GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.5

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.5

પ્રશ્નો 1 થી 21 માં આપેલાં વિધેયોના સંકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{x}{(x+1)(x+2)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{x}{(x+1)(x+2)}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B}}{x+2}\)
∴ અશં x = A(x + 2) + B (x + 1)
∴ x = (A + B)x + 2A + B
બંને બાજુનાં x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A + B = 1 તથા 2A + B = 0
B = 1 – A તથા 2A + 1 – A = 0 ⇒ A = – 1
અને B = 1 A = 2

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{1}{x^2-9}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{1}{x^2-9}=\frac{1}{(x+3)(x-3)}=\frac{A}{x+3}+\frac{\mathrm{B}}{x-3}\)
∴ અશં 1 = A(x – 3) + B(x + 3)
∴ 1 = (A + B)x – 3A + 3B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં
A + B = 0 તથા -3A 3B = 1
.. B = -A તથા −3A −3A = 1 ⇒ A = –\(\frac{1}{6}\)
તથા B = -A = \(\frac{1}{6}\)

પ્રશ્ન 3.
\(\frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{3 x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{\mathrm{A}}{x-1}+\frac{\mathrm{B}}{x-2}+\frac{\mathrm{C}}{x-3}\)
∴ અશં 3x – 1 = A(x − 2) (x − 3) + B(x − 1)(x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
∴ 3x − 1 = (A + B + C) x² − (5A + 4B + 3C) x + 6A+ 3B + 2C
બંને બાજુ x², x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં
A + B + C = 0 …………..(i)
-(5A + 4B + 3C) = 3 ……….(ii)
6A+ 3B + 2C = −1 ……..(iii)
(i) ⇒ C = – A – B
C ની કિંમત સમીકરણ (ii) તથા (iii) માં મૂકતાં,
(ii) ⇒ 5A + 4B – 3A – 3B = -3
⇒2A + B = -3
(iii) 6A + 3B2A 2B = -1
⇒ 4A + B = -1

પ્રશ્ન 4.
\(\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{x}{(x-1)(x-2)(x-3)}=\frac{\mathrm{A}}{x-1}+\frac{\mathrm{B}}{x-2}+\frac{\mathrm{C}}{x-3}\)
∴ અશં x = A(x − 2) (x − 3) +B(x − 1)(x − 3) + C (x − 1) (x − 2)
∴ x = (A + B + C)x² + (-5A − 4B − 3C) x + 6A + 3B + 2C
બંને બાજુ x², x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં
A + B + C = 0 ….(i)
-5A – 4B – 3C = 1 ⇒ 5A + 4B + 3C = −1 ….(ii)
6A+ 3B + 2C = 0 ………(iii)
(i) ⇒ CA – B
C ની આ કિંમત સમીકરણ (ii) તથા (iii) માં મૂકતાં
(ii) ⇒ 5A + 4B – 3A – 3B = -1
⇒ 2A + B = -1
(iii) 6A + 3B – 2A – 2B = 0
⇒ 4A + B = 0

પ્રશ્ન 5.
\(\frac{2 x}{x^2+3 x+2}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{2 x}{x^2+3 x+2}=\frac{2 x}{(x+1)(x+2)}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B}}{x+2}\)
∴ અશં 2x = A(x + 2) + B(x + 1)
∴ 2x = (A + B) x + 2A + B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં

= -2log|x + 1| + 4log |x + 2| + c
= 4 log x + 2 – 2log x + 1 + c

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{1-x^2}{x(1-2 x)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{1-x^2}{x(1-2 x)}=\frac{1-x^2}{x-2 x^2}\)
અહીં અંશ તથા છેદની પદાવલીની ઘાત સમાન છે. તેથી તે અનુચિત સંમેય પદાવલી છે. તેને ઉચિત વિધેયમાં ફેરવવું પડે.

∴ અંશ x – 2 = A(2x – 1) + Bx
∴ અંશ x – 2 = (2A + B)x – A
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
∴ 2A + B = 1 તથા -A = -2
∴ A = 2 તથા 4 + B = 1 ⇒ B = -3

પ્રશ્ન 7.
\(\frac{x}{\left(x^2+1\right)(x-1)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{x}{\left(x^2+1\right)(x-1)}=\frac{\mathrm{A}}{x-1}+\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{x^2+1}\)
∴ અંશ x = A(x² + 1) + (Bx + C)(x – 1)
∴ x = (A + B)x² + (C – B)x + A – C
બંને બાજુ x² તથા x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A + B = 0 ………………..(i)
C – B = 1 …………………(ii)
A – C = 0 ………………..(iii)
(ii) + (iii) ⇒ A – B = 1

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}\) અહીં (x – 1) એ આવૃત્ત અવયવ છે.
∴ \(\frac{x}{(x-1)^2(x+2)}=\frac{\mathrm{A}}{x-1}+\frac{\mathrm{B}}{(x-1)^2}+\frac{\mathrm{C}}{x+2}\)
અંશ x = A(x -1) (x + 2) + B (x + 2) + C (x − 1)²
∴ X = (A + C) x² + (A + B − 2C) x − 2A + 2B + C
બંને બાજુનાં x² તથા x નાં સરખાવતાં,
A + C = 0 ….(i)
A + B – 2C = 1 ….(ii)
-2A + 2B + C = 0 ….(iii)
સહગુણકો તથા અચળ પદો
(i) ⇒ A = – C
આ કિંમત સમીકરણ (ii) તથા (iii) માં મૂકતાં,
(ii) A + B + 2A = 1
⇒ 3A + B = 1
3A + B = 1
સરવાળો : 3B = 1
B = \(\frac{1}{3}\)

(iii) -2A + 2B – A = 0
-3A + 2B = 0
-3A + 2B = 0
∴ A = \(\frac{2}{3}\)B તથા B = \(\frac{1}{3}\)
∴ A = \(\frac{2}{9}\)
C = A ⇒ C = \(\frac{-2}{9}\)

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{3 x+5}{x^3-x^2-x+1}\)
ઉત્તરઃ

∴ અંશ 3x + 5 = A(x − 1) (x + 1) + B(x + 1) + C (x − 1)²
∴ 3x + 5 = (A + C)x² + (B − 2C)x + (-A + B + C)
બંને બાજુ x તથા ૪ નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A + C = 0 …….(i)
B – 2C = 3 ……..(ii)
-A + B + C = 5 ………(iii)
(i) ⇒ A + C = 0 ⇒ A = – C
(iii) ⇒ C + B + C = 5

∴ B + 2C = 5
(ii) B – 2C = 3
સરવાળો 2B = 8
B = 4

(ii) B – 2C = 3
તથા B = 4
4 – 2C = 3
C = \(\frac{1}{2}\)

A = -C
C = \(\frac{1}{2}\) તથા
∴ A = –\(\frac{1}{2}\)

A, B તથા C ની કિંમતો (1) માં મૂકતાં

પ્રશ્ન 10.
\(\frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)}=\frac{2 x-3}{(x-1)(x+1)(2 x+3)}\)
\(\frac{2 x-3}{\left(x^2-1\right)(2 x+3)}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}+\frac{C}{2 x+3}\) ….(1)
અંશ 2x – 3 = A (x + 1) (2x + 3) + B(x − 1) (2x + 3) + C (x − 1) (x + 1)
∴ 2x – 3= (2A + 2B + C)x² + (5A + B) x + (3A −3B –C)
બંને બાજુનાં x² તથા x નાં સહગુણકો તથા અગળ પદ સરખાવતાં,
2A + 2B + C = 0 ….(i)
5A + B = 2 ….(ii)
3A – 3B – C = -3 ….(iii)
(ii) ⇒ B = 2 – 5A
B ની આ કિંમત સમીકરણ (i) તથા (1) માં સૂતાં
(i) ⇒ 2A + 4 – 10A + C = 0 ⇒ 8A + C = −4
(iii) ⇒ 3A – 6 + 15A – C = −3 ⇒ 18A – C = 3
સરવાળો : 10A = -1
A = –\(\frac{1}{10}\)

B = 2 – 5A તથા A = –\(\frac{1}{10}\) B = 2 + \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5}{2}\)
B = \(\frac{5}{2}\)
(i) ⇒ 2A + 2B + C = 0
∴ C = -2A – 2B તથા A = –\(\frac{1}{10}\) અને B = \(\frac{5}{2}\)
C = \(\frac{1}{5}\) – 5 = –\(\frac{24}{5}\)

A, B અને C ની આ કિંમતો (1) માં મૂકતાં,

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^2-4\right)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^2-4\right)}=\frac{5 x}{(x+1)(x+2)(x-2)}\)
= \(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-2}\)
∴ અંશ 5x = A(x + 2) (x – 2) + B(x + 1) (x − 2) + C(x + 1) (x + 2) ….(i)

સમીકરણ (i) માં x = −1 લેતાં,
-5 = A(−1 + 2)
∴ -5 -3A ⇒ A = \(\frac{5}{3}\)

સમીકરણ (i) માં x = −2 મૂકતાં,
-10 B (-2 + 1) (−2 −2)
∴-10 = 4B ⇒ B = –\(\frac{5}{2}\)

સમીકરણ (i) માં x = 2 મૂકતાં,
10 = C (2 + 1) (2 + 2)
∴ 10 = 12C ⇒ C = \(\frac{5}{6}\)

A, B તથા C ની આ કિંમતો લેતાં,

પ્રશ્ન 12.
\(\frac{x^3+x+1}{x^2-1}\)
ઉત્તરઃ
અહીં અંશની પદાવલીની ઘાત એ છેદની પદાવલીની ઘાત કરતાં વધારે છે. તેથી પ્રથમ ભાગાકાર કરવો પડે.

∴ અંશ 2x + 1 = A(x − 1) + B(x + 1)
x = -1 લેતાં, −2 + 1 = A(−1 −1) ⇒ A = \(\frac{1}{2}\)
x = 1 લેતાં, 2 + 1 = 2B ⇒ B = \(\frac{3}{2}\)

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{2}{(1-x)\left(1+x^2\right)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{2}{(1-x)\left(1+x^2\right)}=\frac{\mathrm{A}}{1-x}+\frac{\mathrm{B} x+\mathrm{C}}{1+x^2}\)
∴ અંશ 2 = A(1 + x²) + (Bx + C)(1 − x)
∴ 2 = (A – B)x² + (B − C)x + A + C
બંને બાજુ x² તથા x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A – B = 0 ….(i)
B – C = 0….(ii)
A+ C = 2 ….(iii)
(i) ⇒ A − B = 0 ⇒ A = B
(ii) ⇒ B C = 0 તથા A = B ⇒ A – C = 0
(iii) ⇒ A + C = 2
સરવાળો : 2A = 2
∴ A = 1
(i) ⇒ A = B ⇒ B = 1
(ii) ⇒ B = C ⇒ C = 1
A, B તથા C ની કિંમતો મૂકતાં,

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{3 x-1}{(x+2)^2}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{3 x-1}{(x+2)^2}=\frac{\mathrm{A}}{x+2}+\frac{\mathrm{B}}{(x+2)^2}\)
∴ અંશ 3x – 1 = A(x + 2) + B
∴ 3x – 1 = Ax + 2A + B
બંને બાજુના x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
∴ A = 3 તથા 2A + B = -1 ⇒ B = -7

પ્રશ્ન 15.
\(\frac{1}{x^4-1}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{1}{x^4-1}=\frac{1}{(x+1)(x-1)\left(x^2+1\right)}\)
∴ \(\frac{1}{x^4-1}=\frac{\mathrm{A}}{x+1}+\frac{\mathrm{B}}{x-1}+\frac{(x+1)}{x^2+1}\)
અંશ 1 = A(x – 1) (x² + 1) + B (x + 1) (x² + 1) + C (x + D) (x + 1) (x – 1) ….(i)
સમીકરણ (i) માં x = -1 લેતાં,
1 = A(−1 −1) (1 + 1) ⇒ A

સમીકરણ (i) માં x = 1 લેતાં,
1 = B(1 + 1) (1 + 1) ⇒ B = \(\frac{1}{4}\)

સમીકરણ (i) ની બંને બાજુનાં x³ ના સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A + B + D = 0 ⇒ \(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\) + C = 0 ⇒ C = 0
-A + B + D = 0 ⇒ \(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\) – D = 1 ⇒ D = –\(\frac{1}{2}\)

A, B, C તથા D ની કિંમતો લેતાં,

પ્રશ્ન 16.
\(\frac{1}{x\left(x^n+1\right)}\)
(સૂચનઃ અંશ અને છેદને xⁿ – 1 વડે ગુણો અને` xⁿ = t લો.)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{\cos x}{(1-\sin x)(2-\sin x)}\)
(સૂચન : sin x = t લો.)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+4\right)}\)
ઉત્તરઃ
\(\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2+2\right)}{\left(x^2+3\right)\left(x^2+4\right)}\) માં x² = t લઈએ (આદેશ નથી)
\(\frac{(t+1)(t+2)}{(t+3)(t+4)}=\frac{t^2+3 t+2}{t^2+7 t+12}\)
અહીં અંશ તથા છેદની પદાવલીની ઘાત સરખી હોવાથી ભાગાકાર કરવો પડશે.

હવે \(\frac{4 t+10}{(t+3)(t+4)}\) ને આંશિક અપૂર્ણાંકની રીતનો ઉપયોગ કરો.
અંશ 4t + 10 = A(t + 4) + B(t + 3)
∴ 4t + 10 = (A + B) t + 4A + 3B
બંને બાજુ t નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,
A + B = 4 ….(i)
4A + 3B = 10….(ii)

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{2 x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{2 x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}\)dx
x² = t આદેશ લેતાં, 2x dx = dt

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{1}{x\left(x^4-1\right)}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{1}{x\left(x^4-1\right)}\)dx
= ∫\(\frac{x^3}{x^4\left(x^4-1\right)}\)dx (અંશ તથા છેદને 3 વડે ગુણતાં)
ધારો કે x⁴ = t ⇒ 4x³dx = dt
⇒ x³dx = \(\frac{d t}{4}\)

પ્રશ્ન 21.
\(\frac{1}{\left(e^x-1\right)}\) (સૂચન : e^x = t લો.)
ઉત્તરઃ
I = \(\frac{1}{\left(e^x-1\right)}\)dx

(t = x²)

પ્રશ્નો 22 તથા 23 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 22.
∫\(\frac{x d x}{(x-1)(x-2)}\) = ……………. .
(A) log |\(\frac{(x-1)^2}{x-2}\)| + c
(B) log|\(\frac{(x-2)^2}{x-1}\)| + c
(C) log|\(\frac{(x-1)^2}{x-2}\)| + c
(D) log (x − 1) (x − 2)| + c
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{x d x}{(x-1)(x-2)}\)
\(\frac{x}{(x-1)(x-2)}=\frac{\mathrm{A}}{x-1}+\frac{\mathrm{B}}{x-2}\)
∴ અંશ x = A (x – 2) + B (x − 1)
= (A + B) x − 2A – B
બંને બાજુ x નાં સહગુણકો તથા અચળ પદ સરખાવતાં,

પ્રશ્ન 23.
∫\(\frac{d x}{x\left(x^2+1\right)}\) = ……….
(A) log|x| – \(\frac{1}{2}\)log(x² + 1) + c
(B) log | x + \(\frac{1}{2}\)log(x² + 1) + c
(C) -log | x + \(\frac{1}{2}\)log (x² + 1) + c
(D) \(\frac{1}{2}\) log |x| + log (x² + 1) + c
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{d x}{x\left(x^2+1\right)}\)
∴ અંશ 1 = A(x² + 1) + x(Bx + C)
∴ 1 = (A + B)x² + Cx + A
બંને બાજુ x² તથા x નાં સહગુણકો અને અચળ પદ સરખાવતાં,
A + B = 0, C = 0, A = 1
∴ A + B = 0, A = 1 ⇒ B = – 1

∴ વિકલ્પ (A) આવે.