GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.10

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.10 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.10

નીચે આપેલ સંકલિતો 1 થી 8 નું મૂલ્ય આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીને મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
$\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}$dx
ઉત્તરઃ
$\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}$dx = $\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2 x}{x^2+1}$dx
= $\frac{1}{2}$[log(x² + 1)]¹₀
= $\frac{1}{2}$[log 2 – log 0]
= $\frac{1}{2}$log_e2

પ્રશ્ન 2.
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin \phi}$cos⁵Φ dΦ
ઉત્તરઃ
ધારો કે sin Φ = t²
∴ cos Φ dΦ = 2t dt
જયારે Φ = 0 ત્યારે t = 0 તથા Φ = $\frac{\pi}{2}$ ત્યારે t = 1,

પ્રશ્ન 3.
$\int_0^1$sin^-1$\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$dx
ઉત્તરઃ
ધારો કે x = tan θ ⇒ dx = sec²θ dθ
x = 0 હોય ત્યારે θ = 0 તથા x = 1 હોય ત્યારે θ = $\frac{\pi}{4}$

હવે ∫2θ sec²θ dθ માટે ખંડશઃ સંકલનના નિયમનો ઉપયોગ
કરતાં u = 2θ, v = sec²θ

પ્રશ્ન 4.
$\int_0^2$x$\sqrt{x+2}$dx (x + 2 = t² લૉ)
ઉત્તરઃ
x + 2 = t² ⇒ dx = 2t dt
∴ x = t² – 2
x = 0 હોય ત્યારે t = √2 x = 2 હોય ત્યારે t = 2

પ્રશ્ન 5.
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^2 x}$dx
ઉત્તરઃ
ધારો કે cos x = t ⇒ -sin x dx = dt
જ્યારે x = 0 ત્યારે t = 1 તથા x = $\frac{\pi}{2}$ ત્યારે t = 0

પ્રશ્ન 6.
$\int_0^2 \frac{d x}{x+4-x^2}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
$\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^2+2 x+5}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
$\int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^2}\right)$e^2xdx
ઉત્તરઃ
ધારો કે 2x = t ⇒ 2dx = dt ⇒ dx = $\frac{d t}{2}$ જ્યારે x = 1
ત્યારે t = 2 તથા x = 2 ત્યારે t = 4

પ્રશ્નો 9 તથા 10 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ lascuìniel ulu faseu uziɛ sal :

પ્રશ્ન 9.
$\int_{\frac{1}{3}}^1 \frac{\left(x-x^3\right)^{\frac{1}{3}}}{x^4}$dx નું મૂલ્ય ………….. છે.
(A) 6
(B) 0
(C) 3
(D) 4
ઉત્તરઃ

x = $\frac{1}{3}$ હોય ત્યારે t = 8 તથા x = 1 હોય ત્યારે t = 0

∴ વિકલ્પ (A) આવે.

પ્રશ્ન 10.
f(x) = $\int_0^x$t sin t dt, તો f'(x) =
(A) cos x + x sin x
(B) x sin x
(C) x cos x
(D) sin x + x cos x
ઉત્તરઃ
f(x) = $\int_0^x$t sin t dt
∫t sint dt = t ∫sint dt – ∫($\frac{d}{d t}$(t) ∫sin t dt)dt
= -t cost – ∫(- cost) dt
= -t cost + sin t + c

f(x) = $\int_0^x$t sint dt
= [−t cos t + sin t]^x₀
= -x cos x + sin x
∴ f'(x) = cos x + x sin x + cos x
= x sin x
∴ વિકલ્પ (B) આવે.