ઋણ) અને અરીસાની ડાબી બાજુએ વસ્તુ હોવાથી વસ્તુઅંતર u < 0
વસ્તુને f અને 2f વચ્ચે મૂકેલી છે તેથી,
∴ 2f < u < f

આ દર્શાવે છે, કે v < 0 હોવાથી વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ અરીસાની ડાબી બાજુ મળે. આ ઉપરાંત ઉપરની અસમતા દર્શાવે છે, કે 2ƒ > 0
∴ [2f| >|v| [∵ 2f અને v ઋણ છે]
એટલે કે, વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ 2f થી દૂર મળે.

(b) બહિર્ગોળ અરીસા માટે, f > 0 અને ડાબી બાજુ વસ્તુ હોવાથી u < 0 છે. ∴ અરીસાના સૂત્ર પરથી, \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\) હવે f > 0 અને u < 0 હોવાથી \(\frac{1}{v}\) > 0 એટલે કે, v > 0 આ બતાવે છે, કે ઘ ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે બહિર્ગોળ અરીસો જમણી બાજુ આભાસી પ્રતિબિંબ રચે છે.

(C) બહિર્ગોળ અરીસા માટે f > 0 અને વસ્તુઅંતર u < 0 ∴ અરીસાના સૂત્ર પરથી, \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\) [∵ v → ધન અને u → ઋણ] ∴ \(\frac{1}{v}>\frac{1}{f}\) અથવા v < f [ ∵ – \(\frac{1}{u}\) → ધન] – આ બતાવે છે કે અરીસાથી મળતું પ્રતિબિંબ ધ્રુવ અને મુખ્યકેન્દ્રની વચ્ચે મળે છે. અને અરીસાના સૂત્ર પરથી, \(\frac{1}{v}>-\frac{1}{u}\) [∵ \(\frac{1}{f}\) > 0]
બંને બાજુ v વડે ગુણતાં,
1 > – \(\frac{v}{u}\) [∵ v → ધન]
∴ 1 > m [∵ u < 0]
∴ મોટવણીનું મૂલ્ય m = –\(\frac{v}{|u|}\) < 1
તેથી પ્રતિબિંબ નાની સાઇઝનું મળે.

(d) અરીસાના સૂત્ર પરથી,
\(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\)
અંતર્ગોળ અરીસા માટે f < 0 અને તેના ધ્રુવ અને મુખ્ય કેન્દ્ર વચ્ચે વસ્તુ હોય તો, f < u < 0
[∵ વિકલ્પ (a) મુજબ]

પ્રશ્ન 16.
ટેબલની સપાટી ઉપર જડી દીધેલી નાની પીનને 50 cm ઊંચાઈથી જોવામાં આવે છે. આ જ બિંદુએ, ઉપરના બિંદુથી ટેબલની રીતે સમાંતર રાખેલા 15 cm જાડાઈના કાચના સ્લેબમાંથા તેને જાતાં, પીન કેટલી ઊંચે આવેલી દેખાશે ? કાચનો વક્રીભવનાંક 1.5 છે. ઉપર મેળવેલ જવાબ સ્લેબના સ્થાન ઉપર આધાર રાખે ?
ઉત્તર:
ઊંચે ચઢેલી દેખાતી પીનની ઊંચાઈ.
d = સ્લૅબની સાચી ઊંચાઈ – સ્લૅબમાં આભાસી ઊંચાઈ

= 5 cm
સ્લેબને કયાં મૂકવો તેના ૫૨ જવાબનો આધાર નથી.
– બીજી રીત :

= 10 cm
∴ ઊંચે આવેલી પીન= 15 – 10
= 5 cm
સ્લૅબને કોઈ સ્થાને રાખીએ તો પણ જવાબમાં કોઈ અસર થતી નથી.

પ્રશ્ન 17.
(a) આકૃતિમાં કાચના ફાઇબરમાંથી બનાવેલ 1.68 વક્રીભવનાંક ધરાવતી ‘પ્રકાશનળી’નો આડછેદ દર્શાવ્યો છે. બહારની બાજુએ 1.44 વક્રીભવનાંક ધરાવતા દ્રવ્યનું આવરણ કરેલું છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ આપાતકિરણનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થઈ શકે તે માટે જરૂરી આપાતકિરણોના નળીને અક્ષ સાથેના કોણનો વિસ્તાર રેન્જ (Range) જણાવો.
(b) જો પાઇપની બહારની બાજુએ કોઈ આવરણ ન કરવામાં આવે તો તમારો જવાબ શું છે ?

ઉત્તર:
(a) અહીં μ₁ = 1.44, μ₂ = 1.68
μ = \(\frac{\mu_2}{\mu_1}=\frac{1}{\sin i_c^{\prime}}\)
પણ sini’_c = \(\frac{\mu_1}{\mu_2}=\frac{1.44}{1.68}\) = 0.8571
∴ i’ ≈ 59°
⇒ જો i’ > i’_c હોય, તો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય.
એટલે કે, જો i’ > 59° અથવા
વક્રીભૂતકોણ r < r_max
જ્યાં r _max = 90° – 59° = 31°
∴ સ્નેલના નિયમ પરથી,
\(\frac{\sin i_{\max }}{\sin r_{\max }}\) = μ = 1.68
∴ sini_max = 1.68 × sinr_max
= 1.68 × sin31°
= 1.68 × 0.5150
= 0.8662
∴ i_max ≈ 60°
∴ નળીની અક્ષ સાથે 0 < i < 60° નો ખૂણો બનાવી દાખલ થતાં જ બધા કિરણોનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે.
એ નોંધો કે આપાતકોણનું લઘુતમ મૂલ્ય શૂન્ય નથી પણ મર્યાદિત લંબાઈની પાઇપ માટે આપાતકોણના અધિની લઘુતમ કિંમત પાઇપના વ્યાસ અને તેની લંબાઈના ગુણોત્ત૨ પરથી નક્કી કરી શકાય છે.

(b) જો પાઇપની બહારની બાજુએ આવરણ ન હોય તો,
sini’_c = \(\frac{\mu_1}{\mu_2}\) જ્યાં μ₁ = 1, μ₂ = 1.68
= \(\frac{1}{1.68}\) = 0.5952
∴ i’_c = 36.5°
∴ i = 90° માટે r = 36.5° અને i’ = 90° -36.5°
∴ i’ = 53.5°
આમ, i > i’_c તેથી 53.5° < i < 90° અવિધના કોણે આપાત થતાં બધા આપાતિકરણો પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે.

પ્રશ્ન 18.
નીચેના પ્રશ્નોનાં જવાબ આપો :
(a) તમે એવું ભણી ગયા છો કે સમતલ અને બહિર્ગોળ અરીસાઓ વસ્તુનું આભાસી પ્રતિબિંબ આપે છે. શું તેઓ દ્વારા અમુક પરિસ્થિતિઓમાં સાચું પ્રતિબિંબ
મેળવી શકાય ? સમજાવો.
(b) આપણે હંમેશાં કહીએ છીએ કે, આભાસી પ્રતિબિંબને પડદા ઉપર ઝીલી શકાતું નથી. છતાં, આપણે જ્યારે આભાસી પ્રતિબિંબને “જોઈએ” છીએ ત્યારે સ્વભાવિક છે કે આપણે તેને આંખના પડદા (રેટિના) પર ઝીલીએ છીએ. શું અહીં કોઈ વિરોધાભાસ છે ?
(c) પાણીની અંદરથી (Under Water) એક વ્યક્તિ તળાવના કિનારે ઊભા રહેલા એક માછીમારને ત્રાંસી
રીતે (Obliquely) જુએ છે, તો તેને આ માછીમાર તેની ખરેખરી ઊંચાઈ કરતાં લાંબો દેખાશે કે ટૂંકો ?
(d) જો ત્રાંસી દિશામાં જોવામાં આવે તો, પાણીની ટાંકીની આભાસી ઊંડાઈ બદલાશે ? જો ‘હા’ તો તે આભાસી ઊંડાઈ વધારે હશે કે ઓછી ?
(e) સાદા કાચ કરતાં હીરાનો વક્રીભવનાંક ઘણો મોટો હોય છે. આ હકીકત હીરાઘસુને કોઈ રીતે ઉપયોગી છે ?
ઉત્તર:
(a) સમતલ અથવા બહિર્ગોળ અરીસાની પાછળ કોઈ એક બિંદુએ અભિસારિત થતાં કિરણો અરીસાની સામે કે પડદા પર કોઈ એક બિંદુ પરથી પરાવર્તન પામે છે. બીજા શબ્દોમાં જો વસ્તુ આભાસી હોય તો સમતલ અથવા બહિર્ગોળ અરીસા વડે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ મેળવી શકાય. જે કિરણ રેખાકૃતિ વડે નીચે મુજબ મળે છે.

(b) જ્યારે પરાવર્તિત અથવા વક્રીભૂત કિરણો અપસારી (એકબીજાથી દૂર જતાં) હોય ત્યારે પ્રતિબિંબ આભાસી હોય છે. અપસારિત કિરણોને યોગ્ય અભિસારિત લેન્સ દ્વારા પડદા પર કેન્દ્રિત કરી શકાય છે. આંખનો બહિર્ગોળ લેન્સ આવું જ કરે છે. અહીં, આભાસી પ્રતિબિંબ લેન્સ માટે વસ્તુ તરીકે વર્તે છે, જેથી વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ રચે છે. નોંધો કે અહીં આભાસી પ્રતિબિંબનાં સ્થાને પડદો રહેલ નથી. અહીં કોઈ વિરોધાભાસ નથી.

(c) લાંબો. (એટલે કે ઊંચો દેખાય)

• ધારો કે એક પાત્રમાં ચોખ્ખું પાણી ભરેલું છે. તેમાં એક માછલી અવલોકનકાર તરીકે છે જે પાત્રમાં પાણીના તળિયે છે.
• માછલી પોતાની દૃષ્ટિ OQ દિશામાં રાખીને એક માણસની આંખને જુએ છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે કિરણ OQ ને હવાના માધ્યમમાં લંબાવતાં તે Eમાંથી સપાટી પર દોરેલ લંબને E’ પાસે મળે છે.

• આથી, માછલીને માણસની આંખ E ના બદલે E’ પાસે દેખાય છે.
• અત્રે, EP = h₀ પાણીની સપાટીથી માણસની આંખની સાચી ઊંચાઈ છે અને E’P = h_i પાણીની સપાટીથી માણસની આંખની આભાસી ઊંચાઈ છે.
• આ ઉદાહરણ પરથી કહી શકાય કે પાતળા માધ્યમમાં રહેલી વસ્તુનું ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી નિરીક્ષણ કરતાં વક્રીભવનના કારણે ઊંચે ખસેલી જણાય છે : h_i > h₀

(d) ત્રાંસી નજરે જોતાં મળતી આભાસી ઊંડાઈ, લંબની નજીકથી જોતાં મળતી ઊંચાઈ કરતાં ઓછી હોય છે. આ બાબત સમજવા જુઓ વિભાગ A નો પ્રશ્ન 21 નો ઉત્તર.

(e) સામાન્ય કાચનાં વક્રીભવનાંક (1.5) કરતાં હીરાનો વક્રીભવનાંક (2.42) ઘણો વધુ છે. હીરા માટે ક્રાંતિકોણ (24) એ કાચ માટેના ક્રાંતિકોણ (41°48′) કરતાં ઘણો ઓછો છે. કુશળ હીરાના કારીગરો (હીરામાં) આપાતકોણની વિશાળ શ્રેણી (24° થી 90°) તૈયાર કરે છે. જેથી હીરામાં પ્રવેશતો પ્રકાશ બહાર નીકળતાં પહેલાં ઘણી બધી સપાટીઓ પરથી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવે છે. આમ, હીરો ઝગારા મારતી (sparkling) અસર દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 19.
ઓરડાની એક દીવાલ સાથે જડિત નાના વિદ્યુત બલ્બનું 3m દૂર આવેલી સામેની દીવાલ પર પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે બહિર્ગોળ લેન્સની શક્ય મહત્તમ કેન્દ્રલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
દીવાલ પર સાચું પ્રતિબિંબ મેળવવા વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર 4f હોવું જોઈએ.
∴ d = 4f_max
પણ d = 3m
∴ 3 = 4f_max
∴ f_max = \(\frac{3}{4}\) = 0.75 m

માત્ર સમજણ માટે :
ધારો કે વસ્તુઅંતર u છે.

∴ \(\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}\)

બહિર્ગોળ લેન્સ માટે
u ઋણ હોવાથી, \(\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}\)
પણ, u + v = d (આપેલ છે.)
∴ v = d – u
∴ \(\frac{1}{d-u}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}\)
∴ \(\frac{u+d-u}{u(d-u)}=\frac{1}{f}\)
∴ u² – ud + fd = 0
– આ સમીકરણ ૫માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. તેના બીજ નીચે પ્રમાણે છે.
u = \(\frac{d \pm \sqrt{d^2-4 f d}}{2}\)
પણ u = v છે.
∴ v = \(\frac{d \pm \sqrt{d^2-4 d f}}{2}\)
⇒ સાચા પ્રતિબિંબ માટે v ધન હોય.
તેથી d² – 4df ≥ 0 અથવા d² ≥ 4df
∴ d ≥ 4f
એટલે કે, વસ્તુના પ્રતિબિંબને ઝીલવા માટે તેનું લઘુતમ મૂલ્ય 4f હોવું જોઈએ.
∴ d = 4f અને u + v = d છે.

પ્રશ્ન 20.
વસ્તુથી 90 cm દૂર એક પડદો રાખ્યો છે. એકબીજાથી 20 cm અંતરે આવેલા હોય તેવા બે સ્થાનો આગળ વારાફરતી એક બહિર્ગોળ લેન્સ મૂકતાં પ્રતિબિંબ તે જ પડદા પર મળે છે, તો લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે, લેન્સને L₁ અને L₂ સંલગ્નિત એવા બે સ્થાને મૂકતાં વસ્તુ O નું પ્રતિબિંબ I સ્થાને મળે છે જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

• અહીં દેખીતી રીતે,
  x + 20 + x = 90 cm
  ∴ 2x = 70
  ∴ x = 35 cm
• જો લેન્સ L₁ સ્થાને હોય તો,
  વસ્તુઅંતર u = – x = – 35 cm
  પ્રતિબિંબ અંતર v = 20 + x = 20 + 35 = 55 cm
  ∴ લેન્સના સૂત્ર પરથી,
  \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{55}-\frac{1}{-35}=\frac{1}{55}+\frac{1}{35}\)
  ∴ \(\frac{1}{f}=\frac{7+11}{385}=\frac{18}{385}\)
  ∴ f = \(\frac{385}{18}\) = 21.4 cm
• બીજી રીત :
• વસ્તુ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર D = 90 cm
  લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર d = 20 cm
  હવે f = \(\frac{\mathrm{D}^2-d^2}{4 \mathrm{D}}\) (આ સૂત્ર યાદ રાખવું પડે)
  ∴ f = \(\frac{(90)^2-(20)^2}{4 \times 90}=\frac{8100-400}{360}\)
  ∴ f= \(\frac{7700}{360}\) = 21.38cm
  ∴ f ≈ 21.4 cm

પ્રશ્ન 21.
(a) સ્વાધ્યાય 9.10 માં સંપાત થતી મુખ્ય અક્ષ પર બે લેન્સો વચ્ચેનું અંતર 8.0 cm હોય, તો સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ શોધો. આ જવાબ, સંયોજનની કઈ તરફથી પ્રકાશની સમાંતર કિરણાવલિ (Beam) આપાત કરવામાં આવે છે તેના પર આધારિત છે ? શું સંયોજનની અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈનો ખ્યાલ સહેજ પણ ઉપયોગી છે ?
(b) ઉપર્યુક્ત ગોઠવણી (a) માં 1.5 cm ઊંચાઈની એક વસ્તુને બહિર્ગોળ લેન્સ તરફ 40 cm અંતરે મૂકવામાં આવે છે બે લેન્સનાં સંયોજનથી મળતી મોટવણી અને પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
(a)
(i) અહીં f₁ = 30 cm, f₂ = – 20 cm, d = 8.0 cm
જ્યાં d = બે લેન્સોના સ્થાન વચ્ચેનું અંતર
જો બહિર્ગોળ લેન્સ ૫૨ ડાબી બાજુથી સમાંતર કિરણો આપાત થાય તો,
u₁ = ∞ અને f₁ = 30 cm
∴ લેન્સના સૂત્ર પરથી,
\(\frac{1}{f_1}=\frac{1}{v_1}-\frac{1}{u_1}\)
∴ \(\frac{1}{30}=\frac{1}{v_1}-\frac{1}{-\infty}=\frac{1}{v_1}\) – 0
∴ \(\frac{1}{30}=\frac{1}{v_1}\)
∴ V₁ = 30 cm
આ પ્રતિબિંબ અંતર્ગોળ લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ તરીકે વર્તે છે.
∴ u₂ = (30 – 8) = + 22 cm, f₂ = – 20 cm
લેન્સના સૂત્ર પરથી,

(ii) બે લેન્સનો તંત્રના મધ્યબિંદુથી 220 – 4 = 216 cm અંતરે આપાત સમાંતર કિરણો અપસારિત (ફેલાતું) લાગે છે.
⇒ ધારો કે, ડાબી બાજુ સમાંતર કિરણજૂથ પ્રથમ અંતર્ગોળ લેન્સ પર આપાત થાય છે.

બે લેન્સના તંત્રની ડાબી બાજુએ તેના કેન્દ્રથી 420 – 4 = 416 cm અંતરે સમાંતર કિરણો અપસારિત થતાં હોય એવું દેખાય છે. આમ, અંતે ફલિત થાય છે કે, બે લેન્સના તંત્રમાં કયા લેન્સ પર સમાંતર કિરણો આપાત થાય છે તેના પ૨ જવાબનો આધાર છે. તેથી, કલ્પેલી અસરકારક કેન્દ્રલંબાઈ અર્થહીન છે.

(b) બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,
વસ્તુઅંતર u = – 40 cm, કેન્દ્રલંબાઈ f = + 30 cm
લેન્સ સૂત્ર,
\(\frac{1}{f_1}=\frac{1}{v_1}-\frac{1}{u_1}\)
∴ \(\frac{1}{v_1}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{u_1}\)
∴ \(\frac{1}{v_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{40}\) = \(\frac{4-3}{120}=\frac{1}{120}\)
v₁ = 120 cm
⇒ પ્રથમ બહિર્ગોળ લેન્સના લીધે મોટવણી,
m₁ = \(\frac{v}{|u|}=\frac{120}{40}\) = 3
⇒ આ પ્રથમ લેન્સ વડે મળતું પ્રતિબિંબ, બીજા લેન્સ માટે આભાસી વસ્તુ બને છે.
∴ u₂ = + (120 – 8) = + 112 cm
f₂ = – 20 cm
લેન્સના સૂત્ર પરથી,

⇒ બીજા લેન્સ (અંતર્ગોળ)ના કારણે મોટવણી,
m₂ = \(\frac{\left|v_2\right|}{u_2}=\frac{112 \times 20}{92 \times 112}=\frac{20}{92}\) ≈ 0.217
⇒ લેન્સના સંયોજનની પરિણામી મોટવણી,
m = m₁ × m₂
= 3 × 0.217
= 0.651
⇒ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ,
m = \(\frac{h_2}{h_1}\)
∴ h₂ = m × h₁ = 0.651 × 1.5
∴ h₂ = 0.9765
∴ h₂ ≈ 0.98 cm

પ્રશ્ન 22.
60° નો વક્રતાકારકકોણ ધરાવતા પ્રિઝમની સપાટી પર કેટલા લઘુતમ આપાતકોણે આપાત થતાં કિરણનું બીજી સપાટીએથી સહેજ (Just) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય ? પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક 1.524 છે.
ઉત્તર:

પ્રિઝમની AB સપાટી પર PQ કિરણ વક્રીભૂત થઈ QR કિરણ, AC સપાટી પર ક્રાંતિકોણે (i_c) આપાત થાય છે.
∴ r₂ = i_c
હવે sini_c = \(\frac{1}{\mu}=\frac{1}{1.524}\)
i_c = 41°
પણ r₁ + r₂ = A
∴ r₁ = A – r₂ = 60° – i_c [∵ A = 60°]
∴ r₁ = 60° – 41° = 19°
⇒ સ્નેલના નિયમ પરથી,
μ = \(\frac{\sin i}{\sin r_1}\)
∴ sin i = μsinr₁
= 1.524 × sin19°
= 1.524 × 0.3256
∴ sin i = 0.4962
∴ i = 29.75°
∴ i ≈ 30

પ્રશ્ન 23.
1 mm² ના ચોરસોમાં વિભાગેલા એક સમતલ ટુકડાને 9 cm કેન્દ્રલંબાઈના વિવર્ધક (અભિસારી) લેન્સ વડે જોવામાં આવે છે. આ લેન્સ ટુકડાથી 10 cm દૂર આંખની નજીક રાખ્યો છે.
(a) લેન્સની મોટવણી શોધો. ટુકડાના આભાસી પ્રતિબિંબમાં દરેક ચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
(b) લેન્સની કોણીય મોટવણી અને મોટવશક્તિ શોધો.
(c) (a) માં મેળવેલ મોટવણી અને (b) માં મેળવેલ મોટવશક્તિ સમાન છે ? સમજાવો.
ઉત્તર:
(a) દરેક ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ = 1 mm²
∴ u = – 9 cm, f = + 10 cm (બહિર્ગોળ લેન્સ)
લેન્સના સૂત્ર,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}+\frac{1}{u}\)
∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{10}+\frac{1}{-9}\) = \(\frac{9-10}{90}=\frac{-1}{90}\)
∴ v = – 90 cm
∴મોટવણીનું મૂલ્ય m = \(\frac{v}{|u|}=\frac{90}{9}\) = 10
⇒ આભાસી પ્રતિબિંબમાં દરેક ટુકડાનું ક્ષેત્રફળ, A’ = (10)² × 1 = 100 mm²
= 1 cm²

(b) મેગ્નિફાઇંગ પાવર,
M = \(\frac{v}{|u|}=\frac{\mathrm{D}}{|u|}=\frac{25}{9}\) ≈ 2.8

(c) ના, લેન્સની મોટવણી અને પ્રકાશીય ઉપકરણની કોણીય મોટવણી અને મોઢવશક્તિએ બંને અલગ વસ્તુઓ છે.

• મોટવણીનું મૂલ્ય = \(\frac{|v|}{|u|}\) અને કોન્રીય મોટવણી
  (મેગ્નિફાઇંગ પાવર) = \(\frac{\mathrm{D}}{|u|}=\frac{25}{|u|}\)
• જ્યારે પ્રતિબિંબ માત્ર નજીક બિંદુ પર મળે, ત્યારે |v| = 25 cm મળે અને તેથી મોટવણી અને મેગ્નિફાઇંગ પાવર સમાન થાય.

પ્રશ્ન 24.
(a) સ્વાધ્યાય 9.23 માં સમતલમાંની આકૃતિથી તેન્સને કેટલા અંતરે રાખવો જોઈએ જેથી મહત્તમ શક્ય મોટવશક્તિ સાથે ચોસ્સો સ્પષ્ટ દેખાય ?
(b) આ કિસ્સામાં મોટવણી કેટલી મળશે ?
(c) શું મોટવણી અને મોટવશક્તિ આ કિસ્સામાં સમાન છે ? સમજાવો.
ઉત્તર:
(a) જ્યારે પ્રતિબિંબ નજીકબિંદુ પર મળે ત્યારે મૅગ્નિફાઇંગ પાવર (મોટવક્તિ) મહત્તમ મળે.
v = – 25 cm, f = + 10 cm, u = ?
લેન્સ સૂ
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
∴ \(\frac{1}{u}=\frac{1}{v}-\frac{1}{f}\)
∴ \(\frac{1}{u}=\frac{1}{-25}-\frac{1}{10}\) = \(\frac{-2-5}{50}=\frac{-7}{50}\)
∴ u = –\(\)cm ≈ – 7.14cm
∴ ચોરસોથી 7.14 cm દૂર લેન્સને રાખવો જોઈએ.

(b) મોટવણીનું મૂલ્ય,
m = \(\frac{v}{|u|}=\frac{25}{50 / 7}=\frac{7}{2}\)
∴ m = 3.5

(c) મૅગ્નિફાઇંગ પાવર = \(\frac{\mathrm{D}}{|u|}=\frac{25}{50 / 7}=\frac{7}{2}\) = 3.5
∴ હા, મૅગ્નિફાઇંગ પાવર એ મોટવણીના મૂલ્ય જેટલું મળે છે. કારણ કે, પ્રતિબિંબ લઘુતમ દૃષ્ટિ અંતરે મળે છે.

પ્રશ્ન 25.
સ્વાધ્યાય 9.24 માં જો દરેક ચોરસના આભાસી પ્રતિબિંબનું ક્ષેત્રફળ 6.25 mm? મેળવવું હોય તો વસ્તુ અને વિવર્ધક કાચ વચ્ચેનું અંતર કેટલું રાખવું જોઈએ ? જો આંખને આ વિવર્ધક કાચની ખૂબજ નજીક રાખવામાં આવે તો ચોરસને તમે સ્પષ્ટ જોઈ શકશો ? (નોંધ : સ્વાધ્યાય 9.23 થી 9.25 નિરપેક્ષ પરિમાણમાં મોટવણી અને સાધનની કોણીય મોટવણી (મોટવશક્તિ) વચ્ચેનો તફાવત સમજવામાં ઉપયોગી થશે).
ઉત્તર:
અહીં, ક્ષેત્રફળની મોટવણી = \(\frac{6.25}{1}\) = 6.25
રેખીય મોટવણી m = \(\sqrt{\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{A}_0}}=\sqrt{6.25}\) = 2.5
હવે,
m = \(\frac{v}{u}\)
∴ v = mu
∴ v = 2.5 u
હવે લેન્સ સૂત્ર,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
∴ \(\frac{1}{10}=\frac{1}{2.5 u}-\frac{1}{u}\) = \(\frac{1-2.5}{2.5 u}=-\frac{1.5}{2.5 u}\)
∴ \(\frac{1}{10}=-\frac{3}{5 u}\)
∴ 5u = – 30
∴ u = – 6 cm
તેથી, v = 2.5u = 2.5 × (- 6) = – 15 cm
∴ |v| = 15 cm
સામાન્ય નજીકબિંદુ (25 cm) ની નજીક આભાસી પ્રતિબિંબ મળે છે, તેથી આંખ વડે સ્પષ્ટ જોઈ શકાય નહીં.

પ્રશ્ન 26.
નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપો :
(a) વસ્તુએ આંખ સાથે બનાવેલો ખૂણો અને વિવર્ધક લેન્સથી રચાયેલા તેના આભાસી પ્રતિબિંબે આંખ સાથે બનાવેલો ખૂણો સમાન છે, તો પછી વિવર્ધક કાચ કયા અર્થમાં કોણીય મોટવણી આપે છે ?
(b) સામાન્ય રીતે કોઈ પણ વ્યક્તિ વિવર્ધક કાચમાંથી વસ્તુને જોવા માટે આંખને લેન્સની ઘણી નજીક રાખે છે. જો આંખને દૂર રાખવામાં આવે તો કોણીય મોટવણીમાં ફેરફાર થાય ?
(c) સાદા માઇક્રોસ્કોપની મોટવશક્તિ કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે, તો વધુને વધુ મોટવણી મેળવવા માટે ઓછામાં ઓછી કેન્દ્રલંબાઈનો લેન્સ વાપરવામાં આપણને કયું કારણ રોકી રહ્યું છે ?
(d) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાં ઑબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ બંનેની કેન્દ્રલંબાઈ નાની શા માટે રાખવામાં આવે છે ?
(e) સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપમાંથી જોવામાં આંખને આઈપીસની અડોઅડ નહીં પરંતુ સહેજ દૂર રાખવામાં આવે છે. શા માટે ? આઈપીસ અને આંખ વચ્ચેનું આ નાનું અંતર કેટલું હોવું જોઈએ ?
ઉત્તર:
(a) પ્રતિબિંબનું નિરપેક્ષ પરિમાણ વસ્તુનાં પરિમાણ કરતાં મોટું હોવાં છતાં પ્રતિબિંબનું કોણીય પરિમાણ વસ્તુના કોણીય પરિમાણ જેટલું છે. મૅગ્નિફાય૨ નીચે મુજબ મદદ કરે છે :
(i) તેના વગર વસ્તુને 25 cm ની નજીક મૂકી શકાશે નહીં.
(ii) તેની મદદથી જ વસ્તુને ઘણી નજીક મૂકી શકાશે. નજીક મૂકેલી વસ્તુનું કોણીય માપ તે જ વસ્તુને 25 cm અંતરે મૂકતાં મળતાં કોણીય પરિમાણ કરતાં વધુ હશે. આ અર્થમાં કોણીય મોટવણી મેળવી શકાય છે.

(b) હા, કોણીય મોટવણી થોડીક ઘટશે. કારણ કે, લેન્સ સાથે આંતરાતાં ખૂણા કરતાં આંખ સાથે આંતરાતો ખૂણો થોડોક ઓછો હોય છે. જો પ્રતિબિંબ ખૂબ મોટા અંતરે રચાતું હોય તો આ અસરોને અવગણી શકાય છે. (નોંધ : જ્યારે લેન્સથી આંખ દૂર હોય ત્યારે પ્રથમ વસ્તુ વડે અને તેના પ્રતિબિંબ વડે આંખ સાથે આંતરાતા ખૂણા સમાન હોતાં નથી.)

(c) નાની કેન્દ્રલંબાઈવાળા લેન્સનું સંયોજન સરળ નથી. વધુ અગત્યનું તે છે કે, જો તમે કેન્દ્રલંબાઈ ઘટાડો છો, તો લેન્સની બંને ક્ષતિઓ (ગોળીય વિપથન અને વર્ણવિપથનની) વધુ પ્રબળ બને છે. તેથી, વ્યવહારમાં સાદા બહિર્ગોળ લેન્સ સાથે મૅગ્નિફાઈંગ પાવ૨ ૩ થી મોટો મેળવી શકાતો નથી. ક્ષતિઓ સુધારેલા લેન્સ તંત્રની મદદથી આ મર્યાદા 10 ગણી કે તેનાથી વધુ કરી શકાય છે.

(d) જો f_e નાની હોય તો નેત્રકાચની કોણીય મોટવણી [(25/f_e) + 1] (f_e cm માં] છે, જો f_e નાનું હોય, તો કોણીય મોટવણી વધે છે.
– વધુમાં ઑબ્જેક્ટિવની મોટવણી \(\frac{v_0}{\left|u_0\right|}=\frac{1}{\left(\left|u_0\right| / f_0\right)-1}\) વડે આપી શકાય છે.
જ્યારે f₀ કરતાં |u₀| સહેજ મોટો હોય ત્યારે તે મોટી હોય છે. પાસપાસે રહેલી વસ્તુઓને જોવા માટે માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ થાય છે. તેથી |u₀| નાનું છે અને તેથી f₀ પણ નાની છે.

(e) આઈપીસમાં ઑબ્જેક્ટિવનું પ્રતિબિંબ આઈ-રિંગ તરીકે ઓળખાય છે. વસ્તુમાંથી આવતાં તમામ કિરણો ઑબ્જેક્ટિવમાંથી વક્રીભવન પામી આઈ-રિંગમાંથી પસાર થાય છે. આથી, આંખ દ્વારા નિહાળવાનું આ એક આદર્શ સ્થાન છે. જો આપણે આપણી આંખો આઈપીસની ખૂબ નજીક રાખીએ છીએ, તો આપણે વધુ પ્રકાશ મેળવી શકતા નથી અને જોવા માટેનું ક્ષેત્ર પણ ઘટે છે. જો આપણે આપણી આંખ આઈ-રિંગ પર અને આપણી આંખની કીકીનું ક્ષેત્રફળ આઈ-રિંગ જેટલું કે તેનાથી મોટું રહે તેમ ગોઠવીએ તો ઑબ્જેક્ટિવ પરથી વક્રીભવન પામતાં તમામ કિરણો આપણી આંખ મેળવે છે. ઑબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનાં અંતર પર આઈ-રિંગના સચોટ સ્થાનનો આધાર છે. જ્યારે માઇક્રોસ્કોપનાં એક છેડે તમે તમારી આંખ મૂકીને જુઓ છો ત્યારે આંખ અને આઈપીસ વચ્ચેનું આદર્શ અંતર સામાન્ય રીતે સાધન (માઇક્રોસ્કોપ)ની ડિઝાઇનમાં જ તૈયાર કરેલું હોય છે.

પ્રશ્ન 27.
1.25 cm કેન્દ્રલંબાઈના ઓબ્જેક્ટિવ અને 5 cm કેન્દ્રલંબાઈના આઈપીસ વડે 30X કોણીય મોટવણી (મોટવશક્તિ) મેળવવી હોય તો સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની ગોઠવણી કઈ રીતે કરવી જોઈએ ?
ઉત્તર:
માઇક્રોસ્કોપની સામાન્ય ગોઠવણીમાં પ્રતિબિંબ લઘુતમ સ્પષ્ટ દૃષ્ટિ અંતરે રચાય છે. તેથી, D = 25 cm, f_e = 5 cm
આઈપીસની કોણીય મોટવણી 1 + \(\frac{\mathrm{D}}{f_e}\) = 1 + \(\frac{25}{5}\) = 6
⇒ માઇક્રોસ્કોપની કુલ મોટવણી,
m = m_e × m₀
∴ m₀ = \(\frac{m}{m_e}=\frac{30}{6}\) = 5
∴ \(\frac{v_0}{u_0}\) = -5 [વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે]
∴ v₀ = – 5u₀ અને f₀
= 1.25 cm
⇒ હવે લેન્સ સૂત્ર,
\(\frac{1}{f_0}=\frac{1}{v_0}-\frac{1}{u_0}\)
∴ \(\frac{1}{f_0}=\frac{-1}{5 u_0}-\frac{1}{u_0}=\frac{-6}{5 u_0}\)
∴ 5u₀ = – 6f₀ = – 6 × 1.25
∴ u₀ = \(\frac{-7.5}{5}\) = – 15 cm
તેથી ઑબ્જેક્ટિવથી 1.5 cm અંતરે વસ્તુ હોવી જોઈએ.
∴ v₀ – 5u₀ = – 5 × (- 1.5) = 7.5 cm
⇒ હવે આઈપીસ માટે v_e = – 25 cm અને f_e = 5 cm
∴ લેન્સના સૂત્ર,

∴ સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપની ગોઠવણીમાં ઑબ્જેક્ટિવ અને
આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર,
= |u_e| + |v₀|
= 4.17 +7.5
= 11.67 cm રાખવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 28.
એક નાના ટેલિસ્કોપમાં 140 cm કેન્દ્રલંબાઈનો ઓબ્જેક્ટિવ અને 5 cm કેન્દ્રલંબાઈનો આઈપીસ છે. આ ટેલિસ્કોપની મોટવશક્તિ,
(a) જ્યારે ટેલિસ્કોપની સામાન્ય ગોઠવણી કરેલ હોય. (અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે મળતું હોય) ત્યારે અને
(b) જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ નજીકબિંદુ અંતરે (25 cm) મળતું હોય ત્યારે શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, f₀ = 140 cm, f_e = 5.0 cm

(a) સામાન્ય ગોઠવણી (પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે મળે) ત્યારે મોટવણી,
m₀ = \(\frac{f_0}{f_e}=\frac{140}{5}\) = 28

(b) જયારે અંતિમ પ્રતિબિંબ લઘુતમ સ્પષ્ટ દૃષ્ટિ અંતરે
(D 25 cm) મળતું હોય ત્યારે,
m = m₀ × m_e
= \(\frac{f_0}{f_e}\)(1 + \(\frac{f_e}{\mathrm{D}}\)) [ ∵m_e = 1 + \(\frac{f_e}{\mathrm{D}}\)]
= 28(1 + \(\frac{5}{25}\)) = 28 × (1 + \(\frac{1}{5}\))
= 28 × \(\frac{6}{5}\) = 33.6
ટેલિસ્કોપથી જ્યારે અંતિમ પ્રતિબિંબ નજીકતમ સ્પષ્ટ દૃષ્ટિ અંતરે મળતું હોય ત્યારની ટેલિસ્કોપની ગોઠવણીની આકૃતિ નીચે મુજબ મળે.

વસ્તુ અનંત અંતરે (દૂર) છે અને C₁, C₂ નજીક છે.
C₁ આગળ વસ્તુએ આંતરેલો ખૂણો ∠A’C₁B’ = α અને
C₂ આગળ પ્રતિબિંબે આંતરેલો ખૂણો ∠A”C₂B” = β
CB’ = f_e ઑબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ
CB’ = u_e નેત્રકાચ માટે વસ્તુઅંતર
C₂B” = v_e = D નેત્રકાચ માટે પ્રતિબિંબ અંતર (સ્પષ્ટ દૃશ્ય અંતર D)
⇒ મોટવણી m_e = \(\frac{\beta}{\alpha}\)
જો β અને α ઘણાં નાના હોય તો,
β ≈ tanβ અને α ≈ tanα લઈ શકાય.
∴ m = \(\frac{\tan \beta}{\tan \alpha}\) …………. (1)
હવે ΔA’B’C₂ માં tanβ = \(\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}{\mathrm{C}_2 \mathrm{~B}^{\prime}}\)
અને ΔA’B’C₁ માં tanα = \(\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}{\mathrm{C}_1 \mathrm{~B}^{\prime}}\)
∴ સમીકરણ (1) પરથી,
m_e = \(\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}{\mathrm{C}_2 \mathrm{~B}^{\prime}} \times \frac{\mathrm{C}_1 \mathrm{~B}^{\prime}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{C}_1 \mathrm{~B}^{\prime}}{\mathrm{C}_2 \mathrm{~B}^{\prime}}\)
∴ m_e = \(\frac{f_0}{-u_e}\) ……… (2) (સંજ્ઞા પ્રણાલી અનુસાર)
લેન્સના સમીકરણ પરથી,

જે નેત્રકાચની મોટવણીનું સૂત્ર છે.
નોંધ : (1) જો ટેલિસ્કોપથી પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે મળે તો મોટવણી નાની મળે.
∴M_min = –\(\frac{f_0}{f_e}\) સૂત્ર મળે.
(2) જો ટેલિસ્કોપથી પ્રતિબિંબ નજીકતમ અંતરે મળે તો મોટવણી મહત્તમ મળે.
∴m_max = –\(\frac{f_0}{f_e}\)[1 + \(\frac{f_e}{\mathrm{D}}\)] સૂત્ર મળે.

પ્રશ્ન 29.
(a) સ્વાધ્યાય 9.28 (a) માં દર્શાવેલ ટેલિસ્કોપ માટે ઑબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે ?
(b) જો આ ટેલિસ્કોપનો 3km દૂર આવેલાં 100 m ઊંચાઈના ટાવરને જોવા માટે ઉપયોગ કરવામાં આવે તો ઑબ્જેક્ટિવ લેન્સ વડે રચાતા ટાવરના પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ શોધો.
(c) જો ટાવરનું અંતિમ પ્રતિબિંબ 25 cm અંતરે મેળવવામાં આવે, તો પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ શોધો.
ઉત્તર:
(a) ટેલિસ્કોપની સામાન્ય ગોઠવણીમાં ઑબ્જેક્ટિવ અને આઈલેન્સ વચ્ચેનું અંતર = f₀ + f_e = 140 + 5 = 145 cm

(b) 3km દૂર રહેલાં 100 m ઊંચા ટાવરે બનાવેલો ખૂણો α હોય તો,

નાના કોણ માટે,
tanα = α
∴ α = \(\frac{1}{30}\)rad
⇒ જો ઑબ્જેક્ટિવ વડે ટાવરના પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ હોય, તો પ્રતિબિંબે આંતરેલો કોણ પણ α હોય.
∴ α = \(\frac{h}{f_0}=\frac{h}{140}\)
∴\(\frac{1}{30}=\frac{h}{140}\)
∴ h = \(\frac{140}{30}\) = 4.67cm

(c) આઈપીસ વડે મળતી મોટવણી,
m_e = 1 + \(\frac{\mathrm{D}}{f_e}\) = 1 + \(\frac{25}{5}\) = 1 + 5 = 6
∴ \(\frac{h^{\prime}}{h}\) = 6
∴ h’ = 6 × h = 6 × 4.67
= 28.02 cm
∴ h’ ≈ 28 cm અંતિમ પ્રતિબિંબની ઊંચાઈ
નોંધ : પાઠ્યપુસ્તકના જવાબમાં ભૂલ હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 30.
એક કેસેગ્રેઈન (Cassegrain) ટેલિસ્કોપમાં આકૃતિમાં બતાવ્યા મુજબ બે અરીસાઓ વાપરવામાં આવે છે. આ ટેલિસ્કોપમાં અરીસાઓ એકબીજાથી 20 mm અંતરે રાખેલ છે. મોટા અરીસાની વક્રતાત્રિજ્યા 220 mm અને નાના અરીસાની 140 mm હોય, તો અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુનું અંતિમ પ્રતિબિંબ ક્યાં મળશે ?

ઉત્તર:
અહીં ઑબ્જેક્ટિવ અંતર્ગોળ અરીસાની વક્રતાત્રિજ્યા,
R₁ = 220 mm
∴ કેન્દ્રલંબાઈ f₁ = \(\frac{\mathrm{R}_1}{2}=\frac{220}{2}\) = 110mm = 11 cm
ગૌણ બહિર્ગોળ અરીસાની વક્રતાત્રિજ્યા,
R₂ = 140 mm
અને કેન્દ્રલંબાઈ f₂ = \(\frac{\mathrm{R}_2}{2}=\frac{140}{2}\) = 70 mm = 7 cm
⇒ બંને અરીસાઓ વચ્ચેનું અંતર d = 20mm = 2 cm
જ્યારે અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુના સમાંતર કિરણો ઑબ્જેક્ટિવ અરીસા પરથી પરાવર્તન પામી f₁ પાસે કેન્દ્રિત થાય છે પણ આ કિરણો ગૌણ અરીસા પર આપાત થાય છે, તેથી વસ્તુઅંતર
u = f₁ – d
∴ u = 11 – 2 = 9 cm
⇒ અરીસાના સૂત્ર \(\frac{1}{f_2}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\) પરથી,
\(\frac{1}{v}=\frac{1}{f_2}-\frac{1}{u}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9}=\frac{2}{63}\)
∴ v = \(\frac{63}{2}\) = 31.5 cm
બહિર્ગોળ ગૌણ અરીસાની જમણી બાજુએ 31.5 cm અંતરે.

પ્રશ્ન 31.
ગેલ્વેનોમિટરના ગૂંચળા (કૉઇલ) સાથે જોડેલ સમતલ અરીસાની ઉપર લંબરૂપે આપાત કરેલ કિરણ આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે તે જ માર્ગે પાછું ફરે છે. ગૂંચળામાંથી પસાર થતાં વિધુતપ્રવાહનાં કારણે અરીસો 3.5° નું કોણાવર્તન અનુભવે છે. અરીસાથી 1.5 m દૂર મૂકેલા પડદા ઉપર પરાવર્તિત કિરણના બિંદુ (Stop) નું સ્થાનાંતર કેટલું હશે ?

ઉત્તર:
જ્યારે અરીસાને θ જેટલું ભ્રમણ આપી તેનું સ્થાન M થી M’ પર આવે ત્યારે તેના પરથી પરાવર્તિત કિરણ 2θ જેટલું ભ્રમણ પામે છે. તેથી પડદા પર પરાવર્તિત બિંદુ P થી Q પર મળે છે.
∴ ∠POQ = 2θ
= 2 × 3.5°
= 7°

હવે આકૃતિ પરથી,
tan 2θ = \(\frac{d}{\mathrm{D}}\)
= \(\frac{d}{1.5}\)
⇒ પડદા પરના પરાવર્તિત બિંદુનું સ્થાનાંતર,
d = Dtan2θ
∴ d = 1.5 × tan7°
= 1.5 × 0.1228
= 0.1842 m
= 18.42 cm

પ્રશ્ન 32.
આકૃતિમાં એક બહિર્ગોળ લેન્સ કે જેની બંને બાજુની વક્રતાત્રિજ્યાઓ સમાન છે, (વક્રીભવનાંક 1.5 છે) તેને પ્રવાહીના સંપર્કમાં, સમતલ અરીસા પર મૂકેલો છે. એક નાની સોયને મુખ્ય અક્ષ પર રહે તે રીતે, તેનું ઊલટું પ્રતિબિંબ એ સોયના સ્થાને જ દેખાય ત્યાં સુધી ખસેડવામાં આવે છે. પીનનું લેન્સથી અંતર 45.0 cm છે. હવે પ્રવાહીને દૂર કરી પ્રયોગનું પુનરાવર્તન કરતાં આ અંતર 30.0 cm મળે છે, તો પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક શોધો.

ઉત્તર:
ધારો કે, બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ f₁ = 30 cm અને પ્રવાહીના સમતલ અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ f₂ તથા સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ F = 45.0 cm
⇒ સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ,
\(\frac{1}{\mathrm{~F}}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}\)
∴ \(\frac{1}{f_2}=\frac{1}{\mathrm{~F}}-\frac{1}{f_1}\)
∴ \(\frac{1}{f_2}=\frac{1}{45}-\frac{1}{30}=\frac{2-3}{90}=-\frac{1}{90}\)
∴ f₂ = – 90 cm
⇒ કાચના લેન્સ માટે ધારો કે, R₁ = R, R₂ = – R
લેન્સમેકરના સૂત્ર,

∴ R = 30 cm
⇒ પ્રવાહીના સમતલમાં અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,
ƒ₂ = – 90 cm, R₁ = – R₂ = – 30 cm અને R₂ = ∞
∴ લેન્સમેકરના સૂત્ર,

GSEB Class 12 Physics કિરણ પ્રકાશશાસ્ત્ર અને પ્રકાશીય ઉપકરણો NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે:

પ્રશ્ન 1.
પ્રિઝમની એક વક્રીભવનકારક સપાટી પર θ કોણે આપાત થતું કિરણ બીજી સપાટીમાંથી લંબરૂપે નિર્ગમન પામે છે. જો પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક 1.5 અને પ્રિઝમકોણ 5° હોય, તો આપાતકોણ θ …………………..
(A) 7.5°
(B) 5°
(C) 15°
(D) 2.5°
જવાબ
(A) 7.5°

પાતળા પ્રિઝમ માટે વિચલનકોણ,
δ = (μ – 1)A = (1.5 – 1) × 5°
∴ δ = 0.5 × 5° = 2.5°
પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભૂતકોણ 5° હોવાથી ભૂમિતિ પરથી
પણ δ = θ – r
∴ θ = δ + r
= 2.5° + 5.0° = 7.5°

પ્રશ્ન 2.
શ્વેત પ્રકાશનું એક નાનું સ્પંદ હવામાંથી કાચના સ્લેબ પર લંબરૂપે આયાત થાય છે. કાચમાં ગતિ કર્યા બાદ સૌપ્રથમ કયો રંગ નિર્ગમન પામશે ?
(A) વાદળી
(C) જાંબલી
(B) લીલો
(D) લાલ
જવાબ
(D) લાલ
v = λv માં v અચળ
∴ v ∝ λ તેથી લાલ રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી વધારે હોવાથી તેનો વેગ સૌથી વધારે, તેથી કાચના સ્લેબમાંથી લાલ રંગ સૌપ્રથમ બહાર આવશે.

પ્રશ્ન 3.
5 m/s ની અચળ ઝડપથી અભિસારી લેન્સની ડાબી તરફથી લેન્સ તરફ ગતિ કરતી એક વસ્તુ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પાસે સ્થિર થાય છે, તો પ્રતિબિંબ ………………..
(A) 5 m/s ની અચળ ઝડપે લેન્સથી દૂર તરફ જશે.
(B) અચળ પ્રવેગ સાથે લેન્સથી દૂર તરફ જશે.
(C) અનિયમિત પ્રવેગ સાથે લેન્સથી દૂર તરફ જશે.
(D) અનિયમિત પ્રવેગ સાથે લેન્સ તરફ ગતિ કરશે.
જવાબ
(C) અનિયમતિ પ્રવેગ સાથે લેન્સથી દૂર તરફ જશે.
જયા૨ે અભિસારી લેન્સની ડાબી બાજુએથી એક વસ્તુ 5 m/s ની અચળ ઝડપથી લેન્સ તરફ ગતિ કરે ત્યારે તેનું પ્રતિબિંબ અનિયમિત પ્રવેગથી લેન્સથી દૂર ગતિ કરશે. કારણ કે, લેન્સ માટે વસ્તુઅંતર અને પ્રતિબિંબ અંતર વચ્ચેનો સંબંધ રેખીય નથી પણ વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

પ્રશ્ન 4.
વિમાન (aeroplane) માં રહેલ મુસાફર
(A) મેઘધનુષ ક્યારેય જોઈ શકતો નથી.
(B) સમકેન્દ્રીય વર્તુળો સ્વરૂપે પ્રાથમિક અને ગૌણ મેઘધનુષ જોઈ શકે.
(C) સમકેન્દ્રીય ચાપ સ્વરૂપે પ્રાથમિક અને ગૌણ મેઘધનુષ જોઈ શકે.
(D) ગૌણ મેઘધનુષ ક્યારેય જોઈ શકે નહીં.
જવાબ
(B) સમકેન્દ્રીય વર્તુળો સ્વરૂપે પ્રાથમિક અને ગૌણ મેઘધનુષ જોઈ શકે.
કારણ કે પ્લેન, પૃથ્વીની સપાટીની વક્રતાને અનુસરીને આપેલા સ્થળની ક્ષિતિજને પાર કરી આગળ વધે છે ત્યારે તેમાંનો મુસાફ૨ ક્ષિતિજની નીચેના મેઘધનુષના સમકેન્દ્રીય વર્તુળો સ્વરૂપે પ્રાથમિક અને ગૌણ મેઘધનુષ જોઈ શકે છે.

પ્રશ્ન 5.
તમને લાલ, વાદળી, લીલો અને પીળો એમ એક-એક રંગનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતા ચાર પ્રકાશીય સ્રોત આપેલ છે. ધારો કે પીળા પ્રકાશના કિરણપુંજ માટે બે માધ્યમોને અલગ પાડતી સપાટીએ એક ચોક્કસ આપાતકોણ માટે વક્રીભવનકોણનું મૂલ્ય 90° છે. હવે જો આપાતકોણનું મૂલ્ય બદલ્યા વગર પીળા રંગના સ્રોતને બદલે અન્ય રંગના પ્રકાશીય સ્રોતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો નીચેમાંથી કયું વિધાન સાચું છે ?
(A) લાલ રંગનું કિરણપુંજ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
(B) લાલ રંગનું કિરણપુંજ બીજા માધ્યમમાં વક્રીભવન પામી લંબ તરફ જશે.
(C) વાદળી રંગનું કિરણપુંજ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
(D) લીલા રંગનું કિરણપુંજ બીજા માધ્યમમાં વક્રીભવન પામી લંબથી દૂર તરફ જશે.
જવાબ
(C) વાદળી રંગનું કિરણપુંજ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે.
હવા અથવા શૂન્યાવકાશમાં બધા રંગોનો વેગ સમાન હોય પણ માધ્યમમાં ‘જાનીવાલીપીનારાના આધારે વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ રાતા, પીળા અને લીલા રંગની તરંગલંબાઈ કરતાં
સૌથી ઓછી છે અને વક્રીભવનાંક ∝
તેથી વાદળી પ્રકાશનું વક્રીભવનાંક મોટું
અને sinC = \(\frac{1}{\mu}\) પરથી કહી શકાય જો μ મોટો હોય તો, C મોટો મળે.
તેથી, વાદળી રંગના પ્રકાશનો ક્રાંતિકોણ સૌથી ઓછો છે.
તેથી, વાદળી રંગના પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થશે.

પ્રશ્ન 6.
સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સની વક્રસપાટીની વક્રતાત્રિજ્યા 20 cm છે. જો લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક 1.5 હોય, તો તે,
(A) માત્ર તેની વક્રસપાટી તરફ રહેલી વસ્તુઓ માટે બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.
(B) તેની વક્રસપાટી તરફ રહેલી વસ્તુઓ માટે અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.
(C) વસ્તુઓ કઈ સપાટી તરફ મૂકેલી છે, તે ધ્યાન પર લીધા
સિવાય (બિનસંદર્ભે) તે બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.
(D) વસ્તુઓ કઈ સપાટી તરફ મૂકેલ છે, તે ધ્યાન પર લીધા સિવાય તે અંતર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.
જવાબ
(C) વસ્તુઓ કઈ સપાટી તરફ મૂકેલી છે, તે ધ્યાન પર લીધા સિવાય (બિનસંદર્ભે) તે બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તશે.
જો સમતલ બહિર્ગોળ લેન્સની સમતલ બાજુ તરફ વસ્તુ હોય તો લેન્સમેકર્સ સૂત્ર પરથી,

∴ f = + 40 cm એટલે તે બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે. જો વસ્તુ તે લેન્સની વક્ર બાજુ તરફ હોય, તો

∴ f = + 40 cm એટલે કે બહિર્ગોળ લેન્સ તરીકે વર્તે.

પ્રશ્ન 7.
આયનોસ્ફિયર દ્વારા થતા રેડિયોતરંગોના પરાવર્તન સાથે સામ્યતા ધરાવતી ઘટના ……………………..
(A) સમતલ અરીસા વડે પ્રકાશનું પરાવર્તન છે.
(B) મરીચિકા દરમિયાન હવામાં થતાં પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન જેવી છે.
(C) મેઘધનુષની રચના દરમિયાન પાણીના અણુઓ દ્વારા થતા પ્રકાશના વર્ણવિભાજન જેવી.
(D) હવાના રજકણો દ્વારા થતા પ્રકાશના પ્રકીર્ણન જેવી.
જવાબ
(B) મરીચિકા દરમિયાન હવામાં થતા પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન જેવી છે.

• આયનોસ્ફિયર દ્વારા થતા રેડિયોતરંગોના પરાવર્તનની ઘટના મરીચિકા દરમિયાન હવામાં થતા પ્રકાશના પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન જેવી છે.
• ઉનાળામાં ઊંચે હવાની ઘનતા વધુ હોય તેથી પ્રકાશનું કિરણ વધારે ઘનતાવાળા માધ્યમમાંથી ઓછી ઘનતાવાળા માધ્યમમાં પ્રવેશે ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની ઘટના બનતા મરીચિકાની ઘટના બને છે.

પ્રશ્ન 8.
અંતર્ગોળ અરીસા પર આપાત થતું કિરણ PQ વડે દર્શાવલ છે, જ્યારે અરીસા પરથી પરાવર્તન પછી જે દિશામાં કિરણ જઈ શકે છે, તે ચાર કિરણો 1, 2, 3 અને 4 વડે દર્શાવેલ છે (જુઓ આકૃતિ). આ ચાર પૈકી કયું કિરણ સાચા પરાવર્તિત કિરણની દિશા દર્શાવે છે ?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
જવાબ
(B) 2
PQ કિરણ એ મુખ્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. તેથી વક્ર અરીસાથી પરાવર્તન પામી પરાવર્તિત કિરણ મુખ્ય અક્ષને સમાંતર બને તેથી, સાચો માર્ગ (B) 2 છે.

પ્રશ્ન 9.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક પાત્રમાં ટર્પેન્ટાઇન પાણીની ઉપર તરે છે. ટર્પેન્ટાઇનની પ્રકાશીય ઘનતા પાણી કરતાં વધુ છે તથા દળ-ઘનતા ઓછી છે. ટર્પેન્ટાઇન પર આપાત થતાં ચાર કિરણો આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તે પૈકી કયો કિરણમાર્ગ સાચો છે ?

(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
જવાબ
(B) 2
પ્રકાશનું કિરણ હવામાંથી તેનાં કરતાં ઘટ્ટ માધ્યમ એવાં ટર્પેન્ટાઇનમાં જાય ત્યારે વક્રીભૂતકિરણ લંબની નજીક જાય છે અને ફરીથી પ્રકાશીય ઘટ્ટ માધ્યમ (ટર્પેન્ટાઇન)માંથી પાતળા (પાણી)માં જાય ત્યારે વક્રીભૂતિકરણ લંબથી દૂર જાય છે. જે વિકલ્પ (B) માં કિરણ 2 નો માર્ગ બતાવે છે.

પ્રશ્ન 10.
સુરેખ માર્ગ પર એક કાર 60kmh^-1 સાથળ શી ગતિ કરી રહી છે. આ કારની ઇવર પોતાના રીઅર તું નિટમાં તેની પાછળ આવતી સૌઠા દ્વાર 100 મીટર દૂર જુએ છે, તે કાર 5 kmh^-1 થી તેની તફ આવી રહી છે, પાછળ આવી રહેલી કાર પર નજર રાખવા માટે ડ્રાઇવર દર 25માં વાસી તેનાં રીસર વ્યૂ મિર અને સાઇડ વ્યૂ મિરરમાં જવાનું શરૂ કરે તે ત્યાં સુધી જોયા કરે છે કે જ્યાં સુધી પાદવાની કાર તેની આગળ પીકી ન જાય. જો બંને કાર પોતપોતાની ઝડા જાળવી સખતી હોય, તો નો પૈકીના ક્યા – ક્યાનો સાથે છે ?
(A) પાછળ આવતી કારની ઝડપ 65 kmh^-1 છે,
(B) ભાગ દોડતી કારના ડ્રાઇવરને સાઉંડ વ્યૂ મિરરમાં પાછળની 5 kmh^-1 ની ઝડપે પોતાની તરફ આવતી જાશે.
(C) બંને કાર વચ્ચેનું અંતર જેમ-જેમ પટતું જશે તેમ-તેમ રીઅર વ્યૂ. નિદરમાં પાછળ આવતી કારની ઝડપ કરતી હોય તેમ જાયો.
(D) બંને કા વચ્ચેનું અંતર જેમ-જેમ ઘટતું જશે તેમ-તેમ સાઇત છે. મિત્રમાં પાછળ નજીક આવતી કારની ઝડપ હોય તેમ જારી વધતી
જવાબ
(D) બંને કાર વચ્ચેનું અંતર જેમ-જેમ ઘટતું જશે તેમ-તેમ સાઇડ વ્યૂ મિરરમાં પાછળ નજીક આવતી કક્ષાની ઝડધ વધતી હોય તેમ જણાશે.
જેમ-જેમ મેં કારો વચ્ચેનું અંતર મટે છે, તેમ-તેમ સાઈડ અરીસામાં કે rear mIrror માં) દેખાતા પ્રતિબિંબની ઝડપ વર્ષથી દેખાવ છે.

પ્રશ્ન 11.
ઋણ વીવનાંક ધરાવતાં કેટલાંક શો પ્રયોગશાળામાં વિકસાવવમાં આવ્યાં છે, આવૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ હવાના માધ્યમ (માધ્યમ 13માંથી આપાત થતું પ્રકાશીય કિરણ
માધ્યમ 2 માં દાખલ થાય છે, તો નીચેનામાંથી ક્યા ગતિભાત આ ક્રિયા અનુસરશે ?

જવાબ

સ્નેલના નિયમ અનુસાર μ = \(\frac{\sin i}{\sin r}\) ∴ sinr = \(\frac{\sin i}{\mu}\) પણ ટર્પેન્ટાઈનની μ, પાણીના μ કરતાં મોટી તેથી પાણીની μ ઋણ ગણાય પરિણામે sinr ઋણ મળે અને r પણ ન મળે તેથી, મળે વિઝ્મ (A) માર્ચ

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
એક સમતલ ચાટ (પાત્ર)માં ભરેલા પાણીમાં ડૂબેલા એક વિસ્તૃત પદાર્થને પાત્રની કિનારી નજીકથી જોવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ વિકૃત થયેલો દેખાય છે. કારણ કે,
(A) કિનારીની નજીકના પદાર્થનાં બિંદુઓની આભાસી ઊંડાઈ દૂરનાં બિંદુઓની સરખામણીએ ઓછી હોય છે.
(B) આંખ સાથે વસ્તુના પ્રતિબિંબે આંતરેલ ખૂણો વસ્તુએ હવા સાથે આંતરેલ વાસ્તવિક ખૂણા કરતાં નાનો હોય છે.
(C) કિનારીથી પદાર્થના દૂરનાં બિંદુઓ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે દેખાઈ શકતા નથી.
(D) પાત્રમાં રહેલું પાણી લેન્સની માફક વર્તે છે અને વસ્તુને વિવર્ધિત કરે છે.
જવાબ (A, B, C)

ધારો કે હોજમાંના પાણીની સપાટી AD પરના, કિનારી CD ની નજીક રહેલા બિંદુ Q આગળથી ત્રાંસી દિશામાં અવલોકન કરીને, સપાટીથી AB = CD = h જેટલી એકસરખી વસ્તુઓ P₁ અને P₂ ના અવલોકન કરવામાં આવે છે. અત્રે આપાતિકરણ \(\overrightarrow{\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}}\) માટે આપાતકોણ θ₁ અને વક્રીભૂતકોણ θ’₁ છે જ્યારે આપાતકિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}}\) માટે આપાતકોણ θ₂ અને વક્રીભૂતકોણ θ’₂ છે . વક્રીભવનને કારણે θ’₁ > θ₁ તથા θ’₂ > θ₂ મળે છે. અત્રે θ₂ > θ₁ હોવાથી θ’₂ > θ’₁ મળે છે. આમ થવાથી તેમના આભાસી સ્થાનો P’₁ અને P’₂ ની આભાસી ઊંડાઈઓ અનુક્રમે d₁ અને d₂ મળે છે. આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે d₁ < d₂ આમ, પાણીની સપાટીની કિનારીની નજીક આભાસી ઊંડાઈ ઓછી અને કિનારાથી દૂર આભાસી ઊંડાઈ વધારે મળે છે તેથી P₁ થી P₂ સુધી ફેલાયેલી વિસ્તૃત વસ્તુ એકસરખી વાસ્તવિક ઊંડાઈએ આવેલી હોવાથી ખરેખર સમતલીય છે પરંતુ હવામાંથી કિનારીની નજીકથી અવલોકન કરતા તેમની આભાસી ઊંડાઈઓ અલગ-અલગ મળતા તે સમતલીય વસ્તુનું સમગ્ર પ્રતિબિંબ બેડોળ એટલે કે વિકૃત દેખાય છે. આમ, વિકલ્પ (A) સાચો છે.

હવે, રકમમાં આપેલ વિકલ્પ (B) પ્રમાણે જો વસ્તુને હવામાં પાણીની સપાટીની નજીક R₁ સ્થાને વિચારીએ તો તેનું વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ P₁ સ્થાને રચાય છે. અત્રે લંબ \(\overline{\mathrm{MN}}\)
સાથેનો ખૂણો ∠R₁QM = θ’₁ છે જ્યારે પ્રતિબિંબનો આ લંબ સાથેનો ખૂણો ∠P₁QN = θ₁ છે જ્યાં θ₁ < θ’₁
⇒ વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.
ઉપરોક્ત આકૃતિમાં જો બિંદુવત્ વસ્તુને છેડા B તરફ ખસેડીએ તો આપાતકોણ θ વધતો જાય છે. એક તબક્કે θ ≥ C (જ્યાં C = ક્રાંતિકોણ) બનતા પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનને કારણે તે વસ્તુ હવામાંથી જોતાં દેખાતી નથી. આમ વિકલ્પ (C) પણ સાચો છે.

પ્રશ્ન 2.
1.6 વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચનો એક ચોરસ બ્લૉક ABCD છે. એક પિન સપાટી AB ની મધ્યમાં મૂકવામાં આવે છે. (જુઓ’ આકૃતિ) આ પિનને AD બાજુથી જોવામાં આવે તો પિન ………………..

(A) A ની નજીક દેખાશે.
(B) D ની નજીક દેખાશે.
(C) AD ના મધ્યબિંદુએ દેખાશે.
(D) બિલકુલ દેખાશે નહીં.
જવાબ (A, D)
\

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ AB ના મધ્યબિંદુ L આગળ એક પિન મૂકેલ છે.
• જ્યારે AD બાજુએથી જોવામાં આવે (i < C) તો L નું પ્રતિબિંબ L’ આગળ મળે જે બિંદુ A ની નજીક છે. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો.
• siņC = \(\frac{1}{\mu}=\frac{1}{1.6}\) = 0.625
  ∴ C = sin^-1(0.625) = 38.7°
  આથી Lમાંથી આપાત કિરણ માટે i > C થતો હોવાથી પ્રકાશનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવાથી પિનનું પ્રતિબિંબ દેખાશે નહીં. તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
પ્રાથમિક અને ગૌણ મેઘધનુષની વચ્ચે અદીપ્ત (dark) પટ્ટો (band) જોવા મળે છે, જેને ઍલેકઝાન્ડરનો અદીપ્ત (dark) પટ્ટો (band) કહે છે. આનું કારણ,
(A) આ વિસ્તારમાં પ્રકેરીત પ્રકાશ વચ્ચે વિનાશક વ્યતીકરણ રચાય છે.
(B) આ વિસ્તારમાં કોઈ જ પ્રકાશ પ્રકીર્ણન પામતો નથી.
(C) આ વિસ્તારમાં પ્રકાશનું શોષણ થાય છે.
(D) સૂર્યના આપાત પ્રકાશકિરણોની સાપેક્ષે પ્રકીર્ણન પામેલાં કિરણોએ આંખ સાથે આંતરેલ ખૂણો લગભગ 42° અને 50° ની વચ્ચે હોય છે.
જવાબ
(A, D)

• ઍલેકઝાન્ડર્સ ડાર્ક ઍન્ડ એવો વિસ્તાર છે જ્યાંથી પ્રકીર્ણન પામીને પ્રકાશનાં કિરણો અવલોકનકાર સુધી પહોંચતા નથી તેથી અવલોકનકારને પ્રાથમિક અને ગૌણ મેઘધનુષ વચ્ચેનો આ વિસ્તાર દેખાતો નથી (અને તેથી તે dark જણાય છે.) આમ, વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• પ્રાથમિક મેઘધનુષ આશરે 42° જેટલા અવલોકનકોણે પૂરું થઈ જાય છે અને ગૌણ મેઘધનુષ આશરે 50॰ જેટલા અવલોકનકોણે શરૂ થાય છે તેથી આ બે દષ્ટિકોણો વચ્ચેનો વિસ્તાર અંધકારમય જણાય છે જે ઍલેકઝાન્ડર્સ ડાર્ક બૅન્ડ તરીકે ઓળખાય છે. આમ, વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
સામાન્ય નિકટતમ બિંદુની સાપેક્ષે વસ્તુને આંખની વધુ નજીક જોઈ શકાય તે માટે મેગ્નિફાઇંગ લેન્સનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પરિણામમાં ………………….
(A) વસ્તુએ આંખ પાસે આંતરેલ ખૂણો મોટો બને છે અને આ રીતે વસ્તુને વધુ મોટી જોઈ શકાય છે.
(B) આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ રચાય છે.
(C) દૃષ્ટિક્ષેત્રમાં વધારો થાય છે.
(D) નિકટતમ બિંદુએ મોટવણી અનંત બને છે.
જવાબ (A, B)

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે મૅગ્નિફાઇંગ ગ્લાસનો ઉપયોગ કરતી વખતે વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્રની નજીક, મુખ્ય કેન્દ્રથી સહેજ અંદર મૂકવામાં આવે છે. જેથી વસ્તુએ આંખ સાથે બનાવેલો ખૂણો મોટો બને છે અને તેથી કોણીય વિવર્ધન મોટું મળે છે. આમ, વિકલ્પ (A) સાચો છે.

• પ્રસ્તુત કિસ્સામાં ઉપરોક્ત કિરણ આકૃતિ (Ray diagram) પ્રમાણે વસ્તુ AB નું આભાસી, ચત્તું અને વિવર્ધિત પ્રતિબિંબ A’B’ મળે છે. આમ, વિકલ્પ (B) પણ સાચો છે.

પ્રશ્ન 5.
એક ઍસ્ટ્રોનોમિકલ વક્રીભવનકારક ટેલિસ્કોપ 20 m કેન્દ્રલંબાઈવાળો ઑબ્જેક્ટિવ અને 2 cm કેન્દ્રલંબાઈવાળો આઇપીસ ધરાવે છે. તો,
(A) ટેલિસ્કોપની ટ્યૂબની લંબાઈ 20.02 m છે.
(B) મોટવણી 1000 છે.
(C) રચાતું પ્રતિબિંબ ઊંધું રચાશે.
(D) ઑબ્જેક્ટિવનું મોટું દર્પણમુખ પ્રતિબિંબની તેજસ્વિતા વધારે છે અને વર્ણવિપથન ઘટાડે છે.
જવાબ
(A, B, C)

• ટેલિસ્કોપની ટ્યૂબ લંબાઈ,
  L = f₀ + f_e = 20 + (0.02)
  તેથી, વિકલ્પ (A) સાચો.
• ટેલિસ્કોપની મોટવણી,
  m = \(\frac{f_0}{f_e}=\frac{20}{0.02}\) = 1000
  તેથી, વિકલ્પ (B) સાચો.
• વસ્તુની સાપેક્ષે ઊલટું પ્રતિબિંબ મળે. તેથી, વિકલ્પ (C) સાચો છે.

અતિ ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
કોઈ એક લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લાલ પ્રકાશ માટે હોય તેના કરતાં વાદળી પ્રકાશ માટે શું તે સમાન, વધુ કે ઓછી હોઈ શકે ?
ઉત્તર:
μ_b > μ_r
લેન્સમેકરના સૂત્ર પરથી,
\(\frac{1}{f}\) = (μ – 1)[latex]\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}[/latex]
\(\frac{1}{f}\) ∝ (μ – 1) બાકીના પદો સમાન અને μ_b > μ_r
હોવાથી, f_b < f_r
આમ, વાદળી પ્રકાશ માટે લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ, રાતા પ્રકાશ માટેની લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ કરતાં ઓછી હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
સામાન્ય વ્યક્તિ માટે નિકટતમ દૃષ્ટિ 25 cm છે. કોઈ વસ્તુની કોણીય મોટવણી 10 મેળવવી હોય, તો તે માટે માઇક્રોસ્કોપનો પાવર કેટલો હોવો જોઈએ ?
ઉત્તર:
સામાન્ય વ્યક્તિનું લઘુતમ સ્પષ્ટ દૃશ્ય અંતર D = 25 cm
∴ v = D = 25 cm, મોટવણી m = 10 અને વસ્તુઅંત
u = f :
∴ મોટવણી,
m = \(\frac{v}{u}=\frac{\mathrm{D}}{f}\)
∴ f = \(\frac{\mathrm{D}}{m}=\frac{25}{10}\) = 2.5cm
∴ P = \(\frac{1}{f}=\frac{1}{2.5 \times 10^{-2}}\) = 40D

પ્રશ્ન 3.
એક બિંદુવત્ વસ્તુનું અસંમિત દ્વિબહિર્ગોળ લેન્સ વડે રચાતું પ્રતિબિંબ તેની અક્ષ પર રચાય છે. જો લેન્સ વક્રસપાટી ઊલટાવીને મૂકવામાં આવે, તો પ્રતિબિંબ-સ્થાન બદલાશે ?
ઉત્તર:

અત્રે લેન્સને ઊલટાવ્યા પછી પણ u, n₁, n₂ તથા (\(\frac{1}{\mathrm{R}_1}-\frac{1}{\mathrm{R}_2}\)) અચળ રહે છે તેથી છ પણ અચળ બનશે એટલે કે પ્રતિબિંબનું સ્થાન યથાવત્ રહેશે.

પ્રશ્ન 4.
d₁ > d₂ > d₃ ઘનતા અને μ₁ > μ₂ > μ₃ વક્રીભવનાંક ધરાવતા તથા એકબીજામાં મિશ્ર ન થઈ શકે તેવા ત્રણ પ્રવાહી એક બીકરમાં ભરેલ છે. દરેક પ્રવાહી-સ્તંભની ઊંચાઈ \(\frac{h}{3}\) છે. બીકરના તળિયે એક બિંદુ (dot) બનાવવામાં આવેલ છે. સામાન્ય નિકટતમ દૃષ્ટિ માટે આ બિંદુની આભાસી ઊંડાઈ શોધો.
ઉત્તર:

– હવામાંથી જોતાં જો d₁ ઘનતાવાળા પ્રવાહીમાં ટપકાંની આભાસી ઊંડાઈ x₁ હોય તો
μ₁ = \(\frac{\mathrm{h} / 3}{x_1}\) ⇒ x₁ = \(\frac{h}{3 \mu_1}\)

આ જ રીતે d₂ અને d₃ ઘનતાવાળા પ્રવાહી માટે અનુક્રમે આભાસીની ઊંડાઈ x₂ અને x₃ હોય, તો
x₂ = \(\frac{h}{3 \mu_2}\) અને x₃ = \(\frac{h}{3 \mu_3}\)
– હવામાંથી ત્રણેય પ્રવાહીમાં જોતાં આભાસી ઊંડાઈ x હોય તો,
x = x₁ + x₂ + x₃ = \(\frac{h}{3 \mu_1}+\frac{h}{3 \mu_2}+\frac{h}{3 \mu_3}\)
∴ x = \(\frac{h}{3}\left[\frac{1}{\mu_1}+\frac{1}{\mu_2}+\frac{1}{\mu_3}\right]\)

પ્રશ્ન 5.
μ = √3 વક્રીભવનાંક ધરાવતા કાચના પ્રિઝમ માટે લઘુતમ વિચલનકોણ તેના પ્રિઝમકોણ જેટલો હોય, તો પ્રિઝમનો પ્રિઝમકોણ નક્કી કરો.
ઉત્તર:
પ્રિઝમના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક,

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
અંતર્ગોળ અરીસાની મુખ્ય અક્ષ પર તેના મુખ્ય કેન્દ્રથી દૂર નાની L લંબાઈની વસ્તુ મૂકેલ છે. જો અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ f તથા વસ્તુઅંતર ૫ હોય, તો પ્રતિબિંબની લંબાઈ કેટલી હશે ? (તમે L < < |v – f| લઈ શકો છો.)
ઉત્તર:

• વસ્તુની લંબાઈ L હોવાથી તેના એક છેડાનું વસ્તુઅંતર u₁ = u – \(\frac{\mathrm{L}}{2}\) અને બીજા છેડાનું વસ્તુઅંતર u₂ = u + \(\frac{\mathrm{L}}{2}\) તેથી u₁ – u₂ = -L ⇒ |u₁ – u₂| = L
  ધારો કે, વસ્તુના બે છેડાના પ્રતિબિંબ અંતર અનુક્રમે v₁ અને v₂ છે. તેથી પ્રતિબિંબની લંબાઈ L’ = |v₁ – ₂|
• અરીસાના સૂત્ર \(\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\) પરથી \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{u-f}{f u}\)
  ∴ ν = \(\frac{f u}{u-f}\)
  વસ્તુના છેડાના અરીસા તરફના અને અરીસાથી દૂરના છેડાઓના પ્રતિબિંબ અંતરો,
  
  ∴ હવે વસ્તુ નાની આપેલી છે અને મુખ્ય કેન્દ્રથી દૂર મૂકેલી છે.
  ∴ \(\frac{\mathrm{L}^2}{4}\) << (u – f)² તેથી \(\frac{\mathrm{L}^2}{4}\) ને છેદમાંથી અવગણતા, પ્રતિબિંબની લંબાઈ દર્શાવતું સૂત્ર
  ∴ L’ = │v₁ – v₂| = \(\frac{f^2}{(u-f)^2}\)L

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ 4 ત્રિજ્યાવાળા અપારદર્શક અર્ધગોળાકાર વાટકા (bowl) ની અંદર R ત્રિજ્યાની એક તકતીને સમક્ષિતિજ અને સમઅક્ષીય રીતે મૂકવામાં આવેલ છે. જ્યારે વાટકાની કિનારીથી જોવામાં આવે, તો તકતીની દૂર તરફની કિનારી જોઈ શકાય છે. હવે વાટકામાં પ્ર વક્રીભવનોવાળું પારદર્શક પ્રવાહી ભરવામાં આવે, તો તક્તીની નજીકની કિનારી જસ્ટ જોઈ શકાય છે, તો તકતીને વાટકાની ઉપરની કિનારીથી કેટલે નીચે મૂકી હશે ?

ઉત્તર:

• અપારદર્શક વાટકામાં પ્રવાહી ભર્યા પહેલાંની સ્થિતિની આકૃતિ વિચારો.
• આ વાટકાની અંદર એક R ત્રિજ્યાની અને C કેન્દ્રવાળી વર્તુળાકાર તકતી, તેની અક્ષ વાટકાની અક્ષ પર સંપાત થાય તેમ સમક્ષિતિજ મૂકેલી છે. આપણે OC = d ની ગણતરી કરવી છે. વાટકામાં પ્રવાહી ભર્યા પહેલાનું આપાત કિરણ AMA’ છે. જ્યારે વાટકામાં વક્રીભવનાંકવાળું પ્રવાહી ભરવામાં આવે છે ત્યારે તકતીનો નજીકનો B છેડો દેખાશે. અહીં આપાતિકરણ
  \(\overrightarrow{\mathrm{BM}}\) થશે, જેનું વક્રીભૂત કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{MA}}\)‘ મળશે.
• વાટકામાં ભરેલા પ્રવાહીની સમક્ષિતિજ સપાટીને દોરેલો લંબ NN’ છે.
  તેથી ∠BMN’ = i આપાતકોણ અને
  ∠NMA’ = α વક્રીભૂત કોણ થશે.
• M બિંદુ પાસે ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જતાં કિરણ માટે સ્નેલનો નિયમ લગાડતાં,
  μ = (1)sinr પાતળું માધ્યમ હવા છે અને તેનો વક્રીભવનાંક 1 છે.
  ∴ \(\frac{1}{\mu}=\frac{\sin i}{\sin \alpha}\) ………… (1) [∵r = α]
• હવે આકૃતિ પરથી,
  sini = \(\frac{\mathrm{BN}^{\prime}}{\mathrm{BM}}\)
  પણ BN’ = CN’ – CB = OM – CB
  = a – R
  અને BM = \(\sqrt{d^2+(a-\mathrm{R})^2}\)
  ∴ sini = \(\frac{a-\mathrm{R}}{\sqrt{d^2+(a-\mathrm{R})^2}}\) ……………….. (2)
  તેથી sinα = cos(90° – α) = \(\frac{\mathrm{AN}^{\prime}}{\mathrm{AM}}=\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{CN}^{\prime}}{\mathrm{AM}}\)
  ∴ sinα = \(\frac{\mathrm{AC}+\mathrm{OM}}{\mathrm{AM}}\)
  = \(\frac{a+\mathrm{R}}{\sqrt{d^2+(a+\mathrm{R})^2}}\) …………… (3)
  ∴ સમીકરણ (1) માં સમીકરણ (2) અને (3) ની કિંમત મૂકતાં,

• ઉપરોક્ત સમીકરણ માગેલું પરિણામ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 3.
25 cm કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા પાતળા બહિર્ગોળ લેન્સને તેની મુખ્ય અક્ષથી 0.5 cm ઉપરથી બે ભાગમાં કાપવામાં આવે છે. લેન્સના ઉપરના ભાગને (0, 0) બિંદુએ મૂકવામાં આવે છે, તો (- 50 cm, 0) બિંદુએ મૂકેલ વસ્તુના રચાતા પ્રતિબિંબના યામ શોધો.
ઉત્તર:

• પ્રશ્નમાં આપ્યા મુજબ લેન્સને કાપીએ, તો તેની કેન્દ્રલંબાઈમાં ફેરફાર થશે નહીં.

• જો લેન્સને કાપ્યો ન હોય તો મુખ્ય અક્ષ OO’ થી 0.5 cm ઊંચાઈએ વસ્તુ હોય.
• લેન્સના સૂત્ર પરથી,
  \(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{f}+\frac{1}{u}\) = \(\frac{1}{25}+\frac{1}{-50}=\frac{2-1}{50}\)
  ∴ \(\frac{1}{v}=\frac{1}{50}\)
  ∴ v = 50 cm
  ∴ મોટવણી m = \(\frac{v}{u}=-\frac{50}{50}\) = – 1
  આમ, ઑપ્ટિકલ કેન્દ્રથી 50 cm અંતરે મુખ્ય અક્ષથી 0.5 cm નીચે પ્રતિબિંબ રચાશે. તેથી કાપેલા લેન્સની ધાર X-અક્ષમાંથી પસાર થાય અને તેના સંદર્ભમાં પ્રતિબિંબના યામ (50 cm, – 1 cm).

પ્રશ્ન 4.
ઘણાં પ્રાયોગિક વ્યવસ્થાપનો (set-up) માં સ્રોત અને પડદા ચોક્કસ (ધારો કે D) અંતરે નિયત રાખવામાં આવે છે તથા લેન્સને ચલિત રાખેલ હોય છે. આવી સ્થિતિ માટે દર્શાવો કે લેન્સનાં એવાં બે સ્થાન મળી શકે કે જેથી દરેક વખતે પ્રતિબિંબ પડદા પર રચાય. આ બંને સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર શોધો તથા બંને સ્થાનો માટે રચાતા પ્રતિબિંબની મોટવણીનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:
પ્રકાશના કિરણના વ્યુત્ક્રમના નિયમાનુસાર, વસ્તુ અને પ્રતિબિંબના સ્થાનોની અદલાબદલી કરી શકાય છે. હવે, લેન્સના સૂત્ર પરથી,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}\) …………. (1)

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણેની પ્રથમ સ્થિતિ ધ્યાનમાં લો. હવે, સંજ્ઞા પદ્ધતિ અનુસાર,
∴ – u + v = D …………… (2)
∴ u = -(D – v)
સમીકરણ (1) માં ઉપરનું મૂલ્ય મૂકતાં,
\(\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{\mathrm{D}-v}\)
\(\frac{1}{f}=\frac{\mathrm{D}-v+v}{v(\mathrm{D}-v)}=\frac{\mathrm{D}}{v(\mathrm{D}-v)}\)
Dv = v² – fD
∴ v²(D – v) + df = 0 જે v નું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.
∴ v = \(\frac{\mathrm{D}}{2} \pm \frac{\sqrt{\mathrm{D}^2-4 \mathrm{D} f}}{2}\)
હવે સમીકરણ (2) પરથી,
u =- (D – v)

ઉપરોક્ત બે વસ્તુ અંતરોને અનુરૂપ લેન્સના બે સ્થાનો વચ્ચેનું અંતર d લઈએ તો,

નોંધ : અત્રે v ના સ્વરૂપમાં મેળવેલ દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ વાસ્તવિક મળે તે માટે,
D² – 4Df ≥ 0
∴ D² ≥ 4Df
∴ D ≥ 4f
∴ D_min = 4f
⇒ વસ્તુ અને તેના વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર 4f જેટલું હોવું જોઈએ. (જ્યાં f = લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ)

પ્રશ્ન 5.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ઘ્ર વક્રીભવનાંક ધરાવતા પારદર્શક પ્રવાહીને એક જાર (Jar)માં h ઊંચાઈ સુધી ભરેલ છે. તળિયાની સપાટી પર જારનાં કેન્દ્ર પર એક ટપકું . (dot) કરેલ છે. પ્રવાહીની ઉપરની સપાટી પર તળિયાના કેન્દ્ર સાથે સંમિતીય રીતે એક તકતી મૂકવામાં આવે છે. તકતીની ઉપરથી નીચે તરફ જોતા ટપકું જોઈ શકાય નહીં તે માટે તકતીનો લઘુતમ વ્યાસ શોધો.

ઉત્તર:
ધારો કે, તકતીનો માગેલો લઘુતમ વ્યાસ d છે. પ્યાલાના મધ્યબિંદુએ તળિયે રહેલાં ટપકાં O માંથી નીકળતાં કિરણો જો ક્રાંતિકોણે કે તેથી મોટાકોણે આપાત થાય તો બહાર ઊભેલી વ્યક્તિને ટપકું દેખાશે નહીં. કારણ કે, વક્રીભૂતકિરણ પ્રવાહીની સપાટીને સમાંતર થશે અથવા પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન પામશે. ધારો કે, આપાતકોણ i ક્રાંતિકોણ C જેટલો છે. હવે
સૂત્રાનુસાર, sinC = \(\frac{1}{\mu}\)
∴ sin i = \(\frac{1}{\mu}\) (∵C = i)
આકૃતિ પરથી,
tani = \(\frac{\frac{d}{2}}{h}\)
∴ \(\frac{d}{2}\) = htani ……………. (1)

પ્રશ્ન 6.
લઘુ દૃષ્ટિની ખામી ધરાવતા એક વયસ્કનું દૂર બિંદુ 0.1 m છે. તેનો power of accomodation 4 ડાયોપ્ટર છે. (i) દૂર આવેલી વસ્તુને જોવા માટે કેટલા પાવરના લેન્સની જરૂર પડશે ? (ii) ચશ્માં વગર તેનું નજીકતમ બિંદુ કેટલું હશે ? (iii) ચશ્માં સાથે તેનું નજીકતમ બિંદુ કેટલું હશે ? (આંખના લેન્સથી રેટિના સુધીનું પ્રતિબિંબ અંતર 2 cm લો.)
ઉત્તર:
(i) ધારો કે, વ્યક્તિની સામાન્ય આંખની સ્થિતિમાં જરૂરી પાવર,
P_f = \(\frac{1}{f}=\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}\)
∴ P_f = \(\frac{1}{0.1}+\frac{1}{0.02}\) = \(\frac{0.02+0.1}{0.002}=\frac{0.12}{0.002}\)
∴ P_f = 60 D
હવે દૂર બિંદુને અનંત અંતરે લઈ જવા માટે જરૂરી પાવર,
P’_f = \(\frac{1}{f^{\prime}}=\frac{1}{\infty}+\frac{1}{0.02}=0+\frac{1}{0.02}\)
∴ P’_f = 50D
તેથી, આંખ અને લેન્સના તંત્ર માટે,
P’_f = P_f + P_f જ્યાં P_g = લેન્સનો પાવર
∴ 50 = 60 + P_g
∴ P_g = – 10 D

(ii) સામાન્ય આંખનો પાવર P = 4D છે.
ધારો કે, નજીકબિંદુ માટે સામાન્ય પાવર P_n હોય તો,
P = P_n – P_f
∴ 4 = P_n – 60
∴ P_n = 64 D
ધારો કે, ચશ્માં વગર નજીકબિંદુનું અંતર x_n છે.
∴ \(\frac{1}{x_n}+\frac{1}{0.02}\) = 64
અથવા \(\frac{1}{x_n}\) + 50 = 64
∴ \(\frac{1}{x_n}\) = 14
∴ x_n = \(\frac{1}{14}\)
∴ x_n 0.07 m

(iii) ચશ્માં સાથે,
P’_n = P’_f + P
54 = \(\frac{1}{x_n^{\prime}}+\frac{1}{0.02}=\frac{1}{x_n^{\prime}}\) + 50
∴ \(\frac{1}{x_n^{\prime}}\) = 4
∴ x’_n = \(\frac{1}{4}\) = 0.25 m

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
µ ≥ √2 વક્રીભવનાંક ધરાવતા દ્રવ્ય માટે દર્શાવો કે તેના પર કોઈ પણ ખૂણે આપાત થતું કિરણ આપાત સમતલને લંબ એવી લંબાઈની દિશામાં દોરવાશે. (જશે.)
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે આપેલા પારદર્શક ઘટ્ટ માધ્યમની સમતલીય સપાટી AB પર i જેટલા આપાતકોણે આપાત થતું પ્રકાશનું એક કિરણ \(\overrightarrow{P Q}\) ધ્યાનમાં લો. વક્રીભવન પામ્યા બાદ કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{QR}}\), પાતળા માધ્યમની સપાટી પર R બિંદુએ Φ જેટલા આપાતકોણથી આપાત થાય છે. જો આ આપાતકોણ ૦ આપેલા માધ્યમના, પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષે ક્રાંતિકોણ (C) જેટલો કે તેના કરતાં વધારે હોય તો પ્રકાશનું કિરણ દીવાલો AC કે BD માંથી નિર્ગમન પામશે નહીં તેથી,
  Φ ≥ C
  ∴ 90° – r ≥ C (∵ Φ + r = 90)
  ∴ sin(90° – r) ≥ sinC
  ∴ c0sr ≥ \(\frac{1}{\mu}\) (∵ sinC = \(\frac{1}{\mu}\)
  ∴μcosr ≥ 1 ……………… (1)
• હવે Q બિંદુએ સ્નેલના નિયમાનુસાર,
  (1)sini = μsinr
  ∴ sinr = \(\frac{\sin i}{\mu}\) ……………. (2)
• હવે, cosr = \(\sqrt{1-\sin ^2 r}\)
  = \(\sqrt{1-\frac{\sin ^2 i}{\mu^2}}\)
  = \(\frac{\sqrt{\mu^2-\sin ^2 i}}{\mu}\)
  ∴ μcosr = \(\sqrt{\mu^2-\sin ^2 i}\) ………….. (3)
• સમીકરણો (2) અને (3) પરથી,
  \(\sqrt{\mu^2-\sin ^2 i}\) ≥ 1
  ∴ μ² – sin²i ≥ 1
• પરંતુ sini નું મહત્તમ મૂલ્ય 1 છે તેથી i = 90° માટે જો ઉપરોક્ત શરત સંતોષાય તો i ના બીજા બધા જ મૂલ્યો માટે ઉપરોક્ત શરતનું પાલન થશે. તેથી i = 1 લેતાં,
  μ² – 1 ≥ 1
  ∴ μ² ≥ 2
  ∴ μ ≥ 2
• ઉપરોક્ત સંબંધ, જરૂરી શરત દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 2.
એક લાંબા શિરોલંબ સ્તંભ (કે જેના સમક્ષિતિજ પરિમાણ < < શિરોલંબ પરિમાણ)માં એક શુદ્ધ પ્રવાહી અને દ્રાવણનું મિશ્રણ દ્રવ્યકણોનું ડિફ્યુઝન (પ્રસારણ) ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી શિરોલંબ ઊર્ધ્વ પરિમાણમાં વક્રીભવનાંક પ્રચલન ઉત્પન્ન થાય છે. આ લાંબા સ્તંભમાં ઊર્ધ્વદિશાને લંબરૂપે પ્રવેશતું પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગથી વિચલન પામે છે. વિચલન પામેલ કિરણ સમક્ષિતિજ દિશામાં d(d < < h) અંતર કાપે ત્યારે તેનું વિચલન શોધો.
ઉત્તર:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ખૂબ જ મોટી ઊંચાઈવાળા પ્રવાહીના નળાકારીય સ્તંભમાં x અને x + dx જેટલા અંતરોની વચ્ચે આવેલો dx જેટલી અતિસૂક્ષ્મ પહોળાઈ ધરાવતો એકદમ સાંકડો વિસ્તાર ધ્યાનમાં લો. આ વિસ્તારમાંનું B બિંદુ, સમક્ષિતિજ સંદર્ભ સપાટીથી y જેટલી ઊંચાઈ પરના લેવલ \(\overline{\mathrm{PQ}}\) પર આવેલું છે. જ્યાં વક્રીભવનાંક μ જેટલો છે. આ બિંદુએ પ્રકાશનું એક કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) (180° – θ) ખૂણે આપાત થાય છે. (∵ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), સમક્ષિતિજ સપાટી \(\overline{\mathrm{PQ}}\) પર દોરેલા લંબ M₁ N₁ સાથે (180° – θ) જેટલો ખૂણો બનાવે છે જે આપાતકોણ બને છે.) જો વક્રીભવનાંક પ્રચલન ન હોત તો dx પહોળાઈમાં આ કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\), વિચલિત થયા વિના આગળ ધપીને B’ બિંદુ પર આવ્યું હોત. પરંતુ અત્રે ઊંચાઈ ઘટવાની સાથે વક્રીભવનાંક વધતો હોવાથી લેવલ \(\overline{\mathrm{RS}}\) આગળ ઊંચાઈ (y – dy) જેટલી બનતા વક્રીભવનાંક (μ + dμ) જેટલો બને છે જે μ કરતાં વધારે છે. તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) લંબ M₁ N₁ તરફ વાંકું વળતા તે હવે B થી C તરફ જાય છે. આમ કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{BC}}\) વક્રીભૂત, કિરણ બને છે જે લંબ M₁ N₁ સાથે 180° – (θ + dθ) જેટલો ખૂણો બનાવે છે. હવે, B બિંદુએ થતાં પ્રકાશના વક્રીભવન માટે સ્નેલનો નિયમ લગાડતાં,

μ × sin(180° – θ) = (μ + dμ) × sin{180° – (θ + dθ)}
∴ μsinθ = (μ + dμ)sin(θ + dθ)
∴ μsinθ = (μ + dμ)(sinθ cosdθ + cosθ sindθ)
∴ μsinθ = μsinθ cos(dθ) + μcosθ sin(dθ) + (dμ)sinθ cos(dθ) + (dμ)cosθ sin(dθ)

અત્રે dθ અતિસૂક્ષ્મ હોવાથી, sin(dθ) = dθ તથા cos(dθ) = 1 લેતાં,
μsinθ = (μsinθ × 1) + (μcosθ × dθ) + (dμ)sinθ × 1 + (dμ)cosθ (dθ)
∴ 0 = μcosθdθ + (dμ)sinθ (∵ dθ cosθ dμ અવગણ્ય છે.)
∴ (dμ)sinθ = – μcosθ dθ
∴ (dμ)tanθ = – μ dθ ……………… (1)

આકૃતિમાંના કાટકોણ ΔBEB’ માં tan(180° – θ) = \(\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EB}^{\prime}}\)
∴ – tanθ = \(\frac{d x}{-d y}\)
∴ tanθ = \(\frac{d x}{d y}\) ………. (2)

સમીકરણો (1) અને (2) પરથી,
(dμ)(\(\frac{d x}{d y}\)) = – μ dθ
∴ dθ = –\(\frac{1}{\mu} \frac{d \mu}{d y}\) dx

બંને બાજુએ સંકલન લેતાં,
\(\int_0^\theta d \theta=-\frac{1}{\mu}\left(\frac{d \mu}{d y}\right) \int_0^d d x\) (∵ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર કરતી વખતે μ તથા \(\frac{d \mu}{d y}\) અચળ રહે છે)
∴ θ = – \(\frac{1}{\mu}\left(\frac{d \mu}{d y}\right)\)d

ઉપરોક્ત સમીકરણ માંગેલું પરિણામ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 3.
જો પ્રકાશ કોઈ ભારે (massive) સ્થૂળ પદાર્થની નજીકથી પસાર થાય ત્યારે પરસ્પરની ગુરુત્વીય ક્રિયાઓને કારણે પ્રકાશીય કિરણ વંકન પામે છે. આમ થવાનું કારણ માધ્યમના અસરકારક વક્રીભવનાંકમાં થતો ફેરફાર છે, જે નીચે મુજબ આપી શકાય છે :
n(r) = 1 + 2\(\frac{\mathrm{GM}}{r c^2}\)
જ્યાં, r દળદાર સ્થૂળ પદાર્થના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી વિચારેલ (ધ્યાને લીધેલ) બિંદુનું અંતર, M ભારે પદાર્થનું દળ, G સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક અને c શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશનો વેગ છે. જો ભારે પદાર્થને ગોળા તરીકે સ્વીકારવામાં આવે, તો પ્રકાશીય કિરણ પદાર્થને સ્પર્શીને જાય ત્યારે તેના મૂળ માર્ગ સાથેનું વિચલન શોધો.
ઉત્તર:

• આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે આપેલા M દળવાળા અત્યંત ભારે ગોળાકાર પદાર્થની સપાટીને સમાંતરે પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ, dr જેટલાં અંતરમાં ધારો કે d જેટલું વિચલન અનુભવે છે.
• અત્રે પ્રકાશનું કિરણ, M દળવાળા પદાર્થના કેન્દ્રથી ૪ અંતરે આવેલાં સમકેન્દ્રીય ગોળાકાર પૃષ્ઠ પર આપાત થાય છે ત્યાં સ્નેલનો નિયમ લગાડતાં,
  nsinθ = (n + dn)sin(θ + dθ)
  ∴ nsinθ = (n + dn)(sinθ cosdθ + cosθ sindθ)
  ∴ nsinθ = nsinθ cos(dθ) + ncosθ sin(dθ) + (dn)sinθ cos(dθ) + (dn)cosθ sin(dθ)
• અત્રે dθ અતિસૂક્ષ્મ હોવાથી sin(dθ) = dθ
  તથા cos(dθ) = 1 લેતાં,
  nsinθ = nsinθ + ncosθ(dθ) + (dn)sinθ + (dn)cosθ(dθ)
  ∴ 0 = ncosθ(dθ) + (dn)sinθ (∵ (dn)(cosθ)(dθ) અવગણ્ય છે)
  ∴ -(dn)sinθ = ncosθ(dθ)
  ∴ -(\(\frac{d n}{d r}\))sinθ = ncosθ(\(\frac{d \theta}{d r}\))
  ∴ -(\(\frac{d n}{d r}\))tanθ = n(\(\frac{d \theta}{d r}\)) ………………. (1)
• ૨કમ પ્રમાણે,

• સમીકરણો (1) અને (2) પરથી,
  \(\frac{2 \mathrm{GM}}{r^2 c^2}\) tanθ = (1 + \(\frac{2 \mathrm{GM}}{r c^2}\))\(\frac{d \theta}{d r}\)
• અત્રે જમણી બાજુએ કૌંસમાં \(\frac{2 \mathrm{GM}}{r c^2}\) <<<< 1 હોવાથી તેને અવગણતાં,
  \(\frac{2 \mathrm{GM}}{r^2 c^2}\) tanθ = \(\frac{d \theta}{d r}\)
  ∴ dθ = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{c^2}\left(\frac{\tan \theta}{r^2}\right)\)dr ………………. (3)
• આકૃતિ પરથી, r² = x² + R² …………….. (4)
  ∴ 2r dr = 2x dx + 0
  ∴ r dr = x dx ⇒ dr = \(\frac{x d x}{r}\) …………….. (5)
• વળી, આકૃતિ પરથી,
  tanθ = \(\frac{\mathrm{R}}{x}\) ⇒ xtanθ = R …………. (6)
• સમીકરણો (3) અને (5) પરથી,
  dθ = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{c^2}\left(\frac{\tan \theta}{r^2}\right)\left(\frac{x d x}{r}\right)\)
  ∴ dθ = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{c^2} \frac{\tan \theta}{r^3}\) x dx ……………… (7)
• અત્રે,
  r² = x² + R²
  ∴ (r)^3/2 = (x² + R²)^3/2
  ∴ r³ = (x² + R²)^3/2 ………………… (8)
• સમીકરણો (6), (7), (8) પરથી,
  dθ = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{c^2} \frac{\mathrm{R}}{\left(x^2+\mathrm{R}^2\right)^{3 / 2}}\)dx …………….. (9)
• અત્રે ધારો કે,
  x = RtanΦ ……………. (10)
  ∴ dx = Rsec²Φ dΦ …………….. (11)
• હવે,
  (x² + R²)^3/2 = (R² tan²Φ + R²)^3/2
  = (R² sec²Φ)^3/2
  = R³sec³Φ ……………. (12)
• સમીકરણો (9), (11), (12) પરથી,’
  dθ = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{c^2} \frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}^3 \sec ^3 \phi}\)Rsec²Φ dΦ
  ∴ dθ = \(\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R} c^2}\) cosΦ dΦ ……………….. (13)
  સમીકરણ (10) પરથી,
  X = – ∞ ત્યારે Φ = – \(\frac{\pi}{2}\)rad
  x = + ∞ ત્યારે Φ = + \(\frac{\pi}{2}\)rad
• વળી, x = – ∞ ત્યારે θ = 0
  તથા x = + ∞ ત્યારે θ = θ₀ લઈને
  સમીકરણ (13) માં બંને બાજુએ સંકલન લેતાં,

• ઉપરોક્ત સમીકરણ માગેલું પરિણામ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 4.
અસાધારણ અસામાન્ય પદાર્થમાંથી R ત્રિજ્યાનો અનંત લંબાઈનો નળાકાર બનાવેલ છે. જેના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક – 1 છે. (જુઓ આકૃતિ) આ નળાકારને બે સમતલોની વચ્ચે કે જેના લંબ Y દિશામાં હોય અને કેન્દ્ર y-અક્ષ પર ગોઠવાય તેમ મૂકેલ છે. નીચે રહેલા સમતલથી Y દિશામાં એક સાંકડું લેસરનું કિરણજૂથ નિર્દેશિત થાય છે. લેસરનો સ્રોત નળાકારના y-દિશાના વ્યાસથી ૪ જેટલા સમક્ષિતિજ અંતરે આવેલ છે, તો x નો એવો વિસ્તાર શોધો કે જેથી નીચેના સમતલથી ઉત્સર્જિત થતું લેસર બીમ ઉપરના સમતલ સુધી પહોંચી શકે નહીં.

ઉત્તર:

• વક્રીભવનાંક ઋણ હોય ત્યારે સ્નેલના નિયમનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ મળે છે.
• n = \(\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r}\)
  ∴ -(-1) = \(\frac{\sin \theta_i}{\sin \theta_r}\)
  ∴ sinθ_i = sinθ_r
  ∴ θ_i = θ_r
• વર્તુળની જીવા વડે તેના કેન્દ્ર આગળ આંતરવામાં આવતાં બે અંતઃકોણો સમાન હોવાથી, ઉપરોક્ત આકૃતિમાં,
  θ_r = θ’_r
• વળી, C બિંદુએ સ્નેલનો નિયમ લગાડતાં θ’_r =θ_e મળે છે.
  આમ, θ_i = θ_r = θ’_r = θ_e (માનાંકમાં)
• અત્રે આપાત કિરણ \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) નું પ્રથમ આપાતબિંદુ B આગળ 2θ_i જેટલું અને ત્યારબાદ દ્વિતીય આપાતબિંદુ C આગળ ફરીથી બીજું 2θ_i જેટલું એમ કુલ 4θ_i જેટલું વિચલન થાય છે. (કારણ કે, અત્રે sinθ_i = sinθ_r બનતાં આપાત કિરણનું વક્રીભવનને બદલે જાણે કે પરાવર્તન થતું હોય તેમ વિચારી શકાય છે.
• હવે જો +Y-અક્ષને અનુલક્ષીને ખૂણો 4θ_i સમઘડી માપીએ અને એ વખતે આ ખૂણો એવો હોય કે જેથી તેનું મૂલ્ય,
  (i) 4θ_i ≥ \(\frac{\pi}{2}\)rad
  તથા (ii) 4θ_i ≤ \(\frac{3 \pi}{2}\)rad
  હોય એટલે કે \(\frac{\pi}{2}\) ≤ 4θ_i ≤ \(\frac{3 \pi}{2}\) ………….. (1)
  હોય તો નિર્ગમન કિરણ ઉપરની પ્લેટ સુધી જઈ શકતું નથી. હવે, આકૃતિમાંના કાટકોણ ત્રિકોણ OEB માટે θ_i નાનો હોવાથી,
  sinθ_i ≈ θ_i = \(\frac{x}{\mathrm{R}}\) ………….. (2)
  પરિણામ (1) પરથી,
  \(\frac{\pi}{8}\) ≤ θ_i ≤ \(\frac{3 \pi}{8}\)
  ∴ \(\frac{\pi}{8}\) ≤ \(\frac{x}{R}\) ≤ \(\frac{3 \pi}{8}\)
• R વડે ગુણતાં,
  \(\frac{\pi \mathrm{R}}{8}\) ≤ x ≤ \(\frac{3 \pi R}{8}\) ……………. (3)
• ઉપરોક્ત સમીકરણ માગેલું પરિણામ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 5.

(i) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અવલોકનકાર (O) અને સ્રોત (S) વચ્ચે મૂકેલો પાતળો લેન્સ વિચારો. ધારો કે લેન્સની જાડાઈ W(b) = W₀ – \(\frac{b^2}{a}\) મુજબ બદલાય છે. જ્યાં લેન્સનાં પ્રકાશિત કેન્દ્રથી શિરોલંબ અંતર અને W₀ અચળાંક છે. ફારમેટના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને (એટલે કે સ્રોત અને અવલોકનકાર વચ્ચે પ્રકાશ પારગમન થતા લાગતો સમય સિમાંત હોય) સ્રોતમાંથી નીકળતાં બધાં જ સમઅક્ષીય કિરણો O પાસે કેન્દ્રિત થાય તે માટેની શરત મેળવો તથા લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ શોધો.

(ii) ગુરુત્વીય લેન્સને નીચે આપેલ સૂત્ર અનુસાર બદલાતી જતી જાડાઈવાળો વિચારી શકાય છે :
W(b) = k₁ln(\(\frac{k_2}{b}\)) b_min < b < b_max
= k₁ln(\(\frac{k_2}{b_{\min }}\)) b < b_min
દર્શાવો કે અવલોકનકારને બિંદુવત્ વસ્તુનું પ્રતિબિંબ લેન્સનાં કેન્દ્રની આસપાસ રિંગ સ્વરૂપે દેખાશે જેની કોણીયત્રિજ્યા,
β = \(\sqrt{\frac{(n-1) k_1 \frac{u}{v}}{u+v}}\)
ઉત્તર:
(i) પ્રકાશના કિરણને S થી P₁ સુધી જવા માટે લાગતો સમય,

અત્રે \(\frac{b^2}{u^2}\) << 1 હોવાથી દ્વિપદી પ્રમેય અનુસાર વિસ્તરણ કરી પ્રથમ બે જ પદોને ધ્યાનમાં લેતાં,
t₁ ≈ \(\frac{u}{c}\)(1 + \(\frac{b^2}{2 u^2}\)) ………….. (1)
તે જ રીતે પ્રકાશના કિરણને P₁ થી O સુધી જવા માટે લાગતો સમય

અત્રે \(\frac{b^2}{v^2}\) << 1 હોવાથી દ્વિપદી પ્રમેય અનુસાર, વિસ્તરણ કરી પ્રથમ બે જ પદોને ધ્યાનમાં લેતાં,
t₂ ≈ \(\frac{v}{c}\)(1 + \(\frac{b^2}{2 v^2}\)) ………….. (2)
– P₁ બિંદુએ લેન્સની જાડાઈ W હોય તો તેમાંથી પસાર થવા માટે પ્રકાશના કિરણને લાગતો સમય,
t₃ = \(\frac{(n-1) \mathrm{W}}{c}\) (જ્યાં રકમ પ્રમાણે W = W₀ – \(\frac{b^2}{\alpha}\)) ………… (3)
હવે S માંથી નીકળેલા પ્રકાશના કિરણને S →P₁ → 0 સુધી જવા માટે લાગતો કુલ સમય t હોય તો,
t = t₁ + t₂+ t₃

ફર્માટના સિદ્ધાંત અનુસાર, ઉપરોક્ત સમય t કાં તો મહત્તમ કાં તો લઘુતમ હોવાથી તેનું ચલ b ની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન શૂન્ય થવું જોઈએ. આમ,
\(\frac{d t}{d b}\) = 0
∴ \(\frac{1}{c}\)\frac{b}{\mathrm{D}}-\frac{2 b}{\alpha}[\(\) (n – 1)] = 0
∴ \(\frac{b}{\mathrm{D}}-\frac{2 b}{\alpha}\) (n – 1)
∴ α = : 2(n – 1)D …………… (8)
ઉપરોક્ત સમીકરણ, માંગેલી શરત દર્શાવે છે. અત્રે નું મૂલ્ય b થી સ્વતંત્ર છે તેથી b << u હોય તેવાં કિસ્સામાં લેન્સ પર આપાત થતાં પેરેસિઅલ કિરણો બિંદુ O પર કેન્દ્રિત થશે.

(ii) હવે, આપેલા ગુરુત્વીય લેન્સ માટે
W = K₁log (\(\frac{\mathrm{K}_2}{b}\)) (ક્રમ પ્રમાણે) …………….. (9)
સમીકરણો (5) અને (9) પરથી,

આમ,S માંથી નીકળીને લેન્સ ૫૨ લેન્સના ધ્રુવથી ઉપરોક્ત ઊંચાઈએ આપાત થતાં પ્રકાશના કિરણો, પ્રતિબિંબ રચવામાં પોતાનો ફાળો આપે છે. આ પ્રતિબિંબ રિંગ આકારનું મળે છે તેની કોણીય ત્રિજ્યા β હોય તો,