GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 5 સંકર સંખ્યાઓ અને દ્વિઘાત સમીકરણો Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
કિંમત શોધો : [i¹⁸ + \(\left(\frac{1}{i}\right)\)²⁵]³
ઉત્તરઃ

= (− 1 − i)³
= − (1 + i)³ (∵ i² = − 1 )
= (1 + 3i + 3i² + i³)
= -(1 + 3i – 3 − i) [∵ i² = − 1, i³ = i² × i = − i]
= − (−2 + 2i)
= 2 – 2i

પ્રશ્ન 2.
કોઈ પણ બે સંકર સંખ્યાઓ z₁ અને z₂ માટે સાબિત કરો કે, R ∈ (z₁z₂) = R ∈ z₁. R ∈ z₂ – Im z₁. Im z₂.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, z₁ = x₁ + iy અને z₂ = x₂ + iy₂
તેથી z₁z₂ = (x₁+ iy₁)(x₂ + iy₂)
= x₁x₂ + ix₁y₂ + ix₂y₁ + i²y₁y₂
= x¹x² + ix¹y² + ix²y¹ – y¹y² (∵ i² = − 1)
= (x₁x₂ – y₁y₂) + i (x₁y₂ + x₂y₁)
.. Re (z₁z₂) = x₁x₂ – y₁y₂
= Re z₁· Re z₂ – Im z₁· Im z₂.

પ્રશ્ન 3.
\(\left(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right)\)ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં મૂકો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
ર્જો x – iy = \(\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}\) હોય, તો સાબિત કરો કે (x² + y²)² = \(\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
નીચેની સંખ્યાઓને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવોઃ

(1) \(\frac{1+7 i}{(2-i)^2}\)
ઉત્તરઃ

(2) \(\frac{1+3 i}{1-2 i}\)
ઉત્તરઃ

દાખલા 6થી 9ના પ્રત્યેક સમીકરણને ઉકેલો :

પ્રશ્ન 6.
3x² – 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0
ઉત્તરઃ
સમીકરણ 3x² – 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0ને
ax² + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
a = 3, b=-4, c = \(\frac{20}{3}\)
∴ b² – 4ac = (− 4)² – 4 (3) (20)
= 16 – 80 = – 64 < 0
આથી સમીકરણને સંકર બીજ મળે.

પ્રશ્ન 7.
x² – 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0
ઉત્તરઃ
1 + \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)i અને 1 – \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)i

પ્રશ્ન 8.
27x² – 10x + 1 = 0
ઉત્તરઃ
સમીકરણ 27x² – 10x + 1 = 0ને
ax² + bx + c = 0 સાથે સરખાવતાં,
a = 27, b = -10, c = 1
∴ b² – 4ac = (-10)² – 4 (27) (1)
= 100 – 108 = -8 < 0
આથી સમીકરણને સંકર બીજ મળે.

પ્રશ્ન 9.
21x² – 28x + 10 = 0
ઉત્તરઃ
\(\frac{2}{3}+\frac{\sqrt{14}}{21}\)i અને \(\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{14}}{21}\)

પ્રશ્ન 10.
જો z₁ = 2 – i, z₂ = 1 + i, તો \(\left|\frac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\right|\) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, z₁ = 2 – i, z₂ = 1 + i આપેલ છે.

પ્રશ્ન 11.
જો a + ib = \(\frac{(x+i)^2}{2 x^2+1}\), તો a² + b² = \(\frac{\left(x^2+1\right)^2}{\left(2 x^2+1\right)^2}\) સાબિત કરો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
ધારો કે, z₁ = 2 – i, z₂ = 2 + i
(1) Re\(\left(\frac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}\right)\)
ઉત્તરઃ
z₁ = 2 – i, z₂ = 2 + i
∴ z̄₁ = 2 + i
∴ z₁z₂ = (2 – i) (-2 + i)
= -4 + 2i + 2i – i²
= -4 + 4i + 1 (∵ i² = -1)
= – 3 + 4i

(2) Im\(\left(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right)\) શોધો.
ઉત્તરઃ
z₁ = 2 – i
∴ z̄₁ = 2 + i
∴ z₁z̄₂ = (2−i) (2 + i)
= 4 – i² = 4 + 1 = 5 (∵ i² = -1)
∴ \(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}=\frac{1}{5}=\frac{1}{5}\) + 0.i
∴ Im\(\left(\frac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right)\) = 0

પ્રશ્ન 13.
સંકર સંખ્યા \(\frac{1+2 i}{1-3 i}\)નો માનાંક તથા કોણાંક શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 14.
જો (x – iy) (3 + 5i) એ – 6 – 24iની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા હોય, તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ x અને y શોધો.
ઉત્તરઃ
– 6 – 24iની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા – 6 + 24i છે.
∴ (x – iy) (3 + 5i) = 6 + 24i

પ્રશ્ન 15.
\(\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}\)નો માનાંક શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 16.
જો (x + iy)³ = u + iv હોય, તો બતાવો કે \(\frac{u}{x}+\frac{v}{y}\) = 4(x² – y²)
ઉત્તરઃ
(x + iy)³ = u + iv
∴ x³ + 3x²(iy) + 3x (iy)² + (iy)³ = u + iv
∴ x³ + 3x²yi + 3xy²i² + i³y³ = u + iv
∴ x³ + 3x²yi – 3xy² − y³i = u + iv
(∵ t² = − 1, t³ = i² × i = −i)
∴ (x³ – 3xy²) + (3x²y − y³) i = u + iv
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં,
x³ – 3xy² = = u અને 3x²y − y³ = o
∴ x (x² – 3y²) = u અને y (3x² – y²) = v

પ્રશ્ન 17.
જો α અને β એ ભિન્ન સંકર સંખ્યાઓ હોય તથા |β|= 1, તો \(\left|\frac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\right|\) ની કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
સમીકરણ |1 – i|^x = 2^xના શૂન્યેતર પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
|1 – i|^x = 2^x
∴ \(\left(\sqrt{1^2+(-1)^2}\right)^x\) = 2x
∴ (√2)^x = 2^x
∴ 2^{\(\frac{x}{2}\)} = 2^x
∴ \(\frac{x}{2}\) = x ∴ x = 2x ∴ x = 0
આમ, આપેલ સમીકરણને શૂન્યેતર પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. અર્થાત્ તેના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 19.
જો (a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB હોય, તો બતાવો કે
(a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B².
ઉત્તરઃ
(a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB
∴ (a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih)| = | A + iB |
∴ a + ib. c + id · │e + if] · |g + ih| = |A + iB |
∴ \(\sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} \cdot \sqrt{e^2+f^2} \cdot \sqrt{g^2+h^2}=\sqrt{A^2+B^2}\)
∴ (a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) A² + B².
બીજી રીતઃ
(a + ib) (c + id) (e + if) (g + ih) = A + iB ……(1)

∴ (a – ib) (c – id) (e − if) (g – ih) = A − iB · … … (2)
(1) અને (2)નો ગુણાકાર લેતાં,
∴ (a + ib) (a – ib) (c + id) (c – id) (e + if (e-if) (g + ih) (g − ih) = (A + iB) (A − iB)
(a² – i²b²) (c² – i²d²) (e² – i²f) (g² – i²h²) = A² – i²B²
∴ (a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B² (∵ i² = − 1)

પ્રશ્ન 20.
\(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^m\) = 1 થાય તેવી m ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત શોધો.
ઉત્તરઃ

∴ i^m = 1
∴ mની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત 4 છે.