GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 3 ત્રિકોણમિતીય વિધેયો Miscellaneous Exercise

સાબિત કરોઃ (પ્રશ્ન 1થી 7)

પ્રશ્ન 1.
2 cos$\frac{\pi}{13}$cos $\frac{9 \pi}{13}$ + cos$\frac{3 \pi}{13}$ + cos $\frac{5 \pi}{13}$ = 0
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 2.
(sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0
ઉત્તરઃ
ડાબા. = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x
= 2 sin$\left(\frac{3 x+x}{2}\right)$ cos$\left(\frac{3 x-x}{2}\right)$sin x – 2sin$\left(\frac{3 x+x}{2}\right)$ sin$\left(\frac{3 x-x}{2}\right)$ cos x
= 2 sin 2x cos x sin x-2 sin 2x sin x cos x
= 0
= જ.બા.

પ્રશ્ન 3.
(cos x + cos y)² + (sin x − sin y)² = 4 cos²$\left(\frac{x+y}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
ડાબા. = (cos x + cos y)² + (sin x − sin y)²
= (cos² x + cos² y + 2 cos x cos y) + (sin²x + sin²y – 2 sin x sin y)
= (cos²x + sin²x) + (cos²y + sin²y) + 2 (cos x cos y – sin x sin y)
= 1 + 1 + 2 cos (x + y)
= 2 + 2 cos(x + y)
= 2 [1 + cos (x + y)]
= 2 × 2 cos²$\left(\frac{x+y}{2}\right)$
[∵ 1 + cos θ = 2 cos²$\left(\frac{\theta}{2}\right)$]
= 4 cos²$\left(\frac{x+y}{2}\right)$
= જ.બા.

પ્રશ્ન 4.
(cos x – cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 sin² $\left(\frac{x-y}{2}\right)$
ઉત્તરઃ
ડાબા. = (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)²
= (cos²x + cos²y – 2 cos x cos y) + (sin²x + sin²y – 2 sin x sin y)
= (cos²x + sin²x) + (cos²y + sin²y) – 2 (cos x cos y + sin x sin y)
= 1 + 1 – 2 cos (x – y)
= 2 – 2 cos(x − y)
= 2 [1 – cos(x − y)]
= 2 × 2 sin²$\left(\frac{x-y}{2}\right)$ [∵ 1 – cos θ = 2 sin²$\left(\frac{\theta}{2}\right)$]
= 4 sin²$\left(\frac{x-y}{2}\right)$
= જ.બા.

પ્રશ્ન 5.
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x
ઉત્તરઃ
ડાબા. = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)
= 2 sin$\left(\frac{7 x+x}{2}\right)$. cos$\left(\frac{7 x-x}{2}\right)$ + 2sin$\left(\frac{5 x+3 x}{2}\right)$.cos$\left(\frac{5 x-3 x}{2}\right)$
= 2 sin 4x.cos 3x + 2 sin 4x cos x
= 2 sin 4x (cos 3x + cos x)
= 2 sin 4x x 2 cos$\left(\frac{3 x+x}{2}\right)$. cos$\left(\frac{3 x-x}{2}\right)$
= 2 sin 4x x 2 cos 2x cos x
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= જ.બા.

પ્રશ્ન 6.
$\frac{(\sin 7 x+\sin 5 x)+(\sin 9 x+\sin 3 x)}{(\cos 7 x+\cos 5 x)+(\cos 9 x+\cos 3 x)}$ = tan 6x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
sin 3x + sin 2x – sin x = 4 sin x cos$\frac{x}{2}$.cos$\frac{3x}{2}$
ઉત્તરઃ

નીચેના પ્રત્યેક પ્રશ્ન માટે sin$\frac{x}{2}$, cos $\frac{x}{2}$ અને tan $\frac{x}{2}$ ની કિંમતો શોધો : (પ્રશ્ન 8થી 10)

પ્રશ્ન 8.
tan x = $\frac{4}{3}$, x એ બીજા ચરણમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, x એ બીજા ચરણમાં છે.
ત્યાં, cos x

આમ, sin $\frac{x}{2}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, cos $\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ અને tan $\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ = 2

પ્રશ્ન 9.
cos x = $\frac{1}{3}$, x એ ત્રીજા ચરણમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, x એ ત્રીજા ચરણમાં છે.

પ્રશ્ન 10.
sin x = $\frac{1}{4}$, x એ બીજા ચરણમાં છે.
ઉત્તરઃ
અહીં, x એ બીજા ચરણમાં છે.