GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.4

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 9 વિકલ સમીકરણો Ex 9.4

પ્રશ્નો 1 થી 10નાં વિકલ સમીકરણોના વ્યાપક ઉકેલ મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
ઉત્તરઃ

સમીકરણ (1)ને વિયોજનીય ચલનાં વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતાં,

∴ y = 2 tan\(\frac{x}{2}\) – x + c જે માંગેલ વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^2}\) (-2 < y < 2)
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^2}\)
આપેલ સમીકરણને વિયોજનીય ચલનાં વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતાં,

y = 2 sin (x + c)
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1 (y ≠ 1)
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = -(y – 1)
સમીકરણને વિયોજનીય ચલનાં વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતાં,
∴ \(\frac{d y}{y-1}\) = -dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫\(\frac{d y}{y-1}\) = ∫-dx
log(y – 1) = x + C
y – 1 = e^-x+c = e^-x , e^c
∴ y = 1 + A e^-x જ્યાં A = e^c
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 4.
sec²x tan y dx + sec²y tan x dy = 0
ઉત્તરઃ
sec²x tan y dx + sec²y tan x dy = 0
આપેલ સમીકરણને વિયોજનીય ચલનાં વિકલ સમીકરણ તરીકે લખતાં,
\(\frac{\sec ^2 x}{\tan x}\)dx + \(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\) dy = 0

બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫\(\frac{\sec ^2 x}{\tan x}\) dx + ∫\(\frac{\sec ^2 y}{\tan y}\) dy = 0
∴ log |tan x| + log |tan y| = log c
∴ log tan x tan y| = log c
∴ tan x. tan y = c
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 5.
(e^x + e^-x) dy – (e^x – e^-x) dx = 0
ઉત્તરઃ
(e^x + e^-x) dy – (e^x – e^-x) dx = 0
∴ (e^x + e^-xdy = (e^x – e^-x)dx
∴ dy = \(\frac{\left(e^x-e^{-x}\right)}{\left(e^x+e^{-x}\right)}\)dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,

∴ y = log |e^x + e^x| + c જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1 + y²)
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1 + y²)
∴ \(\frac{d y}{1+y^2}\) = (1 + x²)dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫\(\frac{d y}{1+y^2}\) = ∫(1 + x²)dx
∴ tan^-1y = x + \(\frac{x^3}{3}\) + c
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 7.
y log y dx – x dy = 0
ઉત્તરઃ
y log y dx – x dy = 0
∴ y log y dx = x dy
∴ \(\frac{d y}{y \log y}=\frac{1}{x}\) dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,

∴ log (log y) = logx +log c
∴ log (log y) = log(cx)
∴ log y = cx
∴ y = e^cx
જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 8.
x⁵\(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
ઉત્તરઃ
x⁵\(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
∴ x⁵dy = -y⁵dx

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x
∴ dy = sin^-1x dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,

જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 10.
e^x tan y dx + (1 – e^x)sec²ydy = 0
ઉત્તરઃ
e^x tan y dx + (1 – e^x)sec²ydy = 0

tan y = c (1 – e^3x) જે આપેલ વિકલ સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ છે.

પ્રશ્નો 11 થી 14માં આપેલી શરતનું સમાધાન કરતા વિકલ સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલ મેળવોઃ

પ્રશ્ન 11.
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x, જ્યારે x = 0 ત્યારે y = 1. x = 0
ઉત્તરઃ
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x
∴ (x + 1) (x² + 1) dy = (2x² + x) dx
∴ dy = \(\frac{2 x^2+x}{(x+1)\left(x^2+1\right)}\) dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫dy = \(\frac{2 x^2+x}{(x+1)\left(x^2+1\right)}\) dx
\(\frac{2 x^2+x}{(x+1)\left(x^2+1\right)}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{x^2+1}\)
એश: 2x² + x = A (x² + 1) + (x + 1) (Bx + c)
2x² + x = (A + B)x² + (B + C)x + (A + C)
બંને બાજુનાં x² તથા ૪નાં સહગુણકો તથા અચળપદ સરખાવતાં,

પ્રશ્ન 12.
x(x² – 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1; જ્યારે x = 2 ત્યારે y = 0.
ઉત્તરઃ
x(x² – 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1

પ્રશ્ન 13.
cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a (a ∈ R); જ્યારે x = 0 ત્યારે y = 2.
ઉત્તરઃ
cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a
\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = cos^-1a
∴ dy = cos^-1a dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫dy = cos^-1 a.∫dx
∴ y = cos^-1 a.x + c
હવે જ્યારે x = 0 ત્યારે y
∴ 2 = 0 + c ⇒ c = 2
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ :
y = x.cos^-1a + 2
∴ \(\frac{y-2}{x}\) = cos^-1a
∴ cos\(\left(\frac{y-2}{x}\right)\) = a

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x; x = 0 જ્યારે y = 1
ઉત્તરઃ
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x
∴ \(\frac{d y}{y}\) = tan x.dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫\(\frac{d y}{y}\) = ∫tan x dx
∴ log y = log sec x + c
હવે ૪ = 0 હોય ત્યારે y 1
∴ log 1 = log|sec 0| + c
∴ c = 0 (∵ sec 0 = 1, log 1 = 0)
∴ આપેલ વિકલ સમીકરણનો વિશિષ્ટ ઉકેલ :
log y = log |sec x| છે.
∴ y = sec x

પ્રશ્ન 15.
જેનું વિકલ સમીકરણ y’ = e^x sin x હોય તેવા [जिंदु (0, 0) માંથી પસાર થતાં વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
y’ = e^x sin x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x sin x
∴ dy = e^x sin x.dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫dy = ∫e^x sin x dx
∴ y = -e^x cos x + e^x sin x – ∫e^xsin x dx
∴ y = -e^x cos x + e^x sin x – y
∴ 2y = e^x cos x + e^x sin x + c
વક્ર (0, 0)માંથી પસાર થાય છે.
∴ x = y = 0 લેતાં,
0 = − (1)e^x + e⁰ (0) + c ⇒ c = 1
∴ માંગેલ વક્રનું સમીકરણ :
2y = e^x cos x + e^x sin x + 1
∴ 2y – 1 = e^x (sin x – cos x)

પ્રશ્ન 16.
બિંદુ (1, −1) માંથી પસાર થતો વિકલ સમીકરણ xy\(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2) (y + 2) નો ઉકેલ વક્ર શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ y – 2 log |y + 2| = x + 2 log |x| + c
∴ y − x = 2 log || + 2 log |y + 2[ + c
વક્ર (1, −1) બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
-1 – 1 = 0 + 0 + c ⇒ c = – 2
માંગેલ વક્રનું સમીકરણ :
y − x = 2 log |x| + 2 log | y + 2| – 2
y – x + 2 = log (x² (y + 2)²)

પ્રશ્ન 17.
જે વક્રના કોઈ પણ બિંદુ (x, y) આગળ સ્પર્શકના ઢાળ અને તે બિંદુના y યામનો ગુણાકાર તે બિંદુના ઝયામ જેટલો છે અને જે (0, −2) માંથી પસાર થાય છે તેવા વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનાં (x, y) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\frac{d y}{d x}\) આપેલ છે કે
y.\(\frac{d y}{d x}\) = x
∴ y dy = x dx
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫y dy = ∫x dx
∴ \(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}\) + c₁
∴ y² = x² + c જ્યાં c = 2c₁
વક્ર (0, −2)માંથી પસાર થાય છે.
∴ 4 = 0 + c ⇒ c = 4
∴ માંગેલ વક્રનું સમીકરણ :
y² = x² + 4
∴ y² − x² = 4

પ્રશ્ન 18.
વક્રના કોઈ પણ બિંદુ (x, y) આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ એ સ્પર્શબિંદુ અને બિંદુ (−4, −3) માંથી પસાર થતી રેખાના ઢાળ કરતાં બમણો છે. વક્ર (–2, 1) માંથી પસાર થતો હોય, તો આ વક્રનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
વક્રનાં (x, y) બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ = સ્પર્શબિંદુ (x, y)
અને (−4, −3) બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ

∴ log |y + 3| = 2 log |x + 4| + c
વક્ર (–2, 1)માંથી પસાર થાય છે.
∴ x = 2, y = 1 લેતાં,
log 4 = 2 log 2 + c ⇒ 2 log 2 = 2 log 2 + c
∴ c = 0
માંગેલ વક્રનું સમીકરણ :
log | y + 3| = 2 log|x + 4| + 0
∴ y + 3 = (x + 4)²

પ્રશ્ન 19.
ગોળાકાર બલૂનમાં એવી રીતે હવા ભરવામાં આવે છે કે, તેનું ઘનફળ ચોક્કસ દરથી વધે છે. જો શરૂઆતમાં તેની ત્રિજ્યા 3 એકમ હોય અને 3 સેકન્ડ પછી તે 6 એકમ હોય તો ± સેકન્ડ પછી બલૂનની ત્રિજ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
r ત્રિજ્યાવાળા ગોળાકાર બલૂનનું ઘનફળ v = \(\frac{4}{3}\)πr³
∴ \(\frac{d v}{d t}\) = 4πr²\(\frac{d r}{d t}\)

હવે બલૂનનું ઘનફળ ચોક્કસ દરથી વધે છે.
∴ \(\frac{d v}{d t}\) = a (અચળ)
∴ 4πr²\(\frac{d r}{d t}\) = a
∴ 4πr²dr = a dt
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
∫4πr²dr = ∫a dt
∴ 4 π\(\frac{r^3}{3}\) = at + c
શરૂઆતમાં t = 0 સમયે r = 3 એકમ
∴ 36π = 0 + c ⇒ c = 36π
t = 3 સેકન્ડ ત્યારે r = 6 એકમ
∴ \(\frac{4 \pi \times 6 \times 6 \times 6}{3}\) = a(3) + 36π.
∴ 288 π = 3a + 36π
∴ a = 84π
∴ \(\frac{4 \pi r^3}{3}\) = 84 π + 36π
∴ 4πr³ = 252π t + 108π
∴ r³ = 63 t + 27
∴ r = (63t + 27)^{\(\frac{1}{3}\)}
∴ t સેકન્ડ પછી બલૂનની ત્રિજ્યા = (63t + 27)^{\(\frac{1}{3}\)}

પ્રશ્ન 20.
બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક ૪% ના દરે સતત વધી રહ્યુ છે. જો 10 વર્ષમાં બૅન્કમાં મૂકેલા ₹ 100 બમણા થતા હોય તો ૪ ની કિંમત શોધો. (log_e2 = 0.6931)
ઉત્તરઃ
ધારો કે t સમયે બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ P છે. બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ r% નાં દરે સતત વધે છે.
∴ \(\frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{r}{100}\)P
∴ \(\frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{r}{100}\)dt
બંને બાજુ સંકલન કરતાં,

∴ r = 0.6931 × 10
∴ r = 6.931

પ્રશ્ન 21.
બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક 5%ના દરે સતત વધી રહ્યું છે. બૅન્કમાં ર્ 1000 થાપણ તરીકે મૂક્યા છે, તો 10 વર્ષ પછી તે કેટલા થશે ? (e^0.5 = 1.648)
ઉત્તરઃ
ધારો કે t સમયે બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ P છે. બૅન્કમાં રાખેલ મુદ્દલ વાર્ષિક 5 %નાં દરે સતત વધે છે.

t = 0 સમયે. P = 1000
∴ log (1000) = 0+ c ⇒ c = log (10)³
∴ log P = \(\frac{1}{20}\) × t + log 1000
t = 10 વર્ષ હોય ત્યારે P = ?
∴ log P = \(\frac{1}{20}\) × 10 + log 1000
∴ log P = \(\frac{1}{2}\) + log 1000
∴ log P = 0.5 + log 1000
∴ P = 1000 × e^0.5
∴ P = 1000 × 1.648 = 1648
∴ 10 વર્ષ પછી થાપણ ₹ 1648 થશે.

પ્રશ્ન 22.
એક સંવર્ધન કેન્દ્રમાં બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 1,00,000 છે. 2 કલાકમાં તેની સંખ્યા 10%ના દરે વધે છે. જો બૅક્ટેરિયાનો વૃદ્ધિ-દર કોઈ પણ સમયે હાજર બૅક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય, તો કેટલા કલાકમાં તેની સંખ્યા 2,00,000 થશે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે t સમયે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા ૪ છે. બૅક્ટેરિયાનો વૃદ્ધિ દર કોઈ પણ સમયે હાજર બૅક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે.

∴ log x = kt + c
હવે t = 0 સમયે x = 100000
∴ log 100000 = 0 + c ⇒ c = log 100000
∴ log x = kt + log 100000
જ્યારે t = 2 કલાક ત્યારે,
x = 100000 + \(\frac{10}{100}\) × 100000 = 110000
∴ log 110000 = 2k + log 100000
∴ 2k = log\(\frac{11}{10}\)
∴ k = \(\frac{1}{2}\)log\(\frac{11}{10}\)
∴ log x = \(\frac{1}{2}\) log\(\frac{11}{10}\) × t + log 100000

x = 200000 થાય ત્યારે t = ?
∴ log 200000 = \(\frac{1}{2}\)log\(\frac{11}{10}\) x t + log 100000
∴ log 2 = \(\frac{1}{2}\)log\(\frac{11}{10}\)t
∴ t = \(\frac{2 \log 2}{\log 1 \cdot 1}\)
∴ t = \(\frac{2 \log 2}{\log 1 \cdot 1}\) કલાકે બૅક્ટેરિયાની સંખ્યા 200000 થશે.

પ્રશ્ન 23 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી

પ્રશ્ન 23.
વિકલ સમીકરણ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y નો व્યાપક ઉકેલ ….. થશે.
(A) e^x + e^-y = c
(B) e^x + e^y = c
(C) e^-x + e^y = c
(D) e^-x + e^-y = c
ઉત્તરઃ

∴ – e^-y = e^x + c₁
∴ e^x + e^-y = c
∴ વિકલ્પ (A) આવે.