GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Ex 7.4

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Ex 7.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 7 ક્રમચય અને સંચય Ex 7.4

પ્રશ્ન 1.
જો ²C₈ = ⁿC₂ હોય, તો ⁿC₂ શોધો.
ઉત્તરઃ
²C₈ = ⁿC₂ = ⁿС_n-2 [∵ ⁿC_r = ⁿC_n-r]
∴ 8 = n – 2
∴ n = 10
∴ ⁿC₂ = ¹⁰C₂ = \(\frac{10 !}{2 ! 8 !}\)
= \(\frac{10 \times 9 \times 8 !}{1 \times 2 \times 8 !}\) = 45

પ્રશ્ન 2.
n ની કિંમત શોધો :
(1) ²ⁿC₃: ⁿC₃ = 12: 1
(2) ²ⁿC₃: ⁿC₃ = 11: 1
ઉત્તરઃ
(1) ²ⁿC₃: ⁿC₃ = 12: 1

(2) ²ⁿC₃: ⁿC₃ = 11: 1

∴ 8n – 4 = 11n – 22
∴. 3n = 18
∴ n = 6

પ્રશ્ન 3.
વર્તુળ પરનાં 21 બિંદુઓમાંથી કેટલી જીવાઓ દોરી શકાય?
ઉત્તરઃ
વર્તુળ પરનાં બે બિંદુઓને જોડતા મળતો રેખાખંડ એ વર્તુળની જીવા હોય છે. અહીં વર્તુળ પરનાં 21 બિંદુઓમાંથી 2 બિંદુઓની પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા = ²¹C₂
= \(\frac{21 !}{2 ! 19 !}\)
= \(\frac{21 \times 20 \times 19 !}{2 \times 19 !}\)
= 210
આમ, વર્તુળ પરનાં 21 બિંદુઓમાંથી 210 જીવાઓ દોરી શકાય.

પ્રશ્ન 4.
5 કુમાર અને 4 કુમારીમાંથી ૩ કુમારો અને ૩ કુમારીઓની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય?
ઉત્તરઃ
અહીં 5 કુમાર અને 4 કુમારીમાંથી 3 કુમારો અને 3 કુમારીઓની પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા = ⁵C₃ × ⁴C₃
= \(\frac{5 !}{3 ! 2 !} \times \frac{4 !}{3 ! 1 !}\)
= \(\frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2} \times \frac{4 \times 3 !}{3 !}\)
= 40
આમ, 40 રીતે ટુકડી બનાવી શકાય.

પ્રશ્ન 5.
6 લાલ દડા, 5 સફેદ દડા અને 5 વાદળી દડામાંથી દરેક રંગના 8 દડા એમ છ દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે કરી શકાય?
ઉત્તરઃ
અહીં 6 લાલ દડામાંથી 3 દડા, 5 સફેદ દડામાંથી 3 દડા અને 5 વાદળી દડામાંથી ૩ દડા એમ કુલ 9 દડા પસંદ કરવાના પ્રકારોની સંખ્યા = ⁶C₃ × ⁵C₃ × ⁵C₃
= \(\frac{6 !}{3 ! 3 !} \times \frac{5 !}{3 ! 2 !} \times \frac{5 !}{3 ! 2 !}\)
= \(\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2} \times \frac{5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 2}\)
= 20 × 10 × 10 = 2000

પ્રશ્ન 6.
52 પત્તાંમાંથી 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક જ એક્કો આવે તે કેટલા પ્રકારે બને?
ઉત્તરઃ
52 પત્તાંમાં 4 એક્કા હોય છે. હવે 5 પત્તાંની પસંદગીમાં બરાબર એક જ એક્કો આવે તે માટે 4 એક્કામાંથી એક એક્કાની અને એક્કા સિવાયનાં 48 પત્તાંમાંથી 4 પત્તાંઓની પસંદગી કરવી પડે. તેના પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁴C₁ × ⁴⁸C₄
= 4 × \(\frac{48 !}{4 ! \times 44 !}\)
= 4 × \(\frac{48 \times 47 \times 46 \times 45 \times 44 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 44 !}\)
= 7,78,320

પ્રશ્ન 7.
ક્રિકેટની રમતના 17 ખેલાડીઓ આવેલા છે. તે પૈકી 5 ખેલાડીઓ બૉલિંગ કરી શકે છે. દરેક ટુકડીમાં 4 બૉલર હોય એવી 11 ખેલાડીઓની ક્રિકેટની કેટલી ટુકડી બનાવી શકાય?
ઉત્તરઃ
અહીં ક્રિકેટની રમતના 17 ખેલાડીઓ છે. તે પૈકી 5 ખેલાડીઓ બૉલિંગ કરી શકે છે. હવે 4 બૉલર હોય તે રીતે 11 ખેલાડીઓની ક્રિકેટની ટુકડી બનાવવાની છે. તે માટે બૉલિંગ કરી શકે તેવા ખેલાડીઓમાંથી 4 ખેલાડીઓની પસંદગી કરવી પડે અને બાકી રહેલા 17 – 5 = 12 ખેલાડીઓમાંથી ટુકડીના અન્ય 11 − 4 = 7 ખેલાડીઓની પસંદગી કરવી પડે. આથી માગેલ પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁵C₄ × ¹²C₇
= \(\frac{5 !}{4 ! 1 !} \times \frac{12 !}{7 ! 5 !}\)
= \(\frac{5 \times 4 !}{4 !} \times \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 !}{7 ! \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
= 3960

પ્રશ્ન 8.
એક થેલીમાં 5 કાળા અને 6 લાલ દડા છે. 2 કાળા તથા ૩ લાલ દડાની પસંદગી કેટલા પ્રકારે થઈ શકે?
ઉત્તરઃ
અહીં 5 કાળા અને 6 લાલ દડામાંથી 2 કાળા અને 3 લાલ દડાની પસંદગીના પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁵C₂ × ⁶C₃
= \(\frac{5 !}{2 ! 3 !} \times \frac{6 !}{3 ! 3 !}\)
= \(\frac{5 \times 4 \times 3 !}{2 \times 3 !} \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 ! \times 3 \times 2 \times 1}\)
= 10 × 20 = 200

પ્રશ્ન 9.
જો વિદ્યાર્થીએ 2 ચોક્કસ વિષયો પસંદ કરવાના ફરજિયાત હોય, તો વિદ્યાર્થી ઉપલબ્ધ 9 વિષયોમાંથી 5 વિષયો કેટલા પ્રકારે પસંદ કરી શકે?
ઉત્તરઃ
અહીં વિદ્યાર્થીને 9 વિષયોમાંથી 5 વિષયો પસંદ કરવાના છે. જેમાં 2 ચોક્કસ વિષયો ફરજિયાત છે. આથી બાકી રહેલા 9 – 2 = 7 વિષયોમાંથી તેને 5 – 2 = 3 વિષયોની જ પસંદગી કરવાની રહે છે. તેના પ્રકારોની સંખ્યા
= ⁷C₃ = \(\frac{7 !}{3 ! \times 4 !}=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 \times 2 \times 1 \times 4 !}\) = 35