Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 2 સંબંધ અને વિધેયો Ex 2.2
પ્રશ્ન 1.
A = {1, 2, 3,… 14}, R = {x, y): 3x – y = 0; જ્યાં, x, y ∈ A}. જો R એ Aથી Aનો સંબંધ હોય, તો Rનો પ્રદેશ, સહપ્રદેશ અને વિસ્તાર મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2, 3, ….14} અને
R = {(x, y): 3x – y = 0; જ્યાં x, y ∈ A}
3x – y = 0 એટલે કે, y = 3xમાં
x = 1 લેતાં, y = 3
x = 2 લેતાં, y = 6
x = 3 લેતાં, y = 9
x = 4 લેતાં, y = 12
x = 5 લેતાં, y = 15 અહીં, y ≠ A થશે.
આ રીતે x ≥ 5 લેતાં, y ∉ A થશે.
આથી x = 1, 2, 3, 4 જ લઈ શકાશે.
∴ R = {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12)}
Rનો પ્રદેશ = {1, 2, 3, 4}
Rનો વિસ્તાર = {3, 6, 9, 12}
Rનો સહપ્રદેશ = {1, 2, 3 = {1, 2, 3 …, 14}
પ્રશ્ન 2.
R = {x, y) : Y = x + 5, x એ 4થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે; x, y ∈ N} થાય તે રીતે એક સંબંધ N પર વ્યાખ્યાયિત છે. Rને યાદીની રીતે લખો. રનો પ્રદેશ તેમજ વિસ્તાર મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, R = {(x, પુ) : y = x + 5, x એ 4થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે; x, y ∈ N}
.. x = 1, 2, 3 લઈ શકાય.
y = x + 5 છે.
x = 1 લેતાં, y = 6
x = 2 લેતાં, y = 7
x = ૩ લેતાં, y = 8
∴ R = {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
Rનો પ્રદેશ = {1, 2, 3}
Rનો વિસ્તાર = {6, 7, 8}
પ્રશ્ન 3.
A = {1, 2, 3, 5} અને B = {4, 6, 9}, R = {x, y) : x અને નો તફાવત અયુગ્મ સંખ્યા છે; x ∈ A, y ∈ B} થાય તે રીતે સંબંધ Aથી B પર વ્યાખ્યાયિત છે. ને યાદીની રીતે લખો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2, 3, 5}, B = {4, 6, 9}, x ∈ A, y ∈ B, R = {x, પુ) : x અને પુ વચ્ચેનો તફાવત અયુગ્મ સંખ્યા છે; x ∈ A, y ∈ B}
બે સંખ્યાઓમાં એક અયુગ્મ હોય અને એક યુગ્મ હોય ત્યારે તેમનો તફાવત અયુગ્મ થાય.
∴ R= {(1, 4), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}
પ્રશ્ન 4.
નીચે આપેલી આકૃતિમાં થી નો સંબંધ દર્શાવેલ છે. આ સંબંધને ( 1 ) ગુણધર્મની રીતે ( 2 ) યાદીની રીતે લખો. તેનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર શું થશે?
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલી આકૃતિમાં જોઈ શકાય છે કે સંબંધ R “× એ પ્ કરતાં 2 વધારે છે.’’ એટલે કે, x = y + 2 અથવા y = x – 2
(1) આ સંબંધને ગુણધર્મની રીતે લખતાં,
R = {x, y) : y = x – 2; x ∈P y ∈ Q}
(2) આ સંબંધને યાદીની રીતે લખતાં,
R = {5, 3), (6, 4), (7, 5}}
અહીં, Rનો પ્રદેશ = Rની ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકથી બનતો ગણ = {5, 6, 7}
Rનો વિસ્તાર = Rની ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકથી બનતો ગણ = {3, 4, 5}
પ્રશ્ન 5.
જો A = {1, 2, 3, 4, 6}, R = {{a, b) : a, b ∈ A, b એ a વડે વિભાજ્ય છે.} થાય તે રીતે સંબંધ R એ A પર વ્યાખ્યાયિત છે, ( 1 ) ને યાદીની રીતે લખો. ( 2 ) નો પ્રદેશ મેળવો. (૩) રનો વિસ્તાર મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A = {1, 2, 3, 4, 6}
R = {a, b) : a, b ∈ A, b એ a વડે વિભાજ્ય છે.}
(1) Rને યાદીની રીતે લખતાં,
R= {1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}
(2) Rનો પ્રદેશ = Rની ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકથી બનતો ગણ = {1, 2, 3, 4, 6}
(3)Rનો વિસ્તાર = Rની ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકથી બનતો ગણ = {1, 2, 3, 4, 6}
પ્રશ્ન 6.
R = {x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} થાય તે રીતે વ્યાખ્યાયિત સંબંધનો પ્રદેશ તેમજ વિસ્તાર મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, R = {(x, x + 5) : x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
∴ Rનો પ્રદેશ = Rના ક્રમયુક્ત જોડના પ્રથમ ઘટકથી બનતો ગણ
= {x : x ∈ { 0, 1, 2, 3, 4, 5}}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Rનો વિસ્તાર = Rના ક્રમયુક્ત જોડના બીજા ઘટકથી બનતો ગણ
= {x + 5 : x = {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
= {5, 6, 7, 8, 9, 10}
પ્રશ્ન 7.
સંબંધ R = {{x, x3) : x એ 10 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.} તેને યાદીના સ્વરૂપમાં લખો.
ઉત્તરઃ
અહીં, R = {(x, x3) : x એ 10 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.}
10 કરતાં નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ 2, 3, 5, 7 છે.
∴ R = {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}
પ્રશ્ન 8.
જો A = {x, y, z} અને B= {1, 2}, તો Aથી Bના સંબંધોની સંખ્યા શોધો.
ઉત્તરઃ
A = {x, y, z}, B = {1, 2}
∴ n (A) = 3, n (B) = 2
∴ n (A X B) = n (A) . n (B) = 3 × 2 = 6
∴ Aથી Bના સંબંધોની સંખ્યા = 26 = 64
પ્રશ્ન 9.
R એ Z પર R = {(a, b) : a, b ∈ Z, a – b એ પૂર્ણાંક છે.} દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. રનો પ્રદેશ અને વિસ્તાર મેળવો.
ઉત્તરઃ
અહીં, R = {a, b) : a, b = Z, a−b એ પૂર્ણાંક છે.} જો a, b ∈ Z, તો a – b ∈ Z થાય જ.
∴ પૂર્ણાંકો વડે બનતી બધી જ ક્રમયુક્ત જોડો માં આવે.
∴ R = {a, b) : a = Z, b = Z}
∴ Rનો પ્રદેશ = Z, Rનો વિસ્તાર = Z