GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.2

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 2 ત્રિકોણમિતીય પ્રતિવિધેયો Ex 2.2

સાબિત કરો :

પ્રશ્ન 1.
3 sin^-1x = sin^-1(3x – 4x³), x ∈ $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
ઉત્તરઃ
ધારો કે sin^-1x = θ
∴ x = sin θ
જ.બા. = sin^-1(3x – 4x³)
= sin^-1(3sinθ – 4sin³ θ)
= sin^-1(sin 3θ)
= 3θ
= 3sin^-1 x
= ડા.બા.

પ્રશ્ન 2.
3 cos^-1x = cos^-1 (4x³ – 3x), x ∈ [$\frac{1}{2}$, 1]
ઉત્તરઃ
ધારો કે, cos^-1x = θ
∴ x = cos θ
જ.બા. = cos^-1(4x³ – 3x)
= cos^-1(4cos³ θ – 3cos θ)
= cos^-1(cos 3θ)
= 3 θ
= 3cos^-1 x
= ડા.બા.
∴ $\frac{1}{2}$ ≤ x ≤ 1
∴ cos^-1 1 ≤ cos^-1 x ≤ cos^-1 $\frac{1}{2}$
(∵ cos ઘટતું વિધેય છે. પ્રથમ ચરણમાં)
0 ≤ θ ≤ $\frac{\pi}{3}$
0 ≤ 3θ ≤ π
3θ ∈ [0, π]

પ્રશ્ન 3.
tan^-1 $\frac{2}{11}$ + tan^-1 $\frac{7}{24}$ = tan^-1 $\frac{1}{2}$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
2tan^-1$\frac{1}{2}$ + tan^-1$\frac{1}{7}$ = tan^-1$\frac{31}{17}$
ઉત્તરઃ

નીચેનાં વિધેયોને સાદા સ્વરૂપમાં લખો 1

પ્રશ્ન 5.
tan^-1$\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)$, x ≠ 0.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x = tanθ ⇒ θ = tan^-1x, x ≠ 0

પ્રશ્ન 6.
tan^-1$\left(\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right)$, |x| > 1
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x = secθ

પ્રશ્ન 7.
tan^-1$\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)$, 0 < x < π
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
tan^-1$\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right)$, 0 < x < π
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
tan^-1$\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$, |x| < a
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x = a sinθ

પ્રશ્ન 10.
tan^-1$\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a^3-3 a x^2}\right)$, a > 0; $\frac{-a}{\sqrt{3}}$ < x < $\frac{a}{\sqrt{3}}$
ઉત્તરઃ
ધારો કે x = a tanθ

કિંમત શોધો :

પ્રશ્ન 11.
tan^-1$\left[2 \cos \left(2 \sin ^{-1} \frac{1}{2}\right)\right]$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
cot (tan^-1a + cot^-1a)
ઉત્તરઃ
cot(tan^-1 a + cot^-1 a) {∵ tan^-1x + cot^-1x = $\frac{\pi}{2}$}
= cot$\frac{\pi}{2}$
= 0

પ્રશ્ન 13.
tan$\frac{1}{2}$ $\left[\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}+\cos ^{-1} \frac{1-y^2}{1+y^2}\right]$, |x| < 1, y > 0 અને xy < 1.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
જો sin(sin^-1$\frac{1}{5}$ + cos^-1x) = 1, તો xની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 15.
જો tan^-1 $\frac{x-1}{x-2}$ + tan^-1$\frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}$, તો xની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન ક્રમાંક 16 થી 18 ની અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો :

પ્રશ્ન 16.
sin^-1$\left(\sin \frac{2 \pi}{3}\right)$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 17.
tan^-1$\left(\tan \frac{3 \pi}{4}\right)$
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
tan$\left(\sin ^{-1} \frac{3}{5}+\cot ^{-1} \frac{3}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
ધારો કે A = sin^-1$\frac{3}{5}$ તથા B = cot^-1$\frac{3}{2}$

પ્રશ્નો 19 થી 21 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 19.
cos^-1$\left(\cos \frac{7 \pi}{6}\right)$ = …………..
(A) $\frac{7 \pi}{6}$
(B) $\frac{5 \pi}{6}$
(C) $\frac{\pi}{3}$
(D) $\frac{\pi}{6}$
ઉત્તરઃ
cos^-1(cos x) = x, x ∈ [0, π]

પ્રશ્ન 20.
sin$\left(\frac{\pi}{3}-\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$ = ……………..
(A) $\frac{1}{2}$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $\frac{1}{4}$
(D) 1
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
tan^-1$\sqrt{3}$ – cot^-1(-$\sqrt{3}$) = ……………..
(A) π
(B) $-\frac{\pi}{2}$
(C) 0
(D) 2$\sqrt{3}$
ઉત્તરઃ