GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.2

પ્રશ્ન 1 થી 10 માં આપેલ વિધેયને (સ્પષ્ટ અથવા ગૂઢ રીતે) અનુરૂપ વિકલ સમીકરણોનો ઉકેલ છે તેમ ચકાસો :

પ્રશ્ન 1.
y = e^x + 1 : y” – y’ = 0
ઉત્તરઃ
y = e^x + 1 ……..(i)
સમીકરણ (i)નું xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
y’ = e^x ……..(ii)
ફરીથી સમીકરણ (ii)નું xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
y” = e^x
∴ y” = y′ (·· સમીકરણ (ii) પરથી e = y’)
∴ y” – y’ = 0
∴ y = e^x + 1 એ વિકલ સમીકરણ
y” – y′ = 0નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 2.
y = x² + 2x + c : y’ – 2x – 2 = 0
ઉત્તરઃ
y = x² + 2x + c
બંને બાજુ ને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,
∴ y’ = 2x + 2
∴ y′ – 2x – 2 = 0
∴ y’ – 2x – 2 = 0
∴ y = x² + 2x + c એ વિકલ સમીકરણ y′ – 2x – 2
= 0 નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
y = cos x + c : y’ + sin x = 0
ઉત્તરઃ
y = cos x + c
બંને બાજુ ને સાપેક્ષ વિલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = -sin x
∴ y’ + sin x = 0
∴ y = cos x + c એ વિકલ સમીકરણ y’ + sin x = 0નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 4.
y = \(\sqrt{1+x^2}\) : y’ = \(\frac{x y}{1+x^2}\)
ઉત્તરઃ
y = \(\sqrt{1+x^2}\)
બંને બાજુ xને સાપેક્ષ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
y = Ax: xy’ = y (x ≠ 0)
ઉત્તરઃ
y = Ax
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = A ⇒ y’ = A
હવે y = Ax સने y’ = A ⇒ y = xy’
∴ y = Ax એ વિકલ સમીકરણ xy’ = yનો ઉકેલ છે

પ્રશ્ન 6.
y = x sin x : xy’ = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\)
(x ≠ 0, x > y અથવા x < – y)
ઉત્તરઃ
y = x sin x
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ = sinx + x cos x ……..(i)
હવે y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\)
= xsin x + x\(\sqrt{x^2-x^2 \sin ^2 x}\)
= xsin x + x\(\sqrt{x^2\left(1-\sin ^2 x\right)}\)
= xsin x + x\(\sqrt{x^2 \cos ^2 x}\)
= x sinx + x² cos x
= x (sinx + x cos x)
= xy’ (પરિણામ (1) પરથી)
∴ y = x sin x એ વિકલ સમીકરણ,
xy’ = y + x\(\sqrt{x^2-y^2}\) નો ઉકલ છે.

પ્રશ્ન 7.
xy log y + c : y’ = \(\frac{y^2}{1-x y}\)(xy ≠ 1)
ઉત્તરઃ
xy = log y + c
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
xy’ + y = \(\frac{1}{y}\).y’
∴ y (xy’ + y) = y’
∴ xyy’ + y² = y’
∴ y² = y’ − xyy’
∴ y′ (1 − xy) = y²
∴ y’ = \(\frac{y^2}{1-x y}\)
∴ xy = log y + c એ વિકલ સમીકરણ y’ = \(\frac{y^2}{1-x y}\)નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
y – cos y = x : (y sin y + cos y + x)y’ = y
ઉત્તરઃ
y – cos y = x
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
y’ + siny y’ = 1
∴ y’ (1 + siny) = 1
∴ y’ = \(\frac{1}{1+\sin y}\) ………. (1)
હવે (y sin y+cos y + x) y’
= (y sin y+cos y + y cosy) y’ (∵ x = y cosy)
= y (sin y + 1) y’
= y (1 + sin y) × \(\frac{1}{1+\sin y}\) (પરિણામ (1) પરથી)
= y
∴ y – cos y = x એ વિકલ સમીકરણ
(y sin y + cos y + x) y’ = y નો ઉદેલ છે.

પ્રશ્ન 9.
x + y = tan^-1y: y²y’ + y² + 1 = 0
ઉત્તરઃ
x + y = tan^-1y
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
1 + y’ = \(\frac{1}{1+y^2}\).y’
∴ (1 + y’) (1 + y²) = y’
∴ 1 + y’ + y² + y²y’ – y’ = 0
∴ yy’ + y² + 1 = 0
∴ x + y = tan^-1 એ સમીકરણ yy’ + y² + 1 = 0નો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 10.
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\), x ∈ (−a, a) : x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0 (y = 0)
ઉત્તરઃ
y = \(\sqrt{a^2-x^2}\), x ∈ (−a, a)
બંને બાજુ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્નો 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરોઃ

પ્રશ્ન 11.
ચતુર્થ કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ……. હશે.
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D)4
ઉત્તરઃ
(D) 4

પ્રશ્ન 12.
તૃતીય કક્ષાના વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલમાં સ્વૈર અચળની સંખ્યા ……. હશે.
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
ઉત્તરઃ
(D) 0