Processing math: 100%

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

પ્રશ્ન 1 થી 10 માં આપેલ વિધેયો માટે દ્વિતીય વિકલિત મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
x2 + 3x + 2
ઉત્તરઃ
y = x2 + 3x + 2
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(x2 + 3x + 2)
\frac{d y}{d x} = 2x + 3

ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}(2x + 3)
\frac{d^2 y}{d x^2} = 2

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

પ્રશ્ન 2.
x20
ઉત્તરઃ
y = x20
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 1
= 380 x18

પ્રશ્ન 3.
x cos x
ઉત્તરઃ
y = x cos x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 2

પ્રશ્ન 4.
log x
ઉત્તરઃ
y = log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 3

પ્રશ્ન 5.
x3 log x
ઉત્તરઃ
y = x3 log x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(x3 log x)
= x3. \frac{1}{x} + 3x2log x
= x2 + 3x2 log x
= x2 (1 + 3 log x)
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}(x2 (1 + 3 logx))
\frac{d^2 y}{d x^2} = 2x (1 + 3 logx) + x2(0 + 3.\frac{1}{x})
= 2x + 6x log x + 3x
= 5x + 6x log x
= x (5 + 6 log x)

પ્રશ્ન 6.
ex sin 5x
ઉત્તરઃ
y = ex sin 5x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} = (ex sin 5x)
\frac{d y}{d x} = ex\frac{d}{d x}(sin 5x) + sin 5x\frac{d}{d x}(ex)
= ex. cos 5x 5+ sin 5x · ex
= ex [5 cos 5x + sin 5x]
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}ex (5 cos 5x + sin 5x)
= ex\frac{d}{d x} (5 cos 5x + sin 5x) + (5 cos 5x + sin 5x)\frac{d}{d x} (ex)
= ex (-25 sin 5x + 5 cos 5x) + (5 cos 5x + sin 5x) ex
= ex [-25 sin 5x + 5 cos 5x + 5 cos 5x + sin 5x]
= ex [10 cos 5x – 24 sin 5x]
= 2 ex[5 cos 5x – 12 sin 5x]

પ્રશ્ન 7.
e6x cos 3x
ઉત્તરઃ
y = e6x cos 3x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 4

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

પ્રશ્ન 8.
tan-1x
ઉત્તરઃ
y = tan-1x
x પ્રત્યે ફરીથી વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 5

પ્રશ્ન 9.
(log (log x))
ઉત્તરઃ
y = (log (log x))
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 6

પ્રશ્ન 10.
sin (log x)
ઉત્તરઃ
y = sin (log x)
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 7

પ્રશ્ન 11.
જો y = 5 cos x – 3 sin x હોય, તો સાબિત કરો કે, \frac{d^2 y}{d x^2} + y = 0.
ઉત્તરઃ
5 cos x- 3 sin x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 8

પ્રશ્ન 12.
જો y = cos-1x તો \frac{d^2 y}{d x^2} માત્ર yના પદ સ્વરૂપે મેળવો.
ઉત્તરઃ
y = cos-1x ⇒ cos y = x
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 9
બીજી રીત :
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 10

પ્રશ્ન 13.
જો y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x) હોય, તો સાબિત કેરો કે x2y2 + xy1 + y = 0.
ઉત્તરઃ
y = 3 cos(log x) + 4 sin(log x)
y1 = \frac{d y}{d x} = – 3 sin (logx).\frac{1}{x} + 4 cos(log x).\frac{1}{x}
∴ y1 = \frac{-3 \sin (\log x)+4 \cos (\log x)}{x}
∴ xy1 = -3 sin (log x) + 4 cos (logx)
ફરીથી x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
xy2 + y1 = – 3 cos (log x)\frac{1}{x} – 4 sin (log x)\frac{1}{x}
∴ xy2 + y1 =
∴ x2y2 + xy1 = -(3 cos (log x) + 4 sin (log x))
∴ x2y2 + xy1 = – y
∴ x2y2 + xy1 + y = 0

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

પ્રશ્ન 14.
જો y = Aemx + Benx હોય, તો સાબિત કરો કે,
\frac{d^2 y}{d x^2}(m + n)\frac{d y}{d x}+ mny = 0.
ઉત્તરઃ
y = Aemx + Benx
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 11

પ્રશ્ન 15.
જો y = 500 e7x + 600 e-7x હોય, તો સાબિત કરો કે \frac{d^2 y}{d x^2} = 49 y.
ઉત્તરઃ
y = 500 e7x+ 600 e-7x
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d y}{d x} = 500 × 7e7x – 600 × 7 × e-7x
x પ્રત્યે ફરીથી વિકલન કરતાં,
\frac{d^2 y}{d x^2} = 500 × 49 e7x + 600 × 49 e-7x
= 49 [500 e7x + 600 e-7x]
= 49 y

પ્રશ્ન 16.
જો ey(x + 1) = 1 હોય, તો સાબિત કરો કે \frac{d^2 y}{d x^2}=\left(\frac{d y}{d x}\right)^2
ઉત્તરઃ
ey (x + 1) = 1
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7 12

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.7

પ્રશ્ન 17.
જો y = (tan-1x)2 હોય, તો સાબિત કરો કે
(x2 + 1)2 y2 + 2x(x2 + 1) y1 = 2.
ઉત્તરઃ
y = (tan-1x)2
x પ્રત્યે વિકલન કરતાં,
\frac{d y}{d x} = y1 = 2 tan-1x.\frac{1}{1+x^2}
∴ (1 + x2) y1 = 2 tan-1x
બંને બાજુ વર્ગ કરતાં,
(1 + x2)2 y12 = 4 (tan-1x)2
∴ (1 + x2)2 · y12 = 4y
x પ્રત્યે ફરીથી વિકલન કરતાં,
(1 + x2)2· 2у1у2 + 2(1 + x2) 2x · y2 = 4y1
∴ (1 + x2)2 y2 + 2x (1 + x2) y1 = 2
(∵ 2y1 ≠ 0 વડે ભાગતાં)

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *