GSEB Solutions Class 11 Physics Chapter 2 એકમ અને માપન

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 2 એકમ અને માપન Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Physics Chapter 2 એકમ અને માપન

GSEB Class 11 Physics એકમ અને માપન Text Book Questions and Answers

પ્રશ્ન 1.
ખાલી જગ્યા પૂરોઃ
(a) 1 cm બાજુવાળા એક ઘનનું કદ …………………. m³ જેટલું હશે.
(b) 2.0 cm ત્રિજ્યા અને 10 cm ઊંચાઈ ધરાવતા નક્કર નળાકારનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ ………………… (mm)² જેટલું હશે.
(c) 18 km h^-1ની ઝડપે ગતિ કરતું એક વાહન 1 sમાં ……………….. m અંતર કાપશે.
(d) સીસાની સાપેક્ષ ઘનતા 11.3 છે, તો તેની ઘનતા …………………. g cm^-3 અથવા ………………… kgm^-3
ઉત્તર:
(a) ઘનનું કદ V = l³ = (1 cm)³ = (10^-2 m)³
= 10^-6m³

(b) નળાકારની ત્રિજ્યા r = 2 cm = 20 mm
નળાકારની ઊંચાઈ h = 10 cm = 100 mm
નળાકારના પૃષ્ઠનું ક્ષેત્રફળ
A = 2πr² + 2πrh
= 2πr(r + h)
= 2 × 3.14 × 20 (20 + 100)
= 15072 mm² = 1.5 × 10⁴mm²

(c) વાહનની ઝડપ
υ = 18 km/h = \(\frac{18 \times 1000 \mathrm{~m}}{3600 \mathrm{~s}}\) = 5 m s^-1
1 sમાં કાપેલું અંતર υt = 5 × 1 = 5 m

(d)
∴ દ્રવ્યની ઘનતા
= દ્રવ્યની સાપેક્ષ ઘનતા × પાણીની ઘનતા
= 11.3 × 1 g cm^-3 = 11.3 g cm^-3
= 11.3 × 10³ kg m^-3 = 1.13 × 10⁴ kg m^-3

પ્રશ્ન 2.
એકમોના યોગ્ય પરિવર્તન દ્વારા ખાલી જગ્યા પૂરો :
(a) 1 kg m² s^-2 = …………………. gcm² s^-2
(b) 1m = ……………….. 1y
(c) 3.0 m s^-2 …………………. km h^-2
( d ) G = 6.67 × 10^-11 N m² (kg)^-2 = …………………..
(cm)³s^-2g^-1
ઉત્તર:
(a) 1 kg m² s^-2 = 1 (10³ g) (10² cm)² s^-2
= 10⁷ g cm² s^-2

(b) 1ly (પ્રકાશવર્ષ) = 9.46 × 10¹⁵ m
∴ 1 m = \(\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}\)1y
= 1.057 × 10^-16 1y ≈ 10^-16 1y

(c) 3.0 ms^-2 = 3 (10^-3 km)(\(\frac{1}{3600}\)h)^-2
= 3.888 × 10⁴ km h^-2
= 3.9 × 10⁴ km h^-2

(d) G = 6.67 × 10^-11N m² kg^-2
= 6.67 × 10^-11 kg m s^-2. m² kg^-2 (∵ IN = 1 kg m s^-2)
= 6.67 × 10^-11 m³ s^-2 kg^-1
= 6.67 × 10^-11 (10² cm)³ s^-2 (10³ g)^-1
= 6.67 × 10^-11 × 10³ cm³ s^-2g^-1
= 6.67 × 10^-8 cm³ s^-2 g^-1

પ્રશ્ન 3.
ઉષ્મા અથવા ઊર્જાનો એકમ કૅલરી છે અને તે લગભગ 4.2 J બરાબર છે. જ્યાં, 1 J = 1 kg m²s^-2. ધારો કે, એકમોની એક નવી પ્રણાલીનો ઉપયોગ કરીએ કે જેમાં દળનો એકમ αkg, લંબાઈનો એકમ βm અને સમયનો એકમ γs હોય, તો દર્શાવો કે નવા એકમોના સંદર્ભે કૅલરીનું માન α^-1 β^-2 γ² છે.
ઉત્તર:
1 કૅલરી = 4.2 J, જયાં, 1J = 1 kg m²s^-2
ઊર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર [ઊર્જા] = ML²T^-2
અહીં, a = 1, b = 2 અને c = -2 છે.

SI એકમપદ્ધતિ
ո₁ = 4.2
M₁ = 1 kg
L₁ = 1 m
T₁ = 1 s

નવી એકમપદ્ધતિ
n₂ = ?
M₂ = α kg
L₂ = βm
T₂ = γs

આમ, નવા એકમોના સંદર્ભમાં
1 કૅલરી = 4.2 J = 4.2 α^-1 β^-2 γ²

પ્રશ્ન 4.
નીચેના કથનને સ્પષ્ટ રીતે સમજાવો :
“સરખામણી માટેનાં માનકોની સ્પષ્ટતા કર્યા વગર કોઈ પારિમાણિક રાશિ ‘મોટી’ છે કે ‘નાની’ તેમ કહેવું અર્થહીન છે.” આ બાબતને ધ્યાનમાં રાખી નીચે આપેલ કથનોને જરૂરિયાત મુજબ ફરી લખો :
(a) પરમાણુઓ ખૂબ જ નાના પદાર્થ છે.
(b) જેટ પ્લેન ખૂબ ઝડપથી ચાલે છે.
(c ) જ્યુપિટરનું દળ ઘણું વધુ છે.
(d) આ રૂમમાં રહેલી હવામાં અણુઓની સંખ્યા ખૂબ જ વધારે છે.
(e) ઇલેક્ટ્રૉન કરતાં પ્રોટોન વધુ દળદાર છે.
(f) પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ધ્વનિની ઝડપ ખૂબ જ ઓછી છે.
ઉત્તર:
આપેલ કથન સત્ય છે. માપન એ પ્રમાણભૂત માપન સાથેની સરખામણીની પ્રક્રિયા છે. તેના વગર કોઈ રાશિ ‘મોટી’ છે કે ‘નાની’ તેનો અંદાજ મેળવી શકાતો નથી. દા. ત., ‘પૃથ્વીનો વ્યાસ ખૂબ જ મોટો છે.’ આ વિધાન અર્થવિહીન છે, પરંતુ ‘પૃથ્વીનો વ્યાસ એ ફૂટબૉલના દડા કરતાં ખૂબ જ મોટો છે.’ એ વિધાન અર્થપૂર્ણ છે.

(a) ‘પરમાણુઓ ખૂબ જ નાના પદાર્થ છે.’ આ વિધાન અર્થવિહીન છે.
સુધારેલ કથન : પરમાણુઓ ટાંકણીના ટોચના અણીદાર ભાગ કરતાં પણ ખૂબ જ નાના છે.

(b) ‘જેટ પ્લેન ખૂબ ઝડપથી ચાલે છે.’ આ વિધાન અર્થવિહીન છે.
સુધારેલ કથન : જેટ પ્લેન એ સુપરફાસ્ટ ટ્રેન કરતાં વધારે ઝડપથી ચાલે છે.

(c) ‘જ્યુપિટરનું દળ ઘણું વધુ છે.’
સુધારેલ કથન : જ્યુપિટરનું દળ પૃથ્વીના દળ કરતાં ઘણું વધારે છે.

(d) ‘આ રૂમમાં રહેલી હવામાં અણુઓની સંખ્યા ખૂબ જ વધારે છે.’
સુધારેલ કથન : આ રૂમમાં રહેલી હવામાં અણુઓની સંખ્યા એ બલૂનની હવામાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા કરતાં ખૂબ જ વધારે છે.

(e) ‘ઇલેક્ટ્રૉન કરતાં પ્રોટોન વધુ દળદાર છે.’ આ કથન અર્થપૂર્ણ છે

(f) ‘પ્રકાશની ઝડપ કરતાં ધ્વનિની ઝડપ ખૂબ જ ઓછી છે.’ આ કથન અર્થપૂર્ણ છે.

પ્રશ્ન 5.
લંબાઈનો નવો એકમ એવી રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ 1 એકમ થાય. જો પ્રકાશને સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર કાપતાં 8min અને 20 s લાગતા હોય, તો લંબાઈના નવા એકમ સંદર્ભે સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?
ઉત્તર:
સમય = 8 min 20 s
= (8 × 60 s) + 20 s = 500 s
શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ લંબાઈનો નવો એકમ / સમય
પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેનું અંતર = પ્રકાશની ઝડપ × સમય
= 1 × 500
= 500 (લંબાઈના નવા એક્મના સંદર્ભમાં)

પ્રશ્ન 6.
લંબાઈના માપન માટે નીચે આપેલ સાધનો પૈકી કયું સાધન વધુ સચોટ છે?
(a) વર્નિયર કેલિપર્સ જેના વર્નિયર માપમાં 20 વિભાગ છે.
(b) એક સ્ક્રૂગેજ જેનું પૅચઅંતર 1 mm અને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર 100 વિભાગ છે.
(c) એક પ્રકાશીય યંત્ર જે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ સુધીની લંબાઈ માપી શકે છે.
ઉત્તર:
જે સાધનની લઘુતમ માપ શક્તિ ઓછી હોય તે સાધન વડે લંબાઈનું સચોટ માપન કરી શકાય છે.
(a) વર્નિયર કેલિપર્સની લ.મા.શ.

= \(\frac{1}{20}\) = 0.005 cm

(b)
= \(\frac{1.0 \mathrm{~mm}}{100}\)
= \(\frac{0.1}{100}\) cm = = 0.001 cm

(c) પ્રકાશીય યંત્રની લ.મા.શ.
= દશ્યપ્રકાશની તરંગલંબાઈ
= 4000 Å = 4000 × 10^-8 cm
= 4 × 10 ^-5 cm = 0.00004 cm
અહીં, સ્પષ્ટ છે કે પ્રકાશીય યંત્રની લ.મા.શ. સૌથી ઓછી હોવાથી તે લંબાઈનું વધુ સચોટતાપૂર્વક માપન કરી શકશે.

પ્રશ્ન 7.
એક વિદ્યાર્થી 100 મોટવણી ધરાવતા માઇક્રોસ્કોપ વડે માનવ-વાળ(Hair)ની જાડાઈ માપે છે. તે 20 અવલોકનો નોંધે છે અને નક્કી કરે છે કે માઇક્રોસ્કોપનાં દશ્યક્ષેત્રમાં વાળની જાડાઈ 3.5 mm છે, તો વાળની અંદાજિત જાડાઈનું અનુમાન કરો.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 8.
નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર આપોઃ
(a) તમને એક દોરી અને મીટરપટ્ટી આપેલ છે. તમે દોરીની જાડાઈ કેવી રીતે નક્કી કરશો?
(b) એક સ્ક્રૂગેજમાં પૅચઅંતર 1.0 mm અને વર્તુળાકાર સ્કેલ પર 200 વિભાગ છે. શું તમે વિચારી શકો કે વર્તુળાકાર સ્કેલ પર વિભાગોની સંખ્યા સ્વેચ્છાએ વધારીને તેની સચોટતા વધારી શકાય?
(c) પાતળા બ્રાસના સળિયાનો વ્યાસ વર્નિયર કેલિપર્સ વડે માપવામાં આવે છે. ફક્ત 5 અવલોકનો દ્વારા મેળવેલ પરિણામની સરખામણીમાં 100 અવલોકનો વડે મેળવેલ વ્યાસનું અપેક્ષિત પરિણામ શા માટે વધુ વિશ્વસનીય હશે?
ઉત્તર:
(a) દોરીનો વ્યાસ (જાડાઈ) ખૂબ જ નાનો હોવાથી, મીટરપટ્ટીની મદદથી પ્રત્યક્ષ રીતે માપી શકાય નહિ. આથી આપણે પરોક્ષ રીતનો ઉપયોગ કરીશું. આપેલ દોરીને મીટરપટ્ટીની ‘l’ લંબાઈ પર એવી રીતે વીંટો કે જેથી તેના આંટાઓ એકબીજાના સંપર્કમાં રહે. ‘l’લંબાઈમાં રહેલા આંટાઓની સંખ્યા ગણો. ધારો કે, આંટાઓની સંખ્યા ‘n’ છે.
આથી દોરીની જાડાઈ = \(\frac{l}{n}\)

(b)
સૈદ્ધાંતિક રીતે આપણે કહી શકીએ કે વર્તુળાકાર સ્કેલ પરના વિભાગોની સંખ્યા વધારતાં ક્રૂગેજની લઘુતમ માપશક્તિ ઘટે છે અને તેના દ્વારા થતા માપનની સચોટતા વધે, પરંતુ માનવઆંખની વિભેદન શક્તિ (resolution) ઓછી હોવાથી તે ખૂબ જ નાનાં અંતરોનાં અવલોકનો સચોટતાપૂર્વક લઈ શકતી નથી.

(c) જ્યારે આપણે માપન કરીએ છીએ ત્યારે તેમાં ધન અથવા ઋણ અવ્યવસ્થિત ત્રુટિ (random error) ઉદ્ભવવાની શક્યતાઓ હોય છે. જ્યારે અવલોકનોની સંખ્યા વધુ હોય અને તેમનું સરેરાશ લેવાથી મોટા ભાગની ધન અને ઋણ ત્રુટિઓ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. પરિણામે અવ્યવસ્થિત ત્રુટિનું પ્રમાણ ઘટે છે અને માપન ચોકસાઈપૂર્વક મળે છે.

આથી 5 અવલોકનો દ્વારા મેળવેલ પરિણામની સરખામણીમાં 100 અવલોકનો વડે મેળવેલ વ્યાસનું અપેક્ષિત પરિણામ વધુ વિશ્વસનીય હશે.

પ્રશ્ન 9.
એક મકાનનો ફોટોગ્રાફ 35 mmની સ્લાઇડ પર 1.75 cm² ક્ષેત્રફળને આવરી લે છે. આ સ્લાઇડને એક પડદા પર પ્રોજૅક્ટ કરતાં પડદા પર મકાનનું ક્ષેત્રફળ 1.55m² મળે છે, તો પ્રોજૅક્ટર અને પડદાની ગોઠવણીની રેખીય મોટવણી શું હશે?
ઉકેલ :
વસ્તુ(મકાનનો ફોટોગ્રાફ)નું ક્ષેત્રફળ
= 1.75 cm²
= 1.75 × 10^-4m²
પડદા પર છબીનું ક્ષેત્રફળ = 1.55 m²

પ્રશ્ન 10.
નીચે આપેલ સંખ્યાઓમાં સાર્થક અંકો નક્કી કરો :
(a) 0.007 m²
(b) 2.64 × 10²⁴ kg
(c) 0.2370 g cm^-3
(d) 6.320 J
(e) 6.032 N m^-2
(f) 0.0006032 m²
ઉકેલઃ

પ્રશ્ન 11.
એક લંબચોરસ પાતળી ધાતુની તકતીની લંબાઈ, પહોળાઈ અને જાડાઈ અનુક્રમે 4.234 m, 1.005 m અને 2.01 cm છે. સાર્થક અંકોને ધ્યાનમાં રાખી તકતીનું ક્ષેત્રફળ અને કદ શોધો.
ઉકેલ :
લંબાઈ l =4.234m, પહોળાઈ b = 1.005m,
જાડાઈ t = 2.01 cm = 2.01 × 10^-2m = 0.0201m
તકતીનું કુલ ક્ષેત્રફળ = 2[(l × b) + (b × t) + (t × l)]
= 2[(4.234 × 1.005) + (1.005 × 0.0201) + (0.0201 × 4.234)]
= 2(4.3604739)
= 8.7209478m²

આપેલ l, bઅને t માં સૌથી ઓછી સાર્થક અંકો ધરાવતી સંખ્યા t છે અને તેને ત્રણ સાર્થક અંકો હોવાથી, ક્ષેત્રફળના મૂલ્યને ત્રણ અંકો સુધી round off કરતાં,
તકતીનું ક્ષેત્રફળ = 8.72m²
તકતીનું કદ = l × b × t
= 4.234 × 1.005 × 0.0201
= 0.0855289 m³
ત્રણ અંકો સુધી round off કરતાં,
તકતીનું કદ = 0.0855m³

પ્રશ્ન 12.
પ્રોવિઝન સ્ટોરની તુલા વડે માપેલ એક બૉક્સનું દળ 2.3 kg મળે છે. હવે આ બૉક્સમાં 20.15g અને 20.17 g દળના સોનાના બે ટુકડા મૂકવામાં આવે છે, તો
(a) બૉક્સનું કુલ દળ કેટલું થશે?
(b) યોગ્ય સાર્થક અંક સુધી બંને ટુકડાના દળનો તફાવત કેટલો થાય?
ઉકેલઃ
બૉક્સનું દળ m = 2.3 kg
સોનાના પહેલા ટુકડાનું દળ m₁ = 20.15 g = 0.02015 kg
સોનાના બીજા ટુકડાનું દળ m₂ = 20.17 g = 0.02017 kg

(a) બૉક્સનું કુલ દળ = m + m₁ + m₂
= 2.3 +0.02015 +0.02017
= 2.34032 kg
અહીં, m, m₁ અને m₂માં દશાંશસ્થાન પછી સૌથી ઓછી સાર્થક સંખ્યા mની છે અને તે એક છે. આથી ઉત્તરને દશાંશસ્થાન પછી એક અંક સુધી round off કરતાં, બૉક્સનું કુલ દળ = 2.3 kg

(b) સોનાના બંને ટુકડાના દળનો તફાવત = m₂ – m₁
= 20.17 g – 20.15 g
= 0.02 g
અહીં, m₁ અને m₂ બંનેમાં દશાંશસ્થાન પછી બે સાર્થક અંકો છે અને મળેલ ઉત્તરમાં પણ બે સાર્થક અંકો છે.
આથી દળનો તફાવત = 0.02 g.

પ્રશ્ન 13.
એક ભૌતિક રાશિ Pનો માપન યોગ્ય ચાર રાશિઓ a, b, c અને તા સાથેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે :
P = a³b² / (√c d), a, b, c અને તમાં પ્રતિશત ત્રુટિ અનુક્રમે 1 %, ૩%, 4 % અને 2 % છે, તો Pમાં પ્રતિશત
ત્રુટિ શોધો. જો ઉપર્યુક્ત સંબંધનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતાં Pનું મૂલ્ય 3.763 મળતું હોય, તો તમે આ પરિણામને કયા મૂલ્ય સુધી round off કરશો?
ઉકેલ :

= 13%
Pના પરિણામની ત્રુટિ 13% = 0.13 છે. જેને બે સાર્થક અંક છે. આથી Pના મૂલ્યને બે સાર્થક અંકો સુધી round off કરતાં,
P = 3.763 = 3.8

પ્રશ્ન 14.
મુદ્રણની ઘણી ત્રુટિઓ ધરાવતાં એક પુસ્તકમાં આવર્તગતિ કરતાં એક કણના સ્થાનાંતરનાં ચાર જુદાં જુદાં સૂત્રો આપેલ છે :
(a) y = a sin 2πt/T
(b) y = a sin υt
(c) y = (a/T) sin t/a
(d) y = (a√2 ) (sin 2π t/ T + cos 2πt/T)
(a = કણનું મહત્તમ સ્થાનાંતર, υ – કણની ઝડપ, T = આવર્તકાળ) પરિમાણને આધારે ખોટાં સૂત્રોને નાબૂદ કરો.
ઉકેલ :
આપેલા દરેક સમીકરણમાં LHSની ભૌતિક રાશિ સ્થાનાંતર (y) છે, જેનું પારિમાણિક સૂત્ર [y] = [M⁰LT⁰] છે.

(a) y = a sin \(\frac{2 \pi t}{T}\)
[a sin \(\frac{2 \pi t}{T}\)] = [L] [sin \(\frac{T}{T}\)] =
અહીં, sine વિધેય પરિમાણ રહિત છે.
આપેલ સમીકરણનું પરિમાણ ‘y’ના પરિમાણ જેટલું હોવાથી તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ યથાર્થ છે.

(b) y = a sin υt
[a sin υt] = [L][sin LT^-1 T] = L sin (L)
આપેલ સમીકરણમાં sine વિધેય પરિમાણ રહિત ના હોવાથી તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટું છે.

(c) y = (\(\frac{a}{T}\)) sin \(\frac{t}{a}\)
[(\(\frac{a}{T}\)) sin \(\frac{t}{a}\)] = [\(\frac{L}{T}[latex]] [sin [latex]\frac{T}{L}\). ]
અહીં, sine વિધેય પરિમાણ રહિત ના હોવાથી આપેલ સમીકરણ પારિમાણિક દૃષ્ટિએ ખોટું છે.

(d)
અહીં, sine અને cosine વિધેય બંને પરિમાણ રહિત છે. આપેલ સમીકરણનું પારિમાણિક સૂત્ર એ પુના પારિમાણિક સૂત્ર જેવું હોવાથી, તે પારિમાણિક દૃષ્ટિએ યથાર્થ છે.

પ્રશ્ન 15.
એક વિદ્યાર્થી ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં પ્રચલિત એવા કોઈ કણના ચલિત દળ (moving mass) m અને સ્થિર દળ (rest mass) m_O તથા કણનો વેગ υ અને પ્રકાશની ઝડપ c વચ્ચેના (આ સંબંધ પ્રથમ આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇનના વિશિષ્ટ સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતના પરિણામ સ્વરૂપે મળેલ હતો.) સંબંધને લગભગ સાચો યાદ રાખીને લખે છે, પરંતુ અચળાંક cને ક્યાં મૂકવો તે ભૂલી જાય છે. તે m = \(\frac{m_0}{\left(1-v^2\right)^{\frac{1}{2}}}\) લખે છે. અનુમાન કરો કે, ને ક્યાં મૂકવો જોઈએ?
ઉકેલ:
પરિમાણની સંકલ્પના અનુસાર સમાન પરિમાણો ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓના જ સરવાળા અથવા બાદબાકી થઈ શકે છે.

આપેલ સમીકરણમાં ‘1′ એ પરિમાણ રહિત છે. એટલે કે, υ² એ ‘1’માંથી બાદ થઈ શકે નહિ. ‘υ²’વાળા પદને પિરમાણ રહિત બનાવવા માટે જો તેને c² વડે ભાગવામાં આવે, તો પદ એ \(\frac{v^2}{c^2}\) પરિમાણ રહિત બને. આથી સાચું સૂત્ર નીચે મુજબ થશે :
m = \(\frac{m_0}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{\frac{1}{2}}}\)

પ્રશ્ન 16.
પરમાણ્વીય માપક્રમની લંબાઈનો સુવિધાજનક એકમ અઁસ્ટ્રોમ છે અને તેને Å : 1 Å = 10^-10 m દ્વારા દર્શાવાય છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુનો વિસ્તાર (ત્રિજ્યા તરીકે લો) 0.5 Å છે, તો એક મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુઓનું આણ્વિક કદ m³માં કેટલું થશે?
ઉકેલ:
હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યા,
r = 0.5 Å = 0.5 × 10^-10 m
એક પરમાણુનું કદ υ = \(\frac{4}{3}\)π r³
1 મોલમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા N_A = 6.023 × 10²³
1 મોલ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું કદ
= N_A × \(\frac{4}{3}\)π r³
= 6.023 × 10²³ × \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (0.5 × 10^-10)³
= 3.154 × 10^-7 m³
≈ 3 × 10^-7m³

પ્રશ્ન 17.
એક મોલ આદર્શ વાયુ પ્રમાણભૂત તાપમાને અને દબાણે 22.4 L જગ્યા (મોલર કદ) રોકે છે, તો 1 મોલ હાઇડ્રોજન વાયુ માટે મોલર કદ અને પરમાણ્વિક કદનો ગુણોત્તર શું થશે? શા માટે આ ગુણોત્તર ઘણો મોટો છે? (હાઇડ્રોજન અણુનું પરિમાણ (ત્રિજ્યા) 1 Å જેટલું લો.)
ઉકેલ:
હાઇડ્રોજન અણુની ત્રિજ્યા r = 1Å = 10^-10 m
1 મોલ આદર્શ વાયુનું કદ (મોલ૨ કદ)
= 22.4 litre = 22.4 × 10^-3 m³
એક મોલ હાઇડ્રોજનનું પરમાણ્વિક કદ
= N_A × \(\frac{4}{3}\)π r³
= 6.023 × 10²³ × \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (0.5 × 10^-10)³
= 25.2 × 10^-7m³

≈ 10⁴

પ્રશ્ન 18.
ઝડપથી ગતિ કરતી ટ્રેનની બારીમાંથી અવલોકન કરતાં નજીકના ઝાડ, વીજળીના થાંભલા વગે૨ે ટ્રેનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા જણાય છે. જ્યારે દૂરના અંતરે આવેલ પર્વતની ટોચ, ચંદ્ર અને તારાઓ સ્થિર જણાય છે. સમજાવો.
ઉકેલ:
પદાર્થ અને આંખને જોડતી રેખાને line of sight કહે છે. ગતિ કરતી ટ્રેનની બારીમાંથી નજીકની વસ્તુઓને જોતાં line of sightની દિશા ઝડપથી બદલાય છે અને સાપેક્ષ વેગને કારણે તે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી જણાય છે, પરંતુ ચંદ્ર અને તારાઓ જેવા દૂરના પદાર્થોનું અવલોકન કરતાં, આંખ અને પદાર્થ વચ્ચેનું અંતર ખૂબ જ વધારે હોવાથી line of sightની દિશા લગભગ અચળ રહે છે. આથી દૂરની વસ્તુઓ સ્થિર જણાય છે.

પ્રશ્ન 19.
નજીક દેખાતા બે તારા(Stars)નું અંતર માપવા માટે દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદની રીતના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સૂર્યની આસપાસ પોતાની ભ્રમણ-ક્ષામાં છ મહિનાના સમય-અંતરાલમાં પૃથ્વીનાં બે સ્થાનોને જોડતી આધારરેખા AB છે એટલે કે આધારરેખા પૃથ્વીની કક્ષાના વ્યાસ ≈ 3 × 10¹¹ m જેટલી લગભગ છે. જોકે નજીક રહેલા બે તારા એટલા દૂર છે કે આટલી લાંબી આધારરેખા હોવા છતાં તેઓ 1” (સેકન્ડ) જેટલો ચાપનો (Arc) દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ દર્શાવે છે. ખગોળીય સ્તર પર લંબાઈનો સુવિધાજનક એકમ પાર્સેક છે. પાર્સેક કોઈ પદાર્થનું અંતર સૂચવે છે કે જે પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેના અંતર જેટલી આધારરેખાના બે છેડાઓએ આંતરેલ ખૂણો 1″ (Second Arc) બરાબર હોય. એક પાર્સેકનું મૂલ્ય મીટરમાં કેટલું થશે?
ઉકેલ :
પાર્સેક એ લંબાઈનો એકમ છે. જે અંતરે પૃથ્વી અને સૂર્ય વચ્ચેના અંતર (1 AU) જેટલી આધારરેખાના બે છેડાઓએ આંતરેલ ખૂણો 1″ (second ચાપ) બરાબર હોય, તેને એક પાર્સેક અંતર કહે છે.
દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ ખૂણાની વ્યાખ્યા અનુસાર,
θ = \(\frac{b}{D}\) ∴ D = \(\frac{b}{\theta}\)
અહીં, આધારરેખાની લંબાઈ b = 1 AU = 1.5 × 10¹¹ m
દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ θ = 1”
= \(\frac{1^{\prime}}{60}\)
= \(\frac{1^{\circ}}{60 \times 60}\)
= \(\frac{\pi}{180} \times \frac{1}{60 \times 60}\) rad
= 4.85 × 10^-6 rad
∴ 1 પાર્સેક (D) = \(\frac{b}{\theta}\) = \(\frac{1.5 \times 10^{11}}{4.85 \times 10^{-6}}\) = 3.1 × 10¹⁶ m
∴ 1 પાર્સેક = 3.1 × 10¹⁶ m

પ્રશ્ન 20.
આપણા સૂર્યમંડળમાં નજીકનો તારો 4.29 પ્રકાશવર્ષ દૂર છે. પાર્સેકમાં આ અંતર કેટલું થશે? સૂર્યની આસપાસ પોતાની ભ્રમણ-કક્ષામાં છ મહિનામાં સમય-અંતરાલે પૃથ્વીનાં બે સ્થાનો પરથી આ તારા(આલ્ફા સેન્ટૉરી નામ ધરાવતો)ને જોવામાં આવે, તો તે કેટલો કોણ (દષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ) આંતરશે?
ઉકેલ:
1 પ્રકાશવર્ષ (ly) = 9.46 × 10¹⁵m
1 parsec = 3.08 × 10¹⁶ m
∴ 1m = \(\frac{1}{3.08 \times 10^{16}}\) Parsec
પૃથ્વી અને તારા વચ્ચેનું અંતર
D = 4.29 પ્રકાશવર્ષ
= 4.29 × 9.46 × 10¹⁵ m
= \(\frac{4.29 \times 9.46 \times 10^{15}}{3.08 \times 10^{16}}\) parsec
= 1.32 parsec

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ કોઈ એક સમયે પૃથ્વી A સ્થાને છે. સૂર્યની આસપાસ પરિભ્રમણ કરતાં 6 મહિના બાદ તે સ્થાન Aની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્થાન B આગળ આવશે.
આમ, 6 મહિનાના અંતરાલમાં પૃથ્વી પરના બે અવલોકન સ્થાન વચ્ચેનું અંતર
b = 2AU (સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના અંતરને 1 AU કહે છે.)
= 2 × 1.496 × 10¹¹ m
= 2.992 × 10¹¹ m
તારા અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર,
D = 4.29 × 9.46 × 10¹⁵ m
= 40.583 × 10¹⁵ m
દૃષ્ટિસ્થાન-ભેદ કોણ
θ = \(\frac{b}{D}=\frac{2.992 \times 10^{11} \mathrm{~m}}{40.583 \times 10^{15} \mathrm{~m}}\) 0.0737 × 10-4rad
1 rad = \(\frac{180^{\circ}}{\pi}=\frac{180^{\circ} \times 60 \times 60}{\pi}\) second of arc
∴ θ = 0.0737 × 10^-4 × \(\frac{180 \times 60 \times 60}{\pi}\) second of arc
θ = 15209.4 × 10^-4 = 1.52 second of arc

પ્રશ્ન 21.
ભૌતિક રાશિઓના માપનમાં સચોટતા હોવી તે વિજ્ઞાનની આવશ્યકતા છે. ઉદાહરણ તરીકે કોઈ વિમાનની ઝડપ નક્કી કરવા માટે ખૂબ જ સૂક્ષ્મ સમય-અંતરાલોએ તેનાં સ્થાન નક્કી કરવા માટે એક ચોક્કસ પદ્ધતિ હોવી જોઈએ. બીજા વિશ્વયુદ્ધમાં રડારની શોધ પાછળ આ જ પ્રયોજન હતું. આધુનિક વિજ્ઞાનમાં એવાં જુદાં જુદાં ઉદાહરણો વિશે વિચારો જેમાં લંબાઈ, સમય, દ્રવ્યમાન વગેરેના સચોટ માપનની આવશ્યકતા હોય છે. જોકે આ ઉપરાંત શક્ય હોય ત્યાં, સચોટતાના માત્રાત્મક વિચારો આપી શકો છો.
ઉત્તર:
વિજ્ઞાનનાં સચોટ પરિણામો, નિયમો અથવા અચળાંકોનું મૂલ્ય મેળવવા માટે અંતર, દળ, સમય જેવી અનેક ભૌતિક રાશિઓનું ચોકસાઈપૂર્વક માપન કરવું જરૂરી છે. તેનાં કેટલાંક ઉદાહરણો નીચે મુજબ છે :
(1) GPS પદ્ધતિ દ્વારા ગતિ કરતાં વાહનની ઝડપ અથવા સ્થાન જાણી શકાય છે. આ માટે GPS સાધન દ્વારા મોકલાતાં તરંગો અને સૅટેલાઇટ દ્વારા મેળવાતા તરંગો વચ્ચેનો સમયગાળો ચોકસાઈપૂર્વક માપવો જરૂરી છે.
(2) માનવસર્જિત સૅટેલાઇટને અવકાશમાં સફળતાપૂર્વક તરતો મૂકવા માટે તેની પ્રક્ષિપ્ત ગતિનો પથ તથા સમયગાળાનું માપન ચોક્કસ હોવું જરૂરી છે.
(3) અલ્ટ્રાસૉનિક તરંગોની મદદથી દરિયાના પેટાળમાં રહેલી સબમરીનનું સ્થાન જાણી શકાય છે. આ માટે ઉત્સર્જિત તરંગો અને સબમરીનથી પરાવર્તિત થતા તરંગો વચ્ચેનો સમયગાળો ચોકસાઈપૂર્વક માપી તેનું સ્થાન નક્કી કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 22.
જે રીતે વિજ્ઞાનમાં સચોટ માપન જરૂરી છે તેવી જ રીતે અલ્પવિકસિત વિચારો તથા સામાન્ય માપનો દ્વારા રાશિનો સામાન્ય અંદાજ લગાવવો તેટલું જ મહત્ત્વનું છે. નીચે આપેલા અનુમાન લગાવી શકાય તે માટેના ઉપાયો વિચારો (જ્યાં અનુમાન મેળવવાનું અઘરું લાગે ત્યાં રાશિઓની મહત્તમ મર્યાદા (upper bound) મેળવવાનો પ્રયત્ન કરો) :
(a) વર્ષાઋતુના સમયમાં ભારત ઉપર છવાયેલ વરસાદી વાદળોનું કુલ દ્રવ્યમાન
(b) કોઈ હાથીનું દ્રવ્યમાન
(c) કોઈ આંધી દરમિયાન પવનની ઝડપ
(d) તમારા માથાના વાળની સંખ્યા
(e) તમારા વર્ગખંડમાં વાયુના અણુઓની સંખ્યા
ઉકેલઃ
( a ) વર્ષાઋતુ દરમિયાન ભારત ઉપર છવાયેલ વરસાદી વાદળોનું કુલ દ્રવ્યમાન :
વર્ષાઋતુ દરમિયાન ભારતનો સરેરાશ વરસાદ h = 100 cm = 1 m છે.
ભારતના વિસ્તારનું કુલ ક્ષેત્રફળ A = 3.3 × 10⁶ km²
= 3.3 × 10⁶ × (10³m)²
= 3.3 × 10¹² m²
વરસાદી પાણીનું કુલ કદ V = A × h
= 3.3 × 10¹² × 1
= 3.3 × 10¹² m³
પાણીની ઘનતા = 10³kgm^-3 છે.
આથી ભારત પર છવાયેલ વરસાદી વાદળોનું દ્રવ્યમાન,
m = V = 3.3 × 10¹² × 10³
= 3.3 × 10¹⁵ kg

(b) હાથીનું દ્રવ્યમાન : ધારો કે, નદીમાં રહેલી એક હોડીનું ક્ષેત્રફળ A છે. હોડી પાણીમાં જેટલી ડૂબેલી હોય તે સ્થાને એક લીટી દોરી માર્ક (h₁) કરો. હવે હોડીમાં હાથીને ચડાવો. હાથીના દળને કારણે હોડી પાણીમાં વધુ અંદરની તરફ ડૂબશે. પાણીની સપાટી હોડીને જ્યાં સંપર્ક કરે તે સ્થાને બીજી લીટી દોરી માર્ક (h₂) કરો.
ધારો કે, આ બે માર્ક વચ્ચેનું અંતર h = h₂ – h₁ છે.
હાથી દ્વારા સ્થાનાંતરિત થતા પાણીનું કદ V = Ah આર્કિમિડિઝના સિદ્ધાંત અનુસાર,
હાથીનું દળ = સ્થાનાંતરિત થતાં પાણીનું દળ
= Ah
જ્યાં, એ પાણીની ઘનતા છે. ઉપરોક્ત સમીકરણની મદદથી હાથીના દળનું પરોક્ષ રીતે માપન કરી શકાય છે.

(c) આંધી દરમિયાન પવનની ઝડપ : પવનની ઝડપ માપવા માટે હવા ભરેલો એક ફુગ્ગો લો. જ્યારે પવન ના હોય ત્યારે ધારો કે, ફુગ્ગો જમીનની સપાટીથી ‘h’ જેટલી ઊંચાઈએ A સ્થાને છે. જ્યારે પવન ફુંકાય છે ત્યારે t સમયમાં ફુગ્ગો A સ્થાનેથી B સ્થાને જાય છે. t સમયમાં ફુગ્ગાએ કરેલું સ્થાનાંતર AB = x છે.

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
tan θ = \(\frac{x}{h}\) ∴ x = h tan θ
આથી આંધી દરમિયાન પવનની ઝડપ
υ = \(\frac{x}{t}=\frac{h \tan \theta}{t}\)

(d) માથાના વાળની સંખ્યા : અહીં આપણે ધારી લઈશું કે, માથાની સપાટી પર ઊગેલા વાળનું વિતરણ નિયમિત (Uniform) છે. માથાની સપાટી પર 1 cm² વિસ્તારમાં ઊગેલા વાળની સંખ્યા ગણો. તેને માથાની સપાટીના ક્ષેત્રફળ સાથે ગુણતાં માથા પર ઊગેલા વાળનો અંદાજ મેળવી શકાય છે. સામાન્ય રીતે તે 10⁶ના ક્રમમાં હોય છે.

( e ) વર્ગખંડમાં વાયુના અણુઓની સંખ્યા : સૌપ્રથમ વર્ગખંડની લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ માપો. આ પરથી વર્ગખંડનું કદ (V) નક્કી કરો.
NTP એ 1 મોલ હવાનું કદ 22.4 litre (22.4 × 10^-3 m³) હોય છે. તેમાં 6.023 × 10²³ જેટલા અણુઓ હોય છે.
∴ V કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા = \(\frac{6.023 \times 10^{23}}{22.4 \times 10^{-3}}\) × V
જો વર્ગખંડનું કદ 200 m³ હોય, તો
V કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા = \(\frac{6.023 \times 10^{23}}{22.4 \times 10^{-3}}\) × 200
= 53.77 × 10²⁶ અણુઓ
≈ 10²⁸ અણુઓ

પ્રશ્ન 23.
સૂર્ય એક ગરમ પ્લાઝ્મા (આયનીકૃત દ્રવ્ય) છે જેની અંદરના ગર્ભ(Core)નું તાપમાન 10⁷Kથી વધારે અને બાહ્ય પૃષ્ઠનું તાપમાન 6000 K છે. આટલા ઊંચા તાપમાને કોઈ પણ પદાર્થ ઘન કે પ્રવાહી અવસ્થામાં રહી શકે નહિ. સૂર્યની દળ-ઘનતા, ઘન અને પ્રવાહી અથવા વાયુની ઘનતાઓમાંથી કયા વિસ્તારમાં હોવાની તમને ધારણા છે? તમારું અનુમાન સાચું છે તેની ચકાસણી નીચે આપેલ માહિતી પરથી નક્કી કરી શકો છો. સૂર્યનું દળ = 2.0 × 10³⁰ kg, સૂર્યની ત્રિજ્યા = 7.0 × 10⁸ m
ઉકેલ:
સૂર્યનું દળ M = 2.0 × 10³⁰ kg
સૂર્યની ત્રિજ્યા R = 7.0 × 10⁸ m
સૂર્યનું કદ V = \(\frac{4}{3}\)πR³
= \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (7.0 × 10⁸)³
= 1.436 × 10²⁷ m³
સૂર્યની ઘનતા = \(\frac{M}{V}\)
= \(\frac{2.0 \times 10^{30}}{1.436 \times 10^{27}}\)
= 1392.8 kg m^-3
≈ 1.4 × 103 kg m^-3
આ દર્શાવે છે કે, સૂર્યની ઘનતા એ ઘન અને પ્રવાહી પદાર્થોના ઘનતાના ક્રમની છે. તે વાયુની ઘનતા કરતાં ખૂબ જ વધારે છે. આટલી ઊંચી ઘનતા, સૂર્યના અંદરના સ્તરો વડે બહારના સ્તરો પર લાગતા અંદર તરફના ગુરુત્વાકર્ષણને લીધે છે.

પ્રશ્ન 24.
જ્યારે જ્યુપિટર (ગુરુ) ગ્રહ પૃથ્વીથી 824.7 મિલિયન કિલોમીટર દૂર હોય છે ત્યારે તેના કોણીય વ્યાસનું માપ 35.72″ (આર્ક સેકન્ડ) છે, તો જ્યુપિટરનો વ્યાસ શોધો.
ઉકેલ :
જ્યુપિટર ગ્રહનું પૃથ્વીથી અંતર
D = 824.7 મિલિયન km
= 824.7 × 10⁶ km
ગ્રહનો કોણીય વ્યાસ α = 35.72″ (second arc)
= \(\left(\frac{35.72}{60 \times 60}\right)^{\circ}\)
= \(\frac{35.72}{3600} \times \frac{\pi}{180}\) rad
ગ્રહનો વ્યાસ d = D × α
= 824.7 × 10⁶ × \(\frac{35.72}{3600} \times \frac{\pi}{180}\) km
= 1.428 × 10⁵ km

પ્રશ્ન 25.
વરસાદમાં એક વ્યક્તિ υ ઝડપથી ચાલી રહી છે. તેણે તેની છત્રી શિરોલંબ દિશા સાથે આગળ તરફ θ કોણે નમાવી રાખેલ છે. એક વિદ્યાર્થી θ અને υ વચ્ચેનો સંબંધ tan θ = υ મેળવે છે અને તે અપેક્ષા મુજબ υ → 0, θ →0ની મર્યાદામાં આ સંબંધને ચકાસે છે.
(આપણે ધારી લઈએ કે પવન પ્રબળ નથી અને વરસાદ શિરોલંબ પડી રહ્યો છે.) તમે વિચારી શકો કે આ સંબંધ સાચો હોઈ શકે? જો નથી તો આવા કારણનું અનુમાન કરો.
ઉકેલ:
ત્રિકોણમિતીય વિધેયો પરિમાણ રહિત હોય છે.
[tan θ ] = [M⁰L⁰T⁰]
વેગનું પરિમાણ [υ] = LT^-1
અહીં, tan θ = υ ના બંને બાજુના પરિમાણ સમાન થતાં ના હોવાથી આપેલ સમીકરણ પરિમાણની દૃષ્ટિએ ખોટું છે. આપેલ સમીકરણમાં જમણી બાજુના પદ υ ને વરસાદની ઝડપ ‘u’ વડે ભાગવામાં આવે તો તે પરિમાણની દૃષ્ટિએ યથાર્થ થશે.
tan θ = \(\frac{v}{u}\)

પ્રશ્ન 26.
એવો દાવો કરવામાં આવે છે કે, જો કોઈ પણ જાતની ખલેલ વગર 100 વર્ષ સુધી બે સિઝિયમ ઘડિયાળોને ચલાવવામાં આવે, તો તેમના સમયમાં માત્ર 0.02 sનો તફાવત જોવા મળે છે. 1 sનો સમય અંતરાલ માપવા માટે આ પ્રમાણભૂત ઘડિયાળોની ચોકસાઈ શું સૂચવે છે?
ઉકેલ:
Δ t = 0.02 s
t = 100 વર્ષ
= 100 × 365.25 × 24 × 60 × 60 second
1 sમાં ત્રુટિ = \(\frac{0.02}{100 \times 365.25 \times 24 \times 60 \times 60}\)
= 0.63 × 10^-11
આ દર્શાવે છે કે, પ્રમાણભૂત ઘડિયાળો 1s ના 10^-11 માં ભાગની ચોકસાઈ દર્શાવે છે. અથવા કહી શકાય કે, તે 10¹¹sમાં 1 sની ચોકસાઈ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 27.
સોડિયમ પરમાણુની સરેરાશ દળ-ઘનતાનો અંદાજ કરો. ધારી લો કે તેનું પરિમાણ (ત્રિજ્યા) 2.5 Å જેટલું છે. (ઍવોગેડ્રો અંક અને સોડિયમના પરમાણ્વીય દળનાં જાણીતાં મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરો.) સોડિયમના સ્ફટિક સ્વરૂપની ઘનતા 970 kg m^-3 સાથે તેની સરખામણી કરો. શું બંને ઘનતાનું માન સમાન ક્રમનું છે? જો હા તો શા માટે?
ઉકેલ:
સોડિયમ પરમાણુની ત્રિજ્યા R = 2.5 Å
= 2.5 × 10^-10 m
સોડિયમના એક પરમાણુનું કદ
V = \(\frac{4}{3}\)πR³
= \(\frac{4}{3}\) × 3.14 × (2.5 × 10^-10)³
= 65.42 × 10^-30kg

= \(\frac{23 \times 10^{-3}}{6.023 \times 10^{23}}\) kg
= 3.82 × 10^-26kg
સોડિયમ પ૨માણુની દળ-ઘનતા = \(\frac{m}{V}=\frac{3.82 \times 10^{-26}}{65.42 \times 10^{-30}}\)
= 0.58 × 10³kg m^-3
સોડિયમના સ્ફટિક સ્વરૂપની ઘનતા = 970 kg m^-3
= 0.97 × 10³ kg m^-3
અહીં, સોડિયમ પરમાણુની દળ-ઘનતા અને સ્ફટિક સ્વરૂપ (ઘન) પદાર્થની દળ-ઘનતા સમાન ક્રમની છે, કારણ કે ઘન અવસ્થામાં પરમાણુઓ ખીચોખીચ એકબીજાની નજીક આવેલા હોય છે.

પ્રશ્ન 28.
ન્યુક્લિયર માપક્રમ પર લંબાઈનો અનુકૂળ એકમ ફર્મી છે. 1 fm = 10^-15 m છે. ન્યુક્લિયસનું પરિમાણ નીચે આપેલ આનુભાવિક સમીકરણને સામાન્ય રીતે અનુસરે છે. r = r₀\(A^{\frac{1}{3}}\)
જ્યાં, ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા, A તેનો પરમાણુ-દળાંક અને r₀ અચળાંક છે, જે લગભગ 1.2fm જેટલો છે. દર્શાવો કે આ નિયમ સૂચવે છે કે, વિભિન્ન ન્યુક્લિયસોની દળ-ઘનતા લગભગ અચળ હોય છે. સોડિયમના ન્યુક્લિયસ માટે દળ-ઘનતાની ગણતરી કરો. સ્વાધ્યાય (27)માં મેળવેલ સોડિયમ પરમાણુની દળ-ઘનતા સાથે તેની સરખામણી કરો.
ઉકેલ :
ધારો કે, ન્યુક્લિયોન(પ્રોટોન અથવા ન્યૂટ્રૉન)નું સરેરાશ દળ m છે. જો ન્યુક્લિયસમાં A ન્યુક્લિયોન હોય, તો
ન્યુક્લિયસનું દળ = m × A
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા r = r₀\(A^{\frac{1}{3}}\)
ન્યુક્લિયસનું કદ V = \(\frac{4}{3}\)πr³

આ દર્શાવે છે કે, ન્યુક્લિયોનનું દળ m અને r₀ અચળ હોવાથી વિભિન્ન ન્યુક્લિયસોની દળ-ઘનતા લગભગ અચળ રહે છે. ન્યુક્લિયોનનું દળ m = 1.67 × 10^-27kg, r₀ = 1.2 × 10^-15m
ન્યુક્લિયસની દળ-ઘનતા = \(\frac{3 m}{4 \pi r_0^3}\)
= \(\frac{3 \times 1.67 \times 10^{-27}}{4 \times 3.14 \times\left(1.2 \times 10^{-15}\right)^3}\)
= 2.30 × 10¹⁷ kg m^-3
આથી સોડિયમ ન્યુક્લિયસ(અથવા કોઈ પણ ન્યુક્લિયસ)ની દળ-ઘનતા = 2.3 × 10¹⁷kg m^-3
સ્વાધ્યાય (27) પરથી મેળવેલ સોડિયમ પરમાણુની દળ-ઘનતા = 0.58 × 10³ kg m^-3

= 3.96 × 10¹⁴
= 0.396 × 10¹⁵
આ દર્શાવે છે કે, ન્યુક્લિયસની દળ-ઘનતા એ પરમાણુની દળ- ઘનતા કરતાં 10¹⁵ ગણી છે.

પ્રશ્ન 29.
લેસર (LASER) પ્રકાશનો અત્યંત તીવ્ર, એકરંગી તથા એકદીશ કિરણપુંજનો સ્રોત છે. લેસરના આ ગુણોનો ઉપયોગ લાંબાં અંતરોના માપન માટે કરવામાં આવે છે. લેસરનો પ્રકાશીય સ્ત્રોત તરીકે ઉપયોગ કરીને પૃથ્વીથી ચંદ્રનું અંતર ખૂબ જ સચોટતાપૂર્વક મપાઈ ચૂક્યું છે. લેસર પ્રકાશીય પુંજ ચંદ્રની સપાટીથી પરાવર્તન પામી 2.56 sમાં પાછો આવે છે. પૃથ્વીની ફરતે ચંદ્રની કક્ષા(Lunar Orbit)ની ત્રિજ્યા કેટલી હશે?
ઉકેલ :
લેસર પ્રકાશની ઝડપ υ = 3 × 10⁸ m s^-1
લેસર પ્રકાશ ચંદ્રની સપાટી પરથી પરાવર્તિત થઈ t’ = 2.56 sમાં પૃથ્વી પર પાછો આવે છે.
આથી પ્રકાશને પૃથ્વી પરથી ચંદ્ર પર જતાં લાગતો સમય,
t = \(\frac{t^{\prime}}{2}=\frac{2.56}{2}\) = 1.28 s
પૃથ્વી ફરતે ચંદ્ર કક્ષાની ત્રિજ્યા = પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર (D)
= c × t
= 3 × 10⁸ × 1.28
= 3.84 × 10⁸ m

પ્રશ્ન 30.
પાણીની નીચે રહેલી વસ્તુઓને શોધવા માટે તેમજ તેમનાં સ્થાન નક્કી કરવા માટે SONAR(Sound Navigation and Ranging)માં અલ્ટ્રાસૉનિક તરંગોનો ઉપયોગ થાય છે. એક સબમરીન SONARથી સુસજ્જ છે. જેના દ્વારા ઉત્પન્ન થતાં સંશોધક તરંગ (Probe Wave) અને દુશ્મન સબમરીન પરથી પરાવર્તિત તેના પ્રતિધ્વનિની પ્રાપ્તિ વચ્ચેનો સમય વિલંબ 77.0 s છે, તો શત્રુની સબમરીન કેટલી દૂર હશે? (પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ 1450 m s^-1 લો.)
ઉકેલ :
પાણીમાં ધ્વનિની ઝડપ υ = 1450 m s^-1
SONAR દ્વારા મોકલાતા તરંગો અને સબમરીન દ્વારા પરાવર્તિત થતા તરંગો વચ્ચેનો સમયગાળો t’ = 77 s છે. આથી SONAR દ્વારા મોકલાતા તરંગો સબમરીન સુધી પહોંચતા t = \(\frac{t^{\prime}}{2}=\frac{77}{2}\) = 38.5 s જેટલો સમય લેશે.
∴ SONARથી સબમરીન વચ્ચેનું અંતર d = υ × t
= 1450 × 38.5
= 55825 m
= 55.8 km

પ્રશ્ન 31.
આપણા વિશ્વમાં આધુનિક ખગોળવિદો દ્વારા શોધાયેલ સૌથી દૂરનો પદાર્થ એટલો દૂર છે કે તેના દ્વારા ઉત્સર્જાયેલ પ્રકાશને પૃથ્વી સુધી પહોંચવા માટે અરબો વર્ષ લાગે છે. આ પદાર્થો(જેને ક્વાસાર ‘Quasar’ કહે છે.)નાં કેટલાંય રહસ્યમય લક્ષણો છે, જેને આજ સુધી સંતોષકારક રીતે સમજાવી શકાયાં નથી. આવા એક Quasarમાંથી ઉત્સર્જાતા પ્રકાશને આપણા સુધી પહોંચવા 3.0 અબજ વર્ષ (Billion Year) લાગે છે, તો તેનું અંતર kmમાં નક્કી કરો.
ઉકેલ:
ક્વાસારથી ઉત્સર્જિત થયેલ પ્રકાશને પૃથ્વી સુધી પહોંચતા લાગતો સમય,
t = 3.0 અબજ વર્ષ
= 3 × 10⁹ × 365.25 × 24 × 60 × 60 s
પ્રકાશની ઝડપ c = 3 × 10⁸ m s^-1 = 3 × 10⁵ km s^-1
પૃથ્વીથી ક્વાસારનું અંતર,
d = c × t
= 3 × 10⁵ × 3 × 10⁹ × 365.25 × 24 × 60 × 60
= 2.84 × 10²² km

પ્રશ્ન 32.
એ પ્રખ્યાત તથ્ય છે કે, સંપૂર્ણ સૂર્યગ્રહણ વખતે ચંદ્ર Disk સૂર્યની Diskને પૂરેપૂરી ઢાંકી દે છે. આ તથ્ય અને ઉદાહરણ (8) અને (4)નાં સૂચનોનો ઉપયોગ કરી ચંદ્રનો વ્યાસ શોધો.
ઉકેલ:
ઉદાહરણ (૩) અને (4) પરથી આપણને નીચે મુજબની
જાણકારી મળે છે :
ચંદ્રનો કોણીય વ્યાસ α = 1920′′
= 1920 × 4.85 × 10^-6rad
= 9.312 × 10^-3rad
પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેનું અંતર D = 3.84 × 10⁸ m
સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર S = 1.496 × 10¹¹m
રીત 1 :
સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન ચંદ્રની disc એ સૂર્યની discને સંપૂર્ણ રીતે ઢાંકી દે છે. આ સમય દરમિયાન સૂર્યનો અને ચંદ્રનો કોણીય વ્યાસ (α) સમાન હોય છે. (જુઓ આકૃતિ)

∴ ચંદ્રનો વ્યાસ XY = d
= α· D
= 9.312 × 10^-3 × 3.84 × 10⁸
= 35.76 × 10⁵
= 3576 km

રીત 2 :
આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, ΔABE અને ΔXYE સમરૂપ ત્રિકોણો છે.

∴ ચંદ્રનો વ્યાસ XY = d = 1.393 × 10⁹ × \(\frac{3.84 \times 10^8}{1.496 \times 10^{11}}\)
= 3.576 × 10⁶
= 3576 km

પ્રશ્ન 33.
આ શતાબ્દીના મહાન વૈજ્ઞાનિક (પી. એ. એમ. ડિરાક) પ્રકૃતિના મૂળભૂત અચળાંકોનાં મૂલ્યો સાથે રમત રમીને આનંદ મેળવી રહ્યા હતા. ત્યારે તેમાં એમણે એક રોચક અવલોકન કર્યું. પરમાણ્વીય ભૌતિકના મૂળ અચળાંકો (જેમ કે, ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ, પ્રોટોનનું દળ) તથા ગુરુત્વીય અચળાંક G પરથી તેમને માલૂમ પડ્યું કે તે એક એવી સંખ્યા સુધી પહોંચી ગયા છે, જેને સમયનું પરિમાણ હતું. સાથે સાથે તે ખૂબ જ મોટી સંખ્યા હતી. જેનું માન વિશ્વના વર્તમાન અંદાજિત આયુષ્ય 15 અબજ વર્ષ(~ 15 B.Y.)ની નજીક હતું. આ પુસ્તકમાં આપેલ મૂળભૂત અચળાંકોને આધારે પ્રયત્ન કરો કે આ સંખ્યા (અથવા આવી જ કોઈ સંખ્યા જેનો તમે વિચાર કરો) બનાવી શકો છો? જો વિશ્વનું આયુષ્ય અને આ સંખ્યાની સરખામણી આકસ્મિક હોય, તો મૂળભૂત અચળાંકોની અચળતા અંગે તે શું દર્શાવે છે?
ઉકેલ:
મૂળભૂત અચળાંકો જેવા કે ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ (m), પ્રોટોનનું દળ, પ્રકાશની ઝડપ (c), ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક (G) અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી ()ના સમન્વયથી નીચે મુજબનો સંબંધ મેળવી શકાય છે. સૌપ્રથમ આપણે સાબિત કરીશું કે આ સંબંધના પરિમાણ સમયના પરિમાણ જેવા છે અને ત્યારબાદ તે સમયનું મૂલ્ય મેળવીશું.

આમ, આપેલ સમીકરણમાં τ એ સમય દર્શાવે છે.
G = 6.67 × 10^-11 N m² kg^-2,
c = 3 × 10⁸ m s^-1, e = 1.6 × 10^-19C,
m_e = 9.1 × 10^-31kg, m_p = 1.67 × 10^-27 kg
અને \(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\) = 9 × 10⁹ N m²C^-2 મૂકતાં,
τ = \(\frac{\left(9 \times 10^9 \times\left(1.6 \times 10^{-19}\right)^2\right)^2}{1.67 \times 10^{-27} \times\left(9.1 \times 10^{-31}\right)^2 \times\left(3 \times 10^8\right)^3 \times 6.67 \times 10^{-11}}\)
= 2.13 × 1016s
= \(\frac{2.13 \times 10^{16}}{3.156 \times 10^7}\) year = 0.667 × 10⁹ year
τ = 0.667 billion year
‘τ’નું મૂલ્ય એ વિશ્વના અંદાજિત આયુષ્ય 15 બિલિયન વર્ષ કરતાં નાનું છે.