GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 4 નિશ્ચાયક Ex 4.2

પ્રશ્ન 1 થી 5 માં નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી અને વિસ્તરણ કર્યા સિવાય સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 1.
\(\left|\begin{array}{lll}
x & a & x+a \\
y & b & y+b \\
z & c & z+c
\end{array}\right|\) = 0
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = \(\left|\begin{array}{lll}
x & a & x+a \\
y & b & y+b \\
z & c & z+c
\end{array}\right|\)
= \(\left|\begin{array}{lll}
x & a & x \\
y & b & y \\
z & c & z
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll}
x & a & a \\
y & b & b \\
z & c & c
\end{array}\right|\)

= 0 + 0
= 0

પ્રશ્ન 2.
\(\left|\begin{array}{lll}
a-b & b-c & c-a \\
b-c & c-a & a-b \\
c-a & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = \(\left|\begin{array}{lll}
a-b & b-c & c-a \\
b-c & c-a & a-b \\
c-a & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
C₁ → C₁ + C₂ + C₃

પ્રશ્ન 3.
\(\left|\begin{array}{lll}
2 & 7 & 65 \\
3 & 8 & 75 \\
5 & 9 & 86
\end{array}\right|\) = 0
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & b c & a(b+c) \\
1 & c a & b(c+a) \\
1 & a b & c(a+b)
\end{array}\right|\) = 0
ઉત્તરઃ

(ab + bc + ac એ C₂ માં સામાન્ય લેતાં)
= (ab + bc + ac) (∵ C₁ = C₂)
= 0
= ૪.બા.

પ્રશ્ન 5.
\(\left|\begin{array}{lll}
b+c & q+r & y+z \\
c+a & r+p & z+x \\
a+b & p+q & x+y
\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{lll}
a & p & x \\
b & q & y \\
c & r & z
\end{array}\right|\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6 થી 14 માં નિાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 6.
\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & a & -b \\
-a & 0 & -c \\
b & c & 0
\end{array}\right|\) = 0
ઉત્તરઃ
D = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & a & -b \\
-a & 0 & -c \\
b & c & 0
\end{array}\right|\)
= \((-1)^3\left|\begin{array}{ccc}
0 & -a & b \\
a & 0 & c \\
-b & -c & 0
\end{array}\right|\)
(∵ દરેક ઘરમાંથી (−1) સામાન્ય લેતાં)
\(-1\left|\begin{array}{ccc}
0 & a & -b \\
-a & 0 & -c \\
b & c & 0
\end{array}\right|\)
(∵ હાર તથા સ્તંભની અદલાબદલી કરતાં)
∴ D = -D
∴ 2D = 0
∴ D = 0 ⇒ \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & a & -b \\
-a & 0 & -c \\
b & c & 0
\end{array}\right|\) = 0

પ્રશ્ન 7.
\(\left|\begin{array}{ccc}
-a^2 & a b & a c \\
b a & -b^2 & b c \\
c a & c b & -c^2
\end{array}\right|=4 a^2 b^2 c^2\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c – a)
ઉત્તરઃ

(∵ R₁ માંથી a – b તથા R2 માંથી b – c સામાન્ય લેતાં)
= (a – b)(b – c) [1(b + c – a – b)]
= (a – b)(b – c)(c – a)
= જ.ખા.

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^3 & b^3 & c^3
\end{array}\right|\) = (a – b)(b – c) (c – a) (a + b + c)
ઉત્તરઃ

(∵ c₁ માંથી (a – b) તથા c₂ માંથી (b – c) સામાન્ય લેતાં)
= (a – b)(b – c){(b² + bc + c²) – (a² + ab + b²)}
= (a – b)(b – c)(b² + bc + c² – a² – ab – b²)
= (a – b)(b – c)(c² – a² + bc – ab)
= (a – b)(b – c){(c – a)(c + a) + b(c – a)}
= (a – b)(b – c)(c – a) (a + b + c)
= જ.બા.

પ્રશ્ન 9.
\(\left|\begin{array}{ccc}
x & x^2 & y z \\
y & y^2 & z x \\
z & z^2 & x y
\end{array}\right|\) = (x – y)(y – z)(z – x)(xy + yz + zx)
ઉત્તરઃ


(∵ R₂ માંથી (z – x) સામાન્ય લેતાં)
= (x – y)(y – z)(z – x) [(x + y)(z + y + x) = (x² + xy + y²)]
= (x – y)(y – z)(z – x) [x² + xz + xy + yz + xy + y² – x² – xy – y²]
= (x – y)(y – z)(z – x) (xy + yz + zx)
= જ.બા.

પ્રશ્ન 10.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc}
x+4 & 2 x & 2 x \\
2 x & x+4 & 2 x \\
2 x & 2 x & x+4
\end{array}\right|\) = (5x + 4) (4 – x)²
ઉત્તરઃ

= (5x + 4) [-(x – 4)(x + 4 – 2x)]
= (5x + 4)[-(x – 4)(4 – x)]
= (5x + 4)(4 – x)²
= જ.બા.

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
y+k & y & y \\
y & y+k & y \\
y & y & y+k
\end{array}\right|\) = k²(3y + k)
ઉત્તરઃ

= (3y+ k) [k(y + k – y)]
= k²(3y + k)
= જ.બા.

પ્રશ્ન 11.
(i) \(\left|\begin{array}{ccc}
a-b-c & 2 a & 2 a \\
2 b & b-c-a & 2 b \\
2 c & 2 c & c-a-b
\end{array}\right|\) = (a + b + c)³
ઉત્તરઃ

= (a + b + c)[- (b + c + a) (c – a – b – 2c)]
= (a + b + c) [-(a + b + c)(- a – b – c)]
= (a + b + c)³
= જ.બા.

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
x+y+2 z & x & y \\
z & y+z+2 x & y \\
z & x & z+x+2 y
\end{array}\right|\) = 2(x + y + z)³
ઉત્તરઃ

(∵ R₂ માંથી (x + y + z) સામાન્ય લેતાં)
= 2(x + y + z)² (x + y + z)
= 2(x + y + z)³
= જ.બા.

પ્રશ્ન 12.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & x^2 \\
x^2 & 1 & x \\
x & x^2 & 1
\end{array}\right|\) = (1 – x³)²
ઉત્તરઃ
ડા.બા. = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & x & x^2 \\
x^2 & 1 & x \\
x & x^2 & 1
\end{array}\right|\)

(∵ R₁ તથા R₂ માંથી (1 – x) સામાન્ય લેતાં)
= (1 + x + x²)(1 – x)² [1 + x + x²]
= (1 + x + x²)(1 – x)²
= [(1 – x)(1 + x + x²)]
= (1 – x³)²
= જ.બા.

પ્રશ્ન 13.
\(\left|\begin{array}{ccc}
1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\
2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\
2 b & -2 a & 1-a^2-b^2
\end{array}\right|=\left(1+a^2+b^2\right)^3\)
ઉત્તરઃ

= (1 + a² + b²)² (1 – a² + b² + 2a²)
= (1 + a² + b²)² (1 + a² + b²)
= (1 + a² + b²)³
= જ.બા.

પ્રશ્ન 14.
\(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+1 & a b & a c \\
a b & b^2+1 & b c \\
c a & c b & c^2+1
\end{array}\right|\) = 1 + a² + b² + c²
ઉત્તરઃ

= (1 + a² + b² + c²) [1(1 – 0)]
= 1 + a² + b² + c²

પ્રશ્નો 15 તથા 16 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલા વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 15.
A એ 3 × 3 કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક હોય, તો |kA| = ……………..
(A) k|A|
(B) k²|A|
(C) k³|A|
(D) 3k|A|
જવાબ (C) k³|A|
ઉત્તરઃ
જો A એ 3 × 3 કલાનો ચૌરસ શ્રેબ્રિક હોય તો
|kA| = k³|A| થાય.
∴ વિક્લ્પ (C) સત્ય થાય.

પ્રશ્ન 16.
નીચે આપેલામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે ?
(A) નિશ્ચાયક એ ચોરસ શ્રેણિક છે.
(B) નિશ્ચાયક એ શ્રેણિક સાથે સંકળાયેલ એક સંખ્યા છે.
(C) નિશ્ચાયક એ ચોરસ મેબ્રિક સાથે સંકળાયેલ એક સંખ્યા છે.
(D) આમાંથી કોઈ નહિ.
ઉત્તરઃ
જવાબ (C) નિશ્ચાયક એ ચોરસ શ્રેણિક સાથે સંકળાયેલ એક સંખ્યા છે.