GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 5 સાતત્ય અને વિકલનીયતા Ex 5.3

$\frac{d y}{d x}$ શોધો : (પ્રશ્ન 1 થી 8 માં સ્વીકારી લો કે y એ x ના વિધેય તરીકે યોગ્ય પ્રદેશમાં વ્યાખ્યાયિત છે.)

પ્રશ્ન 1.
2x + 3y = sinx
ઉત્તરઃ
2x + 3y = sinx
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,
2 + 3$\frac{d y}{d x}$ = cosx
∴ $\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x-2}{3}$

પ્રશ્ન 2.
siny
2x + 3y = sin y
ઉત્તરઃ
2x + 3y = sin y
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,
2 + 3$\frac{d y}{d x}$ = cosy $\frac{d y}{d x}$
∴ cosy$\frac{d y}{d x}$ – 3$\frac{d y}{d x}$ = 2
∴ $\frac{d y}{d x}$(cos y – 3) = 2
∴ $\frac{d y}{d x}=\frac{2}{\cos y-3}$

પ્રશ્ન 3.
ax + by² = cos y
ઉત્તરઃ
ax + by² = cos y
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,
a + 2by$\frac{d y}{d x}$ = -sin y $\frac{d y}{d x}$
∴ 2by $\frac{d y}{d x}$ + sin y $\frac{d y}{d x}$ = -a
∴ $\frac{d y}{d x}$[2by + sin y] = -a
∴ $\frac{d y}{d x}=\frac{-a}{2 b y+\sin y}$

પ્રશ્ન 4.
xy + y² = tan x + y
ઉત્તરઃ
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 5.
x² + xy + y² = 100
ઉત્તરઃ
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
x³ + x²y + xy² + y³ = 81
ઉત્તરઃ
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 7.
sin²y + cosxy = k
ઉત્તરઃ
sin²y+cosxy = k
xને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 8.
sin²x + cos²y = 1
ઉત્તરઃ
x ને સાપેક્ષ બંને બાજુ વિકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 9.
y = sin^-1$\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$
ઉત્તરઃ

(i) ⇒ y = sin^-1(sin 2θ)
= sin^-1(-sin(2θ – π))
= – sin^-1(sin(2θ – π))
∴ y = (2θ – π) = -2θ + π
∴ y = -2 tan^-1x + π

(i) ⇒ y = sin^-1(sin 2θ)
= sin^-1(-sin(2θ + π))
= sin^-1(sin(2θ + ñ))
= (2θ + π)
= – 2θ – π
= -2tan^-1x – π

પ્રશ્ન 10.
y = tan^-1$\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)$, –$\frac{1}{\sqrt{3}}$ < x < $\frac{1}{\sqrt{3}}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
y = cos^-1$\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$, 0 < x < 1
ઉત્તરઃ
y = cos^-1$\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
x = tan θ લેતાં, θ = tan^-1x
∴ y = cos^-1$\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$
∴ y = cos^-1(cos 2θ)
∴ θ < x < 1
∴ tan 0 < tan θ < tan $\frac{\pi}{4}$
∴ 0 < θ < $\frac{\pi}{4}$
∴ 0 < 2θ < $\frac{\pi}{2}$

(i) ⇒ y = cos^-1(cos2θ) = 20
∴ y = 2tan^-1x
∴ $\frac{d y}{d x}=\frac{2}{1+x^2}$

પ્રશ્ન 12.
y = sin^-1$\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$, 0 < x < 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 13.
y = cos^-1$\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$, – 1 < x < 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
y = sin^-1(2x$\sqrt{1-x^2}$), –$\frac{1}{\sqrt{2}}$ < x < $\frac{1}{\sqrt{2}}$
ઉત્તરઃ
y = sin^-1(2x$\sqrt{1-x^2}$)
ઘારો કે x = sin θ ⇒ θ = sin^-1x

પ્રશ્ન 15.
y = sec^-1$\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)$, 0 < x < $\frac{1}{\sqrt{2}}$
ઉત્તરઃ