Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 6 સુરેખ અસમતાઓ Miscellaneous Exercise
નીચેની અસમતાઓનો ઉકેલ શોધોઃ (1થી 6)
પ્રશ્ન 1.
2 ≤ 3x ≤ 4 ≤ 5
ઉત્તરઃ
2 ≤ 3x ≤ 4 ≤ 5
∴ 2 ≤ 3x – 4 અને 3x – 4 ≤ 5
∴ 6 ≤ 3x અને 3x ≤9
∴ 2 ≤ x અને x ≤ 3
∴ 2 ≤ x ≤ 3
ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, 2 ≤ x ≤ 3}
= [2, 3]
પ્રશ્ન 2.
6 ≤ -3 (2x – 4) < 12
ઉત્તરઃ
6 ≤ -3 (2x-4) < 12
∴ 2 ≥ 2x-4 ≥ -4
∴ -4 < 2x-4 ≤ -2
∴ -4 < 2x-4 અને 2x – 4 ≤ -2
∴ 0 < 2x અને 2x ≤ 2
∴0 < x અને x ≤ 1
∴ 0 < x < 1
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, 0 < x ≤ 1}
= (0, 1]
પ્રશ્ન 3.
-3 ≤ 4 – \(\frac{7 x}{2}\) < 18
ઉત્તરઃ
∴ 2 ≥ x અને x >-4
∴ -4 ≤ x ≤ 2
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, -4 ≤ x ≤ 2}
= [-4, 2]
પ્રશ્ન 4.
– 15 < \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
ઉત્તરઃ
– 15 < \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
∴ -15 < \(\frac{3(x-2)}{5}\) અને \(\frac{3(x-2)}{5}\) ≤ 0
∴ – 15 × \(\frac{5}{3}\) < x – 2 અને x – 2 ≤ 0
∴ – 25 < x – 2 અને x – 2 ≤ 0
∴ – 23 < x અને x ≤ 2
∴ 23 < x ≤ 2
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, −23 < x ≤ 2}
= (-23, 2]
પ્રશ્ન 5.
-12 < 4 – \(\frac{3 x}{-5}\) ≤ 2
ઉત્તરઃ
પ્રશ્ન 6.
7 ≤ \(\frac{(3 x+11)}{2}\) ≤ 11
ઉત્તરઃ
7 ≤ \(\frac{(3 x+11)}{2}\) ≤ 11
∴ 14 ≤ 3x + 11 ≤ 22
∴ 3 ≤ 3x ≤ 11
∴ 1 ≤ x ≤ \(\frac{11}{3}\)
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, 1 ≤ x ≤ \(\frac{11}{3}\)} = {1, \(\frac{11}{3}\)}
નીચેની અસમતાઓનો ઉકેલ મેળવો અને તેને સંખ્યારેખા પર દર્શાવોઃ (પ્રશ્ન 7થી 10)
પ્રશ્ન 7.
5x + 1 > -24, 5x – 1 < 24
ઉત્તરઃ
5x + 1> -24, 5x−1<24
∴ 5x > – 25, 5x < 25
∴ x > -5, x < 5
∴ – 5 < x < 5
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, -5 < x < 5}
= (-5, 5)
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે. x = ~5 અને x = 5નો સમાવેશ ઉકેલગણમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 8.
2 (x – 1) < x + 5, 3 (x + 2) > 2 – x
ઉત્તરઃ
2 (x – 1) < x + 5, 3 (x + 2) > 2-x
∴ 2x – 2 < x + 5, 3x + 6 > 2 -x
∴ 2x – x < 5 + 2, 3x + x> 2-6
∴ x < 7, 4x > -4
∴ x < 7, x > -1
∴ -1 < x < 7
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, − 1 < x < 7} = (−1, 7)
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે.
x=−1 અને x = 77નો સમાવેશ ઉકેલગણમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 9.
3x – 7 > 2 (x – 6), 6 − x > 11 – 2x
ઉત્તરઃ
3x – 7 > 2 (x – 6), 6 – x > 11 – 2x
∴ 3x – 7 > 2x – 12, 6 – x > 11 – 2x
∴ 3x – 2x > – 12 + 7, x + 2x > 11 – 6
∴ x > -5, x > 5 ∴ x > 5
∴ ઉકેલગણ = {x: x ∈ R, x > 5} = (5, ∞)
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખા પર ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે. x = 5નો સમાવેશ ઉકેલગણમાં થતો નથી.
પ્રશ્ન 10.
5 (2x – 7) – 3 (2x + 3) ≤ 0, 2x + 19 ≤ 6x + 47
ઉત્તરઃ
5 (2x – 7) – 3 (2x + 3) ≤ 0, 2x + 19 ≤ 6x + 47
∴ 10x – 35 – 6x – 9 ≤ 0, 2x – 6x ≤ 47 – 19
∴ 4x – 44 ≤ 0, – 4x ≤ 28
∴ 4x ≤ 44, x ≥ -7
∴ x ≤ 11, x ≥ -7 ∴ −7<x<11
∴ ઉકેલગણ = {x:x ∈ R, -7 ≤ x ≤ 11} =[−7, 11]
જેને સંખ્યારેખા પર નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવેલ છેઃ
અહીં, સંખ્યારેખાનો ઘેરો કરીને દર્શાવેલ ભાગ આપેલ અસમતાનો ઉકેલગણ દર્શાવે છે.
પ્રશ્ન 11.
એક દ્રાવણનું તાપમાન 68° અને 77° સેલ્સિયસ તથા ફેરનહીટ વચ્ચે રૂપાંતર સૂત્ર F = \(\frac{9}{5}\)C + 32 છે. સેલ્સિયસમાં તાપમાનનો વિસ્તાર શું છે?
ઉત્તરઃ
68 < F < 77 આપેલ છે.
F = \(\frac{9}{5}\)C + 32 મૂકતાં,
68 < \(\frac{9}{5}\)C + 32 < 77
∴ 36 < \(\frac{9}{5}\)C < 45
∴ \(\frac{5}{9}\)(36) < C < \(\frac{5}{9}\) (45)
∴ 20 < C < 25
આમ, માગેલ તાપમાનનો વિસ્તાર 20°C અને 25 °C વચ્ચે છે.
પ્રશ્ન 12.
8% બોરિક ઍસિડના દ્રાવણને મંદ કરવા તેમાં 2% બોરિક ઍસિડનું દ્રાવણ ઉમેરવામાં આવે છે. પરિણામે બોરિક ઍસિડનું મિશ્રણ 4 %થી વધુ અને 6%થી ઓછું મળે છે, તો આપણી પાસે 640 લિટર 8%નું દ્રાવણ હોય, તો તેમાં કેટલાં લિટર 2% સાંદ્રતા ધરાવતું દ્રાવણ ઉમેરવું પડે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x લિટર 2% સાંદ્રતા ધરાવતું બોરિક ઍસિડનું દ્રાવણ 640 લિટર 8% સાંદ્રતા ધરાવતા બોરિક ઍસિડના દ્રાવણમાં ઉમેરવામાં આવે છે. આથી કુલ મિશ્રણ = (640 + x) લિટર
હવે, આ મિશ્રણમાં બોરિક ઍસિડની ટકાવારીનું માપ
= \(\left[\frac{\frac{8 \times 640}{100}+\frac{2 x}{100}}{640+x}\right]\) × 100 = \(\frac{5120+2 x}{640+x}\)
આપેલી શરત પ્રમાણે તે 4%થી વધુ અને 6%થી ઓછું હોવું જોઈએ.
∴ 4 < \(\frac{5120+2 x}{640+x}\) < 6
∴ 2560 + 4x < 5120 + 2x < 3840 + 6x
∴ 2560 + 4x < 5120 + 2x અને
∴ 5120 + 2x < 3840 + 6x
∴ 4x – 2x < 5120 – 2560 અને
5120–3840 < 6x – 2x
∴ 2x < 2560 અને 1280 < 4x
∴ x < 1280 અને 320 < x
∴ 320 < x < 1280
આમ, 320 લિટરથી વધુ અને 1280 લિટરથી ઓછું 2% સાંદ્રતા ધરાવતું બોરિક ઍસિડનું દ્રાવણ ઉમેરવું જોઈએ.
પ્રશ્ન 13.
45 % ઍસિડનું 1125 લિટર દ્રાવણ છે, તો પરિણામી મિશ્રણમાં 25 %થી વધારે પણ 80 %થી ઓછું ઍસિડ થાય તે માટે દ્રાવણમાં કેટલું પાણી ઉમેરવું જોઈએ?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, x લિટર પાણી 45 % ઍસિડનાં 1125 લિટર દ્રાવણમાં ઉમેરવામાં આવે છે.
આથી કુલ મિશ્રણ = (1125 + x) લિટર
હવે, આ મિશ્રણમાં ઍસિડની ટકાવારીનું માપ
= \(\left[\frac{\frac{45 \times 1125}{100}+\frac{x \times 0}{100}}{1125+x}\right]\) × 100
[નોંધ : પાણીની સાંદ્રતા ૦% છે.]
= \(\frac{50625}{1125+x}\)
આપેલી શરત પ્રમાણે 25 %થી વધા૨ે પણ 30 %થી ઓછું હોવું જોઈએ.
∴ 25 < < 30
∴ 28125 + 25x < 50625 < 33750 + 30x
∴ 28125 + 25x < 50625 અને
∴ 50625 < 33750 + 30x
∴ 25x < 22500 16875 < 30x
∴ x < 900 અને 562.5 < x
∴ 562.5 < x < 900
આમ, 562.5 લિટરથી વધુ અને 900 લિટરથી ઓછું પાણી ઉમેરવું જોઈએ.
પ્રશ્ન 14.
વ્યક્તિનો IQ દર્શાવતું સૂત્ર નીચે પ્રમાણે છે :
IQ = \(\frac{\mathrm{M A}}{\mathrm{C A}}\) × 100
અહીં MA વ્યક્તિની માનસિક ઉંમર અને CA તેની સમયાનુક્રમિક ઉંમર છે. જો 80 ≤ 10 ≤ 140 હોય, તો 12 વર્ષની ઉંમરનાં બાળકોના સમૂહની માનસિક ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, IQ = \(\frac{\mathrm{M A}}{\mathrm{C A}}\) × 100 આપેલ છે. જ્યાં MA વ્યક્તિની માનસિક ઉંમર અને CA તેની સમયાનુક્રમિક ઉંમર છે.
હવે, 80 ≤ IQ – 140
∴ 80 ≤ \(\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{CA}}\) × 100 < 140
∴ 80 ≤ \(\frac{\mathrm{MA}}{12}\) × 100 < 140 ( 12 વર્ષની ઉંમર માટે CA = 12 લેતાં)
∴ 960 ≤ MA × 100 ≤ 1680
∴ \(\frac{960}{100}\) < MA ≤ \(\frac{1680}{100}\)
∴ 9.6 ≤ MA < 16.8
આમ, 12 વર્ષની ઉંમરનાં બાળકોના સમૂહની માનસિક ઉંમર 9.6 વર્ષ કે તેથી વધારે, પરંતુ 16.8 વર્ષ કે તેથી ઓછી હોય.