GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2

   

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2

પ્રશ્ન 1 થી 10 માં આપેલ વિધેયને (સ્પષ્ટ અથવા ગૂઢ રીતે) અનુરૂપ વિકલ સમીકરણોનો ઉકેલ છે તેમ ચકાસો :

પ્રશ્ન 1.
y = ex + 1 : y” – y’ = 0
ઉત્તરઃ
y = ex + 1 ……..(i)
સમીકરણ (i)નું xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
y’ = ex ……..(ii)
ફરીથી સમીકરણ (ii)નું xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
y” = ex
∴ y” = y′ (·· સમીકરણ (ii) પરથી e = y’)
∴ y” – y’ = 0
∴ y = ex + 1 એ વિકલ સમીકરણ
y” – y′ = 0નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 2.
y = x2 + 2x + c : y’ – 2x – 2 = 0
ઉત્તરઃ
y = x2 + 2x + c
બંને બાજુ ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
∴ y’ = 2x + 2
∴ y′ – 2x – 2 = 0
∴ y’ – 2x – 2 = 0
∴ y = x2 + 2x + c એ વિકલ સમીકરણ y′ – 2x – 2
= 0 નો ઉકેલ છે.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2

પ્રશ્ન 3.
y = cos x + c : y’ + sin x = 0
ઉત્તરઃ
y = cos x + c
બંને બાજુ ને સાપેક્ષ વિલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = -sin x
∴ y’ + sin x = 0
∴ y = cos x + c એ વિકલ સમીકરણ y’ + sin x = 0નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 4.
y = \(\sqrt{1+x^2}\) : y’ = \(\frac{x y}{1+x^2}\)
ઉત્તરઃ
y = \(\sqrt{1+x^2}\)
બંને બાજુ xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2 1

પ્રશ્ન 5.
y = Ax: xy’ = y (x ≠ 0)
ઉત્તરઃ
y = Ax
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = A ⇒ y’ = A
હવે y = Ax સने y’ = A ⇒ y = xy’
∴ y = Ax એ વિકલ સમીકરણ xy’ = yનો ઉકેલ છે

પ્રશ્ન 6.
y = x sin x : xy’ = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\)
(x ≠ 0, x > y અથવા x < – y)
ઉત્તરઃ
y = x sin x
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ = sinx + x cos x ……..(i)
હવે y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\)
= xsin x + x\(\sqrt{x^2-x^2 \sin ^2 x}\)
= xsin x + x\(\sqrt{x^2\left(1-\sin ^2 x\right)}\)
= xsin x + x\(\sqrt{x^2 \cos ^2 x}\)
= x sinx + x2 cos x
= x (sinx + x cos x)
= xy’ (પરિણામ (1) પરથી)
∴ y = x sin x એ વિકલ સમીકરણ,
xy’ = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\) નો ઉકલ છે.

પ્રશ્ન 7.
xy log y + c : y’ = \(\frac{y^2}{1-x y}\)(xy ≠ 1)
ઉત્તરઃ
xy = log y + c
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
xy’ + y = \(\frac{1}{y}\).y’
∴ y (xy’ + y) = y’
∴ xyy’ + y2 = y’
∴ y2 = y’ − xyy’
∴ y′ (1 − xy) = y2
∴ y’ = \(\frac{y^2}{1-x y}\)
∴ xy = log y + c એ વિકલ સમીકરણ y’ = \(\frac{y^2}{1-x y}\)નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
y – cos y = x : (y sin y + cos y + x)y’ = y
ઉત્તરઃ
y – cos y = x
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ + siny y’ = 1
∴ y’ (1 + siny) = 1
∴ y’ = \(\frac{1}{1+\sin y}\) ………. (1)
હવે (y sin y+cos y + x) y’
= (y sin y+cos y + y cosy) y’ (∵ x = y cosy)
= y (sin y + 1) y’
= y (1 + sin y) × \(\frac{1}{1+\sin y}\) (પરિણામ (1) પરથી)
= y
∴ y – cos y = x એ વિકલ સમીકરણ
(y sin y + cos y + x) y’ = y નો ઉદેલ છે.

પ્રશ્ન 9.
x + y = tan-1y: y2y’ + y2 + 1 = 0
ઉત્તરઃ
x + y = tan-1y
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
1 + y’ = \(\frac{1}{1+y^2}\).y’
∴ (1 + y’) (1 + y2) = y’
∴ 1 + y’ + y2 + y2y’ – y’ = 0
∴ yy’ + y2 + 1 = 0
∴ x + y = tan-1 એ સમીકરણ yy’ + y2 + 1 = 0નો ઉકેલ છે.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2

પ્રશ્ન 10.
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\), x ∈ (−a, a) : x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0 (y = 0)
ઉત્તરઃ
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\), x ∈ (−a, a)
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2 2

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરોઃ

પ્રશ્ન 11.
ચતુર્થ કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ……. હશે.
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D)4
ઉત્તરઃ
(D) 4

પ્રશ્ન 12.
તૃતીય કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ……. હશે.
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
ઉત્તરઃ
(D) 0

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *