GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 4 ગાણિતિક અનુમાનનો સિદ્ધાંત Ex 4.1

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 4 ગાણિતિક અનુમાનનો સિદ્ધાંત Ex 4.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 4 ગાણિતિક અનુમાનનો સિદ્ધાંત Ex 4.1

n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરી નીચેનાં વિધાનો સાબિત કરોઃ

પ્રશ્ન 1.
1 + 3 + 3² + … + 3^n-1 = $\frac{\left(3^n-1\right)}{2}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P (n) : 1 + 3 + 3² + …… + 3^n-1 = $\frac{\left(3^n-1\right)}{2}$ લઈશું;
જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 અને જ.બા. = $\frac{3^1-1}{2}=\frac{2}{2}$ = 1
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k = N માટે P (c)
∴ 1 + 3 + 3² + …… + 3^k-1 = $\frac{\left(3^k-1\right)}{2}$ ………..(1)

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
1 + 3 + 3² + ……………. + 3^k-1 + 3^k = $\frac{3^{k+1}-1}{2}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1 + 3 + 3² + …………… + 3^k-1 + 3^k

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1 + 3 + 3² + …… + 3^n-1 = $\frac{\left(3^n-1\right)}{2}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 2.
1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
ઉત્તરઃ
અહીં, P (n) : 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$
લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1³ = 1 અને જ.બા. = $\left(\frac{1(1+1)}{2}\right)^2$ = 1
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ P(k): 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ = $\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2$ …(1)
∴ હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³ = $\left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2$
સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1³ + 2³ + 3³ + … + k³ + (k + 1)³

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત
અનુસાર P (n) સત્ય છે.
1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 3.
1 + $\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2 n}{n+1}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P (n) : 1 + $\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2 n}{n+1}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 અને જ.બા. = $\frac{2(1)}{1+1}$ = 1
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1 + $\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+k)}=\frac{2 k}{k+1}$ …..(1)

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1 + $\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2 n}{n+1}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 4.
1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n + 1) (n + 2) = $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n): 1·2.3 + 2.3.4 + ………….. + n(n+1)(n+2) = $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 . 2 · 3 = 6 અને જ.બા. = $\frac{1 \cdot(1+1)(1+2)(1+3)}{4}=\frac{1 \cdot(2)(3)(4)}{4}$ = 6
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1.2.3 + 3.4.5 + …… + k(k + 1)(k + 2) = $\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}$
હવે. P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે 1 · 2 · 3 + 2 . 3 . 4 + ……. + k. (k + 1) (k + 2) + (k + 1)(k + 2)(k + 3) = $\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}+\frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1.2.3 + 2.3.4 + …. + k (k + 1) (k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)

= જ.બા.
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n = N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1.2.3 + 2.3.4 + ……. + n (n + 1) (n + 2) = $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 5.
1.3 + 2. .3² + 3.3² + …………….. + n.3ⁿ = $\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) = 1.3 + 2. .3² + 3.3² + …………….. + n.3ⁿ = $\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 . 3 = 3 અને જ.બા. = $\frac{\{2(1)-1\} \cdot 3^{1+1}+3}{4}=\frac{(1) \cdot 9+3}{4}=\frac{12}{4}$ = 3
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, K ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1.3 + 2.3² + 3.3³ + … + k.3^k = $\frac{(2 k-1) \cdot 3^{k+1}+3}{4}$

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે 1 · 3 + 2 · 3² + 3 . 3³ + …………. + k.3^k + (k + 1). 3^k+1 = $\frac{(2 k+1) \cdot 3^{k+2}+3}{4}$
સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1.3 + 2.3² + 3.3³ + …. +k. 3^k + (k + 1). 3^k+1

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1.3 + 2. .3² + 3.3² + …………….. + n.3ⁿ = $\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 6.
1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n): 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$, લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 . 2 = 2 અને જ.બા. = $\frac{1 \cdot(1+1)(1+2)}{3}$ = 2
∴ ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1.2 + 2.3 + 3.4 + ………… + k.(k + 1) = $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ …………(1)
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
1.2 + 2 3 + 3.4 + … + k. (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = $\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1.2 + 2·3 + 3.4 + …+ k (k + 1) + (k + 1) (k + 2)

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n (n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 7.
1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n − 1) (2n + 1) = $\frac{n\left(4 n^2+6 n-1\right)}{3}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n): 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2n − 1) (2n + 1) = $\frac{n\left(4 n^2+6 n-1\right)}{3}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 . 3 = 3 અને જ.બા. = $\frac{1 \cdot\left(4(1)^2+6(1)-1\right)}{3}=\frac{4+6-1}{3}$ = 3
∴ ડા.બા. = ૪.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (c) સત્ય છે.
∴ 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2k – 1) (2k + 1) = $\frac{k\left(4 k^2+6 k-1\right)}{3}$ ….(1)

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
1.3 + 3.5 + 5.7 + … + (2k-1) (2k + 1) + (2k + 1) (2k + 3) = $\frac{(k+1)\left\{4(k+1)^2+6(k+1)-1\right\}}{3}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1·3 +3.5+ 5·7+ … + (2k − 1) (2k + 1) + (2k + 1) (2k + 3)

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1.3 + 3.5 + 5.7 + ……… + (2k – 1) (2k + 1) = $\frac{4\left(4 k^2+6 k-1\right)}{3}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 8.
1.2 + 2.2² + 3 · 2³ + … + n · 2ⁿ = (n − 1) 2ⁿ⁺¹ + 2
ઉત્તરઃ
દા. નં. 5. પ્રમાણે ગણવો.
અહીં, P(n) = 1.3 + 2. .3² + 3.3² + …………….. + n.3ⁿ = $\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 . 3 = 3 અને જ.બા. = $\frac{\{2(1)-1\} \cdot 3^{1+1}+3}{4}=\frac{(1) \cdot 9+3}{4}=\frac{12}{4}$ = 3
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, K ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1.3 + 2.3² + 3.3³ + … + k.3^k = $\frac{(2 k-1) \cdot 3^{k+1}+3}{4}$

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે 1 · 3 + 2 · 3² + 3 . 3³ + …………. + k.3^k + (k + 1). 3^k+1 = $\frac{(2 k+1) \cdot 3^{k+2}+3}{4}$
સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1.3 + 2.3² + 3.3³ + …. +k. 3^k + (k + 1). 3^k+1

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1.3 + 2. .3² + 3.3² + …………….. + n.3ⁿ = $\frac{(2 n-1) 3^{n+1}+3}{4}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 9.
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}$ = 1 – $\frac{1}{2^n}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}$ = 1 – $\frac{1}{2^n}$, લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = $\frac{1}{2}$અને જ.બા. = 1 – $\frac{1}{2^1}$ = 1 – $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^k}$
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^{k+1}}=1-\frac{1}{2^{k+1}}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,

= જ.બા.
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n = N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}$ = 1 – $\frac{1}{2^n}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 10.
$\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : $\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}$, લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
∴ n = 1 માટે
ડા.બા. = $\frac{1}{2 \cdot 5}=\frac{1}{10}$ અને જ.બા. = $\frac{1}{6(1)+4}=\frac{1}{10}$
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 k-1)(3 k+2)}=\frac{k}{6 k+4}$ ……..(1)

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે

∴P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\frac{1}{8 \cdot 11}+\ldots+\frac{1}{(3 n-1)(3 n+2)}=\frac{n}{6 n+4}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 11.
$\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{1}{6}$ અને જ.બા. = $\frac{1(1+3)}{4(1+1)(1+2)}=\frac{1}{6}$
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+3)}{4(k+1)(k+2)}$ ……(1)
હવે, P(k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 12.
a + ar + ar² + … + ar^n-1 = $\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : a + ar + ar² + … + ar^n-1 = $\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = a અને જ.બા. = $\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}$ = a
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ a + ar + ar² + … + ar^k-1 = $\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}$
હવે, P (k+1) સત્ય સાબિત કરવા માટે a + ar + ar² + … + ar^k-1 + ar^k = $\frac{a\left(r^{k+1}-1\right)}{r-1}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = a + ar + ar² + …….. + ar^k-1 + ar^k

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ a + ar + ar² + … + ar^n-1 = $\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 13.
(1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 n+1}{n^2}$) = (n + 1)²
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : (1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 n+1}{n^2}$) = (n + 1)² લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = (1 + $\frac{3}{1}$) = 4 અને જ.બા. = (1 + 1)² = 4
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k = N માટે P (k) સત્ય છે.
(1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 k+1}{k^2}$) = (k + 1)² ……..(1)
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે

= k² + 2k + 1 + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
= જ.બા.
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P(n) સત્ય છે.
∴ (1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 n+1}{n^2}$) = (n + 1)², ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 14.
(1 + $\frac{1}{1}$) (1 + $\frac{1}{2}$) (1 + $\frac{1}{3}$) ……… (1 + $\frac{1}{n}$) = (n + 1)
ઉત્તરઃ
દા. નં. 13 પ્રમાણે ગણવો.
અહીં, P(n) : (1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 n+1}{n^2}$) = (n + 1)² લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = (1 + $\frac{3}{1}$) = 4 અને જ.બા. = (1 + 1)² = 4
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k = N માટે P (k) સત્ય છે.
(1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 k+1}{k^2}$) = (k + 1)² ……..(1)
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે

= k² + 2k + 1 + 2k + 3
= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
= જ.બા.
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P(n) સત્ય છે.
∴ (1 + $\frac{3}{1}$) (1 + $\frac{5}{4}$) (1 + $\frac{7}{9}$) ……… (1 + $\frac{2 n+1}{n^2}$) = (n + 1)², ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 15.
1² + 3² + 5² + … + (2n − 1)² = $\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : 1² + 3² + 5² + … + (2n − 1)² = $\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n ∈ 1 માટે

ડા.બા. 1² = 1 અને જ.બા. = $\frac{1\{2(1)-1\}\{2(1)+1\}}{3}$ = 1
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1² + 3² + 5² + … + (2k − 1)² = $\frac{k(2 k-1)(2 k+1)}{3}$

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
1² + 3² + 5² + ………… + (2k − 1)² + (2k + 1)² = $\frac{(k+1)(2 k+1)(2 k+3)}{3}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
ડા.બા. = 1² + 3² + 5² + ………… + (2k − 1)² + (2k + 1)²

= જ.બા.
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1² + 3² + 5² + … + (2n − 1)² = $\frac{n(2 n-1) \cdot(2 n+1)}{3}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 16.
$\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : $\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = $\frac{1}{1 \cdot 4}=\frac{1}{4}$ અને જ.બા. = $\frac{1}{3(1)+1}=\frac{1}{4}$
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}=\frac{k}{3 k+1}$ ….(1)

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે $\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 k-2)(3 k+1)}+\frac{1}{(3 k+1)(3 k+4)}=\frac{k+1}{3 k+4}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે,

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\ldots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=\frac{n}{3 n+1}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 17.
$\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\frac{n}{3(2 n+3)}$
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n) : $\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\frac{n}{3(2 n+3)}$ લઈશું; જ્યાં, n ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = $\frac{1}{3 \cdot 5}=\frac{1}{15}$ અને જ.બા. = $\frac{1}{3\{2(1)+3\}}=\frac{1}{15}$
∴ n = 1 માટે ડા.બા. = જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}=\frac{k}{3(2 k+3)}$ ……..(1)
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
$\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 k+1)(2 k+3)}+\frac{1}{(2 k+3)(2 k+5)}=\frac{k+1}{3(2 k+5)}$ સાબિત કરવું પડે. તે માટે

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n = N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ $\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 9}+\ldots+\frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}=\frac{n}{3(2 n+3)}$, ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 18.
1 + 2 + 3 + … + n < $\frac{1}{8}$(2n + 1)²
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n): 1 + 2 + 3 + … + n < $\frac{1}{8}$(2n + 1)², ∀ n ∈ N લઈશું.
હવે, n = 1 માટે
ડા.બા. = 1 અને જ.બા. = $\frac{1}{8}${2(1) + 1}² = $\frac{9}{8}$
∴ ડા.બા. ૮ જ.બા.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 1 + 2 + 3 + ………….. + k < $\frac{1}{8}$(2k + 1)²
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
1 + 2 + 3 + ………. + k + (k + 1) < $\frac{1}{8}$ (2k + 3)² સાબિત કરવું પડે. તે માટે
1 + 2 + 3+ …… + k + (k + 1)

∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 1 + 2 + 3 + … + n < $\frac{1}{8}$(2n + 1)², ∀ n ∈ N

પ્રશ્ન 19.
n (n+1) (n + 5) એ 3નો ગુણિત છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, P (n) : n (n+1) (n + 5) એ 3નો ગુણિત છે, ∀ n ∈ N લઈશું.
અર્થાત્ P(n): n · (n+1) (n + 5) = 3. m, જ્યાં, m ∈ N
હવે, n = 1 માટે
n (n+1) (n + 5) = 1 (1 + 1) (1 + 5)
= 1 · (2) (6) = 12, જે 3નો ગુણિત છે.
∴ P (1) સત્ય છે.

હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
અર્થાત્ k (k + 1) (k + 5) = 3 ⋅ a, જ્યાં, a ≤ N
∴ k (k² + 6k + 5) = 3 ⋅ a
∴ k³ + 6k² + 5k = 3a
∴ k³ = 3a – 6k² – 5k ……..(1)
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
(k + 1) (k + 2) (k + 6) એ 3નો ગુણિત છે તેમ સાબિત કરવું પડે.
અર્થાત્ (k + 1) (k + 2) (k + 6) = 3 ⋅b; જ્યાં, b ∈ N સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
(k + 1) (k + 2) (k + 6)
= (k + 1) (k² + 8k + 12)
= k³ + 8k² + 12k + k² + 8k + 12
= k³ + 9k² + 20k + 12
= (3a – 6k² – 5k) + 9k² + 20k + 12 [∵ (1) પરથી]
= 3a + 3k² + 15k + 12
= 3 (a + k² + 5k + 4)
= 3.b જ્યાં, b = a + k² + 5k + 4 ∈ N
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ n (n + 1) (n + 5) એ ∀ n ∈ N એ 3નો ગુણિત છે.

પ્રશ્ન 20.
10^2n-1 + 1 એ 11 વડે વિભાજ્ય છે.
ઉત્તરઃ
10^2n-1 + 1 એ 11 વડે વિભાજ્ય છે.
અર્થાત્ 10^2n-1 એ 11નો ગુણિત છે.
el, P(n): 10^2n-1 + 1 = 11.m; જ્યાં, m ∈ N લઈશું.
હવે, n = 1 માટે
10^2n-1 + 1 = 10^2(1)-1 + 1 = 10¹ + 1 = 11, જે 11 વડે વિભાજ્ય છે.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
અર્થાત્ 10^2k-1 + 1 = 11.a જ્યાં, a ∈ N
∴ $\frac{10^{2 k}}{10^1}$ + 1 = 11a
∴ $\frac{10^{2 k}}{10}$ = 11a – 1
∴ 10^2k = 10. (11a – 1) ……(1)
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે 10^{2(k + 1)−1} + 1 એ 11નો ગુણિત છે તેમ સાબિત કરવું પડે.
અર્થાત્ 10^2k+1 + 1 = 11. b, જ્યાં b ∈ N સાબિત કરવું પડે. તે માટે,
10^2k+1 + 1 = 10^2k .10 + 1
= 10 (11a – 1) 10 + 1 [∵ (1) પરથી]
= 100 (11a – 1) + 1
= 1100 a – 99
= 11 (100a – 99)
= 11. b જ્યાં, b = 100a – 99 ∈ N
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 10^{2n + 1} એ ખ઼ n ∈ N માટે 11 વડે વિભાજ્ય છે.

પ્રશ્ન 21.
x²ⁿ – y²ⁿ એ x + y વડે વિભાજ્ય છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, P (n) : x²ⁿ – y²ⁿએ (x + y) વડે વિભાજ્ય છે, ∀ n ∈ N તેમ લઈશું.
હવે, n = 1 માટે
x²ⁿ – y²ⁿ = x² − y² = (x-u) (x + y) જે (x + y) વડે વિભાજ્ય છે.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (c) સત્ય છે.
અર્થાત્ x^2k – y^2k એ (x + y) વડે વિભાજ્ય છે.
∴ $\frac{x^{2 k}-y^{2 k}}{x+y}$ = m (ધારો) જ્યાં, m એ x અને પુમાં બહુપદી છે.
∴ x^2k – y^2k = m . (x + y)
જે પણ x અને ઘુમાં બહુપદી છે.
હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
x^{2(k + 1)} – y^{2(k + 1)} એ (x + y) વડે વિભાજ્ય છે તેમ સાબિત કરવું પડે.
હવે, x^{2(k + 1)} – y^{2(k + 1)}
= x^2k . x² · y^2k · y²
= x^2kx² − x^2ky² + x^2ky² – y^2k. y²
= x^2k(x² – y²) + y²(x^2k – y²)
= x²(x – y) (x + y) + y² · m . (x + y) [∵ (1) પરથી]
∴ x^{2 (k + 1)} – y^{2 (k + 1)} = (x + y) {x² . (x – y) + my²}
∴ $\frac{x^{2(k+1)}-y^{2(k+1)}}{x+y}$ = x². (x – y) + my²
અહીં, જ.બા. એ x અને માં બહુપદી છે.
∴ x^{2 (k + 1)} – y^{2 (k + 1)} એ (x + y) વડે વિભાજ્ય છે.
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n = N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ x²ⁿ – y²ⁿ એ જ n ∈ N માટે (x + y) વડે વિભાજ્ય છે.

પ્રશ્ન 22.
3^{2n + 2} – 8n−9 એ 8 વડે વિભાજ્ય છે.
ઉત્તરઃ
3^{2n + 2} – 8n – 9 એ 8નો ગુણક હોય તો જ તે 8 વડે વિભાજ્ય થાય.
અહીં, P (n) : 3^{2n + 2} – 8n – 9 = 8 m; જ્યાં, m = N લઈશું.
હવે, n = 1 માટે

3^{2n + 2} – 8n – 9 = 3²⁽¹⁾ + 2 – 8 (1) – 9
= 3⁴ – 17
= 81 – 17
= 64, જે 8 વડે વિભાજ્ય છે.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
અર્થાત્ P (k): 3^{2k + 2} – 8k – 9 = 8. a; જ્યાં,, a ∈ N.
∴ 3^2k+2 = 8a + 8k + 9 …………..(1)

હવે, P (k + 1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
3^{2(k + 1) + 2} – 8(k + 1) – 9 એ 8નો ગુણક બતાવો પડે.
અર્થાત્
3^{2k + 4} − 8 (k + 1) − 9 = 8 · b; જ્યાં, b = N બતાવવું પડે.
હવે, 3^{2k + 4} −8 (k + 1) − 9
= 3^{2k + 2}.3² – 8k – 8 – 9
= (8a+ 8k + 9).9-8k-17 [∵ (1) પરથી]
= 72a + 72k + 81 – 8k – 17
= 72a + 64k + 64
= 8 (9a + 8k + 8)
= 8.b જ્યાં, b = 9a + 8k + 8 € N
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત
અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 3²ⁿ⁺² – 8n – 9 એ ∀ n ∈ N માટે 8 વડે વિભાજ્ય છે.

પ્રશ્ન 23.
41ⁿ – 14ⁿ એ 27નો ગુણિત છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, P (n) : 41ⁿ – 14ⁿ એ 27નો ગુણિત છે.
અર્થાત્ P(n): 41ⁿ – 14ⁿ = 27 m; જ્યાં, m ∈ N.
હવે, n = 1 માટે
41ⁿ – 14ⁿ = 41 – 14 = 27
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ 41^k – 14^k = 27. a જ્યાં, a ∈ N
∴ 41^k = 14^k + 27a …………………..(1)
હવે, P(k+1) સત્ય સાખિત કરવા માટે 41^k+1 – 14^k+1 એ 27નો ગુણિત સાબિત કરવું પડે.

અર્થાત્ 41^k+1 – 14^k+1 = 27.b; જ્યાં, b ∈ N સાખિત કરવું પડે. તે માટે,
41^k+1 – 14^k+1
= 41^k. 41 – 14^k. 14
= (14^k + 27a) · 41 – 14^k. 14 [ (1) чzel]
= 14^k.41 + 27. a. 41 – 14^k. 14
= 14^k (41 − 14) + 27 · a · 41
= 27. 14^k + 27.a.41
= 27. (14^k + 41a)
= 27. b, જ્યાં, b = 14^k + 41 a ∈ N
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n ∈ N માટે ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત અનુસાર P (n) સત્ય છે.
∴ 41ⁿ – 14ⁿ એ ∀ n ∈ N માટે 27નો ગુણિત છે.

પ્રશ્ન 24.
(2n + 7) < (n + 3)²
ઉત્તરઃ
અહીં, P(n): (2n + 7) < (n + 3)², ∀ n ∈ N લઈશું.
હવે, n = 1 માટે (2 (1) + 7) < (1 + 3)2
∴ 9 < 16 જે સત્ય છે.
∴ P (1) સત્ય છે.
હવે, ધારો કે, k ∈ N માટે P (k) સત્ય છે.
∴ (2k + 7) < (k + 3)²
હવે, P (+1) સત્ય સાબિત કરવા માટે
{2 (k + 1) + 7} < ((k + 1) + 3)²
અર્થાત્ (2k + 9) < (k + 4)² સાબિત કરવું પડે.
ga, (2k + 9) = (2k + 7) + 2
< (k + 3)² +2 [‘: (1) પરથી]
< k² + 6k+9+2
< (k² + 6k + 11)
< (k² + 6k + 11) + (2k + 5)
< k² + 8k + 16
< (k + 4)²
24, (2k+9) < (k + 4)²
∴ P (k + 1) પણ સત્ય છે.
આથી પ્રત્યેક n = N માટે P (n) સત્ય છે.
∴ ∀ n ∈ N માટે (2n + 7) < (n + 3)²