GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 11 ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિ Ex 11.3

પ્રશ્ન 1.
નીચેના પૈકી દરેક પ્રશ્નમાં સમતલના અભિલંબની દિક્કોસાઇન અને સમતલનું ઊગમબિંદુથી અંતર મેળવો.
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2x + 3y – z = 5
(d) 5y + 8 = 0
ઉત્તરઃ
(a) z = 2
∴ 0x + 0y + z – 2 = 0
સમીકરણને ax + by + cz + d = 0 સાથે સરખાવતાં,
a = 0, b = 0, c = 1.
સમતલના અભિલંબની દિક્કોસાઇન l, m, n હોય, તો

આમ, સમતલના અભિલંબની દિક્કોસાઇન 0, 0, 1 છે. સમતલનું ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) થી
લંબઅંતર = \(\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
= \(\frac{|0-2|}{\sqrt{0+0+1}}\) = 2

(b) x + y + z = 1
x + y + z − 1 = 0
સમીકરણને ax + by + cz + d = 0 સાથે સરખાવતાં a = 1, b = 1, c = 1
સમતલના અભિલંબના દિક્કોસાઇન l, m, n હોય, તો

આમ, સમતલના અભિલંબના દિક્કોસાઇન \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) છે. સમતલનું ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) થી
અંતર = \(\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
= \(\frac{|0-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

(c) 2x + 3y – z = 5
2x + 3y – z – 5 = 0
સમતલના ax + by + cz + d = 0 સાથે સરખાવતાં a = 2, b = 3, c = -1

અભિલંબની દિક્કોસાઇન l, m, n હોય, તો

(d) 5y + 8 = 0
0.x + 5y + 0z + 8 = 0
સમીકરણને ax + by + cz + d : 0 સાથે સરખાવતાં a = 0, b = 5, c = 0
સમતલના અભિલંબની દિક્કોસાઇન l, m, n હોય, તો

સમતલના અભિલંબની દિક્કોસાઇન 0, 1, 0 છે.
સમતલનું ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) થી લંબ અંતર
= \(\frac{\left|a x_1+b y_1+c z_1+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
= \(\frac{|0+8|}{\sqrt{0+25+0}}=\frac{8}{5}\)

પ્રશ્ન 2.
ઊગમબિંદુથી 7 એકમ અંતરે આવેલા અને જેનો અભિલંબ સદિશ ૩î + 5ĵ – 6k̂ હોય તેવા સમતલનું સંદેશ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
અભિલંબનો સદિશ \(\vec{n}\) = зî + 5ĵ – 6k̂
∴ n̂ = \(\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{9+25+36}}=\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{j}}{\sqrt{70}}\)
સમતલનું ઊગમબિંદુથી અંતર d = 7 એકમ
∴ સમતલનું સમીકરણ : \(\vec{r}\). n̂ = d
⇒ \(\vec{r} \cdot\left(\frac{3 \hat{i}+5 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{70}}\right)\) = 7

પ્રશ્ન 3.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક સમતલનું કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો :
(a) \(\vec{r}\).(î + ĵ – k̂) = 2
(b) \(\vec{r}\).(2î + 3ĵ -4k̂) = 1
(c) \(\vec{r}\).((s − 2t)î + (3 − t)ĵ + (2s + t)k̂ = 15
ઉત્તરઃ
(a) r·(î + ĵ – k̂) = 2
ધારો કે \(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂
∴ (xî + yî + zk̂) · (î + ĵ – k̂) = 2
∴ x + y – z = 2
જે આપેલ સમતલનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.

(b) \(\vec{r}\). (2î + 3ĵ – 4k̂) = 1
ધારો કે P(x, y, z) નો સ્થાન સદિશ \(\vec{r}\) છે.
\(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂
∴ (xî + yĵ + zk̂) · (2î + 3ĵ – 4k̂) = 1
∴ 2x + 3y – 4z = 1
જે આપેલ સમતલનું કાર્તેઝિય સમીકરણ છે.

(c) \(\vec{r}\)· ((s – 2t)î + (3 – t)ĵ + (2s + t) k̂) = 15
ધારો કે P(x, y, z) નો સ્થાન સદિશ \(\vec{r}\) છે.
\(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂
∴ (xî + yĵ + zk̂) · ((s – 2t)î + (3 – t)ĵ + (2s + t)k̂) = 15
∴ (s – 2t)x + (3 – t)y + (2s + t) z = 15
જે આપેલ સમતલનું કાર્તેઝિય સ્વરૂપ છે.

પ્રશ્ન 4.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક પ્રશ્નમાં ઊગમબિંદુથી સમતલ પર દોરેલા લંબના લંબપાદના યામ શોધો :
(a) 2x + 3y + 4z
(b) 3y + 4z – 6
(c) x + y + z = 1
(d) 5y + 8 = 0
ઉત્તરઃ
(a) 2x + 3y + 4z – 12 = 0
આપેલ સમતલના અભિલંબનો દિર્ગુણોત્તર 2, 3, 4 છે.
હવે ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) માંથી પસાર થતી અને 2, 3, 4 દિશાને સમાંતર હોય તેવી રેખા
સમીકરણ : \(\frac{x-0}{2}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{4}\)
\(\frac{x-0}{2}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{4}\) = λ
∴ x = 2λ, y = 3λ, z = 4λ

ધારો કે ઊગમબિંદુ O
માંથી સમતલ પર દોરેલ લંબનો લંબપાદ M છે.
∴ કોઈક λ ∈ R માટે M ના યામ = (2λ, 3λ, 4λ) મળે
બિંદુ M એ સમતલ 2x + 3y + 4z – 12 = 0 પર આવેલ
હોવાથી તેના સમીકરણને સંતોષે.
∴ 2(2λ) + 3(32) + 4(42) 12 = 0
∴ 4λ + 9λ + 16λ = 12
∴ λ = \(\frac{12}{29}\)
∴ લંબપાદ M ના યામ = (2λ, 3λ, 4λ)
= \(\left(\frac{24}{29}, \frac{36}{29}, \frac{48}{29}\right)\)

(b) 3y + 4z – 6 = 0
આપેલ સમતલના અભિલંબનો દિર્ગુણોત્તર 0, 3, 4, છે. હવે ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) માંથી પસાર થતી રેખા L નુ સમીકરણ

\(\frac{x-0}{0}=\frac{y-0}{3}=\frac{z-0}{4}\)
∴ \(\frac{x}{0}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}\) = λ
∴ x = 0, y = 3λ, z = 4λ
ધારો કે ઊગમબિંદુ O માંથી સમતલ પર દોરેલ લંબનો લંબપાદ M હોય તો કોઈક λ ∈ R માટે M ના યામ = (0, 3λ, 4λ) મળે.
હવે આ બિંદુ M સમતલ 3y + 4z – 6 = 0 ઉપર આવેલું
હોવાથી તેના સમીકરણને સંતોષે
∴ 3(3λ) + 4(4λ) – 6 = 0
∴ 9λ + 16λ = 6
λ = \(\frac{6}{25}\)

∴ લંબપાદ M ના યામ = (0, 3λ, 4λ)
= (0, \(\frac{18}{25}, \frac{24}{25}\))

(c) x + y + z = 1
આપેલ સમતલના અભિલંબના દિર્ગુણોત્તર 1, 1, 1 છે. હવે ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) માંથી પસાર થતી તથા 1, 1, 1, દિર્ગુણોત્તર વાળી રેખા L નું
સમીકરણ \(\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-0}{1}\)
\(\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\) = λ
x = λ, y = λ, z = λ
ધારો કે ઊગમબિંદુ O માંથી સમતલ પર દોરેલ લંબનો લંબપાદ M હોય તો કોઈક મૈં ૯ માટે M ના યામ મળે.
હવે બિંદુ M એ સમતલ x + y + z = 1 ઉપર આવેલું છે.
∴ λ + λ + λ = 1
∴ λ = \(\frac{1}{3}\)
∴ લંબપાદ M ના યામ = \(\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\)

(d) 5y + 8 = 0

આપેલ સમતલના અભિલંબના દિર્ગુણોત્તર 0, 1, 0, છે . ઊગમબિંદુ O(0, 0, 0) માંથી પસાર થતી અને 0, 5, 0 દિર્ગુણોત્તર વાળી રેખા L નું સમીકરણ
\(\frac{x-0}{0}=\frac{y-0}{5}=\frac{z-0}{0}\) છે.
\(\frac{x}{0}=\frac{y}{5}=\frac{z}{0}\) = λ
x = 0, y = 5λ, z = 0
ધારો કે ઊગમબિંદુ 0 માંથી સમતલ પર દોરેલ લંબનો લંબપાદ M છે.
કોઈક λ ∈ R માટે M ના યામ (0, 5, 0) મળે.
હવે બિંદુ M એ સમતલ 5y + 8 = 0 પર આવેલું છે.
∴ 5(5λ) + 8 = 0 ⇒ λ = \(\frac{-8}{25}\)
∴ લંબપાદ M ના યામ = (0, 5λ, 0)
= (0. –\(\frac{8}{5}\), 0)

પ્રશ્ન 5.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક સમતલનાં સદિશ અને કાર્તેઝિય સમીકરણ શોધો :
(a) જે (1, 0, −2) માંથી પસાર થાય અને જેનો અભિલંબ સદિશ î + ĵ – k̂ હોય.
(b) જે (1, 4, 6) માંથી પસાર થાય અને જેનો અભિલંબ સદિશ î – 2ĵ + k̂ હોય.
ઉત્તરઃ
જે (1, 0, −2) માંથી પસાર થાય અને જેનો અભિલંબ સદિશ î + ĵ – k̂ હોય.
આપેલ છે કે \(\vec{a}\) = î – 2k̂
તથા \(\vec{n}\) = અભિલંબ સદિશ = î + ĵ – k̂
સમતલનું સદિશ સમીકરણ :
\((\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}\) = 0

(\(\vec{r}\) – (î – 2k̂)).(î + ĵ – k̂) = 0 ……….(i)
સમતલનું કાર્તેઝિય સમીકરણ :
સમીકરણ (i) માં \(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂ લેતાં,
((xî + yĵ + zk̂) – (î – 2k̂) · (î + ĵ – k̂) = 0
⇒ ((x – 1)î + yĵ + (z + 2)k̂) · (î + ĵ – k̂) = 0
⇒ x – 1 + y – z – 2 = 0
⇒ x + y – z = 3

(b) જે (1, 4, 6) માંથી પસાર થાય અને જેનો અભિલંબ દિશ î – 2ĵ + k̂ હોય
આપેલ છે કે \(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 6k̂
તથા અભિલંબ સદિશ \(\vec{n}\) = î − 2ĵ + k̂
સમતલનું સદિશ સમીકરણ :
\((\vec{r}-\vec{a}) \cdot \vec{n}\) = 0
∴ (\(\vec{r}\) − (î + 4ĵ + 6k̂)) · (î − 2ĵ + k̂) = 0 …. (i)
સમતલનું કાર્તેઝિય સમીકરણ :
સમીકરણ (i) માં r̂ = xî + yĵ + zk̂ મૂકતાં,
((xî + yĵ + zk̂) – (î + 4ĵ + 6k̂)) · (î − 2ĵ + k̂) = 0
∴ ((x − 1)î + (y − 4)ĵ + (z −6)k̂)· (î − 2 ĵ + k̂) = 0
∴ 1(x – 1) – 2(y – 4) + 1 (z – 6) = 0
∴ x – 1 – 2y + 8 + z – 6 = 0
∴ x – 2y + z + 1 = 0

પ્રશ્ન 6.
નીચેના પૈકી આપેલ પ્રત્યેક પ્રશ્નમાં આપેલાં ત્રણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ મેળવો ઃ
(a) (1, 1, −1), (6, 4, −5), (-4, -2, 3)
(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (−2, 2, −1)
ઉત્તરઃ
(a) (1, 1, −1) (6, 4, −5) (−4, -2, 3)
આપેલ છે કે બિદ્દુ A(x₁, y₁, z₁) = (1, 1, – 1)
બિદ્દુ B(x₂, y₂, z₂) = (6, 4, -5)
બિદ્દ C(x₃, y₃, z₃) = (-4, -2, 3)

ત્રણ બિંદુઓ A, B, C માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ :

∴ (x − 1) (12 – 12) – (z − 1) (20 − 20) + (z + 1)(-15 + 15) = 0
∴ 0 = 0
∴ આપેલ બિંદુઓ A, B, C સમરેખ બિંદુઓ છે.
∴ બિંદુઓ A, B, C માંથી અનંત સમતલો પસાર થાય છે.

(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (-2, 2, −1)
આપેલ બિંદુઓ A(x₁, y₁, z₁) = (1, 1, 0)
B(x₂, y₂, z₂) = (1, 2, 1)
C(x₃, y₃, z₂) = (–2, 2, −1) છે.
બિંદુઓ A, B, C માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ :

∴ (x − 1) (−2) − (y − 1) (3) + z (3) = 0
∴ -2x + 2 – 3y + 3 + 3z = 0
∴ 2x + 3y – 3z = 5

બીજી રીત :
A(1, 1, 0) માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ
a(x 1) + by − 1) + c (z − 0) = 0 છે. ….(i)
આ સમતલ B(1, 2, 1) તથા C–2, 2, −1) માંથી પણ પસાર થાય છે.
સમીકરણ (i) પરથી
a(1 − 1) + b (2 − 1) + c (1 − 0) = 0
⇒ b + c = 0 ……….(ii)
a(−2 −1) + b (2 − 1) + c(−1 −0)
⇒ -3a + b – c = 0 ……….(iii)
(ii) ⇒ 0.a + b + c = 0
(iii) ⇒ -3a + b c = 0

ચોકડી ગુણાકારથી સમીકરણ (ii) અને (iii) ને ઉકેલતાં

a = -2λ, b = -3λ, c = 3λ
a, b, c ની આ કિંમત સમીકરણ (i) માં મૂકતાં,
–2λ(x – 1) −3λ (y – 1) + 3λ (z – 0) = 0
∴ -2x + 2 – 3y + 3 + 3z = 0
∴ 2x + 3y – 3z = 5
જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 7.
સમતલ 2x + y – z = 5 દ્વારા અક્ષો પર કપાતા અંતઃખંડ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલનું સમીકરણ : 2x + y – z = 5
આપેલ સમતલનાં સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતાં,
\(\frac{2 x}{5}+\frac{y}{5}-\frac{z}{5}\) = 1
∴ \(\frac{x}{5}+\frac{y}{5}-\frac{z}{5}\) = 1

\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 સ્વરૂપનું સમીકરણ છે.
∴ અક્ષો પર કપાતાં અંતઃખંડો અનુક્રમે 5, -5 છે.

પ્રશ્ન 8.
Y–અક્ષ પર 3 અંતઃખંડવાળા અને ZOX સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ZOX સમતલને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ :
y = b છે. જ્યાં b એ સમતલનો Y-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ છે.
∴ માંગેલ સમતલનું સમીકરણ : y = 3 છે.

પ્રશ્ન 9.
સમતલો 3x – y + 2z – 4 = 0 અને x + y + z – 2 = 0 ના છેદમાંથી તથા બિંદુ (2, 2, 1) માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલો 3x − y + 2z − 4 = 0 અને x + y + z − 2 = 0 u છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ,
(3x − y + 2z −4) + λ (x + y + z − 2) = 0 છે. …. (i)
હવે આ સમતલ બિંદુ (2, 2, 1) માંથી પસાર થાય છે.
∴ સમીકરણ (i) પરથી,
[3(2) – 2 + 2(1) − 4] + λ (2 + 2 + 1 − 2) = 0
∴ 2+ 3λ = 0
∴ λ = –\(\frac{2}{3}\)
(3x y + 2z – 4) – \(\frac{2}{3}\)(x + y + z − 2) = 0
∴ 9x – 3y + 6z – 12 – 2x – 2y – 2z + 4 = 0
∴ 7x – 5y + 4z – 8 = 0 જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 10.
સમતલો \(\vec{r}\) . (2î + 2ĵ – 3k̂) = 7 અને \(\vec{r}\).(2î + 5ĵ + 3k̂) = 9 ના છેદમાંથી તથા બિંદુ (2, 1, 3) માંથી પસાર થતા સમતલનું સદિશ સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલો 7\(\vec{r}\) . (2î + 2ĵ – 3k̂) = 7 અને \(\vec{r}\).(2î + 5ĵ + 3k̂) = 9 ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા
સમતલનું સમીકરણ
7 · (2î + 2î − 3k) − 7 + λ[\(\vec{r}\) · (2î + 5ĵ + 3k̂) − 9] = 0 …(i)
સમતલ બિંદુ (2, 1, 3) એટલે કે 2î + ĵ + 3k̂ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણ (i) માં \(\vec{r}\) = 2î + ĵ + 3k̂ મૂકતા,
[(2î + ĵ + 3k̂) · (2î + 2ĵ − 3k̂) – 7] + λ [(2î + î + 3î) · (2î + 5ĵ + 3k) – 9] = 0
∴ (4 + 2 – 9 − 7) + λ (4 + 5 + 9 − 9) = 0
∴ -10 + 9λ = 0
∴ λ = \(\frac{10}{9}\)
∴ λ ની આ કિંમત સમીકરણ (i) માં મૂકતાં,

જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 11.
સમતલો x + y + z = 1 × 2x + 3y + 4z = 5 ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા તથા સમતલ x – y + z = 0 ને લંબ હોય તેવા સમતલનું સમીકરણ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલો x + y + z = 1 4 2x + 3y + 4z છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ
(x + y + z − 1) + λ (2x + 3y + 4z – 5) = 0
∴ (1 + 2λ) x + (1 + 3λ)y + (1 + 4λ)z − 1 − 52 = 0….(i) આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ
\(\overrightarrow{n_1}\) = (1 + 2λ)î + (1 + 3λ)ĵ + (1 + 42)k̂ છે.
માંગેલ સમતલ એ x + y + z = 0 ને લંબ છે.
x + y + z = 0 સમતલનો અભિલંબ સદિશ
\(\overrightarrow{n_2}\) = î + ĵ + k̂ છે. અહીં બંને સમતલો પરસ્પર લંબ
હોવાથી તેમના અભિલંબો પણ પરસ્પર લંબ થાય.
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\) = 0
∴ 1 + 2λ + 1 + 3λ + 1 + 4λ = 0
∴ 9λ + 3 = 0
∴ λ = \(\frac{-1}{2}\)
λ ની આ કિંમત સમીકરણ (i) માં મૂકતાં,
(1 – \(\frac{2}{3}\))x + (1 – \(\frac{3}{3}\))y + (1 – \(\frac{4}{3}\))z – 1 + \(\frac{5}{3}\) = 0
∴ x – z + 2 = 0 જે માંગેલ સમતલનું સમીકરણ છે.

પ્રશ્ન 12.
સમતલના સદિશ સમીકરણ \(\vec{r}\). (2î + 2ĵ – 3k̂) = 5 અને \(\vec{r}\).(3î – 3ĵ + 5k̂) = 3 છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
ઉત્તરઃ
સમતલનું સમીકરણ π₁: \(\vec{r}\) . (2î + 2ĵ – 3k̂) = 5
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 2î + 2ĵ – 3k̂

સમતલનું સમીકરણ π₂: \(\vec{r}\) . (3î – 3ĵ + 5k̂) = 3
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 3î – 3ĵ + 5k̂
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\) = (2î + 2ĵ – 3k̂).(3î – 3ĵ + 5k̂)
= 6 – 6 – 15 = −15

પ્રશ્ન 13.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક પ્રશ્નમાં આપેલા સમતલ સમાંતર છે કે પરસ્પર લંબ છે તે નક્કી કરો અને જો આ પૈકી એક પણ ન હોય, તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો શોધો :
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 અને 3x – y – 10z + 4 = 0
(b) 2x + y + 3z- 2 = 0 અને x – 2y + 5 = 0
(c) 2x-2y+4z + 5 = 0 અને 3x-3y+ 6z – 1 = 0
(d) 2x – y + 3z – 1 = 0 અને 2xy + 3z + 3 = 0
(e) 4x+8y + z-8 = 0 અને y + z – 4 = 0
ઉત્તરઃ
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 અને 3x – y – 10z + 4 = 0
સમતલ π₁ : 7x + 5y + 6z + 30 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 7î + 5ĵ + 6k̂
સમતલ π₁ : 3x – y – 10z + 4 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 3 – હું – 10k
\(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\) = (7î + 5ĵ + 6k̂) · (3î – ĵ – 10k̂)
= 21 – 5 – 60 = -44

(b) 2x + y + 3z − 2 = 0 અને x – 2y + 5 = 0
સમતલ π₁ : 2x + y + 3z − 2 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 2î + ĵ + 3k̂
સમતલ π₁ : x – 2y + 5 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = î – 2ĵ
હવે \(\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}\) = (2î + ĵ + 3k̂) · (î − 2ĵ + 0k̂)
= 2 – 2 = 0
∴ આપેલ સમતલો પરસ્પર લંબ છે.

(c) 2x − 2y + 4z + 5 = 0 અને 3x − 3y + 6z − 1 = 0
સમતલ π₁ : 2x – 2y+4z + 5 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 2î – 2ĵ + 4k̂
સમતલ π₂ : 3x – 3y + 6z – 1 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 3î – 3ĵ + 6k̂
સ્પષ્ટ છે કે \(\overrightarrow{n_1}=\frac{2}{3} \overrightarrow{n_2}\) અર્થાત્ \(\frac{\overrightarrow{n_1}}{\overrightarrow{n_2}}=\frac{2}{3}\)
∴ સમતલના અભિલંબો સમાંતર છે.
∴ આપેલ સમતલો પરસ્પર સમાંતર છે.

(d) 2x − y + 3z − 1 = 0 અને 2x − y + 3z + 3 = 0
સમતલ π₁ : 2x – y + 3z − 1 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 2î – ĵ + 3k̂
સમતલ π₁ : 2x – y + 3z + 3 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = 2î – ĵ + 3k̂
સ્પષ્ટ છે કે \(\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{n_2}\)
∴ સમતલના અભિલંબો સમાંતર છે.
∴ આપેલ સમતલો સમાંતર છે.

(e) 4x + 8y + z – 8 = 0 અને y + z – 4 = 0
સમતલ π₁ : 4x + 8y + z – 8 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_1}\) = 4î + 8ĵ + k̂
સમતલ π₁ : y + z – 4 = 0
સમતલના અભિલંબનો સદિશ \(\overrightarrow{n_2}\) = ĵ + k̂

આપેલ સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો 45° છે.

પ્રશ્ન 14.
નીચેના પૈકી પ્રત્યેક પ્રશ્નમાં આપેલા બિંદુનું તેમને અનુરૂપ આપેલા સમતલથી અંતર શોધો :

બિંદુ	સમતલ
(a) (0, 0, 0)	3x – 4y + 12z = 3
(b) (3, −2, 1)	2x – y + 2z + 3 = 0
(c) (2, 3, −5)	x + 2y – 2z = 9
(d) (–6, 0, 0)	2x – 3y + 6z – 2 = 0

ઉત્તરઃ
(a) બિંદુ (0, 0, 0) સમતલ : 3x – 4y + 12z = 3
આપેલ સમતલનું સમીકરણ 3x – 4y + 12z – 3 = 0 છે.
સમતલનું બિંદુ (0, 0, 0) થી લંબ અંતર

(b) બિંદુ (3, −2, 1) સમતલ : 2x – y + 2z + 3 = 0
આપેલ સમતલનું સમીકરણ 2x – y + 2z + 3 = 0.
બિંદુ (3, −2, 1) નું આપેલ સમતલથી લંબ અંતર

(c) બિંદુ (2, 3, −5) સમતલ x + 2y – 2z = 9
આપેલ સમતલનું સમીકરણ x + 2y – 2z – 9 = 0 છે.
બિંદુ (2, 3, −5) નું આપેલ સમતલથી લંબ અંતર

(d) બિંદુ (–6, 0, 0) સમતલ 2x – 3y + 6z – 2 = 0
આપેલ સમતલનું સમીકરણ 2x – 3y + 6z – 2 = 0 છે.
બિંદુ (–6, 0, 0) નું આપેલ સમતલથી લંબ અંતર