GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 10 સદિશ બીજગણિત Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
XY સમતલમાં x–અક્ષની ધન દિશા સાથે 30નો ખૂણો બનાવતો એકમ સદિશ લખો.
ઉત્તરઃ
આપેલ સદિશ XY સમતલમાં આવેલ છે. ⇒ z = 0
ધારો કે \(\vec{r}\) = xi + yj
વળી, |\(\vec{r}\)| = 1 ⇒ x² + y² = 1
સદિશ x-અક્ષની ધન દિશા સાથે 30નો ખૂણો બનાવે.
∴ x = |\(\vec{r}\)| cos α જ્યાં α = 30°
∴ x = 1 × cos 30°
= \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

y² = 1 − x² = 1 = 1 − \(\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
y = \(\frac{1}{2}\)
સદિશ \(\vec{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)i + \(\frac{1}{2}\)j

પ્રશ્ન 2.
બિંદુઓ P(x₁, y₁, z₁) અને Q(x₂, y₂, z₂)ને જોડતા સંદેશના અદિશ ઘટકો અને માન શોધો.
ઉત્તરઃ
બિંદુ P(x₁, y₁, z₁)નો સ્થાનસદિશ,
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) = x₁î + y₁ĵ + z₁k̂
બિંદુ Q (x₂, y₂, z₂)નો સ્થાન સદિશ
\(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\) = x₂î + y₂ĵ + z₂k̂
બિંદુ Pઅને Qને જોડતો સદિશ
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)
= (x₂ − x₁)î + (y₂ – y₁)ĵ + (z₂ – z₁) k̂
∴ PQના અદિશ ઘટકો x₂, − x₁,, y₂, – y₁,, z₂, – z₁, છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\)નું માન = \(|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|\)
= \(\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2}\)

પ્રશ્ન 3.
એક છોકરી પશ્ચિમ દિશામાં 4 કિમી ચાલે છે. પછી તે ઉત્તરથી પૂર્વ તરફ 30° ના ખૂણે 3 કિમી ચાલે છે અને થોભે છે. મુસાફરીમાં પ્રારંભ બિંદુથી છોકરીનું સ્થળાંતર શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = – 4î
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) = 3 cos 60°î + 3 sin 60°ĵ

∴ પ્રારંભ બિંદુથી છોકરીનું સ્થળાંતર = \(-\frac{5}{2}\) î + \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)ĵ

પ્રશ્ન 4.
જો \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\), તો શું\(|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|\)| સત્ય છે ? તમારા જવાબનું સમર્થન કરો.
ઉત્તરઃ

અર્થાત્ \(\vec{b} \| \vec{c}\) હોય અથવા \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સદિશો સમરેખ હોય ત્યારે જ આ સત્ય થાય છે.
જો \(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓ હોય તો આ સત્ય થાય નહીં.

પ્રશ્ન 5.
xના જે મૂલ્ય માટે x (î + ĵ + k̂) એકમ સદિશ હોય તે મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = x(î + ĵ + k̂) = xî + xĵ + xk̂
હવે \(\vec{a}\) એકમ સંદેશ છે.
∴ |\(\vec{a}\)| = 1
∴ |\(\vec{a}\)|2 = 1
∴ x² + x² + x² = 1
∴ 3x² = 1
∴ x = ±\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

પ્રશ્ન 6.
જે સદિશનું માન 5 એકમ હોય અને સદિશો \(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ – k̂ અને \(\vec{b}\) = î – 2ĵ – k̂ ના પરિણામી સદિશને સમાંતર હોય તે સદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = 2î + 3ĵ – k̂ અને \(\vec{b}\) = î – 2ĵ – k̂ સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) નાં પરિણામી સદેશને સમાંતર દિશ \(\vec{c}\) હોય તો

∴ \(\vec{c}\) ની દિશામાં 5 એકમ માન હોય તેવો દિશ
= 5 × \(\vec{c}\) ની દિશામાં એકમ દિશ
= 5(\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)î + \(\frac{1}{\sqrt{10}}\)ĵ)
= \(\frac{3}{2} \sqrt{10}\)î + \(\frac{\sqrt{10}}{2}\)ĵ જે માંગેલ સદિશ છે.

પ્રશ્ન 7.
જે \(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂, \(\vec{b}\) = 2î – ĵ + 3k̂ અને \(\vec{c}\) = î – 2ĵ +k̂ હોય તો સદિશ \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\) ને સમાંતર એકમ સદિશ શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = î + ĵ + k̂
\(\vec{b}\) = 2î – ĵ + 3k̂
\(\vec{c}\) = î – 2ĵ +k̂
હવે \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\)
= 2(î + j + k̂) − (2î − ĵ + 3k̂) + 3 (î − 2ĵ + k̂)
= 3î – 3ĵ + 2k̂
∴ \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\) ને સમાંતર એકમ સદિશ

પ્રશ્ન 8.
દર્શાવો કે બિંદુઓ A(1, -2, −8), B(5, 0, −2) અને C(11, 3, 7) સમરેખ છે અને B એ ACનું વિભાજન કયા ગુણોત્તરમાં કરે છે તે શોધો.
ઉત્તરઃ
A(1, -2, -8), B(5, 0, –2) તથા C(11, 3, 7) આપેલ બિંદુઓ છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = î – 2ĵ – 8k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 5î – 2k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\) = 11î + 3ĵ + 7k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)
= 5ĵ – 2k̂ -(î – 2ĵ – 8k̂)
= 4î + 2ĵ + 6k̂

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)
= (11î +3ĵ + 7k̂) – (5î – 2k̂)
= 6î + 3ĵ + 9k̂ = 6î +3ĵ
= 3(2î + ĵ + 3k̂)

\(\overrightarrow{\mathrm{BO}}=\frac{3}{2}\) (4î + 2ĵ + 6k̂)
= \(\frac{3}{2} \overrightarrow{A B}\)

\(\overrightarrow{\mathrm{BC}} \| \overrightarrow{\mathrm{AB}}\) ⇒ A, B, C સમરેખ છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AB}}\)

\(\frac{\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{\overrightarrow{\mathrm{AB}}}=\frac{2}{3}\) ⇒ B એ ACનું 2:3નાં ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.

પ્રશ્ન 9.
બિંદુઓ P અને ના સ્થાનસદિશો (2 \(\vec{a}\) + \(\vec{b}\)) અને (\(\vec{a}\) – 3\(\vec{b}\)) છે. જો બિંદુ R એ P અને Q ને જોડતા રેખાખંડનું 1:2 ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે, તો બિંદુ Rનો સ્થાનસદિશ શોધો. વળી, સાબિત કરો કે P એ રેખાખંડ RQનું મધ્યબિંદુ છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ છે કે \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=2 \vec{a}+\vec{b}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\vec{a}-3 \vec{b}\)
બિંદુ એ P અને Qને જોડતાં રેખાખંડનું 1:2 ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન કરે છે.

= Pનો સ્થાન સદિશ
∴ P એ રેખાખંડ RQનું મધ્યબિંદુ છે.

પ્રશ્ન 10.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બે બાજુઓ 2î – 4ĵ + 5k̂ અને î – 2ĵ – 3k̂ છે. તેના વિકર્ણને સમાંતર એકમ સદિશ શોધો. વળી, તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ઉત્તરઃ
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બે બાજુઓ ધારો કે \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) છે.
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}\) = 2î – 4ĵ + 5k̂
\(\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}\) = î – 2ĵ – 3k̂

વિકર્ણ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{a}+\vec{b}\)
= (2î – 4ĵ + 5k̂) + (î – 2ĵ – 3k̂)
= 3î – 6ĵ + 2k̂

∴ \(|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=\sqrt{(3)^2+(-6)^2+(2)^2}\)
= \(\sqrt{49}\) = 7
∴ વિકર્ણ \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)ને સમાંતર એકમ સંદેશ

પ્રશ્ન 11.
સાબિત કરો કે જે સદિશ અક્ષો OX, OY અને OZ સાથે સમાન માપવાળા ખૂણા આંતરતો હોય તેના દિક્કોસાઇન \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) છે.
ઉત્તરઃ
સદિશ અક્ષો OX, OY અને OZ સાથે સમાન માપવાળા ખૂણા આંતરે છે.
⇒ α = β = γ
હવે cos²α + cos²β + cos²γ = 1
∴ cos²α + cos²α + cos²α = 1
∴ 3 cos²α = 1
∴ cos α = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ cos α + cos β + cos γ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ માંગેલ સદિશનાં દિક્કોસાઇનો \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) છે.

પ્રશ્ન 12.
ધારો કે α = î + 4 ĵ + 2k̂, b = 3 î − 2ĵ + 7k̂ અને 7 = 2î – ĵ + 4k̂ છે. સિંદેશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) હૈં ને લંબ હોય તથા \(\vec{c}\) .\(\vec{d}\) = 15 થાય તેવો સદિશ \(\vec{d}\) શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = î + 4ĵ + 2k̂
\(\vec{b}\) = 3 î − 2ĵ + 7k̂
\(\vec{c}\) = 2î – ĵ + 4k̂
ધારો કે \(\vec{d}\) = xî + yĵ + zk̂
હવે \(\vec{d}\) એ દિશ \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ને લંબ છે.
\(\vec{a}\).\(\vec{d}\) = 0 અને \(\vec{b}\).\(\vec{d}\) = 0
∴ x + 4y + 2z = 0 …………(i)
3x – 2y + 7z = 0 ………..(ii)
વળી, \(\vec{c}\).\(\vec{d}\) = 15

સમીકરણ (i) અને (ii) પરથી,

x = 32λ, y = -λ, z = -14λ
x, y અને zની આ કિંમત (iii)માં મૂકતાં,
2(32λ) – (-λ) + 4 (−14 λ) = 15
∴ 64λ + λ 56 λ = 15
∴ 9λ = 15
λ = \(\frac{5}{3}\)
∴ x = 32λ = 32(\(\frac{5}{3}\)) = \(\frac{160}{3}\)
y = -λ = –\(\frac{5}{3}\)
z = -14λ = -14(\(\frac{5}{3}\)) = –\(\frac{70}{3}\)

∴ a = xî + yĵ + zk̂
= \(\frac{160}{3}\)î – \(\frac{5}{3}\)ĵ – \(\frac{70}{3}\)k̂
= \(\frac{1}{3}\)(160î – 5ĵ – 70k̂)

પ્રશ્ન 13.
જે એકમ સદિશની દિશા દિશો 2î + 4ĵ – 5k̂ અને λî + 2ĵ + ૩k̂ ના સરવાળાની દિશામાં હોય તે સદિશનો î + ĵ + k̂ સાથે અદિશ ગુણાકાર 1 હોય, તો λ શોધો.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}\) = 2î + 4ĵ − 5k̂
\(\vec{b}\) = λî + 2ĵ + 3k̂

∴ (λ + 6)² = (λ + 2)² + 40
∴ λ² + 12λ + 36 = λ² + 4λ + 44
∴ 8λ = 8
∴ λ = 1

પ્રશ્ન 14.
જો \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) સમાન માનવાળા પરસ્પર લંબ સદિશો હોય, તો \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) એ \(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) સાથે સમાન માપવાળા ખૂણા આંતરે છે.
ઉત્તરઃ
\(\vec{a}, \vec{b}\) અને \(\vec{c}\) એ સમાન માપવાળા પરસ્પર લંબ સદિશો છે.

ધારો કે \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) એ અને \(\vec{a}, \vec{b}\) સાથે \(\vec{c}\) અનુક્રમે α, β અને γ ખૂણો બનાવે છે.

પરિણામ (ii), (iii) અને (iv) પરથી
cos α = cos β = cos γ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ α = β = γ
∴ \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) એ અને \(\vec{a}, \vec{b}\) સાથે \(\vec{c}\) સાથે સમાન માપવાળા ખૂણા બનાવે છે.

પ્રશ્ન 15.
આપેલ \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}\) માટે સાબિત કરો :
જો \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2\) તો અને તો જ \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) પરસ્પર લંબ છે.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્નો 16 તથા 17માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 16.
જો θ એ બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ની વચ્ચેનો ખૂણો હોય, તો \(\vec{a}\) · \(\vec{b}\) ≥ 0 થવા માટે,
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
ઉત્તરઃ
θ એ બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
\(\vec{a}\).\(\vec{b}\) ≥ 0
∴ \(|\vec{a}||\vec{b}|\) cos θ ≥ 0
∴ cos ≥ 0
∴ 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
∴ વિકલ્પ (B) આવે.

પ્રશ્ન 17.
\(\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}+\vec{b}\) એકમ સદિશો હોય અને \(\vec{a}\) તથા \(\vec{b}\) વચ્ચેના ખૂણાનું માપ θ હોય, તો
(A) θ = \(\frac{\pi}{4}\)
(B) θ = \(\frac{\pi}{3}\)
(C) θ = \(\frac{\pi}{2}\)
(D) θ = \(\frac{2\pi}{3}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
î.(ĵ × k̂) + ĵ.(î × k̂) + k̂.(î × ĵ) નું મૂલ્ય ……………
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
ઉત્તરઃ
î.(ĵ × k̂) + ĵ.(î × k̂) + k̂.(î × ĵ)
= î.î + ĵ (−ĵ) + k̂.k̂
= |î|² – |ĵ|² + |k̂|²
= 1 − 1 + 1 = 1
∴ વિકલ્પ (C) આવે.

પ્રશ્ન 19.
જો θ એ કોઈ પણ બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વચ્ચેનો ખૂણો હોય, તો θ = ………….. માટે \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\)
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
ઉત્તરઃ
θ એ બે સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) ની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
\(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\)
\(|\vec{a}||\vec{b}|\)cos θ = \(|\vec{a}||\vec{b}|\)sin θ
∴ cos θ = sin θ
∴ θ = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ વિકલ્પ (B) આવે.