Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 12 સુરેખ આયોજન Miscellaneous Exercise
પ્રશ્ન 1.
ઉદાહરણ 9 ના અનુસંધાનમાં આહારમાં વિટામિન A નું પ્રમાણ મહત્તમ હોય, તો દરેક પ્રકારના ખોરાકનાં કેટલા પૅકેટનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? આહારમાં વિટામિન A નું મહત્તમ પ્રમાણ કેટલું હશે?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
| ખોરાકનો પ્રકાર | ઓછામાં ઓછી જરૂરિયાત | ||
| P | Q | ||
| કેલ્શિયમ/પૅકેટ | 12 એકમ | 3 એકમ | 240 એકમ |
| લોહતત્ત્વ/પૅકેટ | 4 એકમ | 20 એકમ | 460 એકમ |
| ચરબી/પૅકેટ | 6 એકમ | 4 એકમ | વધુમાં વધુ 300 એકમ |
| વિટામીન A/પૅકેટ | 6 એકમ | 3 એકમ | |
વિટામીન A નું પ્રમાણ મહત્તમ રાખવાનું છે. આપેલ માહિતીને ગાણિતીક સ્વરૂપ દર્શાવીએ.
ધારો કે P પ્રકારનાં ખોરાકનાં પેકેટોની સંખ્યા x છે.
તથા Q પ્રકારનાં ખોરાકનાં પેકેટોની સંખ્યા y છે
∴ 12x + 3y ≥ 240 ⇒ 4x + y ≥ 80 ..(i)
∴ 4x + 20y ≥ 460 ⇒ x + 5y ≥ 115 ……..(ii)
∴ 6x + 4y ≤ 300 ⇒ 3x + 2y ≤ 150 ………. (iii)
x ≥ 0, y ≥ 0 …….. (iv)
શરતો (i) થી (ii) ને આધીન Z = 6x + 3y નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i), (ii), (iii) તથા (iv) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ PQR સિમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ P(15, 20), Q(40, 15) તથા R(2, 72) છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z = 6x + 3y નું સંગત મૂલ્ય
P(15, 20) Z = 150
Q(40, 15) Z = 285
R(2, 72) Z = 228
Z = 6x + 3y નું મહત્તમ મૂલ્ય 285 મળે છે. જે બિંદુ Q(40, 15) આગળ મળે છે.
∴ P પ્રકારનાં ખોરાકનાં 40 પેકેટ તથા Q પ્રકારનાં ખોરાકનાં 15 પેકેટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો આહારમાં વિટામીન A નું મહત્તમ પ્રમાણ 285 મળે.
પ્રશ્ન 2.
એક ખેડૂત P અને Q એમ બે પ્રકારની જાતના પશુઆહાર મિશ્રણ કરે છે. P પ્રકારના પશુઆહારની એક થેલીનો ભાવ ર્ 250 છે. તેમાં 3 એકમ પોષકતત્ત્વો A, 2.5 એકમ પોષક તત્ત્વ B અને 2 એકમ પોષક તત્ત્વ C છે. Q પ્રકારના પશુઆહારની એક થેલીનો ભાવ ર્ 200 છે. તેમાં 1.5 એકમ પોષક તત્ત્વો A, 11,25 એકમ B અને 3 એકમ પોષક તત્ત્વ C છે. પોષક તત્ત્વો A, B અને Cની ન્યૂનતમ જરૂરિયાત અનુક્રમે 18 એકમ, 45 એકમ અને 24 એકમની છે. જો આ મિશ્રણની એક થેલીની કિંમત ન્યૂનતમ રાખવી હોય, તો દરેક પ્રકારની કેટલી થેલી મિશ્ર કરવી જોઈએ ? આ મિશ્રણની એક થેલીની ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી થશે ?
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
| પશુઆહારનો પ્રકાર | ન્યૂનતમ જરૂરિયાત | ||
| P | Q | ||
| થેલીનો ભાવ | ₹ 250 | ₹ 200 | |
| પોષકતત્ત્વ-A | 3 એકમ | 1.5 એકમ | 18 એકમ |
| પોષકતત્ત્વ-B | 2.5 એકમ | 11.25 એકમ | 45 એકમ |
| પોષકતત્ત્વ-C | 2 એકમ | 3 એકમ | 24 એકમ |
આપેલ માહિતીને ગાણિતીક સ્વરૂપ દર્શાવીએ.
ધારો કે P પ્રકારનાં પશુઆહારની થેલીની સંખ્યા × છે. જ્યારે Q પ્રકારનાં પશુઆહારની થેલીની સંખ્યા y છે.
∴ 3x + 1.5y ≥ 18
∴ 30x + 15y ≥ 180
∴ 2x + y ≥ 12 ………..(i)
∴ 2.5x + 11.25y ≥ 45
∴ 250x + 1125y ≥ 4500
∴ 10x + 45y ≥ 180
∴ 2x + 9y ≥ 36 ……(ii)
∴ 2x + 3y ≥ 24 ……….(iii)
x ≥ 0, y ≥ 0 …….. (iv)
શરતો (i) થી (iv) ને આધીન Z = 250x + 200y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે. અસમતાઓ (i) થી (iv) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. અહીં શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ અસિમિત છે. તેનાં શિરોબિંદુઓ P(18, 0), Q(9, 2), R(3, 6) તથા S(0, 12) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં
શિરોબિંદુઓ |
Z = 250x + 200y નું
સંગત મૂલ્ય |
| P(18, 0) | Z = 4500 |
| Q(9, 2) | Z = 2650 |
| R(3, 6) | Z = 1950 |
| S(0, 12) | Z = 2400 |
Z = 250x + 1200y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 1950 મળે છે. જે બિંદુ R(3, 6) આગળ મળે છે.
∴ P પ્રકારનાં પશુઆહારની થેલીની સંખ્યા = 3
Q પ્રકારનાં પશુઆહારની થેલીની સંખ્યા = 6
અહીં શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત નથી.
∴ Z = 250x + 200y > 1950
∴ 5x + 4y > 39 નો આલેખ દોરો.
5x + 4y = 39 નો આલેખ તૂટક રેખા વડે દર્શાવેલ છે.
5x + 4y > 39 થી રચાતા અર્ધતલમાં કોઈપણ બિંદુ શક્ય ઉકેલનાં પ્રદેશ સાથે સામાન્ય નથી.
∴ Z = 250x + 220y ની ન્યૂનતમ કિંમત 1950 જ મળે.
પ્રશ્ન 3.
એક આહાર વિજ્ઞાની, વિટામિન A ના ઓછામાં ઓછા 10 એકમ હોય, વિટામિન B ના ઓછામાં ઓછા 12 એકમ હોય અને વિટામિન Cના ઓછામાં ઓછા 8 એકમ હોય તે રીતે X અને Y એમ બે પ્રકારનો ખોરાક મિશ્ર કરવા માંગે છે. 1 કિલોગ્રામ ખોરાકમાં વિટામિનનું પ્રમાણ નીચે પ્રમાણે આપેલ છે.
| ખોરાક | વિટામીન A | વિટામીન B | વિટામીન C |
| X | 1 | 2 | 3 |
| Y | 2 | 2 | 1 |
X પ્રકારના ખોરાકનો પ્રતિકિગ્રા ભાવ 7 16 છે અને Y પ્રકારના ખોરાકનો ભાવ પ્રતિકિગ્રા ર્ 20 છે. જરૂરી મિશ્રિત આહાર બનાવવા માટેનો ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય.
| ખોરાકનાં પ્રકારો | ઓછામાં ઓછી જરૂરિયાત |
||
| P | Q | ||
| વિટામીન-A/kg | 1 એકમ | 2 એકમ | 10 એકમ |
| વિટામીન-B/kg | 2 એકમ | 2 એકમ | 12 એકમ |
| વિટામીન-C/kg | 3 એકમ | 1 એકમ | 8 એકમ |
| ભાવ/kg | ₹ 16 | ₹ 20 | |
આપેલ માહિતીને ગાણિતીક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય. ધારો કે મિશ્રિત આહારમાં X પ્રકારનો ખોરાક x kg તથા y પ્રકારનો ખોરાક y kg છે.
∴ x + 2y ≥ 10 ………….(i)
2x + 2y > 12
∴ x + y ≥ 6 ………(ii)
∴ 3x + y > 8 ……..(iii)
x ≥ 0, y ≥ 0 …………(iv)
શરતો (i) થી (iv) ને આધીન Z = 16x + 20y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i) થી (iv) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. જે અસિમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ A(10, 0), P(2, 4), Q(1, 5) અને R(0, 8) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 16x + 20y નું સંગત મૂલ્ય |
| A(10, 0) | Z = 160 |
| P(2, 4) | Z = 112 |
| Q(1, 5) | Z = 116 |
| R(0, 8) | Z = 160 |
Z = 16x + 20y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 112 મળે છે. જે બિંદુ P(2, 4) આગળ મળે છે.
અહીં શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ સિમિત છે.
∴ 16x + 20y < 112 નો આલેખ દોરવામાં આવે છે.
આલેખપત્રમાં તૂટક રેખા 16x + 20y = 112 દર્શાવે છે.
આલેખપત્રથી પરથી સ્પષ્ટ છે કે 16x + 20y < 112 થી રચાતા અર્ધતલનું કોઈપણ બિંદુ શક્ય ઉકેલનાં પ્રદેશ સાથે સામાન્ય નથી.
∴ Z = 16x + 20y ની ન્યૂનતમ કિંમત 112 છે.
∴ મિશ્રિત આહારનો ન્યૂનતમ ખર્ચ ર્ 112 છે. જેમાં x પ્રકારનો ખોરાક 2 kg તથા y પ્રકારનો ખોરાક 4 kg છે.
પ્રશ્ન 4.
એક ઉત્પાદક A અને B પ્રકારનાં રમકડાં બનાવે છે. આ કામ માટે ત્રણ મશીનોની જરૂર પડે છે. દરેક રમકડું બનાવવા માટે મશીન પર લાગતો સમય (મિનિટમાં) નીચે પ્રમાણે આપેલ છે :
| રમકડાનો પ્રકાર | મશીન | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
દરેક મશીન પ્રતિદિન મહત્તમ 6 કલાક માટે ઉપલબ્ધ છે. જો A પ્રકારના એક રમકડા પરનો નફો ર્ 7.50 અને B પ્રકારના એક રમકડા પરનો નફો રી 5 હોય, તો સાબિત કરો કે મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે A પ્રકારનાં 15 રમકડાં અને B પ્રકારનાં 30 રમકડાંનું દૈનિક ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.
ઉત્તરઃ
આપેલ માહિતીને કોષ્ટકનાં સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય.
| રમકડાનો પ્રકાર | મહત્તમ સમય માટે
મશીનની ઉપલબ્ધિ |
||
| મશીન-I | 12 મિનિટ | 6 મિનિટ | 6 કલાક |
| મશીન-II | 18 મિનિટ | 0 મિનિટ | 6 કલાક |
| મશીન-III | 6 મિનિટ | 9 મિનિટ | 6 કલાક |
| નફો | ₹ 7.50 | ₹ 5 | |
આપેલ માહિતીને ગાણિતીક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે લખી શકાય.
ધારો કે ઉત્પાદક A પ્રકારનાં ૪ રમકડાં તથા B પ્રકારનાં y રમકડાં બનાવે છે.
આપેલ માહિતી પરથી,
12x + 6y ≤ 6 x 60 ⇒ 2x + y ≤ 60 …………..(i)
18x ≤ 6 × 60 ⇒ x ≤ 20 ……………(ii)
6x + 9y ≤ 6 × 60 ⇒ 2x + 3y ≤ 120 ……….(iii)
x ≥ 0, y ≥ 0 ….(iv)
શરતો (i), (ii), (iii) તથા (iv) ને આધીન Z = 7.50x + 5y નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i) થી (iv) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. જે સિમિત છે. શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ O(0, 0), P(20, 0), Q(20, 20), (15, 30) તથા S(0, 40) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 7.50x + 5y નું સંગત મૂલ્ય |
| P(20, 0) | Z = 150 |
| Q(20, 20) | Z = 250 |
| R(15, 30) | Z = 262.50 |
| S(0, 40) | Z = 200 |
| 0(0, 0) | Z = 0 |
Z = 7.50x + 5y નું મૂલ્ય 262.50 છે. જે બિંદુ (15, 30) આગળ મળે છે.
∴ મહત્તમ નફો મેળવવા માટે ઉત્પાદકે A પ્રકારનાં 15 રમકડાં અને B પ્રકારનાં 30 રમકડાંનું દૈનિક ઉત્પાદન કરવું જોઈએ.
પ્રશ્ન 5.
એક વિમાન વધુમાં વધુ 200 મુસાફરોને લઈ જઈ શકે છે. એક ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટમાંથી વિમાન કંપનીને ₹ 1000 નો નફો થાય છે અને એક સુલભ વર્ગની ટિકિટમાંથી કંપનીને ₹ 600 નફો થાય છે. વિમાની કંપની ઓછામાં ઓછી 20 બેઠકો ઉચ્ચવર્ગ માટે અનામત રાખે છે. આમ છતાં ઉચ્ચવર્ગનાં મુસાફરો કરતાં સુલભ વર્ગનાં ઓછામાં ઓછા 4 ગણા મુસાફરો મુસાફરી કરતાં હોય છે. વિમાની કંપનીએ દરેક વર્ગની કેટલી ટિકિટોનું વેચાણ કરવું જોઈએ કે જેથી મહત્તમ નફો થાય ? મહત્તમ નફો કેટલો થશે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે વિમાનમાં ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા ૪ છે. તથા સુલભવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા y છે.
વિમાન વધુમાં વધુ 200 મુસાફરો લઈ જઈ શકે છે.
∴ x + y ≤ 200 ……..(i)
વિમાનમાં ઓછામાં ઓછી 20 બેઠકો ઉચ્ચવર્ગ માટે અનામત છે.
∴ x ≥ 20 ……..(ii)
ઉચ્ચવર્ગનાં મુસાફરો કરતાં સુલભવર્ગમાં ઓછામાં ઓછા 4 ગણા મુસાફરો મુસાફરી કરતાં હોય છે.
∴ y ≥ 4x
∴ 4x – y ≤ 0 ………(iii)
x ≥ 0, y ≥ 0 ………(iv)
શરતો (i), (ii), (iii) અને (iv) ને આધીન Z = 1000x + 600y નું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i) થી (iv) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ PQR છે. જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ A(20, 80), Q(40, 160) તથા R(20, 180) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 1000x + 600yનું સંગત મૂલ્ય |
| P(20, 80) | Z = 68,000 |
| Q(40, 160) | Z = 1,36,000 |
| R(20, 180) | Z = 1,28,000 |
Z = 1000x + 6009 નું મહત્તમ મૂલ્ય બિંદુ Q(40, 160) આગળ મળે છે. જે બિંદુ Q(40,160) આગળ મળે છે.
∴ ઉચ્ચવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા 40 હોય તથા સુલભવર્ગની ટિકિટની સંખ્યા 160 હોય ત્યારે મહત્તમ નફો ₹ 1,36,000 મળે છે.
પ્રશ્ન 6.
બે ગોડાઉન A અને B માં અનાજને રાખવા માટેની ક્ષમતા અનુક્રમે 100 ક્વિન્ટલ અને 50 ક્વિન્ટલ છે. આ અનાજને ત્રણ રેશનની દુકાન D, E અને F માં પહોંચાડવાનું હોય છે. તેમની જરૂરિયાત અનુક્રમે 60, 50 અને 40 ક્વિન્ટલની છે. ગોડાઉનથી રેશનની દુકાન સુધીનો ક્વિન્ટલ દીઠ પરિવહનનો ખર્ચ આગળ કોષ્ટકમાં આપેલ છે ઃ
| થી/સુધી | ક્વિન્ટલ દીઠ પરિવહન-ખર્ચ (₹) | |
| A | B | |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.5 | 3 |
પરિવહન-ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય તે માટે અનાજને કેવી રીતે પહોંચાડવું જોઈએ ? ન્યૂનતમ ખર્ચ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે ગોડાઉન A માંથી ૪ ક્વિન્ટલ અનાજ રેશનની દુકાન D માં તથા y ક્વિન્ટલ અનાજ રેશનની દુકાન E માં પહોંચાડાય છે.
∴ બાકીનું અર્થાત્ 100 – (x + y) ક્વિન્ટલ અનાજ રેશનની દુકાન F માં પહોંચાડશે.
D, E અને F રેશનની દુકાનની જરૂરીયાતો અનુક્રમે 60, 50 અને 40 ક્વિન્ટલની છે.
∴ x < 60 …………(i) y ≤ 50 ……(ii) 100 – (x + y) ≤ 40 ….(iii) ∴ x + y > 60
ગોડાઉન A ની ક્ષમતા 100 ક્વિન્ટલ હોવાથી,
x + y < 100 … (iv)
x ≥ 0, y ≥ 0 ………(v)
ગોડાઉનથી રેશનની દુકાન સુધીનો ક્વિન્ટલ દીઠ પરિવહનનો ખર્ચ નીચે પ્રમાણે છે :
| થી/સુધી | ક્વિન્ટલ દીઠ પરિવહન-ખર્ચ (₹) | |
| ગોડાઉન A | ગોડાઉન B | |
| D | 6 | 4 |
| E | 3 | 2 |
| F | 2.5 | 3 |
પરિવહનનો ખર્ચ,
Z = 6x + 3y + 2.5(100 − x – y) + 4(60 − x) + 2(50 – y) + 3(x + y – 60)
Z = 6x + 3y + 250 – 2.5x – 2.5y + 240 – 4x + 100 – 2y + 3x + 3y – 180
= 2.5x + 1.5y + 410
અસમતાઓ (i) થી (v) નો આલેખ દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ P(60, 0), Q(60, 40), R(50, 50) અને S(10, 50) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | પરિવહનનો ખર્ચ Z = 2.5x + 1.5y + 410 નું સંગત મૂલ્ય |
| P(60, 0) | Z = 560 |
| Q(60, 40) | Z = 620 |
| R(50, 50) | Z = 610 |
| S(10, 50) | Z = 510 |
Z = 2.5x + 1.5y + 410 નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 510 મળે છે. જે બિંદુ S(10, 50) આગળ છે. એટલે કે x = 10 અને y = 50. ગોડાઉન A માંથી રેશનની દુકાન D, E, Fને અનુક્રમે 10 ક્વિન્ટલ, 50 ક્વિન્ટલ તથા 40 ક્વિન્ટલ પહોંચાડાય છે. ગોડાઉન B માંથી રેશનની દુકાન D, E, Fને અનુક્રમે 50 ક્વિન્ટલ, 0 ક્વિન્ટલ તથા 0 ક્વિન્ટલ અનાજ પહોંચાડાય છે. પરિવહનનો ન્યૂનતમ ખર્ચ હૈં 510 મળે છે.
પ્રશ્ન 7.
એક ક્રૂડતેલની કંપનીની પાસે બે ડેપો A અને B અનુક્રમે 7000 લીટર અને 4000 લિટરની ક્ષમતાવાળા આવેલા છે. કંપનીએ જેની જરૂરીયાત અનુક્રમે 4500 લિટર, 3000 લિટર અને 3500 લિટર છે. તેવા ત્રણ પેટ્રોલ પંપ D, E, F ને ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. ડેપો અને પેટ્રોલ પંપ વચ્ચેનાં અંતરો (કિમીમાં) નીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે :
| થી/સુધી | અંતર (કિમી) | |
| A | B | |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
ધારો કે 10 લિટર ક્રૂડતેલનું પરિવહન-ખર્ચ કિલોમીટર દીઠ ર્ 1 છે. ક્રૂડતેલને ડેપોથી પેટ્રોલ પંપ પર કેવી રીતે પહોંચાડવાનું નક્કી કરશો કે જેથી પરિવહન-ખર્ચ ન્યૂનતમ થાય ? ન્યૂનતમ ખર્ચ કેટલો થશે ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે ક્રૂડતેલની કંપની ડેપો A માંથી x લિટર ઈંધણ પેટ્રોલ પંપ D ને તથા y લિટર ઈંધણ પેટ્રોલ પંપ E ને પહોંચાડે છે. ડેપો A ની ક્ષમતા 7000 લિટર છે.
∴ બાકીનું (7000 – (x + y)) લિટર ઈંધણ ડેપો A એ પેટ્રોલ પંપ F ને પહોંચાડશે.
પેટ્રોલપંપ D, E અને F ની જરૂરીયાતો અનુક્રમે 4500 લિટર,
3000 લિટર તથા 3500 લિટર છે.
∴ x < 4500
y ≤ 3000 ……….(ii)
7000 (x + y) ≤ 3500
∴ x + y ≥ 3500 ………..(iii)
x + y ≤ 7000 ………..(iv) (∵ A ની ક્ષમતા)
x ≥ 0, y ≥ 0 ………….(v)
ડેપો અને પેટ્રોલપંપ વચ્ચેનાં અંતરો નીચે પ્રમાણે છે :
| થી/સુધી | અંતર (કિમી.) | |
| A | B | |
| D | 7 | 3 |
| E | 6 | 4 |
| F | 3 | 2 |
10 લિટર ક્રૂડતેલનું પરિવહન ખર્ચ કિલોમીટર દીઠ ₹ 1 છે.
. 1 લિટર ક્રૂડતેલનું પરિવહન ખર્ચ 1 કિલોમીટર દીઠ ₹ \(\frac{1}{10}\) થશે.
પરિવહનનો ખર્ચ,
Z = 7 × \(\frac{1}{10}\)x + 6 × \(\frac{1}{10}\)y + 3 × \(\frac{1}{10}\)[7000 – (x + y)] + 3 × \(\frac{1}{10}\)(4500 – x) + 4 × \(\frac{1}{10}\)(3000 – y) + 2 × \(\frac{1}{10}\)(x + y – 3500)
∴ Z = 0.7x + 0.6y + 2100 – 0.3x – 0.3y + 1350 – 0.3x + 1200 – 0.4y + 0.2x + 0.2y – 700
Z = 0.3x + 0.1y + 3950
અસમતાઓ (i) થી (v)નો આલેખ આલેખપત્રમાં દોરવામાં આવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ PQRST રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવવામાં આવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત છે. જેનાં શિરોબિંદુઓ P(3500, 0), Q(4500, 0), R(4500, 2500), S(4000, 3000) તથા T(500, 3000) છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 0.3x + 0.1x + 3950 નું સંગત મૂલ્ય |
| P(3500, 0) | Z = 5000 |
| Q(4500, 0) | Z = 5300 |
| R(4500, 2500) | Z = 5550 |
| S(4000, 3000) | Z = 5450 |
| T(500, 3000) | Z = 4400 |
Z = 0.3x + 0.1x + 3950 નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 4400 છે. જે બિંદુ T(500, 3000) આગળ મળે છે. અર્થાત્ x= 500 તથા y = 3000. ડેપો A માંથી પેટ્રોલપંપ D, E અને Fને અનુક્રમે 500 લિટર, 3000 લિટર તથા 3500 લિટર ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. જ્યારે ડેપો B માંથી પેટ્રોલપંપ D, E અને Fને અનુક્રમે 4000 લિટર, 0 લિટર તથા 0 લિટર ક્રૂડતેલ પહોંચાડે છે. પરિવહનનો ન્યૂનતમ ખર્ચ ₹ 4400 છે.
પ્રશ્ન 8.
એક ફળ ઉત્પાદક તેના બગીચામાં P અને Q એમ બે પ્રકારની બ્રાન્ડનાં ખાતરનો ઉપયોગ કરી શકે છે. દરેક બ્રાન્ડની એક થેલી દીઠ નાઈટ્રૉજન, ફૉસ્ફરિક ઍસિડ, પોટાશ અને ક્લોરિનનો જથ્થો (કિગ્રામાં) કેટલો છે. તે નીચે કોષ્ટકમાં આપેલ છે. પરીક્ષણ પરથી માલૂમ પડ્યું કે, બગીચામાં ઓછામાં ઓછું 240 કિગ્રા ફૉસ્ફેરિક ઍસિડ, ઓછામાં ઓછું 270 કિગ્રા પોટાશ અને વધુમાં વધુ 310 કિગ્રા ક્લોરિનની જરૂર છે. જો ઉત્પાદક બગીચામાં નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો ઉમેરવાનું ઈચ્છે, તો દરેક બ્રાન્ડની કેટલી થેલીનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? બગીચામાં નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો કેટલો ઉમેરવો પડશે ?
| થેલી દીઠ કિગ્રા | ||
| બ્રાન્ડ P | બ્રાન્ડ Q | |
| નાઈટ્રોજન | 3 | 3.5 |
| ફૉસ્ફરિક ઍસિડ | 1 | 2 |
| પોટાશ | 3 | 1.5 |
| ક્લોરિન | 1.5 | 2 |
ઉત્તરઃ
ધારો કે P પ્રકારનાં બ્રાન્ડનાં ખાતરની ૪ થેલી તથા ફ્ પ્રકારનાં બ્રાન્ડનાં ખાતરની પૃ થેલી ઉત્પાદક ઉપયોગમાં લે છે.
| થેલી દીઠ કિગ્રા | વપરાશ | ||
| બ્રાન્ડ P | બ્રાન્ડ Q | ||
| નાઈટ્રોજન | 3 | 3.5 | |
| ફૉસ્ફરિક ઍસિડ | 1 | 2 | ઓછામાં ઓછું 240 કિગ્રા |
| પોટાશ | 3 | 1.5 | ઓછામાં ઓછું 270 કિગ્રા |
| ક્લોરિન | 1.5 | 2 | વધુમાં વધુ 310 કિગ્રા |
આપેલ માહિતીનું ગાણિતીક સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે મળશે.
x + 2y ≥ 240 …………..(1)
3x + 1.5y > 270 ⇒ 3x + \(\frac{3}{2}\)y ≥ 270
⇒ 2x + y > 180 ….(2)
1.5x + 2y ≤ 310
∴ 3x + 4y ≤ 620 ……(3)
x ≥ 0, y ≥ 0 …….(4)
શરતો (1), (2), (3) અને (4) ને આધીન,
Z = 3x + 3.5y નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (1) થી (4) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ PQR છે. જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત છે.
| શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ | Z = 3x + 3.5y નું સંગત મૂલ્ય |
| P(40, 100) | Z = 470 |
| Q(140, 50) | Z = 595 |
| R(20, 140) | Z = 550 |
Z = 3x + 3.5yનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય 470 છે. જે બિંદુ P(40, 100) બિંદુએ મળે છે.
∴ P પ્રકારનાં બ્રાન્ડની 40 થેલી તથા Q પ્રકારનાં બ્રાન્ડની 100 થેલીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો નાઈટ્રૉજનનો ન્યૂનતમ જથ્થો 470 kg ઉમેરી શકાય.
પ્રશ્ન 9.
પ્રશ્ન 8 ના અનુસંધાનમાં જો ઉત્પાદક બગીચામાં નાઇટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો ઉમેરવાનું ઇચ્છે તો દરેક બ્રાન્ડની કેટલી થેલીનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ ? બગીચામાં નાઇટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો કેટલો ઉમેરવો પડશે ?
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન નં. 8નાં અનુસંધાનમાં નાઇટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો ઉમેરવા માટે ઉપરના દા.નં. 8 માં Z = 3x + 3.5y નું મહત્તમ મૂલ્ય લેવું પડે. સ્પષ્ટ છે કે Z = 3x + 3.5y નું મહત્તમ મૂલ્ય 595 છે. જે બિંદુ Q(140, 50) આગળ મળે છે.
∴ P પ્રકારની બ્રાન્ડની 140 થેલી તથા Q પ્રકારની બ્રાન્ડની 50 થેલીનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો નાઈટ્રૉજનનો મહત્તમ જથ્થો 595 kg ઉમેરી શકાય.
પ્રશ્ન 10.
એક રમકડાની કંપની A અને B બે પ્રકારની ઢીંગલીઓ બનાવે છે. બજારનાં પરીક્ષણો અને ઉપલબ્ધ સ્રોતો દર્શાવે છે કે, સાપ્તાહિક સંયુક્ત ઉત્પાદનનું સ્તર 1200 ઢીંગલીઓથી વધવું ન જોઈએ અને B પ્રકારની ઢીંગલીઓની માંગ A પ્રકારની ઢીંગલીઓ કરતાં વધુમાં વધુ અડધી છે. વળી, A પ્રકારની ઢીંગલીઓનું ઉત્પાદન B પ્રકારની ઢીંગલીઓના ઉત્પાદનના ત્રણ ગણા કરતાં વધુમાં વધુ 600 જેટલું વધુ છે. જો કંપની A અને B પ્રકારની ઢીંગલી પર અનુક્રમે ર્ 12 અને ર્ 16 નફો કરતી હોય, તો મહત્તમ નફો મેળવવા માટે સાપ્તાહિક દરેક પ્રકારની કેટલી ઢીંગલીનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે રમકડાની કંપની A પ્રકારની ૪ નંગ ઢીંગલીઓ તથા B પ્રકારની y નંગ ઢીંગલીઓ બનાવે છે.
સંયુક્ત ઉત્પાદનનું સ્તર 1200 ઢીંગલીઓથી વધુ નથી.
∴ x + y < 1200 …(i)
B પ્રકારની ઢીંગલીઓની માંગ A પ્રકારની ઢીંગલીઓ કરતાં વધુમાં વધુ અડધી છે.
∴ y ≤ \(\frac{1}{2}\)x
∴ x – 2y ≥ 0 ……(ii)
A પ્રકારની ઢીંગલીઓનું ઉત્પાદન B પ્રકારની ઢીંગલીઓનાં ઉત્પાદનનાં ત્રણ ગણા કરતાં વધુમાં વધુ 600 જેટલું વધુ છે.
∴ x – 3y ≤ 600 ….(iii)
∴ x ≥ 0, y ≥ 0 ………(iv)
A અને B પ્રકારની ઢીંગલીઓ પર અનુક્રમે નફો ₹ 12 અને ₹ 16 છે.
શરત (i), (ii), (iii) અને (iv) ને આધીન Z = 12x + 16yનું મહત્તમ મૂલ્ય મેળવવાનું છે.
અસમતાઓ (i) થી (iv) નો આલેખ આલેખપત્રમાં દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ OPQR છે. જે રેખાંકિત ભાગ વડે દર્શાવેલ છે. શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ સિમિત છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશનાં શિરોબિંદુઓ Z=12x+ 16yનું સંગત મૂલ્ય
| 0(0, 0) | Z = 0 |
| P(600, 0) | Z = 7200 |
| Q(1050, 150) | Z = 15000 |
| R(800, 400) | Z = 16000 |
Z = 12x + 16y નું મહત્તમ મૂલ્ય 16000 મળે છે. જે બિંદુ P(800, 400) પાસે મળે છે.
∴ A પ્રકારની ઢીંગલીઓનું ઉત્પાદન 800 નંગ તથા B પ્રકારની ઢીંગલીઓનું ઉત્પાદન 400 નંગ કરવામાં આવે તો મહત્તમ નફો ₹ 16000 મળે છે.