Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3
પ્રશ્ન 1.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક શ્રેણિકનો પરિવર્ત શ્રેણિક મેળવો :
(i) \(\left[\begin{array}{c}
5 \\
\frac{1}{2} \\
-1
\end{array}\right]\)
(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
2 & 3
\end{array}\right]\)
(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 5 & 6 \\
\sqrt{3} & 5 & 6 \\
2 & 3 & -1
\end{array}\right]\)
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 2.
જો A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
5 & 7 & 9 \\
-2 & 1 & 1
\end{array}\right]\) અને B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-4 & 1 & -5 \\
1 & 2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\) હોય, તો
(i) (A + B)’ = A’ + B’ (ii) (A – B)’= A’ – B’ ચકાસો.
ઉત્તરઃ
પરિણામ (i) અને (ii) ઉપરથી (A – B)’ = A’ – B’.
પ્રશ્ન 3.
જો A’ = \(\left[\begin{array}{cc}
3 & 4 \\
-1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) અને B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\) હોય, તો
(i) (A + B)’ = A’ + B’ (ii) (A – B)’ = A’ – B’ ચકાસો.
ઉત્તરઃ
પરિણામ (i) અને (ii) પરથી (A – B)’ = A’ – B’.
પ્રશ્ન 4.
જો A’ = \(\left[\begin{array}{cc}
-2 & 3 \\
1 & 2
\end{array}\right]\) અને B = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
1 & 2
\end{array}\right]\) હોય, તો (A + 2B)’ શોધો.
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 5.
નીચે આપેલા શ્રેણિક A અને B માટે, ચકાસો કે (AB)’ = B’A’ :
(i) A = \(\left[\begin{array}{c}
1 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\), B = [-1 2 1]
(ii) A = \(\left[\begin{array}{l}
0 \\
1 \\
2
\end{array}\right]\), B = [1 5 7]
ઉત્તરઃ
(i) A = \(\left[\begin{array}{c}
1 \\
-4 \\
3
\end{array}\right]\), A’ = [1 -4 3]
B = [-1, 2, 1] ∴ B’ = \(\left[\begin{array}{c}
-1 \\
2 \\
1
\end{array}\right]\)
પરિણામ (i) અને (ii) ઉપરથી (AB)’ = B’A’,
પ્રશ્ન 6.
(i) જો A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\) હોય, તો ચકાસો કે, A’A = I.
(ii) જો A = \(\left[\begin{array}{cc}
\sin \alpha & \cos \alpha \\
-\cos \alpha & \sin \alpha
\end{array}\right]\) હોય, તો ચકાસો કે, A’A = I.
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 7.
(i) સાબિત કરો કે શ્રેણિક A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 5 \\
-1 & 2 & 1 \\
5 & 1 & 3
\end{array}\right]\) સંમિત શ્રેણિક છે.
(ii) સાબિત કરો કે શ્રેલિક A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right]\) વિસીમિત શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
(i) A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 5 \\
-1 & 2 & 1 \\
5 & 1 & 3
\end{array}\right]\) ∴ A’ = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 5 \\
-1 & 2 & 1 \\
5 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
અહીં A = A” હોવાથી ક્રેલિક A સંમિત શ્રેણિક છે.
અહીં A’ = -A હોવાથી શ્રેણિક A વિસંમિત શ્રેલિક છે.
પ્રશ્ન 8.
શ્રેણિક A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 5 \\
6 & 7
\end{array}\right]\)
માટે, ચકાસો કે
(i) (A + A’) સંમિત શ્રેણિક છે.
(ii) (A – A’) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
અહીં (A + A’) = A + A’
∴ A + A’ સંમિત શ્રેણિક છે.
અહીં (A – A’)’ = -(A – A’)
∴ A – A એ વિસંમિત શ્રેલિક છે.
પ્રશ્ન 9.
જો A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & a & b \\
-a & 0 & c \\
-b & -c & 0
\end{array}\right]\), તો \(\frac{1}{2}\)(A + A’) અને \(\frac{1}{2}\) (A – A’) શોધો.
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 10.
નીચેના પ્રત્યેક શ્રેણિકને એક સંમિત અને એક વિસંમિત શ્રેણિકના સરવાળા તરીકે અભિવ્યક્ત કરો :
ઉત્તરઃ
\(\frac{1}{2}\)(A + A’) સંમિત શ્રેબ્રિક છે. જયારે \(\frac{1}{2}\)(A – A) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
\(\frac{1}{2}\)(A + A’) સંમિત શ્રેણિક છે. જ્યારે \(\frac{1}{2}\)(A – A’) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
A = \(\frac{1}{2}\)(A + A’) + \(\frac{1}{2}\)(A – A’)
\(\frac{1}{2}\)(A + A’) સંમિત શ્રેબ્રિક છે. જ્યારે \(\frac{1}{2}\)(A – A’) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
પ્રશ્ના 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
પ્રશ્ન 11.
જો A અને B સમાન ક્ષાવાળા સંમિત શ્રેણિક હોય, તો AB – BA એ…..
(A) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
(B) સંમિત શ્રેણિક છે.
(C) શૂન્ય શ્રેણિક છે.
(D) એમ શ્રેણિક છે.
જવાબ (A) વિસંમિત શ્રેણિક છે,
ઉત્તરઃ
A અને B સમાન કથાનાં સંમિત શ્રમિકો છે.
∴ A = A’ તથા B = B’ …………(i)
(AB – BA)’ = (AB)’ – (BA)’
= B’A’ – A’B’
= BA – AB (∵ (i) પરથી)
= – (AB – BA)
∴ AB – BA એ વિસંમિક શ્રેણિક છે.
પ્રશ્ન 12.
જો α નું મૂલ્ય ……. હોય, તો A + A’ = I થાય, જ્યાં A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\)
જવાબ (B) \(\frac{\pi}{3}\)
ઉત્તરઃ
