GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Ex 8.2

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Ex 8.2 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 8 દ્વિપદી પ્રમેય Ex 8.2

પ્રશ્ન 1.
(x + 3)⁸માં ×નો સહગુણક શોધો.
ઉત્તરઃ
(a + b)ⁿ માટે T_r+1 = \(\left(\begin{array}{l}
n \\
r
\end{array}\right)\)a^n-r. b^r
(x + 3)⁸માં નો સહગુણક મેળવીએ.
અહીં, a = x; b = 3 અને n = 8
હવે, T_r+1 = \(\left(\begin{array}{l}
n \\
r
\end{array}\right)\) a^n-r. b^r
= \(\left(\begin{array}{l}
8 \\
r
\end{array}\right)\). x^8-r. 3^r
હવે, xનો ઘાતાંક 5 થવા માટે 8–r = 5
r = 3 હોવું જરૂરી છે.
∴ x⁵ ને સમાવતું પદ r + 1 = 3 + 1 = 4થું છે.
T4 = (8) x^8-3. 3³
= \(\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3}\)· x⁵· (27) = 1512×5
∴ x⁵નો સહગુણક 1512 છે.

પ્રશ્ન 2.
(a – 2b)¹²માં a⁵b⁷ નો સહગુણક શોધો.
ઉત્તરઃ
(a + b)ⁿ માટે T₇₊₁ = \(\left(\begin{array}{l}
n \\
r
\end{array}\right)\) a^n-r . b^r
(a – 2b)¹²માં a⁵· b⁷નો સહગુણક મેળવીએ.
અહીં, a = a; b = – 2b અને n = 12
હવે, T_r+1 = \(\left(\begin{array}{l}
n \\
r
\end{array}\right)\) · a^n-r.b^r
= \(\left(\begin{array}{c}
12 \\
r
\end{array}\right)\) · a^12-r. (- 2b)^r
T_r+1 = \(\left(\begin{array}{l}
n \\
r
\end{array}\right)\) · a^n-r.b^r
= \(\left(\begin{array}{c}
12 \\
r
\end{array}\right)\)· a^12-1 . (- 2)⁷ · b⁷ ………….(1)
હવે, વનો ઘાતાંક 5 અને bનો ઘાતાંક 7 થવા માટે r = 7 હોવું જરૂરી છે.
∴ a⁵b⁷ ને સમાવતું પદ r + 1 = 7 + 1 = 8મું છે.
∴ T₈ = \(\left(\begin{array}{c}
12 \\
7
\end{array}\right)\). a^12-1. (- 2)⁷ · b⁷ [∵ (1) પરથી]
= 792 · a⁵· (-128). b⁷
= -101376. a⁵ . b⁷
∴ a⁵b⁷ નો સહગુણક -101376 છે.

નીચેના વિસ્તરણનું વ્યાપક પદ લખો : (પ્રશ્ન 3 અને 4)

પ્રશ્ન 3.
(x² – y)⁶
ઉત્તરઃ
(a + b)ⁿ ના વિસ્તરણમાં વ્યાપક પદ,

પ્રશ્ન 4.
(x² – yx)¹², x ≠ 0
ઉત્તરઃ
(a + b)ⁿ ના વિસ્તરણમાં વ્યાપક પદ,.

પ્રશ્ન 5.
(x – 2y)¹² ના વિસ્તરણનું ચોથું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
\(\left(9 x-\frac{1}{3 \sqrt{x}}\right)^{18}\), x ≠ 0ના વિસ્તરણનું 18મું પદ શોધો.
ઉત્તરઃ

નીચેના વિસ્તરણનું મધ્યમ પદ શોધો : (પ્રશ્ન 7 અને 8)

પ્રશ્ન 7.
\(\left(3-\frac{x^3}{6}\right)^7\)
ઉત્તરઃ
અહીં, a = 3; b = \(\frac{-x^3}{6}\) અને n = 7 છે.
∴ વિસ્તરણમાં કુલ 7 + 1 = 8 પદો છે.
આથી ચોથું અને પાંચમું એમ બે મધ્યમ પદો થશે.

પ્રશ્ન 8.
\(\left(\frac{x}{3}+9 y\right)^{10}\)
ઉત્તરઃ
અહીં, a = \(\frac{x}{3}\); b = 9y અને n = 10 છે.
∴ વિસ્તરણમાં કુલ 10 + 1 = 11 પદો છે.
આથી છઠ્ઠું પદ એ મધ્યમ પદ થશે.

= (252) · x⁵· (243) · y⁵
∴ T = 61236x⁵y⁵
આમ, મધ્યમ પદ 61236x⁵y⁵ છે.

પ્રશ્ન 9.
(1 + a)^m+n ના વિસ્તરણમાં a^m અને aⁿના સહગુણકો સમાન છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તરઃ

પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
a^mનો સહગુણક = aⁿનો સહગુણક
∴ a^m અને aⁿના સહગુણકો સમાન છે.

પ્રશ્ન 10.
(x + 1)ⁿના વિસ્તરણમાં (r−1)મા, મા અને (r + 1)મા પદોના સહગુણકોનો ગુણોત્તર 1: 8: 5 હોય, તો n અને r શોધો.
ઉત્તરઃ

∴3n – 3r + 3 = 51 અને n – r + 2 = 3r – 3
∴ 3n – 8r + 3 = 0 …… (1)
અને n− – 4r + 5 = 0 …… (2)
હવે, સમીકરણ (1) અને (2)ને ઉકેલતાં n = 7 અને 7 = 3
મળે છે. (સ્વ-પ્રયત્ને ઉકેલો).

પ્રશ્ન 11.
સાબિત કરો કે, (1 + x)²ⁿના વિસ્તરણમાં xⁿનો સહગુણક, (1 + x)^2n-1ના વિસ્તરણના ના સહગુણક કરતાં બે ગણો છે.
ઉત્તરઃ

પરિણામ (1) અને (2) પરથી,
(1 + x)²ⁿના વિસ્તરણમાં નો સહગુણક તે (1 + x)^2n-1ના વિસ્તરણના xના સહગુણક કરતાં બે ગણો છે તેમ સાબિત થાય છે.

પ્રશ્ન 12.
જો (1 + x)^mના વિસ્તરણમાં ×નો સહગુણક 6 હોય, તો mનું ધન મૂલ્ય શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ m² – m = 12
∴ m² – m – 12 = 0
∴ (m−4) (m + 3) = 0
∴ m – 4 = 0 અથવા_m + 3 = 0
∴ m = 4 અથવા m = -3 પણ m>0
∴ m = 4