GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 12 Maths Chapter 1 સંબંધ અને વિધેય Ex 1.3

પ્રશ્ન 1.
ધારો કે ƒ = {1, 3, 4} → {1, 2, 5} અને g = {1, 2, 5} → {1, 3} એ f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} અને g = {(1, 3), (3, 3), (5, 1)} દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. gof શોધો.
ઉત્તરઃ
f : {1, 3, 4} → {1, 2, 5} f : {(1, 2), (3, 5), (4, 1)}
∴ f(1) = 2, f(3) = 5, f(4) = 1
g : {1, 2, 5} → {1, 3} g : {(1, 3), (2, 3), (5, 1)}
∴ g(1) = 3, g(2) = 3, g(5) = 1
gof : {1, 3, 4} → {1, 3}
(gof) (1) = g(f(1)) = g(2) = 3
(gof) (3) = g(f(3)) = g(5) = 1
(gof) (4) = g(f(4)) = g(1) = 3
∴ gof : {(1, 3), (3, 1), (4, 3)}

પ્રશ્ન 2.
ધારો કે વિધેયો f, g અને h એ R ધી R આપેલાં છે. સાબિત
કરો કે, (f + g)oh = foh + goh
(f · g)oh = (foh) · (goh)
ઉત્તરઃ
f, g અને h એ R શ્રી Rનાં વિષયો છે.
(i) ગ.બા. = (f + g)oh
= (f + g) [h(x)]
= f[h(x)] + g [h(x)]
= foh + goh
= જ.બા.

(ii) ગ.બા. = (f · g)oh
= (f · g) [h(x)]
= f[h(x)] · g [h(x)]
= foh · goh
= જ.બા.

પ્રશ્ન 3.
gof અને fog શોધો :
(i) f(x) = |x| અને g(x) = |5x – 2|
(ii) f(x) = 8x³ અને g(x) = \(x^{\frac{1}{3}}\)
ઉત્તરઃ
(i) f(x) = |x| અને g(x) = |5x – 2|
gof = g(f(x))
= g(|x|)
= |5|x| -2|

fog = f(g(x))
= f(|5x – 2|)
= |5x – 2|

(ii) f(x) = 8x³ અને g(x) = \(x^{\frac{1}{3}}\)
gof = g(f(x))
= g(8x³)
= \(\left(8 x^3\right)^{\frac{1}{3}}\)
= 2x

fog = f(g(x))
= \(f\left(x^{\frac{1}{3}}\right)\)
= \(8\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^3\)
= 8x

પ્રશ્ન 4.
જો f(x) = \(\frac{4 x+3}{6 x-4}\), x ≠ \(\frac{1}{2}\), સાબિત કરો કે (fof) (x) = x. fનું પ્રતિવિષય શું છે ?
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
નીચે આપેલાં વિષયોનાં પ્રતિવિધેય મળી શકશે ? કારણ સહિત નિર્ણય કરી.
(i) f : {1, 2, 3, 4} → {10}
f : {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}
(ii) g : {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4}
g : {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
(iii) h : {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13}
h : {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}
ઉત્તરઃ
(i) ƒ : {1, 2, 3, 4} → {10}
f : {(1, 10), (2, 10), (3, 10), (4, 10)}
આ ƒ(1) = 10, ƒ(2) = 10, f(3) = 10, f(4) = 10

∴ f એ એક-એક વિધેય નથી.
∴ f નું પ્રતિવિધ મળે નહિ.

(ii) g : {5, 6, 7, 8} → {1, 2, 3, 4}
g : {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
આહી, g(5) = 4, g(6) = 3
g(7) = 4, g(8) = 2

આહી, g(5) = g(7) = 4
∴ g એ એક-એક વિધેય નથી.
∴ g નાં પ્રતિવિષયનું અસ્તિત્વ નથી.

(iii) h : {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13}
h : ((2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}
આહી, h(2) = 7, h(3) = 9
h(4) = 11, h(5) = 13

∴ h એ એક-એક અને
પ્રાપ્ત વિષય છે.
∴ h નાં પ્રતિવિષયનું અસ્તિત્વ છે.

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરો કે f : [-1, 1] → R, f(x) = \(\frac{x}{x+2}\) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિષેય એક એક છે. વિધેય f : [-1, 1] → f નો વિસ્તાર f(x) = \(\frac{x}{x+2}\), તો f નું પ્રતિવિષય શોધો.
સૂચનઃ f ના વિસ્તારમાં આવેલ y ને સંગત કોઈક x ∈ [-1, 1]
માટે y = f(x) = \(\frac{x}{x+2}\) એટલે કે, x = \(\frac{2 y}{1-y}\).
ઉત્તરઃ
f : [-1, 1] → R, f(x) = \(\frac{x}{x+2}\) x ≠ -2
x₁, x₂ ∈ [-1, 1], f(x₁) = f(x₂)
⇒ \(\frac{x_1}{x_1+2}=\frac{x_2}{x_2+2}\)
⇒ x₁x₂ + 2x₁ = x₁x₂ + 2x₂
⇒ 2x₁ = 2x₂
⇒ x₁ = x₂
∴ f એ એક-એક વિધેય છે.
y ∈ R_f, y = f(x) = \(\frac{x}{x+2}\), x ∈ [-1, 1]
yx + 2y = x
⇒ 2y = x(1 – y)
⇒ x = \(\frac{2 y}{1-y}\)
∴ f^-1(y) = \(\frac{2 y}{1-y}\)
= \(f\left(\frac{2 y}{1-y}\right)=\frac{\frac{2 y}{1-y}}{\frac{2 y}{1-y}+2}\)
= \(\frac{2 y}{2 y+2-2 y}\)
∴ f એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
∴ f^-1(x) = \(\frac{2 x}{1-x}\)

પ્રશ્ન 7.
ધારો કે વિધેય f : R → R, f(x) = 4x + 3. સાબિત કરો કે f વ્યસ્તસંપન્ન છે. વિધેય f નું પ્રતિવિધેય શોધો.
ઉત્તરઃ
f : R → R, f(x) = 4x + 3
x₁, x₂ ∈ R, f(x₁) = f(x₂)
⇒ 4x₁ + 3 = 4x₂ + 3
⇒ x₁ = x₂
∴ f એ એક-એક વિધેય છે.
હવે y ∈ R_f, y = f(x) = 4x + 3
⇒ x = \(\frac{y-3}{4}\)
\(f\left(\frac{y-3}{4}\right)=4\left(\frac{y-3}{4}\right)+3=y\)
∴ f એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
∴ f નાં વ્યસ્તનું અસ્તિત્વ છે.
∴ f નું પ્રતિવિષય f^-1(x) = \(\frac{x-3}{4}\)

પ્રશ્ન 8.
વિધેય f : R⁺ → [4, ∞), f(x) = x² + 4 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે વ્યસ્તસંપન્ન છે અને નું પ્રતિવિષય f^-1 એ f^-1(y) = \(\sqrt{y-4}\) દ્વારા દર્શાવાય છે. અત્રે, R⁺ એ તમામ અનુત્ર વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
ઉત્તરઃ
f : R⁺ → [4, ∞), f(x) = x² + 4
x₁, x₂, ∈ R⁺ f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁² + 4 = x₂² + 4
⇒ x₁ = x₂
∴ f એ એક-એક વિધેય છે.
y ∈ [4, ∞), y = f(x) = x² + 4
x = \(\sqrt{y-4}\)
f (\(\sqrt{y-4}\)) = (\(\sqrt{y-4}\))² + 4
= y – 4 + 4
= y
∴ f એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
f એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય હોવાથી f નાં પ્રતિવિષયનું અસ્તિત્વ છે.
f નું પ્રતિવિષય f^-1(x) = \(\sqrt{x-4}\) અથવા
f^-1(y) = \(\sqrt{y-4}\).

પ્રશ્ન 9.
વિધેય f : R⁺ → [5, ∞), f(x) = 9x² + 6x – 5 વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરી કે, f વ્યસ્તસંપન્ન છે અને
\(f^{-1}(y)=\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\)
ઉત્તરઃ
f : R₊ → [5, ∞), f(x) = 9x² + 6x – 5
x₁, x₂ ∈ R₊ f(x₁) = f(x₂)
∴ 9x₁² + 6x₁ – 5 = 9x₂² + 6x² – 5
∴ 9(x₁² – x₂²) + 6(x₁ – x₂) = 0
∴ (x₁ – x₂) [9(x₁ + x₂) + 6] = 0
∴ x₁ – x₂ = 0 (∵ 9(x₁ + x₂) + 6 ≠ 0, x₁, x₂ ∈ R₊)
∴ x₁ = x₂
∴ વિષે f એ એક-એક વિધેય છે.
ધારો કે y ∈ [-5, ∞)
y = f(x) = 9x² + 6x – 5
∴ 9x² + 6x – (5 + y) = 0

∴ f એ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
આમ, વિધેય f એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય હોવાથી fનું પ્રતિવિષય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
\(f^{-1}(y)=\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\)

પ્રશ્ન 10.
વિષય f : X → Y વ્યસ્ત સંપન્ન છે. સાબિત કરી કે, fનું પ્રતિવિધેય અનન્ય છે.
(સૂચન : ધારો કે g₁ આને g₂ બંને વિધેય f નાં પ્રતિવિધેયો છે. તેથી પ્રત્યેક y ∈ Y માટે (fog₁)(y) = I_Y(y) = (fog₂)(y). વિધેય f એક-એક છે, તે સત્યનો ઉપયોગ કરો.
ઉત્તરઃ
વિષય f : X → Y નાં વ્યસ્તનું અસ્તિત્વ છે.
∴ વિધેય એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષય છે.
ધારો કે, f નાં બે પ્રતિવિધેયો g₁ અને g₂ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
∀ y ∈ y માટે, fog₁(y) = I_Y(y) = fog₂(y)
∴ fog₁(y) = fog₂(y)
∴ f[g₁(y)] = f[g₂(y)]
પરંતુ મેં એ એક-એક વિધેય છે.
∴ g₁(y) = g₂(y)
∴ પ્રતિ વિષેષ અનન્ય છે.
આમ, વિધેય f નું પ્રતિવિષય અસ્તિત્વ ધરાવે તો તે અનન્ય હોય છે.

પ્રશ્ન 11.
ધારો કે f : {1, 2, 3} → {a, b, c} એ f(1) = a, f(2) = b અને f(3) = c દ્વારા આપેલ છે. f^-1 શોધી અને સાબિત કરો કે (f^-1)^-1 = f
ઉત્તરઃ
f : {1, 2, 3} → {a, b, c}
f(1) = a, f(2) = h, f(3) = c
સ્પષ્ટ છે કે વિધેય એ એક એક અને વ્યાપ્ત વિષય છે.
∴ f^-1 અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
f(1) = a ⇒ f^-1(a) = 1, f(2) = b ⇒ f^-1(b) = 2 તથા
f(3) = c = f^-1(c) = 3.
આમ, f^-1 : {a, b, c} → {1, 2, 3}
f^-1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
અહીં, f^-1 એક એક અને વ્યાપ્ત વિષય છે. તેથી f^-1 નું પ્રતિવિષય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
(f^-1)^-1 : {1, 2, 3} → {a, b, c}
f^-1(a) = 1 ⇒ (f^-1)^-1(1) = a
f^-1(b) = 2 ⇒ (f^-1)^-1(2) = b
f^-1(c) = 3 ⇒ (f^-1)^-1(3) = c
∴ (f^-1)^-1 = {(1, a), (2, b), (3, c)}
∴ (f^-1)^-1 = f.

પ્રશ્ન 12.
વિધેય f : X → Y એ વ્યસ્તસંપન્ન છે. સાબિત કરો કે f^-1 નું પ્રતિવિધેય શું છે, એટલે કે (f^-1)^-1 = f.
ઉત્તરઃ
વિષય f : X → Y નું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
∴ f એ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષય છે.
તથા f^-1 : Y → X, જે f નું પ્રતિવિષય છે.
∴ fof^-1 = I_Y તથા f^-1of = I_X થાય ………….(1)
f નું પ્રતિવિષય f^-1 પણ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિષય હોય.
તેથી f^-1 નું પ્રતિવિષય અસ્તિત્વ ધરાવે.
ધારો કે f^-1 = g તો f^-1 નું પ્રતિવિષય g^-1 થશે.
f^-1 : Y → X હવાથી g^-1 : X → Y વિધેય થાય.
હવે g^-1 એ f^-1 નું પ્રતિવિષય હોવાથી,
∴ g^-1of^-1 = I_Y તથા f^-1og^-1 = f^-1of થાય.
પરિણામ (1) અને (2) ઉપરથી,
g^-1of^-1 = fof^-1 તથા f^-1og^-1 = f^-1of થાય.
∴ g^-1 = f તથા g^-1 = f થાય.
g = f^-1 હોવાથી (f^-1)^-2 = f.

પ્રશ્નો 13 તથા 14 માં વિધાન સાચું બને તે રીતે આપેલ વિકલ્પોમાંથી સોંગ્સ વિક્લ્પ પસંદ કરો :

પ્રશ્ન 13.
જો વિષય f : R → R એ f(x) = (3 – x³)^1/3 દ્વારા આપેલ છે, તો (fof)(x) = …………. છે.
(A) x^1/3
(B) x³
(C) x
(D) (3 – x²)
ઉત્તરઃ
f : R → R fx) = (3 – x³)^1/3

પ્રશ્ન 14.
વિષેધ f : R – \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\) → R, f(x) = \(\frac{4 x}{3 x+4}\) વ્યાખ્યાયિત છે. f નું પ્રતિવિધેય, વિધેય g : f નો વિસ્તાર → R – \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\) એ ……… દ્વારા મળે છે.

ઉત્તરઃ
f : R – \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\) → R, f(x) = \(\frac{4 x}{3 x+4}\)
f નું પ્રતિવિષય g : f નો વિસ્તાર → R – \(\left\{-\frac{4}{3}\right\}\)
y = f(x) = \(\frac{4 x}{3 x+4}\)
∴ 3xy + 4y = 4x
∴ 4x – 3xy = 4y
∴ x = \(\frac{4 y}{4-3 y}\)
∴ g(y) = \(\frac{4 y}{4-3 y}\)
∴ વિકલ્પ (B) આવે.