GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 13 ન્યુક્લિયસ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 13 ન્યુક્લિયસ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 13 ન્યુક્લિયસ

GSEB Class 12 Physics ન્યુક્લિયસ Text Book Questions and Answers

તમને સ્વાધ્યાયના ઉકેલમાં નીચેની વિગતો ઉપયોગી થશે :
e = 1.6 × 10^-19C N = 6.023 × 10²³ mole દીઠ
\(\frac{1}{\left(4 \pi \varepsilon_0\right)}\) = 9 × 10⁹ Nm²/C² k = 1.381 × 10^-23 JK^-1
1 MeV = 1.6 × 10^-13 J 1 u = 931.5 MeV/c²
1 year = 3.154 × 10⁷ s
m_P = m_H = 1.007825 u m_n = 1.008665 u
m(\({ }_2^4 \mathrm{He}\)) = 4.002603 u m_e = 0.000548 u

પ્રશ્ન 1.
(a) લિથિયમના બે સ્થાયી સમસ્થાનિકો ઠુમાં \({ }_3^6 \mathrm{Li}\) અને \({ }_3^7 \mathrm{~L} i\) નું પ્રમાણ (જથ્થો) અનુક્રમે 7.5 % અને 92.5 % છે.
તેમના દળો અનુક્રમે 6.01512 u અને 7.01600 u છે. લિથિયમનું પરમાણુ દળ શોધો.
(b) બોરોનને બે સ્થાયી સમસ્થાનિકો \({ }_5^{10} \mathrm{~B}\) અને \(11 \frac{1}{5} \mathbf{B}\) છે. તેમનાં દળ અનુક્રમે 10,01294 u અને 11,00931 u છે અને બોરોનનું પરમાણુદળ 10.811 u છે. \({ }_5^{10} \mathrm{~B}\) અને \(11 \frac{1}{5} \mathbf{B}\) નું સાપેક્ષ પ્રમાણ શોધો.
ઉત્તર:
(a) લિથિયમના પરમાણુનું દળ= સમસ્થાનિકોનું સરેરાશ દળ
= \(\frac{x_1 \mathrm{M}_1+x_2 \mathrm{M}_2}{x_1+x_2}\)
m(L_i) = \(\frac{6.01512 u \times 7.5+7.01600 u \times 92.5}{7.5+92.5}\)
જ્યાં x₁ = 7.5%, x₂ = 92.5%
M₁ = \({ }_3^6 \mathrm{Li}\) નું દળ, M₂ = \({ }_3^7 \mathrm{Li}\) નું દળ
= \(\frac{45.1134 u+648.98 u}{100}\)
= \(\frac{694.0934 u}{100}\) ≈ 6.941 u

(b) જો \({ }_5^{10} \mathrm{~B}\) નું પ્રમાણ ૪% હોય તો \({ }_5^{11} \mathrm{~B}\) નું પ્રમાણ (100 – x) % હોય.
∴ 10.811 = \(\frac{(x)(10.01294)+(100-x)(11.00931)}{100}\)
∴ 1081.1 = (10.0129411.0091) x + 1100.931
∴ (11.00931-10.01294)x = 1100.931-1081.1
∴ 0.99637 x 19.831 … x = 19.90 %
∴ \({ }_5^{10} \mathrm{~B}\) નું પ્રમાણ 19.90 % અને \({ }_5^{11} \mathrm{~B}\) નું પ્રમાણ (100 − x) = 80.10 % હશે.

પ્રશ્ન 2.
નિયૉનના ત્રણ સ્થાયી સમસ્થાનિકો \({ }_{10}^{20} \mathrm{Ne}\), \({ }_{10}^{21} \mathrm{Ne}\) અને \({ }_{10}^{22} \mathrm{Ne}\) નું સાપેક્ષ પ્રમાણ 90.51 %, 0.27 % અને 9.22 % છે. આ ત્રણ સમસ્થાનિકોના પરમાણુ દળો અનુક્રમે 19.99 u, 20.99 ૪ અને 21.99 u છે. નિયોનનું સરેરાશ પરમાણુદળ શોધો.
ઉત્તર:

= 20.1771 u ≈ 20.18 u

પ્રશ્ન 3.
નાઇટ્રોજન ન્યુક્લિયસ (\(\frac{14}{7} \mathrm{~N}\))ની બંધનઊર્જા (MeVમાં) શોધો, m(\(\frac{14}{7} \mathrm{~N}\)) = 14.00307 4 આપેલ છે.
ઉત્તર:
નાઇટ્રોજન ન્યુક્લિયસ (\(\frac{14}{7} \mathrm{~N}\)) માં 7 પ્રોટ્રૉન અને 7 ન્યુટ્રૉન હોય છે.
7 પ્રોટ્રૉનનું કુલ દળ Zm_p = 7 × 1.007274u
7 ન્યુટ્રૉનનું કુલ દળ Nm_n = 7 × 1.008665u
નાઇટ્રોજનના ન્યુક્લિયસનું દળ m(\(\frac{14}{7} \mathrm{~N}\)) = 14.00307 u
∴ ΔM = (Zm_p +Nm_n) – m(\(\frac{14}{7} \mathrm{~N}\))
= [7.054775 + 7.060655 – 14.00307]u
= [14.11543 – 14.00307]u
= 0.10844u
પણ 1u = 931.5 MeV
∴ નાઇટ્રોજનના ન્યુક્લિયસની બંધનઊર્જા E_bn
∴ E_bn = 0.11236 × 931.5 MeV
= 104.66334 MeV ≈ 101.04 MeV
નોંધ : જો નાઇટ્રોજનની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા પૂછે તો,

પ્રશ્ન 4.
નીચેની વિગતો પરથી \({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) અને \({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\) બંધનઊર્જા MeV એકમમાં શોધો. m(\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\)) = 55.934939 u, m(\({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\)) = 208,980388 u કયા ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા વધારે છે ?
ઉત્તર:
\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) ન્યુક્લિયસમાં 26 પ્રોટ્રૉન અને 30 ન્યુટ્રૉન છે.
∴ 26 પ્રોટ્રૉનનું દળ Zm_p = 26 × 1.007825
= 26.20345u
∴ 30 ન્યુટ્રૉનનું દળ Nm_n = 30 × 1.008665
= 30.25995u
\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) ના ન્યુક્લિયસનું દળ m(\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\)) = 55.934939u
∴ દળક્ષતિ ΔM = (Zm_p +Nm_n)-m(\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\))
= 26.20345 + 30.25995 – 55.934939
= 0.528461u
∴ \({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) ના ન્યુક્લિયસની બંધનઊર્જા,
(E_bn)_Fe = ΔMu
= 0.528461 × 931.5 MeV
= 492.2614215 MeV
≈ 492.26 MeV
– \({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા
\(\left(\frac{\mathrm{E}_{b n}}{\mathrm{~A}}\right)_{\mathrm{Fe}}=\frac{492.26}{56}\)
= 8.79 MeV

\({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\) ના ન્યુક્લિયસમાં 83 પ્રોટ્રૉન અને 126 ન્યુટ્રૉન હોય છે.
∴ 83 પ્રોટ્રૉનનું દળ Zm_p = 83 × 1.007825u
= 83.649475u
અને 126 ન્યુટ્રૉનનું દળ Nm_n = 126 × 1.008665
= 127.09179u
\({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\) ન્યુક્લિયસનું દળ m(\({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\)) = 208.980388u
∴ દળક્ષતિ ΔM = (Zm_p +Nm_n) – m(\({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\))
= 83.649475 + 127.091790 – 208.980388
= 1.760877u
\({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\) ના ન્યુક્લિયસની બંધનઊર્જા,
E_bn = ΔMu
= 1.760877 × 931.5
= 1640.2569 MeV
≈ 1640.3 MeV
∴ \({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\) ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા,
\(\frac{\mathrm{E}_{b n}}{\mathrm{~A}}=\frac{1640.3}{209}\)
= 7.848 MeV
≈ 7.85 MeV
∴ \({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા, \({ }_{83}^{209} \mathrm{~B} i\) ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા કરતાં વધારે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે Fe ની ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા મહત્તમ હોય છે.

પ્રશ્ન 5.
એક આપેલ સિક્કાનું દળ 3.0 g છે. બધા ન્યુટ્રોન અને પ્રોટ્રોનને એકબીજાથી અલગ કરવા માટે જરૂરી ન્યુક્લિયર ઊર્જાની ગણતરી કરો. સરળતા ખાતર સિક્કો સંપૂર્ણપણે \({ }_{29}^{63} \mathrm{Cu}\) પરમાણુઓ (62.92960 u દળના)નો બનેલો ગણો.
ઉત્તર:
કૉપરના ન્યુક્લિયસમાં 29 પ્રોટ્રૉન અને 34 ન્યુટ્રૉન હોય છે. 29 પ્રોટ્રૉનનું કુલ દળ Zm_p = 29 × 1.007825u
= 29.226925u
34 ન્યુટ્રૉનનું કુલ દળ Nm_n = 34 × 1.008665u
= 34.29461u
કૉપરના ન્યુક્લિયસનું દળ mcu = 62.92960u
દળક્ષતિ ΔM = (Zm_p + Nm_n) – m_cu
= 29.226925 + 34.29461 – 62.92960
= 63.521535 – 62.92960
= 0.591935u

કૉપરના ન્યુક્લિયસની બંધનઊર્જા,
E_bn = ΔMu
= 0.591935 × 931.5 MeV
= 551.3874525 MeV
≈ 551.3874 MeV
પરમાણુદળાંક (63 g) કૉ૫૨માં ૫૨માણુની સંખ્યા = 6.023 × 10²³ તો 3 g કૉ૫૨માં પરમાણુની સંખ્યા = (?)
N = \(\frac{6.023 \times 10^{23} \times 3}{63}\)
= 0.2868 × 10²³
કૉપરના 3 g ના સિક્કામાંથી બધા ન્યુટ્રૉન અને પ્રોટ્રૉન અલગ કરવા જરૂરી ઊર્જા = E_bn × N
= 551.3874 × 0.2868 × 10²³ MeV
= 158.17 × 10²³
≈ 1.582 × 10²² MeV
= 1.582 × 10²⁵ × 10⁶ × 1.6 × 10^-19 J
= 2.5312 × 10¹² J

પ્રશ્ન 6.
નીચેના માટે ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા સમીકરણો લખો.
(i) \({ }_{88}^{226} \mathrm{R} a\) નો α – ક્ષય
(ii) \({ }_{94}^{242} \mathrm{P} u\) નો α – ક્ષય
(iii) \({ }_{15}^{32} \mathrm{P}\) નો β^– – ક્ષય
(iv) \({ }_{83}^{210} \mathrm{~B} i\) નો β^– – ક્ષય
(v) \({ }_6^{11} \mathrm{C}\) નો β⁺ – ક્ષય
(vi) \({ }_{43}^{97} \mathrm{~T} c\) નો β⁺ -ક ્ષય
(vii) \({ }_{54}^{120} \mathrm{Xe}\) નું ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 7.
એક રેડિયો ઍક્ટિવ સમસ્થાનિકનું અર્ધ-આયુ T years છે. તેની ઍક્ટિવિટી મૂળ એક્ટિવિટીના (a) 3.125 % (b) 1 % થવા માટે કેટલો સમય લાગશે ?
ઉત્તર:
(a) R₀ = λN₀ અને R = λN
∴ \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}_0}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}\)
∴ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}=\frac{3.125}{100}\)
∴ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}=\frac{1}{32}=\left(\frac{1}{2}\right)^5\) ………….. (1)
પણ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^n\) ………….. (2)
∴ સમીકરણ (1) અને (2) ને સરખાવતાં,
∴ n = 5
પણ કુલ જીવનકાળ = n × અર્ધજીવનકાળ
t = nT
∴ t = 5T વર્ષ

(b) \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}_0}=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}\) = 1%
∴ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}=\frac{1}{100}\)
ચરઘાતાંકીય નિયમ
N = N₀e^-λt
∴ \(\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{N}_0}\) = e^-λt
\(\frac{1}{100}\) = e^-λt
100 = e^λt
∴ log100 × 2.303 = λt
∴ 2.0000 × 2.303 = \(\frac{0.693}{T}\).t [∵ જ્યાં અર્ધજીવનકાળ T]
∴ t = \(\frac{4.606 \times \mathrm{T}}{0.693}\) = 6.646 T વર્ષ
∴ t ≈ 6.65 T વર્ષ

પ્રશ્ન 8.
કાર્બન-ધરાવતા સજીવ દ્રવ્યની સામાન્ય એક્ટિવિટી કાર્બનના દર ગ્રામ દીઠ દર મિનિટે 15 વિભંજન જણાય છે. આ એક્ટિવિટી સ્થાયી કાર્બન સમસ્થાનિક \({ }_6^{12} \mathrm{C}\) ની સાથે થોડા પ્રમાણમાં હાજર રહેલા રેડિયો એક્ટિવ \({ }_6^{14} C\) ને લીધે છે. જ્યારે સજીવ મૃત્યુ પામે છે ત્યારે તેની વાતાવરણ (જે ઉપર્યુક્ત સંતુલન એક્ટિવિટી જાળવી રાખે છે) સાથેની આંતરક્રિયા બંધ થાય છે અને તેની એક્ટિવિટી ઘટવાની શરૂ થાય છે. { }_6^{14} C ના જાણીતા અર્ધ-આયુ (5730 years) અને ઍક્ટિવિટીના માપેલા મૂલ્ય પરથી તે નમૂનાની ઉંમરનો લગભગ અંદાજ લગાવી શકાય છે. પુરાતત્ત્વવિધામાં વપરાતા { }_6^{14} C ડેટિંગનો આ સિદ્ધાંત છે. ધારો કે મોહેન-જો-દરોનો એક નમૂનો કાર્બનના દર ગ્રામ દીઠ દર મિનિટે 9 વિભંજનની ઍક્ટિવિટી દર્શાવે છે. સિંધુ-ખીણની સંસ્કૃતિની લગભગ ઉંમરનો અંદાજ કરો.
ઉત્તર:
કાર્બન ધરાવતાં સજીવ દ્રવ્યની ઍક્ટિવિટી R₀ = 15 વિભંજન/ મિનિટ. મોહેન-જો-દરોના કાર્બનના નમૂનાની ઍક્ટિવિટી
R = 9 વિભંજન/મિનિટ. \({ }_6^{14} C\) નો અર્ધઆયુ T_1/2 = 5730 વર્ષ
⇒ R₀ = λN₀ અને R = λN

∴ t = 4223.49 વર્ષ
∴ t ≈ 4224 વર્ષ

પ્રશ્ન 9.
8.0 mC_i તીવ્રતાનો રેડિયો એક્ટિવ સ્રોત મેળવવા માટે \({ }_{27}^{60} \mathrm{Co}\) નો જરૂરી જથ્થો શોધો. \({ }_{27}^{60} \mathrm{Co}\) નું અર્ધ-આયુ 5.3 years છે.
ઉત્તર:
રેડિયો ઍક્ટિવિટી,
R = 8.0 mC_i
= 8 × 10^-3 × 3.7 × 10¹⁰ વિભંજન/સેકન્ડ
= 29.6 × 10⁷ વિભંજન/સેકન્ડ
અર્ધઆયુ T_1/2 = 5.3 વર્ષ 5.3 × 3.16 × 10⁷ s
= 16.748 × 10⁷ s
⇒ હવે R = λN
∴ N = \(\frac{\mathrm{R}}{\lambda}=\frac{\mathrm{R} \times \mathrm{T}_{1 / 2}}{0.693}\) [∵ λ = \(\frac{0.693}{\mathrm{~T}_{1 / 2}}\) ]
∴ N = \(\frac{29.6 \times 10^7 \times 16.748 \times 10^7}{0.693}\)
∴ N = 7.1535 × 10¹⁶ પરમાણુ ≈ 7.15 × 10¹⁶ પરમાણુ
⇒ 60 g કોબાલ્ટમાં પરમાણુની સંખ્યા
N’ = 60 × N
= 60 × 7.15 × 10¹⁶
= 4.29 × 10¹⁸ પરમાણુ
∴ જરૂરી ઍક્ટિવિટી મેળવવા સ્રોતોનો જરૂરી જથ્થો
m = \(\frac{\mathrm{N}^{\prime}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) જ્યાં N_A 6.023 × 10²³
∴ m = \(\frac{4.29 \times 10^{18}}{6.023 \times 10^{23}}\)
= 0.7122696 × 10^-5
∴ m ≈ 7.123 × 10^-6 ગ્રામ
(પાઠ્યપુસ્તકનો જવાબ 7.126 × 10^-6g)

પ્રશ્ન 10.
\({ }_{38}^{90} \mathrm{Sr}\) નું અર્ધઆયુ 28 years છે. આ સમસ્થાનિકના 15 mg નો વિભંજન દર કેટલો હશે ?
ઉત્તર:
અહીં T_1/2 = 28 વર્ષ = 28 × 3.154 × 10⁷ s
= 88.312 × 10⁷ s
દળ m = 15 mg = 0.015 g
પરમાણુ ભાર M = 90 g
⇒ 90 ગ્રામ \({ }_{38}^{90} \mathrm{Sr}\) નાં નમૂનામાં પરમાણુની સંખ્યા 6.023 × 10²³ તો 0.015 g માં પરમાણુની સંખ્યા = (N)
∴ N = \(\frac{6.023 \times 10^{23} \times 0.015}{90}\)
∴ N = 0.001 × 10²³
∴ N ≈ 1.0038 × 10²⁰ પરમાણુ
⇒ નમૂનાની ઍક્ટિવિટી
R = λN
= \(\frac{0.693}{\mathrm{~T}_{1 / 2}}\)N
= \(\frac{0.693 \times 1.0038 \times 10^{20}}{88.312 \times 10^7}\)
= 0.007877 × 10¹³
= 7.877 × 10¹⁰ વિભંજન/સેકન્ડ
= \(\frac{7.877 \times 10^{10}}{3.7 \times 10^{10}}\)C_i
= 2.13 C_i

પ્રશ્ન 11.
ગોલ્ડના સમસ્થાનિક \({ }_{79}^{197} \mathrm{~A} u\) અને સિલ્વરના સમસ્થાનિક \({ }_{47}^{107} \mathrm{Ag}\) નાં ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાઓનો આશરે ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:
અહીં સોના માટે A₁ = 197
ચાંદી માટે A₂ = 107
⇒ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા R = R₀A^1/3 માં R₀ અચળ
∴ R ∝ A^1/3
∴ \(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}=\left(\frac{\mathrm{A}_1}{\mathrm{~A}_2}\right)^{1 / 3}\)
∴ \(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}=\left(\frac{197}{107}\right)^{1 / 3}\)
log \(\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_2}=\frac{1}{3}\)log(1.8411)
= \(\frac{1}{3}\)[0.2650]
= 0.0883
= 1.226
≈ 1.23
જો ન્યુક્લિયસની દળ ઘનતાનો ગુણોત્તર માંગ્યો હોય તો દળ ઘનતા, ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાથી સ્વતંત્ર હોવાથી \(\frac{\rho_{\mathrm{A} u}}{\rho_{\mathrm{C} u}}=1\)

પ્રશ્ન 12.
(a) \({ }_{88}^{226} \mathrm{Ra}\) અને (b) \({ }_{86}^{220} \mathrm{R} n\) ના α-ક્ષયમાં Q-મૂલ્ય
અને ઉત્સર્જિત α-કણની ગતિઊર્જા શોધો.
m(\({ }_{88}^{226} \mathrm{Ra}\)) = 226.02540 u
m(\({ }_{86}^{222} \mathrm{Rn}\)) = 222.01750 u
m(\({ }_{86}^{220} \mathbf{R n}\)) = 220.01137 u
m(\({ }_{84}^{216} \mathrm{Po}\)) = 216.00189 u આપેલ છે.
ઉત્તર:
(a) રેડિયમના ન્યુક્લિયસનું વિભંજન થવાથી -ક્ષય થાય તો

= [226.02540 – 222.01750 – 4.002601] uc²
= 0.0053 × 931.5 MeV [c² = \(\frac{931.5 \mathrm{MeV}}{u}\)]
= 4.93695 MeV
≈ 4.937 MeV
અને ગતિઊર્જા,

= 4.8496 ≈ 4.85 MeV

(b) રેડોનનું વિભંજન થવાથી α-ક્ષય મળે તો,

[220.01137 – 216.00189 – 4.002601] × uc²
= 0.00688 × 931.5 MeV [∵ c² = 931.5\(\)]
= 6.40872 MeV ≈ 6.41 MeV
અને ગતિઊર્જા,
K_Rn = \(\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{R} n}-4}{\mathrm{~A}_{\mathrm{R} n}}\) × Q_Rn
= \(\frac{220-4}{220}\) × 6.41
= \(\frac{216 \times 6.41}{220}\)
= 6.29345 MeV
≈ 6.29 MeV

પ્રશ્ન 13.
રેડિયો ન્યુક્લાઇડ 11_C નું વિભંજન
\({ }_6^{11} \mathrm{C}\) → \({ }_5^{11} B\) + e⁺ + v; T_1/2 = 20.3 min, મુજબ થાય છે.
ઉત્સર્જિત પૉઝિટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા 0.960 MeV છે દળનાં મૂલ્યો આપેલ છે :
m(\({ }_6^{11} \mathrm{C}\)) = 11.011434u અને
m(\({ }_5^{11} B\)) = 11.009305u
Q-મૂલ્યની ગણતરી કરો અને તેને ઉત્સર્જિત પૉઝિટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા સાથે સરખામણી કરો.
ઉત્તર:

• ₆C¹¹ ના વિભંજનની પ્રક્રિયામાં દળક્ષતિ,
  ΔM = m(\({ }_6^{11} \mathrm{C}\))-{m(\({ }_5^{11} B\)) + m_e}
  આ દળ ક્ષતિ ન્યુક્લિયર દળના સંદર્ભમાં છે. કા૨ણ કે વિભંજનની પ્રક્રિયા ન્યુક્લિયસની પ્રક્રિયા છે.
• જો દળ ક્ષતિ પરમાણુદળાંકના સંદર્ભમાં દર્શાવવી હોય તો કાર્બનના પરમાણુદળાંકમાંથી 6m અને બોરોનના પરમાણુદળાંકમાંથી 5m બાદ કરવા જોઈએ કે જેથી દળ ક્ષતિ ન્યુક્લિયર દળના સંદર્ભમાં મળે.
  
  = [11.011434 – 11.009305 – 2 × 0.000548] u
  = = [11.011434 – 11.010401]u = 0.001033u
  ∴ Q = ΔMC²
  = 0.001033 × 931.5 \(\frac{\mathrm{MeV}}{\mathrm{c}^2}\) × c²
  = 0.9622 MeV ≈ 0.96 MeV
  પણ Q= E_B + E_e⁺ + E_v
  હવે e⁺ (પૉઝિટ્રૉન) અને v (ન્યૂટ્રિનો)ના દળ કરતાં ¹¹B નું દળ ઘણું વધારે હોવાથી ₁₁B ની ગતિઊર્જા E_BB = 0 અને v ને દળ ન હોવાથી તેની ગતિઊર્જા લઘુતમ હોય છે. તેથી પૉઝિટ્રૉનની ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય.
  E_e⁺ = Q ∴ E_e⁺ = 0.96 MeV

પ્રશ્ન 14.
\({ }_{10}^{23} \mathrm{Ne}\) ન્યુક્લિયસ β^– – ઉત્સર્જન દ્વારા ક્ષય પામે છે. β – ક્ષયનું સમીકરણ લખો અને ઉત્સર્જન પામેલા ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા શોધો.

ઉત્તર:

= 4.374 MeV
⇒ ²³Na ન્યુક્લિયસ દળ વધારે અને ઍન્ટિન્યૂટ્રિનોનું સ્થિર દળ અવગણતાં તે બંનેની ગતિઊર્જા લગભગ શૂન્ય હોય તેથી ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા મહત્તમ હોય.

પ્રશ્ન 15.
ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયા A + b → C + d નું છું મૂલ્ય Q = [m_A + m_b – m_C – m_dlc વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જ્યાં દળો અનુરૂપ ન્યુક્લિયસનાં છે. આપેલ વિગતો પરથી નીચેની પ્રક્રિયાઓનું Q-મૂલ્ય શોધો અને જણાવો કે પ્રક્રિયાઓ ઉષ્માક્ષેપક છે કે ઉષ્માશોષક છે.
(i) \({ }_1^1 \mathrm{H}+{ }_1^3 \mathrm{H} \rightarrow{ }_1^2 \mathrm{H}+{ }_1^2 \mathrm{H}\)
(ii) \({ }_6^{12} \mathrm{C}+{ }_6^{12} \mathrm{C} \rightarrow{ }_{10}^{20} \mathrm{Ne}+{ }_2^4 \mathrm{He}\)
પરમાણુદળો આ મુજબ આપેલ છે :
m(\({ }_1^2 \mathrm{H}\)) = 2.014102 u
m(\({ }_1^3 \mathrm{H}\)) = 3.016049 u
m(\({ }_6^{12} \mathrm{C}\)) = 12.000000
m(\({ }_{10}^{20} \mathrm{Ne}\)) = 19.992439 u
ઉત્તર:
(i) \({ }_1^1 \mathrm{H}+{ }_1^3 \mathrm{H} \rightarrow{ }_1^2 \mathrm{H}+{ }_1^2 \mathrm{H}\) + Q
∴ Q = [latex]m\left({ }_1^1 \mathrm{H}\right)+m\left({ }_1^3 \mathrm{H}\right)-m\left({ }_1^2 \mathrm{H}\right)-m\left({ }_1^2 \mathrm{H}\right)[/latex] × c²
= [1.007825 + 3.016049 – 2 × 2.014102] uc²
= [4.023874 – 4.028204] × 931.5 MeV [∵ c² = 931.5\(\frac{\mathrm{MeV}}{u}\)
= – 0.00433 × 931.5 MeV
= – 4.033395 MeV
≈ – 4.033 MeV
અહીં Q મૂલ્ય ઋણ છે તેથી પ્રક્રિયા ઉષ્માશોષક છે.

(ii) \({ }_6^{12} \mathrm{C}+{ }_6^{12} \mathrm{C} \rightarrow{ }_{10}^{20} \mathrm{Ne}+{ }_2^4 \mathrm{H}\) + Q
∴ Q = [latex]2 m\left({ }_6^{12} \mathrm{C}\right)-m\left({ }_{10}^{20} \mathrm{Ne}\right)-m\left({ }_2^4 \mathrm{He}\right)[/latex] × c²
= [2 × 12.000000 – 19.992439 – 4.002603] uc²
= [24.000000 – 23.995042] × 931.5 MeV
= 0.004958 × 931.5 MeV
= 4.618377 MeV
≈ 4.62 MeV
અહીં Q-મૂલ્ય ધન છે તેથી પ્રક્રિયા ઉષ્માક્ષેપક છે.

પ્રશ્ન 16.
ધારો કે આપણે \({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) ન્યુક્લિયસનું વિખંડન બે સમાન ટુકડાઓ \({ }_{13}^{28} \mathrm{~A} l\) માં કરવાનું વિચારીએ. આવું વિખંડન ઊર્જાની દૃષ્ટિએ શક્ય છે ? પ્રક્રિયાનું Q મૂલ્ય શોધીને સમજાવો. m(\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\)) = 55.93494 અને m(\({ }_{13}^{28} \mathrm{Al}\)) = 27,98191 આપેલ છે.
ઉત્તર:
\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\) નું વિખંડન થવાથી બે ઍલ્યુમિનિયમના ટુકડા બને તો સમીકરણ,
\({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe} \rightarrow{ }_{13}^{28} \mathrm{~A} l+{ }_{13}^{28} \mathrm{~A} l\) + Q
∴ Q = [latex]m\left({ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}\right)-2 m\left({ }_{13}^{28} \mathrm{~A} l\right)[/latex] × c²
= [55.93494 – 2 × 27.98191]uc²
= [55.93494 – 55.96382] × 931.5 MeV [∵ c² = 931.5\(\)]
= – 0.02888 × 931.5 MeV
= – 26.90172 MeV
≈ – 26.90 MeV
અહીં Q-મૂલ્ય ઋણ હોવાથી ઊર્જાની દૃષ્ટિએ વિખંડન શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 17.
\({ }_{94}^{239} \mathrm{Pu}\) ના વિખંડન ગુણધર્મો \({ }_{92}^{235} \mathrm{U}\) ના જેવાં છે. વિખંડનદીઠ વિમુક્ત થતી સરેરાશ ઊર્જા 180 MeV છે. જો શુદ્ધ \({ }_{94}^{239} \mathrm{Pu}\) ના 1 kg માંના બધા પરમાણુઓ વિખંડન પામે તો કેટલી ઊર્જા MeV માં વિમુક્ત થશે ?
ઉત્તર:
\({ }_{94}^{239} \mathrm{Pu}\) માં હાજર પરમાણુઓની સંખ્યા = ઍવોગેડ્રો અંક જેટલી હોય.
∴ 239 g, Pu માં હાજર પરમાણુઓ N_A = 6.023 × 10²³ તો 1000 g, Pu માં પરમાણુઓની સંખ્યા = (N)
N = \(\frac{1000 \times 6.023 \times 10^{23}}{239}\)
= 0.0252 × 10²⁶ = 2.52 × 10²⁴ પરમાણુ
⇒ પ્રત્યેક પરમાણુના વિખંડનથી ઉત્સર્જાતી ઊર્જા = 180 MeV
∴ ઉત્સર્જાતી કુલ ઊર્જા = 180 × N
= 180 × 2.52 × 10²⁴ MeV
= 453.6 × 10²⁴ MeV
≈ 4.536 × 10²⁶ MeV

પ્રશ્ન 18.
એક 1000 MW નું વિખંડન (Fission) રિઍક્ટર તેના બળતણનો અડધો ભાગ 5y માં વાપરે છે. પ્રારંભમાં તે કેટલું \({ }_{92}^{235} \mathrm{U}\) ધરાવતો હશે ? એવું ધારો કે રિઍક્ટર 80 % સમય માટે કાર્યાન્વિત રહે છે, બધી ઊર્જા \({ }_{92}^{235} \mathrm{U}\) ના વિખંડનથી ઉત્પન્ન થાય છે અને આ ન્યુક્લાઇડ માત્ર વિખંડન પ્રક્રિયામાં જ વપરાયું છે. એવોગ્રેડો અંક = 6 × 10²³ mo1^-1
ઉત્તર:
ઍવોગેડ્રો અંક N_A = 6 × 10²³ (mol)^-1 લેવો
અહીં રિઍક્ટરનો પાવર P = 1000 MW = = 10⁹ W
પાવર વપરાશનો સમય t = 5 વર્ષ = 5 × 3.154 × 10⁷ s
= 1.577 × 10⁸ s
રિઍક્ટરનો ચાલુ રહેવાનો સમય T = t ના 80 %
= 1.577 × 10⁸ × 0.8
= 1.2616 × 10⁸ s
T સમયમાં વપરાતો પાવર,
P’ = T × P
= 1.2616 × 10⁸ × 10⁹ W
= 1.2616 × 10¹⁷ W
⇒ દરેક વિખંડનથી ઉત્સર્જાતી સરેરાશ ઊર્જા
E = 200 MeV
= 200 × 10⁶ × 1.6 × 10^-19 J
= 3.2 × 10^-11 J
⇒ 235 g યુરેનિયમમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા = 6 × 10²³
તો 1g યુરેનિયમમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા (N)
∴ N = \(\frac{1 \times 6.0 \times 10^{23}}{235}\)
= 0.02553 × 10²³
≈ 2.553 × 10²¹ પરમાણુ
⇒ 1g યુરેનિયમમાંથી ઉત્સર્જાતી ઊર્જા = એકવિખંડનથી ઉત્સર્જાતી સરેરાશ ઊર્જા × N
E’ = E × N
E’ = 3.2 × 10^-11 × 2.553 × 10²¹
∴ E’ = 8.1696 × 10¹⁰ J

= 0.154426 × 10⁷
≈ 1.544 × 10⁶ ge
= 1544 kg
⇒ બળતણનો અડધો ભાગ જ વપરાય છે.
∴ શરૂઆતમાં બળતણ (યુરેનિયમ)નો જથ્થો = 2 × 1544 = 3088 kg

પ્રશ્ન 19.
ડ્યુટેરિયમના 2.0 kg ના વિખંડનથી 100 W નો વિદ્યુત લૅમ્પ કેટલો સમય સુધી પ્રકાશતો રાખી શકાય ? વિખંડન પ્રક્રિયા નીચે મુજબ થાય છે એમ ગણો.
\({ }_1^2 \mathrm{H}+{ }_1^2 \mathrm{H} \rightarrow{ }_2^3 \mathrm{He}\) + n + 3.27 MeV
ઉત્તર:
2 ગ્રામ ડ્યુટેરોનમાં પરમાણુની સંખ્યા N_A = 6.023 × 10²³
તો 2000 ગ્રામ ડ્યુટેરોનમાં પરમાણુની સંખ્યા = (N)
N = \(\frac{6.023 \times 10^{23} \times 2000}{2}\)
∴ N = 6.023 × 10²⁶
⇒ જ્યારે બે પરમાણુઓ સંલયન થતા મુક્ત થતી ઊર્જા
= 3.27 MeV
∴ પરમાણુ દીઠ મુક્ત થતી ઊર્જા = \(\frac{3.27}{2}\) = 1.635 MeV
⇒ 2 kg ડ્યુટેરોનમાંથી મુક્ત થતી કુલ ઊર્જા = પરમાણુદીઠ મુક્ત થતી ઊર્જા xN_A
= 1.635 × 10⁶ × 1.6 × 10^-19 × 6.023 × 10²⁶
= 15.75 × 10¹³ J
⇒ બલ્કે દર સેકન્ડે વાપરેલી ઊર્જા
= 100 J
∴ બલ્બ પ્રકાશિત રહે તે માટેનો સમય,

= 4.9936 × 10⁴ વર્ષ
≈ 4.99 × 10⁴ વર્ષ

પ્રશ્ન 20.
બે ડ્યુટેરોનના સન્મુખ (Head-on) સંઘાત માટે સ્થિતિમાન બેરિયરની ઊંચાઈ ગણો. (સૂચના : સ્થિતિમાન બેરિયરની ઊંચાઈ બે ડ્યુટેરોન એકબીજાને સહેજ સ્પર્શે ત્યારે તેમની વચ્ચેના કુલંબ અપાકર્ષણ દ્વારા અપાય છે. તેમને 2.0 fm ની ત્રિજ્યાના સખત ગોળા ગણી શકાય છે તેમ ધારો.)
ઉત્તર:
દરેક ડ્યુટેરોન પરનો વિદ્યુતભાર q = 1.6 × 10^-19 C
ડ્યુટેરોનની ત્રિજ્યા R = 2.0 fm = 2.0 × 10^-15 m
∴ સન્મુખ સંઘાત માટે બે ડ્યુટેરોનના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર
r = 2R = 2 × 2.0 × 10^-15 m = 4.0 × 10^-15 m
⇒ ડ્યુટેરોનની સ્થિતિઊર્જા,
U = \(\frac{k q_1 q_2}{r}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.6 \times 10^{-19}}{4.0 \times 10^{-15}}\)
= 5.76 × 10^-14 J
= \(\frac{5.76 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
= 3.6 × 10⁵ eV
∴ Ve = 360 keV [∵ U = Ve]
∴ V = 360V જે સ્થિતિમાન બૅરિયર છે.
∴ દરેક ડ્યુટેરોનની સ્થિતિઊર્જા = \(\frac{360}{2}\) 180 keV જે ઊર્જા બૅરિયરની ઊંચાઈનું માપ છે.

પ્રશ્ન 21.
R = R₀A^1/3 સંબંધ, જ્યાં R₀ એ અચળાંક અને A એ ન્યુક્લિયસનો દળાંક છે, પરથી દર્શાવો કે ન્યુક્લિયર દ્રવ્યની ઘનતા લગભગ અચળ હોય છે. (એટલે કે A પર આધારિત નથી).
ઉત્તર:
ન્યુક્લિયસનો દળાંક A અને ત્રિજ્યા R તથા R₀ એ અચળાંક છે.
∴ ન્યુક્લિયસનું દળ M = mA જ્યાં m એ ન્યુક્લિયોનનું સરેરાશ દળ છે.
⇒ ન્યુક્લિયસનું કદ
V = \(\frac {4}{3}\)πR³ (∵ ન્યુક્લિયસ એ ગોળા રૂપે છે)
= \(\frac {4}{3}\)π(R₀A^1/3)³ = \(\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}_0^3 \mathrm{~A}\)
⇒ ન્યુક્લિયર ઘનતા
ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\)
= \(\frac{\mathrm{mA}}{4 / 3 \pi \mathrm{R}_0^3 \mathrm{~A}}=\frac{3 \mathrm{~m}}{4 \pi \mathrm{R}_0^3}\)
m = 1.67 × 10^-27
R₀ = 1.2 × 10^-15 m
∴ ρ = \(\frac{3 \times 1.67 \times 10^{-27}}{4 \times 3.14 \times\left(1.2 \times 10^{-15}\right)^3}\)
∴ ρ = 2.3 × 10¹⁷ \(\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\)
⇒ આમ, ન્યુક્લિયર ઘનતા એ પરમાણુ દળાંક A થી સ્વતંત્ર છે અથવા ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાથી પણ સ્વતંત્ર છે.

પ્રશ્ન 22.
ન્યુક્લિયસમાંથી β⁺ (પોઝિટ્રોન)ના ઉત્સર્જન માટે બીજી એક સ્પર્ધા કરનારી પ્રક્રિયા ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર (અંદરની કક્ષા દા.ત., K કવચમાંથી ઇલેક્ટ્રોન ન્યુક્લિયસ દ્વારા પકડાઈ જાય છે અને એક ન્યૂટ્રિનો ઉત્સર્જિત થાય છે)ની પ્રક્રિયા છે. e^– + \({ }_{\mathbf{Z}}^{\mathbf{A}} \mathbf{X}\) → \(\underset{Z-1}{\mathbf{A}} \mathbf{Y}\) + v
દર્શાવો કે જો β⁺ ઉત્સર્જન ઊર્જાની દૃષ્ટિએ મંજૂર હોય તો ઇલેક્ટ્રૉન કેપ્ચર મંજૂર હોવું જ જોઈએ પરંતુ તેથી ઊલટું સંભવ નથી (એટલે કે ઇલેક્ટ્રોન કેપ્ચર ઊર્જાની દૃષ્ટિએ મંજૂર હોય તો β⁺ ઉત્સર્જન મંજૂર હોવું જ જોઈએ એમ નથી).
ઉત્તર:
બે સ્પર્ધા કરનાર પ્રક્રિયા વિચારો.
પૉઝિટ્રૉન અને ન્યૂટ્રિનોના ઉત્સર્જનની
\({ }_{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathbf{X} \rightarrow{ }_{\mathrm{Z}-1}^{\mathrm{A}} \mathbf{Y}\) + e⁺ + v + Q₁………….. (1)
અને ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યૂટ્રિનોના કૅપ્ચરની
\({ }_{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathrm{X}+{ }_{-1} e^0 \rightarrow{ }_{\mathrm{Z}-1}^{\mathrm{A}} \mathrm{Y}\) + v + Q₂ ……………. (2)
∴ સમીકરણ (1) પરથી,

આથી જો Q₁ > 0 હોય, તો Q₂ > 0 એટલે કે, જો પૉઝિટ્રૉનના ઉત્સર્જનની પ્રક્રિયા સફળતાપૂર્વક થાય તો ઇલેક્ટ્રૉન કૅપ્ચરની પ્રક્રિયા વગર છૂટકે થાય પણ Q₂ > 0 નો અર્થ Q₁ > 0 જરૂરી નથી એટલે કે, ઇલેક્ટ્રૉન કૅપ્ચર ઊર્જાની દૃષ્ટ્રિએ મંજૂર હોય તો β⁺ ઊર્જાના ઉત્સર્જનની દૃષ્ટિએ મંજૂર હોવું જ જોઈએ એમ નથી.

પ્રશ્ન 23.
આર્વત કોષ્ટકમાં મેગ્નેશિયમનું સરેરાશ દળ 24,312 આપેલ છે. સરેરાશ મૂલ્ય, પૃથ્વી પરના તેના સમસ્થાનિકોના સાપેક્ષ કુદરતી પ્રમાણ પર આધારિત છે. ત્રણ સમસ્થાનિકો (Istopes) અને તેમનાં દળ \({ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}\)(23.98504 u), \({ }_{12}^{25} \mathrm{Mg}\)(24.98584 u) અને \({ }_{12}^{26} \mathrm{Mg}\)(25.98259 u) છે. \({ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}\) નું કુદરતમાં દળનું પ્રમાણ 78.99 % છે. બીજા બે સમસ્થાનિકોના પ્રમાણ નક્કી કરો.
ઉત્તર:
ધારો કે \({ }_{12}^{25} \mathrm{Mg}\) નું પ્રમાણ x %
\({ }_{12}^{26} \mathrm{Mg}\) નું પ્રમાણ y %
\({ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}\) નું પ્રમાણ z % (= 78.99 %)
∴ x + y + z = 100
∴ y = (100 – x – z) %
= (100 – x – 78.99) %
= (21.01 – x) %
⇒ મૅગ્નેશિયમનો સરેરાશ પરમાણુદળાંક
= 23.98504 × 78.99 +24.98584x
24.312 = \(\frac{+25.98259 \times(21.01-x)}{100}\)
2431.2 = 1894.5783 + 24.9854x + 545.89421 – 25.98259x
∴ 2431.2 2440.47251 = – 0.99719x
∴ 0.99719x = 9.27251
∴ x = \(\frac{9.27251}{0.99719}\)
∴ x = 9.298639
∴ x ≈ 9.30 %
∴ \({ }_{12}^{25} \mathrm{Mg}\) નું પ્રમાણ = 9.3 %
હવે y = (21.01 – x) %
∴ y = (21.01 – 9.3) %
∴ y = 11.71%
∴ \({ }_{12}^{26} \mathrm{Mg}\) નું પ્રમાણ 11.71 %
અને \({ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}\) નું પ્રમાણ 78.99 %

પ્રશ્ન 24.
ન્યુક્લિયસમાંથી ન્યુટ્રૉનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઊર્જાને ન્યુટ્રોન વિયોગ (Separation) ઊર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નીચેની વિગતો પરથી \({ }_{20}^{41} \mathrm{Ca}\) અને \({ }_{13}^{27} \mathrm{Al}\) નાં ન્યુક્લિયસ માટે ન્યુટ્રૉન વિયોગ ઊર્જાના મૂલ્યો શોધો.
m(\({ }_{20}^{40} \mathrm{C} a\)) = 39.962591u
m(\({ }_{20}^{41} \mathrm{C} a\)) = 40.962278 u
m(\({ }_{13}^{26} \mathrm{Al}\)) = 25.986895 u
m(\({ }_{13}^{27 } \mathrm{Al}\)) = 26.981541 u
ઉત્તર:
જ્યારે \({ }_{20}^{41} \mathrm{C} a\) માંથી ન્યુટ્રૉન છૂટો પડે ત્યારે સમીકરણ
\({ }_{20}^{41} \mathrm{Ca} \rightarrow{ }_{20}^{40} \mathrm{Ca}+{ }_0^1 n\)
∴ દળક્ષતિ ΔM = \(m\left({ }_{20}^{40} \mathrm{C} a\right)+m\left({ }_0^1 n\right)-m\left({ }_{20}^{41} \mathrm{C} a\right)\)
= [39.962591 + 1.008665 – 40.962278]u
= 0.008978u
⇒ ન્યુટ્રૉન વિયોગ ઊર્જા ΔMc²
Sn(\({ }_{20}^{41} \mathrm{C} a\)) = 0.008978 × 931.5 MeV [∵ c² = \(\)]
= 8.363 MeV
હવે \({ }_{13}^{27} \mathrm{Al}\) માંથી ન્યુટ્રૉન છૂટો પડે ત્યારે સમીકરણ,
\({ }_{13}^{27} \mathrm{~A} l \rightarrow{ }_{13}^{26} \mathrm{~A} l+{ }_0^1 n\)
∴ દળક્ષતિ ΔM = \(m\left({ }_{13}^{26} \mathrm{Al}\right)+m\left({ }_0^1 n\right)-m\left({ }_{13}^{27} \mathrm{~A} l\right)\)
= [25.986895 + 1.008665 – 26.981541]u
= (26.99556 – 26.981541)u
= 0.014019u
∴ ન્યુટ્રૉન વિયોગ ઊર્જા = ΔMc²
Sn(\({ }_{13}^{27} \mathrm{Al}\)) = 0.014019uc²
= 0.014019u × \(\frac{931.5}{u}\)
= 13.0586 MeV
≈ 13.06 MeV

પ્રશ્ન 25.
એક સ્રોત ફોસ્ફરસના બે રેડિયો ન્યુક્લાઇડ્ઝ \({ }_{15}^{32} \mathrm{P}\)(T_1/2 = 14.3 d) અને \({ }_{15}^{33} \mathrm{P}\)(T_1/2 = 25.3d)
ધરાવે છે. પ્રારંભમાં 10 % ક્ષય \({ }_{15}^{33} \mathrm{P}\) માંથી આવે છે. આ 90 % બને તે માટે કેટલો સમય લાગશે?
ઉત્તર:
શરૂઆતમાં \({ }_{15}^{32} \mathrm{P}\) ન્યુક્લાઇડનો જથ્થો = 9x
અને \({ }_{15}^{33} \mathrm{P}\) ન્યુક્લિાઇડનો જથ્થો 1x [∵ ગુણોત્તર = \(\frac{90}{10}=\frac{9}{1}\)] છે.
અંતિમ સમયે \({ }_{15}^{32} \mathrm{P}\) નો જથ્થો = y
અને \({ }_{15}^{33} \mathrm{P}\) નો જથ્થો = 9y
[∵ ગુણોત્તર = \(\frac{90}{10}=\frac{9}{1}\)]
⇒ N = \(\frac{\mathrm{N}_0}{2^{t / \mathrm{T}}}\)
∴ 9y = \(\frac{x}{2^{\frac{1}{25.3}}}\) [\({ }_{15}^{33} \mathrm{P}\) માટે]
અને y = \(\frac{9 x}{2^{t / 14.3}}\) → [\({ }_{15}^{32} \mathrm{P}\) માટે]
ગુણોત્તર લેતાં

∴ t ≈ 209 દિવસ

પ્રશ્ન 26.
કેટલાંક સંજોગોમાં ન્યુક્લિયસ α-કણ કરતાં વધુ દળના કણના ઉત્સર્જનથી ક્ષય પામે છે. નીચેની ક્ષય પ્રક્રિયા
વિચારો:
\({ }_{88}^{223} \mathrm{R} a \rightarrow{ }_{82}^{209} \mathrm{P} b+{ }_6^{14} \mathrm{C}\)
\({ }_{88}^{223} \mathrm{R} a \rightarrow{ }_{86}^{219} \mathrm{R} n+{ }_2^4 \mathrm{He}\)
આ ક્ષય માટે Q-મૂલ્યો ગણો અને આ બંને ઊર્જાની દૃષ્ટિએ મંજૂર છે તેમ નક્કી કરો.
ઉત્તર:
(i) કાર્બન ક્ષય પ્રક્રિયા
\({ }_{88}^{223} \mathrm{R} a \rightarrow{ }_{82}^{209} \mathrm{P} b+{ }_6^{14} \mathrm{C}\) + Q
દળક્ષતિ ΔM = \(m\left({ }_{88}^{223} \mathrm{R} a\right)-m\left({ }_{82}^{209} \mathrm{P} b\right)-m\left({ }_6^{14} \mathrm{C}\right)\)
= (223.01850 – 208.98107 – 14.00324) u
= (223.01850 – 222.98431)u
= 0.03419u
∴ Q = ΔMc²
= 0.03419u × c²
= 0.03419u × \(\)MeV
= 31.847985 MeV
≈ 31.85 MeV

(ii) α-ક્ષય પ્રક્રિયા
\({ }_{88}^{223} \mathrm{R} a \rightarrow{ }_{86}^{219} \mathrm{R} n+{ }_2^4 \mathrm{He}\) + Q
દળક્ષય ΔM = \(m\left({ }_{88}^{223} \mathrm{R} a\right)-m\left({ }_{86}^{219} \mathrm{R} n\right)+m\left({ }_2^4 \mathrm{He}\right)\)
= (223.01850 – 219.00948 – 4.00260)u
= (223.01850 – 223.01208)u
= 0.00642u
∴ Q = ΔMc²
= 0.00642uc²
= 0.00642u × \(\frac{931.5}{u}\)MeV
= 0.00642 × 931.5 MeV [∵ c² = \(\frac{931.5 \mathrm{MeV}}{u}\)]
= 5.98023 MeV ≈ 5.98 MeV
અહીં બંને કિસ્સામાં Q-મૂલ્ય ધન હોવાથી ઊર્જાની દૃષ્ટિએ મંજૂર છે.

પ્રશ્ન 27.
ઝડપી ન્યુટ્રોન વડે થતાં \({ }_{92}^{238} \mathrm{U}\) ના વિખંડનનો વિચાર કરો. એક વિખંડન ઘટનામાં કોઈ ન્યુટ્રોન ઉત્સર્જિત થતો નથી અને β-ક્ષય પામ્યા બાદ પ્રાથમિક ટુકડાઓ \({ }^{140} \mathrm{58} \mathrm{Ce}\) અને \({ }_{44}^{99} \mathbf{R} u\) છે. આ વિખંડન પ્રક્રિયા માટે Q-મૂલ્ય ગણો. પરમાણુના અને કણના જરૂરી દળો આ મુજબ છે :
m(\({ }_{92}^{238} \mathrm{U}\)) = 238.05079 u
m(\({ }_{58}^{140} \mathrm{Ce}\)) = 139.90543 u
m(\({ }_{44}^{90} \mathrm{R} u\)) = 98.90594 u
ઉત્તર:
વિખંડન પ્રક્રિયા,

= 231.0911775 MeV
≈ 231.1 MeV

પ્રશ્ન 28.
D−T પ્રક્રિયા (ગ્લુટેરિયમ-ટ્રિટિયમ સંલયન) વિચારો. \({ }_1^2 \mathrm{H}+{ }_1^3 \mathrm{H} \rightarrow{ }_2^4 \mathrm{He}\) + n
(a) નીચે આપેલ વિગતો પરથી વિમુક્ત થતી ઊર્જા MV માં ગણો.
m(\({ }_1^2 \mathrm{H}\)) = 2.014102 u
m(\({ }_1^3 \mathrm{H}\)) = 3.016049 u
(b) ડ્યુટેરિયમ અને ટ્રિટિયમ બંનેની ત્રિજ્યા લગભગ 1.5fm ધારો. આ બે ન્યુક્લિયસ વચ્ચેના કુલંબ અપાકર્ષણને ઓળંગી જવા (પાર કરવા) માટે કેટલી ગતિઊર્જા જરૂરી છે ? આ ક્રિયા પ્રારંભ કરાવવા માટે વાયુને કેટલા તાપમાન સુધી ગરમ કરવો પડે ? (સૂચના : એક વિખંડન ઘટના માટે જરૂરી ગતિઊર્જા = આંતરક્રિયા કરતા કણો પાસે હોય તેવી સરેરાશ
ઉષ્મીય ગતિઊર્જા = 2(\(\frac{3 k T}{2}\)), k = બોલ્ટ્સમેનનો
અચળાંક, T = નિરપેક્ષ તાપમાન)
ઉત્તર:
(a) \({ }_1^2 \mathrm{H}+{ }_1^3 \mathrm{H} \rightarrow{ }_2^4 \mathrm{He}+{ }_0^1 n\) + Q
∴ Q = [latex]m\left({ }_2^1 \mathrm{H}\right)+m\left({ }_1^3 \mathrm{H}\right)-m\left({ }_2^4 \mathrm{He}\right)-m(n)[/latex]c²
= [2.014102 + 3.0160494.002603 – 1.008665] × uc²
= [5.030151 – 5.011268] uc²
= 0.018883u × \(\frac{931.5 \mathrm{MeV}}{u}\)
= 17.5895145 MeV
≈ 17.59 MeV

(b) ડ્યુટેરોન અને ટ્રિટોનની સમાન ત્રિજ્યા
R = 1.5 ફર્મિ
= 1.5 × 10^-15 m
∴ જ્યારે બંને એકબીજાને સ્પર્શે ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર
r = 2R = 2 × 1.5 × 10^-15 m = 3 × 10^-15 m
અને બંને પરનો સમાન વિદ્યુતભાર
q = 1.6 × 10^-19 c છે.
∴ અપાકર્ષી સ્થિતિઊર્જા,
U = \(\frac{k q^2}{r}\)
= \(\frac{9 \times 10^9 \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^2}{3 \times 10^{-15}}\) Joule
= 7.68 × 10^-14 J
⇒ અપાકર્ષણ કુલંબબળ પર પ્રભુત્વ મેળવવા જરૂરી ગતિઊર્જાને અનુરૂપ તાપમાન T હોય તો સરેરાશ ગતિઊર્જા.
વિખંડન માટે જરૂરી ગતિઊર્જા = 2 × \(\frac {3}{2}\)K_BT
K = 2 × \(\frac {3}{2}\)K_BT ∴ K = 3K_BT
7.68 × 10^-14 = 3 × 1.38 × 10^-23T
∴ T = \(\frac{7.68 \times 10^{-14}}{3 \times 1.38 \times 10^{-23}}\)
∴ T ≈ 1.85 × 10⁹ K

પ્રશ્ન 29.
આકૃતિમાં દર્શાવેલ ક્ષય પ્રક્રિયામાં β-કણોની મહત્તમ ગતિઊર્જા અને γ-ક્ષયની વિકિરણ આવૃત્તિઓ શોધો. તમને નીચેની વિગતો આપેલ છે.
m(\({ }_{79}^{198} \mathrm{Hg}\)) = 197.968233 u
m(\({ }_{79}^{198} \mathrm{Hg}\)) = 197.966760 u

ઉત્તર:
γ-વિકિરણની ઊર્જા
E = hv
∴ v = \(\frac{E}{h}\)
∴ v(γ₁) = \(\frac{\mathrm{E}_2-\mathrm{E}_1}{h}\)
= \(\frac{(1.088-0) \times 1.6 \times 10^{-13}}{6.625 \times 10^{-34}}\)
= 0.26276 × 10²¹
≈ 2.627 × 10²⁰ Hz
અને v(γ₂) = \(\frac{(0.412-0) \times 1.6 \times 10^{-13}}{6.625 \times 10^{-34}}\)
= 0.0995 × 10²¹
≈ 9.95 × 10¹⁹ Hz
તથા v(γ₃) = \(\frac{(1.088-0.412) \times 1.6 \times 10^{-13}}{6.63 \times 10^{-34}}\)
= \(\frac{1.0816 \times 10^{-13}}{6.625 \times 10^{-34}}\)
= 0.16326 × 10²¹
≈ 1.632 × 10²⁰ Hz

= [0.001473 × 931.5 1.088] MeV
= [1.372 – 1.088] MeV
= 0.284 MeV

= [0.001473 × 931.5 0.412] MeV
= [1.372 – 0.412] MeV
= 0.960 MeV

પ્રશ્ન 30.
(a) સૂર્યમાં ઊંડે 1kg હાઇડ્રોજનના સંલયનમાં અને
(b) વિખંડન રિએક્ટરમાં 1 kg \({ }_{92}^{235} \mathrm{U}\) ના વિખંડનમાં વિમુક્ત થતી (બહાર પડતી) ઊર્જા ગણો અને સરખાવો.
ઉત્તર:
(a) ચાર હાઇડ્રોજનના ન્યુક્લિયર સંલયન થવાથી એક હિલિયમનો ન્યુક્લિયસ બને અને 26 MeV ઊર્જા મુક્ત થાય છે.
⇒ 1 kg હાઇડ્રોજનના સંલયનથી મુક્ત થતી ઊર્જા,
E₁ = \(\frac{6 \times 10^{23} \times 26 \mathrm{MeV} \times 1000}{4}\) [∵ m = 1 kg = 10³ g]
= \(\frac{6 \times 10^{23} \times 26 \times 10^3}{4}\) [∵ N_A = 6 × 10²³]
∴ E₁ = 39 × 10²⁶ MeV

(b) \({ }_{92}^{235} \mathrm{U}\) ના એક ન્યુક્લિયસના વિખંડનથી 200 MeV ઊર્જા મુક્ત થાય.
∴ 1 kg યુરેનિયમના વિખંડનથી મુક્ત થતી ઊર્જા,
E₂ = \(\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{A}} \times 200 \times m}{\mathrm{~A}}\)MeV
= \(\frac{6 \times 10^{23} \times 200 \times 10^3}{235}\)MeV
= 5.10638 × 10²⁶ MeV
≈ 5.11 × 10²⁶ MeV
\(\frac{\mathrm{E}_1}{\mathrm{E}_2}=\frac{39 \times 10^{26}}{5.11 \times 10^{26}}\) = 7.632 ≈ 8
∴સંલયનની ઊર્જા, વિખંડનની ઊર્જા કરતાં લગભગ 8 ગણી છે.

પ્રશ્ન 31.
ધારો કે ઈ.સ. 2020 સુધીમાં ભારતનું લક્ષ્ય 2,00,000 MW વિધુતપાવર ઉત્પન્ન કરવાનું છે અને તેમાંથી દસ ટકા ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટમાંથી મેળવવાનું છે. ધારો કે આપણને આપેલ છે કે સરેરાશપણે રિએક્ટરમાં ઉત્પન્ન થયેલી ઉષ્માઊર્જાના વપરાશની કાર્યક્ષમતા (એટલે કે વિદ્યુતઊર્જામાં રૂપાંતર) 25 % છે. તો 2020 સુધીમાં દેશને વિખંડનીય યુરેનિયમના કેટલા જથ્થાની જરૂર પડે ? \({ }_{92}^{235} U\) ના દર વિખંડન દીઠ ઉષ્મા ઊર્જા લગભગ 200 MeV લો.
ઉત્તર:
ઈ.સ. 2020 સુધીમાં
વિદ્યુત પાવર ઉત્પન્ન કરવાનું લક્ષ્ય = 200000 MW
= 2 × 10¹¹ W
ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટમાંથી મળતો પાવર
= 2 × 10¹¹ ના 10%
= 2 × 10¹¹ × \(\frac{10}{100}\)
= 2 × 10¹⁰ W
દર વર્ષના ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટ માટે જરૂરી ઊર્જા
= પાવર × સમય
= 2 × 10¹⁰ × 3.154 × 10⁷ s
= 6.308 × 10¹⁷ J
⇒ વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઊર્જા = 200 MeV
પ્રત્યેક યુરેનિયમના વિખંડનથી મળતી ઊર્જાનું વિદ્યુત ઊર્જામાં રૂપાંતર
= 200 MeV ના 25 %
= 200 MeV × \(\frac{25}{100}\)
= 50 MeV
= 50 × 10⁶ × 1.6 × 10^-19 J
= 80 × 10^-13 J = 8 × 10^-12 J
એક વર્ષમાં યુરેનિયમના ન્યુક્લિયસના વિખંડનની સંખ્યા
= \(\frac{6.308 \times 10^{17}}{8 \times 10^{-12}}\)
= 0.7885 × 10²⁹
≈ 7.89 × 10²⁸
⇒ યુરેનિયમની જરૂરી મોલ સંખ્યા = \(\frac{7.89 \times 10^{28}}{6.023 \times 10^{23}}\)
= 1.309978 × 10⁵
≈ 1.309 × 10⁵
⇒ જરૂરી યુરેનિયમનું દળ (જથ્થો)
= મોલ સંખ્યા × પરમાણુક્રમાંક
= 1.309 × 10⁵ × 235 g
= 307.60 × 10⁵ g
≈ 3.0760 × 10⁴ × 10³ g
= 3.076 × 10⁴ kg

GSEB Class 12 Physics ન્યુક્લિયસ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
1 વર્ષ અર્ધઆયુ ધરાવતા રેડિયો ઍક્ટિવ પદાર્થના પ્રારંભમાં દરેકમાં 10,000 અણુઓ હોય એવા મોટી સંખ્યામાં પાત્રો ધારીએ. 1 વર્ષ પછી,
(A) બધા જ પાત્રો પદાર્થના 5000 અણુઓ ધરાવશે.
(B) બધા જ પાત્રો પદાર્થના સમાન સંખ્યામાં અણુઓ ધરાવશે કે જે સંખ્યા આશરે 5000 હશે.
(C) સામાન્ય રીતે પાત્રોમાં અસમાન સંખ્યામાં અણુઓ હશે પણ તેમની સરેરાશ આશરે 5000 ની નજીકમાં હશે.
(D) કોઈ પણ પાત્રમાં 5000 અણુઓથી વધુ ન હોઈ શકે.
જવાબ
(C) સામાન્ય રીતે પાત્રોમાં અસમાન સંખ્યામાં અણુઓ હશે પણ તેમની સરેરાશ આશરે 5000 ની નજીકમાં હશે.

• રેડિયો ઍક્ટિવિટીની પ્રક્રિયા સ્વયંભૂ, આપમેળે થતી વિભંજનની પ્રક્રિયા છે અને અર્ધજીવનકાળ 1 વર્ષ છે. તેથી શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા એક વર્ષ (એટલે અર્ધજીવનકાળ જેટલા સમયમાં)માં અડધા વિભંજન પામે અને અડધી સંખ્યા બાકી રહે.
  ∴ શરૂઆતમાં 10000 પરમાણુઓ છે તેથી એક વર્ષ પછી તેના અડધા એટલે 5000 પરમાણુઓની નજીક હશે.
• ⇒ વિકલ્પ (C) સાચો છે.

પ્રશ્ન 2.
એક H-પરમાણુ અને m દ્રવ્યમાન ધરાવતા કણ વચ્ચે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન્યૂટનના નિયમ પ્રમાણે આપી શકાય. જ્યાં M એ H-પરમાણુનું દળ છે.
F = G\(\frac{M \cdot m}{r^2}\) જ્યાં r કિમીમાં છે.
અને
(A) M = m_{પ્રોટ્રૉન} + m_{ઇલેક્ટ્રૉન}
(B) M = m_{પ્રોટ્રૉન}પ્રોટ્રૉન + M_{ઇલેક્ટ્રૉન} – \(\frac{\mathrm{B}}{c^2}\)(B = 13.6 eV)
(C) હાઇડ્રોજનના પરમાણુના દ્રવ્યમાન સાથે M કોઈ સંબંધ ધરાવતો નથી.
(D) M = m_{પ્રોટ્રોન} + m_{લેક્ટ્રોન}– \(\frac{|\mathrm{V}|}{c^2}\) (|V| = H-પરમાણુમાં આવેલ ઇલેક્ટ્રૉનની સ્થિતિઊર્જાનું મૂલ્ય)
જવાબ
(B) M = m_{પ્રોટ્રૉન}પ્રોટ્રૉન + M_{ઇલેક્ટ્રૉન} – \(\frac{\mathrm{B}}{c^2}\)(B = 13.6 eV)

• મુક્ત અવસ્થામાં m_p અને m_e જેટલું દળ ધરાવતા પ્રોટ્રૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન ભેગા થઈ M દળવાળો H-પરમાણુ રચે છે
  ત્યારે દળ ક્ષતિ,
  Δm = (m_p + m_e) – M ………… (1)
• ઉપરોક્ત ક્રિયામાં છૂટી પડતી ઊર્જા = બંધનઊર્જાનું માનાંક B હોવાથી અત્રે,
  B = (Δm)c²
  ∴ Δm = \(\frac{\mathrm{B}}{c^2}\) ……….. (2)
  સમીકરણો (1) અને (2) પરથી,
  \(\frac{\mathrm{B}}{c^2}\) = (m_p + m_e)-M
  ∴ M = (m_p + m_e) – \(\frac{\mathrm{B}}{c^2}\)
  ∴ M = m_{્રોટ્રૉન} + m_{ઇલેક્ટ્રૉન} – \(\frac{\mathrm{B}}{c^2}\)
  ⇒ વિકલ્પ (B) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
જ્યારે કોઈ એક પરમાણુનું ન્યુક્લિયસ રેડિયો એક્ટિવ ક્ષય પામે, તે પરમાણુની ઇલેક્ટ્રૉનિક ઊર્જાકક્ષાઓ,
(A) કોઈ પણ પ્રકારની રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે બદલાશે નહીં.
(B) α અને β-રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે બદલાશે પણ ?-રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે નહીં
(C) α-રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે બદલાશે પણ બીજા માટે નહીં.
(D) β-રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે બદલાશે પણ બીજા માટે નહીં.
જવાબ
(B) α અને β-રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે બદલાશે પણ જ-રેડિયો ઍક્ટિવિટી માટે નહીં

• પરમાણુના ઇલેક્ટ્રૉનિક ઊર્જા સ્તરો નીચેના સમીકરણ વડે રજૂ થાય છે.
  E_n = – \(\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}\)
• અત્રે E_n ના મૂલ્યો ન્યુક્લિયસના વિદ્યુતભાર (Ze) પર આધારિત છે. (જયાં Z = તત્ત્વનો પરમાણુક્રમાંક ન્યુક્લિયસમાં આવેલા પ્રોટૉન્સની સંખ્યા)
• અત્રે γ-ઉત્સર્જનમાં Z બદલાતો નથી પરંતુ α અને β ઉત્સર્જનમાં Z બદલાય છે તેથી α અને β ઉત્સર્જનમાં જ પરમાણુમાં n મા ઊર્જાસ્તરમાં ઇલેક્ટ્રૉનની કુલ ઊર્જા E_n બદલાવાથી પરમાણુના ઇલેક્ટ્રૉનિક ઊર્જા સ્તરો બદલાય છે.
  ⇒ વિકલ્પ (B) સાચો છે.

પ્રશ્ન 4.
એક રેડિયો એક્ટિવ ક્ષયમાં જનક ન્યુક્લિયસ અને જનિત ન્યુક્લિયસના પરમાણ્વીય દળ અનુક્રમે M_x અને M_y દર્શાવ છે. β^– ના ક્ષયનું Q-મૂલ્ય Q₁ અને β⁺ ના ક્ષયનું Q-મૂલ્ય Q₂ છે. જો ઇલેક્ટ્રૉનના દ્રવ્યમાનને m_e વડે દર્શાવીએ, તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે ?

ન્યુક્લિયર પ્રક્રિયાનું Q-મૂલ્ય નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે.
Q-મૂલ્ય = (પ્રક્રિયકોનું કુલ દળ – નીપજોનું કુલ દળ)c² ………….. (1)
(i) β^– ઉત્સર્જન વખતે જનક ન્યુક્લિયસમાંના એક ન્યુટ્રૉનનું પ્રોટ્રૉનમાં રૂપાંતર થતું હોવાથી જનિત ન્યુક્લિયસનો પરમાણુક્રમાંક, જનક ન્યુક્લિયસના પરમાણુક્રમાંક કરતાં એક એકમ જેટલો વધારે મળે છે તેથી આ પ્રક્રિયા,

ઉપરોક્ત પ્રક્રિયાનું Q-મૂલ્ય Q₁ હોવાથી સમીકરણ (1) પરથી,

નોંધ : અત્રે પરમાણુદળાંક A = Z + N માં ઉપરોક્ત કિસ્સામાં ન્યુક્લિયસમાં એક ન્યુટ્રૉન અવશ્યપણે ઘટે છે પરંતુ સામે એક વધારાનો પ્રોટ્રૉન મળતો હોવાથી A = Z + N = અચળ રહે છે.

(ii) β⁺ ઉત્સર્જન વખતે જનક ન્યુક્લિયસમાંના એક પ્રોટ્રૉનનું ન્યુટ્રૉનમાં રૂપાંતર થતું હોવાથી જનિત ન્યુક્લિયસનો પરમાણુક્રમાંક, જનક ન્યુક્લિયસના પરમાણુક્રમાંક કરતાં એક એકમ જેટલો ઓછો મળે છે તેથી આ પ્રક્રિયા,

નોંધ : અત્રે, ઉપરોક્ત પ્રક્રિયામાં એક પ્રોટ્રૉનનું રૂપાંતર, ન્યુટ્રૉન અને પૉઝિટ્રૉનમાં થાય છે તેથી પરમાણુદળાંક A = Z + N = અચળ રહે છે કારણ કે Zનું મૂલ્ય 1 જેટલું ઘટે છે અને બદલામાં Nનું મૂલ્ય 1 જેટલું વધે છે.
સમીકરણો (4) અને (12) પરથી અંતિમ જવાબ = વિકલ્પ (A)

પ્રશ્ન 5.
ટ્રિટિયમ (Tritium) એ હાઇડ્રોજનનો એવો આઇસોટોપ છે કે, જેના ન્યુક્લિયસ ટ્રાઇટોન (Triton) માં 2 ન્યુટ્રોન અને 1 પ્રોટોન હોય છે. મુક્ત ન્યુટ્રોન p + \(\bar{e}+\bar{v}\) માં ક્ષય પામે છે. જો ટ્રાઇટોનમાંનો કોઈ એક ન્યુટ્રોન ક્ષય પામે, તો તે He³ ન્યુક્લિયસમાં રૂપાંતર પામશે. પણ એવું બનતું નથી. કારણ કે,
(A) ટ્રાઇટ્રોનની ઊર્જા એ એક He⁺³ ન્યુક્લિયસની ઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.
(B) બીટા ક્ષયની પ્રક્રિયા દરમિયાન સર્જાતો ઇલેક્ટ્રૉન ન્યુક્લિયસમાં રહી શકે નહીં.
(C) ટ્રાઇટોનના બંને ન્યુટ્રૉન એક સાથે ક્ષય પામશે અને 3 પ્રોટોન ધરાવતા ન્યુક્લિયસમાં પરિણમશે, જે He⁺³ નો ન્યુક્લિયસ નથી.
(D) કારણ કે મુક્ત ન્યુટ્રૉન બાહ્ય પ્રતિક્રિયાઓને કારણે ક્ષય પામે છે કે, જે ટ્રાઇટોનના ન્યુક્લિયસમાં ગેરહાજર હોય છે.
જવાબ
(A) ટ્રાઇટોનની ઊર્જા એ એક He⁺³ ન્યુક્લિયસની ઊર્જા કરતાં ઓછી હોય છે.
ટ્રાઇટોનની કુલ ઊર્જા, ₂He³ ન્યુક્લિયસની કુલ ઊર્જા કરતાં ઓછી છે તેથી ટ્રાઇટોનની બંધનઊર્જા, ₂He³ ન્યુક્લિયસની બંધનઊર્જા કરતાં વધારે છે અર્થાત્ ટ્રાઇટોન, પહેલેથી ₂He³ ન્યુક્લિયસ કરતાં વધારે સ્થાયી છે તેથી રૂપાંતર, પ્રમાણમાં ઓછા સ્થાયી એવા ₂He³ ન્યુક્લિયસમાં થતું નથી. તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.

પ્રશ્ન 6.
ભારે સ્થાયી ન્યુક્લિયસો પ્રોટોન કરતાં વધુ ન્યુટ્રૉન ધરાવે છે. આનું કારણ એ હકીકત છે કે,
(A) પ્રોટોન કરતાં ન્યુટ્રૉન ભારે હોય છે.
(B) પ્રોટોન વચ્ચે સ્થિત વિદ્યુત બળ અપાકર્ષી હોય છે.
(C) ન્યૂટ્રૉન્સ બીટા (β) ક્ષય દ્વારા પ્રોટ્રૉનમાં ક્ષય પામે છે.
(D) ન્યુટ્રૉન વચ્ચેનાં ન્યુક્લિયર બળો પ્રોટોન વચ્ચેનાં બળો કરતાં નબળાં હોય છે.
જવાબ
(B) પ્રોટોન વચ્ચે સ્થિત વિદ્યુત બળ અપાકર્ષી હોય છે.
ન્યુક્લિયસની અંદર પ્રોટૉન્સ વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુતીય બળ, અપાકર્ષણ પ્રકારનું અને વળી પાછું ગુરુઅંતરીય હોવાથી તેને સમતોલવા માટે ન્યુક્લિયસની અંદર આકર્ષણ પ્રકારનું ન્યુક્લિયર બળ વધવું જોઈએ (તો જ ન્યુક્લિયસ સ્થાયી રહી શકે) આ માટે ન્યુક્લિયસમાં ન્યૂટ્રૉન્સની સંખ્યા, પ્રોટૉન્સ કરતાં વધવી જોઈએ. તેથી વિકલ્પ (B) સાચો છે.

પ્રશ્ન 7.
ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં, વિખંડન (fission) પ્રક્રિયા દરમિયાન બહાર આવતા ન્યુટ્રોનને મોડરેટર (moderator) ધીમા પાડે છે. વપરાતા મોડરેટર હલકા ન્યુક્લિયસ ધરાવે છે. ભારે ન્યુક્લિયસ આ હેતુ સિદ્ધ કરતા નથી કારણ કે,
(A) તે તૂટી જશે.
(B) ન્યુટ્રૉનનો ભારે ન્યુક્લિયસ સાથેનો સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત તેને ધીમો નહીં પાડે.
(C) રિઍક્ટરનું પરિણામી વજન અસહનીય રીતે વધી જશે.
(D) ઓરડાના તાપમાને પ્રવાહી અથવા વાયુ-અવસ્થામાં ભારે ન્યુક્લિયસવાળા પદાર્થો બનતા નથી.
જવાબ
(B) ન્યુટ્રૉનનો ભારે ન્યુક્લિયસ સાથેનો સ્થિતિસ્થાપક સંઘાત તેને ધીમો નહીં પાડે.
વિખંડન પ્રક્રિયામાં ઉદ્ભવતા, પ્રચંડ વેગથી ગતિ કરતા ન્યૂટ્રૉન્સને ધીમા પાડવા માટે તેમની અથડામણો મૉડરેટર્સના ન્યુક્લિયસો સાથે, “Head on” પ્રકારની થવી જોઈએ જેથી ઊર્જાનો વિનિમય મહત્તમ થાય. આ માટે મૉડરેટર્સના ન્યુક્લિયસોની સાઇઝ, આશરે ન્યૂટ્રૉન્સની સાઇઝ જેટલી હોવી જરૂરી છે અર્થાત્ મૉડરેટર્સના ન્યુક્લિયસો પ્રમાણમાં હલકાં હોવાં જોઈએ, ભારે નહીં. તેથી વિકલ્પ (B) સાચો છે.

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
સામાન્ય તાપમાને અને દબાણે, બે ડ્યુટેરોન (deuteron) ને ભેગા કરી Heનો ન્યુક્લિયસ બનાવવા જેવી સંલયન પ્રક્રિયાઓ શક્ય નથી. આનું કારણ એ હકીકત પરથી શોધી શકાય કે,
(A) ન્યુક્લિયર બળો લઘુ અંતરીય હોય છે.
(B) ન્યુક્લિયસ ધનભારિત હોય છે.
(C) સંલયન થાય તે પહેલાં મૂળ ન્યુક્લિયસે સંપૂર્ણ આયોનાઇઝ (ionise) થવું પડે.
(D) એકબીજા સાથે જોડાતા પહેલાં મૂળ ન્યુક્લિયસે તૂટવું જ પડે.
જવાબ (A, B)
સામાન્ય તાપમાને અને દબાણે સંલયન (બે ડ્યુટેરોન ભેગા થવાની) પ્રક્રિયા અશક્ય છે, કારણ કે He નો ન્યુક્લિયસ ધન વિદ્યુતભારિત હોય છે અને ન્યુક્લિયર બળ, પ્રબળ પ્રવર્તતું હોય છે તથા આ બળ લઘુઅંતરીય બળ છે તેથી વિકલ્પ (A) અને (B) સાચા છે.

પ્રશ્ન 2.
બે રેડિયો એક્ટિવ ન્યુક્લાઇડ A અને B ના નમૂના લેવામાં આવે છે. તેમના ક્ષયનિયતાંકો અનુક્રમે λ_A અને λ_B છે. નીચેનામાંથી કયા કિસ્સાઓમાં, કોઈ પણ સમયે બંને નમૂનાઓના ક્ષય-દર એકસાથે સમાન થાય ?
(A) A નો પ્રારંભિક ક્ષય-દર એ B ના પ્રારંભિક ક્ષય-દર કરતાં બમણો હોય અને λ_A = λ_B
(B) A નો પ્રારંભિક ક્ષય-દર એ B ના પ્રારંભિક ક્ષય-દર કરતાં બમણો હોય અને λ_A > λ_B
(C) B નો પ્રારંભિક ક્ષય-દર એ Aના પ્રારંભિક ક્ષય-દર કરતાં બમણો હોય અને λ_A > λ_B
(D) t = 2h સમયે B નો પ્રારંભિક ક્ષય-દર A ના પ્રારંભિક ક્ષય- દર જેટલો જ હોય અને λ_B < λ_A
જવાબ (B, D)

• જો A નો પ્રારંભિક ક્ષય-દ૨ એ B ના પ્રારંભિક ક્ષય-દર કરતાં બમણો હોય અને λ_A > λ_B હોય તો કોઈ પણ સમયે બંને નમૂનાઓના ક્ષય દર વારાફરતી સમાન થાય. તેથી વિકલ્પ (B) સાચો.
• જ્યારે નો પ્રારંભિક ક્ષય-દર t = 2 કલાકે A ના પ્રારંભિક ક્ષય-દર જેટલો થાય અને λ_B < λ_A હોય તો બંને નમૂનાઓના ક્ષય-દર સમાન થાય તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
બે રેડિયો એક્ટિવ નમૂના A અને B ના ક્ષય-દરના સમય સાથેના ફેરફારને આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. નીચેનામાંથી કયાં વિધાનો સાચાં છે?

(A) A નો ક્ષયનિયતાંક B કરતાં વધુ છે, માટે A હંમેશાં B કરતાં ઝડપથી ક્ષય પામશે.
(B) B નો ક્ષયનિયતાંક A કરતાં વધુ છે, પણ તેનો ક્ષય-દર A કરતાં તો હંમેશાં નાનો જ રહેશે.
(C) A નો ક્ષયનિયતાંક B કરતાં વધુ છે, પણ તે હંમેશાં B કરતાં ઝડપથી ક્ષય નથી પામતો.
(D) B નો ક્ષયનિયતાંક A કરતાં નાનો છે, પણ હજુ થોડા સમય પછી તેનો ક્ષય-દર A ના ક્ષય-દર જેટલો થાય છે.
જવાબ (C, D)

• આલેખ પરથી વક્ર A નો ઢાળ, વક્ર B ના ઢાળ કરતાં વધારે હોવાથી A નો વિભંજન દર B ના વિભંજન દર કરતાં વધારે માટે A હંમેશાં B કરતાં ઝડપથી ક્ષય પામશે. તેથી વિકલ્પ (C) સાચો છે.
• જે સમયે A અને B ના વક્રો એકબીજાને છેદે ત્યારે બંનેના ક્ષય-દર સમાન થાય છે. તેથી વિકલ્પ (D) સાચો છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
\(\mathbf{H} e_2^3\) અને \(\mathbf{H} e_1^3\) ના ભારાંક સમાન હોય છે. શું તેમની બંધનઊર્જા પણ સમાન હશે ?
ઉત્તર:
ના, ₁H³ ની બંધનઊર્જા, ₂He³ ની બંધનઊર્જા કરતાં વધારે હોય છે કારણ કે ₁H³ માં બે ન્યૂટ્રૉન્સ આવેલા છે જ્યારે ₂He³ માં એક જ ન્યુટ્રૉન આવેલો છે. આમ, ₁H³ માં ન્યુક્લિયર બળનું પ્રમાણ વધારે હોવાથી તેમાંના ન્યુક્લિયોન્સ વધારે બંધનઊર્જાથી બંધાયેલા હોયછે.

પ્રશ્ન 2.
ક્ષય દરના ફેરફાર સાથેનો સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:

• સૂત્રાનુસાર,
  I = – λ N
  ∴ I = ( – λ) N + 0
• ઉપરોક્ત સમીકરણનું સ્વરૂપ સુરેખાના સમીકરણ y = mx + c જેવું છે તેથી I → N નો આલેખ નીચે પ્રમાણે સુરેખ મળે છે, જેનો ઢાળ (- λ) જેટલો હોય છે.

• અત્રે આલેખ ચોથા ચરણમાં મળશે કારણ કે N ધન છે અને I ઋણ છે.

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવલ નમૂના A અને B માંથી કોની સરેરાશ આયુ ટૂંકી છે ?

ઉત્તર:
અત્રે A ની સરખામણીમાં B તત્ત્વની ઍક્ટિવિટી વધારે ઝડપથી ઘટે છે તેથી λ_B > λ_A મળશે. → τ_B < τ_A
(∵ સરેરાશ જીવનકાળ τ = \(\frac{1}{\lambda}\)

પ્રશ્ન 4.
નીચેનામાંથી કોણ વિકિરણ ઉત્સર્જિત નથી કરી શકતું અને શા માટે ? ઉત્તેજિત ન્યુક્લિયસ, ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રોન.
ઉત્તર:
ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રૉન, સંક્રાંતિ કરીને અનુત્તેજિત અવસ્થામાં જાય ત્યારે તે માત્ર eVના ક્રમની જ ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરી શકે છે જે ગેમા વિકિરણના ઉત્સર્જન માટેની જરૂરી MeV ના ક્રમની ઊર્જા કરતાં ખૂબ જ ઓછી છે તેથી ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રૉન કદાપિ Y-વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરી શકતો નથી.

પ્રશ્ન 5.
જોડકા વિલય (pair annihilation)માં, γ વિકિરણ ઉત્પન્ન કરવા માટે ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન એકબીજાનો વિનાશ કરે છે, તો શું તેમના વેગમાનનું સંરક્ષણ થશે ?
ઉત્તર:

• ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝિટ્રૉન, સરખી ઝડપથી એકબીજા તરફ ગતિ કરીને વિલીનીકરણ પામે છે ત્યારે તેમનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન mvî + mv(- î) = mvî – mvî = \(\overrightarrow{0}\)
• અત્રે ઉત્સર્જાતા γ-ફોટોનના વેગમાનો સમાન મૂલ્યના અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તેમનું કુલ અંતિમ વેગમાન = \(\frac{h}{\lambda} \hat{i}+\frac{h}{\lambda}(-\hat{i})=\overrightarrow{0}\) થાય છે. આમ, કુલ વેગમાન અચળ
  રહેતું હોવાથી વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.
• (નોંધ : અત્રે વેગમાનના માનાંકોનો સરવાળો પ્રારંભમાં 2 mv જેટલો છે અને અંતમાં આ સરવાળો \(\frac{2 h}{\lambda}\)
  જેટલો થાય છે. આ બંને મૂલ્યો સમાન છે કારણ કે \(\frac{2 h}{\lambda}=\frac{2 h}{h / m v}\) = 2 mv)

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
સ્થાયી ન્યુક્લિયસમાં શા માટે પ્રોટોનની સંખ્યા ન્યુટ્રૉન કરતાં વધુ નથી હોતી ?
ઉત્તર:
કારણ કે વધારે પ્રોટૉન્સ વડે ઉદ્ભવેલા વધારે કુલંબીય અપાકર્ષણ બળોને ઓછા ન્યૂટ્રૉન્સ વડે લગાડવામાં આવતાં આકર્ષણ પ્રકારના ન્યુક્લિયર બળો સમતોલી શકે નહીં અને તેથી ન્યુક્લિયસ સ્થાયી રહી શકે નહીં.

પ્રશ્ન 2.
એક રેડિયો ઍક્ટિવ ન્યુક્લિયસ A નીચેના ક્રમ પ્રમાણે ક્ષય પામીને સ્થાયી ન્યુક્લિયસ C બને છે, તેવું ધ્યાનમાં લો.
A → B → C
અહીં, B એ વચગાળાનું ન્યુક્લિયસ છે જે પણ રેડિયો એક્ટિવ છે. પ્રારંભમાં A ના N₀ અણુઓ ધ્યાનમાં લેતા, સમય સાથે A અને B ના અણુઓની સંખ્યાનો ફેરફાર દર્શાવતો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:

• આપેલ રેડિયો ઍક્ટિવ ક્ષય નીચે મુજબ છે.
  A→ B→ C જ્યાં C સ્થાયી છે.
  t = 0 સમયે N_A = N₀ અને N_B = 0
• જેમ સમય વધે છે તેમ N_A ચરઘાતાંકીય રીતે ઘટીને અનંત સમયે શૂન્ય થાય છે.
• સમય વધતાં B ના પરમાણુઓ વધીને મહત્તમ બને છે અને છેલ્લે ક્ષયના નિયમને અનુસરીને ચરઘાતાંકીય નિયમ અનુસાર અનંત સમયે શૂન્ય બને છે.
• આમ, સમય સાથે A અને B ના પરમાણુઓની સંખ્યા વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનો મળે છે.

પ્રશ્ન 3.
એક પ્રાચીન ઇમારતના ખંડેરમાંથી મળેલા લાકડાના ટુકડામાં 12 વિખંડન પ્રતિ મિનિટ પ્રતિ ગ્રામ ઍક્ટિવિટી ધરાવતું ¹⁴C મળ્યું હતું. જીવંત લાકડાના ¹⁴C ની એક્ટિવિટી 16 વિખંડન પ્રતિ મિનિટ પ્રતિ ગ્રામ હોય છે. જે વૃક્ષમાંથી આ લાકડાનો નમૂનો લેવામાં આવ્યો હશે તે વૃક્ષ કેટલા સમય પહેલાં મૃત થયું હશે ? ¹⁴Cની અર્ધવાયુ 5760 વર્ષ છે.
ઉત્તર:
ચરઘાતાંકીય નિયમાનુસાર,
R = R₀e^-λt
∴ 12 = 16e^-λt
∴ \(\frac{12}{16}\) = e^-λt
∴ e^λt = \(\frac{16}{12}\) = 1.333
∴ λt ln e = ln (1.333)
∴ λt (1) = 2.303 log(1.333)
∴ \(\frac{0.693}{\tau_{1 / 2}}\) × t = (2.303) (0.1249)
∴ t = \(\frac{(2.303)(0.1249)\left(\tau_{1 / 2}\right)}{0.693}\)
∴ t = \(\frac{(2.303)(0.1249)(5760)}{0.693}\)
∴ t = 2390.8 વર્ષ
∴ t ≈ 2391 વર્ષ

પ્રશ્ન 4.
શું ન્યુક્લિઓન મૂળભૂત કણો છે અથવા તે હજુ નાના ભાગોનો બનેલો છે ? રધરફર્ડે જે રીતે પરમાણુને ચકાસેલો તે જ રીતે ન્યુક્લિઓનને ચકાસવા તે આ બાબતને શોધવાની એક રીત છે. ન્યુક્લિઓનને ચકાસવા માટે ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા કેટલી હોવી જોઈએ ? ન્યુક્લિઓનનો વ્યાસ આશરે 10^-15 m ધારવો.
ઉત્તર:

• ના, ન્યુક્લિઓન એ ન્યુટ્રૉન અને પ્રોટ્રૉનનો બનેલો છે તેથી તે મૂળભૂત કણો નથી પણ ન્યુટ્રૉન અને પ્રોટ્રૉન એ દરેક ક્વાકર્સ તરીકે ઓળખાતા સૂક્ષ્મ એવા મૂળભૂત કણોના બનેલા છે.
• ન્યુક્લિઓનમાં અલગ બે વિભાગોની પરખ નક્કી કરવા ઇલેક્ટ્રૉનની તરંગલંબાઈ 10^– m જેટલી કે તેનાથી ઓછી હોવી જોઈએ.
  ∴ ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
  K = pc
  = \(\frac{h c}{\lambda}\) [∵ p = \(\frac{h}{\lambda}\)
  = \(\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{10^{-15}}\) જૂલ
  ≈ 109 eV અથવા 1 GeV

પ્રશ્ન 5.
જો Z₁ = N₂ અને Z₂ = N₁ હોય, તો ન્યુક્લાઇડ 1 એ ન્યુક્લાઇડ 2 ને અરીસીય સમદળીય (mirror isobar) કહી શકાય. (a) \({ }_{11}^{23} \mathrm{Na}\) નો અરીસીય સમદળીય ન્યુક્લાઇડ કયો થશે ? (b) આપેલ બે અરીસીય સમદળીયોમાંથી ચો ન્યુક્લાઇડ વધુ બંધન-ઊર્જા ધરાવે છે અને શા માટે ?
ઉત્તર:
(a) ન્યુક્લાઇડ 1 ને \(\mathrm{z}_1 \mathrm{X}^{\mathrm{A}_1}\) વડે દર્શાવતા \(\mathrm{z}_1 \mathrm{X}^{\mathrm{A}_1}\) = ₁₁Na²³
∴ A₁ = Z₁ + N₁
∴ 23 = 11 + N₁
∴ N₁ = 12
∴ Z₂ = 12 ( ∵ Z₂ = N₁)
⇒ અનુરૂપ તત્ત્વ “મૅગ્નેશિયમ” (Mg) હશે.
તથા N₂ = Z₁ હોવાથી N₂ 11 બનશે.
આમ \(\mathrm{z}_1 \mathrm{X}^{\mathrm{A}_1}\) = ₁₁Na²³ નું mirror isobar
\(\mathrm{Z}_2 \mathrm{Y}^{\mathrm{A}_2}=\mathrm{Z}_2 \mathrm{Y}^{\mathrm{N}_2+\mathrm{Z}_2}\) = ₁₂Mg^{11 + 12} = ₁₂Mg²³
બનશે.

(b) અત્રે ₁₁Na²³ એ ન્યુક્લાઇડ 1 છે જેમાં ન્યૂટ્રૉન્સની સંખ્યા N₁ = A₁ – Z₁ = 23 – 11 = 12 છે, જ્યારે ₁₂Mg²³ એ ન્યુક્લાઇડ 2 છે જેમાં ન્યૂટ્રૉન્સની સંખ્યા N₂ = A₂ – Z₂ = 23 – 12 = 11 છે. આમ, N₁ > N₂ બનવાથી ₁₁Na²³ ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયર બળનું પ્રમાણ વધારે હશે જેથી તેની બંધનઊર્જા ₁₂Mg²³ ન્યુક્લિયસની બંધનઊર્જા કરતાં વધારે હશે.

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
એક રેડિયો એક્ટિવ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામે ત્યારે, બનતું ન્યુક્લિયસ પણ ક્યારેક રેડિયો એક્ટિવ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે,

ધારો કે, સમય t = 0 પર આપણે ³⁸S ના 1000 ન્યુક્લિયસથી શરૂઆત કરીએ. સમય t = 0 પર ³⁸Cl ની સંખ્યા શૂન્ય છે અને પાછી t = ∞ પર શૂન્ય થશે. કયા સમય t પર, સંખ્યા મહત્તમ થશે ?
ઉત્તર:

• સલ્ફરને પહેલાં તત્ત્વ તરીકે લેતાં,
  λ₁ = \(\frac{0.693}{\left(\tau_{1 / 2}\right)_1}\)
  ∴ λ₁ = \(\frac{0.693}{2.48}\) = 0.2794h^-1 ……………… (1)
• Cl ને બીજા તત્ત્વ તરીકે લેતાં,
  λ₂ = \(\frac{0.693}{\left(\tau_{1 / 2}\right)_2}\)
  ∴ λ₂ = \(\frac{0.693}{0.62}\) = 1.118h^-1……………. (2)
• અત્રે પહેલાં તત્ત્વ માટે ક્ષય દર (માનાંકમાં)
  \(\frac{d \mathrm{~N}_1}{d t}\) = λ₁N₁ …………… (3)
• બીજા તત્ત્વ માટે ક્ષય દર = – λ₂N₂
• અત્રે પહેલું તત્ત્વ, બીજા તત્ત્વમાં રૂપાંતર પામતું હોવાથી બીજા તત્ત્વના નિર્માણનો ચોખ્ખો દર \(\frac{d \mathrm{~N}_2}{d t}\) હોય તો,
  \(\frac{d \mathrm{~N}_2}{d t}\) = λ₁N₁ – λ₂N₂ ………….. (4)
• ધારો કે t_e સમયને અંતે બીજા તત્ત્વ માટે રેડિયો ઍક્ટિવ સંતુલન સ્થપાય છે એટલે કે આટલા સમયને અંતે બીજું તત્ત્વ જેટલા દરથી નિર્માણ પામે છે તેટલા જ દરથી ક્ષય પામે છે. આમ થાય તો બીજા તત્ત્વના નમૂનામાં તેના ન્યુક્લિયસોની સંખ્યા તે સમયે N₂ જેટલી મહત્તમ અને અચળ બને અને તેથી
  \(\frac{d \mathrm{~N}_2}{d t}\) = 0 બનશે.
  ∴ λ₁N₁ – λ₂N₂ = 0
  ∴ λ₁N₁ – λ₂N₂ ………….. (5)
• – સમીકરણ (4) પરથી,

• હવે t = 0 સમયે N₂ = 0 હોવાથી,

• અત્રે N₂ = મહત્તમ (max.) બને ત્યારે \(\frac{d \mathrm{~N}_2}{d t}\) = 0 બને છે.
  આય થવા માટે લાગતા સમયને સંતુલન સમય (equilibrium time) કહે છે. તેની સંજ્ઞા t_e છે.
  આ સમયે, બીજા તત્ત્વ માટે નિર્માણ દર અને ક્ષય દર સમાન બને છે.
  હવે, ઉપરોક્ત સમીકરણમાં t = t_e ત્યારે \(\frac{d \mathrm{~N}_2}{d t}\) = 0 મૂકતાં,

• સમીકરણ (10) માં કિંમતો મૂકતાં,

∴ t_e = 1.654 h

• નોંધ : Exemplar પુસ્તકમાં જવાબનો એકમ ખોટો છે.
• નોંધ : જો પરીક્ષામાં N₂ નું મહત્તમ મૂલ્ય પૂછે તો સમીકરણ (8) પરથી t = t_e અને N₂ (N₂)_max લેતાં,
  (N₂)_max = \(\frac{\lambda_1 N_0}{\lambda_2-\lambda_1}\left\{e^{-\lambda_1 t_e}-e^{-\lambda_2 t_e}\right\}\) …………….. (11)
• ઉપરોક્ત સમીકરણમાં
  λ₁ = \(\frac{0.693}{2.48}\) = 0.2794 h^-1
  λ₂ = \(\frac{0.693}{0.62}\) = 1.118 h^-1
  N₀ = 1000 (૨કમ પ્રમાણે)
  t_e = 1.654 h
  પ્રાકૃતિક લોગેરિધમનો પાયો e = 2.718 મૂકી સાદું રૂપ આપીને (N₂)_max ની કિંમત શોધી શકાય.

પ્રશ્ન 2.
ડ્યુટેરોન એ બંધનઊર્જા B = 2.2 MeV ધરાવતા ન્યુટ્રોન અને પ્રોટ્રોનની બંધિત (bound) અવસ્થા છે. ઊર્જા E ધરાવતા γ કિરણને ક્યુટેરોન પર તાકીને તેને તોડીને ન્યુટ્રોન + પ્રોટ્રોન એવી રીતે મેળવવા છે, કે જેથી n અને p બંને આપાત γ-કિરણની દિશામાં ગતિ કરે. જો E = B હોય, તો દર્શાવો કે આવું થઈ ન શકે. આ પ્રક્રિયા થવા માટે E એ B કરતાં કેટલું વધુ હોવું જોઈએ તેની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:

• અત્રે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસને B જેટલી જ ઊર્જા E આપવાથી પ્રોટ્રૉન (કણ-1) અને ન્યુટ્રૉન (કણ-2) એકબીજાથી મુક્ત થશે, પરંતુ આ માટે અપાયેલી બધી જ ઊર્જા વપરાઈ જતી હોવાથી તેમની પાસે કોઈ ગતિઊર્જા બાકી રહેતી નથી અને તેથી તેઓ ઉત્સર્જન પામી શકાતા નથી. આ બાબત નીચે મુજબ સાબિત કરી શકાય.
• ધારો કે E માંથી B જેટલી ઊર્જા ખર્ચાયા બાદ મુક્ત થયેલા પ્રોટ્રૉન અને ન્યુટ્રૉન અનુક્રમે P₁ અને p₂ જેટલા વેગમાનથી K₁ અને K₂ જેટલી ગતિઊર્જાઓ ગતિ કરે છે અને અનુક્રમે K ધારણ કરે છે. જો આમ થાય તો,
  E – B = K₁ + K₂ ……………. (1)
  ∴ E – B = \(\frac{p_1^2}{2 m}+\frac{p_2^2}{2 m}\) …………….. (2)
  (જ્યાં m_p ≈ m_n ≈ m)
• હવે વેગમાન સંરક્ષણના નિયમાનુસાર,
  P₁ + p₂ = p’ (૨કમ પ્રમાણે \(\overrightarrow{p^{\prime}}\left\|\overrightarrow{p_1}\right\| \overrightarrow{p_2}\)
• અત્રે ફોટોનનું વેગમાન,
  p’ = \(\frac{\dot{h}}{\lambda}=\frac{h}{(c / f)}=\frac{h f}{c}=\frac{\mathrm{E}}{c}\) ………………. (3)
  હોવાથી ઉપરોક્ત સમીકરણ અનુસાર P₁ + P₂ = \(\frac{E}{c}\) ………. (4)
• જો E = B હોય તો સમીકરણ (1) પરથી,
  \(\frac{p_1^2}{2 m}+\frac{p_2^2}{2 m}\) = 0
  ∴ \(p_1^2+p_2^2\) = 0
  ⇒ P₁ = 0 તથા p₂ = 0
  ⇒ ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસમાંથી પ્રોટ્રૉન અને ન્યુટ્રૉન, મુક્ત થઈને ઉત્સર્જન પામી શકશે નહીં.
• હવે, ધારો કે E = B + ΔE (જ્યાં ΔE << E)
  ∴ E – B = ΔΕ ……………….. (5)
• સમીકરણ (1) પરથી,
  ΔE = \(\frac{p_1^2}{2 m}+\frac{p_2^2}{2 m}\) [∵ સમીકરણ (4) પરથી P₂ = \(\) – p₁ મૂકતાં]

• સમીકરણ (6) નો ઉકેલ,
  p₁ = \(\frac{-\left(-\frac{E}{c}\right) \pm \sqrt{4 m \Delta \mathrm{E}-\frac{\mathrm{E}^2}{c^2}}}{2(1)}\)

પ્રશ્ન 3.
સ્થિત વિદ્યુત બળો વડે p અને e જોડાઈને જેમ H નો પરમાણુ બનાવે છે, તેમ ન્યુક્લિયર બળો વડે ડ્યુટેરોન બંધાયેલ છે. જો ડ્યૂટેરોનના ન્યુટ્રોન અને પ્રોટ્રૉન વચ્ચે લાગતા બળને કુલંબીય સ્થિતિમાનના સ્વરૂપમાં ધ્યાનમાં લઈએ અને અસરકારક વિધુતભાર e’ લઈએ, તો
F = \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^{\prime 2}}{r}\)
ડ્યુટેરોનની બંધનઊર્જા 2.2 MeV લઈને (\(\frac{\boldsymbol{e}^{\prime}}{\boldsymbol{e}}\)) ન અંદાજિત મૂલ્ય કરો.
ઉત્તર:

• H-પરમાણુની બંધનઊર્જા, સૂત્રાનુસાર
  E = \(\frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\) = 13.6 eV………….. (1)
• હવે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસને બાઇનરી તંત્ર તરીકે લેતાં ઉપરોક્ત સૂત્રમાં m ને બદલે m’ તથા eને બદલે e’ લેતાં ડ્યુટેરોનની બંધનઊર્જા,
  E’ = \(\frac{m^{\prime} e^{\prime 4}}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\) = 2.2 × 10⁶ eV …………. (2)
• સમીકરણો (2) અને (1) નો ગુણોત્તર લેતાં,
  \(\frac{m^{\prime}}{m_e} \times\left(\frac{e^{\prime}}{e}\right)^4=\frac{2.2 \times 10^6}{13.6}\) ………….. (3)
• અત્રે ડ્યુટેરોન ન્યુક્લિયસ જેવાં બાઇનરી તંત્ર માટે સમાનિત દળ,
  m’ = \(\frac{m_p \times m_n}{m_p+m_n}\)
  m’ = \(\frac{m \times m}{m+m}=\frac{m}{2}=\frac{1836 m_e}{2}\)
  ∴ m’ = 918 m_e ⇒ \(\frac{m^{\prime}}{m_e}\) = 918 ………… (4) (∵ m_p ≈ m_n = m = 1836 m_e)
• સમીકરણો (3) અને (4) પરથી,

પ્રશ્ન 4.
ન્યુટ્રોનની પૂર્વધારણા પહેલાં p-ક્ષયની પ્રક્રિયાને સંક્રાંતિ તરીકે વિચારતા હતા n → p + ē. જો આ સત્ય હોય, તો દર્શાવો કે ન્યુટ્રૉન સ્થિર હોય ત્યારે, ઇલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન
નિયત ઊર્જાઓ સાથે બહાર નીકળે છે અને આ ઊર્જાઓની ગણતરી કરો. પ્રાયોગિક રીતે ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા બહુ જ મોટી અવધિમાં મળે છે.
ઉત્તર:

• આઇનસ્ટાઇનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ અનુસાર, કણની ઊર્જા
  E = \(\sqrt{p^2 c^2+m_0^2 c^4}\) ………….. (1)
  જ્યાં p = કણનું વેગમાન
  c = પ્રકાશની શૂન્યવકાશમાં ઝડપ
  m₀ = કણનું સ્થિર દળ
• વેગમાન સંરક્ષણના નિયમાનુસાર આપેલ પ્રક્રિયા n → p + ē માટે,
  \(\overrightarrow{p_n}=\overrightarrow{p_p}+\overrightarrow{p_e}\)
  ∴ \(\overrightarrow{0}=\overrightarrow{p_p}+\overrightarrow{p_e}\) (∵ ન્યુટ્રૉન સ્થિર છે)
  ∴ \(\overrightarrow{p_p}=-\overrightarrow{p_e}\)
• બંને બાજુએ માનાંક લેતાં, p_p = P_e = p (ધારો કે) …………. (2)
• સમીકરણ (1) પરથી ન્યુટ્રૉનની ઊર્જા,
  E_n = \(\sqrt{p_n^2 c^2+m_n^2 c^4}\)
  ∴ E_n = m_nc² (∵P_n = 0 ………. (3)
• સમીકરણ (1) પરથી પ્રોટ્રૉનની ઊર્જા,
  E_p = \(\sqrt{p_p^2 c^2+m_p^2 c^4}\)
  ∴ E_p = (p²c² + m²_pc⁴)^1/2 (∵P_p = p) …………. (4)
• સમીકરણ (1) પરથી ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,
  E_e = \(\sqrt{p_e^2 c^2+m_e^2 c^4}\)
  ∴ E_e = (p²c² + m²_ec⁴)^1/2 (∵P_e = p) …………. (4)
• હવે ઊર્જાનું સંરક્ષણ ધ્યાનમાં લેતાં,
  E_n = E_p + E_e

પ્રશ્ન 5.
એક અજ્ઞાત રેડિયો એક્ટિવ ન્યુક્લાઇડની ઍક્ટિવિટી R ને દર કલાકના અંતરે માપવામાં આવે છે. મળેલાં પરિણામોને નીચે પ્રમાણે કોષ્ટકરૂપે મૂકવામાં આવે છે :

(i) R વિરુદ્ધ t નો આલેખ દોરો અને તે આલેખ પરથી અર્ધઆયુની ગણતરી કરો.
(ii) 1n(\(\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{R}_{\mathbf{0}}}\)) વિરુદ્ધ t નો આલેખ દોરો અને તે આલેખ પરથી અર્ધઆયુની ગણતરી કરો.
ઉત્તર:
(i) પ્રસ્તુત કિસ્સામાં R→ t નો આલેખ નીચે પ્રમાણેનો અતિવલય મળે છે.

અત્રે t = 0 સમયે R₀ = 100 MBq
તથા t = 0.66h સમયે R = 50 MBq = \(\frac{\mathrm{R}_0}{2}\)
⇒ t = 0.66 h = τ_1/2
⇒ અર્ધઆયુ τ_1/2 = 0.66 h
= 0.66 × 60 min
∴ τ_1/2 ≈ 39.6 min 40 min

(ii) ચરઘાતાંકીય નિયમાનુસાર,
R = R₀e^-λt
∴ lnR = lnR₀ + ln(e^-λt)
∴ InR = lnR₀ – λt ln e
∴ lnR – lnR₀ (-λ)t
∴ ln(\(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}_0}\)) = (-λ)t + 0 ………… (1)
ઉપરોક્ત સમીકરણનું સ્વરૂપ સુરેખાના સમીકરણ y = mx + c જેવું હોવાથી ln(\(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{R}_0}\)) → t નો આલેખ,
સુરેખા મળશે. વળી, અત્રે c = 0 હોવાથી આલેખ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થશે જેનો ઢાળ = -λ

સમીકરણ (1) પરથી,

= 2.303 log(2.828)
= (2.303) (0.4517)
∴ λ = 1.04 h^-1
⇒ τ_1/2 = \(\frac{0.693}{\lambda}=\frac{0.693}{1.04}\)
∴ τ_1/2 = 0.6663 h = 0.6663 × 60 min
= 39.98 min ≈ 40 min
આમ, બંને કિસ્સામાં આપેલ રેડિયો ઍક્ટિવ તત્ત્વનો અર્ધઆયુ સમાન મળે છે.

પ્રશ્ન 6.
પ્રોટ્રોનના જાદુઈ અંક (magic no.) Z = 2, 8, 20, 28, 50, 82 અને ન્યુટ્રોનના જાદુઈ અંક N = 2, 8, 20, 28, 50, 82 અને 126 ધરાવતા ન્યુક્લિયસ ઘણા જ સ્થાયી હોય છે.
(i) ¹²⁰Sn(Z = 50) અને ¹²¹Sb = (Z = 51) માટે પ્રોટ્રોનને છૂટા પાડવા માટેની ઊર્જા S_p (proton seperation energy) ની ગણતરી કરી આ બાબત ચકાસો. ન્યુક્લાઇડ માટે પ્રોટોનને છૂટા પાડવાની ઊર્જા એટલે તે ન્યુક્લાઇડના ન્યુક્લિયસમાં સૌથી ઝેલ્ફી ઊર્જાથી બંધાયેલા પ્રોટોનને છૂટા પાડવા માટે જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા, તે નીચે પ્રમાણે અપાય છે :
S_p = (M_{Z – 1, N} N + M_H – M_{Z, N})c^2
119In = 118.9058 u, ¹²⁰Sn = 119.902199 u,
¹²¹Sb = 120.903824 u, ¹ = 1.0078252 u
(ii) જાદુઈ અંકનું અસ્તિત્વ શું સૂચવે છે ?
ઉત્તર:
(a)
(i) ¹²⁰Sn માટે :

∴ S_p = (118.9058 + 1.0078252 – 119.902199)c²
∴ S_p = 0.0114362)c² MeV …………. (1)

(ii) ¹²¹Sb માટે :

∴ S_p = (119.902199 + 1.0078252 – 120.903824)c²
∴ S_p = (0.0062002)c²MeV …………. (2)
તારણ : પરિણામો (1) અને (2) પરથી,
(S_p)_sn > (S_p)_sp
આમ, \({ }_{50}^{120} \mathrm{~S} n\) એ વધારે સ્થાયી ન્યુક્લિયસ છે કારણ કે તેની પાસેની પ્રોટૉન્સની સંખ્યા Z = 50 એ જાદુઈ સંખ્યા (Magic no.) છે.

(b) જાદુઈ સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ દર્શાવે છે કે જેમ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉન, કોષ બંધારણ (Shell structure) ધરાવે છે તેમ ન્યુક્લિયસમાં ન્યુક્લિયોન પણ કોષ બંધારણ ધરાવે છે. વળી, આ જાદુઈ સંખ્યાઓ, એક ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધનઊર્જા (\(\frac{B}{A}\)) → પરમાણુદળાંક (A) ના વક્રમાં જોવા મળતી અણીદાર ટોચના સ્થાનોને પણ સમજાવે છે.