GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.5

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.5 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.5

પ્રશ્ન 1.
એક પાસાને 6 વખત ફેંકવામાં આવે છે. જો યુગ્મ સંખ્યા મળવી’ એ સફળતા હોય, તો (i) 5 સફળતાઓ મળે. (ii) ઓછામાં ઓછી 5 સફળતાઓ મળે. (iii) વધુમાં વધુ 5 સફળતાઓ મળે તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
એક પાસાને ફેંકવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ n(S) = 6
A = યુગ્મ સંખ્યા મળે = {1, 3, 5}
∴ P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
‘અયુગ્મ સંખ્યા મળે’ તે સફળતા વાથી, P= \(\frac{1}{2}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
એક પાસાને 6 વખત ફેંકવામાં આવે છે.
∴ પ્રયત્નોની સંખ્યા n = 6
P(X = x) = \({ }^n C_x\) q^n-x p^x …….. (i)

(i) 5 સફળતા મળે.
∴ x = 5, n = 6, p = q = \(\frac{1}{2}\)

(ii) ઓછામાં ઓછી 5 સફળતા મળે.
∴ x = 5, 6
P (ઓછામાં ઓછી 5 સફળતાઓ મળે)

(iii) વધુમાં વધુ 5 સફળતા મળે.
P(વધુમાં વધુ 5 સફળતા મળે)
= P(X ≤ 5)
= 1 – P(X > 5)
= 1 – P(X = 6)
= 1 – 6C₆(\(\frac{1}{2}\))^6-6 (\(\frac{1}{2}\))⁶
= 1 – \(\frac{1}{64}\)
= \(\frac{63}{64}\)

પ્રશ્ન 2.
પાસાઓની જોડને 4 વાર ફેંકવામાં આવે છે. જો સમાન સંખ્યાનું જોડકું મળે તેને સફળતા ગણીએ, તો બે સફળતાઓ મળવાની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
પાસાની જોડને ફેંકતા નિદર્શાવકાશના ઘટકોની સંખ્યા
n(S) = 36
સમાન સંખ્યાનું જોડકું અર્થાત્ [11, 22, 33, 44, 55, 66} મળે. સમાન સંખ્યાનું જોડકું મળે તેને સફળતા ગણીએ તો
સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
પાસાઓની જોડને ચાર વાર ફેંકવામાં આવે છે.
∴ n = 4

પ્રશ્ન 3.
વસ્તુઓના મોટા જથ્થામાં 5 % ખામીયુક્ત વસ્તુઓ છે. 10 વસ્તુઓનો નિદર્શ એક કરતાં વધારે ખામીયુક્ત વસ્તુનો સમાવેશ કરશે નહિ, તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
‘ખામીયુક્ત વસ્તુઓ’ને સફળતા કહીએ તો સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
10 વસ્તુઓનો નિદર્શ કરવામાં આવે છે.
∴ n = 10

પ્રશ્ન 4.
સરખી રીતે ચીપેલી 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી ક્રમશઃ પાંચ પત્તાં પુરવણી સહિત ખેંચવામાં આવે છે.
(i) બધાં જ પાંચ પત્તાં કાળીના હોય
(ii) માત્ર 3 પત્તાં જ કાળીના હોય
(iii) એક પણ પત્તું કાળીનું ન હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
સરખી રીતે ચીપેલ પત્તાંની થોકડી છે.
∴ n(S) = 52
આ 52 પત્તાંમાં 13 પત્તા કાળીના હોય છે.
‘કાળીનાં પત્તાં’ લેવાની ઘટનાને સફળતા કહીએ.
તો સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
52 પત્તાંમાંથી પાંચ પત્તાં પુરવણી સહિત ખેંચવાના છે.
∴ n = 5
P(X = x) = \({ }^n C_x\) q^n-xq^x

પ્રશ્ન 5.
એક ફેક્ટરી દ્વારા ઉત્પાદિત વીજળીના ગોળા 150 દિવસના વપરાશ પછી ઊડી જાય તેની સંભાવના 0.05 છે. વીજળીના 5 ગોળાઓ પૈકી (i) એક પણ નહિ (ii) એક કરતાં વધુ નિહ (iii) એક કરતાં વધારે (iv) ઓછામાં ઓછો એક વીજળીનો ગોળો, 150 દિવસના વપરાશ પછી ઊડી જાય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
વીજળીના ગોળા 150 દિવસના વપરાશ પછી ઊડી જાય’ તે
ઘટનાને સતા કહીએ તો
સફળતાની સંભાવના p = 0.05
q = 1 – p = 1 – 0.05 = 0.95
વીજળીના પાંચ ગોળાઓ લેવામાં આવે છે.
∴ n = 5
P(X = x) = \({ }^n \mathrm{C}_x\) q^n-x p^x
∴ P(X = x) = 5C_x(0.95)^5-x (0.05)^x ……………… (i)

(i) P (એક પણ નહિ)
= P(X = 0)
= 5C₀ (0.95)⁵ (0.05)⁰ ((i) પરથી)
= (0.95)⁵

(ii) P (એક કરતાં વધુ નહિ)
= P(X = 0) + F(X = 1)
= 5C₀ (0.95)⁵ + 5C₁(0.95)^5-1(0.05) ((i) પરથી)
= (0.95)⁵ + 5 (0.95)⁴ (0.05)
= (0.95)⁴ (0.95 + 0.25)
= (0.95)⁴ × 1.2

(iii) P (એક કરતાં વધારે સફળતા)
= P (X > 1)
= 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]
= 1 – (0.95)⁴ × 1.2
(∵ P(X = 0) + P(X = 1) = (0.95)⁴ × 1.2)

(iv) P (ઓછામાં ઓછી એક સફળતા)
= P(X ≥ 1)
= 1 – P(X = 0)
= 1 – 5C₀ (0.95)⁵ (0.05)⁰ ((i) પરથી)
= 1 – (0.95)⁵

પ્રશ્ન 6.
એક થેલામાં 10 દડા છે. પ્રત્યેક પર 0થી 9 માંથી એક સંખ્યા અંકિત છે. જો થેલામાંથી 4 દડા વારાફરતી પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવે, તો એક પણ દડા પર સંખ્યા 0 અંતિ ન હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
એક થેલામાં 10 દડાઓ છે. પ્રત્યેક દર્દી પર 0થી 9માંથી એક સંખ્યા અંકિત છે.
‘દડા પર સંખ્યા 0 અંકિત ન હોય’ ઘટનાને સફળતા કહીએ તો સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{1}{10}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{9}{10}\)
થેલામાંથી ચાર દડા વારાફરતી પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવે છે. તેથી n = 4

પ્રશ્ન 7.
એક પરીક્ષામાં, 20 પ્રશ્નો સત્ય-અસત્ય પ્રકારના પુછાયા છે. ધારો કે એક વિદ્યાર્થી પોતાના જવાબ નક્કી કરવા માટે એક સમતોલ સિક્કાને પ્રત્યેક પ્રશ્નના ઉત્તર માટે ઉછાળે છે. જો સિક્કા પર છાપ પડે, તો તે જવાબ ‘સત્ય’ આપે છે; જો સિક્કા પર કાંટો પડે, તો તે જવાબ ‘અસત્ય’ આપે છે. તે ઓછામાં ઓછા 12 પ્રશ્નોના જવાબ બરાબર આપે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક સિક્કાને ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {H, T} ⇒ n(S) = 2
‘જે સિક્કા પર છાપ પડે તો વિદ્યાર્થી જવાબ સત્ય આપે છે’. આ ઘટનાને સફળતા કહીએ તો સફળતાની સંભાવના
p = \(\frac{1}{2}\) ⇒ q = \(\frac{1}{2}\)
પરીક્ષામાં 20 પ્રશ્નો સત્ય-અસત્ય પ્રકારના પુછાય છે.
∴ n = 20

પ્રશ્ન 8.
ધારો કે x નું દ્વિપદી વિતરણ B(6, \(\frac{1}{2}\)) છે. સાબિત કરો કે X = 3 એ સૌથી વધુ મળતું પરિબ્રામ છે.
(સૂચન : P(X = 3) અને બધા જ P(x_i), x_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 માં મહત્તમ છે.)
ઉત્તરઃ
Xનું દ્વિપદી વિતરણ B(6, \(\frac{1}{2}\)) છે.
∴ n = 6, P = \(\frac{1}{2}\) , q = 1 – p = \(\frac{1}{2}\)

હવે 6C₀, 6C₁, 6C₂, 6C₃, 6C₄, 6C₅ તથા 6C₆ માં
6C₀ = 6C₆ = 1
6C₁ = 6C₅ = 6
6C₂ = 6C₄ = 15
6C₃ = 20
∴ 6C₃ ની કિંમત મહત્તમ છે.
∴ P(X = 3) એ બધા જ P(x_i), i = 0, 1… 6માં મહત્તમ છે.
∴ X = 3 એ સૌથી વધુ મળતું પરિણામ છે.

પ્રશ્ન 9.
પાંચ પ્રશ્નો પૈકી પ્રત્યેક માટે ત્રણ શક્ય જવાબો ધરાવતી બહુવિકલ્પ પસંદગી પરીક્ષામાં ઉમેદવાર માત્ર અટકળ કરીને ચાર અથવા ચાર કરતાં વધારે સાચા જવાબો મેળવશે તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોમાં ત્રણ શક્ય જવાબો છે.
∴ સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{1}{3}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
પરીક્ષામાં પાંચ પ્રશ્નો બહુવિકલ્પ પસંદગીના છે.
∴ n = 5

પ્રશ્ન 10.
એક વ્યક્તિ 50 લૉટરીમાં એક લૉટરી ટિકિટ ખરીદે છે. તેમાંથી પ્રત્યેકમાં તેની ઇનામ જીતવાની તક \(\frac{1}{100}\) છે. તે (a) ઓછામાં ઓછી એકવાર (b) ફક્ત એક જ વાર (c) ઓછામાં ઓછી બે વાર ઇનામ જીતશે તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
લૉટરીની ટિકિટમાં ઇનામ લાગવાની ઘટનાને સફળતા કહીએ તો સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{1}{100}\)
∴ q =1 – p = 1 – \(\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)
એક વ્યક્તિ 50 લૉટરીની ટિકિટો ખરીદે છે.
∴ n = 50

પ્રશ્ન 11.
પાસાને 7 વાર ફેંકવામાં બરાબર બે વખત 5 મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
પાસાને એક વાર ફેંકના મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ n(S) = 6
પાસા પર 5 મળે તેને સફળતા કહીએ તો સફળતાની સંભાવના P = \(\frac{1}{6}\)
∴ q = 1 – p = 1 – \(\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
પાસાને 7 વાર ફેંકવામાં આવે છે.
∴ n = 7

પ્રશ્ન 12.
એક પાસાને 6 વાર ફેંકવામાં વધુમાં વધુ બે વખત 6 મળવાની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
પાસાને એક વખત ફેંકતા મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∴ n(S) = 6
પાસા પર 6 મળે તે ઘટનાને સફળતા કહીએ તો સફ્ળતાની સંભાવના P = \(\frac{1}{6}\) ⇒ q = 1 – p = \(\frac{5}{6}\)
પાસાને 6 વાર ફેંકવામાં આવે છે.
∴ n = 6

પ્રશ્ન 13.
એ જાણીતું છે કે નિશ્ચિત ચીજવસ્તુઓના ઉત્પાદનમાં 10 % ખામીયુક્ત હોય છે. 12 પ્રકારની ચીજવસ્તુઓના યાદચ્છિક નિદર્શમાં 9 ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના કેટલી ?
ઉત્તરઃ
નિશ્ચિત ચીજવસ્તુઓના ઉત્પાદનમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની ઘટના સફળતા હોય તો તેની સંભાવના P = \(\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\)
∴ q = 1 – p = \(\frac{9}{10}\)
12 પ્રકારની ચીજવસ્તુઓ લેવામાં આવે છે.
∴ n = 12

પ્રશ્નો 14 તથા 15 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 14.
100 વીજળીના ગોળા ધરાવતા ખોખામાં, 10 ખામીયુક્ત છે. 5 ગોળાના નિદર્શમાંથી, એક પણ ખામીયુક્ત ન હોય તેની સંભાવના ……….. છે.
(A) 10^-1
(B) (\(\frac{1}{2}\))⁵
(C) (\(\frac{9}{10}\))⁵
(D) \(\frac{9}{10}\)
ઉત્તરઃ
(C) (\(\frac{9}{10}\))⁵
100 વીજળીના ગોળા ધરાવતાં ખોખામાં 10 ખામીયુક્ત છે.
∴ ખામીયુક્ત ગોળાની સંભાવના P = \(\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\)
∴ q = 1 – p = \(\frac{9}{10}\)
5 ગોળાનું નિદર્શન કરવામાં આવે છે. n = 5

પ્રશ્ન 15.
વિદ્યાર્થી તરવૈયો નથી તેની સંભાવના ૐ છે, તો આપેલ પાંચ વિદ્યાર્થીઓમાંથી ચાર તરવૈયા હોય તેની સંભાવના …………….. છે.

ઉત્તરઃ
(A) ⁵C₄ (\(\frac{4}{5}\))⁴ \(\frac{1}{5}\)
વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તે ઘટનાને સફળતા કહીએ તો સફળતાની સંભાવના p = 1 – \(\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
∴ વિદ્યાર્થી તરવૈયો નથી તેની સંભાવના q = \(\frac{1}{5}\)
પાંચ વિદ્યાર્થીઓ લેવામાં આવે છે. n = 5

= ⁵C₄ (\(\frac{1}{5}\)) (\(\frac{4}{5}\))⁴
∴ વિક્લ્પ (A) આવે.
(નોંધ : વિક્લ્પ (A) અને (C) સમાન જ છે.)