GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.3

પ્રશ્ન 1 થી 5 ના વક્રોની સંતિ માટે સ્વૈર અચળ a અને b નો લોપ કરીને વિકલ સમીકરણ મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1માં બે સ્વૈર અચળાંકો a અને b છે.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1…(1)

સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)y’ = 0 …(2)
સમીકરણ (2)ની બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં
\(\frac{1}{b}\)y” = 0
⇒ y” = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 2.
y² = a(b² – x²)
ઉત્તરઃ
y² = a(b²– x²) …(1)
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ x ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
2yy’ = a(0 – 2x)
∴ yy’ = – ax
સમીકરણ (2)ની બંને બાજુ ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
yy” + (y)² =-a …(2)
સમીકરણ (2)ને (3) વડે ભાગતાં,
\(\frac{y y^{\prime}}{y y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^2}=\frac{-a x}{-a} \Rightarrow \frac{y y^{\prime}}{y y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^2}\) = x
yy’ = x [yy + (y’)²] ⇒ xyy’ + x (y’)² – yy’ = 0
જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 3.
y = ae^3x + be^-2x
ઉત્તરઃ
y = ae^3x + be^-2x …(1)
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ = 3a e^3x – 2b e^-2x …(2)

સમીકરણ (3)નું xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,

∴ y” – y’ – 6y = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.
બીજી રીત : y = a e^3x + b e^-2x …(1)
સમીકરણ (1)નું બે વખત વિકલન કરતાં,
y’ = 3a e^3x – 2b e^-2x …(2)
y” = 9a e^3x + 4b e^-2x …(3)
સમીકરણ (1), (2) અને (3) પરથી,
\(\left|\begin{array}{ccc}
y & 1 & 1 \\
y^{\prime} & 3 & -2 \\
y^{\prime \prime} & 9 & 4
\end{array}\right|\) = 0
∴ 30y4y’ – 2y” + 9y’ – 3y” = 0
∴ 30y + 5y’ – 5y” = 0
∴ y” – y’ – 6y = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 4.
y = e^2x (a + bx)
ઉત્તરઃ
y = e^2x (a + bx) ……(1)
સમીકરણ (1)નું xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
y’ = 2e^2x (a + bx) + e^2x b
∴ y’ = 2y + e^2x b (∵ e^2x(a + bx) = y) …(2)
સમીકરણ (2)ની બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ = 2y’ + 2e^2x b
∴ y” = 2y’ + 2(y ‘ – 2y) (∵ સમીકરણ (2) પરથી e^2x b ની કિંમત મૂકતાં)
∴ y” = 4y’ – 4y
∴ y” – 4y’ + 4y = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 5.
y = e^x (a cos x + b sin x)
ઉત્તરઃ
y = e^x (a cos x + b sin x) …(1)
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ = e (a cos x + b sin x) + eTM (−a sin x + b cos x)
∴ y’ = y + ex (−a sin x + b cosx) (… (1) પરથી)
∴ y’ – y = ex (−a sin x + b cos x)

સમીકરણ (2)ની બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y” – y′ = e^x (−a sin x + b cos x) + e^x(–a cos x – b sin x)
∴ y” – y′ = y′ – y – e^x (a cos x + b sin x) (∵ (2) પરથી)
∴ y” – y′ – y’ + y = – y (∵ (1) પરથી)
∴ y” – 2y’ + 2y = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 6.
Y- અક્ષને ઊગમબિંદુ આગળ સ્પર્શતાં વર્તુળોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
Y- અક્ષને ઊગમબિંદુ આગળ સ્પર્શતાં વર્તુળોનું કેન્દ્ર ધારો કે c (a, 0) છે.

∴ ત્રિજ્યા r = a
∴ વર્તુળનું સમીકરણ :
(x – a)² + (y – 0)² = 2
∴ x² + y² – 2ax = 0 …(1)
સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
2x + 2yy’ – 2a = 0
∴ 2a = 2x + 2yy’ …(2)

સમીકરણ (2)માંથી 24ની કિંમત (1)માં મૂકતાં,
x² + y² − x (2x + 2yy’) = 0
∴ x² + y² – 2x² – 2xyy’ = 0
∴ 2xyy’ + x² = y² જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 7.
જેનું શીર્ષ ઊગમબિંદુ હોય અને અક્ષ એ Y- અક્ષની ધન દિશા હોય તેવા પરવલયોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
જેનું શીર્ષ ઊગમબિંદુ હોય અને અક્ષ એ Y- અક્ષની ધન દિશા હોય તેવા પરવલયનું સમીકરણ :
x² = 4ay છે. …(1)

સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
2x = 4ay’
∴ \(\frac{x}{2 y^{\prime}}\) = a
વની આ કિંમત સમીકરણ (1)માં મૂકતાં,
x² = 4\(\left(\frac{x}{2 y^{\prime}}\right)\)y
∴ xy′ = 2xy
xy’ – 2y = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 8.
જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ Y- અક્ષ પર હોય તેવા ઉપવલયોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ Y- અક્ષ પર હોય તેવા ઉપવલયનું સમીકરણ :
(1) \(\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}\) = 1 છે. ……..(1)

સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

∴ xyy” + x(y’)² = yy’
∴ xyy ” + x(y’)² – yy’ = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 9.
જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ X-અક્ષ પર હોય તેવા અતિવલયોની સંહતિનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
જેનું કેન્દ્ર ઊગમબિંદુ હોય અને નાભિઓ X-અક્ષ પર હોય તેવા અતિવલયનું સમીકરણ
(1) \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 છે.

સમીકરણ (1)ની બંને બાજુ
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

∴ xyy” + x (y)² = yy’
∴ xyy” + x (y)² − yy’ = 0
જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 10.
જેનું કેન્દ્ર Y- અક્ષ પર હોય અને ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય તેવાં વર્તુળોની સંહિતનું વિકલ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
જેનું કેન્દ્ર Y- અક્ષ પર હોય અને ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય તેવા વર્તુળનું કેન્દ્ર c(0, a) થાય.
∴ વર્તુળનું સમીકરણ :
x² + (y – a)² = 9 …(1)

સમીકરણ (1)નું x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
2x + 2(y – a) y’ = 0
∴ x + (y – a) y’ = 0
∴ y – a = \(\frac{-x}{y^{\prime}}\) ..(2)
(y – a)ની આ કિંમત (1)માં મૂકતાં,
∴ x² + \(\left(\frac{-x}{y^{\prime}}\right)^2\) = 9
∴ x² + \(\frac{x^2}{y^{\prime 2}}\) = 9
∴ x²(y’)² + x² = 9(y’)²
∴ (x² − 9) (y’)² + x² = 0 જે માંગેલ વિકલ સમીકરણ છે.

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિક્્લ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 11.
નીચેનામાંથી કયા વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ
y = c₁e^x + c₂e^-x છે ?
(A) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + y = 0
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – y = 0
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + 1 = 0
(D) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – 1 = 0
ઉત્તરઃ
y = c₁e^x + c₂e^-x

પ્રશ્ન 12.
નીચેનામાંથી કયા વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ y = x છે ?
(A) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – x²\(\frac{d y}{d x}\) + xy = x
(B) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + x\(\frac{d y}{d x}\) + xy = x
(C) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) – x²\(\frac{d y}{d x}\) + xy = 0
(D) \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + x\(\frac{d y}{d x}\) + xy = 0
ઉત્તરઃ
y = x

વિકલ્પ (C) આવે.