GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Miscellaneous Exercise

સાબિત કરોઃ (પ્રશ્ન 1થી 7)

પ્રશ્ન 1.
2 cos\(\frac{\pi}{13}\)cos \(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos \(\frac{5 \pi}{13}\) = 0
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 2.
(sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0
ઉત્તરઃ
ડાબા. = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x
= 2 sin\(\left(\frac{3 x+x}{2}\right)\) cos\(\left(\frac{3 x-x}{2}\right)\)sin x – 2sin\(\left(\frac{3 x+x}{2}\right)\) sin\(\left(\frac{3 x-x}{2}\right)\) cos x
= 2 sin 2x cos x sin x-2 sin 2x sin x cos x
= 0
= જ.બા.

પ્રશ્ન 3.
(cos x + cos y)² + (sin x − sin y)² = 4 cos²\(\left(\frac{x+y}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
ડાબા. = (cos x + cos y)² + (sin x − sin y)²
= (cos² x + cos² y + 2 cos x cos y) + (sin²x + sin²y – 2 sin x sin y)
= (cos²x + sin²x) + (cos²y + sin²y) + 2 (cos x cos y – sin x sin y)
= 1 + 1 + 2 cos (x + y)
= 2 + 2 cos(x + y)
= 2 [1 + cos (x + y)]
= 2 × 2 cos²\(\left(\frac{x+y}{2}\right)\)
[∵ 1 + cos θ = 2 cos²\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\)]
= 4 cos²\(\left(\frac{x+y}{2}\right)\)
= જ.બા.

પ્રશ્ન 4.
(cos x – cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 sin² \(\left(\frac{x-y}{2}\right)\)
ઉત્તરઃ
ડાબા. = (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)²
= (cos²x + cos²y – 2 cos x cos y) + (sin²x + sin²y – 2 sin x sin y)
= (cos²x + sin²x) + (cos²y + sin²y) – 2 (cos x cos y + sin x sin y)
= 1 + 1 – 2 cos (x – y)
= 2 – 2 cos(x − y)
= 2 [1 – cos(x − y)]
= 2 × 2 sin²\(\left(\frac{x-y}{2}\right)\) [∵ 1 – cos θ = 2 sin²\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\)]
= 4 sin²\(\left(\frac{x-y}{2}\right)\)
= જ.બા.

પ્રશ્ન 5.
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x
ઉત્તરઃ
ડાબા. = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)
= 2 sin\(\left(\frac{7 x+x}{2}\right)\). cos\(\left(\frac{7 x-x}{2}\right)\) + 2sin\(\left(\frac{5 x+3 x}{2}\right)\).cos\(\left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)\)
= 2 sin 4x.cos 3x + 2 sin 4x cos x
= 2 sin 4x (cos 3x + cos x)
= 2 sin 4x x 2 cos\(\left(\frac{3 x+x}{2}\right)\). cos\(\left(\frac{3 x-x}{2}\right)\)
= 2 sin 4x x 2 cos 2x cos x
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= જ.બા.

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}\) = tan 6x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
sin 3x + sin 2x – sin x = 4 sin x cos\(\frac{x}{2}\).cos\(\frac{3x}{2}\)
ઉત્તરઃ

નીચેના પ્રત્યેક પ્રશ્ન માટે sin\(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\) અને tan \(\frac{x}{2}\) ની કિંમતો શોધો : (પ્રશ્ન 8થી 10)

પ્રશ્ન 8.
tan x = \(\frac{4}{3}\), x એ બીજા ચરણમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, x એ બીજા ચરણમાં છે.
ત્યાં, cos x

આમ, sin \(\frac{x}{2}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}\), cos \(\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\) અને tan \(\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}\) = 2

પ્રશ્ન 9.
cos x = \(\frac{1}{3}\), x એ ત્રીજા ચરણમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, x એ ત્રીજા ચરણમાં છે.

પ્રશ્ન 10.
sin x = \(\frac{1}{4}\), x એ બીજા ચરણમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, x એ બીજા ચરણમાં છે.