Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 13 સંભાવના Ex 13.2
પ્રશ્ન 1.
જો A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોય અને P(A) = \(\frac{3}{5}\) અને P(B) = \(\frac{1}{5}\) હોય, તો P(A ∩ B) શોધો.
ઉત્તરઃ
A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
= \(\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}\)
= \(\frac{3}{25}\)
પ્રશ્ન 2.
રમવાની 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી બે પત્તાં યાદૈચ્છિક રીતે પુરવણી વગર પસંદ કરવામાં આવે છે. બંને પત્તાં કાળા રંગનાં હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
52 પત્તાંની થોકડીમાં 26 પત્તાં કાળા રંગના હોય છે.
ઘટના A = પ્રથમ પનું કાળા રંગનું પસંદ થાય
ઘટના B = દ્વિતીય પત્તું કાળા રંગનું પસંદ થાય.
∴ P(A) = \(\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)
અહીં પત્તાંની પસંદગી પુરવણી વગર કરવાની છે. અર્થાત્ પસંદ કરેલ પ્રથમ પડ્યું પાછું મૂકવાનું નથી.
∴ બીજા પત્તાંની પસંદગી વખતે કુલ 52 પત્તાંમાંથી 26 પત્તાં કાળા રંગના હોય.
∴ P(B) = \(\frac{25}{51}\)
અહીં A અને B પરસ્પર નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
∴ બંને પત્તા કાળા રંગના હોય તેની સંભાવના
= P(A ∩ B)
= P(A) P(B)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}\)
= \(\frac{25}{102}\)
પ્રશ્ન 3.
નારંગીના ખોખામાંથી યાદૈચ્છિક રીતે પુરવણી વગર ત્રણ નારંગી પસંદ કરીને તે ખોખાને તપાસવામાં આવે છે. જો તમામ ત્રણ નારંગીઓ સારી હોય, તો ખોખાનો વેચાણ માટે સ્વીકાર કરાય છે, અન્યથા તેનો અસ્વીકાર કરવામાં આવે છે. જો ખોખામાં સમાવિષ્ટ 15 નારંગી પૈકી 12 સારી અને 3 ખરાબ હોય, તો તેને વેચાણ માટે મંજૂરી મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
તે ખોખામાં કુલ 15 નારંગી છે. તે પૈકી 12 સારી અને 3 ખરાબ છે. n(S) = 15
ખોખાને વેચાણ માટે મંજૂરી મળે તે માટે નારંગી સારી હોવી જરૂરી છે.
પટના A = પ્રથમ પસંદ થયેલ નારંગી સારી હોય.
ઘટના B = દ્વિતીય પસંદ થયેલ નારંગી સારી હોય.
ઘટના C = તૃતીય પસંદ થયેલ નારંગી સારી હોય.
અહીં ખોખામાંથી નારંગી યાદચ્છિક રીતે પુરવણી વગર પસંદ કરવાની છે.
∴ P(A) = \(\frac{12}{15}\), P(B) = \(\frac{11}{14}\), P(C) = \(\frac{10}{13}\)
A, B અને C પરસ્પર નિરપેક્ષ ઘટનાઓ થાય.
∴ P(A ∩ B ∩ C) = P(A) . P(B) . P(C)
= \(\frac{12}{15} \times \frac{11}{14} \times \frac{10}{13}=\frac{44}{91}\)
∴ ખોખાને વેચાન માટે મંજૂરી મળે તે ઘટનાની સંભાવના \(\frac{44}{91}\) છે.
પ્રશ્ન 4.
એક સમતોલ સિક્કા અને એક સમતોલ પાસાને ઉછાળવામાં આવે છે. ધારો કે ઘટના A, ‘સિક્કા પર છાપ મળે” તે અને ઘટના B ‘પાસા પર 3 મળે’ તે દર્શાવે છે. ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ છે કે નહિ તે ચકાસો.
ઉત્તરઃ
એક સમોલ સિક્કો અને એક સમતોલ પાસાને ઉછાળવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાર S = {H1, H2, H3, H4, H5, H, T1, T2, T3, T4, T5, T6}
∴ n(s) = 12
ઘટના A = સિક્કા પર છાપ મળે.
= {H1, H2, H3, H4, H5, H6}
∴ n(A) = 6
∴ P(A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\) ………….(1)
ઘટના B = પાસા પર 3 મળે.
= {H3, T3}
∴ n(B) = 2
∴ P(B) = \(\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\) ………….(2)
હવે A ∩ B = સિક્કા પર છાપ મળે અને પાસા પર 3 મળે.
= {H3}
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{12}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{6}\) = P(A) . P(B) (∵ (1) અને (2) ઉપરથી)
∴ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
∴ ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
પ્રશ્ન 5.
જેની ઉપર પૂર્ણાંકો 1, 2, 3 લાલ રંગથી અને 4, 5, 6 લીલા રંગથી લખેલ હોય તેવા પાસાને ફેંકવામાં આવે છે. પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક યુગ્મ છે તે ઘટનાને A વડે તથા પાસા પરનો પૂર્ણાંક લાલ રંગથી લખેલ છે તે ઘટનાને B વડે દર્શાવીએ, તો ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ છે ?
ઉત્તરઃ
પાસા ઉપર પૂર્ણાંકો 1, 2, 3 લાલ રંગથી અને 4, 5, 6 લીલા રંગથી લખેલ છે.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ n(S) = 6
ઘટના A = પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક યુગ્મ છે.
= (2, 4, 6)
∴ P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
ઘટના B = પાસા પરનો પૂર્ણાંક લાલ રંગથી લખેલ છે.
= {1, 2, 3}
∴ P(B) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
હવે A ∩ B = પાસા પરનો પૂર્ણાંક યુગ્મ હોય અને લાલ રંગથી રંગેલો હોય = {2}
∴ p(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
P(A) . P(B) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \neq \frac{1}{6}\)
∴ P(A) . P(B) ≠ P(A ∩ B)
A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 6.
ઘટનાઓ E અને F માટે P(E) = \(\frac{3}{5}\), P(F) = \(\frac{3}{10}\) અને P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\) છે. E અને F નિરપેક્ષ છે ?
ઉત્તરઃ
P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\)
P(E). P(n) = \(\frac{3}{5} \times \frac{3}{10}=\frac{9}{50}\)
P(E ∩ F) ≠ P(E) . P(F)
∴ P(E ∩ F) ≠ P(E) . P(F)
∴ E અને F નિરપેક્ષ ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 7.
આપેલ ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\) અને P(B) = P આપેલ છે. જો ઘટનાઓ (i) પરસ્પર નિવારક (ii) નિરપેક્ષ હોય તો p શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે P[A] = \(\frac{1}{2}\), P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\), P(B) = p
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
∴ P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B)
∴ P(A ∩ B) = \(\frac{1}{2}\) + p – \(\frac{3}{5}\) = p – \(\frac{1}{10}\)
(i) જો ઘટનાઓ A અને B પરસ્પર નિવારક હોય તો
A ∩ B = Φ
∴ P(A ∩ B) = 0
∴ p – \(\frac{1}{10}\) = 0
∴ p – \(\frac{1}{10}\)
(ii) જો ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ હોય તો
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
∴ p – \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{1}{2}\) . p
∴ p – \(\frac{p}{2}=\frac{1}{10}\)
∴ \(\frac{p}{2}=\frac{1}{10}\)
∴ p = \(\frac{1}{5}\)
પ્રશ્ન 8.
નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.4.
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A ∪ B)
(iii) P(A | B)
(iv) P(B | A) શોધો.
ઉત્તરઃ
A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4
(i) P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
= (0.3) (0.4) = 0.12
(ii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.4 – 0.12 (∵ (i) પરથી)
= 0.7 – 0.12
= 0.58
(iii) P(A | B) = P(A) = 0.3
(iv) P(B | A) = P(B) = 0.4
∵ A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
પ્રશ્ન 9.
જો ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), અને P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\) હોય, તો P(A – નહિ અને B – નહિ) શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∩ B) = \(\frac{1}{8}\) અહો P(A ∩ B) = P(A) . P(B) (∵ \(\frac{1}{8}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}\))
∴ A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
∴ A’ અને B’ પણ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
P(A નહિ અને B નહિ) = P(A’ > B’)
= P(A’) . P(B’)
= (1 – P(A)) (1 – P(B))
= (1 – \(\frac{1}{4}\))(1 – \(\frac{1}{2}\))
= \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2}\)
= \(\frac{3}{8}\)
પ્રશ્ન 10.
ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{7}{12}\) અને P(A નહિ અથવા B નહિ) = \(\frac{1}{4}\). A અને B નિરપેક્ષ છે કે નહિ ?
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{7}{12}\)
P(A નહિ અથવા B નહિ) = \(\frac{1}{4}\)
P(A’ ∪ B’) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P[(A ∩ B)’] = \(\frac{1}{4}\) (દ’મોર્ગનનો પ્રમેય)
∴ 1 – P(A ∩ B) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P(A ∩ B) = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\) …………..(i)
હવે P(A).P(B) = \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}=\frac{7}{24}\) …………..(ii)
પરિણામ (i) અને (ii) પરથી,
P(A ∩ B) ≠ P(A) . P(B)
∴ A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 11.
આપેલ બે નિરપેક્ષ ઘટનાઓ A અને B માટે P(A) = 0.3 અને P(B) = 0.6 હોય, તો
(i) P (A અને B)
(ii) P (A અને B નહિ.)
(iii) P (A અથવા B)
(iv) P (A નહિ અને B નહિ.) શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે P(A) = 0.3, P(B) = 0.6
A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
(i) P(A અને B) = P(A ∩ B)
= P(A) . P(B)
= 0.3 × 0.6
= 0.18
(ii) P(A અને B નહિ) = P(A ∩ B’)
= P(A) – P(A ∩ B)
= 0.3 – 0.18 (∵ 1 પરથી)
= 0.12
(iii) P(A અથવા B) = P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.6 – 0.18
= 0.9 – 0.18
= 0.72
(iv) P(A નહિ અને B નહિ) = P(A’ ∩ B’)
= P[(A ∪ B’)]
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – 0.72
= 0.28
પ્રશ્ન 12.
એક પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે, ઓછામાં ઓછી એક વખત અયુગ્મ સંખ્યા મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક પાસાને ત્રણ વખત ફેંકવામાં આવે છે.
ઘટના A = પ્રથમ પ્રયત્ને અયુગ્મ સંખ્યા મળે
ધટના B = દ્વિતીય પ્રયત્ન અયુગ્મ સંખ્યા મળે
ધટના C = તૃતીય પ્રયત્ને અયુગ્મ સંખ્યા મળે
S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
∴ P(A) = P(B) = P(C) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
∴ P(A ∩ B ∩ C) = P(A) P(B) P(C)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
કારણ કે A, B, C નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે. ઓછામાં ઓછી એક વખત અયુગ્મ સંખ્યા મળે તે ઘટનાની સંભાવના
= 1 – P(A ∩ B ∩ C)
= 1 – \(\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)
પ્રશ્ન 13.
એક ખોખામાં 10 કાળા રંગના અને 8 લાલ રંગના દડા છે. તે ખોખામાંથી બે દડા ચાચ્છિક રીતે પુરવણી સહિત પસંદ કરવામાં આવે છે.
(i) બંને દડા લાલ રંગના હોય તેની સંભાવના શોધો.
(ii) પહેલો દડો કાળા રંગનો અને બીજો દડો લાલ રંગનો હોય તેની સંભાવના શોધો.
(iii) તેમાંનો એક દડો કાળા રંગનો અને અન્ય લાલ રંગનો હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક ખોખામાં 10 કાળા રંગના અને 8 લાલ રંગના દાઓ છે, n(S) = 18
ખોખામાંથી બે ઠંડા યાદચ્છિક રીતે પુરવણી સહિત પસંદ કરવાના છે.
(i) ઘટના A = પ્રથમ ઠંડો લાલ રંગનો હોય
ઘટના B = દ્વિતીય દડી લાલ રંગનો હોય
P(A) = \(\frac{8}{18}\), P(B) = \(\frac{8}{18}\)
A અને B નિરપેક્ષ ઘટના ઓ છે.
બંને દડા લાલ રંગના હોય તેની સંભાવના
= P(A ∩ B)
= P(A) P(B)
= \(\frac{8}{18} \times \frac{8}{18}=\frac{16}{81}\)
(ii) ઘટના E = પ્રથમ દડો કાળા રંગનો હોય
∴ P(E) = \(\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\)
ઘટના F = દ્વિતીય દડો લાલ રંગનો હોય
P(F) = \(\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
∴ માંગેલ સંભાવના = P(E ∩ F)
= P(E) P(F)
= \(\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}\)
= \(\frac{20}{81}\)
(iii) ઘટના A = પ્રથમ ઘડી કાળા રંગનો હોય
∴ P(A) = \(\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\)
ઘટના B = દ્વિતીય દડો લાલ રંગનો હોય
∴ P(B) = \(\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
એક દડો કાળા રંગનો અને અન્ય દડો લાલ રંગનો હોય તેની સંભાવના
= પ્રથમ લાલ અને બીજી કાળો અથવા પ્રથમ કાળો અને બીજો લાલ રંગનો દડો હોય
= \(\frac{4}{9} \times \frac{5}{9}+\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}\)
= \(\frac{20}{81}+\frac{20}{81}\)
= \(\frac{40}{81}\)
પ્રશ્ન 14.
A અને B એક ચોક્કસ સવાલને સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલે તેની સંભાવના અનુક્રમે \(\frac{1}{2}\) અને \(\frac{1}{3}\) છે. જો A અને B બંને સ્વતંત્ર રીતે સવાલને ઉકેલવાનો પ્રયત્ન કરે, તો
(i) સવાલનો ઉકેલ મળે.
(ii) બેમાંથી એકને જ સવાલનો ઉકેલ મળે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ઘટના A = A સવાલને સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલે
ઘટના B = B સવાલને સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલે
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\)
અહીં A અને B નિરપેક્ષ ઘટનાઓ છે.
(i) સવાલનો ઉકેલ મળે.
A અને B બંનેમાંથી કોઈ પણ સવાલનો ઉકેલ આપે છે,
∴ P (સવાલનો ઉકેલ મળે)
= P(A ∪ B)
= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) – P(A) . P(B)
= \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}\)
= \(\frac{5}{6}-\frac{1}{6}\)
= \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
(ii) P (બેમાંથી એકને જ સવાલનો ઉકેલ મળે)
= P(A ∩ B’) + P(A’ ∩ B)
= P(A).P(B’) + P(A’) P(B) (∵ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ)
= P(A) [1 – P(B)] + [1 – P(A)] P(B)
પ્રશ્ન 15.
સારી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું થાઇચ્છિત રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. નીચેનામાંથી કયા કિસ્સાઓમાં ઘટનાઓ E અને F નિરપેક્ષ છે ?
(i) E : “પસંદ કરેલ પત્તું કાળીનું છે.’
F : “પસંદ કરેલ પનું એક્કો છે”.
(ii) E : “પસંદ કરેલ પત્તુ કાળા રંગનું છે.”
F : “પસંદ કરેલ પત્તું રાજા છે’.
(iii) E : “પસંદ કરેલ પત્તું રાજા અથવા રાણી છે.’
F : “પસંદ કરેલ પત્તું રાણી અથવા ગુલામ છે’.
ઉત્તરઃ
સારી રીતે ચીપેલાં 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પનું યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે.
∴ નિદર્શાવકાશ Śના ઘટકોની સંખ્યા n(S) = 52
(i) પટના E = પસંદ થયેલ પત્તું કાળીનું હોય
n(E) = 13
પટના F = પસંદ થયેલ પત્તુ એક્કો હોય
∴ n(F) = 4
∴ E ∩ F પત્તું કાળીનો એક્કો હોય
∴ n(E ∩ F) = 1
આમ, P(E ∩ F) = P(E) • P(F)
∴ ઘટનાઓ E અને F નિરપેક્ષ છે.
(ii) ઘટના E = પસંદ થયેલ પત્તુ કાળા રંગનું હોય.
∴ n(E) = 26
ઘટના F = પસંદ થયેલ પડ્યું રાજા હોય.
∴ n(F) = 4
E ∩ F = પડ્યું કાળા રંગનો રાજા હોય.
∴ n(E ∩ F) = 2
હવે P(E) = \(\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)
P(F) = \(\frac{n(\mathrm{~F})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
P(E ∩ F) = \(\frac{n(\mathrm{E} \cap \mathrm{F})}{n(\mathrm{~S})}\)
= \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{13}\)
= P(E) . P(F)
આમ, P(E ∩ F) = P(E) . P(F)
∴ ઘટનાઓ E અને F નિરપેક્ષ છે.
(iii) ઘટના E = પસંદ થયેલ પત્તું રાજા અથવા રાણી છે.
∴ n(E) = 8
ઘટના F = પસંદ થયેલ પત્તું રાણી અથવા ગુલામ છે.
∴ n(F) = 8
E ∩ F = પડ્યું રાણી હોય.
∴ n(E ∩ F) = 4
∴ P(E ∩ F) ≠ P(E) . P(F)
∴ ઘટનાઓ E અને F નિરપેક્ષ નથી.
પ્રશ્ન 16.
એક છાત્રાલયમાં 60 % વિદ્યાર્થીઓ હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે, 40 % અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે અને 20 % હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને સમાચારપત્ર વાંચે છે. એક વિદ્યાર્થી યાદૈચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો.
(a) તે હિન્દી કે અંગ્રેજી પૈકી એક પણ સમાચારપત્ર વાંચતો ન હોય તેની સંભાવના શોધો.
(b) જો તે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચતો હોય, તો તે અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે તેની સંભાવના શોધો.
(c) જો તે અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચતો હોય, તો તે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે A = વિદ્યાર્થીઓ હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે છે,
B = વિદ્યાર્થીઓ અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે છે.
∴ A ∩ B = વિદ્યાર્થીઓ હિન્દી અને અંગ્રેજી બંને સમાચારપત્ર વાંચે છે.
∴ P(A) = \(\frac{60}{100}\), P(B) = \(\frac{40}{100}\), P(A ∩ B) = \(\frac{20}{100}\)
(a) માર્કેચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ વિદ્યાર્થી હિન્દી કે અંગ્રેજી પૈકી એક પણ સમાચારપત્ર વાંચતો ન હોય તેની સંભાવના
= P(A’ ∩ B’)
= P[(A ∪ B)’] (∵ ૬’મોર્ગનનો નિયમ)
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 – [ \(\frac{60}{100}+\frac{40}{100}-\frac{20}{100}\) ]
= 1 – \(\frac{80}{100}\)
= \(\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\)
(b) યાદચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ વિદ્યાર્થી હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચતો હોય તો તે અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચે તેની સંભાવના = P(B / A)
= \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
= \(\frac{\frac{20}{100}}{\frac{60}{100}}\)
= \(\frac{20}{60}=\frac{1}{3}\)
(c) પાદચ્છિક રીતે પસંદ થયેલ વિદ્યાર્થી અંગ્રેજી સમાચારપત્ર વાંચતો હોય તો તે હિન્દી સમાચારપત્ર વાંચે તેની સંભાવના = P(A | B)
= \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
= \(\frac{\frac{20}{100}}{\frac{40}{100}}\)
= \(\frac{20}{40}=\frac{1}{2}\)
પ્રશ્નો 17 તથા 18માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
પ્રશ્ન 17.
પાસાઓની જોડને ફેંકવામાં આવે, તો પ્રત્યેક પાસા પર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા મળે તેની સંભાવના ………………. છે.
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{12}\)
(D) \(\frac{1}{36}\)
ઉત્તરઃ
જવાબ (D) \(\frac{1}{36}\)
પાસાઓની જોડને ફેંકવામાં આવે છે.
∴ નિદર્શાવકાશ
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
∴ n(s) = 36
ઘટના A = પ્રત્યેક પાસા પર યુગ્મ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય.
= {(2, 2)}
∴ n(A) = 1
∴ માંગેલ સંભાવના P(A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{36}\)
∴ વિકલ્પ (D) આવે.
પ્રશ્ન 18.
નીચેના પૈકી …… વિકલ્પ માટે ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ થશે :
(A) A અને B પરસ્પર નિવારક છે.
(B) P(A’B’) = [1 – P(A)] [1 – P(B)]
(C) P(A) = P(B)
(D) P(A) + P(B) = 1
ઉત્તરઃ
જવાબ (B) P(A’B’) = [1 – P (A)] [1 – P(B)]
ઘટનાઓ A અને B નિરપેક્ષ છે.
= P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
⇒ P(A’ B’) = P(A’ ∩ B’)
= P(A ∪ B)’
= 1 – P(A ∪ B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A ∩ B)]
= 1 – P(A) – P(B) + P(A) P(B)
= (1 – P(A)) – P(B) (1 – P(A))
= (1 – P(A)) (1 − P(B))
∴ વિકલ્પ (B) આવે,