Loading web-font TeX/Main/Regular

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ન 1.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક શ્રેણિકનો પરિવર્ત શ્રેણિક મેળવો :
(i) \left[\begin{array}{c} 5 \\ \frac{1}{2} \\ -1 \end{array}\right]
(ii) \left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{array}\right]
(iii) \left[\begin{array}{ccc} -1 & 5 & 6 \\ \sqrt{3} & 5 & 6 \\ 2 & 3 & -1 \end{array}\right]
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 1

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ન 2.
જો A = \left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ -2 & 1 & 1 \end{array}\right] અને B = \left[\begin{array}{ccc} -4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{array}\right] હોય, તો
(i) (A + B)’ = A’ + B’ (ii) (A – B)’= A’ – B’ ચકાસો.
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 2
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 3
પરિણામ (i) અને (ii) ઉપરથી (A – B)’ = A’ – B’.

પ્રશ્ન 3.
જો A’ = \left[\begin{array}{cc} 3 & 4 \\ -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{array}\right] અને B = \left[\begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}\right] હોય, તો
(i) (A + B)’ = A’ + B’ (ii) (A – B)’ = A’ – B’ ચકાસો.
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 4
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 5
પરિણામ (i) અને (ii) પરથી (A – B)’ = A’ – B’.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ન 4.
જો A’ = \left[\begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right] અને B = \left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{array}\right] હોય, તો (A + 2B)’ શોધો.
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 6

પ્રશ્ન 5.
નીચે આપેલા શ્રેણિક A અને B માટે, ચકાસો કે (AB)’ = B’A’ :
(i) A = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right], B = [-1 2 1]
(ii) A = \left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right], B = [1 5 7]
ઉત્તરઃ
(i) A = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -4 \\ 3 \end{array}\right], A’ = [1 -4 3]
B = [-1, 2, 1] ∴ B’ = \left[\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right]
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 7
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 8
પરિણામ (i) અને (ii) ઉપરથી (AB)’ = B’A’,

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ન 6.
(i) જો A = \left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] હોય, તો ચકાસો કે, A’A = I.
(ii) જો A = \left[\begin{array}{cc} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array}\right] હોય, તો ચકાસો કે, A’A = I.
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 9

પ્રશ્ન 7.
(i) સાબિત કરો કે શ્રેણિક A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right] સંમિત શ્રેણિક છે.
(ii) સાબિત કરો કે શ્રેલિક A = \left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right] વિસીમિત શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
(i) A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right] ∴ A’ = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 3 \end{array}\right]
અહીં A = A” હોવાથી ક્રેલિક A સંમિત શ્રેણિક છે.
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 10
અહીં A’ = -A હોવાથી શ્રેણિક A વિસંમિત શ્રેલિક છે.

પ્રશ્ન 8.
શ્રેણિક A = \left[\begin{array}{ll} 1 & 5 \\ 6 & 7 \end{array}\right]
માટે, ચકાસો કે
(i) (A + A’) સંમિત શ્રેણિક છે.
(ii) (A – A’) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 11
અહીં (A + A’) = A + A’
∴ A + A’ સંમિત શ્રેણિક છે.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 12
અહીં (A – A’)’ = -(A – A’)
∴ A – A એ વિસંમિત શ્રેલિક છે.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ન 9.
જો A = \left[\begin{array}{ccc} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{array}\right], તો \frac{1}{2}(A + A’) અને \frac{1}{2} (A – A’) શોધો.
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 13
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 14

પ્રશ્ન 10.
નીચેના પ્રત્યેક શ્રેણિકને એક સંમિત અને એક વિસંમિત શ્રેણિકના સરવાળા તરીકે અભિવ્યક્ત કરો :
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 15
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 16
\frac{1}{2}(A + A’) સંમિત શ્રેબ્રિક છે. જયારે \frac{1}{2}(A – A) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 17
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 18
\frac{1}{2}(A + A’) સંમિત શ્રેણિક છે. જ્યારે \frac{1}{2}(A – A’) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
A = \frac{1}{2}(A + A’) + \frac{1}{2}(A – A’)
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 19
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 20
\frac{1}{2}(A + A’) સંમિત શ્રેબ્રિક છે. જ્યારે \frac{1}{2}(A – A’) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 21

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ના 11 તથા 12 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 11.
જો A અને B સમાન ક્ષાવાળા સંમિત શ્રેણિક હોય, તો AB – BA એ…..
(A) વિસંમિત શ્રેણિક છે.
(B) સંમિત શ્રેણિક છે.
(C) શૂન્ય શ્રેણિક છે.
(D) એમ શ્રેણિક છે.
જવાબ (A) વિસંમિત શ્રેણિક છે,
ઉત્તરઃ
A અને B સમાન કથાનાં સંમિત શ્રમિકો છે.
∴ A = A’ તથા B = B’ …………(i)
(AB – BA)’ = (AB)’ – (BA)’
= B’A’ – A’B’
= BA – AB (∵ (i) પરથી)
= – (AB – BA)
∴ AB – BA એ વિસંમિક શ્રેણિક છે.

GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3

પ્રશ્ન 12.
જો α નું મૂલ્ય ……. હોય, તો A + A’ = I થાય, જ્યાં A = \left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]
જવાબ (B) \frac{\pi}{3}
ઉત્તરઃ
GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 3 શ્રેણિક Ex 3.3 22

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *