GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Ex 8.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Ex 8.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 8 સંકલનનો ઉપયોગ Ex 8.2

પ્રશ્ન 1.
પરવલય x² = 4y અને વર્તુળ 4x² + 4y² = 9 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
વર્તુળનું સમીકરણ 4x² + 4y² = 9 છે.
∴ x² + y² = \(\frac{9}{4}\)
∴ વર્તુળનું કેન્દ્ર 00, 0) તથા ત્રિજ્યા \(\frac{3}{2}\) છે.
પરવલય x² = 4y એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત છે.
x² = 4y તથા 4x² + 4y² = 9 ને ઉકેલતાં,
4(4y) + 4y² = 9
4y² + 16y – 9 = 0
∴ (2y + 9) (2y − 1) = 0
y = –\(\frac{9}{2}\), y = \(\frac{1}{2}\)
x² = 4y

∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ = OAPBO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
= OABO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ + APBA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
= 2[OAQO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ + APQA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ]

પ્રશ્ન 2.
વક્રો (x – 1)² + y² = 1 અને x + y = 1 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
(x – 1)² + y² = 1 એ વર્તુળ દર્શાવે છે, જેનું કેન્દ્ર C(1, 0) તથા ત્રિજ્યા 1 છે.
x² + y² = 1 એ પણ વર્તુળ દર્શાવે છે, જેનું, કેન્દ્ર (0, 0) તથા ત્રિજ્યા 1 છે.

∴ બંને વર્તુળનાં છેદબિંદુનાં યામ P\(\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) તથા Q\(\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) છે.

માંગેલ આવૃત્ત પ્રદેશ આકૃતિમાં છાયાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
∴ માંગેલ ક્ષેત્રફળ = OQCPA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
= 2 × OLCP પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ
= 2 × (OLPO પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ + LCPL પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ)

પ્રશ્ન 3.
વક્રો y = x² + 2, y = x, x = 0 અને x = 3 વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
y = x² + 2 એ Y-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલયનું સમીકરણ છે.
y = x એ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે.
y = x² + 2 અને y = x ને ઉકેલતાં,
x = x² + 2
∴ x² – x + 2 = 0
∴ x² – x + 2 = 0નાં બીજ વાસ્તવિક નથી.
∴ y = x² + 2 તથા y = x એકબીજાને છેદતાં નથી.
x = 0 એ Y-અક્ષ દર્શાવેલ છે. x = 3 એ Y-અક્ષને સમાંતર રેખા દર્શાવે છે.

વક્ર y = x² + 2, y = x, x = 0 અને x = 3 વडे આवृत्त પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = AOCBA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 4.
શિરોબિંદુઓ (−1, 0), (1, 3) અને (3, 2) થી રચાતા ત્રિકોણીય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ

A(-1, 0), B(1, 3) deu C(3, 2) એ ΔABC શિરોબિંદુઓ છે.

∴ -2x + 4y – 2 = 0
∴ 2y = x + 1
∴ y = –\(\frac{1}{2}\)(x + 1)………..(iii)
ΔABC નું ક્ષેત્રફળ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ = ABMA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ + BMNCB પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ – ACNA પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 5.
જો ત્રિકોણની બાજુઓનાં સમીકરણો
y = 2x + 1, y = 3x + 1 અને x = 4 હોય, તો તેના દ્વારા રચાતા ત્રિકોણીય પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ સંકલનના ઉપયોગથી શોધો.

ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણો : y = 2x + 1 ……..(i)
y = 3x + 1 ……(ii)
x = 4

સમીકરણ (i) અને (ii) ને ઉકેલતાં,

(i) અને (ii) નો ઉકેલ A(0, 1) બિંદુ મળશે. સમીકરણ (ii) અને (iii) ને ઉકેલતાં,
y = 3x + 1, x = 4 ⇒ y = 12 + 1 = 13

(ii) અને (iii) નો ઉકેલ B(4, 13) બિંદુ મળશે.
સમીકરણ (i) અને (iii) ને ઉકેલતાં,
y = 2x + 1, x = 4 ⇒ y = 8 + 1 = 9
∴ (i) અને (iii) નો ઉકેલ C(4, 9) બિંદુ મળશે.

ત્રિકોણીય પ્રદેશ ABC નું ક્ષેત્રફળ
= પ્રદેશ OABMO નું ક્ષેત્રફળ – પ્રદેશ OACMO નું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્નો 6 તથા 7 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 6.
વર્તુળ x² + y² = 4 અને રેખા x + y = 2 થી આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ ………. છે.
(A) 2(π – 2)
(B) π – 2
(C) 2π – 1
(D) 2(π + 2)
ઉત્તરઃ
x² + y² = 4 એ O(0, 0) કેન્દ્રવાળું તથા 2 ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
x + y = 2 ⇒ \(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\) = 1 જે અક્ષો ઉપર 2 અંતઃખંડ કાપતી રેખાનું સમીકરણ દર્શાવે છે.

માંગેલ ક્ષેત્રફળ A = પ્રદેશ OACBO નું ક્ષેત્રફળ – ΔOAB નું ક્ષેત્રફળ

પ્રશ્ન 7.
વક્રો y² = 4x અને y = 2x વડે આવૃત્ત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ …….. છે.
(A) \(\frac{2}{3}\)
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{4}\)
(D) \(\frac{3}{4}\)
ઉત્તરઃ
y² = 4x એ X-અક્ષ પ્રત્યે સંમિત પરવલય દર્શાવે છે.
y = 2x એ ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા દર્શાવે છે.
y² = 4x અને y = 2x ને ઉકેલતાં,
4x² = 4x
x² – x = 0
∴ x (x − 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1
⇒ y = 0, y = 2

વક્ર તથા રેખાનું છેદબિંદુ O(0, 0) તથા A(1, 2) છે.

∴ વિકલ્પ B આવે.