GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
cos^-1\(\left(\cos \frac{13 \pi}{6}\right)\)
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે, cos^-1(cosx) = x, x ∈ [0, π]

પ્રશ્ન 2.
tan^-1\(\left(\tan \frac{7 \pi}{6}\right)\)
ઉત્તરઃ
આપણે જાણીએ છીએ કે, tan^-1(tanx) = x, x ∈ \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\)

સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 3.
2sin^-1\(\frac{3}{5}\) = tan^-1\(\frac{24}{7}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
sin^-1\(\frac{8}{17}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = tan^-1\(\frac{77}{36}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
cos^-1\(\frac{4}{5}\) + cos^-1\(\frac{12}{13}\) = cos^-1\(\frac{33}{65}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, cos^-1\(\frac{4}{5}\) = A તથા cos^-1\(\frac{12}{13}\) = B

પ્રશ્ન 6.
cos^-1\(\frac{12}{13}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = sin^-1\(\frac{56}{65}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, cos^-1\(\frac{12}{13}\) = A તથા sin^-1\(\frac{3}{5}\) = B

પ્રશ્ન 7.
tan^-1\(\frac{63}{16}\) = sin^-1\(\frac{5}{13}\) + cos^-1\(\frac{3}{5}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, sin^-1\(\frac{5}{13}\) = A તથા cos^-1\(\frac{3}{5}\) = B
sin A = \(\frac{5}{13}\) તથા cos B = \(\frac{3}{5}\)

પ્રશ્ન 8.
tan^-1\(\frac{1}{5}\) + tan^-1\(\frac{1}{7}\) + tan^-1\(\frac{1}{3}\) + tan^-1\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{\pi}{4}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
tan^-1\(\sqrt{x}\) = \(\frac{1}{2}\)cos^-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\) x ∈ [0, 1]
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x = tan²θ
∴ \(\sqrt{x}\) = tanθ
∴ θ = tan^-1(\(\sqrt{x}\))

પ્રશ્ન 10.

ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.

ઉત્તરઃ
ધારો કે, x = cos 2θ ⇒ θ = \(\frac{1}{2}\) cos^-1x

પ્રશ્ન 12.
\(\frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
ઉત્તરઃ

નીચેનાં સમીકરણ ઉકેલો :

પ્રશ્ન 13.
2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2cosec x)
ઉત્તરઃ
2 tan^-1(cos x) = tan^-1 (2cosec x)
∴ tan^-1 (cos x) + tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2cosec x)
tan^-1\(\left(\frac{2 \cos x}{1-\cos ^2 x}\right)\) = tan^-1(2cosec x)
[∵ 2tan^-1x = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\)]

∴ x = \(\frac{\pi}{4}\) એ સમીકરણનો ઉકેલ છે.
જો sin x = 60 હોય તો x = 0 થાય.
x = 0 માટે સમીકરા સંતોષાતું નથી.
∴ x = \(\frac{\pi}{4}\) એ સમીકરાનો ઉકેલ છે.

પ્રશ્ન 14.
\(\tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x\)
ઉત્તરઃ
\(\tan ^{-1} \frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2} \tan ^{-1} x\)

પ્રશ્નો 15 થી 17 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી સૌગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 15.
sin(tan^-1 x), |x| < 1 = ………..
(A) \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
(B) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
(C) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)
(D) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = sin(tan^-1 x)
tan^-1x = θ લેતાં y = sin θ તથા x = tan θ
x = tan θ ∴ cotθ = \(\frac{1}{x}\)

પ્રશ્ન 16.
sin^-1(1 – x) – 2sin^-1x = \(\frac{\pi}{2}\), તો x = …………….
(A) 0, \(\frac{1}{2}\)
(B) 1, \(\frac{1}{2}\)
(C) 0
(D) \(\frac{1}{2}\)
ઉત્તરઃ

∴ વિક્લ્પ (C), x = 0 સ્વીકાર્ય છે.

પ્રશ્ન 17.
tan^-1\(\frac{x}{y}\) – tan^-1\(\frac{x-y}{x+y}\) = ……………
(A) \(\frac{\pi}{2}\)
(B) \(\frac{\pi}{3}\)
(C) \(\frac{\pi}{4}\)
(D) \(\frac{3 \pi}{4}\)
ઉત્તરઃ

∴ વિકલ્પ (C) \(\frac{\pi}{4}\) સાચો છે.