GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 7 સંકલન Ex 7.1

નીચે આપેલાં વિધેયોના પ્રતિવિકલિત (અનિયત સંકલિત) નિરીક્ષણની રીતે શોધો :

પ્રશ્ન 1.
sin 2x
ઉત્તરઃ
ધારો કે f(x) = sin 2x
f(x) નું પ્રતિવિકલિત \(-\frac{1}{2}\)cos 2x છે.
\(\frac{d}{d x}\)(\(-\frac{1}{2}\)cos 2x) = –\(-\frac{1}{2}\)(-sin 2x).2 = sin 2x
F(x) = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x + c, જયાં c અચળ
∴ f(x) = sin 2x નો પ્રતિ વિકલિત
F(x) = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x + c છે.
∫sin 2x dx = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x + c

પ્રશ્ન 2.
cos 3x
ઉત્તરઃ
ધારો કે f(x) = cos 3x
f(x) નું પ્રતિવિકલિત \(\frac{\sin 3 x}{3}\) છે.
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{\sin 3 x}{3}\right)=\frac{1}{3}\)·(cos 3x) · 3 = cos 3x
F(x) = \(\frac{\sin 3 x}{3}\) + c, જ્યાં c = અચળ
∴ f(x) = cos 3x નો પ્રતિ વિકલિત F(x) = \(\frac{\sin 3 x}{3}\) + c છે.
∴ ∫cos 3x dx = \(\frac{\sin 3 x}{3}\) + c

પ્રશ્ન 3.
e^2x
ઉત્તરઃ
ધારો કે f(x) = e^2x
f(x) નું પ્રતિવિકલિત \(\frac{e^{2 x}}{2}\) છે.
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{e^{2 x}}{2}\right)=\frac{1}{2}\).e^2x.2
∴ F(x) = \(\frac{e^{2 x}}{2}\) + c જ્યાં c = અચળ
∴ f(x) = e^2x નો પ્રતિ વિકલિત F(x) = \(\frac{e^{2 x}}{2}\) + c છે.
∴∫e^2x dx = \(\frac{e^{2 x}}{2}\) + c

પ્રશ્ન 4.
(ax + b)²
ઉત્તરઃ
ધારો કે f(x) = (ax + b)²
f(x) નું પ્રતિવિકલિત \(\frac{(a x+b)^3}{3 a}\) છે.

પ્રશ્ન 5.
sin 2x – 4e^3x
ઉત્તરઃ
ધારો કે sin 2x – 4e^3x = f(x)

નીચેના સંકલિતો શોધો (પ્રશ્નો 6 થી 20)

પ્રશ્ન 6.
∫(4e^3x + 1) dx
ઉત્તરઃ
I = ∫(4e^3x + 1) dx
= ∫4e^3xdx + ∫1dx
= 4 ∫e^3xdx + ∫x⁰ dx
= 4\(\frac{e^{3 x}}{3}+\frac{x^{0+1}}{0+1}\) + c (∵∫e^axdx = \(\frac{e^{a x}}{a}\))
= \(\frac{4}{3}\)e^3x + x + c

પ્રશ્ન 7.
∫x²(1 – \(\frac{1}{x^2}\))dx
ઉત્તરઃ
I = ∫x²(1 – \(\frac{1}{x^2}\))dx
ધારો કે x + 2 = t² ⇒ dx = 2t dt
વળી, x = t² – 2 તથા t = \(\sqrt{x+2}\) = (x + 2)^{\(\frac{1}{2}\)}

I = ∫x²(1 – \(\frac{1}{x^2}\))dx
= ∫(t² – 2)\(\sqrt{t^2}\) .2t dt
= ∫(2t⁴ – 4t²)dt
= ∫(2t⁴ – ∫4t²)dt
= 2\(\frac{t^5}{5}\) – 4\(\frac{t^3}{3}\) + c
= \(\frac{2(x+2)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{4(x+2)^{\frac{3}{2}}}{3}\) + c

પ્રશ્ન 8.
x\(\sqrt{1+2 x^2}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫x\(\sqrt{1+2 x^2}\) dx
ધારો કે 1 + 2x² = t² ⇒ 4x dx = 2 tdt
⇒ xdx = \(\frac{t}{2}\)dt
તથા t = \(\sqrt{1+2 x^2}\)

પ્રશ્ન 9.
(4x + 2)\(\sqrt{x^2+x+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
\(\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
\(\frac{x}{\sqrt{x+4}}\), x > – 4
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
(x³ – 1)^{\(\frac{1}{3}\)} x⁵
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
\(\frac{x^2}{\left(2+3 x^3\right)^3}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
\(\frac{1}{x(\log x)^m}\), x > 0, m ≠ 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
\(\frac{x}{9-4 x^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
e^2x+3
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{x}{\mathrm{e}^{x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{e^{\tan ^{-1} x}}{1+x^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
\(\frac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{e^{2 x}-e^{-2 x}}{e^{2 x}+e^{-2 x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
tan²(2x – 3)
ઉત્તરઃ

અથવા
I = ∫tan²(2x – 3)dx
= ∫sec²(2x – 3) – 1 dx
= ∫sec²(2x – 3)dx – ∫dx
ધારો કે 2x – 3 = t ⇒ 2dx = dt
⇒ dx = \(\frac{dt}{2}\)

I = ∫sec²t \(\frac{dt}{2}\) – x + c
= \(\frac{1}{2}\)tan t – x + c = \(\frac{1}{2}\) tan (2x – 3) – x + c (∵ t = 2x – 3)

પ્રશ્ન 22.
sec²(7 – 4x)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 23.
\(\frac{\sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 24.
\(\frac{2 \cos x-3 \sin x}{6 \cos x+4 \sin x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 25.
\(\frac{1}{\cos ^2 x(1-\tan x)^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 26.
\(\frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 27.
\(\sqrt{\sin 2 x}\) cos 2x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 28.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{1+\sin x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 29.
cot x log sin x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 30.
\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)dx
ધારો કે 1 + cos x = t ⇒ – sin x dx = dt
⇒ sin x dx = -dt
I = ∫\(\frac{\sin x}{1+\cos x}\)dx
= ∫\(\frac{-d t}{t}\)
= -log |t| + c
= -log|1 + cos x| + c

પ્રશ્ન 31.
\(\frac{\sin x}{(1+\cos x)^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 32.
\(\frac{1}{1+\cot x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 33.
\(\frac{1}{1-\tan x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 34.
\(\frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cdot \cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 35.
\(\frac{(1+\log x)^2}{x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 36.
\(\frac{(x+1)(x+\log x)^2}{x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 37.
\(\frac{x^3 \sin \left(\tan ^{-1} x^4\right)}{1+x^8}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 38 તથા 39 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિક્્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 38.
∫\(\frac{\left(10 x^9+10^x \log _{\mathrm{e}}^{10}\right) d x}{x^{10}+10^x}\) = ……….. .
(A) 10^x – x¹⁰ + c
(B) 10^x + x¹⁰ + c
(C) (10^x – x¹⁰)^-1 + c
(D) log(10^x + x¹⁰) + c
ઉત્તરઃ
I = ∫\(\frac{\left(10 x^9+10^x \log _{\mathrm{e}}^{10}\right) d x}{x^{10}+10^x}\)
ધારો કે x¹⁰ + 10^x = t ⇒ (10x⁹ + 10^xlog_e¹⁰)dx
I = ∫\(\frac{10 x^9+10^9 \log _e^{10}}{x^{10}+10^x}\)dx
= ∫\(\frac{1}{t}\)dt
= log|t| + c
= log|x¹⁰ + 10^x| + c (∵ t = x¹⁰ + 10^x)
∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 39.
∫\(\frac{d x}{\sin ^2 x \cos ^2 x}\) = …………… .
(A) tan x + cot x + c
(B) tan x – cot x + c
(c) tan x cot x + c
(D) tan x – cot 2x + c
ઉત્તરઃ

= ∫(sec²x + cosec²x) dx
= tan x – cot x + c
∴ વિકલ્પ (B) આવે.