GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 9 ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો

GSEB Class 11 Physics ઘન પદાર્થોના યાંત્રિક ગુણધર્મો Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
4.7 m લંબાઈ અને 3.0 × 10^-5m² આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો સ્ટીલનો તાર તથા 3.5m લંબાઈ અને 4.0 × 10^-5m² આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાંબાના તાર પર આપેલ સમાન ભાર લટકાવતાં બંને તારની લંબાઈમાં સમાન વધારો થાય છે, તો સ્ટીલ અને તાંબાના યંગ મૉડ્યુલસનો ગુણોત્તર શું હશે?
ઉકેલ :
સ્ટીલના તાર માટે L_{સ્ટીલ} = 4.7m, A_{સ્ટીલ} = 3.0 × 10⁵ m²
તાંબાના તાર માટે L_{તાંબું} = 3.5 m, A_{તાંબું} = 4.0 × 10⁵m²
અહીં, સ્ટીલ અને તાંબાના બંને તાર માટે ભાર F અને તેમની લંબાઈમાં થતો વધારો ΔL સમાન હોવાથી,
Y = \(\frac{(F / A)}{(\Delta L / L)}=\frac{F L}{A \Delta L}\) પરથી,

= 1.79
≈ 1.8

પ્રશ્ન 2.
આપેલ દ્રવ્ય માટે પ્રતિબળ-વિકૃતિ વક્ર આકૃતિ 9.17માં દર્શાવેલ છે, તો આ દ્રવ્ય માટે (a) યંગ મૉડ્યુલસ અને (b) અંદાજિત આધીન-પ્રબળતા કેટલી હશે?

ઉકેલ:
(a) આપેલ દ્રવ્ય માટે, પ્રતિબળ વિરુદ્ધ વિકૃતિના આલેખના સુરેખ ભાગનો ઢાળ તે દ્રવ્યના યંગ મૉડ્યુલસનું મૂલ્ય આપે છે.
∴ આપેલ દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ,
Y = \(\frac{150 \times 10^6}{0.002}\) (∵ આલેખના સુરેખ ભાગમાં 150 × 10⁶ N m^-2 પ્રતિબળને અનુરૂપ વિકૃતિ 0.002 છે.)
= 75 × 10⁹ N m^-2 = 7.5 × 10¹⁰ N m^-2

(b) આપેલ દ્રવ્ય માટે, પ્રતિબળ વિરુદ્ધ વિકૃતિના આલેખમાં સ્થિતિસ્થાપકતાની હદ અથવા આધીનબિંદુને અનુરૂપ પ્રતિબળને તે દ્રવ્યની આધીન-પ્રબળતા σ_y કહે છે.
અથવા
સ્થિતિસ્થાપકતાની હદ વટાવ્યા વગર, આપેલ દ્રવ્ય મહત્તમ જેટલું પ્રતિબળ ખમી શકે છે, તે મહત્તમ પ્રતિબળને તે દ્રવ્યની આધીન- પ્રબળતા σ_y કહે છે.
∴ આલેખ પરથી આધીન-પ્રબળતા,
σ_y = 300 × 10⁶ N m^-2 = 3 × 10⁸ N m^-2

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિ 9.18માં દ્રવ્ય A અને B માટે પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખ દર્શાવેલ છે.

આલેખ સમાન માપક્રમ પર દોરેલ છે.
(a) કયા દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ મોટો હશે?
(b) બેમાંથી કયું દ્રવ્ય વધુ મજબૂત હશે?
ઉત્તર:
(a) યંગ મૉડ્યુલસ Y= પ્રતિબળ વિરુદ્ધ વિકૃતિના આલેખના સુરેખ ભાગનો ઢાળ (tan θ, જ્યાં, θ = આલેખ દ્વારા ધન X-અક્ષ (વિકૃતિ-અક્ષ) સાથે વિષમઘડી દિશામાં આંતરેલો ખૂણો)

આપેલા બંને આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
(દ્રવ્ય A માટે આલેખનો ઢાળ) > (દ્રવ્ય B માટે આલેખનો ઢાળ)
∴ દ્રવ્ય Aનો યંગ મૉડ્યુલસ, દ્રવ્ય Bના યંગ મૉડ્યુલસ કરતાં મોટો છે.

(b) દ્રવ્ય B કરતાં દ્રવ્ય A વધુ મજબૂત છે, કારણ કે આપેલ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, દ્રવ્ય A તૂટ્યા વગર વધુ બોજ (Load) સહન કરી શકે છે.

નોંધ : દ્રવ્ય A અને દ્રવ્ય B માટેના પ્રતિબળ વિરુદ્ધ વિકૃતિના આપેલા આલેખો પરથી, નીચેની બાબતો પણ સ્પષ્ટ થાય છેઃ
(1) દ્રવ્ય B કરતાં દ્રવ્ય A વધુ તન્ય દ્રવ્ય છે, કારણ કે તેની સ્થિતિસ્થાપકતા હદ અને ફ્રેક્ચર પૉઇન્ટ E વચ્ચે મોટું અંતર છે.
(2) દ્રવ્ય A કરતાં દ્રવ્ય B વધુ બટકણું દ્રવ્ય છે, કારણ કે તેના પ્લાસ્ટિક વર્તણૂકનો વિસ્તાર(BE) ઓછો છે. (તેથી તેની મજબૂતાઈ પણ ઓછી છે તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 4.
નીચે આપેલ વિધાનો કાળજીપૂર્વક વાંચી કારણ સહિત તે સાચાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :
(a) રબરનો યંગ મૉડ્યુલસ સ્ટીલ કરતાં મોટો હોય છે.
(b) ગૂંચળાનું ખેંચાણ (અર્થાત્ તેમાં ઉદ્ભવતું વિરૂપણ) તેના આકાર મૉડ્યુલસ પરથી નક્કી થાય છે. ગૂંચળું હેલિકલ / સ્પાયરલ આકારનું નથી.
ઉત્તર:
(a) ખોટું

હવે, રબર અને સ્ટીલની અંદર એકસમાન વિકૃતિ ε₁ ઉત્પન્ન કરવી હોય, તો સ્ટીલ માટે (સંતુલિત અવસ્થામાં) રબર કરતાં વધારે બાહ્ય બળની (ખેંચાણ બળની) જરૂર પડે છે. તેથી Y_{સ્ટીલ} > Y_રબર
અથવા
કારણ : એકસરખું પરિમાણ (લંબાઈ L અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A) ધરાવતા સ્ટીલના તાર અને રબર બંને પર સમાન વિરૂપક બળ F લગાડવામાં આવે, તો સ્ટીલના તારની લંબાઈમાં થતો વધારો રબર કરતાં ઓછો હોય છે. એટલે કે ΔL_રબર > ΔL_{સ્ટીલ} તેથી યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર પરથી, અહીં સ્ટીલ માટે Y_{સ્ટીલ} = અને રબર માટે Y_રબર = થાય.
પરંતુ, અહીં ΔL_રબર > ΔL_{સ્ટીલ} હોવાથી Y_{સ્ટીલ} > Y_રબર·

(b) સાચું
કારણ : ગૂંચળાને (હેલિકલ / સ્પાયરલ નહીં) ખેંચવામાં આવે ત્યારે માત્ર તેનો આકાર જ બદલાય છે. (તેનું કદ કે લંબાઈમાં કોઈ ફેર પડતો નથી.) તેથી ગૂંચળાની અંદર ઉદ્ભવતા વિરૂપણની માત્રા, તેના આકાર મૉડ્યુલસ G ના મૂલ્ય પરથી નક્કી કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 5.
0.25 cm વ્યાસ ધરાવતા બે તાર પૈકી એક સ્ટીલનો અને બીજો પિત્તળનો બનેલો છે. આકૃતિ 9.19 મુજબ તેમને ભારિત કરેલ છે. ભારવિહીન અવસ્થામાં સ્ટીલના તારની લંબાઈ 1.5m અને પિત્તળના તારની લંબાઈ 1.0 m છે. સ્ટીલ અને પિત્તળના તારની લંબાઈમાં થતા વધારાની ગણતરી કરો.
સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ = 2.0 × 10¹¹ N m^-2
પિત્તળનો યંગ મૉડ્યુલસ = 0.91 × 10¹¹ N m^-2
ઉકેલ:
આપેલ બંને તારનો સમાન વ્યાસ,
d = 0.25 cm 0.25 × 10^-2 m
∴ બંને તારની સમાન ત્રિજ્યા,
r = \(\frac{d}{2}\)
= \(\frac{0.25 \times 10^{-2} \mathrm{~m}}{2}\)
= 0.125 × 10^-2m
તેથી બંને તારના સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
A = πr²
= 3.14 × (0.125 × 10^-2)²
= 4.91 × 10^-6 m²

સ્ટીલના તાર માટે :
L_{સ્ટીલ} = 1.5 m, Y_{સ્ટીલ} = 2.0 × 10¹¹ N m^-2
અને બોજ (ભાર) F = (6 + 4) kg f
= (10 × 9.8) N
યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

પિત્તળ(બ્રાસ)ના તાર માટે :
L_{પિત્તળ} 1.0 m, Y_{પિત્તળ} = 0.91 × 10¹¹ N m^-2 અને બોજ (ભાર) F_{પિત્તળ} = 6 kgf
= (6 × 9.8) N
યંગ મૉડ્યુલસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
ઍલ્યુમિનિયમના સમઘનની કિનારી (Edge) 10 cm લાંબી છે. આ ઘનની એક સપાટી શિરોલંબ દીવાલ સાથે જિડત કરેલ છે. તેની વિરુદ્ધ તરફની સપાટીએ 100kg દળ જોડવામાં આવે છે. ઍલ્યુમિનિયમનો આકાર મૉડ્યુલસ 25 G Pa હોય, તો આ સપાટીનું શિરોલંબ દિશામાં વિસ્થાપન કેટલું હશે?
ઉકેલ:
અહીં, સમઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ,
L = 10 cm 10 × 10^-2m
સમઘનની દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ,
A = L² = (10 × 10^-2)² = 10^-2 m²

• સમઘનની એક સપાટીને સ્પર્શકરૂપે લાગતું (સ્પર્શીય) બળ,
  F = mg = 100 × 9.8 = 980 N
• આ સપાટી પર પ્રવર્તતું સ્પર્શીય (આકાર) પ્રતિબળ,
  σ_s = \(\frac{F}{A}=\frac{980}{10^{-2}}\) = 9.8 × 10⁴ N m^-2
• ઍલ્યુમિનિયમનો આકાર મૉડ્યુલસ (સ્થિતિસ્થાપકતા અંક),
  G = 25 G Pa = 25 × 10⁹ Nm^-2
• આકાર વિકૃતિ ε_s = \(\frac{\Delta y}{L}\) છે.

= 0.0392 × 10^-5 m
= 3.92 × 10^-7 m
આમ, જે સપાટી પર સ્પર્શીય બળ લાગે છે, તેનું શિરોલંબ દિશામાં નીચે તરફ વિસ્થાપન 3.92 × 10^-7m છે.

પ્રશ્ન 7.
નરમ સ્ટીલમાંથી બનાવેલા ચાર પોલા અને સમાન નળાકાર વડે 50,000 kg દળવાળા મોટા સ્ટ્રક્ચરને આધાર આપવામાં આવ્યો છે. દરેક નળાકારની અંદર અને બહારની ત્રિજ્યાઓ અનુક્રમે 30 cm અને 60 cm છે. ભાર-વહેંચણી સમાન રીતે થાય છે તેમ ધારીને બધા નળાકારમાં દાબીય વિકૃતિની ગણતરી કરો.
સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 2.0 × 10¹¹ N m^-2.
ઉકેલ:
એકસરખા ચાર પોલા નળાકાર દ્વારા ઊંચકાતું દળ,
M = 50,000 kg
= 5 × 10⁴ kg
∴ એકસરખા ચારેય પોલા નળાકાર દ્વારા ઊંચકાતું વજન (ભા૨)
= Mg
= (5 × 10⁴) × 9.8
49 × 10⁴ N

• તેથી એક પોલા નળાકાર વડે ઊંચકાતો ભાર (વજન),
  F = \(\frac{M g}{4}\)
  = \(\frac{49 \times 10^4}{4}\)
  = 12.25 × 10⁴ N
• એક પોલા નળાકારની અંદરની ત્રિજ્યા r₁ = 30 cm = 0.3 m અને બહારની ત્રિજ્યા r₂ = 60 cm = 0.6 m
  ∴ એક પોલા નળાકારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
  A = πr₂² – πr₁²
  = π (r₂² – r₁²)
  = 3.14 ((0.6)² – (0.3)²)
  = 3.14 × 0.27
  = 0.8478 m²
• નળાકારના દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ Y = 2.0 × 10¹¹ N m^-2

∴ એક નળાકારમાં ઉદ્ભવતી દાબીય વિકૃતિ,
ε_c = \(\frac{\sigma_{\mathrm{c}}}{Y}\)
= \(\frac{\left(\frac{F}{A}\right)}{Y}\)
= \(\frac{F}{A Y}\)
= \(\frac{12.25 \times 10^4}{(0.8478) \times 2.0 \times 10^{11}}\)
= 7.22 × 10^-7

• એક પોલા નળાકારમાં ઉદ્ભવતી દાબીય વિકૃતિ ε_c = 7.22 × 10^-7 છે. તેથી બધા (ચારેય) નળાકારમાં ઉદ્ભવતી દાબીય વિકૃતિ
  = 4 × 7.22 × 10^-7
  = 28.88 × 10^-7
  = 2.888 × 10^-6
  = 2.9 × 10^-6

પ્રશ્ન 8.
15.2 mm × 19.1 mm લંબચોરસ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાંબાના એક ટુકડાને 44,500 N બળના તણાવ વડે ખેંચવામાં આવે છે, જેથી માત્ર સ્થિતિસ્થાપક વિરૂપણ ઉદ્દભવે છે, તો ઉદ્ભવતી વિકૃતિની ગણતરી કરો. તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ 1.1 × 10¹¹ Nm^-2
ઉકેલ:
તાંબાના ટુકડાના લંબચોરસ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,
A = 15.2 × 19.1 = 290.32 mm²
= 290.32 × 10^-6 m²
તાંબાના ટુકડા પર લાગતું તણાવ બળ F = 44,500 N તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ Y_{તાંબું} = 1.1 × 10¹¹ N m^-2

= 139.34 × 10^-5
= 0.139 × 10^-2

પ્રશ્ન 9.
સ્કી વિસ્તારમાં ઊડનખટોલા(Chairlift)નો આધાર સ્ટીલનો એક કૅબલ છે. જેની ત્રિજ્યા 1.5 cm છે. જો મહત્તમ પ્રતિબળ 108 Nm-2થી વધારી શકાતું ન હોય, તો કૅબલ કેટલા મહત્તમ ભારને આધાર આપી શકે?
ઉકેલ:
સ્ટીલના કૅબલની ત્રિજ્યા r = 1.5 cm = 1.5 × 10^-2 m
સ્ટીલના કૅબલની અંદર ઉત્પન્ન થઈ શકતું મહત્તમ પ્રતિબળ 10⁸ N m^-2

∴ મહત્તમ ભાર (બોજ) = (મહત્તમ પ્રતિબળ) × (કૅબલના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ)
= 10⁸ × πr²
= 10⁸ × 3.14 × (1.5 × 10^-2)²
= 7.065 × 10⁴ N

પ્રશ્ન 10.
2.0 m લંબાઈના ત્રણ તાર વડે 15kg દળના દૃઢ સળિયાને સમક્ષિતિજ રહે તે રીતે લટકાવેલ છે. ત્રણ પૈકી છેડાના બે તાર તાંબાના અને વચ્ચેનો તાર લોખંડનો છે. જો ત્રણેય તાર સમાન તણાવ અનુભવતા હોય, તો તેમના વ્યાસના ગુણોત્તર શોધો.
તાંબાનો યંગ મૉડ્યુલસ 110 × 10⁹ Nm^-2
લોખંડનો યંગ મૉડ્યુલસ 190 × 10⁹ Nm^-2
ઉકેલ :
Y_{તાંબું} = 110 × 10⁹ Nm^-2
Y_{લોખંડ} = 190 × 10⁹ Nm^-2

• ધારો કે, તાંબાના અને લોખંડના તારના વ્યાસ અનુક્રમે _{તાંબું} અને d_{લોખંડ} છે.
• ત્રણેય તારો સમાન તણાવ F અનુભવે છે અને તેમના વડે દઢ સળિયો સમક્ષિતિજ (નમેલો નહીં) રહેતો હોવાથી ત્રણેય સળિયાઓની લંબાઈમાં થતો વધારો Δ L સમાન હશે. ત્રણેય તા૨ોની મૂળ લંબાઈ સમાન હોવાથી તેમનામાં ઉત્પન્ન થતી તણાવ વિકૃતિ ε_t પણ સમાન હશે.

• અહીં, ત્રણેય તારો માટે ε_t અને સમાન હોવાથી,

પ્રશ્ન 11.
ખેંચાયા વગરના 1.0m લંબાઈ ધરાવતા સ્ટીલના તારને એક છેડે 14.5 kg દળને જડિત કરેલ છે. તેને ઊર્ધ્વ સમતલમાં વર્તુળાકારે ઘુમાવવામાં આવે છે. વર્તુળમાર્ગમાં નીચેના બિંદુએ તેની કોણીય ઝડપ 2 revolution/s છે. તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ 0.065 cm છે. જ્યારે જડિત કરેલ દળ વર્તુળમાર્ગમાં નિમ્નતમ બિંદુએ હોય ત્યારે તારની લંબાઈમાં થતા વધારાની ગણતરી કરો. સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 2.0 × 10¹¹ N m^-2
ઉકેલ:
સ્ટીલના તારની મૂળ લંબાઈ L = 1.0 m
તારના છેડે જિડત કરેલ પદાર્થનું દળ m = 14.5 kg
પદાર્થની કોણીય ઝડપ ω = 2 = 2 × \(\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{\mathrm{s}}\)
= 4π rad s^-1
સ્ટીલના તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A = 0.065 cm²
= 0.065 × 10^-4m²
= 6.5 × 10^-6 m²
તારના દ્રવ્યનો યંગ મૉડ્યુલસ Y = 2.0 × 10¹¹ N m^-2

• ઊર્ધ્વ સમતલમાંના વર્તુળમાર્ગના નીચેના છેડે પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ F = T – mg. જ્યાં, T = તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ.
• પદાર્થની ઊર્ધ્વ સમતલમાંની વર્તુળાકાર ગતિ માટેનું આવશ્યક કેન્દ્રગામી બળ = \(\frac{m v^2}{l}=\frac{m(l \omega)^2}{l}\) mlω²
  અહીં,
  પદાર્થ ઊર્ધ્વ સમતલમાં વર્તુળગતિ કરે છે. તેથી પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ F = પદાર્થ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ.
  ∴ T – mg = mlω²
  ∴ T = mg + mlω²
  = m (g + lω²)
  = 14.5 (9.8 + 1 × (4π)²)
  = 14.5 (9.8 + 157.7536)
  = 2429.5 N
  
  = 1.868 × 10^-3m
  ≈ 1.87 mm

પ્રશ્ન 12.
નીચે આપેલી માહિતી પરથી પાણી માટે બલ્ક મૉડ્યુલસની ગણતરી કરો :
પ્રારંભિક કદ = 100.0 લિટર, દબાણનો ઘટાડો = 100.0 atm (1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa), અંતિમ કદ = 100.5 લિટર. (અચળ તાપમાને) પાણી અને હવાના બલ્ક મૉડ્યુલસની તુલના કરો. આ ગુણોત્તર શા માટે મોટો છે તે સરળ શબ્દોમાં સમજાવો.
હવાનો STP એ બલ્ક મૉડ્યુલસ 1.0 × 10⁵Pa લો.
ઉકેલ:
પાણીનું પ્રારંભિક કદ V₁ = 100.0 L
પાણીનું અંતિમ કદ V₂ = 100.5 L
પાણીના કદમાં થતો ફેરફાર (વધારો) ΔV = V₂ – V₁
= 100.5 – 100.0
= 0.5 L
= 0.5 × 10^-3m³ (∵ 1 L = 10^-3m³)
દબાણમાં થતો ફેરફાર Δp = – 100.0 atm
= – 100.0 × 1.013 × 10⁵ Pa
= – 1.013 × 10⁷Pa
ઋણ નિશાની દબાણમાં થતો ઘટાડો સૂચવે છે.
હવે, પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ
B_w = – \(\frac{\Delta p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\)
= – \(\frac{\Delta p V}{\Delta V}\)
= – \(\frac{\left(-1.013 \times 10^7\right) \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}}\)
(અહીં V₁ = V = 100 × 10^-3m³ છે.)
= 2.026 × 10⁹ Pa
હવાનો STPએ બલ્ક મૉડ્યુલસ B_a = 1.0 × 10⁵ Pa છે.

= 2.026 × 10⁴
B_w અને B_a નો ગુણોત્તર ખૂબ મોટું હોવાનું કારણ એ છે, કે પ્રવાહી (પાણી) કરતાં વાયુઓ (હવા) વધા૨ે દબનીય હોય છે. પ્રવાહીની અંદર અણુઓ વાયુ કરતાં વધુ બળથી બંધાયેલા (જકડાયેલા) હોય છે.

પ્રશ્ન 13.
દરિયાની અંદર જે ઊંડાઈએ દબાણ 80 atm હોય ત્યાં પાણીની ઘનતા શોધો. સપાટી પર પાણીની ઘનતા 1.03 × 10³kgm^-3 છે.
પાણીની દબનીયતા 45.8 × 10^-11 Pa^-1 (1 Pa = 1 Nm^-2).
ઉકેલ:
અહીં આપેલ માહિતી પરથી, દરિયાની સપાટી પર V = 1 m³ કદ ધરાવતા પાણીનું દ્રવ્યમાન M = 1030 kg છે.
(∵ દરિયાની સપાટી પર પાણીની ઘનતા
= 1.03 × 10³ kg m^-3
= 1030 kg m^-3 છે.)
અને દબાણ 1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa છે.
આપેલ જથ્થાના પાણીનું દળ, દરિયાની સપાટી પર કે તેની અંદર કોઈ પણ ઊંડાઈએ એકસમાન જ રહે છે.
ધારો કે, દરિયાની અંદર 80 m ઊંડાઈએ આ V = 1m³ કદ ધરાવતા પાણીના કદમાં થતો ફેરફાર ΔV (વધારો કે ઘટાડો) છે અને અહીં તેના પરના દબાણમાં થતો ફેરફાર
Δp = 80 atm – 1 atm
= 79 atm
= 79 × 1.013 × 10⁵ Pa
= 80.027 × 10⁵ Pa
હવે, દબનીયતા k = \(\frac{1}{B}\) અને B = – \(\frac{\Delta p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\) પરથી,
k = – \(\frac{\Delta V}{V \Delta p}\)
∴ ΔV = – VkΔp
= – (1 m³) × (45.8 × 10^-11 Pa^-1) × (80.027 × 10⁵ Pa)
= – 3665.24 × 10^-6m³
= – 0.003665 m³
ઋણ નિશાની કદમાં થતો ઘટાડો સૂચવે છે.
∴ દરિયાની અંદર 80 mઊંડાઈએ ઘનતા,

= 1033.8 kg m^-3
≈ 1.034 × 10³ kg m^-3

બીજી રીત :
અહીં, પાણીની દબનીયતા k = 45.8 × 10^-11 Pa^-1
∴ પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ B = \(\frac{1}{k}=\frac{1}{45.8 \times 10^{-11}}\)
= 0.02183 × 10¹¹
= 2.183 × 10⁹ Pa
દરિયાની સપાટી પર પાણીની ઘનતા ρ = 1.03 × 10³ kg m^-3
દરિયાની સપાટી પર V કદ ધરાવતા પાણીને, દરિયાની અંદર જ્યાં દબાણ 80 atm છે, ત્યાં લઈ જતાં તેના કદમાં થતો ફેરફાર ΔV હોય, તો બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં,
કદમાં ફેરફાર ΔV = – \(\frac{\Delta p V}{B}\)
= – \(\frac{\left(79 \times 1.013 \times 10^5 \mathrm{~Pa}\right) \times V}{2.183 \times 10^9 \mathrm{~Pa}}\) (∵ Δp = (80 – 1) atm
= 79 atm
= 79 × 1.013 × 10⁵ Pa)
– (36.65 × 10^-4) V
= – 0.003665 V
હવે, દરિયાની અંદર, જ્યાં દબાણ 80 atm હોય ત્યાં આપેલ જથ્થાના પાણીનું કદ V’ હોય, તો
V’ = V + ΔV = V – 0.003665 V = 0.9963 V
દરિયાની અંદર, જ્યાં દબાણ 80 atm હોય ત્યાં પાણીની ઘનતા ρ’ હોય, તો આપેલ જથ્થાના પાણીનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,
V’ρ’ = Vρ (∵ દળ = ઘનતા × કદ)
∴ ρ’ = \(\frac{V \rho}{V^{\prime}}\)
= \(\frac{V \times 1.03 \times 10^3}{0.9963 V}\)
= 1.0338 × 10³ kg m^-3
= 1.034 × 10³ kg m^-3

ત્રીજી રીત :
ધારો કે, દરિયાના પાણીની સપાટી પર આપેલ જથ્થાના પાણીનું કદ V = V₁, ઘનતા ρ₁ = \(\frac{M}{V_1}\) = 1.03 × 10³kg m^-3
= 1030 kg m^-3
અને દબાણ P₁ = 1 atm = 1.013 × 10⁵ Pa છે.
દરિયાની અંદર જ્યાં દબાણ p₂ = 80 atm છે, ત્યાં તે જ જથ્થાના પાણીનું કદ V₂ અને ઘનતા ρ₂ = \(\frac{M}{V_2}\) છે.
દરિયાની પાણીની સપાટી અને કથિત ઊંડાઈએ દબાણનો તફાવત,
Δp = p₂ – P₁ = 80 atm – 1 atm
= 79 atm
= 79 × 1.013 × 10⁵ Pa
= 80.027 × 10⁵ Pa
દબનીયતાના સૂત્ર k = – \(\frac{\Delta V}{V_1 \Delta p}\) (અહીં V = V₁ લીધેલ છે.)નો ઉપયોગ કરતાં, કદમાં ફેરફાર
ΔV = – kV₁Δp
= − (45.8 × 10^-11) × V₁ × (80.027 × 10⁵)
= – (3665 × 10^-6V₁)
= – (0.003665 V₁) ………….. (1)
ફરીથી ΔV = V₂ -V₁

∴ \(\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{\Delta V}{V_1}\) + 1
= – 0.003665 + 1 (∵ સમીકરણ (1) પરથી \(\frac{\Delta V}{V_1}\) = – 0.003665 છે.)
= 0.9963
∴ ρ₂ = \(\frac{\rho_1}{0.9963}\)
= \(\frac{1030}{0.9963}\)
= 1033.8 kg m^-3
= 1.034 × 10³ kg m^-3

પ્રશ્ન 14.
10 atm જેટલા હાઇડ્રોલિક દબાણ હેઠળ રહેલા કાચના ચોસલા (Slab) માટે કદના આંશિક ફેરફારની ગણતરી કરો. કાચનો બલ્ક મૉડ્યુલસ 37 × 10⁹ Pa છે.
ઉકેલ:
દબાણ p = 10 atm = 10 × 1.013 × 10⁵ Pa
= 10.13 × 10⁵ Pa
બલ્ક મૉડ્યુલસ B = 37 × 10⁹ Pa
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર B = \(\frac{-p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\) પરથી,
કદમાં આંશિક ફેરફાર \(\frac{\Delta V}{V}=\frac{-p}{B}\)
= \(\frac{-10.13 \times 10^5}{37 \times 10^9}\)
= 0.2737 × 10^-4
= – 2.74 × 10^-5
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દબાણમાં વધારો થાય તેમ કદમાં ઘટાડો ઉદ્ભવે છે.

પ્રશ્ન 15.
10 cm લંબાઈની કિનારીવાળા તાંબાના નક્કર સમઘન માટે 7.0 × 10⁶ Pa જેટલા હાઇડ્રોલિક દબાણની અસર હેઠળ કદ-સંકોચનની ગણતરી કરો. તાંબાનો બલ્કે મૉડ્યુલસ 140 × 10⁹ Pa છે.
ઉકેલ:
નક્કર સમઘનની દરેક બાજુની લંબાઈ,
l = 10 cm = 10^-1 m
∴ સમઘનનું કદ V = (10^-1m)³ = 10^-3m³
દબાણ p = 7.0 × 10⁶ Pa
બલ્ક મૉડ્યુલસ B = 140 × 10⁹ Pa, ΔV = ?
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર B = – (\(\frac{p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\)) પરથી,
ΔV = – \(\frac{p V}{B}\)
= – \(\frac{\left(7.0 \times 10^6\right) \times 10^{-3}}{140 \times 10^9}\)
= – \(\frac{1}{20}\) × 10^-6 m³
= – 0.05 × 10^-6 m³
= – 0.05 cm³
ઋણ નિશાની સમઘનના કદમાં ઘટાડો થાય છે તેમ સૂચવે છે.

પ્રશ્ન 16.
એક લિટર પાણીનું 0.10 % સંકોચન કરવા તેના પરના દબાણમાં કેટલો ફેરફાર કરવો પડે?
પાણીનો બલ્ક મૉડ્યુલસ 2.2 × 10⁹Pa છે.
ઉકેલ:
પાણીનું પ્રારંભિક કદ V = 1L = 10^-3m³
કદમાં આંશિક ફેરફાર \(\frac{\Delta V}{V}\) = – 0.10% (ઋણની નિશાની કદમાં થતું સંકોચન સૂચવે છે.)
= – \(\frac{0.10}{100}\)
= – 10^-3
બલ્ક મૉડ્યુલસ B = 2.2 × 10⁹ Pa
બલ્ક મૉડ્યુલસના સૂત્ર B = – \(\frac{\Delta p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\) પરથી,
દબાણમાં ફેરફાર Δp = -B(\(\frac{\Delta V}{V}\))
= – 2.2 × 10⁹ × (- 10^-3)
= 2.2 × 10⁶ Pa (અથવા N m ^-2)

પ્રશ્ન 17.
હીરાના એક જ સ્ફટિકમાંથી આકૃતિ 9.22માં દર્શાવ્યા મુજબના આકારનું એરણ (Anvis) બનાવેલ છે. તેનો ઉપયોગ ઊંચા દબાણ હેઠળ દ્રવ્યની વર્તણૂક તપાસવા માટે થાય છે. એરણના સાંકડા છેડા પાસે સપાટ બાજુઓના વ્યાસ 0.50 mm છે. જો એરણના પહોળા છેડાઓ પર 50,000 Nનું દાબીય બળ લાગુ પાડેલ હોય, તો એરણના સાંકડા છેડે (Tip પર) દબાણ કેટલું હશે?

ઉકેલ:
એરણના સાંકડા છેડા પાસે સપાટ બાજુઓનો વ્યાસ d = 0.50 mm
∴ ત્રિજ્યા r = \(\frac{d}{2}\) = 0.25 mm = 0.25 × 10^-3 m
બળ F = 50,000 N
એરણના સાંકડા છેડા આગળ દબાણ,
p = \(\frac{F}{A}\)
= \(\frac{F}{\pi r^2}\)
= \(\frac{50.000}{3.14 \times\left(0.25 \times 10^{-3}\right)^2}\)
= 2.55 × 10¹¹ Pa (અથવા N m^-2

પ્રશ્ન 18.
1.05 m લંબાઈ અને અવગણ્ય દળ ધરાવતાં એક સળિયાને આકૃતિ 9.23માં દર્શાવ્યા મુજબ બે તાર વડે બંને છેડેથી લટકાવેલ છે. તાર A સ્ટીલ અને તાર B ઍલ્યુમિનિયમનો છે. તાર A અને તાર Bના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અનુક્રમે 1.0 mm અને 2.0 mm² છે. સળિયા પર કયા બિંદુએ m દળ લટકાવવામાં આવે કે જેથી સ્ટીલ અને ઍલ્યુમિનિયમના બંને તારમાં (a) સમાન પ્રતિબળ (b) સમાન વિકૃતિ ઉદ્ભવે? સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 2 × 10¹¹ Pa અને ઍલ્યુમિનિયમનો યંગ મૉડ્યુલસ 7 × 10¹⁰ Pa.

ઉકેલ:

આકૃતિ 9.24માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે, ધારો કે સ્ટીલના તાર Aથી × અંતરે આવેલ બિંદુ C આગળ આપેલ દળ m લટકાવવામાં આવે છે. તેથી ઍલ્યુમિનિયમના તાર Bથી m દળનું અંતર (1.05 – x) m થાય.
સ્ટીલના તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ. A₁ = 1.0 mm² અને ઍલ્યુમિનિયમના તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A₂ = 2.0 mm² છે.

(a) બંને તારમાં સમાન પ્રતિબળ માટે :

• સ્ટીલના તારમાં તણાવ બળ T₁ અને ઍલ્યુમિનિયમના તારમાં તણાવ બળ T₂ ઉદ્ભવે છે.
• તણાવ પ્રતિબળના સૂત્ર σ_t = \(\frac{T}{A}\) = પરથી,
  \(\frac{T_1}{A_1}=\frac{T_2}{A_2}\) (∵ બંને તારમાં સમાન તણાવ પ્રતિબળ લેતાં)
  ∴ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{A_1}{A_2}\)
  = \(\frac{1.0 \mathrm{~mm}^2}{2.0 \mathrm{~mm}^2}=\frac{1}{2}\) …………. (1)
• સમગ્ર તંત્ર (બંને તાર અને સળિયો) સંતુલનમાં હોવાથી, સળિયાના જે બિંદુ પાસે દળ m લટકાવેલ છે, તે બિંદુ Cની સાપેક્ષે બળની ચાકમાત્રાઓ લેતાં,
  T₁x = T₂ (1.05 – x)
  ∴ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{1.05-x}{x}\) ………….. (2)
• સમીકરણ (1) અને (2) ને સરખાવતાં,
  \(\frac{1.05-x}{x}=\frac{1}{2}\)
  ∴ 2.10 – 2x = x
  ∴ 3x = 2.10
  ∴ x = 0.70 m
  = 70 cm

(b) બંને તારમાં સમાન વિકૃતિ માટેઃ

• સ્ટીલના તારમાં તણાવ બળ T’₁ અને ઍલ્યુમિનિયમના તારમાં તણાવ બળ T’₂, ઉદ્ભવે છે.
• યંગ મૉડ્યુલસના સૂત્ર Y = \(\frac{\sigma_{\mathrm{t}}}{\varepsilon_{\mathrm{t}}}\) પરથી,
  તણાવ વિકૃતિ = ε_t = \(\frac{\sigma_{\mathrm{t}}}{Y}=\frac{1}{Y}\left(\frac{T}{A}\right)\)
  ∴ \(\frac{1}{Y_1}\left(\frac{T_1^{\prime}}{A_1}\right)=\frac{1}{Y_2}\left(\frac{T_2^{\prime}}{A_2}\right)\) (∵ બંને તા૨માં સમાન તણાવ વિકૃતિ લેતાં)
  ∴ \(\frac{T_1^{\prime}}{T_2^{\prime}}=\frac{A_1}{A_2} \times \frac{Y_1}{Y_2}\)
  = \(\frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11}}{7 \times 10^{10}}=\frac{10}{7}\) …………. (1)
  સમગ્ર તંત્ર (બંને તાર અને સળિયો) સંતુલનમાં હોવાથી, સળિયાના જે બિંદુ પાસે દળ m લટકાવેલ છે, તે બિંદુ Cની સાપેક્ષે બળની ચાકમાત્રાઓ લેતાં,
  T’₁x = T’₂ (1.05 – x)
  \(\frac{T_1^{\prime}}{T_2^{\prime}}=\frac{(1.05-x)}{x}\) ………….. (2)
• સમીકરણ (1) અને (2)ને સરખાવતાં,
  \(\frac{1.05-x}{x}=\frac{10}{7}\)
  ∴ 7.35 – 7x = 10x
  ∴ 17x = 7.35
  ∴ x = 0.4324 m
  = 43.24 cm

પ્રશ્ન 19.
1.0 m લંબાઈ અને 0.50 × 10^-2cm² આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા નરમ સ્ટીલના તારને બે થાંભલાની વચ્ચે સમક્ષિતિજ દિશામાં સ્થિતિસ્થાપકતાની હદ(મર્યાદા)માં રહે તેમ ખેંચવામાં આવે છે. હવે તારના મધ્યબિંદુએ 100 g દળ લટકાવવામાં આવે, તો તારનું મધ્યબિંદુ કેટલું નીચે આવશે?
સ્ટીલનો યંગ મૉડ્યુલસ 2 × 10¹¹ Nm^-2 (અથવા Pa).
ઉકેલઃ

આપેલ રકમના આધારે આકૃતિ ઉપર મુજબ થશે.
અહીં A અને B બે થાંભલાઓ છે.
તારની લંબાઈ = 2L = 1.0 m છે.
∴ AC = BC = L = \(\frac{1.0 \mathrm{~m}}{2}\) = 0.5 m
તારના મધ્યબિંદુ C પાસે M = 100 g = 0.1 kg દળ લટકાવતાં તારનું મધ્યબિંદુ C, x જેટલું નીચે આવે છે.
આકૃતિને ધ્યાનમાં લેતાં તારની લંબાઈમાં થતો વધારો ΔL હોય, તો
ΔL = AD + DB – AB = 2AD – AB (∵ AD = DB છે.)
પણ, આકૃતિ પરથી AD = \(\left(L^2+x^2\right)^{\frac{1}{2}}\) અને AB = 2L છે.

તારમાં ઉત્પન્ન થતી તણાવ વિકૃતિ,
ε_t = \(\frac{\Delta L}{L+L}=\frac{\Delta L}{2 L}\)
∴ ε_t = \(\frac{\left(x^2 / L\right)}{2 L}\)
= \(\frac{x^2}{2 L^2}\) ……………… (2)
તારના બંને ભાગમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ T હોય, તો આકૃતિ 9.25 પરથી,
T cos θ + T cos θ = Mg
∴ 2T cos θ = Mg
∴ T = \(\frac{M g}{2 \cos \theta}\) ………….. (3)
પણ આકૃતિ 9.25 પરથી,

અહીં, 2L = 1.0 m ∴ L = 0.5 m,
A = 0.50 × 10^-2 cm² = 0.50 × 10^-6 m²
M = 100 g = 0.1 kg, Y = 2 × 10¹¹ Nm^-2
∴ x = 0.5 \(\left[\frac{0.1 \times 10}{0.5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}\right]^{\frac{1}{3}}\) (∵ g = 10 m s^-2)
= 1.074 × 10^-2
= 0.01074m
= 1.074 cm

પ્રશ્ન 20.
ધાતુની બે પટ્ટીઓને છેડે, દરેકનો વ્યાસ 6.0 mm હોય તેવા ચાર રિવેટ દ્વારા પટ્ટીઓને એકબીજા સાથે જડેલ છે. રિવેટ પરનું આકાર પ્રતિબળ 6.9 × 10⁷ Pa થી વધારી ન શકાય તે માટે જોડેલ પટ્ટીઓ પરનું મહત્તમ તણાવ કેટલું રાખવું જોઈએ? દરેક રિવેટ એક ચતુર્થાંશ બોજ વહન કરે છે તેમ ધારો.
ઉકેલ:
ચારેય (દરેક) રિવેટનો વ્યાસ,
d = 6 mm = 6 × 10^-3 m
∴ ચારેય (દરેક) રિવેટની ત્રિજ્યા r = \(\frac{d}{2}\) 3 × 10^-3 m
દરેક રિવેટ પરનું મહત્તમ આકાર પ્રતિબળ,
(σ_s)_max = 6.9 × 10⁷Pa

ધારો કે, ધાતુની બે પટ્ટીઓ પર લાગુ પાડેલ મહત્તમ તણાવ બળ (F_t)_max છે, જે દરેક રિવેટ પર એકસમાન રીતે વહેંચાશે.
∴ દરેક રિવેટ પર પ્રવર્તતું મહત્તમ સ્પર્શીય બળ \(\frac{\left(F_t\right)_{\max }}{4}\) થશે.
તેથી દરેક રિવેટ પરનું મહત્તમ આકાર (સ્પર્શીય) પ્રતિબળ
(σ_s)_max = \(\frac{\frac{\left(F_{\mathrm{t}}\right)_{\max }}{4}}{A}\) થશે.
જ્યાં, A = રિવેટની જે સપાટી પર સ્પર્શીય બળ લાગે છે તે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ
પણ ૨કમમાં દરેક રિવેટ પરનું મહત્તમ આકાર પ્રતિબળ 6.9 × 10⁷ Pa આપેલ છે, એટલે કે (σ_s)_max = \(\frac{\left(F_t\right)_{\max }}{4 A}\) = 6.9 × 10⁷ Pa થાય.
∴ (F_t)_max = 6.9 × 10⁷ × 4A
પણ, અહીં A = રિવેટની જે સપાટી પર સ્પર્શીય બળ લાગે છે તે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = πr²
∴ (F_t)_max = 6.9 × 10⁷ × 4 × πr²
= 6.9 × 10⁷ × 4 × 3.14 × (3 × 10^-3)²
= 6.9 × 4 × 3.14 × 9 × 10
= 7.8 × 10³ N
= 7.8 kN

મહત્ત્વની નોંધ
જો પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલ રકમમાં ફેરફાર કરવામાં આવે અને રિવેટ પ૨નું મહત્તમ આકાર પ્રતિબળ (σ_s)_max = 2.3 × 10⁹ Paલેવામાં આવે, તો જવાબ પાઠ્યપુસ્તકમાં આપેલ જવાબ પ્રમાણેનો 260 × 10³ N = 260 kN મળશે.

પ્રશ્ન 21.
પ્રશાંત મહાસાગરમાં આવેલી મરીના નામની ખાઈ પાણીની સપાટીથી 11 km ઊંડી છે. ખાઈના તળિયે પાણીનું દબાણ 1.1 × 10⁸ Pa છે. 0.32 m³ પ્રારંભિક કદ ધરાવતા એક સ્ટીલના દડાને દરિયામાં નાખતાં તે ખાઈના તળિયા સુધી પહોંચે છે, તો દડાના કદમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે? સ્ટીલનો બલ્ક મૉડ્યુલસ 160 G Pa છે.
ઉકેલ:
મરીના ખાઈના તળિયે પ્રવર્તતું દબાણ p = 1.1 × 10⁸ Pa
સ્ટીલના દડાનું (પ્રશાંત મહાસાગરની બહાર) પ્રારંભિક કદ, V = 0.32 m³
સ્ટીલનો બલ્ક મૉડ્યુલસ B = 160 G Pa = 160 × 10⁹ Pa
બલ્ક મૉડ્યુલસનું સૂત્ર B = \(\frac{-p}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)}\) વાપરતાં,
દડાના કદમાં થતો ફેરફાર ΔV = – \(\frac{p V}{B}\)
= – \(\frac{1.1 \times 10^8 \times 0.32}{160 \times 10^9}\)
= – 0.0022 × 10^-1
= – 2.2 × 10^-4m³
ઋણ નિશાની દડાના કદમાં થતો ઘટાડો દર્શાવે છે.
નોંધ : માત્ર 11 km = 11 × 10³m ઊંડાઈના, દરિયાના પાણીના સ્તંભ દ્વારા, તળિયે લાગતું દબાણ
p = h ρg
= (11 × 10³m) × (10³ kg m^-3) × (10 m s^-2)
= 11 × 10⁷N m^-2
= 1.1 × 10⁸ Pa