GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

પ્રશ્ન 1 થી 10 માં આપેલ વિધેયો માટે દ્વિતીય વિકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
x² + 3x + 2
ઉત્તરઃ
y = x² + 3x + 2
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x² + 3x + 2)
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x + 3

ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}\)(2x + 3)
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 2

પ્રશ્ન 2.
x²⁰
ઉત્તરઃ
y = x²⁰
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

= 380 x¹⁸

પ્રશ્ન 3.
x cos x
ઉત્તરઃ
y = x cos x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં

પ્રશ્ન 4.
log x
ઉત્તરઃ
y = log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
x³ log x
ઉત્તરઃ
y = x³ log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(x³ log x)
= x³. \(\frac{1}{x}\) + 3x²log x
= x² + 3x² log x
= x² (1 + 3 log x)
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}\)(x² (1 + 3 logx))
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 2x (1 + 3 logx) + x²(0 + 3.\(\frac{1}{x}\))
= 2x + 6x log x + 3x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

પ્રશ્ન 6.
e^x sin 5x
ઉત્તરઃ
y = e^x sin 5x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\) = (e^x sin 5x)
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = e^x\(\frac{d}{d x}\)(sin 5x) + sin 5x\(\frac{d}{d x}\)(e^x)
= e^x. cos 5x 5+ sin 5x · e^x
= e^x [5 cos 5x + sin 5x]
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}\)e^x (5 cos 5x + sin 5x)
= e^x\(\frac{d}{d x}\) (5 cos 5x + sin 5x) + (5 cos 5x + sin 5x)\(\frac{d}{d x}\) (e^x)
= e^x (-25 sin 5x + 5 cos 5x) + (5 cos 5x + sin 5x) e^x
= e^x [-25 sin 5x + 5 cos 5x + 5 cos 5x + sin 5x]
= e^x [10 cos 5x – 24 sin 5x]
= 2 e^x[5 cos 5x – 12 sin 5x]

પ્રશ્ન 7.
e^6x cos 3x
ઉત્તરઃ
y = e^6x cos 3x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 8.
tan^-1x
ઉત્તરઃ
y = tan^-1x
x પ્રત્યે ફરીથી વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 9.
(log (log x))
ઉત્તરઃ
y = (log (log x))
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 10.
sin (log x)
ઉત્તરઃ
y = sin (log x)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 11.
જો y = 5 cos x – 3 sin x હોય, તો સાબિત કરો કે, \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) + y = 0.
ઉત્તરઃ
5 cos x- 3 sin x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 12.
જો y = cos^-1x તો \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) માત્ર yના પદ સ્વરૂપે મેળવો.
ઉત્તરઃ
y = cos^-1x ⇒ cos y = x

બીજી રીત :

પ્રશ્ન 13.
જો y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x) હોય, તો સાબિત કેરો કે x²y₂ + xy₁ + y = 0.
ઉત્તરઃ
y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x)
y₁ = \(\frac{d y}{d x}\) = – 3 sin (logx).\(\frac{1}{x}\) + 4 cos(log x).\(\frac{1}{x}\)
∴ y₁ = \(\frac{-3 \sin (\log x)+4 \cos (\log x)}{x}\)
∴ xy₁ = -3 sin (log x) + 4 cos (logx)
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
xy₂ + y₁ = – 3 cos (log x)\(\frac{1}{x}\) – 4 sin (log x)\(\frac{1}{x}\)
∴ xy₂ + y₁ =
∴ x²y₂ + xy₁ = -(3 cos (log x) + 4 sin (log x))
∴ x²y₂ + xy₁ = – y
∴ x²y₂ + xy₁ + y = 0

પ્રશ્ન 14.
જો y = Ae^mx + Be^nx હોય, તો સાબિત કરો કે,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\)(m + n)\(\frac{d y}{d x}\)+ mny = 0.
ઉત્તરઃ
y = Ae^mx + Be^nx
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 15.
જો y = 500 e^7x + 600 e^-7x હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 49 y.
ઉત્તરઃ
y = 500 e^7x+ 600 e^-7x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = 500 × 7e^7x – 600 × 7 × e^-7x
x પ્રત્યે ફરીથી વિકલન કરતાં,
\(\frac{d^2 y}{d x^2}\) = 500 × 49 e^7x + 600 × 49 e^-7x
= 49 [500 e^7x + 600 e^-7x]
= 49 y

પ્રશ્ન 16.
જો e^y(x + 1) = 1 હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\)
ઉત્તરઃ
e^y (x + 1) = 1
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 17.
જો y = (tan^-1x)² હોય, તો સાબિત કરો કે
(x² + 1)² y₂ + 2x(x² + 1) y₁ = 2.
ઉત્તરઃ
y = (tan^-1x)²
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d y}{d x}\) = y₁ = 2 tan^-1x.\(\frac{1}{1+x^2}\)
∴ (1 + x²) y1 = 2 tan^-1x
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
(1 + x²)² y₁² = 4 (tan^-1x)²
∴ (1 + x²)² · y₁² = 4y
x પ્રત્યે ફરીથી વિકલન કરતાં,
(1 + x²)²· 2у₁у₂ + 2(1 + x²) 2x · y² = 4y₁
∴ (1 + x²)² y₂ + 2x (1 + x²) y₁ = 2
(∵ 2y₁ ≠ 0 વડે ભાગતાં)