GSEB Solutions Class 12 Physics Chapter 11 વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 11 વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Physics Chapter 11 વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ

GSEB Class 12 Physics વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ Text Book Questions and Answers

જરૂર પડે ત્યારે નીચેની રાશિઓ માટેના મૂલ્યો :
(1) c = 3 × 10⁸ ms^-1, m_e = 9.1 × 10^-31 kg
(2) h = 6.63 × 10^-34Js, m_n = m_p = 1.67 × 10^-27 kg
(3) e = 1.6 × 10^-19 c, k_B = 1.38 × 10^-23 JK^-1

પ્રશ્ન 1.
30 kVના ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષ-કિરણોની
(a) મહત્તમ આવૃત્તિ અને
(b) લઘુતમ તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
અહીં V = 30 kV = 3 × 10⁴V, h = 6.63 × 10^-34 Js
(a) {X-ray ના ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા} = {V વોલ્ટના દબાણે પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ઊર્જા}
∴ hV_max = eV
∴ V_max = \(\frac{e \mathrm{~V}}{h}\)
= \(\frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^4}{6.63 \times 10^{-34}}\)
= 0.72398 × 10¹⁹ Hz
∴ V_max ≈ 7.24 × 10¹⁸ Hz

(b) હવે
c = v_max × λ_min
∴ λ_min = \(\frac{c}{v_{\max }}\)
= \(\frac{c}{v_{\max }}\)
= 0.41436 × 10^-10 m ≈ 0.0414 nm

પ્રશ્ન 2.
સિઝિયમ ધાતનું કાર્ય વિધેય 2.14 eV છે. જ્યારે 6 × 10¹⁴Hzનો પ્રકાશ આ ધાતુની સપાટી પર આપાત થાય, ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનનું ફોટો ઉત્સર્જન થાય છે.
(a) ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા
(b) સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ, અને
(c) ઉત્સર્જિત ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઝડપ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
કાર્યવિધેય Φ₀ = 2.14 eV, પ્રકાશની આવૃત્તિ v₀ = 6 × 10¹⁴ Hz
h = 6.63 × 10^-34 Js, 1 eV 1.6 × 10^-19 J
(a) ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,
K_max = hv – Φ₀
= (\(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}\) – 2.14)eV
= (2.48625 – 2.14) eV
= 0.34625 eV ≈ 0.34 eV
= 0.34 × 1.6 × 10^-19 J
= 0.544 × 10^-19 J

(b) K_max = eV₀
∴ V₀ = \(\frac{\mathrm{K}_{\max }}{e}=\frac{0.34 \mathrm{eV}}{e}\)
∴ V₀ = 0.35V

(c) K_max = 0.34 eV
∴ \(\frac {1}{2}\)mv²_max = 0.34 × 1.6 × 10^-19
∴ v²_max = \(\frac{2 \times 0.34 \times 1.6 \times 10^{-19}}{m}\)
∴ v_max = \(\sqrt{\frac{0.68 \times 1.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}}\)
∴ v_max = \(\sqrt{0.11956 \times 10^{12}}\)
= 0.345775 × 10⁶
≈ 345.8 × 10³ m/s
∴ v_max = 345.8 km/s
નોંધ : પાઠ્યપુસ્તકનો જવાબ અલગ છે.

પ્રશ્ન 3.
એક પ્રયોગમાં ફોટોઇલેક્ટ્રિક કટ-ઓફ વોલ્ટેજ 1.5 V છે. ઉત્સર્જાયેલા ફોટો ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
અહીં, V₀ = 1.5 V, e = 1.6 × 10^-19 C
K_max = eV₀
= 1.6 × 10^-19 × 1.5
= 2.4 × 10^-19 J
અથવા
K_max = eV₀
= 1.5 eV

પ્રશ્ન 4.
હિલિયમ-નિયોન લેસર વડે 632.8 nm તરંગલંબાઈનો એકરંગી (Monochromatic) પ્રકાશ ઉત્પન્ન થાય છે. ઉત્સર્જિત પાવર 9.42 mW જેટલો છે.
(a) પ્રકાશ પૂંજમાં રહેલા દરેક ફોટોનની ઊર્જા અને વેગમાન શોધો.
(b) આ પૂંજ વડે પ્રકાશિત લક્ષ્ય (ટાર્ગેટ) પર સરેરાશ રીતે એક સેકન્ડ દીઠ કેટલા ફોટોન આપાત થતા હશે ? (પૂંજનો આડછેદ સમાન અને લક્ષ્યના ક્ષેત્રફળ કરતાં નાનો છે તેમ ધારો), અને
(c) ફોટોનના વેગમાન જેટલું વેગમાન ધરાવવા માટે હાઇડ્રોજન પરમાણુએ કેટલી ઝડપથી ગતિ કરવી જોઈએ ?
ઉત્તર:
અહીં λ = 632.8 nm = 632.8 × 10^-9 m
P = 9.42 mW = 9.42 × 10^-3 W
h = 6.63 × 10^-34 Js
c = 3 × 10⁸ ms^-1

(a) દરેક ફોટોનની ઊર્જા,
E = \(\frac{h c}{\lambda}\)
∴ E = \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{632.8 \times 10^{-9}}\)
= 0.031431 × 10^-17 J
∴ E = 3.14 × 10^-19 J
∴ દરેક ફોટોનનું વેગમાન,
⇒ p = \(\frac{h}{\lambda}\)
∴ p = \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{632.8 \times 10^{-9}}\)
∴ p = 0.010477 × 10^-25
p ≈ 1.05 × 10^-27 kg ms^-1

(b) લક્ષ્ય પર દર સેકન્ડે પહોંચતા ફોટોનની સંખ્યા N હોય, તો P = ફોટોનની સંખ્યા N × દર સેકન્ડે ફોટોનની ઊર્જા
P = NE
∴ N = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{E}}=\frac{9.42 \times 10^{-3}}{3.14 \times 10^{-19}}\)
∴ N = 3 × 10¹⁶ ફોટોન/સેકન્ડ

(c) હાઇડ્રોજન પરમાણુનું વેગમાન = ફોટોનનું વેગમાન,
∴ mv = p
∴ v = \(\frac{p}{m}=\frac{1.05 \times 10^{-27}}{1.67 \times 10^{-27}}\)
∴ v = 0.62874
∴ v ≈ 0.63 ms^-1

પ્રશ્ન 5.
પૃથ્વીની સપાટી પર આવતા સૂર્યપ્રકાશની ઊર્જાનું ફ્લક્સ 1.388 × 10³ W/m² છે. પૃથ્વીની સપાટી પર એક ચોરસ મીટરમાં દર સેકન્ડ દીઠ (લગભગ) કેટલા ફોટોન્સ આપાત થતા હશે ? સૂર્યપ્રકાશના ફોટોનની સરેરાશ તરંગલંબાઈ 550 nm છે એમ ધારો.
ઉત્તર:
સૂર્યની ઊર્જા ફૂલક્સ = 1.388 × 10³ W/m²
λ = 550 nm = 55 × 10^-8 m
h = 6.63 × 10^-34 Js
c = 3 × 10⁸ m/s
⇒ દરેક ફોટોનની ઊર્જા,
E = \(\frac{h c}{\lambda}\)
∴ E = \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{55 \times 10^{-8}}\)
∴ E = 0.3616 × 10^-18
∴ E ≈ 3.62 × 10^-19 J
⇒ પૃથ્વીની સપાટી પર એક સેકન્ડમાં એક મીટર2 સપાટી પર આપાત ફોટોનની સંખ્યા

પ્રશ્ન 6.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરના એક પ્રયોગમાં, કટ ઑફ વોલ્ટેજ વિરુદ્ધ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિનો ઢાળ 4.12 × 10^-15 Vs જેટલો મળે છે. પ્લાન્કના અચળાંકનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, \(\frac{\Delta \mathrm{V}_0}{\Delta v}\) = 4.12 × 10^-15 Vs
e = 1.6 × 10^-19 J
⇒ hv = eV₀
h અને e અચળ
∴ hΔv = eΔV₀
∴ h = e\(\frac{\Delta \mathrm{V}_0}{\Delta \mathrm{v}}\)
= 1.6 × 10^-19 × 4.12 × 10^-15
∴ h = 6.592 × 10^-34 Js

પ્રશ્ન 7.
100 Wનો એક સોડિયમ લેમ્પ બધી દિશાઓમાં સમાન રીતે ઊર્જાનું ઉત્સર્જન કરે છે. આ લેમ્પને એક મોટા ગોળાના કેન્દ્ર પર રાખેલો છે. ગોળો તેના પર આપાત થયેલ બધા જ સોડિયમ પ્રકાશનું શોષણ કરે છે. સોડિયમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 589 nm છે.
(a) સોડિયમ પ્રકાશ માટે એક ફોટોન દીઠ કેટલી ઊર્જા સંકળાયેલી હશે ?
(b) ગોળા પર કેટલા દરથી ફોટોન આપાત થતા હશે ?
ઉત્તર:
અહીં P = 100 W, λ = 589 nm 589 × 10^-9 m
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1

(a) દરેક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv
∴ E = \(\frac{h c}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{589 \times 10^{-9}}\)
∴ E = 0.033769 × 10^-17
∴ E ≈ 3.38 × 10^-19 J
∴ E = \(\frac{3.38 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\) eV ∴ E = 2.11 eV

(b) ગોળા પર આપાત થતાં ફોટોનનો દર,
N = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{E}}=\frac{100}{3.38 \times 10^{-19}}\)
∴ N = 29.58 × 10⁺¹⁹
∴ N ≈ 3.0 × 10²⁰ ફોટોન/સેકન્ડ

પ્રશ્ન 8.
એક ચોક્કસ ધાતુ માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ 3.3 × 10¹⁴ Hz છે. જો આ ધાતુ પર 8.2 × 10¹⁴ Hz આવૃત્તિનો પ્રકાશ આપાત થતો હોય તો ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે કટ ઑફ વોલ્ટેજનું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તર:
અહીં v₀ = 3.3 × 10¹⁴ Hz, h = 6.63 × 10^-34 Js
v = 8.2 × 10¹⁴ Hz
V₀ = ?
⇒ ફોટો ઇલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ગતિઊર્જા,
\(\frac {1}{2}\)mv²_max = hv – Φ₀
∴ eV₀ = hv – hv₀
∴ V₀ = \(\frac{h}{e}\) (v – v₀)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times\left(8.2 \times 10^{14}-3.3 \times 10^{14}\right)}{1.6 \times 10^{-19}}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 4.9 \times 10^{14}}{1.6 \times 10^{-19}}\)
= 20.30 × 10^-1
∴ V₀ = 2.03 V

પ્રશ્ન 9.
એક ધાતુનું કાર્યવિધેય 4.2 eV છે. શું આ ધાતુ 330 nm તરંગલંબાઈના આપાત વિકિરણ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન કરશે ?
ઉત્તર:
= ધાતુનું કાર્યવિધેય Φ₀ = 4.2 eV
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઈ λ = 330 nm = 33 × 10^-8 m
h = 6.625 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1,
1 eV = 1.6 × 10^-19 J
⇒ E = hv = \(\frac{h c}{\lambda e}\) eV માં
∴ E = \(\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{33 \times 10^{-8} \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
∴ E = 3.7642 eV
∴ E ≈ 3.76 eV
∴ E < Φ₀ હોવાથી ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.

પ્રશ્ન 10.
એક ધાતુની સપાટી પર 7.21 × 10¹⁴ Hz આવૃત્તિનો પ્રકાશ આપાત થાય છે. તેની સપાટીમાંથી 6.0 × 10⁵ m/sની મહત્તમ ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રૉન ઉત્સર્જિત થાય છે. ઇલેક્ટ્રોનના ફોટો ઉત્સર્જન માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કેટલી હશે ?
ઉત્તર:
અહીં આવૃત્તિ v = 7.21 × 10¹⁴ Hz
v_max = 6.0 × 10⁵ m/s
v₀ = ? h = 6.63 × 10^-34 Js
m = 9.1 × 10^-31 kg
⇒ આઇન્સ્ટાઈનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,
K_max = hv – Φ₀
∴ \(\frac {1}{2}\)mv²_max = hv – hv₀
∴ hv₀ = hv – \(\frac {1}{2}\)mv²_max
∴ v₀ = v – \(\frac{m v_{\max }^2}{2 h}\)
= 7.21 × 10¹⁴ – \(-\frac{9.1 \times 10^{-31} \times 36 \times 10^{10}}{2 \times 6.63 \times 10^{-34}}\)
= 7.21 × 10¹⁴ – 2.47 × 10¹⁴
∴ v₀ = 4.74 × 10¹⁴ Hz

પ્રશ્ન 11.
આર્ગન લેસર વડે ઉત્પન્ન થયેલ 488 nmના પ્રકાશનો ઉપયોગ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં થયો છે. જ્યારે આ વર્ણપટ રેખાનો પ્રકાશ ઉત્સર્જક પર આપાત થાય ત્યારે ફોટોઇલેક્ટ્રોનનું સ્ટૉપિંગ (કટ ઑફ) પોટેન્શિયલ 0.38 V છે. ઉત્સર્જક જે દ્રવ્યમાંથી બનેલ છે તેનું કાર્ય વિધેય શોધો.
ઉત્તર:
અહીં, λ = 488 nm = 488 × 10^-9 m
V₀ = 0.38 V
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1
Φ₀ = ?
⇒ આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,
\(\frac {1}{2}\)mv²_max = hv – Φ₀
∴ eV₀ = hv – Φ₀ [∵ \(\frac {1}{2}\)mv²_maxeV₀]
∴ Φ₀ = \(\frac{h c}{\lambda}\) – eV₀ [∵ v = \(\frac{c}{\lambda}\)]
∴ Φ₀ = \(\frac{h c}{e \lambda}\) – V₀ → eV માં
∴ Φ₀ \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 488 \times 10^{-9}}\) – 0.38
∴ Φ₀ = (0.025473 × 10² – 0.38) eV
∴ Φ₀ ≈ (2.54 – 0.38) eV
∴ Φ₀ = 2.16 eV અથવા Φ₀ ≈ 3.46 × 10^-19 J

પ્રશ્ન 12.
56 V વિધુત સ્થિતિમાનના તફાવત વડે પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન માટે,
(a) વેગમાન અને
(b) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. (ઑગષ્ટ 2020)
ઉત્તર:
V = 56 V
ઇલેકટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K = V × e
= 56 eJ

(a) ઇલેક્ટ્રૉનનું વેગમાન,
p = \(\sqrt{2 m \mathrm{~K}}\)
= \(\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 56 \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= \(\sqrt{1630.72 \times 10^{-50}}\)
= 40.38 × 10^-25
≈ 4.04 × 10^-24 kg ms^-1

(b) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{h}{p}=\frac{6.63 \times 10^{-34}}{4.04 \times 10^{24}}\)
= 1.64 × 10^-10 m = 1.64 Å

પ્રશ્ન 13.
120 eV જેટલી ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનનું
(a) વેગમાન,
(b) ઝડપ અને
(c) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ કેટલા હશે ?
ઉત્તર:
ગતિઊર્જા K = 120 eV 120 × 1.6 × 10^-19 J
= 1.92 × 10^-17 J
h = 6.63 × 10^-34 Js
m = 9.1 × 10^-31 kg

(a) ઇલેક્ટ્રૉનનું વેગમાન,
p = \(\sqrt{2 m \mathrm{~K}}\)
∴ p = \(\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.92 \times 10^{-17}}\)
∴ p = \(\sqrt{34.944 \times 10^{-48}}\)
∴ p = 5.91 × 10^-24 kg ms^-1
નોંધ : પાઠ્યપુસ્તકનો જવાબ અલગ છે.

(b) ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ,
v = \(\frac{p}{m}=\frac{5.91 \times 10^{-24}}{9.1 \times 10^{-31}}\)
∴ v = 0.649 × 10⁷
∴ V ≈ 6.5 × 10⁶ m/s

(c) ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{h}{p}\)
∴ λ = \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{5.91 \times 10^{-24}}\)
∴ λ = 1.121 × 10^-10 m
∴ λ = 0.1121 nm

પ્રશ્ન 14.
સોડિયમના ઉત્સર્જન વર્ણપટ રેખાના પ્રકાશની તરંગલંબાઈ 589 nm છે.
(a) ઇલેક્ટ્રોન અને
(b) ન્યૂટ્રોનની કઈ ગતિઊર્જા માટે આટલી તરંગલંબાઈ મળશે ?
ઉત્તર:
સોડિયમના વિકિરણની તરંગલંબાઈ,
λ = 589 nm
∴ λ = 589 × 10^-9 m
ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ m_e = 9.1 × 10^-31 kg
ન્યૂટ્રૉનનું દળ m_n = 1.67 × 10^-27 kg
h = 6.63 × 10^-34 Js 1 eV = 1.6 × 10^-19
⇒ કણની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{h}{p}\)
પણ p = \(\sqrt{2 m \mathrm{~K}}\)
∴ λ = \(\frac{h}{\sqrt{2 m \mathrm{~K}}}\)
∴ λ’ = \(\frac{h^2}{2 m \mathrm{~K}}\)
∴ K = \(\frac{h^2}{2 m \lambda^2}\)

(a) ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K_e = \(\frac{h^2}{2 m_e \lambda^2}\)
∴ K_e = \(\frac{\left(6.63 \times 10^{-34}\right)^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times\left(589 \times 10^{-9}\right)^2}\)
= \(\frac{43.9569 \times 10^{-68}}{6313962.2 \times 10^{-49}}\)
= 0.00000696185 × 10^-19
≈ 6.96 × 10^-25 J
= \(\frac{6.96 \times 10^{-25}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
= 4.35 × 10^-6 eV
≈ 4.35 μeV

(b) ન્યૂટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K_n = \(\frac{h^2}{2 m_n \lambda^2}\)
K_n = \(\frac{\left(6.63 \times 10^{-34}\right)^2}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times\left(589 \times 10^{-9}\right)^2}\)
= \(\frac{43.9569 \times 10^{-68}}{1158716 \times 10^{-45}}\)
∴ K_n = 0.00003793 × 10^-23
∴ K_n = 3.79 × 10^-28 J
∴ K_n = \(\frac{3.79 \times 10^{-28}}{1.6 \times 10^{-19}}\)J
∴ K_n = 2.36875 × 10^-9 eV
∴ K_n ≈ 2.37 neV

પ્રશ્ન 15.
આપેલ કિસ્સાઓ માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો.
(a) 1.0 km/sની ઝડપથી ગતિ કરતી 0,040 kg દળની બુલેટ,
(b) 1.0 m/sની ઝડપથી ગતિ કરતો 0.060 kg દળ ધરાવતો બોલ,
(c) 2.2 m/sની ઝડપથી ગતિ કરતો 1.0 × 10^-9 kg દળ ધરાવતું ધૂળનું રજકણ.
ઉત્તર:
ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ = \(\frac{h}{m v}\)

(a) અહીં બુલેટની ઝડપ,
v_b = 1.0 km/s
= 1.0 × 10³ m/s
અને બુલેટનું દળ m_b = 0.040 kg
અને h = 6.63 × 10^-34 Js
∴ λ_{બુલેટ} = \(\frac{h}{m_b v_b}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.04 \times 1 \times 10^3}\)
= 165.75 × 10^-37
≈ 1.7 × 10^-35 m

(b) અહીં બૉલની ઝડપ v_b = 1.0 m/s
અને બુલેટનું દળ m_g = 0.060 kg
∴ λ_બૉલ = \(\frac{h}{m_g v_g}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{0.06 \times 1}\)
= 110.5 × 10^-34
≈ 1.1 × 10^-32 m

(c) ધૂળના રજકણની ઝડપ v_b = 2.2 m/s
અને તેનું દળ m_p = 1.0 × 10^-9 kg
∴ λ_જકણ = \(\frac{h}{m_p v_p}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{1 \times 10^{-9} \times 2.2}\)
= 3.0136 × 10^-25
≈ 3.0 × 10^-25 m

પ્રશ્ન 16.
એક ઇલેક્ટ્રોન અને ફોટોન બંનેની તરંગલંબાઈ 1.00 nm છે. તેમના માટે :
(a) તેમના વેગમાન,
(b) ફોટોનની ઊર્જા અને
(c) ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા શોધો.
ઉત્તર:
અહીં λ = 1.00 nm = 1 × 10^-9 m

(a) ઇલેક્ટ્રૉન અને ફોટોનની તરંગલંબાઈ સમાન છે તેથી
p = \(\frac{h}{\lambda}\) પરથી તેમના વેગમાન સમાન હોય.
∴ સમાન વેગમાન,
p = \(\frac{h}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34}}{1 \times 10^{-9}}\)
∴ p = 6.63 × 10^– kg ms^–

(b) ફોટોનની ઊર્જા,
E = \(\frac{h c}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1 \times 10^{-9}}\)
∴ E = 19.89 × 10^-17 J
∴ E = \(\frac{19.89 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
∴ E = 12.43 × 10² eV
≈ 1.243.10³ eV
∴ E = 1.243 keV

(c) ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K = \(\frac{p^2}{2 m}\) = \(\frac{\left(6.63 \times 10^{-25}\right)^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}}=\frac{43.9569 \times 10^{-5}}{18.2 \times 10^{-31}}\)
∴ K = 2.4152 × 10^-19 J
∴ K = \(\frac{2.452 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}}\)
= 1.509 eV ≈ 1.51 eV

પ્રશ્ન 17.
(a) ન્યૂટ્રોનની કેટલી ગતિઊર્જા માટે તેની સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ 1.40 × 10^-10 m હશે ?
(b) આ ઉપરાંત 300 K તાપમાને દ્રવ્ય સાથે તાપીય સંતુલનમાં રહેલા (\(\frac{3}{2}\)) kT જેટલી સરેરાશ ગતિઊર્જા ધરાવતા ન્યૂટ્રોન માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો.
ઉત્તર:
λ = 1.40 × 10^-10 m,
h = 6.63 × 10^-34 Js,
n = 1.67 × 10^-27 kg

(a) ન્યૂટ્રૉનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{h}{\sqrt{2 m K}}\)
∴ K = \(\frac{h^2}{2 m \lambda^2}\)
= \(\frac{\left(6.63 \times 10^{-34}\right)^2}{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times\left(1.4 \times 10^{-10}\right)^2}\)
∴ K = 6.686 × 10^-21 J
= \(\frac{6.686 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
∴ K = 4.174 × 10^-2 eV

(b) ન્યૂટ્રૉનની સરેરાશ ગતિઊર્જા,
અહીં k_B = 1.38 × 10^-23 J mol^-1 K^-1
T = 300 K
K = \(\frac{3}{2}\)k_BT
∴ K = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 300
∴ K = 621 × 10^-23 J
∴ ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
∴ λ = \(\frac{h}{\sqrt{2 m \mathrm{~K}}}\)
∴ λ = \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 621 \times 10^{-23}}}\)
∴ λ = \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{45.54 \times 10^{-25}}\)
∴ λ = 0.14558 × 10^-9 m
∴ λ ≈ 0.146 nm

પ્રશ્ન 18.
દર્શાવો કે વિદ્યુત ચુંબકીય વિકિરણની તરંગલંબાઈ તેના ક્વોન્ટમ (ફોટોન)ની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ જેટલી હોય છે.
ઉત્તર:
ફોટોન માટે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ = \(\frac{h}{p}\), v આવૃત્તિવાળા અને λ’ તરંગલંબાઈવાળા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનું વેગમાન,
p = \(\frac{\mathrm{E}}{c}=\frac{h v}{c}\)
∴ p = \(\frac{h}{c} \cdot \frac{c}{\lambda^{\prime}}\) [∵ v = \(\frac{h}{c} \cdot \frac{c}{\lambda^{\prime}}\)]
∴ p = \(\frac{h}{\lambda^{\prime}}\)
∴ λ’ = \(\frac{h}{p}\)
પણ \(\frac{h}{p}\) = λ ફોટોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
∴ λ’ = λ
આમ, λ’ તરંગલંબાઈવાળા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ જેટલી λ તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ છે.

પ્રશ્ન 19.
હવામાં 300 K તાપમાને રહેલા નાઇટ્રોજન અણુની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ? અણુ આ તાપમાને અણુઓની સરેરાશ વર્ગિત ઝડપના વર્ગમૂળ જેટલી ઝડપથી
ગતિ કરે છે તેમ ધારો.
(નાઇટ્રોજનનું પરમાણુ દળ = 14.0076u)
ઉત્તર:
નાઇટ્રોજનના અણુનું દળ
m = 2 × 14 × 1.66 × 10^-27 = 46.48 × 10^-27 kg
T = 300 K
k_B = બૉલ્ટ્સમેન અચળાંક= 1.38 × 10^-23Jmol^-1K^-1
h = 6.63 × 10^-34 Js
⇒ સરેરાશ ગતિઊર્જા,
< \(\frac {1}{2}\)mv² > = \(\frac {3}{2}\)k_BT
∴ v = \(\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}{m}}\)
∴ વેગમાન p = mv = \(\sqrt{3 m k_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}\)
∴ ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{h}{p}\)
∴ λ = \(\frac{h}{\sqrt{3 m k_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 46.48 \times 10^{-27} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{57728.16 \times 10^{-50}}}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{240.266 \times 10^{-25}}\)
= 0.02759 × 10^-9 m
≈ 0.028 nm

પ્રશ્ન 20.
(a) શૂન્યાવકાશિત નળીમાં તપાવેલા ઉત્સર્જક પરથી ઉત્સર્જાયેલા અને ઉત્સર્જકની સાપેક્ષે 500 V સ્થિતિમાનના તફાવતે રહેલા ક્લેક્ટર પર આપાત થતા ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ શોધો. ઇલેક્ટ્રૉનની પ્રારંભિક અલ્પ ઝડપ અવગણો. ઇલેક્ટ્રૉનનો વિશિષ્ટ વિધુતભાર એટલે કે તેના \(\frac{e}{m}\) નું મૂલ્ય 1.76 × 10¹¹ C kg^-1 આપેલ છે.
(b) (a)માં તમે ઉપયોગ કરેલા સમીકરણ પરથી 10 MV જેટલા કલેક્ટર સ્થિતિમાન માટે ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ શોધો. તમને શું ખોટું જણાય છે ? આ સૂત્રમાં કયો સુધારો કરવો જોઈએ ?
ઉત્તર:
અહીં V = 500V, \(\frac{e}{m}\) = 1.76 × 10¹¹\(\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}\)
m₀ = 9.1 × 10^-31 kg

(a) ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
\(\frac{1}{2}\)mv² = eV
∴ v = \(\sqrt{\frac{2 e \mathrm{~V}}{m}}\) …………… (1)
∴ v = \(\sqrt{\frac{2 \times 1.76 \times 10^{11} \times 500}{1}}\)
∴ v = \(\sqrt{1.76 \times 10^{14}}\)
∴ v = 1.3266 × 10⁷
∴ v ≈ 1.33 × 10⁷ m/s

(b) V’ = 10 MV 10⁷V
∴ સમીકરણ (1) પરથી,
v’ = \(\sqrt{\frac{2 e \mathrm{~V}^{\prime}}{m}}=\sqrt{2 \times 1.76 \times 10^{11} \times 10^7}\)
= \(\sqrt{3.52 \times 10^{10}}\)
= 1.876 × 10⁹ ≈ 1.88 × 10⁹ m/s
આ ઝડપ સ્પષ્ટ રીતે ખોટી છે. કારણ કે, પ્રકાશની ઝડપ [c = 3 × 10⁸ ms^-1] કરતાં કોઈ પણ કણની ઝડપ વધારે હોય શકે નહીં. તેથી ઉપરના સૂત્રો v << c માટે જ લાગુ પાડી શકાય. તેથી આપણે સાપેક્ષવાદનું સૂત્ર વાપરવું જોઈએ.
∴ K = mc² – m₀c² = (m – m₂)c²
જ્યાં m₀ = કણનું સ્થિર દળ છે
અને m = \(\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2} c^2}\)

∴ 1 – 0.00237 = \(\frac{v^2}{c^2}\)
∴ 0.99763 = \(\frac{v^2}{c^2}\)
∴ \(\sqrt{0.99763}=\frac{v}{c}\)
∴ 0.9988 = \(\frac{v}{c}\)
∴ v =0.999 c

પ્રશ્ન 21.
(a) એક સરખી ઊર્જા ધરાવતા 5,20 × 10⁶ ms^-1 જેટલી ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન બીમ (કિરણાવલિ) પર વેગને લંબરૂપે 1.30 × 10^-4T જેટલું ચુંબકીયક્ષેત્ર લગાડેલ છે. આ બીમ વડે આંતરેલા વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા કેટલી હશે ?
ઇલેક્ટ્રોન માટે \(\frac{e}{m}\) નું મૂલ્ય 1.76 × 10¹¹ C kg^-1 આપેલ છે.
(b) શું (a)માં તમે ઉપયોગમાં લીધેલ સૂત્ર, 20 MeV ઇલેક્ટ્રૉન બીમના માર્ગની ત્રિજ્યાની ગણતરીમાં ઉપયોગ કરી શકો ? જો ના તો, તેમાં શું સુધારો કરવો જોઈએ ?
(નોંધ : સ્વાધ્યાય 11,206) અને 11,21(b) તમને સાપેક્ષવાદીય યંત્રશાસ્ત્ર તરફ દોરી જાય છે. જે આ પુસ્તકની મર્યાદા બહાર છે. અહીંયા તેમનો ઉપયોગ કરવાનો આશય એ બાબત તરફ ધ્યાન દોરવાનો છે કે સ્વાધ્યાયના ભાગ (a)માં તમે જે સમીકરણોનો ઉપયોગ કરો છો તે ખૂબ ઊંચી ઝડપ અને ઊર્જાઓ માટે લાગુ પડતા નથી. ખૂબ ઊંચી ઝડપ અને ઊર્જા એટલે શું તે સમજવા માટે અંતમાં આપેલા ઉકેલ જુઓ.)
ઉત્તર:
અહીં વેગ v = 5.20 × 10⁶ ms^-1
ચુંબકીયક્ષેત્ર B = 1.30 × 10^-4 T
\(\) = 1.76 × 10¹¹ Ckg^-1
ઇલેક્ટ્રૉન બીમની ગતિઊર્જા K = 20 MeV
ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ m = 9.1 × 10^-31 kg

(a) ચુંબકીયક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉનને પૂરું પાડતું કેન્દ્રગામી બળ,
\(\frac{m v^2}{r}\) = Bev
∴ r = \(\frac{m v}{\mathrm{~B} e}=\frac{v}{\mathrm{~B}(e / m)}\)
∴ r = \(\frac{5.20 \times 10^6}{1.30 \times 10^{-4} \times 1.76 \times 10^{11}}\)
∴ r = 2.2727 × 10^-1
∴ r ≈ 0.227 m = 22.7 cm

(b) K = 20 MeV
\(\frac {1}{2}\)mv² = 20 × 10⁶ × 1.6 × 10^-19 J
∴ v = \(\sqrt{\frac{2 \times 20 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{m}}\)
∴ v = \(\sqrt{\frac{64 \times 10^{-13}}{9.1 \times 10^{-31}}}=\sqrt{7.033 \times 10^{18}}\)
∴ v = 2.65 × 10⁹ m/s’
⇒ આમ, ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ v > પ્રકાશની ઝડપ c
∴ ગણતરીમાં કંઈક ખોટું છે. તેમ છતાં ઇલેક્ટ્રૉન સાપેક્ષ ઝડપથી ગતિ કરે છે. તેથી, સાપેક્ષ સૂત્ર r = \(\frac{m_0 v}{e \mathrm{~B}}\) માન્ય નથી. તેથી આપણે સાપેક્ષવાદનું સૂત્ર r = \(\frac{m v}{e \mathrm{~B}}\) વાપરવું જોઈએ.
પણ m = \(\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
∴ r = \(\frac{m_0 v}{e \mathrm{~B} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\) વાપરવું જોઈએ.

પ્રશ્ન 22.
100 V જેટલો કલેક્ટર વોલ્ટેજ ધરાવતી એક ઇલેક્ટ્રોન ગન, નીચા દબાણે [~ 10^-2 mm Hg] રહેલા હાઇડ્રોજન વાયુ ભરેલા ગોળાકાર બલ્બમાં ઇલેક્ટ્રોન છોડે છે. 2.83 × 10^-4 T જેટલું ચુંબકીયક્ષેત્ર ઇલેક્ટ્રોનના માર્ગને 12.0 cm ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં વાળે છે. (આ માર્ગ એટલા માટે જોઈ શકાય છે કે માર્ગમાં આવતા વાયુના આયનો ઇલેક્ટ્રોનને આકર્ષીને બીમને કેન્દ્રિત કરે છે, તથા ઇલેક્ટ્રોન પ્રાપ્ત (Capture) કરીને પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે, આ રીતને ફાઇન બીમ ટ્યૂબ’ પદ્ધતિ કહે છે)
આપેલ માહિતી પરથી \(\frac{e}{m}\) શોધો.
ઉત્તર:
અહીં V = 100 V,
B = 2.83 × 10^-4 T
r = 12 cm = 12 × 10^-2 m
⇒ જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉનને V વોલ્ટ લાગુ પાડીએ તો ઇલેક્ટ્રૉને મેળવેલી ગતિઊર્જા,
\(\frac {1}{2}\)mv² = eV
∴ v² = \(\frac{2 e \mathrm{~V}}{m}\) ……………… (1)
⇒ ચુંબકીયક્ષેત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉન ગતિ કરે તેથી ઇલેક્ટ્રૉનને કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે,
∴ \(\frac{m v^2}{r}\) = Bev
∴ v = \(\frac{\mathrm{B} e r}{m}\)
∴ v² = \(\frac{\mathrm{B}^2 e^2 r^2}{m^2}\) ……………… (2)
સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
\(\frac{2 e \mathrm{~V}}{m}=\frac{\mathrm{B}^2 e^2 r^2}{m^2}\)
∴ \(\frac{2 \mathrm{~V}}{\mathrm{~B}^2 r^2}=\frac{e}{m}\)
∴\(\frac{e}{m}=\frac{2 \times 100}{\left(2.83 \times 10^{-4}\right)^2 \times(0.12)^2}\)
∴ \(\frac{e}{m}\) = 1.73418 × 10¹¹
∴ \(\frac{e}{m}\) 1.73 × 10¹¹ Ckg^-1

પ્રશ્ન 23.
(a) એક ક્ષ-કિરણની ટ્યૂબ સતત વર્ણપટના વિકિરણો ઉત્સર્જિત કરે છે જેમની સૌથી ટૂંકી તરંગલંબાઈ 0.45 Å છે. આ વિકિરણમાં ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી હશે ?
(b) તમારા (a)ના જવાબ માટે (ઇલેક્ટ્રોન) ટ્યૂબમાં પ્રવેગક વોલ્ટેજ કેટલા ક્રમનો હોવો જોઈએ ?
ઉત્તર:
અહીં X-કિરણની તરંગલંબાઈ,
λ = 0.45 Å
0.45 × 10^-10 m
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1

(a) ફોટોનની મહત્તમ ઊર્જા,
E = hv
∴ E = \(\frac{h c}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{0.45 \times 10^{-10}}\)
∴ E = 44.2 × 10^-16 J
∴ E = \(\frac{44.2 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
∴ E = 27.625 × 10³ eV
∴ E ≈ 27.6 keV

(b) 27.6 keV ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા મેળવવા પ્રવેગક વોલ્ટેજ 27.6 kV કરતાં વધારે વોલ્ટેજનો લાગુ પાડવો જોઈએ. એટલે કે, આશરે 30 kVના ક્રમનો પ્રવેગક વોલ્ટેજ લાગુ પાડવો જોઈએ.

પ્રશ્ન 24.
ઇલેક્ટ્રોનની પોઝિટ્રોન સાથેની ઉચ્ચ ઊર્જા અથડામણો માટેના એક્સિલેટર (પ્રવેગક) પ્રયોગમાં કોઈ ઘટનાનું અર્થઘટન 10.2 BeVની કુલ ઊર્જાના ઇલેક્ટ્રોન-પોઝિટ્રોન જોડકાંના પૂર્ણ નાશ દ્વારા સમાન ઊર્જાના બે γ-કિરણોના ઉત્સર્જન તરીકે થાય છે. દરેક γ-કિરણ સાથે સંકળાયેલી તરંગલંબાઈ કેટલી હશે ? (1 BeV = 10⁹ eV)
ઉત્તર:
બે γ-કિરણોનીકુલ ઊર્જા = ઇલેક્ટ્રૉન પોઝિટ્રોનના જોડકાંની ઊર્જા,
= 10.2 BeV
= 10.2 × 10sup>9 eV [∵ 1 BeV = 10sup>9 eV]
∴ દરેક γ-કિરણોના ફોટોનની ઊર્જા,
E = \(\frac{10.2 \times 10^9 \mathrm{eV}}{2}\) = 5.1 × 10⁹ eV
∴ E = 5.1 × 10⁹ × 1.6 × 10^-19 J [∵ 1 eV = 1.6 × 10^-19 J]
∴ E = 8.16 × 10^-10 J
⇒ પણ E = hv = \(\frac{h c}{\lambda}\)
λ = \(\frac{h c}{\mathrm{E}}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{8.16 \times 10^{-10}}\)
= 2.4375 × 10^-16 m
∴ λ ≈ 2.44 × 10^-16 m

પ્રશ્ન 25.
નીચેની બે સંખ્યાઓનો અંદાજ મેળવવો રસપ્રદ રહેશે. પહેલી સંખ્યા તમને એ કહેશે કે શા માટે રેડિયો એન્જિનિયરોએ ફોટોન વિશે બહુ ચિંતા કરવી જરૂરી નથી ! બીજી સંખ્યા એ કહેશે કે ભલેને માંડ પારખી શકાય તેવો પ્રકાશ હોય તો પણ શા માટે આપણી આંખ ક્યારેય ફોટોનની ગણતરી કરી શકતી નથી.
(a) 500 m તરંગલંબાઈના રેડિયો તરંગો ઉત્સર્જિત કરતા 10 kW પાવરના મીડિયમ વેવ ટ્રાન્સમીટરમાંથી એક સેકન્ડ દીઠ ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા,
(b) સફેદ પ્રકાશની ન્યૂનતમ તીવ્રતા જેનો મનુષ્યો અહેસાસ કરી શકે (~ 10^-10 Wm^-2) તેને અનુરૂપ આપણી આંખની કીકીમાં દર સેકન્ડે દાખલ થતા ફોટોનની સંખ્યા શોધો. આંખની કીકીનું ક્ષેત્રફળ આશરે 0.4 cm² લો અને સફેદ પ્રકાશની સરેરાશ આવૃત્તિ આશરે 6 × 10¹⁴ Hz લો.
ઉત્તર:
અહીં λ = 500 m, P = 10 kW = 10⁴ W
h = 6.63 × 10^-34Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1

(a) દરેક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv
∴ E = \(\frac{h c}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{500}\)
∴ E = 0.0398 × 10^-26
∴ E ≈ 3.98 × 10^-28 J

≈ 2.51 × 10³¹ ફોટોન/સેકન્ડ
≈ 3.0 × 10³¹ ફોટોન/સેકન્ડ
⇒ આપણે જોઈ શકીએ કે રેડિયો કિરણોના ફોટોનની ઊર્જા ઘણી જ ઓછી છે અને રેડિયો કિરણોના બીમમાં ફોટોન સેકન્ડની સંખ્યા અતિશય મોટી છે. આથી, ફોટોનની લઘુતમ ક્વૉન્ટમ ઊર્જા અવગણીએ તથા રેડિયો તરંગની કુલ ઊર્જાને સતત ધારીએ, તો અવગણ્ય ત્રુટિ ઉદ્ભવે છે.

(b) v = 6 × 10¹⁴ Hz, h 6.63 × 10^-34 Js
ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = 6.63 × 10^-34 × 6 × 10¹⁴
∴ E = 39.78 × 10^-20
∴ E ≈ 4 × 10^-19 J
લઘુતમ તીવ્રતાને અનુરૂપ ફોટોન ફ્લક્સ,
= \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{E}}\)
= \(\frac{10^{-10}}{4 \times 10^{-19}}\)
= 2.5 × 10² m²s^-1
⇒ આંખની કીકીનું ક્ષેત્રફળ = 0.4 cm² = 0.4 × 10^-4 m²
∴ {આંખની કીકીમાં એક સેકન્ડમાં દાખલ થતાં ફોટોનની સંખ્યા} = ફ્લક્સ × ક્ષેત્રફળ
= 2.5 × 10⁸ × 0.4 × 10^-4
= 1 × 10⁴ ફોટોન/સેકન્ડ
⇒ આ સંખ્યા 2.51 × 10³¹ ની કરતાં ઘણી ઓછી હોવા છતાં આંખની ઇન્દ્રિય તેનો અહેસાસ ન કરી શકે તેટલી મોટી છે.

પ્રશ્ન 26.
100 Wના મર્ક્યુરી બલ્બમાંથી નીકળતો 2271 Å તરંગલંબાઈનો અલ્ટ્રાવાયોલેટ પ્રકાશ મોલિબ્ડેનમ ધાતુમાંથી બનેલા ફોટોસેલને પ્રકાશિત કરે છે. જો સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ – 1.3V હોય, તો ધાતુનું કાર્યવિધેય શોધો. આ ફોટોસેલ He-Ne લેસરમાંથી ઉત્સર્જાયેલ 6328 Åના ઊંચી તીવ્રતા (~10⁵Wm^-2) ધરાવતા લાલ પ્રકાશ પ્રત્યે કેવો પ્રતિભાવ આપશે ?
ઉત્તર:
અહીં λ = 2271 Å = 2271 × 10^-10 m,
V₀ = 1.3 V, h = 6.63 × 10^-34 Js,
c = 3 × 10⁸ ms^-1, 1 eV = 1.6 × 10^-19 J
⇒ આઇન્સ્ટાઇનના સમીકરણ પરથી,
eV₀ = hv – Φ₀
∴ Φ₀ = hv – eV₀ = \(\frac{h c}{\lambda}\) – eV₀
∴ Φ₀ = \(\frac{h c}{e \lambda}\) = V₀
∴ Φ₀ = \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.6 \times 10^{-19} \times 2271 \times 10^{-10}}\) – 1.3
∴ Φ₀ = 0.00547 × 10³ – 1.3
∴ Φ₀ ≈ 5.47 1.3 eV
∴ Φ₀ = 4.17 eV
અથવા Φ₀ = 6.672 × 10^-19 J
⇒ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ,
v₀ = \(\frac{\phi_0}{h}=\frac{6.672 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}\)
∴ v₀ 1.0063 × 10¹⁵ Hz
∴ v₀ = 1 × 10¹⁵ Hz
⇒ રાતા પ્રકાશ માટે λ = 6328 Å = 6328 × 10^-10 m
∴ રાતા પ્રકાશની આવૃત્તિ,
v = \(\frac{3 \times 10^8}{6328 \times 10^{-10}}\)
∴ v = \(\frac{3 \times 10^8}{6328 \times 10^{-10}}\) = 0.000474 × 10¹⁸
∴ v = 4.74 × 10¹⁴ Hz
⇒ આમ, v < v₀ હોવાથી ગમે તેટલી ઊંચી તીવ્રતાવાળા રાતા પ્રકાશથી ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન મળશે નહીં.

પ્રશ્ન 27.
સિઝિયમનું પ્રકાશ-સંવેદી દ્રવ્ય લગાડેલા ટંગસ્ટન, નિયોન બલ્બમાંથી આવતા 640.2 nm (1nm = 10^-9m) તરંગલંબાઈના એકરંગી પ્રકાશ વડે પ્રકાશિત થાય છે. સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ 0.54V માપેલ છે. પ્રકાશના આ ઉદ્ગમની જગ્યાએ આયર્ન ઉદ્ગમ મૂકવામાં આવે છે જેની 427.2 nm (તરંગલંબાઈની) વર્ણપટ રેખા આ ફોટોસેલને પ્રકાશિત કરે છે. નવું સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ શોધો.
ઉત્તર:
નિયૉન બલ્બમાંથી આવતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,
λ₁ = 640.2 nm = 640.2 × 10^-9 m
આયર્નમાંથી આવતા પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,
λ₂ = 427.2 nm = 427.2 × 10^-10 m
V₀₁ = 0.54 V, V₀₂ = ?
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1
e = 1.6 × 10^-19 C
⇒ ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,


= 0.54 + 0.968
= 1.508
∴ V₀₂ = 1.51 V

પ્રશ્ન 28.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જનના આવૃત્તિ પરના અવલંબન (આધાર, Dependence)ના અભ્યાસ માટે મર્ક્યુરી લેમ્પ યોગ્ય ઉદ્ગમ છે, કારણ કે તે UVથી લઈને દેશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટના લાલ છેડા સુધીની ઘણી બધી વર્ણપટરેખાઓ આપે છે. રૂબિડિયમ ફોટોસેલ સાથેના આપણા પ્રયોગ દરમિયાન, મર્ક્યુરી ઉદ્ગમની નીચે આપેલ વર્ણપટરેખાઓનો ઉપયોગ થયો હતો :
λ₁ = 3650 Å, λ₂ = 4047 Å, λ₃ = 4358 Å, λ₄ = 5461 Å, λ₅ = 6907 Å
તેમને અનુલક્ષીને માપેલા સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ અનુક્રમે આ મુજબ છે :
V₀₁ 1.28 V, V₀₂ = 0.95 V, V₀₃ = 0.74V, V₀₄ = 0.16 V, V₀₅ = 0V
પ્લાન્કના અચળાંક hનું મૂલ્ય, આપેલ દ્રવ્ય માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ અને કાર્યવિધેય શોધો.
(નોંધ : તમે જોશો કે આપેલ માહિતી પરથી hની ગણતરી કરવા માટે ની જરૂર પડશે (જે તમે 1.6 × 10^-19 C લઈ શકો). Na, Li, K વગેરે પર મિલિકને આવા પ્રયોગો કર્યા હતા જેમાં તેમણે (ઓઇલ ડ્રોપ પ્રયોગ-Oil Drop Experiment પરથી) મેળવેલ ના મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણની સત્યતા ચકાસી હતી અને તે સાથે જ hના મૂલ્યનો સ્વતંત્ર અંદાજ આપ્યો હતો.)
ઉત્તર:
(a) આવૃત્તિ v = \(\frac{c}{\lambda}\) પરથી,
v₁ = \(\frac{c}{\lambda_1}=\frac{3 \times 10^8}{3650 \times 10^{-10}}\) = 8.219 × 10¹⁴ Hz

આલેખનો ઢાળ, = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\)
= \(\frac{\Delta \mathrm{V}_0}{\Delta \mathrm{v}}=\frac{1.28-0}{(8.2-5.0) \times 10^{14}}\)
= \(\frac{1.28}{302 \times 10^{14}}\) = 0.4 × 10^-14
= 4 × 10^-15 Vs
⇒ આઇન્સ્ટાઇનના ફોટોઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ,
eV₀ = hv – Φ₀
∴ eΔV₀ = hΔv [∵ Φ₀ = અચળ]
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{V}_0}{\Delta \mathrm{v}}=\frac{h}{e}\)
∴ h = e × \(\frac{\Delta \mathrm{V}_0}{\Delta v}\)
= 1.6 × 10^-19 × 4.0 × 10^-15
= 6.4 × 10^-34 JS

(b) થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ,
v₀ = 5.0 × 10¹⁴ Hz
જે V₀ → v ના આલેખ પરથી મળે છે.
કાર્યવિધેય,
Φ₀ = hv₀
= 6.63 × 10^-34 × 5 × 10¹⁴
= 33.15 × 10^-20 J
= \(\frac{33.15 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}}\)
= 2.0718 eV
= 2.1 eV

પ્રશ્ન 29.
નીચેની ધાતુઓનું કાર્યવિધેય આ મુજબ આપેલ છે :
Na: 2.75 eV, K: 2.30 eV, Mo: 4.17 eV, Ni: 5.15 eV. આમાંથી કઈ ધાતુ ફોટોસેલથી 1 m અંતરે મૂકેલા He-Cd લેસરમાંથી આવતા 3300 Å તરંગલંબાઈના વિકિરણ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન નહીં આપે ? જો લેસરને પાસે લાવીને 50 cm અંતરે મૂકવામાં આવે તો શું થશે ?
ઉત્તર:
અહીં λ = 3300 Å 33 × 10^-8 m
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1
1 eV = 1.6 × 10^-19 J
⇒ λ તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનની ઊર્જા,
E = \(\frac{h c}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{33 \times 10^{-8}}\)
∴ E = 0.6027 × 10^-18 J
∴ E = \(\frac{0.6027 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
∴ E = 0.37668 × 10¹
∴ E ≈ 3.77 eV

∴ આપાત પ્રકાશની ઊર્જા સોડિયમ અને પોટૅશિયમના કાર્ય વિધેય કરતાં વધારે છે તેથી, ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે. પણ આપાત પ્રકાશની ઊર્જા, મોલિબ્ડેનમ અને નિકલના કાર્યવિધેય કરતાં ઓછી હોવાથી તેનાં માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન નહીં થાય.

⇒ હવે ફોટોસેલને 1 m થી 50 cm દૂર મૂકતાં, આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ બદલાતી નથી તેથી, Mo અને Ni ની ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસરમાં ફેરફાર થશે નહીં. પણ અંતર ઘટતાં પ્રકાશની તીવ્રતા વધે છે તેથી Na અને K ની બાબતમાં ફોટોઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહ વધશે.

પ્રશ્ન 30.
10^-5Wm^-2 તીવ્રતાનો પ્રકાશ, 2 cm² જેટલું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સોડિયમ ફોટોસેલ પર પડે છે. સોડિયમના ઉપરના 5 સ્તરો આપાત પ્રકાશનું શોષણ કરે છે તેમ ધારીને વિકિરણની તરંગ પ્રકૃતિ મુજબ ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે કેટલો સમય લાગશે તે નક્કી કરો. ધાતુનું કાર્યવિધેય લગભગ 2 eV જેટલું આપેલું છે. તમારો જવાબ શું સૂચવે છે ?
ઉત્તર:
અહીં તીવ્રતા I = 10^-5Wm^-2
ક્ષેત્રફળ A = 2 cm2 = 2 × 10^-4 m²
સ્તરોની સંખ્યા = 5
ધાતુનું કાર્યવિધેય Φ₀ = 2 eV
ધારો કે, સોડિયમના એક પરમાણુમાંથી એક વાહક ઇલેક્ટ્રૉન મળે છે.
પરમાણુનું અસરકારક ક્ષેત્રફળ = 10^-20 m²
∴ 5 સ્તરમાંથી મળતાં વાહક ઇલેક્ટ્રૉનની સંખ્યા,

પાવર = તીવ્રતા × ક્ષેત્રફળ
P 10^-5 × 2 × 10^-4
= 2 × 10^-9 W
⇒ આપાત પ્રકાશનો પાવ૨ સમાન રીતે સતત ઇલેક્ટ્રૉન શોષે છે.
∴ દ૨ સેકન્ડે દ૨ ઇલેક્ટ્રૉને શોષેલી ઊર્જા = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{N}}\)
∴ E = \(\frac{2 \times 10^{-9}}{10^{17}}\) = 2 × 10–26 W
⇒ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન માટે જરૂરી સમય,

≈ 0.51 વર્ષ
નોંધ : પ્રાયોગિક રીતે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર તાત્ક્ષણિક (109 s સમયમાં) છે. તેથી, પ્રકાશના તરંગવાદ અનુસાર તે પ્રાયોગિક પરિણામ સાથે સંમત નથી.

પ્રશ્ન 31.
સ્ફટિક દ્વારા વિવર્તનના પ્રયોગો, ક્ષ-કિરણો કે યોગ્ય વોલ્ટેજ દ્વારા પ્રવેગિત કરેલા ઇલેક્ટ્રૉન વડે કરી શકાય છે. કયા શોધક (Probe) (કિરણ)ની ઊર્જા વધુ હશે ? (માત્રાત્મક સરખામણી માટે, શોધક/કિરણની તરંગલંબાઈ 1 Å લો, જે લેટિસના આંતર પરમાણ્વિક અંતરોના ક્રમની છે.) (m_e = 9.11 × 10^-31 kg)
ઉત્તર:
અહીં X-ray ના ફોટોનની તરંગલંબાઈ λ = 1 Å = 10^-10 m
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1
એક ફોટોનની ઊર્જા,
E = hv = \(\frac{h c}{\lambda}\)
∴ E = \(\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{10^{-10}}\)
∴ E = 19.89 × 10^-16 J
∴ E = \(\frac{19.89 \times 10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}}\)eV
= 12.43 × 10³ eV ≈ 12.4 KeV …………….. (1)
⇒ ઇલેક્ટ્રૉન માટે,
λ = 1Å = 10^-10 m
m_e = 9.1 × 10^-31 kg
∴ વેગમાન P = \(\frac{h}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-10}}\)
∴ p = 6.63 × 10^-24 kg ms^-1
⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K = \(\frac{p^2}{2 m_e}\)
∴ K = \(\frac{\left(6.63 \times 10^{-24}\right)^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}}\)
∴ K = 2.4152 × 10^-17 J
∴ K = \(\frac{2.4152 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}}\)
∴ K = 1.5095 × 10²
∴ K = 150.9 eV ………….. (2)
આમ, એક સમાન તરંગલંબાઈ માટે, પરિણામ (1) અને (2) પરથી, ફોટોનની ઊર્જા ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા કરતાં ઘણી વધુ છે.

પ્રશ્ન 32.
(a) 150 eV ગતિઊર્જા ધરાવતા ન્યૂટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. સ્વાધ્યાય 11.31 માં તમે જોયું તે મુજબ આ ઊર્જા ધરાવતું ઇલેક્ટ્રૉન બીમ સ્ફટિક દ્વારા વિવર્તનના પ્રયોગો માટે યોગ્ય છે. શું આટલી જ ઊર્જા ધરાવતું ન્યૂટ્રોનનું બીમ એટલું જ યોગ્ય છે ? સમજાવો. (m_n 1.675 × 10^-27 kg)
(b) ઓરડાના તાપમાને (27 °C) રહેલા થર્મલ ન્યૂટ્રોન સાથે સંકળાયેલી ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. તે પરથી સમજાવો કે શા માટે ન્યૂટ્રોન વિવર્તનના પ્રયોગો કરતાં પહેલાં ઝડપી ન્યૂટ્રોન બીમને પર્યાવરણ જેવી જ ઉષ્મીય સ્થિતિમાં લાવવું (Thermalise કરવું) જરૂરીછે.
ઉત્તર:
(a) અહીં m_n = 1.675 × 10^-27 kg
K = 150 eV = 150 × 1.6 × 10^-19 J = 2.4 × 10^-17 J
h = 6.63 × 10^-34 Js, c = 3 × 10⁸ ms^-1

= 2.3386 × 10^-12 m
∴ λ ≈ 2.34 × 10^-12 m
આંતર પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર (1 Å = 10^-10 m) છે જે ન્યૂટ્રૉનની તરંગલંબાઈ કરતાં લગભગ 100 ગણી મોટી છે. તેથી 150 eV નું ન્યૂટ્રૉનનું બીમ વિવર્તન માટે યોગ્ય નથી.

(b) પ્રમાણભૂત T તાપમાને ન્યૂટ્રૉનની સરેરાશ ગતિઊર્જા, \(\frac {1}{2}\)m_nv² = \(\frac {3}{2}\) k_BT જ્યાં k_B બૉલ્ટ્સમેન અચળાંક

λ = 0.14536 × 10^-9 m
λ ≈ 1.45 × 10^-10 m = 1.45 Å
⇒ આ અંતર સ્ફટિકના અંતર જેટલું જ છે.
⇒ પરિણામ (a) અને (b) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, વિવર્તનના પ્રયોગો માટે થર્મલ ન્યૂટ્રૉન યોગ્ય છે. આથી, ઊંચી ઊર્જાના ન્યૂટ્રૉન બીમનો વિવર્તન માટે ઉપયોગ કરતાં પહેલાં તેને થર્મલ ન્યૂટ્રૉનમાં ફેરવવો જોઈએ.

પ્રશ્ન 33.
એક ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ 50kV વૉલ્ટેજ વડે પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનનો ઉપયોગ કરે છે. આ ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. જો બીજાં પરિબળો (જેવા કે, ન્યુમેરીકલ એપર્ચર, વગેરે) લગભગ એના એ જ લેવામાં આવે તો ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ અને પીળા પ્રકાશનો ઉપયોગ કરતા ઓપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ વચ્ચે સરખામણી કરો.
ઉત્તર:
અહીં V = 50 kV = 5 × 10⁴V, h = 6.63 × 10^-34 Js
m_e = 9.1 × 10^-31 kg
⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિઊર્જા,
K = eV
= 1.6 × 10^-19 × 5 × 10⁴
= 8 × 10^-15 J
⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ_e = \(\frac{h}{\sqrt{2 m_e \mathrm{~K}}}\)
∴ λ_e = \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 8 \times 10^{-15}}}\)
= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{12.066 \times 10^{-23}}\)
= 0.5494 × 10^-11
≈ 5.5 × 10^-12 m
⇒ હવે પીળા રંગના પ્રકાશની તરંગલંબાઈ,
λ_y = 550 × 10^-9 m
⇒ માઇક્રોસ્કોપની વિભેદનશક્તિ ∝ \(\frac{1}{\lambda}\)

= 10⁵
∴ આથી, ઇલેક્ટ્રૉન માઇક્રોસ્કોપનો R.P એ ઑપ્ટિકલ માઇક્રોસ્કોપના R.P કરતાં 105 ગણો મોટો છે.
⇒ વ્યવહારમાં બીજા ઘટકોના ભૌમિતિક તફાવતો આ સરખામણી થોડીક બદલી શકે.

પ્રશ્ન 34.
કોઈ પણ બંધારણની ઊંડાણપૂર્વક માહિતી મેળવવા માટે ઉપયોગી તરંગલંબાઈ તેના બંધારણના આશરે પરિમાણનું માપ દર્શાવે છે. પ્રોટોન અને ન્યૂટ્રોનના ક્વાર્ક બંધારણમાં 10^-15 m કે તેથી ઓછી લંબાઈના અતિસૂક્ષ્મ માપક્રમના અંતરે જણાય છે. આ બંધારણ વિશે પ્રથમ તપાસ 1970ના સમયગાળામાં, સ્ટેનફોર્ડ, USAમાં રેખીય પ્રવેગક (Linear Accelerator) વડે ઉત્પન્ન કરેલા ઉચ્ચ ઊર્જાના ઇલેક્ટ્રોન બીમ વડે કરાઈ હતી. કલ્પના કરો કે આ માટે ઇલેક્ટ્રોન બીમની ઊર્જા કયા ક્રમની હશે ? (ઇલેક્ટ્રોનની સ્થિર દળ ઊર્જા = 0.511 MeV)
ઉત્તર:
અહીં λ = 10^-15 m, h = 6.63 × 10^-34 Js
c = 3 × 10⁸ ms^-1
⇒ વેગમાન
p = \(\frac{h}{\lambda}=\frac{6.63 \times 10^{-34}}{10^{-15}}\)
∴ p = 6.63 × 10^-19 kg ms^-1
⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની સ્થિર દળ ઊર્જા,
m₀c² = 0.511 MeV
∴ m₀c² = 0.511 × 10⁶ × 1.6 × 10^-19 J
= 0.8176 × 10^-13 J
⇒ સાપેક્ષવાદના સૂત્ર પરથી ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,
E = \(\sqrt{p^2 c^2+m_0^2 c^4}\)
∴ E² = P²c² + m₀²c² = p²c² + (m₀c²)²
= (6.63 × 10^-19)² × (3 × 10⁸)² + (0.8176 × 10^-13)²
= 395.9 × 10^-28 + 0.66846 × 10^-26
પણ સ્થિર દળ ઊર્જાને અવગણતાં,
E² = 395.6 × 10^-22
∴ E = 19.8896 × 10^-11
E ≈ 19.89 × 10^-11 J
∴ E = \(\frac{19.89 \times 10^{-11}}{1.6 \times 10^{-10}}\) BeV [∵ 1 BeV = 1.6 × 10^-10 J]
= 1.243 BeV
∴ E ≈ 1.24 BeV
આથી, પ્રવેગકમાંથી મળતાં ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા અમુક BeVના ક્રમની હોવી જોઈએ.

પ્રશ્ન 35.
ઓરડાના તાપમાને (27 °C) અને 1 atm દબાણે રહેલા હિલિયમ વાયુમાં હિલિયમ પરમાણુ સાથે સંકળાયેલી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો, તથા તેને આ પરિસ્થિતિમાં બે પરમાણુઓ વચ્ચેના સરેરાશ અંતર સાથે સરખાવો.
ઉત્તર:
He નો પરમાણુભાર = 4 g = 4 × 10^-3 kg
અહીં દબાણ P = 1 વાતા. = 1.01 × 10⁵ N/m²
બોલ્ટ્સમેન અચળાંક k_B = 1.38 × 10^-23 J mol^-1 K^-1
T = 27 + 273 = 300 K, N₀ = 6 × 10²³
⇒ આપેલ પરમાણુનું દળ

⇒ પ્રમાણભૂત તાપમાન T એ He ના પરમાણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા,
\(\frac {1}{2}\)mv² = \(\frac {3}{2}\) k_B T
∴ m² v² = 3 mk_BT
∴ p² = 3 mk_BT
∴ p = \(\sqrt{3 m k_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}\)
હવે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,

∴ λ = 0.0728 × 10^-9
∴ λ ≈ 0.73 × 10^-10 m
⇒ 1 મોલ વાયુનું અવસ્થા સમીકરણ,
PV = RT
∴ PV = N_AK_BT [∵ K_B = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) ⇒ R = N_AK_B]
∴ \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}=\frac{k_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}{\mathrm{P}}\)

log r = 0.5378 × 10^-9
Antilog r = 3.449 × 10^-9
∴ r ≈ 3.4 × 10^-9 m
આથી, r > > λ મળે છે. એટલે કે, બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ કરતાં ઘણું જ વધારે છે.

પ્રશ્ન 36.
કોઈ ધાતુમાં 27°C તાપમાને રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈની ગણતરી કરો અને તેને ધાતુમાં રહેલા બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેના સરેરાશ અંતર સાથે સરખાવો જે લગભગ 2 × 10^-10m જેટલું આપેલ છે.
(નોંધ : સ્વાધ્યાયો 11.35 અને 11.36 દર્શાવ છે કે સામાન્ય પરિસ્થિતિઓમાં વાયુના અણુઓ સાથે સંકળાયેલા તરંગ પેકેટ સંપાત થતા નથી, જ્યારે ધાતુમાં ઇલેક્ટ્રૉનના તરંગ પેકેટ એકબીજા પર પ્રબળ રીતે સંપાત થયેલા હોય છે. આ દર્શાવ છે કે, સામાન્ય વાયુમાં વાયુના અણુઓને એકબીજાથી અલગ પાડી શકાય છે, જ્યારે ધાતુમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનને એકબીજાથી અલગ પાડી શકાતા નથી. આ અભેદપણું ઘણા પાયાના અનુમાનો તરફ દોરી જાય છે જે તમે આગળ ઉપર ભૌતિકશાસ્ત્રના ઉચ્ચ અભ્યાસમાં જાણશો.)
ઉત્તર:
T = 27 + 273 = 300 K, k_B = 1.38 × 10^-23 J mol^-1 K^-1
m = 9.1 × 10^-31 kg, h = 6.63 × 10^-34 Js
બે ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચેનું અંતર r = 2 × 10^-10 m
⇒ ઇલેક્ટ્રૉનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,

= \(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{106.31 \times 10^{-27}}\)
= 0.06236 × 10^-7
≈ 6.2 × 10^-9 m
⇒ ધાતુમાં બે ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર,
r = 2 × 10^-10 m છે.
∴ \(\frac{\lambda}{r}=\frac{6.2 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-10}}\) = 31
આમ, ધાતુમાં બે ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચેના સરેરાશ અંતર કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ 31 ગણી વધારે છે.

પ્રશ્ન 37.
નીચે આપેલા પ્રશ્નોના જવાબ આપો :
(a) પ્રોટોન અને ન્યૂટ્રોનમાં રહેલા ક્વાર્કસ અપૂર્ણાંક વિદ્યુતભારો [(+\(\frac {2}{3}\))e;(-\(\frac {1}{3}\))e] ધરાવતા હોવાનું
માનવામાં આવે છે. આવું મિલિકનના પ્રયોગો દરમિયાન કેમ જોવામાં ન આવ્યું ?
(b) \(\frac{e}{m}\) એ જોડાણમાં ખાસ નવું શું છે ? શા માટે આપણે એકલા ? કે m વિશે વાત કરતા નથી ?
(c) શા માટે સામાન્ય દબાણે વાયુઓ અવાહક અને ખૂબ ઓછા દબાણે વાહક બનવા લાગે છે ?
(d) દરેક ધાતુને એક ચોક્કસ કાર્યવિધેય હોય છે. જો આપાત પ્રકાશ એકરંગી હોય તો શા માટે બધા ફોટો ઇલેક્ટ્રોન સમાન ઊર્જા સાથે બહાર નીકળતા નથી ? શા માટે ફોટો ઇલેક્ટ્રોન ઊર્જા વિતરણ ધરાવે છે ?
(e) ઇલેક્ટ્રોનની ઊર્જા અને વેગમાન, તેમની સાથે સંકળાયેલ દ્રવ્ય તરંગની આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ સાથે આ સમીકરણો વડે સંકળાયેલા છે :
E = hv, p = \(\frac{h}{\lambda}\) અહીં λ નું ભૌતિક મહત્ત્વ હોવા છતાં, જ નાં મૂલ્ય (અને તેથી ફેઝ (કલા) ઝડપ, λv) નું કોઈ ભૌતિક મહત્ત્વ નથી. શા માટે ?
ઉત્તર:
(a) પ્રોટૉન કે ન્યૂટ્રૉનમાં ક્વાર્કસ એવાં બળો વડે બંધાયેલા માનવામાં આવ્યા છે કે જેમને જુદા કરવાનો પ્રયત્ન કરતાં આ બળ વધે છે. આથી, એમ લાગે છે કે અપૂર્ણાંક વિદ્યુતભારો કુદરતમાં હાજર હોવા છતાં અનુભવી શકાય એવા વિદ્યુતભારો e ના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોય છે.

(b) વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂળભૂત સમીકરણ eE = ma અથવા eV = \(\frac {1}{2}\)mv² તથા ચુંબકીયક્ષેત્ર માટેનું મૂળભૂત
સમીકરણ,
\(\frac {1}{2}\)mv² = BeV
આ સમીકરણો દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રૉનનું ગતિશાસ્ત્ર ફક્ત e અને m વડે સ્વતંત્ર રીતે નહીં પણ \(\frac{e}{m}\) ના સંયોજન વડે નક્કી થાય છે.

(c) નીચા દબાણે આયનોને તેમના અનુરૂપ ઇલેક્ટ્રૉડ સુધી પહોંચવાનો અને પ્રવાહ રચવાનો મોકો મળે છે. સામાન્ય
દબાણે, વાયુના અણુઓ સાથેની અથડામણો અને સંયોજન બનવાથી તેમને આમ કરવાનો મોકો મળતો નથી.

(d) કાર્યવિધેય એ ધાતુમાં કંડક્શન બૅન્ડના ઉચ્ચત્તમ સ્તરમાં રહેલાં ઇલેક્ટ્રૉનને ધાતુમાંથી બહાર કાઢવા માટે જરૂરી લઘુતમ ઊર્જા દર્શાવે છે.
– ધાતુમાં બધા જ ઇલેક્ટ્રૉન આ ઉચ્ચત્તમ ઊર્જાસ્તરમાં હોતાં નથી. તેઓ (ઊર્જાઓ) સ્તરોના સતત પટ્ટા (Band) માં હોય છે. પરિણામે આપેલ આપાત વિકિરણ વડે જુદા-જુદા સ્તરોમાંથી બહાર નીકળેલા ઇલેક્ટ્રૉનોની ઊર્જા જુદી-જુદી હોય છે. તેથી, તેઓ ઊર્જા વિતરણ ધરાવે છે.

(e) કોઈ પણ કણની નિરપેક્ષ ઊર્જા E (પણ વેગમાન p નહીં)નું મૂલ્ય, કોઈ ઉમેરી શકાય તેવા અચળાંકની અંદર યાદૈચ્છિક હોય છે. આથી λ નું ભૌતિક મહત્ત્વ હોવા છતાં ઇલેક્ટ્રૉનના દ્રવ્ય તરંગ માટે v (આવૃત્તિ)ના નિરપેક્ષ મૂલ્યનું (પ્રત્યક્ષ રીતે) કોઈ ભૌતિક મહત્ત્વ નથી.
– કળા ઝડપ vλ નું પણ તેવી જ રીતે કોઈ ભૌતિક મહત્ત્વ નથી. સમૂહ (ગ્રૂપ)માં ઝડપનું ભૌતિક મહત્ત્વ છે, જે આ મુજબ અપાય છે. ગ્રૂપ ઝડપ માટે,

GSEB Class 12 Physics વિકિરણ અને દ્રવ્યની દ્વૈત પ્રકૃતિ NCERT Exemplar Questions and Answers

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-I)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક જ વિકલ્પ સાચો છે :

પ્રશ્ન 1.
એક કણને ઊંચાઈ H પરથી પડતો મૂકવામાં આવે છે. કણની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ એ ઊંચાઈના વિધેય તરીકે ના ………………….. પ્રમાણમાં હોય છે.
(A) H
(B) H^1/2
(C) H⁰
(D) H^-1/2
જવાબ
(D) H^-1/2

• અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ v² – v₀² = 2ad અનુસાર મુક્તપતન પામતા કણ માટે v₀ = 0, a = – g તથા d = – H
  લેતાં,
  v² – (0)² = 2(- g) (- H)
  ∴ v² = 2gH …………… (1)
  ∴ v= \(\) (કણ જમીન પર પહોંચવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ)
• હવે, સૂત્રાનુસાર ઉપરોક્ત કણ જમીનને સ્પર્શવાની અણી પ૨ હોય ત્યારે તેને રજૂ કરતા તરંગની તરંગલંબાઈ (દ્રવ્ય તરંગલંબાઈ અથવા ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ) સૂત્રાનુસાર,
  λ = \(\frac{h}{m v}\)
  (જ્યાં h = પ્લાન્કનો અચળાંક
  m = કણનું દળ
  v = કણનો વેગ)
  = \(\frac{h}{m \sqrt{2 g H}}\) (સમીકરણ (1) પરથી)
  ∴ λ ∝\(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{H}}}\) (∵ h, m અને g અચળ છે)
  ∴ λ ∝ H^-1/2
  ⇒ વિકલ્પ (D) સાચો છે.

પ્રશ્ન 2.
ન્યુક્લિયસમાં રહેલો પ્રોટોન કે જે 1 MeV ઊર્જાથી ન્યુક્લિયસ સાથે બંધાયેલો છે તેને દૂર કરવા જરૂરી પ્રોટોનની તરંગલંબાઈ લગભગ ………………..
(A) 1.2 nm
(B) 1.2 × 10^-3 nm
(C) 1.2 × 10^-6 nm
(D) 1.2 × 10¹ nm
જવાબ
(B) 1.2 × 10^-3 nm
જો ફોટોનની ઊર્જા E_p, પ્રોટૉનની બંધનઊર્જાના માનાંક |E| જેટલી કે તેના કરતાં વધારે હોય તો જ ફોટોન, પ્રોટૉનને ન્યુક્લિયસની બહાર કાઢી શકે. તેથી,
E_p ≥ | E |
∴ (E_p)_min = | E |
∴ \(\frac{h c}{\lambda}\) = |E| [∵ફોટોનની ઊર્જા E = \(\frac{h c}{\lambda}\)
∴ λ = \(\frac{h c}{|\mathrm{E}|}\)
= \(\frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}}\)
= 1.242 × 10^-12 m
= 1.242 × 10^-3 × 10^-9 m
= 1.242 × 10^-3 nm 1.2 × 10^-3 nm

પ્રશ્ન 3.
ઇલેક્ટ્રોનનું કિરણજૂથ (દરેક ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા E₀ શૂન્યાવકાશિત કરેલ ચેમ્બરમાં મૂકેલી ધાતુની સપાટી પર આપાત થાય છે. આથી
(A) ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થશે નહીં, કેમ કે માત્ર ફોટોન જ ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન કરે છે.
(B) ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થશે, પરંતુ બધાની ઊર્જા E₀ હશે.
(C) મહત્તમ ઊર્જા E₀ – Φ [Φ એ કાર્યવિધેય (થ્રેશોલ્ડ ઊર્જા, work function) છે] હોય, તેવી કોઈ પણ ઊર્જા સાથે ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થશે.
(D) મહત્તમ ઊર્જા E₀ હોય તેવી કોઈ પણ ઊર્જા સાથે ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થશે.
જવાબ
(D) મહત્તમ ઊર્જા E₀ હોય તેવી કોઈ પણ ઊર્જા સાથે ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થશે.
કારણ કે, આપાત ઇલેક્ટ્રૉન, ધાતુમાંના ઇલેક્ટ્રૉનને અથડાય ત્યારે તે અથડામણ, બે કણો વચ્ચેની અથડામણ છે જેમાં અથડામણના પ્રકાર પર આધારિત રહીને ઊર્જાની વહેંચણી થાય છે. સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં E₀ જેટલી ઊર્જા પૂરેપૂરી વિનિમય પામતી હોવાથી તે કિસ્સામાં ઇલેક્ટ્રૉન E₀ જેટલી મહત્તમ ઊર્જા સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે બાકીના કિસ્સાઓમાં E₀ કરતાં ઓછી એવી કોઈ પણ ઊર્જા સાથે ઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન થાય છે. (આવું ઉત્સર્જન, તત્કાલીન હોય છે. તેમાં તરંગોના કિસ્સામાં જોવા મળે છે એવો સમયનો તફાવત પડતો નથી.)

પ્રશ્ન 4.
ધોરણ XII માટેના ભૌતિકવિજ્ઞાનના પાઠ્યપુસ્તકમાંની આકૃતિ 11.7 વિચારો. ધારો કે A ને આપેલ વોલ્ટેજમાં વધારો કરવામાં આવે છે. વિવર્તન પામેલ કિરણજૂથના અધિકતમ માટે θ નું મૂલ્ય …………………..

(A) અગાઉના મૂલ્ય કરતાં વધારે હશે.
(B) અગાઉના મૂલ્ય જેટલું જ હશે.
(C) અગાઉના મૂલ્ય કરતાં ઓછું હશે.
(D) લક્ષ્ય (target) પર આધાર રાખશે.
જવાબ
(C) અગાઉના મૂલ્ય કરતાં ઓછું હશે.
ડેવિસન-ગર્મરના પ્રયોગમાં જો ઍનોડને આપેલો વોલ્ટેજ V હોય, તો ઇલેક્ટ્રૉન સાથે સંકળાયેલી ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{12.27}{\sqrt{V}}\) A° ……………… (1)
જો θ કોણે વિવર્તન પામતા ઇલેક્ટ્રૉન માટે મધ્યસ્થ અધિકતમની શરત, 2dsinθ = λ ……………….. (2)
સમીકરણ (1) પરથી V વધે તો λ ઘટે અને સમીકરણ (2) પરથી λ ઘટતાં sinθ ઘટે. એટલે કે, 6 ઘટે.
(નાના કોણ માટે sinθ ≈ θ)

પ્રશ્ન 5.
પ્રોટોન, ન્યૂટ્રોન, ઇલેક્ટ્રૉન અને -કણ સમાન ઊર્જા ધરાવે છે, તો તેમની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈઓની સરખામણી
અનુસાર આપી શકાય.
(A) λ_p = λ_n > λ_e > λ_α
(B) λ_α < λ_p = λ_n > λ_e
(C) λ_e < λ_p = λ_n > λ_α
(D) λ_e = λ_p = λ_n = λ_α
જવાબ
(B) λ_α < λ_p = λ_n > λ_e
સૂત્રાનુસાર, ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
λ = \(\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2 m \mathrm{~K}}}\) …………….. (1) (∵ કણની ગતિઊર્જા K = \(\frac{p^2}{2 m}\))
– અત્રે ગતિઊર્જા K સમાન હોવાથી,
λ ∝ \(\frac{1}{\sqrt{m}}\) …………… (2)
હવે m_α > m_p = m_n > m_e હોવાથી સમીકરણ (2) અનુસાર, λ_α < λ_p = λ_n < λ_e

પ્રશ્ન 6.
ઇલેક્ટ્રૉન \(\overrightarrow{\mathrm{v}}\) = v₀î જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે અને \(\overrightarrow{\mathbf{B}}\) = B₀ĵ જેટલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરે છે, તો તેમની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ
(A) અચળ રહેશે.
(C) સમય સાથે ઘટશે.
(B) સમય સાથે વધશે.
(D) આવર્તાય રીતે વધશે અને ઘટશે.
જવાબ
(A) અચળ રહેશે.
પ્રસ્તુત કિસ્સામાં ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું ચુંબકીય બળ,
\(\overrightarrow{\mathrm{F}_{\mathrm{m}}}=e(\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \vec{v})\)
= e{B₀ĵ × v₀î}
= eB₀v₀(ĵ × î )
= eB₀v₀(-k̂)
⇒ F_m = eB₀v₀ ની દિશા -Z-અક્ષ હશે જે \(\vec{v}\) ની દિશાને લંબ છે. તેથી ઇલેક્ટ્રૉન પ્રસ્તુત ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ એવા સમતલમાં v₀ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળમય ગતિ કરશે.
તેથી તેની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ = \(\frac{h}{m v_0}\) h, m અને v₀ સમાન તેથી, λ અચળ રહે છે.

પ્રશ્ન 7.
ઇલેક્ટ્રૉન (દ્રવ્યમાન m) \(\vec{v}\) = v₀î(v₀ > 0) જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) = -E₀î (E₀ = અચળ > 0) જેટલા વિધુતક્ષેત્રમાં છે. તેની t સમયે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ …………………. વડે આપી શકાય.
(A) \(\frac{\lambda_0}{\left(1+\frac{e \mathrm{E}_0}{m} \frac{t}{v_0}\right)}\)
(B) λ₀(1 + \(\frac{e \mathrm{E}_0 t}{m v_0}\))
(C) λ₀
(D) λ₀t
જવાબ
(A) \(\frac{\lambda_0}{\left(1+\frac{e \mathrm{E}_0}{m} \frac{t}{v_0}\right)}\)
અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ v = v₀ + at અનુસાર,

પ્રશ્ન 8.
ઇલેક્ટ્રૉન (દ્રવ્યમાન m) \(\vec{v}\) = v₀î પ્રારંભિક વેગ સાથે \(\overrightarrow{\mathbf{E}}\) = -E₀ĵ જેટલા વિધુતક્ષેત્રમાં છે. જો λ₀ = \(\frac{h}{m v_0}\) તોt સમયે તેની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ …………………. વડે આપી શકાય.

જવાબ

સૂત્રાનુસાર, t સમય બાદ ઇલેક્ટ્રૉનનો વેગ,

ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,

બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોત્તર (MCQ-II)
નીચેના પ્રશ્નોમાં એક અથવા એક કરતાં વધુ વિકલ્પ સાચા હોઈ શકે છે :

પ્રશ્ન 1.
ગતિઊર્જાને રજૂ કરતું સમીકરણ \(\frac {1}{2}\)mv² જ્યારે mc² સાથે સરખાવી શકાય, જ્યાં m એ કણનું દ્રવ્યમાન છે તેવું બને ત્યારે સાપેક્ષવાદીય સુધારો જરૂરી બને છે. ઇલેક્ટ્રૉન માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં ક્યારે સાપેક્ષવાદીય સુધારો અગત્યનો બને ?
(A) λ = 10 nm
(B) λ = 10^-1 nm
(C) λ = 10^-4 nm
(D) λ = 10^-6 nm
જવાબ
(C, D)

• ધારો કે, ઇલેક્ટ્રૉનની મહત્તમ ઝડપ v_max = c થાય ત્યારે તેની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ છે તેનું મૂલ્ય,
  λ_min = \(\frac{h}{m v_{\max }}=\frac{h}{m c}\) ……………. (1)
  ∴ λ_min = \(\frac{6.625 \times 10^{-34}}{9.1 \times 10^{-31} \times 3 \times 10^8}\)
  = 0.2427 × 10–11 m
  = 0.002427 × 10–9 m
  ∴ λ_min 0.002427 nm ≈ 2.4 × 10^-3 nm …………….. (2).
  ⇒ સમીકરણ (1) અને (2) પરથી કહી શકાય કે,
  જો v > c બને તો λ < λ_min થાય.
• અત્રે વિકલ્પ (C) અને (D) માં λ < λ_min આપેલ છે તેથી આ કિસ્સાઓમાં v > c મળશે તેથી આ બે કિસ્સાઓમાં સાપેક્ષવાદને આધારે સુધારો કરવો પડશે.

પ્રશ્ન 2.
m₁, m₂ (m₁ > m₂) દ્રવ્યમાન ધરાવતા બે કણ A₁ અને A₂ ને સમાન ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ છે. આથી,
(A) તેમના વેગમાન સમાન હશે.
(B) તેમની ઊર્જાઓ સમાન હશે.
(C) A₁ ની ઊર્જા A₂ ની ઊર્જા કરતાં ઓછી હશે.
(D) A₁ ની ઊર્જા A₂ ની ઊર્જા કરતાં વધારે હશે.
જવાબ
(A, C)

• સૂત્ર p = \(\frac{h}{\lambda}\) અનુસાર અત્રે λ સમાન હોવાથી p પણ સમાન થશે તેથી વિકલ્પ (A) સાચો છે.
• કણની ઊર્જા E = \(\frac{p^2}{2 m}\) ⇒ E ∝ \(\frac{1}{m}\) (∵ p સમાન છે)
  ⇒ E₁ < E₂ (∵ m₁ > m₂)
  ∴ A₁ ની ઊર્જા E₁, A₂ ની ઊર્જા E₂ કરતાં ઓછી હશે. વિકલ્પ (C) સાચો છે.

પ્રશ્ન 3.
પ્રોટોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ એ ઇલેક્ટ્રૉનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ કરતાં બમણી છે. ઇલેક્ટ્રૉનની ઝડપ
V_e = \(\frac{c}{100}\) છે. તો,

જવાબ (B, C)

પ્રશ્ન 4.
દ્રવ્યમાં શોષાયેલ ફોટોન ઉષ્મામાં રૂપાંતર પામે છે. 0° C તાપમાને 1 kg બરફને 0° C તાપમાનવાળા પાણીમાં રૂપાંતર કરવા માટે v આવૃત્તિવાળા, n ફોટોન/સેકન્ડનું ઉત્સર્જન કરતું ઉદ્ગમ ઉપયોગમાં લીધેલ છે, તો આ રૂપાંતર માટે લાગતો સમય T
(A) v નિયત રાખી n વધારતાં ઘટે છે.
(B) n નિયત રાખી v વધારતાં ઘટે છે.
(C) n અને v સાથે બદલવાથી એવી રીતે અચળ રહે છે કે જેથી v = અચળ.
(D) જ્યારે nv ગુણાકાર વધે તેમ વધે છે.
જવાબ
(A, B, C)

• આપેલા ઉદ્ગમનો પાવર,
  P = \(\frac{\mathrm{E}_n}{t}=\frac{n^{\prime} h v}{t}\) hv
  ∴ P = nhv ………….. (1) (∵ અત્રે \(\frac{n^{\prime}}{t}\) = એકમ સમયમાં ઉત્સર્જાતા ફોટોનની સંખ્યા = n આપેલ છે)
• હવે આપેલા બરફને T સમયમાં મળતી ઊર્જા,
  E’ = PT
  ∴ mL = (nhv)T (સમીકરણ (1) પરથી)
  (જ્યાં m = બરફનું દળ, L = બરફની ગલનગુપ્ત ઉષ્મા)
  ∴ T = \(\frac{m \mathrm{~L}}{n h v}\)
  ∴ T ∝ \(\frac{1}{n v}\) (∵ m, L, h અચળ છે) (2)
  સમીકરણ (2) પરથી,
  (i) જો v = અચળ તો n વધારવાથી T ઘટશે.
  ⇒ વિકલ્પ (A) સાચો છે.
  (ii) જો n = અચળ તો v વધારવાથી T ઘટશે.
  ⇒ વિકલ્પ (B) સાચો છે.
  (iii) જો nv = અચળ તો T = અચળ.
  ⇒ વિકલ્પ (C) સાચો છે.
  (iv) જો nv વધે તો T ઘટે.
  ⇒ વિકલ્પ (D) ખોટો છે.

પ્રશ્ન 5.
એક કણ, ઊગમબિંદુની આસપાસ બંધ કક્ષામાં, ઊગમબિંદુ તરફ લાગતા બળના કારણે ગતિ કરે છે. કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ બે મૂલ્યો λ₁, λ₂, જ્યાં λ₁ > λ₂ વચ્ચે ચક્રીય રીતે બદલાય છે. નીચેનામાંથી કાં વિધાન સાચાં છે ?
(A) ઊગમબિંદુ જેનું કેન્દ્ર હોય, તેવી વર્તુળમય ભ્રમણ કક્ષામાં કણ ગતિ કરી શકશે.
(B) કણ ઉપવલયાકાર ભ્રમણ કક્ષામાં ગતિ કરી શકે જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય.
(C) જ્યારે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ₁ હશે ત્યારે, તરંગલંબાઈ λ₂ હોય તેના કરતાં કણ ઊગમબિંદુની વધારે નજીક હશે.
(D) જ્યારે ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ₂ હશે ત્યારે, તરંગલંબાઈ λ₁ હોય, તેના કરતાં કણ ઊગમબિંદુની વધારે નજીક હશે.
જવાબ
(B, D)
જો કણ તેના ઊગમબિંદુ સાથે કેન્દ્રિત લંબવર્તુળ કક્ષામાં ગતિ કરે ત્યારે કણની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ λ₁ અને λ₂ ની વચ્ચે ચક્રીય ગતિ કરે છે. જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

ધારો કે ઊગમબિંદુ O પર કેન્દ્રિત હોય ત્યારે કણના A અને B બિંદુએ ઝડપ અનુક્રમે v₁ અને v₂ છે. તેથી,
λ₁ = \(\frac{h}{m v_1}\) અને λ₂ = \(\frac{h}{m v_2}\)
∴ \(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{v_2}{v_1}\)
પણ λ₁ > λ₂ હોવાથી v₁ > v₂
આકૃતિ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે O બિંદુ B ની નજીક છે. તેથી વિકલ્પ (B) અને (D) સાચા છે.

અતિટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (VSA)

પ્રશ્ન 1.
પ્રોટૉન અને α-કણને સમાન સ્થિતિમાનના તફાવત વડે પ્રવેગિત કરેલ છે. તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈઓ λ_p અને λ_α એકબીજા સાથે કઈ રીતે સંકળાયેલી હશે ?
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 2.
(i) ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસરની સમજૂતીમાં આપણે ધારેલું છે કે, v આવૃત્તિવાળો એક ફોટોન એક ઇલેક્ટ્રૉન સાથે અથડાય છે અને પોતાની ઊર્જા તેને આપી દે છે. આ બાબત ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા E_max ના સમીકરણ E_max = hv – Φ₀ તરફ દોરી જાય છે. જ્યાં Φ₀ એ ધાતુનું કાર્યવિધેય (work function) છે. જો ઇલેક્ટ્રોન બે ફોટોન (દરેકની આવૃત્તિ v)નું શોષણ કરે, તો ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા કેટલી હશે ?
(ii) શા માટે આપણે સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલની ચર્ચામાં આ હકીકત (બે ફોટોનના શોષણ)ને ધ્યાનમાં નથી લીધી ?
ઉત્તર:
(i) ધારો કે એક ઇલેક્ટ્રૉન, v આવૃત્તિવાળા બે ફોટોન્સનું શોષણ કરે છે. જેમાંથી W જેટલી ઊર્જા તે પોતાના ઉત્સર્જન માટે વાપી, K જેટલી ગતિઊર્જા સાથે ઉત્સર્જન પામે છે. તેથી,
K = 2hv – W [∵ બે ફોટોનની આવૃત્તિ]
∴ K_max = 2hv – W_min
∴ K_max = 2hv – Φ₀ (∵ W_min = Φ₀)

(ii) જો ઉપરોક્ત ધારણા (કે એક ઇલેક્ટ્રૉન, બે ફોટોનનું શોષણ કરે છે) સાચી હોય તો કાર્યઊર્જા પ્રમેય અનુસાર,
K_max = V₀e લેતાં (જ્યાં V₀ = સ્ટૉપિંગ પોટેન્શિયલ)
∴ 2hv – Φ₀ = V₀e
∴ V₀ = (\(\frac{2 h}{e}\))v + (- Φ₀)
ઉપ૨ોક્ત સમીકરણનું સ્વરૂપ સુરેખાના સમીકરણ y = mx + c જેવું છે તેથી જો પ્રાયોગિક રીતે V₀ → v નો
આલેખ દોરીએ તો આપણને તેનો ઢાળ (\(\frac{h}{e}\)) જેટલો મળવો જોઈએ પરંતુ પ્રાયોગિક રીતે આ ઢાળ આપણને ફક્ત (\(\)) જેટલો જ મળે છે. તેથી ઉપરોકત ધારણા સાચી નથી અને તેથી જ સ્ટૉપિંગ પોટૅન્શિયલની ચર્ચામાં આવી કોઈ બાબતને ધ્યાનમાં લેવાતી નથી.

પ્રશ્ન 3.
ઘણાં એવાં દ્રવ્યો છે કે જે ટૂંકી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું શોષણ કરે છે અને લાંબી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું ઉત્સર્જન કરે છે. શું એવા કોઈ સ્થિત (stable) પદાર્થો છે કે જે લાંબી તરંગલંબાઈવાળા ફોટોનનું શોષણ કરે અને ટૂંકી તરંગલંબાઈવાળા પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે ?
ઉત્તર:

• પ્રથમ કિસ્સો : આ કિસ્સામાં દ્રવ્ય પર આપાત ફોટોનની ઊર્જા વધારે છે અને ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા ઓછી છે.
• બીજા કિસ્સો આ કિસ્સામાં દ્રવ્ય પર આપાત ફોટોનની ઊર્જા ઓછી અને ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા વધારે છે. આનો અર્થ એવો થાય કે આ બીજા કિસ્સામાં સ્થાયી સ્થિતિમાં ફોટોન ઉત્સર્જિત કરવા દ્રવ્યને સતત ઊર્જા આપવી પડે જે સ્થાયી દ્રવ્ય માટે શક્ય નથી.

પ્રશ્ન 4.
શું ફોટોનનું શોષણ કરતા બધા જ ઇલેક્ટ્રોન ફોટો ઇલેક્ટ્રોન તરીકે બહાર આવે છે ?
ઉત્તર:
ના, દ્રવ્યમાં ફોટોનના શોષણ દ્વારા મોટાભાગના ઇલેક્ટ્રૉન વિખેરાઈ (પ્રકેરીત) જાય છે અને માત્ર જે ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા દ્રવ્યના વર્ક-ફંક્શન કરતાં વધારે હોય તેવાં જ ઇલેક્ટ્રૉન દ્રવ્યમાંથી બહાર આવે છે.

પ્રશ્ન 5.
પ્રકાશનાં બે ઉદ્ગમો દરેક 100 W ના પાવર સાથે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. એક ઉદ્ગમ 1 nm તરંગલંબાઈવાળા ક્ષ-કિરણો (X-rays) અને બીજું 500 nm ના દશ્ય પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. X-કિરણના ફોટોન અને આપેલી તરંગલંબાઈના દૃશ્ય પ્રકાશના ફોટોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તર:
વિકિરણનો પાવર,
p = \(\frac{\mathrm{E}_n}{t}=\frac{n h \mathrm{v}}{t}=\frac{n h c}{t \lambda}\)

ટૂંક જવાબી પ્રશ્નો (SA)

પ્રશ્ન 1.
ફોટો ઉત્સર્જન માટે આકૃતિ ધ્યાનમાં લો. તમે વેગમાન સંરક્ષણ સાથે કેવી રીતે સમાધાન કરશો ? નોંધો કે પ્રકાશ (ફોટોન)ને ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન કરતાં ભિન્ન દિશામાં વેગમાન હોય છે.

ઉત્તર:

• ફોટોઈલેક્ટ્રિના ઉત્સર્જન દરમિયાન આપાત ફોટોનનું વેગમાન ધાતુ પર ટ્રાન્સફર થાય છે. સૂક્ષ્મ સ્તરે ધાતુના પરમાણુઓ ફોટોનનું શોષણ કરે અને તેનું વેગમાન મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસનેમળે છે.
• ઉત્તેજિત ઇલેક્ટ્રૉન ઉત્સર્જાય છે. આથી આપાત ફોર્ટોનનું વેગમાન ઇલેક્ટ્રૉન અને ન્યુક્લિયસને મળે અને વેગમાનના સંરક્ષણનું સમાધાન થતું વિચારી શકાય.

પ્રશ્ન 2.
600 nm તરંગલંબાઈના પ્રકાશથી પ્રકાશિત કરેલ ધાતુને ધ્યાનમાં લો. જ્યારે 400 nm તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉપયોગમાં લેવામાં આવે ત્યારે ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ઊર્જા બમણી થાય છે, તો ધાતુનું વર્ક-ફંક્શન eV માં શોધો.
ઉત્તર:

• મહત્તમ ગતિઊર્જા \(\frac {1}{2}\)mv²_max ને K સંજ્ઞા વડે દર્શાવતા, ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ અનુસાર,
  hv = hv₀ + K
  ∴ \(\frac{h c}{\lambda}\) Φ₀ + K [∵ hv₀ = Φ₀]
  (i) λ₁ માટે \(\frac{h c}{\lambda_1}\) = Φ₀ + K₁ …………. (1)
  (ii) λ₂માટે \(\frac{h c}{\lambda_2}\) = Φ₀ + K₂ = Φ₀ + 2K₁ ………….. (2) (∵ K₂ = 2K₁
• સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
  

પ્રશ્ન 3.
એવું ધારો કે ઇલેક્ટ્રૉન 1 nm)ની પહોળાઈના વિસ્તારમાં મર્યાદિત છે. હાઇજીનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંતના ઉપયોગથી વેગમાનની અનિશ્ચિતતા શોધો. તમે સ્થાનની અનિશ્ચિતતા Δx ને 1nm તરીકે ધારી શકો. P ≈ Δp, ધારો, ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટ (eV) માં શોધો,
ઉત્તર:
હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત અનુસાર,
(Δx)(Δp) ≈ h
∴ (Δx)(Δp) ≈ \(\frac{h}{2 \pi}\)
∴Δp ≈ \(\frac{h}{2 \pi \Delta x}\)
∴ Δp ≈ \(\frac{6.625 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14 \times 1 \times 10^{-9}}\) ∴ Δp = 1.055 × 10^-25 Ns
ઇલેક્ટ્રૉનની ઊર્જા,

નોંધ : અત્રે ઇલેક્ટ્રૉન આપેલા વિસ્તારમાં ગતિ કરતી વખતે કોઈ અથડામણ કરઓ નથી અને તેથી તે કોઈ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા ધારણ કરતો નથી. તેથી ઉપરોક્ત ગણતરીમાં ઇલેક્ટ્રૉનની યાંત્રિકઊર્જાને તેની ગતિઊર્જા તરીકે લઈ શકાય છે.

પ્રશ્ન 4.
સમાન તીવ્રતા I ધરાવતા બે એકરંગી કિરણજૂથ A અને B પડદા પર અથડાય છે. પડદા પર કિરણજૂથ A ના અથડાતા ફોટોનની સંખ્યા, કિરણજૂથ B ના ફોટોનની સંખ્યા કરતાં બમણી છે, તો તમે તેમની આવૃત્તિઓ વિશે શું અનુમાન કરી શકાશો ?
ઉત્તર:
n₁ અને n₂ એ અનુક્રમે A અને B કિરણજૂથમાંના ફોટોનની સંખ્યા છે અને n₁ = 2n₂ છે. તેમજ તેમની આવૃત્તિઓ અનુક્રમે v₁ અને v₂ હોય, તો
A કિરણજૂથના ફોટોનની ઊર્જા = n₁hv₁
B કિરણજૂથના ફોટોનની ઊર્જા = n₂hv₂
રકમ અનુસાર A ની તીવ્રતા = B ની તીવ્રતા,
∴ \(\frac{n_1 h \mathrm{v}_1}{\mathrm{~A} t}=\frac{n_2 h \mathrm{v}_2}{\mathrm{~A} t}\)
∴ \(\frac{n_1}{n_2}=\frac{v_2}{v_1}\)
∴ \(\frac{2 n_2}{n_2}=\frac{v_2}{v_1}\)
∴ 2v₁ = v₂ ∴ v₁ = \(\frac{v_2}{2}\)
તેથી A કિરણજૂથની આવૃત્તિ, B કિરણજૂથની આવૃત્તિથી બમણી થાય.

પ્રશ્ન 5.
λ₁ અને λ₂ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ ધરાવતા બે કણ A અને B ભેગા થઈ કણ C બનાવે છે. આ પ્રક્રિયામાં વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. કણ Cની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ શોધો. (ગતિ એક પરિમાણીય છે.)
ઉત્તર:
\(\overrightarrow{p_{\mathrm{A}}} \| \overrightarrow{p_{\mathrm{B}}}\) હોવાથી P_C = P_A + P_B ………… (1)
અહીં ચાર કિસ્સાઓ મળી શકે.
(i) P_A > 0, P_B > 0 એટલે બંને ધન હોય.

(ii) P_A < 0, P_B < 0 એટલે કે બંને ઋણ હોય.

(iii) P_A > 0, P_B < 0 એટલે કે P_A ધન અને P_B ઋણ હોય.

(iv) P_A < 0, P_B > 0 એટલે કે P_A ઋણ અને P_B ધન હોય તો,

પ્રશ્ન 6.
E ઊર્જા ધરાવતું ન્યૂટ્રોનનું કિરણજૂથ, d = 0.1 nm પહોળાઈ (જગ્યા) ધરાવતી સપાટી પર પરમાણુ વડે પ્રકીર્ણન પામે છે. પરાવર્તિત કિરણજૂથમાં તીવ્રતાનું પ્રથમ અધિકતમ θ = 30° એ રચાય છે. કિરણજૂથની ગતિઊર્જા E eV માં કેટલી હશે ?
ઉત્તર:

• પરમાણુઓના બે ક્રમિક સ્તરો વચ્ચેનું લંબઅંતર d હોય ત્યારે તેમના પરથી θ કોણે પરાવર્તિત થતા કિરણો વચ્ચેનો પથતફાવત 2dsinθ જેટલો હોય છે. જે અત્રે સહાયક વ્યતીકરણ માટે nλ જેટલો થશે.
  આમ,
  2dsinθ = nλ
  ∴ 2dsin30° = (1)λ
  ∴ λ = d = 0.1 nm …………. (1)
• હવે પ્રસ્તુત કિસ્સામાં ન્યૂટ્રૉનનું પરાવર્તન, તરંગની જેમ થતું હોવાથી તેનું વેગમાન P = \(\frac{h}{\lambda}\) થવાથી તેની ઊર્જા,
  E = \(\frac{p^2}{2 m}\)
  ∴ E = \(\frac{h^2}{2 m \lambda^2}\)
  ∴ E = \(\frac{\left(6.625 \times 10^{-34}\right)^2}{(2)\left(1.67 \times 10^{-27}\right)\left(0.1 \times 10^{-9}\right)^2}\)
  ∴ E = 13.14 × 10^{-68 + 27 + 20} J
  ∴ E = 13.14 × 10^-21 J
  ∴ E = \(\frac{13.14 \times 10^{-21}}{1.6 \times 10^{-19}}\) eV
  ∴ E = 8.2125 × 10^-2 eV

દીર્ઘ જવાબી પ્રશ્નો (LA)

પ્રશ્ન 1.
સોડિયમનો પાતળો લક્ષ્ય (10^-2 m ચોરસ, જાડાઈ 10^-3 m) વિચારો, જેના પર 100W/m² (λ = 660 nm) તીવ્રતા ધરાવતો પ્રકાશ આપાત થાય ત્યારે 100 μA નો ફોટો પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે. જ્યારે ફોટોન સોડિયમ પરમાણુ સાથે અથડાય ત્યારે ફોટો ઇલેક્ટ્રોન ઉત્પન્ન થવાની સંભાવના શોધો.
[Na ની ઘનતા = 0.97 kg/m³ લો.]
ઉત્તર:

• સોડિયમના આપેલા સ્તરમાં સોડિયમના પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા N’ હોય તો આ સંખ્યાના મોલ,
  μ = \(\frac{\mathrm{N}^{\prime}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}=\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{M}_0}\)
  અત્રે સોડિયમ માટે મોલર પરમાણુ દળ M₀ = 23 g/mol
  ∴ N’ = \(\frac{\mathrm{MN}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{M}_0}\)
  = \(\frac{(\mathrm{V \rho}) \mathrm{N}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{M}_0}\) (જ્યાં V = કદ, ρ = ઘનતા)
  = \(\frac{(A x \rho) N_{\mathrm{A}}}{\mathrm{M}_0}\) (જ્યાં A = આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, x = જાડાઈ)
  = \(\frac{10^{-4} \times 10^{-3} \times 0.97 \times 6.02 \times 10^{23}}{23 \times 10^{-3}}\)
  = 0.254 × 10^{-7 + 23 + 3}
  N’ = 2.54 × 10¹⁸ પરમાણુઓ ……………. (1)
• હવે, આપાત વિકિરણની તીવ્રતા,
  I = \(\frac{\mathrm{E}_n}{\mathrm{~A} t}=\frac{n h \mathrm{v}}{\mathrm{A} t}=\frac{n h c}{\mathrm{~A} t \lambda}\)
  ⇒ એકમ સમયમાં આપેલા સ્તર પર આપાત થતાં ફોટોન્સની સંખ્યા,
  \(\left(\frac{n}{t}\right)=\frac{\mathrm{IA} \lambda}{h c}\)
  = \(\frac{(100)\left(10^{-4}\right)\left(660 \times 10^{-9}\right)}{\left(6.625 \times 10^{-34}\right) \times\left(3 \times 10^8\right)}\)
  = 3.321 × 10¹⁶ ફોટોન્સ/સેકન્ડ ……………… (2)
• જો આપેલા સ્તરમાંથી એકમ સમયમાં ઉત્સર્જાતા ફોટોઇલેક્ટ્રૉન્સની સંખ્યા N હોય તો આ સ્તરમાંથી ફોટોઇલેક્ટ્રૉનના ઉત્સર્જનની સંભાવના P નીચેની વ્યાખ્યા પરથી શોધી શકાય.

∴ \(\frac{\mathrm{N}}{t}\) = 6.25 × 10⁴ ફોટોઇલેક્ટ્રૉન્સ/સેકન્ડ ……………… (4)

• સમીકરણો (1), (2), (3), (4) પરથી,
  P = \(\frac{6.25 \times 10^{14}}{3.321 \times 10^{16} \times 2.54 \times 10^{18}}\)
  ∴ P = 7.41 × 10^-21
• ઉપરોક્ત સંભાવના શૂન્યવત મળે છે. તેનો અર્થ એ થાય કે જો એક ફોટોન, એક જ પરમાણુ સાથે આંતરક્રિયા કરે તો આપણને લગભગ કોઈ ફોટોપ્રવાહ મળે જ નહીં. પરંતુ અત્રે આપણને 100 µA જેટલો ફોટોપ્રવાહ મળે છે તેનો અર્થ એ થયો કે આપાત થતો દરેક ફોટોન એક-એક ઇલેક્ટ્રૉન સાથે આંતરક્રિયા કરતો હશે. ત્યારબાદ, જે કોઈ ઇલેક્ટ્રૉન માટે આપાત ફોટોનમાંથી શોષાતી ઊર્જા તેની બંધનઊર્જા કરતાં વધે તો ઉત્સર્જન પામે છે. આ રીતે ઇલેક્ટ્રૉન્સના ઉત્સર્જનની સંભાવના પ્રમાણમાં ઘણી વધારે મળે છે. જે પ્રાયોગિક અવલોકન સાથે સુસંગત છે.

પ્રશ્ન 2.
ધાતુની સપાટી (અનંત વિસ્તારવાળી સપાટી તરીકે વર્તે)ની સામે d અંતરે ઇલેક્ટ્રોન વિચારો. પ્લેટ વડે લાગતું આકર્ષણ બળ \(\) ધારો. વિધુતભારને પ્લેટથી અનંત અંતરે લઈ જવા કરવું પડતું કાર્ય ગણો. d = 0.1 nm લઈને, કાર્ય ઇલેક્ટ્રૉન વોલ્ટમાં શોધો. (આવા બળના નિયમો d < 0.1 nm માટે પળાતા નથી.)
ઉત્તર:

• રકમમાં આપેલા સૂત્રમાં સરળતા ખાતર d ને બદલે x લખતાં,
  F = \(\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\right) \frac{q^2}{x^2}\)
• હવે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ઇલેક્ટ્રૉનને dx જેટલું અતિસૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર, સપાટીથી દૂર તરફ આપવા માટે બાહ્ય બળ વડે કરવું પડતું કાર્ય,
  dW = F’dxcos0°
  dW = F’dx
  ∴ ∫dW = ∫F’dx
  

પ્રશ્ન 3.

એક વિધાર્થી ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસરનો પ્રયોગ, બે દ્રવ્યો A અને B નો ઉપયોગ કરીને કરે છે. V_stop વિરુદ્ધ જ નો આલેખ આકૃતિમાં આપેલ છે.
(i) A અને B માંથી કયા દ્રવ્યને ઊંચું વર્ક-ફંક્શન હશે ?
(ii) ઇલેક્ટ્રૉનનો વિધુતભાર 1.6 × 10^-19 C આપેલ છે. A અને B બંને માટે પ્રયોગ પરથી h નું મૂલ્ય શોધો. આઇન્સ્ટાઇનના વાદ સાથે તે સુસંગત છે કે નહીં તેના પર ટિપ્પણી કરો.
ઉત્તર:
(i) વર્ક ફંક્શન Φ₀ = hv₀ (જ્યાં v₀ = થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ)
∴ Φ₀ v₀ ……………. (1)
આકૃતિ પરથી,
V_0A = 5 × 10¹⁴ Hz
V_0B = 10 × 10¹⁴ Hz
⇒ V_0B > V_0A
⇒ સંબંધ (1) પરથી,
Φ_0B > Φ_0A
∴ B દ્રવ્યનું વર્ક ફંક્શન ઊંચું છે.

(ii) |V₀| → v ના આલેખનો ઢાળ, આપણને (\(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}\)) આપે છે તેથી
A માટેના આલેખનો ઢાળ
tan θ₁ = \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{QR}}\)
∴ \(\frac{h}{e}=\frac{2}{5 \times 10^{14}}\) = 0.4 × 10^-14
∴ h = 0.4 × 10^-14 × e
∴ h = 0.4 × 10^-17 × 1.6 × 10^-19
∴ h = 6.4 × 10^-34 Js ……….. (2)
∴ A દ્રવ્ય માટે h = 6.4 × 10^-34 Js

B માટેના આલેખનો ઢાળ
tan θ₂ = \(\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{QT}}\)
∴ \(\frac{h}{e}=\frac{2.5}{5 \times 10^{14}}\) 0.5 × 10^-14
∴ h = 0.5 × 10^-14 × e
= 0.5 × 10^-14 × 1.6 × 10¹⁹
h = 8 × 10^-34 Js …………… (3)
∴ B દ્રવ્ય માટે h = 8 × 10^-34 Js
આમ, A અને B માટેના આલેખો પરથી મળતાં h ના મૂલ્યો જુદા-જુદા મળે છે. તેથી ઉપરોક્ત પ્રાયોગિક અવલોકનો, આઇન્સ્ટાઇનની થિયરી સાથે સુસંગત નથી.

પ્રશ્ન 4.
m_A દ્રવ્યમાન ધરાવતો કણ A, v વેગથી ગતિ કરે છે અને સ્થિર રહેલા કણ B (દ્રવ્યમાન m_B) સાથે અથડાય છે. (એક પારિમાણિક ગતિ) કણ A ની ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ફેરફાર શોધો. સંઘાતને સ્થિતિસ્થાપક તરીકે લો.
ઉત્તર:

• કણ A માટે સંઘાત પહેલાં પ્રારંભિક ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
  
• હવે સૂત્રાનુસાર, કણ A નો અંતિમ વેગ
  
  ⇒ કણ A ની અંતિમ ડી-બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ,
  
• સમીકરણ (1) અને (3) પરથી, માંગેલો ફેરફાર,
  

પ્રશ્ન 5.
5000 Å તરંગલંબાઈનો પ્રકાશ ઉત્સર્જિત કરતો 20W નો બલ્બ વિચારો અને 2 m દૂર રાખેલ ધાતુની સપાટીને ચમકાવે છે. ધારો કે, ધાતુની સપાટીનું વર્ક-ફંક્શન 2 eV છે અને ધાતુની સપાટી પર રહેલ દરેક પરમાણુ 1.5 Å ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી તરીકે વર્તેછે.
(i) બલ્બ દ્વારા પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત થતા ફોટોનની સંખ્યાનો અંદાજ મેળવો. (બીજી કોઈ રીતે વ્યય થતો નથી તેમ ધારો.)
(ii) શું અહીં ફોટો ઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે ?
(iii) પરમાણ્વીય તકતીને વર્ક-ફંક્શન (2 eV) જેટલી ઊર્જા મેળવવામાં કેટલો સમય લાગશે ?
(iv) ઉપર (iii) માં ગણતરી કરેલ સમયગાળામાં પરમાણ્વીય તકતી કેટલા ફોટોન મેળવશે ?
(v) શું તમે સમજાવી શકો છો કે, ફોટો ઇલેક્ટ્રિક અસર કેવી રીતે તત્કાલ અવલોકન કરવામાં આવી ?
(Hint : વિભાગ (iii) માં પ્રચલિત વિચારાધારા (Classical consideration) અનુસાર સમય ગણ્યો અને તમે હવે વધુ ગણતરી માટે લક્ષ્ય સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 1 cm ધારો અને શું થાય છે તેનો અંદાજ મેળવો.)
ઉત્તર:
(i) બલ્બમાંથી દર સેકન્ડે ઉત્સર્જિત થતાં ફોટોનની સંખ્યા માટે

(ii) આપાત ફોટોનની ઊર્જા,
E₁ = hv = \(\frac{h c}{\lambda}\)
∴ E₁ = \(\frac{\left(6.625 \times 10^{-34}\right)\left(3 \times 10^8\right)}{\left(5000 \times 10^{-10}\right)\left(1.6 \times 10^{-19}\right)}\)eV
∴ E₁ = 2.49 eV

(iii)
અત્રે Φ₀ = 2 eV જ્યાં Φ₀ = ધાતુનું વર્ક ફંક્શન
∴ E₁ > Φ₀
⇒ ફોટોઇલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે.

(iii)

∴ t₀ = 11.38 s
અહીં E₀ = Φ₀ = 2 eV, A = 4πd² અને d = 2m,
A₀ = πr² અને r = 1.5 Å

(iv) t₀ સમયમાં પરમાણ્વીય તકતીએ મેળવેલા ફોટોનની સંખ્યા

= 0.8049
≈ 0.80≈ 1.0

(v) ઉપરોક્ત ગણતરી “ફોટોન તરંગ તરીકે વર્તે છે” તે ધારણા પર આધારિત છે. જો આ ધારણા સાચી હોય તો આપણને ફોટોઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન આશરે 11.38 સેકન્ડ બાદ મળવું જોઈએ. પરંતુ પ્રાયોગિક રીતે ફોટોઇલેક્ટ્રૉનનું ઉત્સર્જન અતિ સૂક્ષ્મ સમયમાં આશરે 10^-9 સેકન્ડમાં (એટલે કે લગભગ તાત્ક્ષણિક) મળે છે. આ ઘટના પરથી આપણે કહી શકીએ કે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર તત્કાલ છે.