GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 5 ગતિના નિયમો

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 5 ગતિના નિયમો Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 5 ગતિના નિયમો

GSEB Class 11 Physics ગતિના નિયમો Text Book Questions and Answers

(સરળતા ખાતર સંખ્યાકીય ગણતરીઓમાં g = 10m s^-2 લો.)
પ્રશ્ન 1.
નીચેના કિસ્સાઓમાં લાગતા ચોખ્ખા (પરિણામી) બળનાં માન અને દિશા જણાવો :
(a) અચળ ઝડપથી નીચે પડતા વરસાદનાં ટીપાં પર
(b) પાણી પર તરતા 10g દળના બૂચ પર
(c) આકાશમાં યુક્તિપૂર્વક સ્થિર રાખેલા પતંગ પર
(d) ખરબચડા રસ્તા પર 30 km/hના અચળ વેગથી ગતિ કરતી કાર પર
(e) બધા દ્રવ્ય પદાર્થોથી દૂર અને વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રોથી દૂર અવકાશમાં ગતિ કરતા ખૂબ ઝડપી ઇલેક્ટ્રૉન પર
ઉત્તર:
(a) અચળ ઝડપથી નીચે પડતાં વરસાદનાં ટીપાંનો પ્રવેગ a = 0 હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર ટીપાં પર લાગતું પરિણામી બળ (F = ma = 0) શૂન્ય હોય છે.
(વરસાદના ટીપાંનું વજન, હવા વડે લાગતા ઊર્ધ્વદાબ અને શ્યાનતા વડે સમતોલાય છે.)

(b) પાણીમાં તરતા બૂચનું વજન એ પાણી દ્વારા લાગતાં ઊર્ધ્વદાબ (એટલે કે બૂચ દ્વારા ખસેડાયેલા પાણીનું વજન) વડે સમતોલાય છે. આથી બૂચ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.

(c) પતંગ સ્થિર રહેતો હોવાથી, ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ અનુસાર તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે. પતંગ પર હવા દ્વારા લાગતું બળ એ દોરીમાં ઉદ્ભવતા તણાવ બળ દ્વારા સમતોલાય છે.

(d) અચળવેગથી ગતિ કરતી કારનો પ્રવેગ a = 0 હોય છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર કાર પર લાગતું પરિણામી બળ F = ma = ૦ થાય.
અહીં, એન્જિન વડે ઉદ્ભવતું બળ એ ખરબચડા રસ્તા વડે ઉદ્ભવતા ઘર્ષણ વડે સમતોલાય છે.

(e) ઇલેક્ટ્રૉન એ ગુરુત્વીય, ચુંબકીય કે વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ગતિ કરતો ન હોવાથી તેના પર ક્ષેત્ર દ્વારા બળ લાગતું નથી. એટલે કે, તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 2.
0.05 kg દળની એક લખોટી ઊદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. લખોટી પર લાગતા ચોખ્ખા બળનું માન અને દિશા નીચેના કિસ્સાઓમાં જણાવો :
(a) તેની ઊર્ધ્વદિશામાંની ગતિ દરમિયાન
(b) તેની અધોદિશામાંની ગતિ દરમિયાન
(c) તે ક્ષણિક સ્થિર હોય તે ઉચ્ચતમ બિંદુએ.
જો લખોટીને સમક્ષિતિજ સાથે 45°ના કોણે ફેંકવામાં આવી હોય, તો શું તમારા જવાબો જુદા હોત? હવાનો અવરોધ અવગણો.
ઉત્તર:
લખોટીની ઊર્ધ્વદિશામાં કે અધોદિશામાં ગતિ દરમિયાન તે અચળ ગુરુત્વપ્રવેગ g = 10 m s^-2થી ગતિ કરે છે. જે અધોદિશામાં હોય છે.
m = 0.05 kg, g = 10 m s^-2.

(a) લખોટીની ઊર્ધ્વદિશામાં ગતિ દરમિયાન તેના પરનું પરિણામી બળ,
F = mg = (0.05) (10) = 0.5 N, જે અધોદિશામાં હશે.

(b) લખોટીની અધોદિશામાં ગતિ દરમિયાન તેના પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = mg = (0.05) (10) = 0.5 N
આ બળ પણ અધોદિશામાં હશે.

(c) ઉચ્ચતમ બિંદુએ લખોટી થોડીક ક્ષણ માટે સ્થિર હોય છે, પરંતુ તેનો પ્રવેગ g = 10 m s^-2 હોય છે. આથી પરિણામી બળ,
F = mg = (0.05) (10) = 0.5 N, જે અધોદિશામાં હોય છે.
લખોટીને સમક્ષિતિજ દિશા સાથે 45°ના ખૂણે ફેંકતા તે મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર હોતી નથી, કારણ કે તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ હોય છે.
આમ, ત્રણેય કિસ્સામાં લખોટી પર લાગતું પરિણામી બળ (F = 0.5 N) અધોદિશામાં લાગે છે.

પ્રશ્ન 3.
નીચેના દરેક કિસ્સામાં 0.1 kg દળ ધરાવતા એક પથ્થર પર લાગતા બળનું માન અને દિશા જણાવો :
(a) સ્થિર રહેલી ટ્રેનની બારીમાંથી તેને પડવા દીધા પછી તરત
(b) 36 km / hની અચળ ઝડપથી દોડતી ટ્રેનની બારીમાંથી તેને પડવા દીધા પછી તરત
(c) 1 m s^-2થી પ્રવેગિત થતી ટ્રેનની બારીમાંથી તેને પડવા દીધા પછી તરત
(d) 1 m s^-2થી પ્રવેગિત થતી ટ્રેનના તળિયા પર ટ્રેનની સાપેક્ષે સ્થિર રહેલ હોય ત્યારે
દરેક કિસ્સામાં હવાનો અવરોધ અવગણો.
ઉત્તર:
m = 0.1 kg, g = 10 m s^-2

(a) સ્થિર ટ્રેનની બારીમાંથી પથ્થરને છોડતાં તે મુક્તપતન કરે છે. આથી તેના પર લાગતું બળ,
F = mg = (0.1) (10) = 1 N
આ બળ શિોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.

(b) અચળવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. આથી ટ્રેનની બારીમાંથી પથ્થરને પડતો મૂકતાં તેના પર ટ્રેનની ગતિને કારણે કોઈ બળ લાગતું નથી.
પથ્થર પર લાગતું બળ = F = mg = (0.1) (10) = = 1 N
પથ્થર પર આ બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.

(c) 1 m s^-2ના પ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનને કારણે ટ્રેનની ગતિની દિશામાં પથ્થર પર વધારાનું બળ લાગશે.
F’ = ma = (0.1) (1) = 0.1 N
પરંતુ જે ક્ષણે પથ્થરને પડતો મૂકવામાં આવે છે તે ક્ષણે F’ = 0 હોય છે. આથી પથ્થર પર પરિણામી બળ,
F = mg = 0.1 × 10 = 1 N
આ બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લાગે છે.

(d) પથ્થર જ્યારે ટ્રેનના તળિયા પર છે ત્યારે તેનો પ્રવેગ પણ ટ્રેન જેટલો હોય છે.
આથી પથ્થર પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = ma = (0.1) (1) = 0.1N
આ બળ એ ટ્રેનની ગતિની દિશામાં હોય છે.
(આ કિસ્સામાં પથ્થરનું વજન તળિયા વડે લાગતાં લંબ પ્રતિક્રિયા બળ વડે સમતોલાય છે.)

પ્રશ્ન 4.
લીસા સમક્ષિતિજ ટેબલ પર l લંબાઈની દોરીનો એક છેડો m દળના કણ સાથે અને બીજો છેડો એક નાની ખીલી સાથે જોડેલ છે. જો કણ υ ઝડપથી વર્તુળમય ગતિ કરે, તો કણ પરનું ચોખ્ખું (પરિણામી) બળ (કેન્દ્ર તરફની દિશામાં) કેટલું હશે તે નીચેનામાંથી પસંદ કરો:
(a) T
(b) T – \(\frac{m v^2}{l}\)
(0) T + \(\frac{m v^2}{l}\)
(d ) 0
T દોરીમાંનો તણાવ છે.
ઉત્તર:
વિકલ્પ (a)
કણ પર લાગતું પરિણામી બળ એ દોરીમાંનું તણાવ બળ છે, જે કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે. આ બળ એ કેન્દ્રગામી બળ છે, જે કણની વર્તુળમય ગતિ માટે જવાબદાર છે.

પ્રશ્ન 5.
15ms^-1ની પ્રારંભિક ઝડપથી ગતિ કરતા 20 kg દળના એક પદાર્થ પર 50 Nનું પ્રતિપ્રવેગ ઉપજાવતું અચળ બળ લગાડવામાં આવે છે. પદાર્થને અટકાવવામાં કેટલો સમય લાગશે?
ઉકેલ:
F = – 50 N, m = 20 kg, υ₀ = 15 ms^-1, υ = 0
હવે, F = ma પરથી,
પદાર્થનો પ્રવેગ, a = \(\frac{F}{m}=\frac{-50}{20}\) = -2.5 m s^-2
હવે, υ = υ₀ + at પરથી,
t = \(\frac{v-v_0}{a}=\frac{0-15}{-2.5}\)
∴ t = 6 s

પ્રશ્ન 6.
3 kg દળના એક પદાર્થ પર લાગતું અચળ બળ તેની ઝડપ 2.0 m s^-1થી 25 sમાં બદલીને 3.5 m s^-1 કરે છે. પદાર્થની ગતિની દિશા બદલાતી નથી. બળનું માન અને દિશા જણાવો.
ઉકેલ :
m = 3 kg, υ₀ = 2 m s^-1, υ = 3.5 m s^-1, t = 25 s
હવે, υ = υ₀ + at અનુસાર,
3.5 = 2 + (a × 25)
∴ a = \(\frac{3.5-2}{25}\) = 0.06 m s^-2
બળ F = ma = 3 × 0.06 = 0.18 N
પદાર્થ પર બળ લાગતાં તેની ઝડપ વધે છે. આથી આ બળ પદાર્થની ગતિની દિશામાં હશે.

પ્રશ્ન 7.
5 kg દળના એક પદાર્થ પર પરસ્પર લંબ એવાં બે બળો 8N અને 6 N લાગે છે. પદાર્થના પ્રવેગનું માન અને દિશા જણાવો.
ઉકેલ:

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પદાર્થ પર બે બળો F₁ અને F₂ એ પરસ્પર લંબદિશામાં લાગે છે.
F₁ = 8 N, F₂ = 6 N, m = 5 kg
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2}\)
= \(\sqrt{8^2+6^2}\)
= 10 N
પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m}=\frac{10}{5}\) = 2 m s^-2
આ પ્રવેગ એ પરિણામી બળની દિશામાં હોય છે. ધારો કે પરિણામી બળ F એ F₁ સાથે θ કોણે છે.
∴ tan θ = \(\frac{F_2}{F_1}=\frac{6}{8}\) = 0.75
∴ θ = tan^-1 (0.75) = 36° 52′ ≈ 37°

પ્રશ્ન 8.
86 km/hની ઝડપથી વાહન ચલાવતો એક ડ્રાઇવર રસ્તા વચ્ચે એક બાળકને ઊભેલો જુએ છે અને તે બાળકને બચાવવા માટે તેનું વાહન 4.0 sમાં સ્થિર થવું તેને જરૂરી લાગે છે, તો વાહન પર વેગ ઘટાડતું સરેરાશ કેટલું બળ લગાડવું પડે? વાહનનું દળ 400kg અને ડ્રાઇવરનું દળ 65 kg છે.
ઉકેલ :
υ₀ = 36 km/h = \(\frac{36 \times 1000(\mathrm{~m})}{3600(\mathrm{~s})}\) = 10 m s^-1
υ = 0, t = 4 S,
વાહનનું દળ + ડ્રાઇવરનું દળ = m = 400 + 65 = 465 kg
υ = υ₀ + at પરથી,
a = \(\frac{v-v_0}{t}=\frac{0-10}{4}\) = – 2.5 m s^-2
વાહન પર લાગતાં અવરોધક બળનું મૂલ્ય,
F = ma = 465 × 2.5 = 1162.5 N

પ્રશ્ન 9.
ઊંચકાયા (Lift) વગર 20,000 kgનું દળ ધરાવતા એક રૉકેટને વિસ્ફોટ કરાવતાં તે ઊર્ધ્વદિશામાં 5.0 m s^-2ના પ્રારંભિક પ્રવેગથી ગતિ કરે છે, તો વિસ્ફોટથી લાગતો પ્રારંભિક ધક્કો (બળ) ગણો.
ઉકેલ :
m = 20,000 kg, a = 5.0 m s^-2, F = ?
પ્રારંભિક ધક્કો (F) = ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રવેગ a માટે જરૂરી બળ + ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દૂર કરવા જરૂરી બળ
∴ F = ma + mg
= m (a + g)
= 20,000 (5 + 10)
= 3 × 10⁵ N

પ્રશ્ન 10.
0.40 kg દળના અને પ્રારંભમાં ઉત્તર દિશામાં 10 m s^-1ની ઝડપથી ગતિ કરતા એક પદાર્થ પર 8.0N બળ દક્ષિણ દિશામાં 30 s સુધી લાગે છે. બળ લગાડવાની ક્ષણને t = 0 અને તે સ્થાનને x = 0 લઈને t = – 5 s, 25s; 100 s સમયે તેનાં સ્થાન શોધો.
ઉકેલ:
m = 0.40 kg, t = 30 s, υ₀ = 10 m s^-1
F = – 8 N (બળ એ પદાર્થની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.)
પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m}=\frac{-8}{0.4}\)
F – 8 m 0.4 = – 20 m s^-2 (0 ≤ t≤ 30 s)

(i) t = – 5 s માટે પદાર્થ પર બળ લાગતું નથી. આથી a = 0 છે.
પદાર્થનું સ્થાનાંતર x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
= υ₀ t = 10 × (-5)
x = – 50 m

(ii) t = 25 s માટે,
x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
= (10) (25) + \(\frac{1}{2}\)(- 20) (25)²
= – 6000 m = – 6 km

(iii) t = 100 s માટે,
અહીં, પદાર્થ પર t = 0થી t = 30 s સુધી બળ લાગે છે. ત્યારબાદની 70 s દરમિયાન બળ લાગતું નથી. પ્રથમ 30 sમાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર,
x₁ = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
= (10) (30) + \(\frac{1}{2}\) (-20) (30)²
= – 8700 m
t = 30 s ક્ષણે પદાર્થનો વેગ,
υ = υ₀ + at
= 10 + (-20) (30)
= -590 m s^-1
હવે, પછીની 70 s દરમિયાન પદાર્થ પર બળ લાગતું નથી અને તે અચળ વેગ υ = – 590 m s^-1થી ગતિ કરે છે. આ દરમિયાન તેનું સ્થાનાંતર,
x₂ = υt
= (-590) (70)
= – 41300 m
t = 100 s સમયે પદાર્થનું સ્થાન,
x = x₁ + x₂
= -8700 – 41300
= – 50,000 m = – 50 km

પ્રશ્ન 11.
એક ટ્રક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને 2.0 m s^-2ની પ્રવેગિત ગતિ કરે છે. t = 10 સેકન્ડે ટ્રકની ઉપર ઊભેલી (જમીનથી 6m ઊંચાઈએ) એક વ્યક્તિ પથ્થરને પડવા દે છે. t = 11 સેકન્ડે પથ્થરના (a) વેગ અને (b) પ્રવેગ કેટલા હશે? (હવાનો અવરોધ અવગણો.)
ઉકેલ :
υ₀ = 0, a = 2 m s^-2, g = 10 ms^-2, t = 10 s.
t = 10 s સમયે ટ્રકનો વેગ,
υ = υ₀ + at
= 0 + (2) (10) = 20 m s^-1

(a) t = 10 s સમયે પથ્થરને પડવા દેવામાં આવે છે. આથી આ સમયે પથ્થરનો સમક્ષિતિજ વેગ υ_x = 20 m s^-1 થશે અને અધોદિશામાં પ્રારંભિક વેગ υ_oy = 0 હશે. તેમજ a = g = 10 ms^-2 થશે.

t = 11 s – 10 s = 1 s દરમિયાન
પથ્થરનો અધોદિશામાં વેગ,
υ_y = υ_oy + at
= 0 + (10) (1)
= 10 m s^-1
પથ્થરનો પરિણામી વેગ,
υ = \(\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}\)
= \(\sqrt{20^2+10^2}\) = 22.4 m s^-1
પરિણામી વેગ υ એ υ_x સાથે θ કોણે છે.
tan θ = \(\frac{v_y}{v_x}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}\)
∴ θ = tan^-1(\(\frac{1}{2}\)) = 26.6°

(b) જે ક્ષણે પથ્થરને ટ્રકમાંથી પડતો મૂકવામાં આવે છે ત્યારે તેના પર સમક્ષિતિજ દિશામાં બળ લાગતું નથી અને પથ્થર ફક્ત ગુરુત્વપ્રવેગ વુ = 10 m s^-2થી અધોદિશામાં ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 12.
એક ઓરડાની છત પરથી 2m લાંબી દોરી વડે 0.1 kg દળના લટકાવેલા એક ગોળાને દોલિત કરવામાં આવે છે. તેના મધ્યમાન સ્થાને ગોળાની ઝડપ 1 m s^-1 છે. ગોળો જ્યારે
(a) તેનાં કોઈ એક અંત્યસ્થાને હોય
(b) તેના મધ્યમાન સ્થાને હોય, ત્યારે દોરીને કાપવામાં આવે, તો ગોળાનો ગતિપથ કેવો હશે?
ઉત્તર:
(a) દોલિત ગતિ કરતા પદાર્થનો અંત્યસ્થાને વેગ શૂન્ય હોય છે. એટલે કે તે ક્ષણ પૂરતો સ્થિર થાય છે. આ સમયે જો દોરી કાપી નાખવામાં આવે, તો પદાર્થ ગુરુત્વપ્રવેગ દ્વથી અધોદિશામાં ગતિ કરશે અને તેનો ગતિપથ સુરેખ હશે.

(b) દોલિત પદાર્થને તેના ગતિપથના મધ્યમાન સ્થાને સમક્ષિતિજ દિશામાં વેગ હોય છે. આ સ્થાને દોરી કાપતાં તે ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે. અહીં તે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તરીકે વર્તે છે અને પરવલય માર્ગે ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 13.
70 kg દળનો એક માણસ એક લિફ્ટમાં વજનકાંટા પર ઊભો છે. નીચેના દરેક કિસ્સામાં વજનકાંટા પરનું અવલોકન કેટલું હશે?
( a) લિફ્ટ ઉપર તરફ 10 ms^-1ની નિયમિત ઝડપથી ગતિ કરે છે.
(b) લિફ્ટ નિમ્નદિશા(અધોદિશા)માં 5m s^-2ના નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
(c) લિફ્ટ ઊર્ધ્વદિશામાં 5m s^-2ના નિયમિત પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
(d) લિફ્ટની યંત્રરચના નિષ્ફળ જાય છે અને લિફ્ટ સપાટાભેર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નીચે મુક્તપતન કરે છે.
ઉકેલ:
(a) લિફ્ટ નિયમિત ઝડપથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે. આથી લિફ્ટ / વ્યક્તિનો પ્રવેગ a = 0 થશે. પરિણામે વ્યક્તિ પર લાગતું આભાસી બળ શૂન્ય હોય છે.
∴ લિફ્ટમાં વ્યક્તિનું વજન W = mg
= 70 × 10
= 700 N
= 70 kg wt

(b) લિફ્ટ અધોદિશામાં નિયમિત પ્રવેગ aથી ગતિ કરે ત્યારે વ્યક્તિ પર લાગતું આભાસી બળ ઊર્ધ્વદિશામાં હોય છે. આથી લિફ્ટમાં વ્યક્તિનું આભાસી વજન,
W = mg – ma
= m (g – a)
= 70 (10 – 5)
= 350 N
= 35 kg wt

(c) લિફ્ટ ઊર્ધ્વદિશામાં a જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરે ત્યારે વ્યક્તિ પર લાગતું આભાસી બળ (ma) અધોદિશામાં હોય છે. આથી લિફ્ટમાં વ્યક્તિનું આભાસી વજન,
W = mg + ma
= m (g + a)
= 70 (10 + 5)
= 1050 N
= 105 kg wt

(d) ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ લિફ્ટ મુક્તપતન કરે ત્યારે લિફ્ટનો પ્રવેગ a = g થશે. આથી વ્યક્તિનું વજન,
W = mg – ma
= mg – mg
= O N
= O kg wt
આને ભારવિહીનતા અવસ્થા કહે છે.

પ્રશ્ન 14.
આકૃતિ 5.45 4 kg દળના એક કણનો સ્થાન-સમય આલેખ દર્શાવે છે. (a) t < 0, t > 4s, 0 < t < 4 s, સમયે કણ પર લાગતું બળ (b) t = 0 અને (c) t < 4 s સમયે આઘાત શોધો. (ગતિ એક પારિમાણિક ગણો.)

ઉકેલ:
( a ) t < 0 માટે કણનો x – t આલેખ BO છે. જે દર્શાવે છે કે કણનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે. એટલે કે કણ સ્થિર અવસ્થામાં છે અને તેના પર કોઈ બળ લાગતું નથી. – t > 4 s માટે કણનો x – t આલેખ સુરેખ છે. આ દર્શાવે છે કે 4 s સમય બાદ કણ 3m સ્થાને સ્થિર છે. એટલે કે તેના પર કોઈ બળ લાગતું નથી.
– 0 < t < 4s માટે કણનો x – t આલેખ OA છે. આ આલેખનો ઢાળ અચળ છે. એટલે કે તે નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે અને
તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે. આમ, આ સમયગાળા દરમિયાન કણ પર કોઈ બળ લાગતું નથી.

(b) કણનું દળ m = 4.0 kg
t = 0 s સમય પહેલા ણ સ્થિર છે. આથી પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0
t = 0 s સમય બાદ કણનો વેગ υ = OA રેખાનો ઢાળ
∴ υ = \(\frac{3}{4}\) m s^-1
બળનો આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર
= m (υ – υ₀)
= 4(\(\frac{3}{4}\) – 0)
= 3 kg m s^-1

(c) t = 4 s પહેલાં કણનો અચળ વેગ υ₀ = \(\frac{3}{4}\) m s^-1 છે.
t = 4 s પછી કણ સ્થિર છે. υ = 0
∴ બળનો આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર
= ms-‘ છે.
= m (υ – υ₀)
=4(0 – \(\frac{3}{4}\))
= – 3 kg m s^-1

પ્રશ્ન 15.
10 kg અને 20 kg દળ ધરાવતા બે પદાર્થો A અને Bને લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર રાખી એક હલકી દોરીના છેડાઓ સાથે બાંધેલ છે. F = 600 Nનું એક સમક્ષિતિજ બળ (1) A પર (ii) B પર દોરીની દિશામાં લગાડવામાં આવે છે. દરેક કિસ્સામાં દોરીમાં તણાવ કેટલો હશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, દોરીમાં ઉદ્ભવતો તણાવ T અને બળની દિશામાં તંત્રનો પ્રવેગ a છે.
F = 600 N, m_A = 10 kg, m_B = 20 kg
∴ તંત્રનો પ્રવેગ a = \(\frac{F}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}=\frac{600}{10+20}\) = 20 m s^-2

(i) પદાર્થ A પર બળ લગાડતા દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પદાર્થ A પર બળ લગાડી તંત્રને ખેંચતા દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ T₁ છે.
T₁ = m_B · a = (20) (20) = 400 N

(ii) પદાર્થ B પર બળ લગાડતા દોરીમાં ઉત્પન્ન થતું તણાવ બળ : આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ પદાર્થ B પર બળ લગાડી તંત્રને ખેંચતા દોરીમાં T₂ જેટલું તણાવ બળ ઉત્પન્ન થાય છે.
T₂ = m_A · a (10) (20) = 200 N

પ્રશ્ન 16.
8 kg અને 12 kg દળના બે પદાર્થો ઘર્ષણ રહિત ગરગડી પરથી પસાર થતી એક ખેંચાય નહિ તેવી દોરીના એક-એક છેડે બાંધેલ છે. આ દળોને છોડી દેવામાં આવે (દોરીથી છોડ્યા વિના પડવા દઈએ), તો તેમનો પ્રવેગ અને દોરીમાંનો તણાવ શોધો.
ઉકેલ :
m₁ = 8 kg, m₂ = 12 g
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ભારે વજન ધરાવતા પદાર્થ (m₂) માટે,
m₂g – T = m₂a
12 × 10 – T = 12 × a
∴ 120 – T = 12 a ……. (1)

m₁ દળના હલકા પદાર્થ માટે,
T – m₁ g = m₁ a
T – (8 × 10) = 8 a
∴ T – 80 = 8 a …………. (2)
સમીકરણ (1) અને (2)નો સરવાળો કરતાં,
40 = 20 a
∴a = \(\frac{40}{20}\) = 2 m s^-2
સમીકરણ (2)માં aની કિંમત મૂકતાં,
T – 80 = 8 (2)
∴ T = 16 + 80 = 96 N

પ્રશ્ન 17.
પ્રયોગશાળાની નિર્દેશ-ફ્રેમમાં એક ન્યુક્લિયસ સ્થિર છે. જો તે બે નાના ન્યુક્લિયસોમાં વિભંજન પામે, તો દર્શાવો કે તે નીપજો વિરુદ્ધ દિશામાં જ ગતિ કરવા જોઈએ.
ઉત્તર :
ધારો કે, સ્થિર ન્યુક્લિયસનું દળ M છે. વિભંજન પામતા બે નાના ન્યુક્લિયસોનું દળ m₁ અને m₂ છે અને તેના વેગ અનુક્રમે \(\vec{v}_1\) અને \(\vec{v}_2\) છે.
પ્રારંભમાં ન્યુક્લિયસ સ્થિર હોવાથી તેનું વેગમાન,
= \(\vec{p}=M \vec{v}\) = (m₁ + m₂) (0) = 0.
ન્યુક્લિયસના વિભંજન બાદ વેગમાન,
\(\vec{p}=m_1 \vec{v}_1+m_2 \vec{v}_2\)
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
\(m_1 \vec{v}_1+m_2 \vec{v}_2\) = 0
∴ \(\vec{v}_2=-\frac{m_1}{m_2} \vec{v}_1\)
અહીં, ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંને ન્યુક્લિયસોના વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

પ્રશ્ન 18.
0.05 kg દળના બે બિલિયર્ડ બૉલ 6 m s^-1ની ઝડપથી ગતિ કરતા કરતા અથડાય છે અને તેટલી જ ઝડપથી પાછા ફેંકાય (Rebound) છે. દરેક બૉલને બીજા વડે લગાડેલો આઘાત કેટલો હશે?
ઉકેલ:
નીચે આકૃતિમાં બે બૉલ A અને Bની અથડામણ પહેલાંની અને ત્યારબાદની પરિસ્થિતિ દર્શાવેલ છે :

બૉલ A માટે :
અથડામણ પહેલાં વેગમાન p_i = m_A · υ_A = (0.05)(+ 6)
∴ P_i = 0.3 kg ms^-1
અથડામણ બાદ વેગમાન p_f = m_A · υ’_A
= (0.05) (-6)
= – 0.3 kg m s^-1
બૉલ Bથી બૉલ A પર લાગતો આઘાત
= બૉલ Aના વેગમાનમાં ફેરફાર
= p_f – p_i
= (-0.3) – (0.3)
= – 0.6 kg m ^-1

બૉલ B માટે :
અથડામણ પહેલાં વેગમાન P_i = m_B · υ_B
= (0.05) (-6)
= – 0.3 kg m s^-1
અથડામણ બાદ વેગમાન P_f = m_B · υ’_B
= (0.05) (6)
= + 0.3 kg m s^-1
બૉલ Aથી બૉલ B પર લાગતો આઘાત
= બૉલ Bના વેગમાનમાં ફેરફાર
= p_f – P_i
= (0.3) – (-0.3)
= + 0.6 kg m s^-1
દરેક બૉલ પરના બળના આઘાતનું મૂલ્ય 0.6 kg m s^-1 છે. પરંતુ બંનેની દિશા વિરુદ્ધ છે.

પ્રશ્ન 19.
100 kg દળની ગનમાંથી 0.020 kg દળનો એક શેલ ફોડવામાં આવે છે. ગનની નાળમાંથી બહાર આવતા શેલની ઝડપ 80 m s^-1 હોય, તો ગન કેટલી ઝડપથી પાછી ફેંકાશે (recoil) ?
ઉકેલ:
ગનનું દળ m₁ = 100 kg,
શેલનું દળ m₂ = 0.02 kg,
શેલની ઝડપ υ₂ = 80 m s^-1
રિકોઇલ ગનનો વેગ υ₁ = ?
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર,
(ગન + શેલ)નું પ્રારંભિક વેગમાન = (ગન + શેલ)નું અંતિમ વેગમાન
0 = m₁υ₁ + m₂υ₂
∴ υ₁ = – \(\frac{m_2}{m_1}\)υ₂
= – \(\frac{0.02 \times 80}{100}\) = -0.016 m s^-1
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ગન એ શેલની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 20.
એક બૅટ્સમૅન એક બૉલનું તેની 54 km / hની પ્રારંભિક ઝડપમાં બદલાવ લાવ્યા સિવાય 45° ના કોણ જેટલું આવર્તન (Deflection) કરે છે. બૉલ પર લાગુ પાડેલ આઘાત કેટલો હશે? (બૉલનું દળ 0.15 kg છે.)
ઉકેલ:
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દડો \(\vec{p}_{\mathrm{i}}\) જેટલા વેગમાનથી AO દિશામાં બૅટને અથડાય છે. ત્યારબાદ તે \(\vec{p}_{\mathrm{f}}\) જેટલા વેગમાનથી OB દિશામાં પાછો ફેંકાય છે. AO અને OB દિશા વચ્ચેનો કોણ θ = 45° છે. આકૃતિમાં \(\vec{p}_{\mathrm{i}}\) અને \(\vec{p}_{\mathrm{i}}\) ના X અને Y ઘટકો દર્શાવ્યા છે.

m = 0. 15 kg, υ = 54 km/h
= \([latex] = 15 m s^-1
પ્રારંભિક વેગમાન [latex]\vec{p}_{\mathrm{i}}\) ને X અને Y ઘટકોના સ્વરૂપે લખતાં,
\(\vec{p}_{\mathrm{i}}\) = p_ixî – p_iyĵ
= mυ cos \(\frac{\theta}{2}\)î – mυ sin \(\frac{\theta}{2}\)ĵ
અંતિમ વેગમાન \(\vec{p}_{\mathrm{f}}\) ને X અને Y ઘટકોના સ્વરૂપે લખતાં,
\(\vec{p}_{\mathrm{f}}\) = p_fxî – p_fyĵ
= – mυ cos \(\frac{\theta}{2}\)î – mυ sin \(\frac{\theta}{2}\)ĵ
બૉલ પર લાગુ પડેલ આઘાત
= બૉલના વેગમાનમાં ફેરફાર
= \(\vec{p}_{\mathrm{f}}\) – \(\vec{p}_{\mathrm{i}}\)
= (- mυ cos \(\frac{\theta}{2}\)î – mυ sin \(\frac{\theta}{2}\)ĵ) – (mυ cos \(\frac{\theta}{2}\)î – mυ sin \(\frac{\theta}{2}\)ĵ)
= – 2mυ\(\frac{\theta}{2}\)î
= – 2(0.15) (15) cos 22.5î
= – 4.15î kg m s^-1
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બૉલ પરનો આઘાત એ -X-અક્ષની દિશામાં છે.

પ્રશ્ન 21.
દોરીના એક છેડે બાંધેલા 0.25 kg દળના પથ્થરને સમક્ષિતિજ સમતલમાં 1.5m ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં 40 rev/min (પરિભ્રમણ / મિનિટ)ની ઝડપથી ઘુમાવવામાં આવે છે. દોરીમાં તણાવ કેટલું હશે? જો દોરી મહત્તમ 200 Nનું તણાવ ખમી શકે તેમ હોય, તો કેટલી મહત્તમ ઝડપથી પથ્થરને ઘુમાવી શકાય?
ઉકેલ:
m = 0.25 kg, r = 1.5 m

= 34.6 m s^-1

પ્રશ્ન 22.
ઉપરના પ્રશ્ન (21)માં, જો એ મહત્તમ ઝડપ કરતાં વધુ ઝડપ આપતાં દોરી એકાએક તૂટી પડે, તો તૂટ્યા બાદ પદાર્થનો ગતિપથ નીચેનામાંથી કઈ સાચી રીતે વર્ણવી શકાય?
(a) પથ્થર ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહાર ફેંકાય છે.
(b) દોરી તૂટે તે ક્ષણથી પથ્થર સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરશે.
(c) પથ્થર સ્પર્શક સાથે એવા કોણે ગતિ કરશે કે જેનું માન પથ્થરની ઝડપ પર આધારિત હશે.
ઉત્ત :
વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થનો કોઈ પણ બિંદુએ વેગ એ તે બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે. આથી દોરી તૂટે તે ક્ષણથી પથ્થર તે ક્ષણના વેગથી સ્પર્શકની દિશામાં ગતિ કરશે. આમ, વિકલ્પ (b) સાચો છે.

પ્રશ્ન 23.
સમજાવો શા માટે,
(a) ખાલી અવકાશમાં ઘોડો ગાડીને ખેંચી અને દોડી શકતો નથી.
(b) ઝડપથી ગતિ કરતી બસ એકાએક અટકે ત્યારે મુસાફરો તેમની બેઠકથી આગળ તરફ ફેંકાય છે.
(c) ઘાસ કાપતા મશીનને ધકેલવા કરતાં ખેંચવાનું સહેલું છે.
(d) ક્રિકેટર કૅચ પકડવા દરમિયાન તેના હાથ પાછળ તરફ ખેંચે છે.
ઉત્તર:
(a) ઘોડો પૃથ્વી પર દોડે છે ત્યારે તે તેના પગથી જમીનને પાછળની તરફ દબાવે છે અને પૃથ્વી એ ઘોડા પર આગળની દિશા તરફ પ્રતિક્રિયા બળ લગાડે છે. આથી તે આગળની દિશા તરફ જઈ શકે છે. ખાલી અવકાશમાં પ્રતિક્રિયા બળ લાગતું નથી. તેથી ઘોડો ખાલી અવકાશમાં દોડી શકતો નથી.

(b) આ ઘટના પદાર્થના જડત્વના ગુણધર્મને આભારી છે. જયા૨ે ગતિમાન બસ એકાએક અટકી જાય છે ત્યારે બસની સીટ પર બેઠેલી વ્યક્તિનો શરીરનો નીચેનો ભાગ ગતિ કરતો અટકી જાય છે. પરંતુ જડત્વના ગુણધર્મ અનુસાર શરીરનો ઉપરનો ભાગ આગળની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે. આથી વ્યક્તિ આગળની તરફ ધકેલાય છે.

(c)

ઉપર દર્શાવેલ આકૃતિ 5.51(a) માં ઘાસ કાપતા મશીનને ખેંચતા તેના પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યા છે. આકૃતિ 5.51 (b)માં મશીનને ધકેલતા તેના પર લાગતાં બળો દર્શાવ્યા છે.

• આકૃતિ 5.51 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ,
  N + F sin θ = mg એટલે કે લંબબળN = mg – F sin θ
  આકૃતિ 5.51(b)માં દર્શાવ્યા મુજબ, N = mg + F sin θ.
• ઘાસ કાપતા મશીન અને જમીન વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણબળ f_k ∝ N. અહીં, ઘાસ કાપતા મશીનને ખેંચવાના કિસ્સામાં લંબપ્રતિક્રિયા બળ (N) ઓછું હોવાથી, ઘર્ષણબળ (f_k) ઓછું લાગે છે. આથી તે સરળતાથી ખેંચી શકાય છે.

(d) જ્યારે ક્રિકેટર બૉલનો કૅચ કરે છે ત્યારે બૉલ વડે હાથ ૫૨ \(\vec{F}=\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\) જેટલું બળ લાગે છે. ક્રિકેટર જ્યારે બૉલનો કૅચ કરે છે ત્યારે તે તેનો હાથ આગળ લઈ જઈ મૅચ કરીને પાછળ કે નીચે તરફ લઈ જાય છે. આમ કરવાથી બૉલ અને હાથનો સંપર્કસમય વધે છે અને બળની અસર ઓછી થાય છે. જો આમ ન કરવામાં આવે, તો હાથના પંજાને ઈજા થવાની શક્યતા રહે છે.

પ્રશ્ન 24.
આકૃતિ 5.52માં 0.04 kg દળના એક પદાર્થનો સ્થાન- સમય આલેખ દર્શાવેલ છે. આ ગતિ માટે યોગ્ય ભૌતિક સંદર્ભ જણાવો. પદાર્થને પ્રાપ્ત થતા બે ક્રમિક આઘાતો વચ્ચેનો સમય કેટલો છે? દરેક આઘાતનું મૂલ્ય શું છે?

ઉકેલ:
x – t આલેખ દર્શાવે છે કે પદાર્થ 2 sમાં x = 0 સ્થાનેથી x = 2 cm સ્થાને અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે અને પાછો તે x = 0 સ્થાને એ જ અચળ ઝડપથી પાછો આવે છે. આ આલેખ દર્શાવે છે કે કોઈ દડો, 2 cmના અંતરે આવેલી બે સમાંતર દીવાલો વચ્ચે વારંવાર અથડાયા કરે છે.
t = 2 s પહેલા કણની ઝડપ,
υ = x – t આલેખનો ઢાળ
∴ υ₁ = \(\frac{(2-0) \mathrm{cm}}{(2-0) \mathrm{s}}\)
= 1 cm s^-1 = 0.01 m s^-1
t = 2 s બાદ કણની ઝડપ,
υ₂ = x – t આલેખનો ઢાળ
∴ υ₂ = \(\frac{(0-2) \mathrm{cm}}{(4-2) \mathrm{s}}\)
= – 1 cm s^-1 = – 0.01 m s^-1
કણનું દળ m = 0.04 kg
t = 2 s સમયે આઘાત = વેગમાનમાં ફેરફાર
= mυ₂ – mυ₁
= m(υ₂ – υ₁)
= 0.04 (-0.01 – (0.01))
= – 0.0008
= – 8 × 10^-4 kg m s^-1
∴ આઘાતનું મૂલ્ય = 8 × 10^-4 kg m s^-1
અહીં, દર 2 sના સમય-અંતરાલે કણનો આવાત 8 × 10^-4 kg m s^-1 છે.

પ્રશ્ન 25.
આકૃતિ 5.53 એક સમક્ષિતિજ કન્વેયર (વહન કરાવતા) બેલ્ટ, જે 1 m s^-2થી પ્રવેગિત થાય છે, તેના પર બેલ્ટની સાપેક્ષે ઊભેલો એક સ્થિર માણસ દર્શાવેલ છે. માણસ પર ચોખ્ખું (પરિણામી) બળ કેટલું હશે? જો માણસના બૂટ અને બેલ્ટ વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.2 હોય, તો બેલ્ટના કેટલા પ્રવેગ સુધી માણસ બેલ્ટની સાપેક્ષે સ્થિર ઊભો રહી શકે? (માણસનું દળ = 65 kg)

ઉકેલ:
માણસ એ બેલ્ટની સાપેક્ષે સ્થિર છે.
∴ માણસનો પ્રવેગ = બેલ્ટનો પ્રવેગ
∴ a = 1 m s^-2
માણસનું દળ m = 65 kg
માણસ પર લાગતું પરિણામી બળ,
F = ma = 65 × 1 = 65 N
હવે, સ્થિત ઘર્ષણાંક μ_s = 0.2
સીમાંત ઘર્ષણબળ f_{s (max)} = μ_sR = μ_s mg
જો માણસ બેલ્ટના મહત્તમ પ્રવેગ a_max સુધી સ્થિર રહી શકતો હોય, તો
F = ma_max = μ_s mg
∴ a_max = μ_s g = (0.2)(10)
∴ a_max = 2.0 m s^-2

પ્રશ્ન 26.
એક દોરીને છેડે બાંધેલો m દળનો પથ્થર R ત્રિજ્યાના ઊર્ધ્વવર્તુળમાં ભ્રમણ કરે છે. વર્તુળનાં ઉચ્ચતમ અને નિમ્નતમ બિંદુઓએ, અધોદિશામાં લાગતા ચોખ્ખા (પરિણામી) બળ માટે નીચેનામાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો :

T₁ અને υ₁ નિમ્નતમ બિંદુએ તણાવ અને ઝડપ દર્શાવે છે.
T₂ અને υ₂ અનુરૂપ મૂલ્યો ઉચ્ચતમ બિંદુએ દર્શાવે છે.
ઉકેલ:

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ન્યૂનતમ બિંદુએ પથ્થર પર લાગતું વજન બળ mg અને તણાવ T₁ પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
∴ ચોખ્ખું બળ,
F_L = mg – T₁
ઉચ્ચતમ બિંદુએ પથ્થર પર લાગતું વજન બળ અને તણાવ T₂ એક જ દિશામાં છે.
∴ ચોખ્ખું બળ F_v = mg + T₂
આમ, વિકલ્પ ( a ) સાચો છે.

પ્રશ્ન 27.
1000 kg દળનું હેલિકૉપ્ટર 15 m s^-2ના ઊદિશામાંના પ્રવેગથી ઊંચે ચડી રહ્યું છે. ચાલક અને મુસાફરોનું કુલ દળ 300 kg છે. નીચેના કિસ્સાઓમાં બળનાં માન અને દિશા જણાવોઃ
(a) ચાલક અને મુસાફરો વડે તળિયા પર લાગતું બળ
(b) હેલિકૉપ્ટરના રોટર (Rotor) વડે આસપાસની હવા પરનું ક્રિયા બળ
(c) આસપાસની હવા વડે હેલિકૉપ્ટર પર લાગતું બળ
ઉકેલ:
હેલિકૉપ્ટરનું દળ m₁ = 1000 kg
ચાલક અને મુસાફરોનું દળ m₂ = 300 kg
હેલિકૉપ્ટરનો ઊર્ધ્વદિશામાં પ્રવેગ a = 15 m s^-2

(a) ચાલક અને મુસાફરો વડે તળિયા પર લાગતું બળ એટલે તેમનું આભાસી વજન. (કારણ કે હેલિકૉપ્ટર ઊદિશામાં a પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.)
F = m₂ (g + a)
= 300 (10+ 15)
= 7500 N

(b) હેલિકૉપ્ટરના રોટરનું આસપાસની હવા પરનું ક્રિયા બળ એ અધોદિશામાં લાગે છે. તેની પ્રતિક્રિયારૂપે હેલિકૉપ્ટર તેમજ ચાલક અને મુસાફરો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
∴ રોટરનું ક્રિયા બળ
= (હેલિકૉપ્ટર + ચાલક અને મુસાફર)નું આભાસી વજન
= (m₁ + m₂) (g + a)
= (1000 + 300) (10 + 15)
= 32500 N
આ ક્રિયા બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં હશે.

(c) ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ અનુસાર હવા વડે હેલિકૉપ્ટર પર ઉદ્ભવતું પ્રતિક્રિયા બળ, ક્રિયા બળ જેટલું જ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
∴ F = 32500 N જે ઊદિશામાં લાગે છે.

પ્રશ્ન 28.
10^-2 m² આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતી એક નળીમાં 15 ms^-1ની ઝડપે સમક્ષિતિજ વહન કરતા પાણીના પ્રવાહમાંથી પાણી બહાર ધસી આવીને નજીકની ઊર્ધ્વ દીવાલને અથડાય છે. પાણીની અસરથી દીવાલ પર લાગતું બળ કેટલું હશે? પાણી પાછું ફેંકાતું (Rebound) નથી તેમ ધારો.
ઉકેલઃ
υ₀ = 15 m s^-1, υ = 0, t = 1 s, A = 10^-2 m².
પાણીની ઘનતા = 1000 kg m^-3
m = દર સેકન્ડે નળીમાંથી બહાર આવતા પાણીનું દળ


= – 2250 N
∴ પાણી વડે દીવાલ પર લાગતું બળ,
F’ = – F = 2250 N

પ્રશ્ન 29.
એક ટેબલ પર એક-એક રૂપિયાના દસ સિક્કાઓ ઉપરાઉપરી મૂકેલ છે. દરેક સિક્કાનું દળ m છે. નીચેના કિસ્સાઓમાં બળનાં માન અને દિશા જણાવોઃ
(a) નીચેથી ગણતાં 7મા સિક્કા પર તેનાથી ઉપરના બધા સિક્કાઓ વડે લાગતું બળ
(b) આઠમા સિક્કા વડે 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ
(c) છઠ્ઠા સિક્કાનું 7મા સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ
ઉત્તર :
(a) 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ એટલે તેની ઉપર રહેલા ત્રણ સિક્કાઓ વડે લાગતું બળ
F = (3 m) g = 3 mg (અધોદિશામાં)

(b) 8મા સિક્કા વડે 7મા સિક્કા પર લાગતું બળ એટલે 8માં સિક્કા તેમજ તેની પર રહેલા 9મા અને 10મા સિક્કા વડે લાગતું કુલ બળ.
F (m + 2 m) g = 3 mg (અધોદિશામાં)

(c) છઠ્ઠા સિક્કાની ઉપર આવેલા ચાર સિક્કાઓ (સિક્કો 7, 8, 9 અને 10) તેના પર 4mg જેટલું બળ શિરોલંબ અધોદિશામાં લગાડે છે. આથી ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર છઠ્ઠા સિક્કા દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ એ સાતમા સિક્કા પર ઊદિશામાં લાગશે.
R = -4 mg (ઊર્ધ્વદિશામાં)
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે, કે પ્રતિક્રિયા બળ એ વજન બળની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

પ્રશ્ન 30.
એક વિમાન તેની પાંખોને 15°એ ઢળતી રાખીને 720 km/hની ઝડપથી એક સમક્ષિતિજ સમતલમાં બંધગાળો (Loop) રચે છે, આ બંધગાળાની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?
ઉકેલ:
θ = 15°, υ = 720 km/h = 200 m s^-1 g = 10 m s^-2
વિમાન જ્યારે વર્તુળમાર્ગે બંધગાળો રચે છે ત્યારે તેની બહારની અને અંદરની પાંખો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સમક્ષિતિજ સાથે 15°ના ખૂણે ઢળતી રહે છે.

વિમાન (પાંખો) પર લાગતું લંબપ્રતિક્રિયા બળ N અને તેના ઘટકો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે. વિમાનની ઊર્ધ્વદિશામાં કોઈ ગતિ નહિ હોવાથી,
N cos θ= mg ……………. (1)
Nનો સમક્ષિતિજ ઘટક N sin θ એ કેન્દ્રગામી બળ \(\frac{m v^2}{r}\) પૂરું પાડે છે.
N sin θ = \(\frac{m v^2}{r}\) ………….. (2)
સમીકરણ (2) અને (1) પરથી,
tan θ = \(\frac{v^2}{r g}\)
∴ r = \(\frac{v^2}{g \tan \theta}\)
= \(\frac{(200)^2}{10 \times \tan 15^{\circ}}\)
= 14.93 × 10³m ≈ 15 km

પ્રશ્ન 31.
એક ટ્રેન ઢોળાવ વગરના 30 m ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર ટ્રેક પર 54 km/hની ઝડપથી દોડી રહી છે. ટ્રેનનું દળ 10⁶ kg છે. આ હેતુ માટે કેન્દ્રગામી બળ કોના દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે – એન્જિન કે રેલ? રેલના પાટાનો ઘસારો અટકાવવા માટે ઢોળાવનો કોણ કેટલો રાખવો પડે?
ઉકેલ:
r = 30 m, m = 10⁶kg
υ = 54 km h^-1 = \(\frac{54 \times 1000}{3600} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\) = 15 m s^-1
અહીં, કેન્દ્રગામી બળ એ રેલવેના પાટા (રેલ) દ્વારા ટ્રેનનાં પૈડાં તરફની બાજુ લાગે છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર આ બળ ટ્રેન દ્વારા સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં રેલવેના પાટા પર લાગે છે. તેને લીધે પૈડાંની બહારની ધાર પર વધારે ઘસારો પહોંચે છે.
હવે, tan θ = \(\frac{v^2}{r g}\)
∴ θ = tan^-1(\(\frac{v^2}{r g}\)) = tan^-1(\(\frac{15 \times 15}{30 \times 10}\))
∴ θ = tan^-1(0.75) = 36.86°
∴ θ ≈ 37°

પ્રશ્ન 32.
આકૃતિ 5.56માં દર્શાવ્યા મુજબ 50 kgનો એક માણસ 25 kg દળના એક બ્લૉકને બે જુદી જુદી રીતે ઊંચકી રહ્યો છે. બે કિસ્સાઓમાં માણસ વડે તળિયા પર કેટલું ક્રિયા .બળ લાગશે? જો તળિયું 700 N લંબબળ વડે નમી પડતું હોય, તો માણસે બ્લૉકને ઊંચકવા કઈ રીત અપનાવવી જોઈએ કે જેથી તળિયું નમી પડે નહિ?

ઉકેલ:
બ્લૉકનું દળ m = 25 kg
માણસનું દળ M = 50 kg
બ્લૉકને ઊંચકવા માટે લગાવવું પડતું બળ F = mg
= 25 × 10
= 250 N
માણસનું વજન બળ W = Mg
= (50) (10) = 500 N
આકૃતિ 5.56 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ વ્યક્તિ જ્યારે F બળથી બ્લૉકને ઉપરની તરફ ખેંચે છે ત્યારે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર તેનું ક્રિયા બળ (F) તળિયા પર અધોદિશામાં લાગશે.
આથી માણસ દ્વારા તળિયા પર લાગતું કુલ ક્રિયા બળ
= W + F
= 500 + 250
= 750 N
આકૃતિ 5.56 (b)માં દર્શાવ્યા મુજબ વ્યક્તિ જ્યારે F જેટલું બળ અધોદિશામાં લગાડીને બ્લૉક ઊંચકે છે ત્યારે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર ક્રિયા બળ (F) ઊદિશામાં લાગે છે.
આથી માણસ દ્વારા તળિયા પર લાગતું કુલ ક્રિયા બળ
= W – F
= 500 – 250 = 250 N
તળિયું ફક્ત 700 N જેટલું લંબબળ ખમી શકે છે. આથી આકૃતિ 5.56 (b)માં દર્શાવેલી રીતથી વ્યક્તિએ બ્લૉક ઊંચકવો જોઈએ.

પ્રશ્ન 33.
40 kgનો એક વાંદરો એક દોરડું (આકૃતિ 5.57) કે જે મહત્તમ 600 Nનું તણાવ ખમી શકે છે તેના પર ચડે છે. નીચેનામાંથી કયા કિસ્સામાં દોરડું તૂટી જશે?

(a) વાંદરો 6 m s^-2ના પ્રવેગથી ઉપર ચડે છે.
(b) વાંદરો 4 m s^-2ના પ્રવેગથી નીચે ઊતરે છે.
(c) વાંદરો 5 m s^-1ની નિયમિત ઝડપથી ઉપર ચડે છે.
(d) વાંદરો દોરડા પર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ લગભગ મુક્તપતન કરે છે.
(દોરડાનું દળ અવગણો.)
ઉત્તર:
વાંદરાનું દળ m = 40 kg
દોરડામાં મહત્તમ તણાવ T_max = 600 N
અહીં, દરેક કિસ્સામાં દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવ એટલે વાંદરાનું આભાસી વજન.

(a) વાંદરો a = 6 m s^-2 ના પ્રવેગથી ઉપર ચડે ત્યારે દોરીમાંનું તણાવ T ઊર્ધ્વદિશામાં અને વાંદરાનું વજન અધોદિશામાં હોવાથી, પરિણામી બળ,

F = ma = T – mg
∴ T = m (g + a)
40 (10 + 6) = 640 N
અહીં, T > T_max હોવાથી દોરડું તૂટી જશે. [આકૃતિ 5.58]

(b) વાંદરો a = 4 m s^-2ના પ્રવેગથી નીચે ઊતરે ત્યારે પરિણામી બળ,

F = ma = mg – T
∴ T = m (g – a)
= 40 (10 – 6) = 240 N
અહીં, T < T_max હોવાથી દોરડું તૂટશે નહિ.

(c) વાંદરો નિયમિત ઝડપ υ = 5 m s^-1 થી ઉપર ચડે છે. આથી તેનો પ્રવેગ a = 0 છે. પરિણામી બળ
∴ T = mg = (40) (10) = 400 N
અહીં, T < T_max હોવાથી દોરડું તૂટશે નિહ.

(d) વાંદરો દોરડા ૫૨ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્તપતન કરે ત્યારે a = g હોવાથી,
T = m (g – a) = m (g – g) = O N
અહીં, T < T_max હોવાથી દોરડું તૂટશે નિહ.

પ્રશ્ન 34.
5 kg અને 10 kg દળના બે પદાર્થો A અને B, ટેબલ પર એકબીજાની સાથે સંપર્કમાં અને દીવાલને અડીને રહેલા છે (આકૃતિ 5.60) પદાર્થો અને ટેબલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.15 છે. 200 Nનું એક બળ A પર સમક્ષિતિજ લગાડવામાં આવે છે. (a) દીવાલનું પ્રતિક્રિયા બળ (b) A અને B વચ્ચે ક્રિયા-પ્રતિક્રિયા બળો શોધો, જ્યારે દીવાલને દૂર કરવામાં આવે ત્યારે શું થાય? જ્યારે પદાર્થો ગતિમાં હોય ત્યારે (b)ના જવાબમાં ફેરફાર થશે? μ_S અને μ_K વચ્ચેનો તફાવત અવગણો.

ઉકેલ:
પદાર્થ Aનું દળ_m_A = 5 kg
પદાર્થ Bનું દળ m_B = 10 kg
ઘર્ષણાંક μ = 0.15
લાગુ પાડેલ બળ F = 200 N

(a) પદાર્થ A અને B ટેબલની સપાટી સાથે સંપર્કમાં હોવાથી લાગતું ઘર્ષણબળ,
f = μ (m_A + m_B) g
= 0.15(5 + 10) 10
= 22.5 N (આ ઘર્ષણબળ ડાબી તરફ લાગે છે.)
તંત્ર પર F = 200 N બળ લગાડતાં, દીવાલ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ,
F’ = F – f = 200 – 22.5
∴ F’ = 177.5 N (જે જમણી તરફ લાગે છે.)
આથી દીવાલનું પ્રતિક્રિયા બળ = 177.5 N (જે ડાબી તરફ છે.)

(b) પદાર્થ A પર લાગતું ઘર્ષણબળ f_A
= μm_Ag
= 0.15 × 5 × 10
= 7.5 N (જે ડાબી તરફ લાગે છે.)
પદાર્થ A દ્વારા પદાર્થ B પર લાગતું ચોખ્ખું બળ (ક્રિયા બળ),
F_A = F – f_A = 200 – 7.5 N
∴ F_A = 192.5 N (જે જમણી તરફ લાગે છે.)
આથી ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ અનુસાર પદાર્થ B દ્વારા પદાર્થ A પર લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ F_B એ F_Aની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગશે.
F_B = 192.5 N (જે ડાબી તરફ લાગે છે.)

જ્યારે દીવાલ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ A અને B નું બનેલું તંત્ર એ ચોખ્ખા બળ Fની અસર હેઠળ પ્રવેગી ગતિ કરશે.

પદાર્થ A દ્વારા ઉત્પન્ન થતું બળ F’ = m_A. a
= 5 × 11.83
= 59.1 N
દીવાલને દૂર કરતાં પદાર્થ B પર A દ્વારા લાગતું પરિણામી બળ,
F_BA = F_A – F’
= 192.5 – 59.1
= 133.4 N (જે જમણી તરફ લાગે છે.)
આથી પદાર્થ B નો A પરનો પ્રત્યાઘાત F_AB = 133.4 N (જે ડાબી તરફ લાગશે.) આમ, દીવાલ દૂર કરવાથી (b)ના જવાબો બદલાય છે.

પ્રશ્ન 35.
એક લાંબી ટ્રૉલી પર 15 kg દળનો બ્લૉક મૂકેલ છે. બ્લૉક અને ટ્રૉલી વચ્ચેનો સ્થિત ઘર્ષણાંક 0.18 છે. ટ્રૉલી સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરી 20 s માટે 0.5 m s^-2થી પ્રવેગિત થઈને ત્યારબાદ નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે. (a) જમીન પરના સ્થિર નિરીક્ષક (b) ટ્રૉલી સાથે ગતિમાન નિરીક્ષકને દેખાતી બ્લૉકની ગતિની ચર્ચા કરો.
ઉત્તર:
m = 15 kg, µ_s = 0.18, a = 0.5 m s^-2, t = 20 s
(a) ટ્રૉલીની ગતિને લીધે બ્લૉક પર લાગતું બળ,
F = ma = 15 × 0.5
= 7.5 N
બ્લૉક પર લાગતું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ,
f_{s (max)} = µ_s mg
= 0.18 × 15 × 10
= 27 N
અહીં, f_{s (max)} > F હોવાથી બ્લૉક ગતિ કરશે નહિ. જમીન ૫૨ના અવલોકનકારને ટ્રૉલીની સાપેક્ષે બ્લૉક સ્થિર દેખાશે. ટ્રૉલીની પ્રવેગિત ગતિમાં પણ તે સ્થિર રહેશે. જ્યારે ટ્રૉલી અચળ વેગથી ગતિ કરે ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. આથી ટ્રૉલી દ્વારા બ્લૉક પર કોઈ બળ લાગતું નથી. આ સ્થિતિમાં બ્લૉક પર માત્ર ઘર્ષણબળ જ લાગે છે.

(b) જ્યારે અવલોકનકાર પ્રવેગિત ટ્રૉલીમાં છે, એટલે કે તે અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમમાં છે. આ સ્થિતિમાં ગતિના નિયમો લાગુ પાડી શકાય નહિ.
જ્યારે ટ્રૉલી અચળ વેગથી ગતિ કરે ત્યારે અવલોકનકારને તેની સાપેક્ષે બ્લૉક સ્થિર દેખાશે.

પ્રશ્ન 36.
આકૃતિ 5.63માં દર્શાવ્યા મુજબ એક ટ્રકની પાછળની બાજુ ખુલ્લી છે અને 40 kg દળનું એક બૉક્સ ખુલ્લા છેડાથી 5m દૂર તેના પર મૂકેલ છે. બૉક્સ અને નીચેની સપાટી વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.15 છે. એક સીધા રસ્તા પર ટ્રક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરી 2 m s^-2થી પ્રવેગિત થાય છે. પ્રારંભબિંદુથી કેટલા અંતરે બૉક્સ ટ્રકમાંથી પડી જશે? (બૉક્સનું પરિમાણ અવગણો.)

ઉકેલ:
બૉક્સનું દળ m = 40 kg
ટ્રકનો પ્રવેગ a = 2 m s^-2
ઘર્ષણાંક µ = 0.15
બૉક્સથી ટ્રકના છેડા સુધીનું અંતર x = 5 m
બૉક્સ એ ટ્રકની સાથે પ્રવેગી ગતિ કરે છે. આથી તેના પર
આભાસી બળ પાછળની તરફ લાગશે.
F = ma
બૉક્સની આ ગતિ ઘર્ષણબળ દ્વારા અવરોધાય છે.

ઘર્ષણબળ f = µ mg
∴ બૉક્સ પર પાછળની તરફ લાગતું ચોખ્ખું બળ,
F’ = F – f = ma – µmg
∴ F ‘ = m (a – µg)
= 40 (2 – (0.15 × 10))
= 20 N
આ બળથી બૉક્સ પાછળની તરફ પ્રવેગી ગતિ કરે છે.
a’= \(\frac{F^{\prime}}{m}=\frac{20}{40}\) = 0.5 m s^-2
બૉક્સને પાછળની તરફ 5m અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય t હોય, તો
x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)a’t²
∴ 5 = 0 + \(\frac{1}{2}\) (0.5) t²
∴ t = \(\sqrt{\frac{5 \times 2}{0.5}}=\sqrt{20} \mathrm{~s}\)
a પ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રકે t સમયમાં કાપેલ અંતર x’ હોય, તો
x’ = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at² = 0 + \(\frac{1}{2}\) × 2 × (\(\sqrt{20}\))²
∴ x’ = 20 m
આમ, ટ્રક પ્રારંભથી લઈ 20 m જેટલું અંતર કાપશે ત્યારે બૉક્સ ટ્રકમાંથી પડી જશે.

પ્રશ્ન 37.
15 cm ત્રિજ્યાની એક તકતી 33\(\frac{1}{3}\) rev/min (પરિભ્રમણ / મિનિટ)ની ઝડપથી ભ્રમણ કરે છે. રેકૉર્ડ(તકતી)ના કેન્દ્રથી બે સિક્કાઓ 4 cm અને 14 cm દૂર મૂકેલા છે. જો સિક્કા અને રેકૉર્ડ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.15 હોય, તો કયો સિક્કો રેકૉર્ડ સાથે ભ્રમણ ચાલુ રાખશે?
ઉકેલ:
ધારો કે, દરેક સિક્કાનું દળ m છે.
અહીં, સિક્કાની વર્તુળ ગતિ માટે,
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ≤ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણબળ
હોય, તો જ સિક્કો તકતી સાથે ભ્રમણ ચાલુ રાખી શકે.

≤ 0.12 m
∴ r ≤ 12 cm
આથી કેન્દ્રની નજીકનો 4 cm અંતરે આવેલો સિક્કો તકતી સાથે ભ્રમણ ચાલુ રાખશે અને 14 cm અંતરે મૂકેલો સિક્કો ફેંકાઈ જશે.

પ્રશ્ન 38.
તમે સરકસમાં ‘મોતના કૂવા’(એક પોલી ગોળાકાર ચેમ્બર જેમાં છિદ્રો હોય જેથી પ્રેક્ષકો બહારથી જોઈ શકે)માં ઊર્ધ્વ વલયમાં મોટરસાઇકલ ચલાવતો માણસ જોયો હશે. જ્યારે મોટરસાઇકલ ચલાવતો માણસ ઉચ્ચતમ બિંદુ પર હોય ત્યારે નીચે આધાર ન હોવાં છતાં કેમ પડી જતો નથી તે સ્પષ્ટ સમજાવો. જો ચેમ્બરની ત્રિજ્યા 25 m હોય, તો ઉચ્ચતમ બિંદુએ ઊર્ધ્વ વલય રચવા માટે લઘુતમ ઝડપ કેટલી જોઈશે?
ઉકેલ:
મોતના કૂવાના ઉપરના બિંદુએ દીવાલનું લંબબળ (N) નીચેની તરફ લાગે છે. મોટરસાઇકલ-સવારનું વજન અને લંબબળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,
N+ mg = \(\frac{m v^2}{r}\)
જ્યાં, N એ મોતના કૂવાની છત વડે મોટરસાઇકલ-સવા૨ પરનું લાગેલું લંબબળ છે.
જ્યારે N = 0 હોય ત્યારે ઝડપ લઘુતમ થાય.
∴ mg = \(\frac{m v^2}{r}\)
∴ υ = \(\sqrt{r g}\)
= \(\sqrt{25 \times 10}\) = 15.8 ms^-1

પ્રશ્ન 39.
૩ m ત્રિજ્યા
ધરાવતા અને ઊર્ધ્વઅક્ષની ફરતે 200 rev/min (પરિભ્રમણ / મિનિટ)થી ભ્રમણ કરતાં પોલા નળાકારની અંદરની દીવાલને અડીને 70 kgનો એક માણસ ઊભો છે. દીવાલ અને તેનાં કપડાં વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક 0.15 છે. જો તળિયું એકાએક દૂર કરવામાં આવે, તો માણસ (પડ્યા વિના) દીવાલને ચોંટીને રહી શકે તે માટે નળાકારની લઘુતમ કોણીય ઝડપ કેટલી હશે?
ઉકેલ :
μ = 0.15, r = 3 m, m = 70 kg
નળાકારની દીવાલ વડે માણસ પર સમક્ષિતિજ બળ N જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
∴ N = \(\frac{m v^2}{r}\) = mrω² (∵ υ = rω)
દીવાલ અને માણસનાં કપડાંની વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણબળ f (શિરોલંબ ઊર્ધ્વદિશામાં) એ માણસના વજન mgને સમતોલે છે.
નળાકારનું તળિયું દૂર કર્યા પછી વ્યક્તિ દીવાલ સાથે ચોંટી રહે તે માટે, ઘર્ષણબળ એ વજન બળ જેટલું અથવા તેના કરતાં વધુ હોવું જોઈએ.
mg = f ≤ μN
∴ mg ≤ μmrω²
∴ ω² ≥ \(\frac{g}{\mu r}\)
નળાકારની લઘુતમ કોણીય ઝડપ,
ω_min = \(\sqrt{\frac{g}{\mu r}}\)
= \(\sqrt{\frac{10}{0.15 \times 3}}\)
ω_min = 4.7 rad s^-1

પ્રશ્ન 40.
R ત્રિજ્યાનો એક પાતળો વર્તુળાકાર તાર તેના ઊર્ધ્વ વ્યાસની ફરતે છ જેટલી કોણીય આવૃત્તિથી ભ્રમણ કરે છે. આ વર્તુળ તાર પર એક નાની ગોળી તેના નિમ્નતમ બિંદુએ રહે તે માટે, ω ≤ \(\sqrt{g / R}\) છે તેમ દર્શાવો. ω = \(\sqrt{2 g / R}\) માટે કેન્દ્રને ગોળી સાથે જોડતા ત્રિજ્યા સદિશ વડે અધોદિશા (નિમ્નદિશા) સાથે બનાવેલ કોણ કેટલો હશે? ઘર્ષણ અવગણો.
ઉકેલ :
આકૃતિ 5.65માં દર્શાવ્યા મુજબ R ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર લૂપ, ω જેટલી કોણીય ઝડપથી ઊર્ધ્વ વ્યાસને અનુલક્ષી ભ્રમણ કરે છે. વર્તુળાકાર લૂપ પર ગોળી P સ્થાને છે. P અને કેન્દ્ર Oને જોડતો ત્રિજ્યા Rનો સદિશ ઊર્ધ્વઅક્ષ સાથે અધોદિશામાં θ કોણ બનાવે છે.

આકૃતિ પરથી, mg = N cos θ …………… (1)
અને mrω² = N sin θ ……………. (2)
પરંતુ r = R sin θ હોવાથી,
mR sin θ ω² = N sin θ
∴ N = mR ω²
સમીકરણ (1) પરથી,
mg (mR ω²) cos θ
∴ cos θ = \(\frac{g}{R \omega^2}\) ……………… (3)
હવે, |cos θ | ≤ 1 હોવાથી, \(\frac{g}{R \omega^2}\) ≤ 1 ગોળી સૌથી નીચેના બિંદુએ રહે તે માટે,
ω = \(\sqrt{\frac{g}{R}}\)
સમીકરણ (૩)માં ω = \(\sqrt{\frac{2 g}{R}}\) મૂકતાં,
cos θ = \(\frac{g}{R}\) . (\(\frac{R}{2 g}\)) = \(\frac{1}{2}\)
∴θ = 60°