GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
સાબિત કરો કે ઊગમબિંદુને (2, 1, 1) બિંદુ સાથે જોડતી રેખા એ બિંદુઓ (3, 5, −1), (4, 3, −1) થી બનતી રેખાને લંબ છે.
ઉત્તરઃ
ઊગમબિંદુ O (0, 0, 0) અને બિંદુ A(2, 1, 1) માંથી પસાર થતી રેખા OA ના દિર્ગુણોત્તર :
\(\overrightarrow{b_1}\) = 2 – 0, 1 – 0, 1 – 0 = 2, 1, 1
બિંદુઓ B(3, 5, −1) અને C(4, 3, −1) માંથી પસાર થતી રેખા BC ના દિર્ગુણોત્તર :
\(\overrightarrow{b_2}\) = 4 – 3, 3 – 5, -1 + 1 = 1, −2, 0
હવે \(\overrightarrow{b_1} \cdot \overrightarrow{b_2}\) = a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂
= 2(1) + 1(−2) + 1(0)
– 2 − 2
= 0
∴ રેખા OA ⊥ રેખા BC

પ્રશ્ન 2.
જો પરસ્પર લંબ હોય તેવી બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન l₁, m₁, n₁ અને l₂, m₂, n₂ હોય, તો તે બંનેને લંબરેખાની દિક્કોસાઇન m₁n₂ – m₂n₁, n₁l₂ – n₂l₁, l₁m₂ – l₂m₁ છે.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁‚ ની દિક્કોસાઇન l₁, m₁, n₁ છે.
રેખા L₂ ની દિક્કોસાઇન l₂, m₂, n₂ છે.
ધારો કે આ બંને રેખા L₁ અને L₂ ને લંબ હોય તેવી રેખા
L ની દિક્કોસાઇન l, m, n છે.
∴ ll₁ + mm₁ + nn₁ = 0 ….(i)
∴ ll₂ + mm₂ + nn₂ = 0 ……(ii)

સમીકરણ (i) અને (ii) ને ચોકડી ગુણાકારની રીતથી ઉકેલતાં,
\(\frac{l}{m_1 n_2-m_2 n_1}=\frac{m}{n_1 l_2-n_2 l_1}=\frac{n}{l_1 m_2-l_2 m_1}\)
∴ રેખા L ની દિક્કોસાઇન m₁n₂ – m₂n₁, n₁l₂ – n₂l₁
l₁m₂ – l₂m₁ છે.

પ્રશ્ન 3.
જે રેખાઓના દિર્ગુણોત્તર a, b, c અને b – c, c – a, a−b હોય તે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે આપેલ બે રેખાઓને સમાંતર સદિશો \(\overrightarrow{m_1}\) અને \(\overrightarrow{m_2}\) છે.
\(\vec{m}_1\) = રેખાના દિર્ગુણોત્તર a, b, c ને સમાંતર દિશ
= aî + bĵ + ck̂
અને \(\vec{m}_2\) = રેખાના દિર્ગુણોત્તર b – c, c – a, a – b ને સમાંતર દિશ
= (b – c)î + (c – a)ĵ + (a – b)k̂

જો બંને રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય તો
cos θ = \(\frac{\overrightarrow{m_1} \cdot \overrightarrow{m_2}}{\left|\overrightarrow{m_1}\right|\left|\overrightarrow{m_1}\right|}\)
હવે \(\overrightarrow{m_1} \cdot \overrightarrow{m_2}\) = (aî + bĵ + ck̂)· ((b − c)î + (c – a)ĵ + (a – b)k̂)
= ab – ac + bc – ba + ac
= 0
∴ cos θ = 0
∴ θ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ બંને રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

પ્રશ્ન 4.
X–અક્ષને સમાંતર અને ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
X-અક્ષના દિર્ગુણોત્તર 1, 0, 0 છે.
ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) માંથી પસાર થતી અને X-અક્ષને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ :
\(\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-0}{0}\)
⇒ \(\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{0}\)

પ્રશ્ન 5.
જો બિંદુઓ A, B, C, D ના યામ અનુક્રમે (1, 2, 3), (4, 5, 7), (–4, 3, −6) અને (2, 9, 2) હોય, તો રેખાઓ AB અને CD વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે A(1, 2, 3), B(4, 5, 7), C(−4, 3, −6) 3⁄4À D(2, 9, 2) ચાર બિંદુઓ છે.
∴ \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = î + 2ĵ + 3k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 4î + 5ĵ + 7k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = -4î +3ĵ – 6k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OD}}\) = 2î + 9j + 2k̂
રેખા AB ની દિશા \(\overrightarrow{b_1}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= 3î + 3ĵ + 4k̂

રેખા CD ની દિશા \(\overrightarrow{b_2}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)
= 6î + 6ĵ + 8k̂

હવે \(\overrightarrow{b_1} \cdot \overrightarrow{b_2}\) = (3î +3ĵ + 4k̂) · (6î + 6ĵ + 8k̂)
= 18 + 18 + 32
= 68
\(\left|\overrightarrow{b_1}\right|=\sqrt{(3)^2+(3)^2+(4)^2}=\sqrt{9+9+16}=\sqrt{34}\)
\(\left|\overrightarrow{b_2}\right|=\sqrt{(6)^2+(6)^2+(8)^2}=\sqrt{36+36+64}=\sqrt{136}\)

જો AB અને CD રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય તો

∴ θ = 0°
∴ AB અને CD રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો 0° છે.

પ્રશ્ન 6.
જો રેખાઓ \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\) અને
\(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\) પરસ્પર લંબ હોય, તો k શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\)
રેખા L₂ : \(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\)

રેખાઓ L₁ અને L₂ પરસ્પર લંબ છે.
∴ (−3) (3k) + (2k)(1) + (2)(−5) = 0
∴ -9k + 2k – 10 = 0
∴ -7k = 10
∴ k = \(\frac{-10}{7}\)

પ્રશ્ન 7.
(1, 2, 3) માંથી પસાર થતી અને સમતલ \(\vec{r}\) . (î + 2 ĵ – 5 k̂) + 9 = 0 ને લંબ રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલ π : \(\vec{r}\) .(î +2ĵ – 5k̂) = 2
⇒ x + y + z = 2
∴ સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\vec{n}\) = î + 2ĵ – 5k̂
રેખા L એ A(\(\vec{a}\)) = (1, 2, 3)માંથી પસાર થાય છે તથા તે સમતલ π ને લંબ છે.
∴ રેખા L ને સમાંતર સદિશ latex]\vec{n}[/latex] = î + 2ĵ – 5k̂ થાય.
રેખા L નું સમીકરણ : \(\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{n}\)
∴ \(\vec{r}\) = (î + 2ĵ + 3k̂) + λ(î + 2ĵ + 3k̂)

પ્રશ્ન 8.
(a, b, c) માંથી પસાર થતા અને સમતલ \(\vec{r}\)· (î + ĵ + k̂) = 2 ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલ π : \(\vec{r}\) · (î + ĵ + k̂) = 2
∴ x + y + z = 2
સમતલ ૪ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ
x + y + z = λ છે જો (a, b, c) માંથી પસાર થાય છે.
∴ a + b + c = λ
માંગેલ સમતલનું સમીકરણ : x + y + z = a + b + c છે.

પ્રશ્ન 9.
રેખાઓ \(\vec{r}\) = 6î + 2ĵ + 2k̂ + λ(î – 2ĵ + 2k̂) અને \(\vec{r}\) = − 4 î – k̂ + μ (3î − 2ĵ – 2k̂) વચ્યેનું લઘુતમ અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : \(\vec{r}\) = 6î + 2ĵ + 2k̂ + λ(î – 2ĵ + 2k̂)
સમીકરણને \(\vec{r}=\overrightarrow{a_1}+\lambda \vec{b}_1\) સાથે સરખાવતાં,
\(\overrightarrow{a_1}\) = 6î + 2ĵ + 2k̂, \(\overrightarrow{b_1}\) = î – 2ĵ + 2k̂
રેખા L₂: \(\vec{r}\) = 4î – î + μ (зî – 2î – 2k)
સમીકરણને \(\vec{r}=\overrightarrow{a_2}+\mu \overrightarrow{b_2}\) સાથે સરખાવતાં,

પ્રશ્ન 10.
(5, 1, 6) અને (3, 4, 1) માંથી પસાર થતી રેખા YZ સમતલના જે બિંદુમાંથી પસાર થાય તેના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ બિંદુ A(5, 1, 6) અને B(3, 4, 1) છે
બિંદુ A નો સ્થાન સદિશ a = 5î + ĵ + 6k̂
તથા બિંદુ B નો સ્થાન સદિશ b = 3î + 4ĵ + k̂ થાય
બે ભિન્ન બિંદુઓ A(a) અને B(b)માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ,
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})\) છે. λ ∈ R
∴ \(\vec{r}\) = (5î + ĵ + 6k̂) + λ [3î + 4ĵ + k̂) − (5î + ĵ + 6k̂)]
\(\vec{r}\) = (5î + ĵ + 6k̂) + λ (−2î + 3ĵ – 5k̂) …(i)
આ રેખા YZ-સમતલને બિંદુ P(o, y, z) માંથી પસાર થાય છે.
∴ સમીકરણ (i) પરથી,

oî + yĵ + zk̂ = (5 – 2λ)î +(1 + 3λ)ĵ + (6 – 5λ)k̂
બંને બાજુ î, ĵ અને k̂ ના સહગુણકો સરખાવતાં,
0 = 5 – 2λ, y = 1 + 3λ, z = 6 − 5λ
λ = \(\frac{5}{2}\), y = 1 + 3 (\(\frac{5}{2}\)) . z = 6 – 5 (\(\frac{5}{2}\))
y = \(\frac{17}{2}\) … z = \(\frac{-13}{2}\)
∴ બિંદુ A અને B માંથી પસાર થતી રેખા YZ- સમતલના
બિંદુ P(o, \(\frac{17}{2}\), \(\frac{-13}{2}\)) માંથી પસાર થાય છે.

પ્રશ્ન 11.
(5, 1, 6) અને (3, 4, 1) માંથી પસાર થતી રેખા ZX સમતલના જે બિંદુમાંથી પસાર થાય તે બિંદુના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ બિંદુઓ A(5, 1, 6) અને (3, 4, 1) છે. બિંદુ A નો સ્થાન સદિશ \(\vec{a}\) = 5î + ĵ + 6k̂ બિંદુ B નો સ્થાન સદિશ
\(\vec{b}\) = 3î + 4ĵ + k̂ બે ભિન્ન બિંદુઓ A(\(\vec{a}\)) અને B(\(\vec{b}\)) માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ :
\(\vec{r}\) = \(\vec{a}\) + (\(\vec{b}\) – \(\vec{a}\)) λ = R
\(\vec{r}\) = (5î + ĵ + 6k̂) + λ [(3î + 4ĵ + k̂) – (5î + ĵ + 6k̂)]
\(\vec{r}\) = (5î + ĵ + 6k̂) + (-2î + 3ĵ – 5k̂) ….(ii)
આ રેખા ZX-સમતલને બિંદુ P(x, o, z) માંથી પસાર થાય છે.
∴ સમીકરણ (i) પરથી
xî + oĵ + zk̂ = (5 – 2λ)î + (1 + 3λ)ĵ + (6 – 5λ)k̂
બંને બાજુના î, ĵ અને k̂ ના સહગુણકો સરખાવતાં
x = 5 – 2λ, 0 = 1 + 3λ, z = 6 – 5λ
λ = \(\frac{-1}{3}\)
x = 5 – 2(\(\frac{-1}{3}\))
x = \(\frac{17}{3}\)

z = 6 – 5(\(\frac{-1}{3}\))
z = \(\frac{23}{2}\)
A(a) અને B(b) માંથી પસાર થતી રેખા ZX–સમતલના બિંદુ P(\(\frac{17}{3}\), 0, \(\frac{23}{3}\)) માંથી પસાર થાય છે.

પ્રશ્ન 12.
(3, −4, ~5) અને (2, −3, 1) માંથી પસાર થતી રેખા 2x + y + z = 7 સમતલના જે બિંદુમાંથી પસાર થાય તે બિંદુના યામ શોધો.
ઉત્તરઃ
આપેલ બિંદુઓ A(3, 4, -5) અને B(2, −3, 1) છે.
બિંદુ A નો સ્થાન સદિશ \(\vec{a}\) = 3î – 4ĵ – 5k̂
બિંદુ B નો સ્થાન સદિશ \(\vec{b}\) = 2î – 3ĵ + k̂

બે ભિન્ન બિંદુઓ A(\(\vec{a}\)) અને B(\(\vec{b}\)) માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ :
\(\vec{r}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})\), λ ∈ R
\(\vec{r}\) = (3î – 4ĵ – 5k̂) + λ [(2î – 3ĵ + k̂) − (3î – 4ĵ – 5k)]
\(\vec{r}\) = (3î – 4ĵ − 5) + λ. (−î + ĵ + 6k̂)
\(\vec{r}\) = (3 – λ)î + (-4 + λ)ĵ + (-5 + 6λ)k̂
આ રેખા 2x + y + 2 = 7 સમતલને બિંદુ P(x, y, z) માંથી પસાર થાય છે.

બિંદુ P(x, y, z) રેખા પરનું બિંદુ હોવાથી કોઈક λ ∈ R માટે,
x = 3 – λ, y = -4 + λ, z = -5 + 6λ

બિંદુ P(x, y, z) એ સમતલ 2x + y + z = 7 પર પણ આવેલું છે. માટે તેનાં સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
∴ 2(3 − λ) + (−4 + 2) + (−5 + 6λ) = 7
∴ 6 – 2λ – 4 + λ – 5 + 6λ = 7
∴ 5λ = 10 → λ = 2
λ = 2 માટે, x = 3 – λ = 3 – 2 = 1
y = -4 + λ = -4 + 2 = −2
z = -5 + 6λ = -5 + 12 = 7
∴ માંગેલ બિંદુના યામ P(x, y, z) = (1, −2, 7) છે.

પ્રશ્ન 13.
(−1, 3, 2) બિંદુમાંથી પસાર થતા તથા પ્રત્યેક સમતલ x + 2y + 3z = 5 અને 3x + 3y + z = 0 ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
બિંદુ (−1, 3, 2) માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ a(x + 1) + b(y – 3) + c (z – 2) = 0 છે. ….(i)
સમીકરણ (i) દ્વારા દર્શાવાતું સમીકરણ એ સમતલો x + 2y + 3z = 5 અને 3x + 3y + z = 0 ને લંબ છે.
∴ a + 2b + 3c = 5 …..(ii)
3a + 3b + c = 0 ….(iii)
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 નો ઉપયોગ કરતાં સમીકરણ (ii) અને (iii) ને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતાં

∴ \(\frac{a}{-7}=\frac{b}{8}=\frac{c}{-3}\) = λ કહો.
a = -7λ, b = 8λ, c = -3λ

∴ a, b, c ની આ કિંમતો સમીકરણ (i) માં મૂકતાં,
-7λ (x + 1) + 8λ(y – 3) − 3λ (z – 2) = 0
∴ −7x – 7 + 8y – 24 – 3z + 6 = 0
-7x + 8y – 3z – 25 = 0
∴ 7x – 8y + 3z + 25 = 0
જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.
બીજી રીત :
સમતલ π₁ : x + 2y + 3z = 5
∴ સમતલ π₁ ના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 1î + 2ĵ + 3k̂
સમતલ π₂ : 3x + 3y + z = 0
∴ સમતલ π₂ ના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 3î + 3ĵ + k̂

ધારો કે સમતલ π₁ અને સમતલ π₁ ને લંબ હોય તેવું સમતલ છે.
જો સમતલ π ના અભિલંબનો સદિશ \(\vec{n}\) હોય તો
\(\vec{n}=\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}\)
= (î + 2ĵ + 3k̂) × (3î + 3ĵ + k̂)
= -7î + 8ĵ – 3k̂

સમતલ π એ બિંદુ A(\(\vec{a}\)) = (−1, 3, 2) માંથી પસાર થાય છે તેથી A નો સ્થાન સદિશ \(\vec{a}\) = −î + 3ĵ + 2k̂
∴ માંગેલ સમતલ π નું સમીકરણ
\(\overrightarrow{(r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}\) = 0
∴ [(x + 1)î + (y − 3)ĵ + (z − 2)k̂] (−7î + 8ĵ −3k) = 0
∴ -7x + 7+ 8y – 24 – 3z −6 = 0
∴ 7x – 8y + 3z + 25 = 0

પ્રશ્ન 14.
જો હિંદુઓ (1, 1, p) અને (-3, 0, 1) સમતલ \(\vec{r}\).(3î + 4ĵ – 12k̂) + 13 = 0 થી સમાન અંતરે આવેલાં હોય, તો ઘૃ નું મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલનું સમીકરણ \(\vec{r}\) · (3î + 4ĵ – 12k̂) + 13 = 0
બિંદુ A(1, 1, p) નું આપેલ સમતલથી અંતર d₁ હોય, તો

બિંદુ B(−3, 0, 1) નું આપેલ સમતલથી અંતર d₂ હોય, તો

(પાઠ્યપુસ્તકના જવાબમાં ક્ષતિ છે.)

પ્રશ્ન 15.
સમતલો \(\vec{r}\) (î + ĵ + k̂) = 1 અને \(\vec{r}\).(2î + 3ĵ – k̂) + 4 = 0 ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા તથા X-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલો \(\vec{r}\) (î + ĵ + k̂) = 1 અને
\(\vec{r}\).(2î + 3ĵ – k̂) + 4 = 0 ની છેદરેખામાંથી પસાર થતાં સમતલનું સમીકરણ :
[\(\vec{r}\) . (î + ĵ + k̂) – 1] – 1] + λ [\(\vec{r}\) – (2î + 3ĵ – k̂) + 4] = 0 છે.
[\(\vec{r}\). [(1 + 2λ)î + (1 + 3λ)ĵ + (1 – 2)k̂] -1 + 4λ = 0 ….(i)
આ સમતલ X-અક્ષને સમાંતર છે.
X-અક્ષને સમાંતર સદિશ 1î + 0ĵ + 0k̂ છે.
∴ (î + 0ĵ + 0k̂) . [(1 + 2)î + (1 + 32)ĵ + (1 – 2)k̂] = 0
∴ 1 + 2λ = 0 (·· સમતલનો અભિલંબ એ X-અક્ષને લંબ થશે.)

∴ y – 3z + 6 = 0
જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 16.
જો O ઊગમબિંદુ હોય અને P ના યામ (1, 2, 3) હોય, તો P માંથી પસાર થતા અને OP ને લંબ સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
માંગેલ સમતલ એ OP ને લંબ છે.
∴ સમતલના અભિલંબનો સદિશ
\(\vec{n}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)
= (1−0, 2 – 0, −3 – 0)
= (1, 2, 3)
= î + 2ĵ − 3k̂

સમતલ p(1, 2, −3) માંથી પસાર થાય છે.
\(\vec{a}\) = î + 2ĵ − 3k̂
∴ માંગેલ સમતલનું સમીકરણ :
\((\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}\) = 0
∴ (\(\vec{r}\) – (î + 2ĵ – 3î)) · (î + 2ĵ − 3k̂) = 0
((x − 1)î + ( y − 2)ĵ + (z + 3)k̂)·(î + 2ĵ – 3k̂) = 0
∴ x 1 + 2y 4 – 3z – 9 = 0
∴ x + 2y 3z – 14 = 0

પ્રશ્ન 17.
સમતલો \(\vec{r}\).(î + 2ĵ + 3k̂) – 4 = 0, \(\vec{r}\)· (î + 2 ĵ + 3 k̂) + 5 = 0 ની છેદરેખાને સમાવતા તથા સમતલ \(\vec{r}\) . (5 î + 3 ĵ – 6k̂) + 8 = 0 ને લંબ સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલો \(\vec{r}\).(î + 2ĵ + 3k̂) – 4 = 0 અને \(\vec{r}\) · (2î + ĵ − k̂) + 5 = 0 ની છેદરેખાને સમાવતા તથા સમતલનું સમીકરણ,
[\(\vec{r}\) · (î + 2 ĵ + 3k̂) – 4] + λ [\(\vec{r}\)· (2î + ĵ − k̂) + 5] = 0 છે.
\(\vec{r}\) · [(1 + 2λ)î + (2 + 2)ĵ + (3 − 2)k̂] − 4 + 5λ = 0 ……..(i)
સમીકરણ (i) દ્વારા દર્શાવાતા સમતલનો
અભિલંબ \(\overrightarrow{n_1}\) = (1 + 2λ)î + (2 + λ)ĵ + (3 − λ)k̂ છે.
સમતલ \(\vec{r}\). (5î + 3ĵ – 6k̂) + 8 = 0 …(ii)
આ સમત્તલનો અભિલંબ \(\overrightarrow{n_2}\) = 5î + 3ĵ – 6k̂ છે.

સમીકરણ (i) અને (ii) દ્વારા દર્શાવાતા સમતલો પરસ્પર લંબ છે.
તેમના અભિલંબો પણ પરસ્પર લંબ થાય.
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\) = 0
∴ 5(1 + 2λ) + 3 (2 + λ) −6 (3 − λ) = 0
∴ 5 + 10λ + 6 + 3λ – 18 + 6λ = 0
∴ 19λ = 7
∴ λ = \(\frac{7}{19}\)
λ = \(\frac{7}{19}\) સમીકરણ (i) માં મૂકતાં,
\(\vec{r}\).[(1 + \(\frac{14}{19}\))î + (2 + \(\frac{7}{19}\))ĵ + (3 + \(\frac{7}{19}\))k̂] – 4 + \(\frac{35}{19}\) = 0
\(\vec{r}\) · [(19 + 14)î + (38 + 7)ĵ + (57 − 7)k̂) – 76 + 35 =
\(\vec{r}\) · (33î + 45ĵ + 50k̂) – 41 = 0
∴ 33x + 45 y + 50 z – 41 = 0
જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 18.
\(\vec{r}\) = 2î – ĵ + 2k̂ + λ(3î + 4ĵ + 2k̂) અને સમતલ \(\vec{r}\) . (î – ĵ + k̂) = 5 ના છેદબિંદુથી બિંદુ (−1, −5, −10) નું અંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L: \(\vec{r}\) = 2î – ĵ + 2k̂ + λ (3î + 4ĵ + 2k̂),
સમતલ : \(\vec{r}\) – (î − ĵ + k̂) = 5
ધારો કે રેખા L અને સમતલ નું છેદબિંદુ P(x, y, z) છે. બિંદુ P રેખા L ઉપર હોવાથી કોઈ λ ∈ R માટે P ના યામ, P(x, y, z) = (2 + 3λ, −1 + 4λ, 2 + 2λ) થાય.

∴ P નો સ્થાન સદિશ = ( 2 + 3λ)î -(-1 + 4λ)ĵ + (2 + 2λ)k̂
બિંદુ P સમતલ ૮ પર આવેલું હોવાથી તેનાં સમીકરણનું સમાધાન કરે.
∴ [(2 + 3λ)î – (−1 + 4λ)ĵ + (2 + 2λ)k̂] [î – ĵ + k̂] = 5
2 + 3λ + 1 – 4λ + 2 + 2λ = 5
∴ λ = 0
∴ P ના યામ = (2 + 0, −1 + 0, 2 + 0) = (2, −1, 2)
બિંદુ A ના યામ = (-1, -5, -10)
∴ માંગેલ અંતર
AP = \(\sqrt{(2+1)^2+(-1+5)^2+(2+10)^2}\)
= \(\sqrt{9+16+144}\)
= 13 એકમ.

પ્રશ્ન 19.
(1, 2, 3) માંથી પસાર થતી અને સમતલો \(\vec{r}\) . (î – ĵ + 2k̂) = 5_તથા_\(\vec{r}\) . (3 î + ĵ + k̂) = 6 ને સમાંતર રેખાનું સિદિશ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલ π₁ : \(\vec{r}\) (î – ĵ + 2k̂) = 5
સમતલ π₁ ના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = î – ĵ + 2k̂
સમતલ π₂ : \(\vec{r}\) . (3î + ĵ + k̂) = 6
∴ સમતલ π₂ ના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 3î + ĵ + k̂
માંગેલ રેખા L એ બિંદુ A(\(\vec{a}\)) =(1, 2, 3) માંથી પસાર થાય છે. \(\vec{a}\) = î + 2ĵ + 3k̂.
રેખા L એ સમતલો π₁ અને π₂ ને સમાંતર છે.
∴ રેખા L ની દિશા એ સમતલો π₁ અને π₂ બંનેને લંબ હશે.
હવે π₁ અને π₂ બંનેને લંબ દિશ \(\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}\) છે.
∴ રેખા L ની દિશા \(\vec{b}=\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}\) થાય.
\(\vec{b}\) = (î – ĵ + 2k̂) × (3î + ĵ + k̂)
\(\vec{b}\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & -1 & 2 \\
3 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= (-1 – 2)î + 5ĵ + (1 + 3)k̂
= -3î + 5ĵ + 4k̂
∴ માંગેલ રેખા L એ a માંથી પસાર થતી તથા b દિશાવાળી રેખા છે.
રેખા L નું સમીકરણ :
\(\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}\), λ ∈ R
\(\vec{r}\) = (î + 2ĵ + 3k̂) + 2 (−3î + 5ĵ + 4k̂)

પ્રશ્ન 20.
બિંદુ (1, 2, −4) માંથી પસાર થતી અને બે રેખાઓ \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) તથા \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સદિશ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
રેખા L₁ : \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\)
રેખા L₁ ને સમાંતર સદિશ \(\overrightarrow{b_1}\) = 3î – 16ĵ + 7k̂
રેખા L₂ : \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\)
રેખા L₂ ને સમાંતર સદિશ \(\overrightarrow{b_2}\) = 3î + 8ĵ – 5k̂
ધારો કે માંગેલ રેખા L ને સમાંતર દિશó હોય, તો
\(\vec{b}=\overrightarrow{b_1} \times \overrightarrow{b_2}\)
= (3î – 16ĵ + 7k̂) × (3î + 8ĵ – 5k̂)
= 24î + 36k̂ + 72k̂.

રેખા L એ બિંદુ A(1, 2, 4) માંથી પસાર થાય છે.
\(\vec{a}\) = î + 2ĵ – 4k̂
માંગેલ રેખા L નું સમીકરણ :
\(\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}\), λ ∈ R
\(\vec{r}\) = (î + 2ĵ – 4k̂) + 2 (24î + 36ĵ + 72k̂)
\(\vec{r}\) = (î + 2ĵ – 4k̂) + 2 (2î + 3ĵ + 6k̂)

પ્રશ્ન 21.
જો સમતલના અંતઃખંડો a, b, c હોય અને તે ઊગમબિંદુથી p એકમ અંતરે આવેલું હોય, તો સાબિત કરો કે \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{p^2}\)
ઉત્તરઃ
સમતલના અંતઃખંડો a, b, c છે,
∴ સમતલનું સમીકરણ (અંતઃખંડ સ્વરૂપ)

પ્રશ્નો 22 તથા 23 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 22.
બે સમતલો : 2x + 3y + 4z = 4 અને 4x + 6y + 8z – 12 વચ્ચેનું અંતર
(A) 2 એકમ
(B) 4 એકમ
(C) 8 એકમ
(D) \(\frac{2}{\sqrt{29}}\) એકમ
ઉત્તરઃ
સમતલ π₁ : 2x + 3y + 4z =
સમતલ π₂ : 4x + 6y + 8z = 12
π₂ : 2x + 3y + 4z
અહીં d₁ = 4, d₂ = 6
π₁ અને π₂ સમતલો સમાંતર સમતલો છે.

∴ વિકલ્પ (D) આવે.

પ્રશ્ન 23.
સમતલો : 2x – y + 4z = 5 અને 5x – 2.5 y + 10z = 6
(A) પરસ્પર લંબ છે.
(B) સમાંતર છે.
(C) y–અક્ષને છેદે છે.
(D) (0, 0, \(\frac{5}{4}\)) માંથી પસાર થાય છે.
સમતલ π₁ : 2x – y + 4z = 5

∴ તેના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 2î – ĵ + 4k̂ સમતલ π₂: 5x – 2.5y + 10z = 6
તેના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 5î – 2.5ĵ + 10k̂
અહીં \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{5}, \frac{b_1}{b_2}=\frac{-1}{-2.5}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}, \frac{c_1}{c_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\)
∴ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\)
∴ સમતલો π₁ અને π₂ સમાંતર સમતલો છે.
∴ વિકલ્પ (B) આવે.