GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 7 કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ

GSEB Class 11 Physics કણોનાં તંત્રો અને ચાકગતિ Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
એકસમાન દળ-ઘનતા ધરાવતાં
(i) ગોળા
(ii) નળાકાર
(iii) રિંગ અને
(iv) સમઘનના આ દરેક પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું સ્થાન જણાવો.
શું પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પદાર્થની અંદરના ભાગમાં જ હોય તે જરૂરી છે?
ઉત્તર:
અહીં આપેલ પદાર્થોમાં દ્રવ્યનું વિતરણ નિયમિત છે. તેથી –
(i) ગોળાનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
(ii) નળાકારનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે. અર્થાત્ તેની સંમિત અક્ષના મધ્યબિંદુ પર હોય છે.
(iii) રિંગનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
(iv) સમઘનનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર તેના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે, અર્થાત્ સમઘનના વિકર્ણોના છેદનબિંદુ પર હોય છે.
ના.
દરેક પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પદાર્થની અંદરના ભાગમાં જ (જ્યાં દ્રવ્ય હોય ત્યાં) હોવું જરૂરી નથી, કારણ કે કેટલાક પદાર્થો (વસ્તુઓ) જેમ કે રિંગ (વલય), પોલો નળાકાર, પોલો ગોળો, પોલો ઘન વગેરેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પદાર્થની બહાર (જ્યાં દ્રવ્ય હોય નહિ ત્યાં) હોય છે. પણ વર્તુળાકાર તકતી, નક્કર નળાકાર, નક્કર ગોળો, નક્કર ઘન વગેરેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પદાર્થની (વસ્તુની) અંદરના ભાગમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
HCl અણુમાં, બે પરમાણુઓના ન્યુક્લિયસો વચ્ચેનું અંતર લગભગ 1.27 Å (1 Å =10^-10m) છે. ક્લોરિન પરમાણુ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુથી લગભગ 35.5 ગણો દળદાર (ભારે) છે અને આ બંને પરમાણુઓનું લગભગ તમામ દળ તેમના ન્યુક્લિયસમાં કેન્દ્રિત થયેલું છે તેમ આપેલ છે, તો આ અણુના CMનું આશરે સ્થાન શોધો.
ઉકેલઃ

• આકૃતિ 7.64માં એક HCl અણુ દર્શાવ્યો છે. આ અણુના બે પરમાણુઓ H અને Cl ના ન્યુક્લિયસો વચ્ચેનું અંતર 1.27Å છે.
• આ અણુના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM)ને યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O પર લેતાં ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે H-પરમાણુના ન્યુક્લિયસનો
  સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_1}\) = (- xî) Å અને Cl-પરમાણુના ન્યુક્લિયસનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_2}\) = ((1.27 – x)î)Å થશે.
• અહીં, Cl-પરમાણુનું દળ એ H-પરમાણુના દળ કરતાં લગભગ 35.5 ગણું છે તેમ આપેલ છે.
  તેથી, Cl-પરમાણુનું દળ = 35.5 (H-૫૨માણુનું દળ)
  ∴ m₂ = 35.5 mm અને = m₁ = m થાય.
• હવે, તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ,
  \(\vec{R}=\frac{\sum_{i=1}^n m_i \overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}}{\sum_{i=1}^n m_{\mathrm{i}}}\) હોય છે.
  ∴ અહીં, HCl અણુના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો સ્થાનસદિશ,
  \(\vec{R}=\frac{m_1 \overrightarrow{r_1}+m_2 \overrightarrow{r_2}}{m_1+m_2}\) થાય.
• પણ, અહીં \(\vec{R}=\vec{O}\) છે, કારણ કે CM ને ઉગમબિંદુ ‘O’ પર લીધેલ છે.
  ∴ \(\vec{o}=\frac{m(-x \hat{i})+35.5 m((1.27-x) \hat{i})}{m+35.5 \mathrm{~m}}\)
  ∴ – m (-xî) + 35.5 m ((1.27 – x)î) = \(\vec{o}\)
  ∴ mx = 35.5 (1.27 – x) m
  ∴ mx = 35.5 × 1.27 – 35.5x
  ∴ 36.5x = 35.5 × 1.27
  ∴ x = \(\frac{35.5 \times 1.27}{36.5}\) = 1.235 Å
  આમ, HCl અણુનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર H અને Clને જોડતી રેખા પર H-પરમાણુના ન્યુક્લિયસથી 1.235 Å અંતરે આવેલ છે.

પ્રશ્ન 3.
એક બાળક એક લાંબી ટ્રૉલીના એક છેડે સ્થિર બેઠો છે, જે એક લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર એક નિયમિત υ ઝડપથી આગળ વધી રહી છે. જો આ બાળક ટ્રૉલી પર ઊભો થઈને કોઈ પણ રીતે દોડે, તો (ટ્રૉલી + બાળક) તંત્રના CMની ઝડપ કેટલી હશે?
ઉત્તર:
અહીં એક લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર પહેલેથી જ (ટ્રૉલી + બાળક)થી બનેલું એક સમગ્ર તંત્ર, નિયમિત ઝડપ υથી ગતિ કરી રહ્યું છે.

• હવે, જો બાળક અચાનક ટ્રૉલી પર ઊભો થઈને કોઈ પણ દિશામાં દોડવાની શરૂઆત કરે તો બાળક દ્વારા ટ્રૉલી પર લાગતું બળ (ક્રિયા બળ) અને ટ્રૉલી વડે બાળક પર લાગતું બળ (પ્રતિક્રિયા બળ) એ આંતરિક બળો છે, જેમનું પરિણામી બળ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર શૂન્ય થાય છે.
• અહીં, (બાળક + ટ્રૉલી)થી બનેલાં તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ તો લાગતું જ નથી, એટલે કે \(\) છે, તેથી તંત્રના ((ટ્રૉલી + બાળક)થી બનેલા તંત્રના) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ તો અચળ જ રહેશે.
• અહીં, પ્રારંભમાં (બાળક ટ્રૉલી પર સ્થિર હતો ત્યારે) તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ υ હતો.
  તેથી, બાળક ટ્રૉલી પર દોડવાની શરૂઆત કર્યા બાદ પણ તંત્રના (ટ્રૉલી + બાળકથી બનેલા તંત્રના) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ υ જેટલો જ (અચળ) રહેશે.

પ્રશ્ન 4.
દર્શાવો કે, સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) થી બનેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ \(\vec{a} \times \vec{b}\) ના મૂલ્યથી અડધું હોય છે.
ઉકેલ:

• આકૃતિ 7.65માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ધારો કે આપેલા સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) એ Δ OAB ની સંલગ્ન બાજુઓ છે, એટલે કે
  \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) વડે Δ OAB રચાયેલ છે.
• અહીં, ∠ BON = θ અને ΔOABનો વેધ
  BN = h = b sin θ છે.
• હવે,
  સદિશ ગુણાકાર (\(\vec{a} \times \vec{b}\))નું માન (મૂલ્ય)
  = |\(\vec{a} \times \vec{b}\)|
  = ab sin θ
  = (OA) (OB) sin θ
  = (OA) (BN)
  = 2 × \(\frac{1}{2}\) (OA) (BN)
  = 2 × [\(\frac{1}{2}\) (Δ OABનો પાયો) (Δ OABનો વેધ )]
  = 2 × (Δ OABનું ક્ષેત્રફળ)
  ∴ Δ OABનું ક્ષેત્રફળ = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec{a} \times \vec{b}\)| થાય.
  આમ, સદિશો \(\vec{a}\) અને \(\vec{b}\) થી બનેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ એ (\(\vec{a} \times \vec{b}\))ના મૂલ્યથી અડધું હોય છે.

પ્રશ્ન 5.
દર્શાવો કે, \(\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})\) એ ત્રણ સદિશો \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અનેં \(\vec{c}\) થી બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કલક(Parallelopiped)ના કંદના મૂલ્ય બરાબર હોય છે.
ઉકેલ:

• આકૃતિ 7.66માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ અસમતલીય સિદિશો \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) ની મદદથી રચાતો સમાંતરબાજુ ચતુલક (Parallelopiped) ધ્યાનમાં લો.
• અહીં \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\) અને \(\overrightarrow{O C}=\vec{c}\) = છે.
• સદિશ (\(\vec{b} \times \vec{c}\)) એ \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) થી રચાતા સમતલને લંબ છે તથા |\(\vec{a}\)| cos θ એ સમાંતરબાજુ ચતુલકની ઊંચાઈ છે, જે તેના પાયાના સમતલને લંબ છે.
  હવે, \(\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})\)
  = \(|\vec{a}||\vec{b} \times \vec{c}|\) cos θ
  = \((|\vec{b} \times \vec{c}|)|\vec{a}|\) cos θ
  = (સમાંતરબાજુ ચતુલકના પાયા(ABCD)નું ક્ષેત્રફળ) × (આ પાયાથી સમાંતરબાજુ ચતુલકની ઊંચાઈ)
  = અસમતલીય સદિશો \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) વડે રચાતા સમાંતરબાજુ
  ચતુલકનું કદ
  બીજી રીત :

આકૃતિ 7.67માં અસમતલીય સિદિશો \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\)
(જ્યાં, \(\vec{a}\) ⊥ \(\vec{b}\), \(\vec{b}\) ⊥ \(\vec{c}\) અને \(\vec{c}\) ⊥ \(\vec{a}\) છે.) વડે રચાતો એક લંબઘન દર્શાવ્યો છે.

• અહીં \(\overrightarrow{O A}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{O B}=\vec{b}\) અને \(\overrightarrow{O C}=\vec{c}\) છે.
  હવે, \(\vec{b}\) ⊥ \(\vec{c}\) હોવાથી \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) નો સદિશ ગુણાકાર (\(\vec{b} \times \vec{c}\)) = (bc sin 90°) n̂ = bc n̂ થાય. જ્યાં, n̂ એ એકમ સદિશ છે. જેની દિશા \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) થી બનતા સમતલને
  લંબ જમણા હાથના સ્ક્રૂના નિયમ પરથી \(\overrightarrow{O A}\) (= \(\vec{a}\)) દિશામાં છે, એટલે કે n̂ || \(\overrightarrow{O A}\) છે.
  તેથી \(\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=\vec{a}\) · (bc n̂) થાય.
  = a (bc) cos 0° (∵ \(\vec{a}\) || n̂)
  = abc
  આમ, \(\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})\) = \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) અને \(\vec{c}\) થી બનતા લંબઘનનું કદ

પ્રશ્ન 6.
x, y, z ઘટકો સાથે જેનો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) અને P_xP_y, P_z ઘટકો સાથે વેગમાન \(\vec{p}\) હોય તે કણના કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) ના X, Y, Z અક્ષો પરના ઘટકો શોધો તથા દર્શાવો કે જો કણ ફક્ત X-Y સમતલમાં જ ગતિ કરે તો તેના કોણીય વેગમાનને માત્ર z-ઘટક જ હોય છે.
ઉકેલ:
અહીં, કણ ત્રિ-પરિમાણમાં (અથવા અવકાશમાં) ગતિ કરે છે. તેથી તેનો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}\) = xî + yĵ + zk̂ અને તેનું રેખીય વેગમાન \(\vec{p}\) = îp_x + ĵp_y + k̂p_z, થાય.

• તેથી ત્રિપરિમાણમાં આ કણનું કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) = îl_x + ĵl_y + k̂l_z લખાય.
• પણ, \(\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}\) છે.
  ∴ \(\vec{l}\) = (xî + yĵ + zk̂) × (îp_x + ĵp_y + k̂p_z)
  
  ∴ îl_x + ĵl_y + k̂l_z = î(yp_z – zp_y) + ĵ(zp_x = xp_z) + k̂(xp_y – yp_x)
• હવે, î, ĵ અને k̂ તેના સહગુણકોને બંને બાજુ સરખાવતાં કોણીય વેગમાન \(\vec{l}\) ના ઘટકો નીચે મુજબ મળે :
  l_x = yp_z – zp_y, l_y = 2p_x – xp_z અને l_z = xp_y – yp_x
• જો આપેલ કણ X-Y સમતલમાં જ ગતિ કરતો હોય, તો તેના માટે z = 0 અને P_z = ૦ થાય.
• z = 0 અને p_z = 0 ઉપરના l_x, l_y, અને l_z નાં સૂત્રોમાં મૂકતાં
  l_x = 0, l_y = 0 થાય છે.
  ∴ X-Y સમતલમાં ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન
  \(\vec{l}\) = 0 + 0 + l_zk̂, થાય.
  ∴ \(\vec{l}\) = (xp_y – yp_x) k̂
  ∴ \(\vec{l}\) = (l_z) k̂
  આમ, સાબિત થાય છે કે X-Y સમતલમાં ગતિ કરતા કણના કોણીય વેગમાનને માત્ર z-ઘટક જ હોય છે.

વધારાની સમજૂતી
X-Y સમતલમાં ગતિ કરતાં કણ પર લાગતું ટૉર્ક નીચેના સૂત્ર વડે રજૂ થાય છે :
τ_z = xF_y – yF_x …………… (1)
જ્યાં, τ_z = X-Y સમતલમાં ગતિ કરતાં કણ પર લાગતાં ટૉર્કનો Z-અક્ષની દિશામાંનો ઘટક
→ X-Y સમતલમાં ગતિ કરતાં m દળના કણનો વેગ \(\vec{υ}\) છે. જ્યાં, υ_x અને υ_y એ કણના વેગના X અને Y અક્ષની દિશામાંના ઘટકો છે.
→ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી,

τ_z = \(\frac{d l_2}{d t}\)
આમ, સાબિત થાય છે કે X-Y સમતલમાં ગતિ કરતાં કણના કોણીય વેગમાનને માત્ર z-ઘટક જ હોય છે.

પ્રશ્ન 7.
દરેકનું દળ m અને ઝડપ υ હોય તેવા બે કણો એકબીજાથી d અંતરે રહેલ બે સમાંતર રેખાઓ પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. દર્શાવો કે, કોઈ પણ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન લેવામાં આવે, તોપણ આ બે કણોના તંત્રનું સદિશ કોણીય વેગમાન સમાન જ રહે છે.
ઉકેલઃ

• આકૃતિ 7.68માં સમાન દ્રવ્યમાન m ધરાવતાં બે કણો A અને B બે સમાંતર રેખાઓ પર વિરુદ્ધ દિશામાં એકસરખી ઝડપ થી ગતિ કરતાં દર્શાવ્યા છે. આ બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લંબઅંતર d છે.
• હવે, આપેલ ક્ષણે આપેલ કણનું આપેલ (નિશ્ચિત) બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન,
  \(\vec{l}=\vec{r} \times m \vec{v}\) હોય છે.
  જ્યાં, \(\vec{r}\) = આપેલ (નિશ્ચિત) બિંદુની સાપેક્ષે તે કણનો સ્થાનસદિશ

• આમ, સમીકરણ (1), (2) અને (3) પરથી સ્પષ્ટ છે કે \(\vec{l}_{\mathrm{A}}=\vec{l}_{\mathrm{P}}=\vec{l}_{\mathrm{B}}\) હોવાથી કોઈ પણ બિંદુની સાપેક્ષે આપેલ બે ણોના તંત્રનું (કુલ) સંદેશ કોણીય વેગમાન લેવામાં આવે, તોપણ તે સમાન જ રહે છે.

પ્રશ્ન 8.
આકૃતિ 7.69માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે W વજનના એક અનિયમિત સળિયાને અવગણ્ય વજનની બે દોરીઓ દ્વારા લટકાવીને સ્થિર રાખવામાં આવેલ છે. ઊર્ધ્વદિશા (શિરોલંબ) સાથે દોરીઓ દ્વારા બનાવવામાં આવેલા ખૂણા અનુક્રમે 36.9° અને 53.1° છે. આ સળિયાની લંબાઈ 2m છે. આ સળિયાની ડાબી બાજુના છેડાથી તેના ગુરુત્વકેન્દ્રના અંતર તની ગણતરી કરો.

ઉકેલઃ

• આકૃતિ 7.70માં અવગણ્ય વજનની બે દોરીઓમાં ઉદ્ભવતાં તણાવ બળો અને તેમના ઘટકો દર્શાવ્યા છે.
• સળિયાના ઊદિશામાંના સ્થિર સંતુલન માટે,
  W = T₁ cos θ₁ + T₂ cos θ₂ …………. (1)
• સળિયાના સમક્ષિતિજ દિશામાંના સ્થિર સંતુલન માટે,
  T₁ sin θ₁ = T₂ sinθ₂ ………….. (2)
  ∴ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{\sin \theta_2}{\sin \theta_1}=\frac{\sin (53.1)^{\circ}}{\sin (36.9)^{\circ}}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}\) …………. (3)
• સળિયાની ડાબી બાજુના છેડાથી સળિયાનું ગુરુત્વકેન્દ્ર ‘G’, d
  જેટલા અં તરે છે.
• સળિયાના ગુરુત્વકેન્દ્ર ‘G’ ને અનુલક્ષીને સળિયાના ચાકગતીય સંતુલન માટે,
  T₁ cos θ₁ × d = T₂ cos θ₂ × (2 – d) ………… (4)
  ∴ \(\frac{T_1}{T_2}=\frac{\cos \theta_2}{\cos \theta_1} \times \frac{(2-d)}{d}\) ………….. (5)
  ∴ \(\frac{4}{3}=\frac{\cos (53.1)^{\circ}}{\cos (36.9)^{\circ}} \times \frac{(2-d)}{d}\)
  (∵સમીકરણ (3)નો ઉપયોગ કરતાં)
  ∴ \(\frac{4}{3}=\frac{3}{4} \times \frac{(2-d)}{d}\)
  ∴ 16 d = 9 (2 – d)
  ∴ 16d = 18 – 9d
  ∴ 25d = 18
  ∴ d = \(\frac{18}{25}\)
  ∴ d = \(\frac{18}{25} \times \frac{4}{4}=\frac{72}{100}\)
  ∴ d = 0.72 m = 72 cm

પ્રશ્ન 9.
એક કારનું દળ 1800 kg છે. તેની આગળ અને પાછળની એક્સેલ્સ (ધરીઓ) વચ્ચેનું અંતર 1.8 m છે. તેનું ગુરુત્વકેન્દ્ર આગળની એક્સલથી 1.05 m પાછળ છે. સમતલ જમીન દ્વારા આગળના દરેક પૈડા (વ્હીલ) અને પાછળના દરેક પૈડાં (વ્હીલ) પર લાગતું બળ શોધો.
ઉકેલઃ

• આકૃતિ 7.71માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સમતલ જમીન દ્વારા કારના આગળના બંને પૈડાં પર લાગતું કુલ પ્રતિક્રિયા બળ R_f અને પાછળના બંને પૈડાં પર લાગતું કુલ પ્રતિક્રિયા બળ R_b છે.
• કારના (ઊર્ધ્વદિશામાંના) રેખીય સંતુલન માટે,
  R_f + R_b = W
  = Mg
  = 1800 × 9.8
  ∴ R_f + R_b = 17640 N ………… (1)
• કારના ચાકગતીય સંતુલન માટે,
  R_f X 1.05 = R_b X 0.75 …………. (2)
  ∴. 1.05 R_f = 0.75 (17640 – R) ( સમીકરણ (1)વાપરતાં)
  ∴ 1.8 R_f = 13230
  ∴ R_f = \(\frac{13230}{1.8}\) = 7350 N
  અને R_b = 17640 – R_f = 17640 – 7350 = 10290 N
  ∴ કારના આગળના દરેક પૈડા પર લાગતું બળ = \(\frac{7350}{2}\)
  = 3675 N
  અને કારના પાછળના દરેક પૈડા પર લાગતું બળ = \(\frac{10290}{2}\)
  = 5145 N

પ્રશ્ન 10.
(a) ગોળાના સ્પર્શકને અનુલક્ષીને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો. ગોળાના કોઈ પણ વ્યાસને અનુલક્ષીને ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા 2 MR²/5 છે તેમ આપેલ છે. જ્યાં, M એ ગોળાનું દળ અને R એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
(b) Mદળ અને R ત્રિજ્યાની એક તકતીની તેના કોઈ પણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા MR²/4 છે. તકતીને લંબ અને તેની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધો.
ઉકેલ:
(a)

અહીં, ગોળાના કોઈ પણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I_{વ્યાસ} એટલે કે તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા.
જો ગોળાના સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I_{સ્પર્શક}, હોય તો સમાંતર અક્ષોના પ્રમેય પરથી,
I_{સ્પર્શક} = I_{વ્યાસ} + MR²
= \(\) + MR²
= \(\frac{7}{5}\)MR²

(b)

• તકતીની તેના કોઈ પણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I_{વ્યાસ} એટલે તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા.
• X અને Y અક્ષો તકતીના વ્યાસ પર હોવાથી, I_x = I_{વ્યાસ} અને I = I_{વ્યાસ} થાય.
• હવે, લંબઅક્ષોના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં,
  I_Z = I_X + I_Y
  = I_{વ્યાસ} + I_{વ્યાસ}
  = 2I_{વ્યાસ}
  = 2(\(\frac{1}{4}\)MR²) = \(\frac{1}{2}\) MR²
• જો I_ધાર એ તેની ધાર પરના બિંદુમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા હોય, તો સમાંતર અક્ષોના પ્રમેય પરથી,
  I_ધાર = I_Z + Ma²
  = \(\frac{1}{2}\) MR² + MR²
  = \(\frac{3}{2}\) MR²

પ્રશ્ન 11.
સમાન દળ અને સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા એક પોલા નળાકાર અને ઘન ગોળા પર સમાન મૂલ્યનું ટૉર્ક લાગુ પાડેલ છે. નળાકાર તેની પ્રમાણભૂત સંમિત અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરવા માટે મુક્ત છે અને ગોળો એ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. આપેલ સમય પછી બંનેમાંથી કોણ વધુ કોણીય ઝડપ પ્રાપ્ત કરશે?
ઉકેલ:
અહીં, આપેલ પોલા નળાકાર અને ઘન ગોળાના દળ M અને ત્રિજ્યા R બંને સમાન છે.

• સંમિત અક્ષને અનુલક્ષીને પોલા નળાકારની જડત્વની ચાકમાત્રા I₁ = MR² અને સંમિત અક્ષને અનુલક્ષીને ઘન ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા I₂ = \(\frac{2}{5}\)MR².
• બંને પર સમાન મૂલ્યનું ટૉર્ક τ લગાડવામાં આવે છે. તેથી પોલા નળાકારમાં ઉદ્ભવતો કોણીય પ્રવેગ α₁ અને ઘન ગોળામાં ઉદ્ભવતો કોણીય પ્રવેગ α₂ હોય, તો τ = I₁α₁ = I₂α₂ થાય.
  ∴ \(\frac{\alpha_1}{\alpha_2}=\frac{I_2}{I_1}\)
  = \(\frac{\frac{2}{5} M R^2}{M R^2}=\frac{2}{5}\)
  ∴ α₂ = \(\frac{5}{2}\)α₁ = 2.5 α₁ ………….. (1)
• હવે, જો (સમાન) ટૉર્ક લગાડ્યા બાદ t = t સમયને અંતે પોલા નળાકારની કોણીય ઝડપ ω₁ અને ઘન ગોળાની કોણીય ઝડપ ω₂ હોય, તો
  ω₁ = ω₀ + α₁t …………. (2)
  અને
  ω₂ = ω₁ = ω₀ + α₁t + α₂t
  ω₀ = (ω2.5α₁)t ……………. (3)
• સમીકરણ (2) અને (3) પરથી સ્પષ્ટ છે કે ω₂ > ω₁ થાય.
• આમ, પોલા નળાકાર અને ઘન ગોળા બંને પર સમાન ટૉર્ક લગાડ્યા બાદ, આપેલ સમયને અંતે (અથવા t = t સમયને અંતે) ઘન ગોળાની કોણીય ઝડપ, પોલા નળાકારની કોણીય ઝડપ કરતાં વધુ હશે.
  નોંધ : જો પોલા નળાકાર અને ઘન ગોળા બંનેની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ ω₀ = 0 લેવામાં આવે તો ω₂ = 2.5 ω₁ અને અશૂન્ય પણ સમાન લેવામાં આવે, તો ω₂ = ω₁ + 1.5 α₁t થાય.
  આમ, આ બંને કિસ્સામાં પણ ω₂ > ω₁ મળે છે.

પ્રશ્ન 12.
20 kg દળનો એક નક્કર નળાકાર તેની અક્ષને અનુલક્ષીને 100 rad s^-1 કોણીય ઝડપથી પરિભ્રમણ કરે છે. આ નળાકારની ત્રિજ્યા 0.25 m છે. આ નળાકારની ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલ ગતિ- ઊર્જા કેટલી હશે? તેની અક્ષને અનુલક્ષીને આ નળાકારના કોણીય વેગમાનનું માન કેટલું હશે?
ઉકેલ:
અહીં, M = 20 kg; ω = 100 rad s^-1;
R = 0.25 m; K_r = ?, L = ?

• આપેલ નક્કર નળાકારની તેની સંમિત અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I = \(\frac{1}{2}\)MR² = \(\frac{1}{2}\) × 20 × (0.25)²
  = 0.625 kg m²
• નક્કર નળાકારની ચાકગતિ સાથે સંકળાયેલ ગતિ-ઊર્જા એટલે તેની ચાકગતીય ગતિ-ઊર્જા,
  K_r = \(\frac{1}{2}\) I ω²
  = \(\frac{1}{2}\) × (0.625) × (100)²
  = 3125J
• નક્કર નળાકારની સંમિત અક્ષને અનુલક્ષીને કોણીય વેગમાન,
  L = Iω
  = 0.625 × 100
  = 62.5 N m s (અથવા kg m² s^-1)

પ્રશ્ન 13.
(a) એક બાળક તેના બે હાથ પહોળા કરીને ટર્નટેબલના કેન્દ્ર પર ઊભો છે. ટર્નટેબલ એ 40 rot/minની કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે. જો આ બાળક તેના હાથને પાછા વાળે અને તેનાથી તે તેની જડત્વની ચાકમાત્રાનું મૂલ્ય ઘટાડીને તે તેની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રાના મૂલ્યના 2/5 ગણું કરે, તો તેની કોણીય ઝડપ કેટલી થશે? ટર્નટેબલ ઘર્ષણ રહિત ફરે છે એમ ધારો.
(b) દર્શાવો કે, બાળકના પરિભ્રમણની નવી ગતિ-ઊર્જા તેના પ્રારંભિક પરિભ્રમણની ગતિ-ઊર્જા કરતાં વધુ છે.
ગતિ-ઊર્જામાં થતો આ વધારો તમે કેવી રીતે સમજાવશો?
ઉકેલ:
અહીં, પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ ω₁ = 40 rpm અને અંતિમ જડત્વની ચાકમાત્રા I₂ = \(\frac{2}{5}\)I₁ આપેલ છે. જ્યાં, I₁ = પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા છે.

(a) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
I₁ω₁ = I₂ω₂
∴ I₁ × 40 = \(\frac{2}{5}\)I₁ω₂
∴ ω₂ = 100 rpm = 100 rot/min
અથવા ω₂ = 100 × \(\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{60 \mathrm{~s}}\)
= \(\frac{10}{3}\) π rad/s
= 10.46 rad/s

(b) પ્રારંભિક ચાકગતિ-ઊર્જા,
K₁ = \(\frac{1}{2}\)I₁ω₁² = \(\frac{1}{2}\) × I₁ × (40)² = 800 I₁
નવી (અંતિમ) ચાકગતિ-ઊર્જા,
K₂ = \(\frac{1}{2}\)I₂ω₂² = \(\frac{1}{2}\)
× (\(\frac{2}{5}\)I₁) × (100)² = 2000 I₁

= \(\frac{5}{2}\) = 2.5
∴ K₂ = 2.5 K₁
આમ, નવી (અંતિમ) ચાકગતિ-ઊર્જા એ પ્રારંભિક ચાકગતિ- ઊર્જા કરતાં 2.5 ગણી છે. (અર્થાત્ વધુ છે.)
ચાક-ગતિઊર્જામાં થતા વધારાની સમજૂતી :
ચાકગતિ-ઊર્જામાં થતો આ વધારો બાળકની આંતરિક ઊર્જાને લીધે થાય છે, જે બાળક પોતાના પહોળા કરેલા (ખેંચેલા) હાથને પાછા વાળવા માટે વાપરે છે ત્યારે દેખા દે છે.

પ્રશ્ન 14.
3 kg દળ અને 40 cm ત્રિજ્યાના એક પોલા નળાકાર ફરતે અવગણ્ય દળનું એક દોરડું વીંટાળેલ છે. જો આ દોરડાને 30 N બળથી ખેંચવામાં આવે, તો આ નળાકારનો કોણીય પ્રવેગ કેટલો હશે? દોરડાનો રેખીય પ્રવેગ કેટલો હશે?
એમ ધારો કે, અહીં દોરડું સરકતું નથી.
ઉકેલ:
અહીં, M = 3 kg; R = 40 cm = 0.4 m; F = 30 N; α = ?; a = ?

• પોલા નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષ(સંમિત અક્ષ)ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I = MR² = 3 × (0.40)² = 0.48 kg m²
• પોલા નળાકાર પર લાગતું ટૉર્ક,
  τ = RF sin 90° (∵ \(\vec{R}\) અને \(\vec{F}\) વચ્ચેનો ખૂણો θ = 90° )
  = RF
  = 0.40 × 30
  = 12 Nm
• કોણીય પ્રવેગ (મૂલ્ય) α = \(\frac{\tau}{I}\)
  = \(\frac{12}{0.48}\) = 25 rad s^-2
• રેખીય પ્રવેગ (મૂલ્ય) α = Rα
  = 0.4 × 25
  = 10 ms^-2
  અથવા
  રેખીય પ્રવેગ (મૂલ્ય) α =
  = \(\frac{30}{3}\)
  = 10ms^-2

મહત્ત્વની નોંધ :
રેખીય પ્રવેગ (સદિશ) \(\vec{a}=\overrightarrow{a_{\mathrm{r}}}+\overrightarrow{a_{\mathrm{t}}}\) હોય છે.
જ્યાં, \(\overrightarrow{a_{\mathrm{r}}}=\vec{\omega} \times \vec{v}=\vec{a}\) નો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક
\(\overrightarrow{a_{\mathrm{t}}}=\vec{\alpha} \times \vec{r}=\vec{a}\) નો સ્પર્શીય ઘટક
∴ સ્થિર પરિભ્રમણ અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકતિ કરતા દઢ પદાર્થના રેખીય પ્રવેગનું મૂલ્ય,
\(|\vec{a}|=\sqrt{a_{\mathrm{r}}^2+a_{\mathrm{t}}^2}\)
= \(\sqrt{(\omega v)^2+(\alpha r)^2}\)
(∵ |\(\vec{\omega} \times \vec{v}\)| = ωυ sin 90° = ωυ = અને
|\(\vec{\alpha} \times \vec{r}\)| = α r sin 90° = αr)
હવે, જો υ = 0 હોય, (જેમ કે, અહીં સ્વાધ્યાય (14) માં દોરડું નળાકાર પર સરકતું નથી. તેથી υ = 0 થાય.) તો α = αr થાય છે.

પ્રશ્ન 15.
એક રોટરની 200 rad ^-1 એકસમાન કોણીય ઝડપ જાળવવા માટે તેના એન્જિન વડે 180Nm ટૉર્ક પ્રસ્થાપિત કરવું આવશ્યક છે. આ માટે એન્જિનને કેટલો પાવર આવશ્યક છે?
(નોંધ : ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં એકસમાન કોણીય વેગ એટલે શૂન્ય ટૉર્ક, વ્યવહારમાં, ઘર્ષણવાળા ટૉર્કનો સામનો કરવા માટે લગાડવા પડતાં ટૉર્કની જરૂરિયાત છે.)
એમ ધારો કે, એન્જિન 100 % કાર્યક્ષમ છે.
ઉકેલ:
અહીં, ω = 200 rad s^-1; τ = 180 N m
પાવર P = τ ω
= 180 × 200
= 36000 W = 86 kW

પ્રશ્ન 16.
R ત્રિજ્યાની એકસમાન તકતીમાંથી, R/2 ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર છિદ્રને કાપવામાં આવે છે. આ છિદ્રનું કેન્દ્ર મૂળ ડિસ્કના કેન્દ્રથી R/2 અંતરે છે. પરિણામી સપાટ પદાર્થનું ગુરુત્વકેન્દ્ર શોધો.
ઉકેલ:

• સંમિતિ (Symmetry) ધરાવતા નાના પદાર્થનું ગુરુત્વકેન્દ્ર અને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) એક જ હોય છે.
• ધારો કે, આપેલ R ત્રિજ્યાની (મૂળ) તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ દળ σ છે. અર્થાત્ મૂળ તકતીની દ્રવ્યમાનની પૃષ્ઠ ઘનતા σ છે.
  ∴ મૂળ તકતીની દ્રવ્યમાનની પૃષ્ઠ ઘનતા,
  
• તેથી R ત્રિજ્યાની (મૂળ) તકતીનું દળ = m₁ = πR² σ થાય અને મૂળ તકતીના CMનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_1}\) = (0, 0) છે.
• હવે, કાપી લીધેલ R/2 ત્રિજ્યાની તકતીનું દળ,
  m₂ = π(\(\frac{R}{2}\))² σ = \(\frac{\pi R^2 \sigma}{4}=\frac{m_1}{4}\) થાય તથા તેના CM નો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_1}\) = (\(\frac{R}{2}\), 0) છે.
• R/2 ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર તકતી, R ત્રિજ્યાની મૂળ તકતીમાંથી દૂર કર્યા બાદ બાકી રહેતા સપાટ ભાગનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) નીચેના સૂત્રથી શોધી શકાય છેઃ
  બાકી રહેલ ભાગના CMનો સ્થાનસદિશ,
  \(\overrightarrow{r_{\mathrm{cm}}}=\frac{m_1 \overrightarrow{r_1}-m_2 \overrightarrow{r_2}}{m_1-m_2}\)
  જ્યાં, m₁ = R ત્રિજ્યાની મૂળ તકતીનું દળ અને
  m₂ = કાપી લીધેલ R/2 ત્રિજ્યાની તકતીનું દળ

આમ, બાકી રહેલ સપાટ ભાગનું ગુરુત્વકેન્દ્ર અર્થાત્ અહીં દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર X-અક્ષ પર અર્થાત્ કાપેલા ભાગના કેન્દ્રથી વિરુદ્ધ બાજુએ ઉગમબિંદુથી \(\frac{R}{6}\) અંતરે હશે.

પ્રશ્ન 17.
એક મીટર-પટ્ટી તેના મધ્યે છરીની ધાર પર સંતુલિત છે. જ્યારે એવા બે સિક્કા કે જે દરેકનું દળ 5g છે તેમને 12 cm ના નિશાન પર એકબીજાની ઉપર મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે આ પટ્ટી 45.0 cm પર સંતુલિત થાય છે. આ મીટર-પટ્ટીનું દ્રવ્યમાન કેટલું હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, મીટર-પટ્ટીનું કુલ દળ M g છે.

• મીટર-પટ્ટીના મધ્યબિંદુ E (જૂનું ગુરુત્વકેન્દ્ર અથવા આધારબિંદુ) અને નવા ગુરુત્વકેન્દ્ર D વચ્ચેનું અંતર = DE = 50 – 45 = 5 cm
• 12 cmનું નિશાન અને નવા ગુરુત્વકેન્દ્ર D વચ્ચેનું અંતર = CD = 45 – 12 = 33 cm
• હવે, મીટર-પટ્ટીના સ્થિર સંતુલન માટે ચાકમાત્રાનો સિદ્ધાંત
  વાપરતાં,
  Mg × DE = (2 × 5 g) × CD
  ∴ M × 5 = 10 × 33
  ∴ M = 66 g

પ્રશ્ન 18.
એક ઘન ગોળો એક જ ઊંચાઈના અલગ અલગ નમન- કોણ ધરાવતા બે ઢળતા સમતલ પરથી ગબડે છે.
(a) શું તે દરેક કિસ્સામાં સમાન ઝડપ સાથે નીચે પહોંચશે?
(b) શું એક સમતલ કરતાં બીજા સમતલ પર વધુ સમય લેશે? (૨) જો એમ હોય, તો કયા સમતલ પર અને શા માટે?
ઉકેલ:
(a)
h ઊંચાઈના ઢાળના તળિયે, ઢાળની ટોચ પરથી vo = 0 સાથે સરક્યા વિના ગબડીને આવતા R ત્રિજ્યા અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતાં સંમિત પદાર્થ માટે ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

સમીકરણ (1) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ઢાળના તળિયે પહોંચતા ઘન ગોળાની ઝડપ માત્ર ઢાળની ઊંચાઈ h પર આધારિત છે, તે નમનકોણ θ પર આધારિત નથી.
તેથી બંને કિસ્સામાં ઘન ગોળો સમાન ઝડપ સાથે ઢાળના તળિયે પહોંચશે.

(b)

આકૃતિ 7.76 પરથી સ્પષ્ટ છે કે, જે સમતલનો નમનકોણ θ નાનો છે તેની લંબાઈ વધુ છે. તેથી સમતલ AB પર, સમતલ ACની સાપેક્ષે સરક્યા વિના ગબડીને તળિયે પહોંચવા ઘન ગોળો વધુ સમય લેશે.

(c) આકૃતિ 7.76માં દર્શાવેલ સમતલ AB અને AC પૈકી, AB સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડીને ઢાળના તળિયે પહોંચવા માટે ઘન ગોળો વધારે સમય લેશે તેનું કારણ નીચે મુજબ છે :

• h ઊંચાઈના ઢાળના તળિયે, ઢાળની ટોચ પરથી υ₀ = 0 સાથે સરક્યા વિના ગબડીને આવતા R ત્રિજ્યા અને k ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતા સંમિત પદાર્થનો ઢાળની સપાટીને સમાંતર રેખીય પ્રવેગ,
  a = \(\frac{g \sin \theta}{1+\frac{k^2}{R^2}}\) ……….. (2)
  હીચ છે.
• અહીં, (AC સમતલનો નમનકોણ θ₂) > (AB સમતલનો નમનકોણ θ₁) છે.
  ∴ sin θ₂ > sin θ₁ થાય.
  ∴ a₂ > a₁ (∵ સમીકરણ (2) વાપરતાં)
• પણ, અચળ પ્રવેગી ગતિના સમીકરણ υ = υ₀ + at પરથી અહીં υ₀ = 0 હોવાથી υ = at થાય. પણ બંને કિસ્સામાં અંતિમ ઝડપ υ સમાન છે; તેથી t ∝\(\frac{1}{a}\) થાય.
  ∴ AB સમતલ માટે t₁ ∝\(\frac{1}{a_1}\) અને સમતલ AC માટે
  t₂ ∝\(\frac{1}{a_2}\) પરથી, t₁ > t₂ (∵ a₂ > a₁ છે.)
• આમ, AB સમતલ પર, AC સમતલની સાપેક્ષે સરક્યા વિના ગબડીને ઢાળના તળિયે આવવા માટે ઘન ગોળાને વધુ સમય લાગશે જે સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 19.
2 m ત્રિજ્યાના એક વલયનું દળ 100 kg છે. તે એક સમક્ષિતિજ સપાટી પર એવી રીતે ગબડે છે કે જેથી તેના દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રની ઝડપ 20 cm /s હોય, તેને રોકવા માટે કેટલું કાર્ય કરવું પડે?
ઉકેલ:
અહીં, વલયની (એટલે કે રિંગની) ત્રિજ્યા R = 2 m; વલયનું (રિંગનું) દળ M 100 kg; વલયના (રિંગના) CMની ઝડપ υ_cm = 20 cm s^-1 = 0.2 m s^-1.

• કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં, વલયને રોકવા માટે કરવું પડતું કાર્ય W = વલયની કુલ ગતિ-ઊર્જા K_total, કારણ કે વલયની અંતિમ કુલ ગતિ-ઊર્જા તો શૂન્ય થશે.
• આમ,
  વલયને રોકવા માટે કરવું પડતું કાર્ય,
  W = K_total = K_t + K_r
  = \(\frac{1}{2}\) Mυ_cm² + \(\frac{1}{2}\) Iω²
  = \(\frac{1}{2}\) Mυ_cm² + \(\frac{1}{2}\) × MR² × (\(\frac{v_{\mathrm{cm}}}{R}\))²
  = \(\frac{1}{2}\) Mυ_cm² + \(\frac{1}{2}\) Mυ_cm²
  = Mυ_cm²
  = 100 × (0.2)²
  = 4J

પ્રશ્ન 20.
ઑક્સિજન અણુનું દ્રવ્યમાન 5.30 × 10^-26 kg અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી તેના બે અણુઓને જોડતી રેખાને લંબ એવી અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા 1.94 × 10^-46 kg m² છે. ધારો કે, કોઈ ગૅસમાં આવા અણુની સરેરાશ ઝડપ 500m/s છે અને તેના પરિભ્રમણની ગતિ-ઊર્જા એ તેના સ્થાનાંતરણની ગતિ- ઊર્જાથી બે-તૃતીયાંશ છે, તો અણુનો સરેરાશ કોણીય વેગ શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, m = 5.30 × 10^-26 ‘ kg;
I = 1.94 × 10^-46 kg m²; υ = 500 m s^-1છે.
તથા
અણુની પરિભ્રમણની (ચાકગતિની) ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{2}{3}\) (અણુની સ્થાનાંતરણની (રેખીય) ગતિ-ઊર્જા) આપેલ છે. અર્થાત્
K_r = \(\frac{2}{3}\) × K_t
∴ \(\frac{1}{2}\)Iω² = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{1}{2}\)mυ²
∴ ω² = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{m v^2}{I}\)
∴ ω = υ × \(\sqrt{\frac{2 m}{3 I}}\)
= 500 × \(\sqrt{\frac{2 \times 5.30 \times 10^{-26}}{3 \times 1.94 \times 10^{-46}}}\)
= 500 × \(\sqrt{1.82 \times 10^{20}}\)
= 500 × 1.35 × 10¹⁰
= 6.75 × 10¹² rad s^-1

પ્રશ્ન 21.
30ના ખૂણે નમેલા એક ઢળતા પાટિયા ઉપર એક નક્કર નળાકાર ગબડીને ઉપર તરફ જાય છે. આ ઢળતા પાટિયાના તળિયે નળાકારનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર 5m/sની ગતિ ધરાવે છે.
(a) નળાકાર આ ઢળતા પાટિયા પર કેટલો ઉપર જશે?
(b) તળિયે પાછા આવવા માટે તેને કેટલો સમય લાગશે?
ઉકેલ:
અહીં, θ = 30°
ઢળતા પાટિયાના તળિયે નક્કર નળાકારના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો વેગ 5 m s^-1 આપેલ છે, તેનો અર્થ –
(i) ઢળતા પાટિયા પર ઉપર તરફ જતી વખતે 5m s^-1 તેનો પ્રારંભિક વેગ u કહેવાય અને
(ii) ઢળતા પાટિયા પર h ઊંચાઈએથી નીચે તરફ આવતી વખતે 5 m s^-1 તેનો અંતિમ વેગ υ કહેવાય.

(a) જ્યારે નક્કર નળાકાર h ઊંચાઈના ઢાળ પ૨ સરક્યા વિના ગબડીને ઉપર તરફ જાય છે, ત્યારે h જેટલી ઊંચાઈએ, તે mgh જેટલી ગુરુત્વીય સ્થિતિ-ઊર્જા, તેની સ્થાનાંતરીય ગતિ-ઊર્જા અને ચાકગતીય ગતિ-ઊર્જાના ભોગે મેળવે છે. તેથી ઊર્જા-સંરક્ષણના નિયમ પરથી,

જ્યારે નક્કર નળાકાર h જેટલી ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે ત્યારે ધારો કે, તે ઢાળ પર ‘s’ જેટલું અંતર ઉપર તરફ કાપે છે. જો ઢાળનો નમનકોણ θ હોય, તો

આમ, નક્કર નળાકાર ઢળતા પાટિયા પર 3.826m જેટલું અંતર ઉપર તરફ જશે.

(b) ઢાળને સમાંતર, R ત્રિજ્યા અને k ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતા સંમિત પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ –

= 1.53 s
અથવા
υ = u + at પરથી,
t = \(\frac{(v-u)}{a}\)
પણ, અહીં u = : 0;
υ = 5 m s^-1;
a = 3.27 m s^-2
∴ t = (\(\frac{5-0}{3.27}\))
= 1.53 s
હવે, નક્કર નળાકાર માટે
(ઢાળ પર ઉપર ચડવાનો સમય = ઢાળ પર નીચે ઉતરવાનો સમય)
∴ નક્કર નળાકારને ઢાળની ઉપર તરફ જઈને તળિયે પાછા આવવા માટે લાગતો કુલ સમય,
T = t + t = 2t
= 2 × 1.53
= 3.06 s

પ્રશ્ન 22.
આકૃતિ 7.77માં બતાવ્યા પ્રમાણે BA અને CA બે બાજુઓ કે જેની લંબાઈ 1.6 મીટર છે તેવી એક નિસરણીને A પર લટકાવેલ છે. 0.5mના એક દોરડા DEને નિસરણીની અધવચ્ચે બાંધેલ છે. BA બાજુ સાથે B થી 1.2 m પર 40 kg વજન એક બિંદુ F થી લટકાવવામાં આવેલ છે. ભોંયતળિયાને ઘર્ષણ રહિત ધારીને અને નિસરણીના વજનની અવગણના કરીને, દોરડામાંનો તણાવ અને નિસરણી પર ભોંયતળિયા દ્વારા લગાડવામાં આવેલાં બળ શોધો. (g = 9.8 m/s લો.)
(સૂચના : નિસરણીની દરેક બાજુનું સંતુલન અલગ અલગ ધ્યાનમાં લો.)

ઉકેલઃ

• આકૃતિ 7.78માં નિસરણીના વિવિધ ભાગો પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યાં છે. દોરડા DEમાં પ્રવર્તતું તણાવ બળ T છે તથા ભોંયતળિયા વડે નિસરણી પર લાગતાં લંબપ્રતિક્રિયા બળો R અને R છે.
• આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ΔAFM, ΔADN અને ΔABO ત્રણેય સમરૂપ ત્રિકોણો છે.
  ∴ \(\frac{A F}{F M}=\frac{A D}{D N}=\frac{A B}{B O}\) થાય.
  ∴ \(\frac{0.4}{F M}=\frac{0.8}{0.25}=\frac{1.6}{B O}\)
  તેથી FM = \(\frac{0.25 \times 0.4}{0.8}\)
  ∴ FM = 0.125 m ……….. (1)
  અને BO = \(\frac{1.6 \times 0.25}{0.8}\)
  ∴ BO = 0.5 m …………….. (2)
• તદ્ઉપરાંત, ફરીથી ΔADN અને ΔABO સમરૂપ ત્રિકોણો હોવાથી,
  \(\frac{A N}{A D}=\frac{A O}{A B}\) થાય.
  ∴ AN = (\(\frac{A O}{A B}\)) × AD
  = (\(\frac{A O}{1.6}\)) × 0.8
  ∴ AN = \(\frac{A O}{2}\)
  ∴ AO = 2 AN ……………. (3)
  પણ
  AO = \(\sqrt{A B^2-B O^2}\)
  = \(\sqrt{(1.6)^2-(0.5)^2}\)
  = 1.5198 m
  ∴ AN = \(\frac{1.5198}{2}\) ( સમીકરણ (3) વાપરતાં)
  ∴ AN = 0.76 m ………….. (4)
  હવે, NO = AO – AN છે.
  ∴ NO = 2AN – AN થાય.
  ∴ NO = AN
  ∴ NO = 0.76 m ……………. (5)
  લંબપ્રતિક્રિયા બળો R₁ અને R₂ શોધતાં :
• નિસરણીની શિરોલંબ ઊર્ધ્વદિશામાંની સ્થિર સંતુલિત સ્થિતિ માટે,
  R₁ + R₂ = mg = 40 × 9.8 થાય.
  ∴ R₁ + R₁ = 392 N …………. (6)
• નિસરણીની ચાકગતીય સ્થિર સંતુલિત સ્થિતિ માટે બિંદુ Oની સાપેક્ષે નિસરણી પર પ્રવર્તતા ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.
  ∴ R₁ × OB – R₂ × OC – 392 × FM = 0 (∵ mg = 392 N)
  ∴ 0.5 R₁ – 0.5 R₂ – 392 × 0.125 = 0
  ∴ R₁ – R₂ = 98 N …….. (7)
• સમીકરણ (6) અને (7)નો સરવાળો કરતાં,
  2R₁ = 490
  ∴ R₁ = 245 N
  અને સમીકરણ (6) પરથી, R₂ = 147 N
  દોરડા DEમાં તણાવ બળ T શોધતાં :
  AC બાજુનું બિંદુ Oની સાપેક્ષે ચાકગતીય સ્થિર સંતુલન લેતાં, R₂ × OC = T × ON થાય.
  ∴ T = \(\frac{R_2 \times O C}{O N}=\frac{147 \times 0.5}{0.76}\)
  ∴ T = 96.7 N

પ્રશ્ન 23.
એક વ્યક્તિ ઘૂમતા પ્લૅટફૉર્મ પર ઊભી છે. તેના સમક્ષિતિજ ટટ્ટાર રાખેલ દરેક હાથમાં 5 kg દળ ધરાવે છે. પ્લૅટફૉર્મની કોણીય ઝડપ 80 પરિભ્રમણ પ્રતિમિનિટ છે. આ વ્યક્તિ તેના બંને હાથ તેના શરીરની નજીક લાવે છે. જેના કારણે દરેક દળનું અક્ષથી અંતર 90 cmથી બદલાઈને 20 cm થાય છે. આ વ્યક્તિની પ્લૅટફૉર્મ સાથેની જડત્વની ચાકમાત્રા 7.6 kg m² જેટલી અને અચળ લેવામાં આવે છે.
(a) તેમની નવી કોણીય ઝડપ કેટલી હશે? (ઘર્ષણ અવગણો.)
(b) શું ગતિ-ઊર્જા આ પ્રક્રિયામાં સંરક્ષિત છે? જો ના, તો આ પરિવર્તન ક્યાંથી આવે છે?
ઉકેલ:
માત્ર (વ્યક્તિ + પ્લૅટફૉર્મ)ની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I’ = 7.6 kg m²

• જ્યારે વ્યક્તિ પોતાના હાથમાં 5 kg દળ લઈને તેને તેના શરીરથી 90 cm જેટલા અંતરે રાખેલું હોય ત્યારે માત્ર આ દળ વડે રચાતા તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I” = m₁ r₁² + m₂r₂²
  = mr₁² + mr₁² (∵ m₁ = m₂ = m અને r₁ = r₂)
  = 2mr₁²
  = 2 × 5 × (0.9)² (∵ પ્રારંભમાં r₁ = 90 cm = 0.9m)
  = 8.1 kg m²
  ∴ પ્રારંભમાં સમગ્ર તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I₁ = I’ + I” = 7.6 + 8.1 = 15.7 kg m²
• હવે, જ્યારે વ્યક્તિ પોતાના હાથમાં રાખેલા દળને પોતાના શરીરની નજીક લાવી 20 cm જેટલા અંતરે ગોઠવે ત્યારે માત્ર આ દળ વડે રચાતા તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I”’ = mr₂² + mr₂²
  = 2 m₂²
  = 2 × 5 × (0.2)² (∵અંતમાં r₂ = 20 cm = = 0.2 m)
  0.4 kg m²
  ∴ અંતિમ સ્થિતિમાં સમગ્ર તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I₂ = I’ + I”’ = 7.6 + 0.4 = 8 kg m²
• અહીં, સમગ્ર તંત્રની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ ω₁ = 30 rotation (minute)^-1 આપેલ છે. અંતિમ (નવી) કોણીય ઝડપ ω₂ = ?

(a) અહીં સમગ્ર તંત્ર પર (પ્રક્રિયા દરમિયાન) કોઈ બાહ્ય ટૉર્ક પ્રવર્તતું ન હોવાથી,
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,
I₁ω₁ = I₂ω₂ થાય.
∴ ω₂ = \(\frac{I_1 \omega_1}{I_2}\)
= \(\frac{15.7 \times 30}{8}\)
= 58.88 rotation (minute)^-1
≈ 59 rotation (minute)^-1
અથવા
ω₂ = 59.0 × \(\frac{2 \pi}{60}\) rad s^-1
= 6.18 rad s^-1

(b) હવે,

આમ, અહીં > \(\frac{K_2}{K_1}\) છે. ∴ K₂ > K₁ થાય.
ટૂંકમાં, અંતિમ ગતિ-ઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જાથી લગભગ બમણી છે. તેથી ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી.
ગતિ-ઊર્જામાં જોવા મળતું પરિવર્તન ઃ
વ્યક્તિને પોતાના હાથને શરીર પાસે લાવવા માટે કાર્ય કરવું પડે છે, જે તે પોતાની આંતરિક ઊર્જા વાપરીને કરે છે. તેથી ગતિ- ઊર્જામાં વધારો થાય છે.

પ્રશ્ન 24.
10 g દળની એક બંદૂકની ગોળી(બુલેટ)ને 500 m s^-1 જેટલી ઝડપે બારણા પર છોડવામાં આવે છે અને તે બારણાની બરાબર મધ્યમાં જડાઈ જાય છે. બારણું 1.0 m પહોળું છે અને તેનું દળ 12 kg છે. તે એક છેડેથી લટકાવેલ છે અને તે લગભગ ઘર્ષણ વિના એક શિરોલંબ અક્ષ ફરતે ભ્રમણ કરે છે. તેમાં બુલેટ જડત થયા પછી બારણાની તત્કાલીન કોણીય ઝડપ શોધો.
(સૂચના : એક છેડાની ઊર્ધ્વઅક્ષને અનુલક્ષીને બારણાના જડત્વની ચાકમાત્રા Mb²/3 છે.)
ઉકેલ:
ગોળી(બુલેટ)નું દળ m = 10g = 0.01 kg;
ગોળીની પ્રારંભિક રેખીય ઝડપ υ = 500 m s^-1;
બારણાનું દળ M = 12 kg;
બારણાની પહોળાઈ b = 1.0 m
ગોળી બારણામાં જિડત થયા પછી બારણાની તત્કાલીન કોણીય ઝડપ ω = ?
ગોળી બારણામાં જડિત થયા પછી :

• ગોળી બારણાને અથડાયા બાદ બારણાની બરાબર મધ્યમાં જડિત થાય છે અને સ્થિર થાય છે તથા બારણું તેની ઊર્ધ્વ-ધાર(અક્ષ)ને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરે છે.
• હવે, (ગોળી + બારણા)થી બનેલા તંત્રની બારણાની ઊર્ધ્વઅક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I = (માત્ર ગોળીના દળને લીધે જડત્વની ચાકમાત્રા) + (બારણાની પોતાના દળના કારણે જડત્વની ચાકમાત્રા)
  ∴ I = m(\(\frac{b}{2}\))² + \(\frac{M b^2}{3}\)
  = \(\frac{m b^2}{4}+\frac{M b^2}{3}\)
  = \(\frac{b^2}{12}\)(3m + 4M)
  = \(\frac{(1.0)^2}{12}\) (3 × 0.01 + 4 × 12)
  = \(\frac{1}{12}\) (48.03)
  = 4.0025 kg m²
  ≈ 4 kg m²
• બારણાની ઊર્ધ્વઅક્ષથી જે લંબઅંતરે ગોળી બારણામાં જિડત થાય છે, તે અંતર

• હવે, ગોળી જ્યારે બારણાને અથડાય છે, ત્યારે ગોળી દ્વારા બારણાને અપાતું કોણીય વેગમાન,
  L = mυr (∵ \(\vec{r} \perp m \vec{v}\))
  = 0.01 × 500 × 0.5
  = 2.5 kg m² s^-1
  → બારણાને મળતું કોણીય વેગમાન,
  L = Iω
  ∴ ω = \(\frac{L}{I}=\frac{2.5}{4}\) = 0.625 rad s^-1

પ્રશ્ન 25.
બે તકતી કે જેમની તેમની સંબંધિત અક્ષો(તકતીને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા હોય છે)ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I₁ અને I₂ તેઓ ω₁ અને ω₂ જેટલી કોણીય ઝડપે ભ્રમણ કરે છે. તેમને તેમના પરિભ્રમણ અક્ષો સંપાત થાય તેમ એકબીજાના
સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે.
(a) આ બે તકતી વડે રચાતા તંત્રની કોણીય ઝડપ કેટલી હશે?
(b) દર્શાવો કે, સંયુક્ત તંત્રની ગતિ-ઊર્જા એ બે તકતીની પ્રારંભિક ગતિ-ઊર્જાના સરવાળા કરતાં ઓછી છે.
ઊર્જામાં થતાં આ ઘટાડાને તમે કેવી રીતે સમજાવશો?
ω₁ ≠ ω₂ લો.
ઉકેલઃ
(a) પ્રારંભમાં બે તકતીઓનું કુલ કોણીય વેગમાન,
L = L₁ + L₂
∴ L = I₁ω₁ + I₂ω₂ ………. (1)

• જ્યારે આ બે તકતીઓને તેમના પરિભ્રમણ અક્ષો સંપાત થાય તેમ એકબીજાના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે ત્યારે સંયુક્ત તકતીની (તંત્રની) જડત્વની ચાકમાત્રા = (I₁ + I₂).
• ધારો કે, આ સંયુક્ત તકતીની (તંત્રની) કોણીય ઝડપ છ હોય, તો તંત્રનું કુલ કોણીય વેગમાન,
  L’ = (I₁ + I₂ × ω …………. (2)
• હવે, તંત્ર પર બાહ્ય ટૉર્ક લાગતું ન હોવાથી કોણીય વેગમાન-સંરક્ષણના નિયમ પરથી,
  L’ = L
  ∴ (I₁ + I₂) × ω = I₁ω₁ + I₂ω₂
  ∴ ω = \(\frac{\left(I_1 \omega_1+I_2 \omega_2\right)}{\left(I_1+I_2\right)}\) …………. (3)

(b) પ્રારંભમાં બંને તકતીઓની કુલ ચાકગતીય ઊર્જા,

∴ K₁ – K₂ > 0 લખી શકાય.
∴ K₁ > K₂
∴ સંયુક્ત તકતીની (તંત્રની) ચાકગતીય ઊર્જા K₂, બંને તકતીઓની પ્રારંભિક કુલ ચાકગતીય ઊર્જા કરતાં ઓછી છે, જે સાબિત થાય છે.

ઊર્જામાં થતા ઘટાડાની સમજૂતી :
અહીં, ચાકગતીય ઊર્જામાં થતો ઘટાડો ઉષ્મારૂપે વ્યય પામે છે.
જ્યારે બંને તકતીઓ એકબીજાના ભૌતિક સંપર્કમાં આવે છે ત્યારે ચાકગતિ દરમિયાન તેમની વચ્ચે ઘર્ષણબળ પ્રવર્તે છે, જેના વિરુદ્ધ કાર્ય થાય છે અને ઊર્જા ઉષ્મારૂપે વિખેરિત થાય છે. અહીં તંત્રમાં ઘર્ષણના લીધે પ્રવર્તતું ટૉર્ક એ આંતરિક ટૉર્ક છે. તેથી બાહ્ય ટૉર્કની ગેરહાજરીમાં તંત્રના કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે.

પ્રશ્ન 26.
(a) લંબઅક્ષોનો પ્રમેય સાબિત કરો.
(સૂચના : X-Y સમતલને લંબરૂપે અને ઉદ્ગમ- બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષથી કોઈ એક બિંદુ (×, y)ના અંતરનો વર્ગ x² + y² છે.)
(b) સમાંતર અક્ષોનો પ્રમેય સાબિત કરો.
(સૂચના : જો દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને ઉદ્ગમબિંદુ તરીકે પસંદ કરવામાં આવે, તો Σm_i\(\overrightarrow{r_i}=\overrightarrow{0}\))
ઉકેલઃ
(a) લંબઅક્ષોનો પ્રમેય : કોઈ એક સમતલીય પદાર્થ(લેમિના)ની તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા, તેની સાથે સંગામી અને લેમિનાના સમતલમાં સ્થિત બે લંબઅક્ષોને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રાઓના સરવાળા જેટલી જ હોય છે. અર્થાત્ I_Z = I_X + I_Y જ્યાં, I_Z, I_X અને I_Y એ સમતલીય પદાર્થ(લેમિના)ની અનુક્રમે OZ, OX અને OY અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.

સાબિતી : આકૃતિ 7.79માં દર્શાવ્યા મુજબ એક સમતલીય પદાર્થ (લેમિના) XOY સમતલમાં છે. ધારો કે, આ સમતલીય પદાર્થ ઘણા બધા કણોનો બનેલો છે તથા દરેક કણનું દ્રવ્યમાન m છે.

• હવે, એક m દળવાળો કણ P વિચારો, જેના યામ (x, y) છે.
  સ્પષ્ટ છે કે, OX, Oy અને OZ અક્ષથી આ કણના અંતર અનુક્રમે y, x અને r એટલા છે કે જેથી
  r² = y² + x² …………….. (1) થાય.
• આ કણની X-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા = my²
  ∴ આ સમતલીય પદાર્થની X-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા
  I_X = Σmy²
  તેવી જ રીતે, સમતલીય પદાર્થની Y-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા I_Y = Σmx² થાય.
• હવે, સમતલીય પદાર્થની Z-અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા, I_Z = Σmr²
  = Σm(y² + x²) (∵ સમીકરણ (1))
  = Σmy² + Σmx²
  = I_X + I_Y
  આમ, I_Z = I_X + I_Y સાબિત થાય છે.

(b) સમાંતર અક્ષોનો પ્રમેય ઃ કોઈ પણ અક્ષને અનુલક્ષીને પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી સમાંતર અક્ષને અનુલક્ષીને લીધેલ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા અને તેના દ્રવ્યમાન અને બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેના લંબઅંતરના વર્ગના
ગુણાકારના સરવાળા જેટલી હોય છે. અર્થાત્ I_Z = I_Z + Ma²

જ્યાં, I_Z અને I_Z એ પદાર્થની અનુક્રમે બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી Z’L’ અને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cમાંથી પસાર થતી ZL અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાઓ છે.
M એ પદાર્થનું કુલ દળ અને a એ બે અક્ષો વચ્ચેનું લંબઅંતર છે.
સાબિતી : ધારો કે, I_Z એ બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી M દળના પદાર્થની Z’L’ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અને I_Z એ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C માંથી પસાર થતી અને Z’L’ અક્ષને સમાંતર એવી ZL અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.

• બંને અક્ષો વચ્ચેનું લંબઅંતર a છે.
• હવે, m_i દળનો એક કણ P વિચારો, જે ZL અક્ષથી r_i અને Z’L’ અક્ષથી (r_i + a) અંતરે છે.
• આ કણની Z’L’ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા = m_i (r_i + a)²
  ∴ Z’L’ અક્ષને અનુલક્ષીને સમગ્ર પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા,
  I_Z’ = Σm_i (r_i + a)²
  = Σm_i (r_i² + a² + 2r_i a)
  Σm_ir_i² + Σm_ia + Σ2m_ir_ia
  પણ,
  Σm_ir_i² = I_z
  Σm_ia² = (Σm_i) a² = Ma²
  જયાં, Σm_i = M = સમગ્ર પદાર્થનું દળ
  Σ2m_ir_ia = 2aΣm_ir_i = 2a × 0 = 0
  કારણ કે, પદાર્થ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cને અનુલક્ષીને સંતુલિત હોવાથી, પદાર્થના બધા કણોના દળના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cની સાપેક્ષે ચાકમાત્રાઓનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે, એટલે કે Σm_ir_i = 0 છે. આમ, I_Z’ = I_Z + Ma² સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 27.
ગતિશાસ્ત્રની વિચારધારાનો ઉપયોગ કરીને (એટલે કે, બળો અને ટૉર્કના વિચાર દ્વારા) સાબિત કરો કે, h ઊંચાઈના ઢળતા પાટિયાના તળિયે તેના પરથી ગબડતા પદાર્થ(જેમ કે રિંગ, તકતી, નળાકાર અથવા ગોળા)ના સ્થાનાંતરણ વેગ υ નું મૂલ્ય
υ² = \(\frac{2 g h}{\left(1+k^2 / R^2\right)}\) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નોંધો કે k એ પદાર્થની સંમિત અક્ષને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે અને R પદાર્થની ત્રિજ્યા છે. પદાર્થ તેની ગતિ પાટિયાની ટોચ પરથી સ્થિર અવસ્થામાંથી શરૂ કરે છે.
ઉકેલ:

M દળ, R ત્રિજ્યા અને ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા ધરાવતો એક સંમિત દૃઢ પદાર્થ, θ કોણવાળા ઢાળની ટોચ પરથી υ₀ = 0 સાથે સરક્યા વિના ગબડવાની શરૂઆત કરે છે.

પદાર્થ તેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cમાંથી પસાર થતી સંમિત અક્ષ જે ઢાળની સપાટીને સમાંતર છે, તેને અનુલક્ષીને ચાકગતિ કરે છે.

અહીં, પદાર્થનું વજન Mg તથા તેના ઘટકો તદ્ઉપરાંત લંબપ્રતિક્રિયા બળ Nની કાર્યરેખાઓ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી તેમના દ્વારા પદાર્થ પર લાગતું ટૉર્ક શૂન્ય છે. તેથી દૃઢ પદાર્થ માત્ર તેના પર સ્પર્શીય દિશામાં લાગતાં ઘર્ષણબળ f વડે ઉદ્ભવતા ટૉર્કના લીધે જ ચાકગતિ કરે છે.

દઢ પદાર્થનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર C, ઢાળની સપાટીને સમાંતર સુરેખ પથ પર રેખીય ગતિ કરે છે.

હવે, અહીં દૃઢ પદાર્થ પર લાગતાં બળો નીચે મુજબ છેઃ
(1) પદાર્થનું વજન Mg શિરોલિંબ અધોદિશામાં (પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં)
(2) ઢાળની સપાટીને લંબરૂપે લંબપ્રતિક્રિયા બળ N
(૩) ઢાળની સપાટીને સમાંતર ઉપર તરફ ઘર્ષણબળ f

પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ a ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચે તરફ છે.
પદાર્થની ગતિનાં સમીકરણો નીચે મુજબ થશે :
(a) N – Mg cos θ = 0 ⇒ N = Mg cos θ ……….. (1)
(b) પરિણામી બળ,
F = (Mg sin θ – f) ⇒ Ma = Mg sin θ – f ………. (2)

હવે, માત્ર ઘર્ષણબળ f ને લીધે જ ચાકગતિ કરવા માટે જરૂરી ટૉર્ક પદાર્થ પર લાગે છે.
તેથી, ટૉર્ક = τ = Rf sin 90° (∵ \(\vec{R} \perp \vec{f}\))
∴ I α = Rf (∵ τ = I α છે.)
∴ ƒ = \(\frac{I \alpha}{R}\)
પણ,
I = Mk² અને કોણીય પ્રવેગ α = \(\frac{a}{R}\) (∵ પદાર્થ ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડે છે.)
∴ f = M\(\frac{k^2}{R^2}\)a ……….. (3)

સમીકરણ (2)માં સમીકરણ (3)ની કિંમત મૂકતાં,
Ma = Mg sin θ – M\(\frac{k^2}{R^2}\)a
∴ Ma + \(\frac{M k^2}{R^2}\) a = Mg sin θ
∴ a \(\frac{g \sin \theta}{1+\frac{k^2}{R^2}}\) …………. (4)

ધારો કે, ઢાળની ઊંચાઈ h છે અને પદાર્થ ઢાળ પર સપાટીને સમાંતર s જેટલું (ઢાળની લંબાઈ જેટલું) અંતર કાપીને તળિયે આવે છે અને ત્યાં υ જેટલો રેખીય વેગ પ્રાપ્ત કરે છે, જે નીચે મુજબ શોધી શકાય :
υ² – υ₀² = 2 as
પણ,
= υ₀ છે અને a = \(\frac{g \sin \theta}{1+\frac{k^2}{R^2}}\) છે.

પ્રશ્ન 28.
ω₀ કોણીય ઝડપ સાથે તેની અક્ષને અનુલક્ષીને ભ્રમણ કરતી એક તકતીને સંપૂર્ણ ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર હળવેથી (કોઈ પણ સ્થાનાંતરિત બળ વગર) મૂકવામાં આવે છે. તકતીની ત્રિજ્યા R છે. તકતી પર દર્શાવેલ બિંદુઓ A, B અને Cના રેખીય વેગ કેટલા હશે? શું તકતી આકૃતિ (7.82)માં દર્શાવેલા તીર(→)ની દિશામાં ગબડશે?

ઉકેલ:

• υ = rω સૂત્ર પરથી,
  A બિંદુનો રેખીય વેગ υ_A = Rω₀ આકૃતિમાં દર્શાવેલ તીર(→)ની દિશામાં
  B બિંદુનો રેખીય વેગ υ_B = Rω₀ આકૃતિમાં દર્શાવેલ તીર (→)ની વિરુદ્ધ દિશામાં
  C બિંદુનો રેખીય વેગ υ_C = (\(\frac{R}{2}\))ω₀ આકૃતિમાં દર્શાવેલ તીર (→)ની દિશામાં
• અહીં, તકતી દર્શાવેલા તીર(→)ની દિશામાં ગબડશે નહીં, કારણ કે તકતીને ઘર્ષણ રહિત ટેબલ પર (હળવેથી) મૂકવામાં આવેલ છે.
  તકતીને ટેબલ પર ગબડવા માટે ઘર્ષણબળ અનિવાર્ય છે, જે અહીં ગેરહાજર છે. તેથી તકતી ટેબલ પર ગબડશે નહીં (રોલિંગ ગતિ કરશે નહીં.).

પ્રશ્ન 29.
સમજાવો કે, આકૃતિ 7.82માંની તકતીને દર્શાવેલ દિશામાં (તીરની દિશામાં) ગબડવા માટે ઘર્ષણ શા માટે જરૂરી છે?
(a) સંપૂર્ણ રોલિંગ શરૂ થાય તે પહેલાં B આગળ ઘર્ષણબળની દિશા અને ઘર્ષણથી ઉદ્ભવતા ટૉર્કની દિશા આપો.
(b) સંપૂર્ણ રોલિંગ શરૂ થયા પછી ઘર્ષણબળ કેટલું હશે?
ઉકેલઃ

આકૃતિ 7.84માં દર્શાવેલા સીધા તીરની દિશામાં ગબડવા માટે તકતી પર ટૉર્ક લાગવું જરૂરી છે, જેના માટે અહીં તેના પર સ્પર્શીય બળ લાગવું જરૂરી છે. અહીં, આ પ્રશ્નમાં માત્ર ઘર્ષણબળ જ સ્પર્શીય બળ પૂરું પાડી શકે તેમ છે. તેથી કહી શકાય કે, તકતીને ગબડવા માટે ઘર્ષણબળ જરૂરી છે.

(a) આકૃતિ 7.84માંના B બિંદુ પાસે ઘર્ષણબળ B બિંદુના રેખીય વેગનો વિરોધ કરે તે દિશામાં અર્થાત્ રેખીય વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હશે.
તેથી B બિંદુ પાસે ઘર્ષણબળની દિશા દર્શાવેલા સીધા તીર(→)ની દિશામાં હશે.
ઘર્ષણને લીધે તકતી પર લાગતું ટૉર્ક એવી દિશામાં હોય કે જેથી તકતીની ચાકગતિનો વિરોધ થાય, અર્થા \(\vec{\omega}_0\) નો વિરોધ થાય.
હવે, \(\vec{\omega}_0\)ની દિશા તકતીના સમતલને લંબ (પૃષ્ઠની) અંદર તરફ છે. તેથી ઘર્ષણને લીધે લાગતાં ટૉર્કની દિશા તકતીના સમતલને લંબ (પૃષ્ઠની) બહાર તરફની દિશામાં હશે.

(b) ઘર્ષણબળ એ સંપર્કબિંદુ Bનો રેખીય વેગ ઘટાડે છે. તેથી જ્યારે B બિંદુનો રેખીય વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે તકતી માત્ર ગબડશે, એટલે કે માત્ર રોલિંગ ગતિ જ કરશે.(તકતી બિલકુલ સરકશે નહીં.)
આમ, તકતીની સમગ્રતયા રોલિંગ ગતિ શરૂ થાય તે જ ક્ષણે તેના પર લાગતું ઘર્ષણબળ શૂન્ય થશે.

પ્રશ્ન 30.
એક તકતી અને રિંગ બંનેની ત્રિજ્યા 10 cm જેટલી સમાન છે. તેમને એકસાથે 10π rad s^-1 જેટલી પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ સાથે એક સમક્ષિતિજ ટેબલ પર મૂકવામાં આવે છે, તો બંનેમાંથી કોણ સૌથી વહેલી રોલિંગ ગતિ શરૂ કરશે? ગતિક ઘર્ષણાંક μ_k = 0.2 છે.
ઉકેલ:
અહીં, તકતી અને રિંગ બંનેની ત્રિજ્યા R = 10 cm = 0.1 m, તકતી અને રિંગ બંનેની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ ω₀ = 10 π rad s^-1, ગતિક ઘર્ષણાંક μ_k = 0.2

• સુરેખ સ્થાનાંતરીય ગતિ સિવાયની શુદ્ધ ચાકગતિમાં દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રનો રેખીય વેગ શૂન્ય હોય છે. તેથી અહીં તકતી અને રિંગ બંનેના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પ્રારંભમાં સ્થિર સ્થિતિમાં છે તેમ કહેવાય.
• હવે, ઘર્ષણબળ એ સંપર્કબિંદુનો રેખીય વેગ ત્યાં સુધી ઘટાડે છે કે જ્યાં સુધી દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો રેખીય વેગ વધીને υ = Rω જેટલો થાય અને તે ક્ષણે સંપર્કબિંદુનો તત્કાલીન વેગ શૂન્ય થાય.
  આમ, ઘર્ષણબળ એ દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રમાં a જેટલો પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે, કારણ કે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો રેખીય વેગ શૂન્યથી વધીને Rω જેટલો થાય છે.
• અહીં, ઘર્ષણબળ f_k = μ_k (N) = μ_k (Mg) છે અને f_k = Ma
  સૂત્રો પરથી Ma = μ_k Mg થાય.
  ∴ a = μ_kg ………….. (1)
• હવે, υ = υ₀ + at પરથી, υ = 0 + at (∵ υ₀ = 0 છે.)
  ∴ υ = (μ_kg)t ……………. (2)
  ઘર્ષણને લીધે લાગતું ટૉર્ક,
  τ = -f_k R sin 90° = -f _k = – (μ_kMg)R …………….. (3)
  ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે ઘર્ષણને લીધે લાગતું ટૉર્ક એ કોણીય ઝડપ ω₀ ઘટાડે છે.
• હવે, τ = Iα પરથી કોણીય પ્રવેગ α = \(\frac{\tau}{I}\) થાય.
  ∴ α = \(\frac{-\mu_{\mathrm{k}} M g R}{I}\) …………. (4)
• t = t સમયે કોણીય ઝડપના સૂત્ર ω = ω₀ + αt પરથી,
  ω = ω₀ – (\(\frac{\mu_{\mathrm{k}} M g R}{I}\))t …………… (5)
• જ્યારે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો રેખીય વેગ υ = R ω થાય છે, ત્યારે રોલિંગ ગતિ શરૂ થાય છે. તેથી just રોલિંગ ગતિ ચાલુ થાય તે માટેની આ શરતમાં સમીકરણ (2) અને (5) વાપરતાં,
  
  
  = 0.80 s
  આમ, તકતી માટેનો સમય t એ રિંગ માટેના સમય t કરતાં ઓછો છે. તેથી તકતી, રિંગ કરતાં પહેલાં રોલિંગ ગતિ શરૂ કરશે.

પ્રશ્ન 31.
10 kg દળ અને 15 cm ત્રિજ્યાનો એક નક્કર નળાકાર 30° થી ઢળતા પાટિયા પર સંપૂર્ણપણે ગબડે છે. સ્થિર ઘર્ષણાંક μ_s = 0.25.
(a) નક્કર નળાકાર પર લાગતું ઘર્ષણબળ કેટલું હશે?
(b) રોલિંગ દરમિયાન ઘર્ષણ વિરુદ્ધ કેટલું કાર્ય કરવામાં આવ્યું હશે?
(c) જો આ પાટિયાનો ઢોળાવ 6 વધારવામાં આવે, તો 8 ના કયા મૂલ્ય માટે આ નક્કર નળાકાર સંપૂર્ણતઃ ગબડવાને બદલે સરકવાનું શરૂ કરશે?
ઉકેલઃ
(a) નક્કર નળાકાર પર લાગતું ઘર્ષણબળ,
f = \(\frac{1}{3}\) Mg sin θ
= \(\frac{1}{3}\) × 10 × 9.8 × sin 30°
= \(\frac{1}{3}\) × 10 × 9.8 × \(\frac{1}{2}\)
= 16.38 N

θ ઢોળાવવાળા ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પરથી સરક્યા વિના ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે ઘર્ષણબળના સૂત્ર f = \(\frac{1}{3}\) Mg sin θ ની તારવણી :
રીત 1 :
સંમિત દઢ પદાર્થ ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડે તે માટે પદાર્થ પર લાગતું ટૉર્ક τ = Iα અને τ = f R sin 90° = f R પરથી,
f R = Iα
∴ f = \(\frac{I \alpha}{R}\) …………. (1)
પણ સરક્યા વિના ગબડતા સંમિત દૃઢ પદાર્થ માટે
α = \(\frac{a}{R}\)
∴ f = \(\frac{I}{R} \times \frac{a}{R}\)
= \(\frac{I}{R^2}\) × α ………….. (2)
હવે, ઢાળ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થનો રેખીય પ્રવેગ,

= \(\frac{1}{2}\) Mg sin θ

(b) સંપૂર્ણ રોલિંગ ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણબળ વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
સમજૂતી 1 :
અહીં, નક્કર નળાકાર અને ઢાળની સપાટી પરના સંપર્કબિંદુ (B) પાસે ઘર્ષણબળ, ઢાળની સપાટીને સમાંતર લાગે છે (જુઓ આકૃતિ 7.84); પણ સંપર્કબિંદુ (B) સુરેખ ગતિ કરતું નથી, પરંતુ સંપૂર્ણ રોલિંગ ગતિ દરમિયાન તે ઢાળની સપાટી(સમતલ)ને લંબ (પહેલાં નીચે તરફ અને પછી ઉપર તરફ) ગતિ કરે છે.
તેથી ઘર્ષણબળ f_s અને પદાર્થના સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોવાથી ઘર્ષણબળ f_s વડે થતું કાર્ય,
W = f_s (y) cos 90° = 0
∴ ઘર્ષણબળ વિરુદ્ધ થતું કાર્ય શૂન્ય છે.

સમજૂતી 2 :
અહીં, ઘર્ષણબળ f_s ના લીધે ઉદ્ભવતું ટૉર્ક τ (જે સંપર્કબિંદુ (B)નો તત્કાલીન વેગ શૂન્ય કરે છે તે) અને પદાર્થના અતિસૂક્ષ્મ કોણીય સ્થાનાંતર (સદિશ) dθ વચ્ચેનો ખૂણો 90° છે. તેથી ઘર્ષણબળ વડે (અને તેથી તેની વિરુદ્ધ) થયેલું કાર્ય,
dW = τ dθ cos 90° = 0 થાય.

(C) μ_s સ્થિત ઘર્ષણાંક અને θ કોણવાળા ઢાળ પરથી સંમિત દૃઢ પદાર્થ સરક્યા વિના સંપૂર્ણ ગબડે તે માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત

આમ, ઢાળનો ખૂણો (θ) વધુમાં વધુ 36°52′ જેટલો કે તેના કરતાં ઓછો હોય, તો જ નક્કર નળાકાર તે ઢાળ પર સરક્યા સિવાય ગબડશે; પણ જો ખૂણો (θ) 36°52′ કરતાં સહેજ વધી જાય, તો નક્કર નળાકાર ગબડ્યા વગર સરકવા લાગશે, એટલે કે સંપૂર્ણ રોલિંગ ગતિ કરશે નહીં.

પ્રશ્ન 32.
નીચેનું દરેક વિધાન કાળજીપૂર્વક વાંચો અને તે સાચું છે કે ખોટું તે કારણ સાથે જણાવો :
(a) રોલિંગ દરમિયાન ઘર્ષણબળ એ દિશામાં લાગે છે કે જે દિશામાં પદાર્થના CM ની ગતિ હોય.
(b) રોલિંગ દરમિયાન સંપર્કબિંદુની તાત્ક્ષણિક ઝડપ શૂન્ય છે.
(c) રોલિંગ દરમિયાન સંપર્કબિંદુનો તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ શૂન્ય છે.
(d) શુદ્ધ (સંપૂર્ણ) રોલિંગ ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થતું કાર્ય શૂન્ય છે.
(e) એક સંપૂર્ણ ઘર્ષણ રહિત ઢળતા પાટિયા પર નીચે તરફ ગતિ કરતું એક વ્હીલ નીચે તરફ સરકશે. (રોલિંગ ગતિ કરશે નહીં.).
ઉત્તર:
(a) ખોટું
કારણ : ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પર સંમિત દૃઢ પદાર્થની સંપૂર્ણ રોલિંગ ગતિ દરમિયાન ઘર્ષણબળ f_s પદાર્થના CMના રેખીય વેગની (ગતિની) વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે, કારણ કે તો જ દૃઢ પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડીને ઢાળની સપાટી પર નીચે તરફ ગતિ કરી શકે.

પદાર્થનું વજન mg અને લંબબળ Nના કારણે પદાર્થ ૫૨ કોઈ ટૉર્ક લાગતું નથી. તેથી તેઓ પદાર્થની ચાકગતિ માટે અહીં બિનઅસરકારક છે.

આમ, માત્ર ઘર્ષણબળ f_s ના લીધે જ ઢાળ પ૨ પદાર્થ સંપૂર્ણ રોલિંગ ગતિ કરી શકે છે, જે પદાર્થના CMની સુરેખ ગતિની (રેખીય વેગની) વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

અતિ મહત્ત્વની નોંધ : ઉપરના પ્રશ્ન (32) (a)માં સંમિત દઢ પદાર્થ ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પર કે સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર રોલિંગ ગતિ કરે છે, તે જણાવ્યું નથી. તેથી પ્રશ્ન અધૂરો / અસ્પષ્ટ છે તેમ કહેવાય. માટે ઘર્ષણબળની દિશા સચોટ રીતે કહી શકાય નહીં.

(1) જો ઢાળ પર પદાર્થની રોલિંગ ગતિ નીચેની તરફ થતી હોય, તો ઘર્ષણબળની દિશા CMની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ઉપર તરફ હશે.

જો ઢાળ પર પદાર્થની રોલિંગ ગતિ ઉપરની તરફ થતી હોય, તો ઘર્ષણબળની દિશા પણ ઉપરની તરફ જ એટલે કે CMની ગતિની દિશામાં હશે, કારણ કે પદાર્થ ઢાળ પર જ્યારે ઉપરની તરફ રોલિંગ ગતિ કરે ત્યારે તેના CMનો રેખીય વેગ સમય જતાં ઘટતો જાય છે. તેથી ઘર્ષણબળને લીધે ઉદ્ભવતાં ટૉર્કની દિશા એવી હોય છે કે જેથી કરીને કોણીય વેગ છ ઘટે. (જુઓ આકૃતિ 7.85).

(2) જો સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર સંમિત દૃઢ પદાર્થ સંપૂર્ણ રોલિંગ ગતિ કરતો હોય, તો નીચેના ઉદાહરણ દ્વારા ઘર્ષણબળની દિશા CMની ગતિની દિશામાં હશે કે વિરુદ્ધ હશે તે સમજી શકાશે :

આકૃતિ 7.86માં M દળ અને R ત્રિજ્યાવાળા એક સંમિત દૃઢ પદાર્થ(તકતી)ને ઘર્ષણયુક્ત સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી ૫૨ ગોઠવી, તેના પર બાહ્ય બળ F લાગુ પાડવામાં આવે છે. સંપર્કબિંદુ P પાસે ઘર્ષણબળની દિશા નીચે મુજબ શોધી શકાય :
(i) પદાર્થની માત્ર સુરેખ ગતિના કારણે સંપર્કબિંદુ P નો રેખીય પ્રવેગ (જો સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી ઘર્ષણ રહિત ધારવામાં આવે, તો),
a₁ = \(\frac{F}{M}\) (→) …………… (1)

(ii) પદાર્થની માત્ર ચાકગતિના લીધે સંપર્કબિંદુ P નો પ્રવેગ,
a₂ = (α) R = (\(\frac{\tau}{I}\))R
= \(\frac{(F x)}{I}\)R
= \(\frac{F R}{I}\)x (←) …………. (2)
∴ સંપર્કબિંદુ P નો પરિણામી પ્રવેગ,
\(\vec{a}_{\mathrm{p}}=\vec{a}_1+\vec{a}_2\) ……………. (3)
∴ a_p = (\(\frac{F}{M}\)) – (\(\frac{F R}{I}\))x (→) …………. (4)
સમીકરણ (4) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, સંપર્કબિંદુ Pની ગતિનો આધાર x અને Iનાં મૂલ્યો પર છે.
પણ I = Mk²
∴ a_p = \(\frac{F}{M}\)(1 – \(\frac{R x}{k^2}\)) …………. (5)
સમીકરણ (5) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, સંપર્કબિંદુ P સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર આગળની દિશામાં ગતિ કરશે.
જો 1 – \(\frac{R x}{k^2}\) > 0 હોય, તો
∴ 1 > \(\frac{R x}{k^2}\)
∴ k² > Rx
આ પરિસ્થિતિમાં સંપર્કબિંદુ P પાસે ઘર્ષણબળ ની દિશા પાછળની દિશા તરફ હશે.
ટૂંકમાં,
(1) જો? k² > Rx હોય, તો ઘર્ષણબળ પાછળની દિશામાં હશે.
(2) જો k² = Rx હોય, તો ઘર્ષણબળ ગેરહાજર હશે.
(૩) જો k² < Rx હોય, તો ઘર્ષણબળ આગળની દિશામાં હશે.
જો બાહ્ય બળ F પદાર્થની નીચેના વ્યાસીય સમતલ(Diametric plane)માં લાગે, તો ઘર્ષણબળ હંમેશાં (પદાર્થ પર) પાછળની દિશામાં જ લાગશે.

(b) સાચું
કારણ :
(1) શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ એટલે બે પદાર્થો વચ્ચે સંપર્કબિંદુ પાસે સાપેક્ષ ગતિ ન હોય તેવી ગતિ, એટલે કે એક પદાર્થ બીજા પદાર્થ પર સરકતો ન હોય.
દા. ત., R ત્રિજ્યાવાળી એક તકતી એક સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પર છ જેટલા રેખીય વેગથી અને છ જેટલા કોણીય વેગથી ગતિ કરે છે.

આ તકતી શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરે છે તેમ ત્યારે કહેવાય જ્યા૨ે બિંદુ P અને Q ના જુના વેગ સમાન હોય. (જુઓ આકૃતિ 7.87 (b)).
આમ, υ_P = υ_Q
∴ υ_P – υ_Q = 0
∴ υ – Rω = 0
∴ υ = Rω
તેથી તકતીના અને સપાટીના સંપર્કબિંદુનો પરિણામી વેગ (દેિશ) શૂન્ય હશે.

અતિ મહત્ત્વની નોંધ :
ઉપરોક્ત ઉદાહરણમાં જો …
(i) υ = ωR હોય ત્યારે f_k અને f_sલાગતાં નથી.
(ii) υ > ωR હોય, તો f_k રેખીય વેગ υ ની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
(iii) υ < ωR હોય, તો f_k રેખીય વેગ υ ની દિશામાં લાગે છે.

(2) ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પરથી નીચેની તરફ સરક્યા વિના ગબડતી તકતીના કિસ્સામાં, ઘર્ષણબળ f_s ના લીધે સંપર્કબિંદુની તત્કાલીન ઝડપ શૂન્ય થાય છે અને તેથી જ તકતીની શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ શક્ય બને છે. આ વખતે પણ υ = Rω હોય છે.
જયાં, υ = તકતીના CMનો ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચેની તરફ વેગ
ωR = સંપર્કબિંદુનો ઢાળની સપાટીને સમાંતર ઉપર તરફ વેગ
ઉપરોક્ત પરિસ્થિતિમાં f_sની દિશા ઢાળની સપાટીને સમાંતર ઉપર તરફ હોય છે.
જો આ કિસ્સામાં υ > ωR હોય, તો ગતિક ઘર્ષણબળ f_s ઢાળની
સપાટીને સમાંતર ઉપર તરફ તકતી પર સ્પર્શકરૂપે લાગશે અને જો υ < ωR હોય, તો ગતિક ઘર્ષણબળ f_k ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચેની તરફ તકતી પર સ્પર્શકરૂપે લાગશે.
ઘર્ષણયુક્ત ઢાળ પર જો તકતી ઢાળની સપાટીને સમાંતર ઉપર તરફ શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતી હોય, તો
(i) જો υ > ωR હોય, તો ગતિક ઘર્ષણબળ f_k ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચેની તરફ લાગશે.
(ii) જો υ < ωR હોય, તો f_k ની દિશા ઉપર તરફ હશે.
(iii) જો υ = Rω હશે, તો f_s ઢાળની સપાટીને સમાંતર ઉપર તરફ લાગશે.

વધારાનું જ્ઞાન
સંમિત દઢ પદાર્થની શુદ્ધ (સંપૂર્ણ) રોલિંગ ગતિના કિસ્સામાં υ_CM = Rωની તારવણી :

[આકૃતિ 7.88: શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતા વ્હીલનું CM ‘O t સમયમાં \(\vec{v}_{\mathrm{cM}}\) જેટલા રેખીય વેગથી s જેટલું રેખીય અંતર કાપે છે અને વ્હીલ પોતે તેના CM ને અનુલક્ષીને θ જેટલું કોણીય અંતર કાપે છે. પરિણામે સંપર્કબિંદુ P પણ s જેટલું (વક્ર) અંતર કાપે છે તેમ કહેવાય. ચાપ PP’ = s]
ઉત્તર:

• ધારો કે, તમે એક ફૂટપાથ પર ઊભા છો અને તમે એક સાઇકલના એક વ્હીલની t = 0 .સમયે અને પછી તરત જ t = t સમયે સ્થિતિ જુઓ છો.
  આકૃતિ 7.88માં દર્શાવ્યા મુજબ વ્હીલનું CM તમને અચળ ઝડપ υ_CM થી આગળ તરફ સુરેખ ગતિ કરતું જણાય છે. તદ્ઉપરાંત વ્હીલ અને સમક્ષિતિજ સમતલ સપાટી પરનું સંપર્કબિંદુ P પણ આગળ તરફ υ_CM જેટલી ઝડપે સુરેખ ગતિ કરે છે, જેથી કરીને P હંમેશાં CM ‘O’ની બરાબર નીચે જ રહે.
• CM ‘O’ અને સંપર્કબિંદુ P બંને t સમયગાળામાં આગળ તરફ s જેટલું અંતર કાપે છે.
• સાઇક્લસવારને t સમયમાં વ્હીલ, વ્હીલના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને θ કોણ જેટલી કોણીય ગતિ કરતું જણાય છે અને સંપર્કબિંદુ P ચાપ s જેટલું અંતર કાપતું જણાય છે.
• તેથી ચાપ = ખૂણો × ત્રિજ્યા સૂત્ર પરથી,
  s = θR ……………. (1)
  જ્યાં, R = વ્હીલની ત્રિજ્યા છે.
• અહીં, વ્હીલના CMની રેખીય ઝડપ υ_CM = \(\frac{d s}{d t}\) છે અને વ્હીલની તેના કેન્દ્રને (CMને) અનુલક્ષીને કોણીય
  ઝડપ ω = \(\frac{d \theta}{d t}\) છે.
• સમીકરણ (1)નું સમય t સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
  \(\frac{d s}{d t}\) = R \(\frac{d \theta}{d t}\)
  ∴ υ_CM = ωR (માત્ર શુદ્ધ રોલિંગ ગતિના કિસ્સામાં)

નોંધ : જો વ્હીલ એક પૂર્ણ ચક્ર પૂરું કરીને રસ્તા પર s જેટલું સુરેખ અંતર આગળ વધે, તો s = 2πR થાય. આ વખતે વ્હીલનું CM પણ s = 2πR જેટલું સુરેખ અંતર આગળ તરફ
ખસ્યું હશે.
∴ વ્હીલના CMની ઝડપ υ_CM = \(\frac{2 \pi R}{T}\)ωR

સંમિત દઢ પદાર્થ(તકતી)ની શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ વખતે તેના કોઈ પણ બિંદુનો રેખીય વેગ શોધવો :
શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતી તકતીના કોઈ પણ કણ Pનો રેખીય વેગ \(\vec{v}_{\mathrm{P}}=\vec{v}_0+\vec{v}_{\mathrm{P}, 0}\) હોય છે.

જ્યાં, \(\vec{v}_0=\vec{v}_{\mathrm{CM}}\), ground = માત્ર સુરેખ ગતિનો વેગ
= પદાર્થના CMનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ
\(\vec{v}_{\mathrm{P}, 0}=\vec{v}_{\mathrm{P}, \mathrm{CM}}\) = પદાર્થના CM ની સાપેક્ષે કણ Pનો વેગ

આકૃતિ 7.89માં એક તકતી સુરેખ ગતિ અને ચાકગતિની મિશ્રિત ગતિ કરતી દર્શાવી છે.
આકૃતિ 7.90 (b)માં તકતીના કોઈ બિંદુ Pને CM ‘O’થી r અંતરે દર્શાવેલ છે. CMની સાપેક્ષે બિંદુ P નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરે છે.
આકૃતિ 7.90 (c) એ બિંદુ Pનો પરિણામી વેગ દર્શાવે છે, જે \(\vec{v}_0\) અને \(\vec{v}_{\mathrm{P}, \mathrm{CM}}\) નો સંદેશ સરવાળો છે.
(અહીં, \(\vec{v}_0=\vec{v}_{\mathrm{CM}}\) , ground = જમીનની સાપેક્ષે CM નો રેખીય વેગ છે.)

→ હવે, જો બિંદુ P ને તકતી અને સમતલ સપાટીનું સંપર્કબિંદુ લેવામાં આવે, તો r = R થાય અને θ = 180° થાય.

અહીં, સમક્ષિતિજ સ્થિર સમતલ (સપાટી) પર શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતી એક R ત્રિજ્યાવાળી તકતી દર્શાવી છે.
તકતીના પરિઘ પરના કોઈ પણ (P જેવા) બિંદુની તત્કાલીન ઝડપ,

ઉપરના υ_p ના સૂત્ર υ_p = 2 υ sin (\(\frac{\theta}{2}[/latex[) પરથી,
A બિંદુ પાસે θ = 0° હોવાથી υ_A = 0
B બિંદુ પાસે θ = 90° હોવાથી υ_B = [latex]\frac{\theta}{2}\)
C બિંદુ પાસે θ = 180° હોવાથી υ_C = 2υ

(c) ખોટું
કારણ : શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતો સંમિત દૃઢ પદાર્થ પોતે પોતાના CMમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ચાકગતિ પણ કરતો હોય છે.

મહત્ત્વનું જ્ઞાન
દઢ પદાર્થના કોઈ એક વ્યાપક કણ Pનો પરિણામી રેખીય પ્રવેગ શોધવો :

શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતા એક દૃઢ પદાર્થના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનો રેખીય પ્રવેગ \(\vec{a}\), કોણીય વેગ \(\vec{\omega}\) અને પદાર્થનો કોણીય પ્રવેગ \(\vec{\alpha}\) જ્ઞાત છે.

આપણને દૃઢ પદાર્થના કોઈ એક વ્યાપક કણ P જે દ્રવ્યમાન- કેન્દ્ર C થી r અંતરે છે, તેનો રેખીય પ્રવેગ a શોધવો છે.

આકૃતિ 7.93 પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
\(\vec{a}_{\mathrm{pc}}=\vec{a}_{\mathrm{p}}-\vec{a}_{\mathrm{c}}\)
∴ \(\overrightarrow{a_{\mathrm{p}}}=\vec{a}_{\mathrm{c}}+\vec{a}_{\mathrm{pc}}\)

આમ, કણ P નો રેખીય પ્રવેગ \(\vec{a}, \overrightarrow{a_{\mathrm{c}}}\) અને \(\vec{a}_{\mathrm{pc}}\) ના સદિશ સરવાળા જેટલો છે. જ્યાં, \(\vec{a}_{\mathrm{c}}=\vec{a}\) છે અને કણ P, દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર Cની સાપેક્ષે વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે. વર્તુળાકાર ગતિ કરતાં ણના રેખીય પ્રવેગના બે ઘટકો છે : ( 1 ) સ્પર્શીય ઘટક a_t અને (ii) ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક a_r.

અહીં, a_t = r α અને \(\vec{a}_{\mathrm{t}}\) ની દિશા P પાસે સ્પર્શકની દિશામાં એટલે કે, રેખીય વેગ \(\vec{v}\) ની દિશામાં જો ω વધતો હોય, તો અને \(\vec{v}\) ની વિરુદ્ધ દિશામાં જો છ ઘટતો હોય,
તો. જો ω = અચળ હોય, તો a_t = 0.

અહીં, a_r = rω² છે અને \(\vec{a}_{\mathrm{r}}\) ની દિશા હંમેશાં વર્તુળના કેન્દ્ર (CM) તરફની દિશામાં હોય છે.
આમ, કણ P નો પરિણામી પ્રવેગ \(\overrightarrow{a_{\mathrm{P}}}\) નીચેનાં ત્રણ પદોનો દિશ સરવાળો છે :
(1) \(\) (CMનો) (ii) a_t = r α (iii) a_r = rω²
દૃઢ પદાર્થના જુદા જુદા કણોના a (CMનો), ω અને α તો સમાન જ હોય છે, પણ તેમના CM થી અંતર rα અલગ અલગ હોવાથી તેમના rω² અને ૪નાં મૂલ્યો જુદાં જુદાં હોય છે, પરિણામે દૃઢ પદાર્થના જુદા જુદા કણોનો પરિણામી રેખીય પ્રવેગ જુદો જુદો હોય છે.
આમ, હવે સમજી શકાશે કે શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતાં દઢ પદાર્થના સંપર્કબિંદુનો તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ શૂન્ય હોતો નથી.

(d) સાચું
કારણ : સંમિત દૃઢ પદાર્થ જ્યારે શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતો હોય ત્યારે તે પદાર્થ અને ઢાળની સપાટી પરના સંપર્કબિંદુ પાસે ઘર્ષણબળ ઢાળની સપાટીને સમાંતર લાગે છે, પણ સંપર્કબિંદુ સુરેખ ગતિ કરતું નથી; પરંતુ શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ દરમિયાન તે ઢાળની સપાટી(સમતલ)ને લંબ (પહેલાં નીચે તરફ અને પછી ઉપર તરફ) ગતિ કરે છે.
તેથી ઘર્ષણબળ f_s અને પદાર્થના સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો 90° હોવાથી ઘર્ષણબળ f_s વડે થતું કાર્ય W = f_s (y) cos 90° = 0
∴ ઘર્ષણબળ વિરુદ્ધ થતું કાર્ય શૂન્ય છે.

(e) સાચું
કારણ : ઢળતા પાટિયા પર વ્હીલ રોલિંગ ગતિ ત્યારે જ કરી શકે કે જ્યારે તે વ્હીલ અને ઢળતા પાટિયાની સપાટી વચ્ચે ઘર્ષણબળ પ્રવર્તતું હોય.
અહીં, ઢળતું પાટિયું સંપૂર્ણ ઘર્ષણ રહિત છે. તેથી ઘર્ષણબળ f_s ગેરહાજર છે.
હવે, વ્હીલના વજન mgનો ઘટક mg sin θ ઢાળની સપાટીને સમાંતર નીચે તરફ લાગે છે. તેથી આ ઘટકના કારણે વ્હીલ mg sin θની દિશામાં માત્ર નીચે તરફ સરકશે. (રોલિંગ ગતિ કરશે નહીં.)

પ્રશ્ન 33.
કણોના તંત્રની ગતિનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગતિ અને દ્રવ્યમાન- કેન્દ્રને અનુલક્ષીને ગતિમાં વિભાજન :
ઉત્તર:
(a) બતાવો કે, \(\overrightarrow{p_i}=\vec{p}_{\mathrm{i}}^{\prime}+m_{\mathrm{i}} \vec{v}\)
જ્યાં, \(\vec{p}_{\mathrm{i}}\) એ i મા કણ(m દળના)નું વેગમાન અને \({\overrightarrow{p_i}}^{\prime}=m_{\mathrm{i}} \vec{v}_{\mathrm{i}}^{\prime}\).
નોંધ \({\overrightarrow{v_i^{\prime}}}^{\prime}\) દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સાપેક્ષે i મા કણનો વેગ છે.
આ ઉપરાંત દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે, \(\Sigma \overrightarrow{\boldsymbol{p}}_{\mathrm{i}}^{\prime}\) = 0.

(b) બતાવો કે, K = K’ + \(\frac{1}{2}\)MV²
જ્યાં, K એ કણોના તંત્રની કુલ ગતિ-ઊર્જા છે. K’ એ જ્યારે કણોના વેગોને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રના સંદર્ભમાં લેવામાં આવે છે ત્યારની અને MV²/2 એ સમગ્ર તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ-ઊર્જા છે. (એટલે કે, તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગતિ)
આ પરિણામ પરિચ્છેદ 7.14માં ઉપયોગમાં લીધેલ છે.

(c) દર્શાવો કે, \(\vec{L}=\vec{L}+\vec{R} \times M \vec{V}\) છે જ્યાં, \(\vec{L}^{\prime}=\Sigma \vec{r}_{\mathrm{i}}^{\prime} \times \vec{p}_{\mathrm{i}}^{\prime}\) એ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સાપેક્ષે તંત્રનું
કોણીય વેગમાન છે. જ્યાં, વેગોને દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સાપેક્ષે લીધેલ છે. યાદ રાખો \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}^{\prime}}=\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}-\vec{R}\); બાકીની બધી સંજ્ઞાઓ એ પ્રકરણમાં ઉપયોગમાં લેવાયેલ પ્રમાણભૂત સંજ્ઞાઓ છે.
નોંધો \(\) અને \(\) ને અનુક્રમે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને તંત્રનું કોણીય વેગમાન અને કણોના તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનું કોણીય વેગમાન કહે છે.

(d) બતાવો કે, \(\frac{d \vec{L}}{d t}=\Sigma{\overrightarrow{r_i}}^{\prime} \times \frac{d \overrightarrow{p_i^{\prime}}}{d t}\).
વધુમાં દર્શાવો કે, \(\frac{d \vec{L}^{\prime}}{d t}=\vec{\tau}_{\mathrm{ext}}^{\prime}\)
જ્યાં, \(\vec{\tau}_{\text {ext }}^{\prime}\) એ આ તંત્ર પર દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો છે.

(સૂચના : દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની વ્યાખ્યા અને ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરો. એમ ધારો કે, કોઈ પણ બે કણો વચ્ચે લાગતું આંતરિક બળ આ બે કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં લાગે છે.)
ઉકેલઃ
(a)

આકૃતિ 7.94માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે, અનેક કણોના બનેલા તંત્રમાંના i માકણનું દળ m_i છે.

i મા ણનો યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O ને અનુલક્ષીને (એટલે કે, Laboratory frame ની સાપેક્ષે) સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}\) છે.

i મા કણનો કણોના તંત્રના CMની સાપેક્ષે (એટલે કે તંત્રનું CM જે ફ્રેમમાં છે, તે ફ્રેમની સાપેક્ષે) સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_i^{\prime}}\) છે.

કણોના તંત્રના CMનો ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે (એટલે કે, Laboratory frame ની સાપેક્ષે) સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_{\mathrm{CM}}}=\vec{R}\) છે.

સદિશ સરવાળા માટેના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં, આકૃતિ પરથી = \(\) …………… (1)

હવે, અનેક કણોથી બનેલું તંત્ર ગતિ કરે છે તેમ ધારતાં, સમીકરણ (1)નું સમય tની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d \overrightarrow{r_i}}{d t}=\frac{d \overrightarrow{r_i}}{d t}+\frac{d \vec{R}}{d t}\)
∴ \(\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\vec{V}\) ………… (2)
જ્યાં, \(\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}\) = ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે i મા કણનો વેગ
\(\vec{v}_{\mathrm{i}}^{\prime}\) = તંત્રના CM ની સાપેક્ષે i મા કણનો વેગ
\(\vec{V}=\vec{v}_{\mathrm{CM}}\) = ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે CMનો વેગ

સમીકરણ (2)ની બંને બાજુને i મા કણના દળ m_i વડે ગુણતાં,
\(m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}=m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}^{\prime}}+m_{\mathrm{i}} \vec{V}\) ………. (3)
∴ \(\overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{p_{\mathrm{i}}^{\prime}}+m_{\mathrm{i}} \vec{V}\) ………… (4)
જ્યાં, \(\overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}=m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}\) = યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે i મા ણનું રેખીય વેગમાન
\(\vec{p}_{\mathrm{i}}^{\prime}=m_{\mathrm{i}}{\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}}_{\mathrm{i}}^{\prime}\) = કણોના તંત્રના CM ની સાપેક્ષે i મા કણનું રેખીય વેગમાન

સમીકરણ (4) પરથી, યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે કણોના તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન,
\(\sum_i \overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}=\sum_i \overrightarrow{p_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\sum_i m_{\mathrm{i}} \vec{V}\) ………… (5)
∴ કણોના તંત્રના CMની સાપેક્ષે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન,
\(\sum_i \overrightarrow{p_1^{\prime}}=\sum_i \overrightarrow{p_i}-\sum_i m_{\mathrm{i}} \vec{V}\) …………. (6)

હવે, \(\sum_i \overrightarrow{p_{\mathrm{i}}}=\vec{P}\) = M = તંત્રનું કુલ દળ અને
\(\sum_i m_{\mathrm{i}}\) = યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન
∴ \(\sum_i \overrightarrow{p_i^{\prime}}=\vec{P}-M \vec{V}\) …………… (7)

હવે, અનેક કણોના બનેલા આ તંત્ર માટે સમગ્ર તંત્રના કુલ રેખીય વેગમાનને તંત્રના તમામ વ્યક્તિગત કણોના રેખીય વેગમાનના સદિશ સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે
\(\vec{P}=\overrightarrow{p_1}+\overrightarrow{p_2}+\ldots+\overrightarrow{p_{\mathrm{n}}}\)
= \(m_1 \overrightarrow{v_1}+m_2 \overrightarrow{v_2}+\ldots+m_{\mathrm{n}} \overrightarrow{v_{\mathrm{n}}}\)

(b) જ્યારે અનેક કણોનું તંત્ર ગતિ કરતું હોય છે, ત્યારે તેની ગતિ-ઊર્જા શોધવા માટે તેનું દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર CM ઉપયોગી સ્પષ્ટીકરણ પૂરું પાડે છે.

• આકૃતિ 7.95માં દર્શાવ્યા મુજબ અવકાશમાં કોઈ અનુકૂળ યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O ને અનુલક્ષીને આ કણોના તંત્રના 1મા કણનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_i}\) છે અને આ તંત્રના CMની સાપેક્ષમાં i મા કણનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_i^{\prime}}\) છે.
• ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે તંત્રના CMનો સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_{\mathrm{CM}}}=\vec{R}\) છે.
• હવે, સદિશ સરવાળા માટે ત્રિકોણનો નિયમ વાપરતાં, આકૃતિ પરથી, \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\vec{R}\) ……………. (1)
• અહીં, કણોથી બનેલું તંત્ર ગતિ કરે છે. તેથી સમીકરણ (1)નું સમય t સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
  \(\frac{d \overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}}{d t}=\frac{d \overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}}{d t}+\frac{d \vec{R}}{d t}\)
  ∴ \(\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\vec{V}\) ……………. (2)
  જ્યાં, \(\vec{V}=\vec{v}_{\mathrm{CM}}\) = ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર (CM) નો વેગ
• હવે, નિર્દેશ-ફ્રેમ કે જેનું ઉગમબિંદુ O છે, તેમાં 1 મા કણની ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{1}{2}\)m_iυ_i²
• સમગ્ર તંત્રની કુલ ગતિ-ઊર્જા એ તંત્રના દરેક કણની ગતિ-ઊર્જાનો અદિશ સરવાળો હોવાથી,

• સમીકરણ (5)માં જમણી બાજુનું
  પ્રથમ પદ : \(\frac{1}{2} \sum_i m_{\mathrm{i}} V^2\)
  = \(\frac{1}{2}\)MV² (∵ \(\sum_i m_i\) = M = તંત્રનું કુલ દળ)
  = તંત્રની સ્થાનાંતરણની ગતિ-ઊર્જા (એટલે કે તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની ગતિ)

બીજું પદ : \(\frac{1}{2} \sum_i m_{\mathrm{i}} v_{\mathrm{i}}^{\prime 2}\)
= K’ = તંત્રના દરેક કણનો વેગ જ્યારે CMની સાપેક્ષે લેવામાં આવે છે ત્યારે તંત્રની ગતિ-ઊર્જા, એટલે કે કણોના તંત્રની CMની સાપેક્ષમાં ગતિ-ઊર્જા (અથવા CM જે નિર્દેશ-ફ્રેમમાં હોય, તેમાં તંત્રની ગતિ-ઊર્જા)

ત્રીજું પદ :

= 0
આમ, હવે સમીકરણ (5) નીચે મુજબ લખી શકાય :
K = \(\frac{1}{2}\)MV² + K’ …………. (6)

અગત્યની નોંધ :
ઉપરના કણોના તંત્રની કુલ ગતિ-ઊર્જાના સૂત્ર, K = \(\frac{1}{2}\)MV² + K’ ને નીચે મુજબ પણ રજૂ કરી શકાય છે :
K = (KE)_total = (KE)_{of CM} CM + (KE)_{wrt CM}
હવે, જો સંમિત દઢ પદાર્થ શુદ્ધ રોલિંગ ગતિ કરતો હોય,
તો (KE)_{of CM} = \(\frac{1}{2}\)Mυ² CM = \(\frac{1}{2}\)MV² અને
(KE)_{wrt CM} = \(\frac{1}{2}\)I_CMω²
આમ, શુદ્ધ રોલિંગ ગતિના કિસ્સામાં જ્યારે સંમિત દૃઢ પદાર્થની ભ્રમણાક્ષ ગતિની દિશા પરત્વે નિશ્ચિત હોય (પોતાના સ્થાન પરત્વે નહીં) ત્યારે
(KE)_total = \(\frac{1}{2}\)Mυ² CM + \(\frac{1}{2}\)I_CMω²
જ્યાં, I_CM = સંમિત દૃઢ પદાર્થની તેના CMમાંથી પસાર થતી અને તેના ચાકગતિના સમતલને લંબ, અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા

ઉપરનું આ સૂત્ર ત્યારે જ વપરાય જ્યારે દઢ પદાર્થનો ભ્રમણાક્ષ ગતિની દિશા બદલતો ન હોય.
ઉદાહરણ : શુદ્ધ રોલિંગ કરતી ડિસ્ક.

(C)

આકૃતિ 7.96માં દર્શાવ્યા મુજબ યામાક્ષ પદ્ધતિના ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે દૃઢ પદાર્થના CMનો સ્થાનસદિશ \(\vec{r}_{\mathrm{CM}}=\vec{R}\) છે.

દઢ પદાર્થના કોઈ યાદચ્છિક કણ i(જેનું દળ m_i છે)નો CMની સાપેક્ષે સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_i^{\prime}}\) અને ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}\) છે.

આકૃતિ 7.96 પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
\(\vec{R}+\overrightarrow{r_1^{\prime}}=\overrightarrow{r_1}\)
∴ \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}^{\prime}}=\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}-\vec{R}\) …………….. (1)

ધારો કે, i મા કણનો તંત્રના CMની સાપેક્ષે (એટલે કે, CMની ફ્રેમમાં) વેગ \(\overrightarrow{v_i^{\prime}}\) છે અને CMનો પોતાનો વેગ \(\vec{v}_{\mathrm{CM}}=\vec{V}\) છે, જે ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે છે.

આમ, i મા કણનું ઉગમબિંદુ ૦ ની સાપેક્ષે એટલે કે, Laboratory frameમાં સ્થાનસદિશ \(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{r_1^{\prime}}+\vec{R}\) …………. (2)
અને રેખીય વેગ છ = \(\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\vec{V}\) …………. (3)
∴ i મા કણનું ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષે એટલે કે, Laboratory frame માં કોણીય વેગમાન,
\(\overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}=\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}} \times m_{\mathrm{i}} \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}=m_{\mathrm{i}}\left(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}} \times \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}}\right)\)
∴ \(\overrightarrow{l_{\mathrm{i}}}=m_{\mathrm{i}}\left[\left(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\vec{R}\right) \times\left(\vec{V} \times \overrightarrow{v_{\mathrm{i}}^{\prime}}\right)\right]\) ………… (4) (∵ સમીકરણ (2) અને (3) વાપરતાં)
∴ સમગ્ર દૃઢ પદાર્થનું ઉગમબિંદુ O ની સાપેક્ષમાં કુલ કોણીય વેગમાન,
\(\vec{L}=\sum_i m_{\mathrm{i}}\left[\left(\overrightarrow{r_{\mathrm{i}}^{\prime}}+\vec{R}\right) \times\left(\vec{V}+\overrightarrow{v_{\mathrm{i}}^{\prime}}\right)\right]\) …………. (5)



ટૉર્કની વ્યાખ્યા પરથી, સમીકરણ (1)ની જમણી બાજુનું દરેક પદ, દૃઢ પદાર્થના દરેક કણ પર લાગતું કુલ ટૉર્ક છે.
કારણ કે, દઢ પદાર્થના કોઈ પણ કણ પર લાગતું કુલ બળ એ તે કણ પર લાગતાં બાહ્ય બળો અને આંતરિક બળોનો સદિશ સરવાળો હોય છે.

હવે, કણોના તંત્રમાંના કણો વચ્ચે પ્રવર્તતાં આંતરિક ક્રિયાગત બળોને કારણે ઉદ્ભવતું કુલ ટૉર્ક \(\sum_i \vec{\tau}_{\mathrm{i} \text { internal }}^{\prime}\) શૂન્ય હોય છે.

આમ, સાબિત થાય છે કે કણોના તંત્રના CMને અનુલક્ષીને તંત્રના કોણીય વેગમાનના ફેરફારનો (સમય) દર એ તંત્ર પર CMને અનુલક્ષીને લાગતા તમામ બાહ્ય ટૉર્કના સિંદેશ સરવાળા જેટલો હોય છે.

ખૂબ મહત્ત્વનું જ્ઞાન
અનેક કણોના બનેલા તંત્રની અંદર કણોની દરેક જોડ વચ્ચે પ્રવર્તતાં ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય છે.
સાબિતી :

અહીં, \(\vec{F}_{12}=-\overrightarrow{F_{21}}\) છે. જ્યાં, \(\vec{F}_{12}\) = m₁ ૫૨ m₂ દળ ધરાવતા કણ દ્વારા લાગતું બળ તથા \(\vec{F}_{21}\) = ૫૨ m₂ m₁ દળ ધરાવતા કણ દ્વારા લાગતું બળ છે.

હવે, ઉગમબિંદુ O ને અનુલક્ષીને \(\vec{F}_{12}\) અને \(\vec{F}_{21}\) ના લીધે પ્રવર્તતાં ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો
= \(\overrightarrow{\tau_1}+\overrightarrow{\tau_2}\)
= \(\left(\overrightarrow{r_1} \times \vec{F}_{12}\right)+\left(\overrightarrow{r_2} \times \vec{F}_{21}\right)\)
= \(\overrightarrow{r_1} \times \vec{F}_{12}+\vec{r}_2 \times-\vec{F}_{12}\)
= \(\left(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}\right) \times \overrightarrow{F_{12}}\)
હવે, સદિશ (\(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}\)) ની દિશા દળ ધરાવતાં બંને કણોને જોડતી રેખાની દિશામાં, સ્પષ્ટરૂપે m₂ થી m₁ તરફની દિશામાં છે, એટલે કે \(\vec{F}_{12}\) એ (\(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}\))ને પ્રતિસમાંતર છે.
∴ (\(\overrightarrow{r_1}-\overrightarrow{r_2}\)) × \(\vec{F}_{12}\) = 0 (∵ sin 180° = 0)
આમ, કણોના તંત્રની અંદર કણોની દરેક જોડ વચ્ચે
પ્રવર્તતાં ટૉર્કનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય હોય છે.