Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Ex 16.2 Textbook Questions and Answers.
Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 16 સંભાવના Ex 16.3
પ્રશ્ન 1.
નિદર્શાવકાશ S = {ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7}નાં પરિણામો માટે નીચે દર્શાવેલમાંથી કયું સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી:
ઉત્તરઃ
સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય થવા માટે
( 1 ) 0 ≤ P (ωi) ≤ 1, પ્રત્યકે ωi ∈ S અને
(2) ΣP (ωi) = 1, ωi ∈ S હોવું જોઈએ
(a) ( 1 ) 0 ≤ P (ωi) ≤ 1, પ્રત્યકે ωi ∈ S અને
(2) P (ωi) = = 0.1 +0.01 + 0.05 + 0.03 + 0.01 + 0.2 + 0.6
= 1
આમ, સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય છે.
(b) (1) 0 ≤ P (ωi) ≤ 1, પ્રત્યકે ωi ∈ S અને
(2) ΣP (ωi) = \(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\)
= \(\frac{7}{7}\) = 1
આમ, સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય છે.
(c) અહીં, ΣP (ωi) = 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.6 + 0.7
= 2.8 ≠ 1
આમ, સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.
(d) અહીં, P(ω1) = −0.1 અને P(ω5) = -0.2
એટલે, P (ω1) < 0, અહીં, 0 ≤ P(ωi) ≤ 1 શરતનું પાલન થતું નથી.
આમ, સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.
(e) અહીં, ΣP (ωi) = \(\frac{1}{14}+\frac{2}{14}+\frac{3}{14}+\frac{4}{14}+\frac{5}{14}+\frac{6}{14}+\frac{15}{14}\)
= \(\frac{36}{14}\) ≠ 1
અને P (ω7) = \(\frac{15}{14}\) > 1
અહીં, 0 ≤ P (ωi) ≤ 1 શરતનું પાલન થતું નથી.
આમ, સંભાવના નિર્ધારણ માન્ય નથી.
પ્રશ્ન 2.
એક સિક્કાને બે વાર ઉછાળતાં, ઓછામાં ઓછી એક વાર કાંટો મળે તેની સંભાવના શું થશે?
ઉત્તરઃ
બે સિક્કાને એક વખત ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ,
S = {HH, HT, TH, TT}
∴ n (S) = 4
ધારો કે, E = ઓછામાં ઓછી એક વાર કાંટો મળે તે ઘટના છે.
∴ E = {HT, TH, TT}
∴ n (E) = 3
∴ P (E) = \(\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{4}\)
પ્રશ્ન ૩.
એક પાસાને ફેંકવામાં આવ્યો છે. નીચે આપેલ ઘટનાઓની સંભાવના શોધો :
(1) એક અવિભાજ્ય સંખ્યા આવે.
(2) 3 કે ૩થી મોટી સંખ્યા આવે.
(3) 1 કે 1થી નાની સંખ્યા આવે.
(4) 6થી મોટી સંખ્યા આવે.
(5) 6થી નાની સંખ્યા આવે. એક પાસાને એક વખત ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ
ઉત્તરઃ
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ n (S) = 6
(1) ધારો કે, A = પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક અવિભાજ્ય સંખ્યા આવે તે ઘટના છે.
∴ A = {2, 3, 5}
∴ n(A) = 3
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
(2) ધારો કે, B = પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક 3 કે 3થી મોટી
સંખ્યા આવે તે ઘટના છે.
∴ B = {3, 4, 5, 6}
∴ n (B) = 4
∴ P (B) = \(\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
(3) ધારો કે, C = પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક 1 કે 1થી નાની સંખ્યા આવે તે ઘટના છે.
∴ C = {1}
∴ n (C) = 1
∴ P (C) = \(\frac{n(\mathrm{C})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{6}\)
(4) ધારો કે, D = પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક 6થી મોટી સંખ્યા આવે તે ઘટના છે.
∴ D = Φ
∴ P (D) = P (Φ) = 0
(5) ધારો કે, E = પાસા પર મળતો પૂર્ણાંક 6થી નાની સંખ્યા આવે તે ઘટના છે.
∴ E = {1, 2, 3, 4, 5}
∴ n (E) = 5
∴ P (E) = \(\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{5}{6}\)
પ્રશ્ન 4.
તાસની 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે છે.
(a) નિદર્શાવકાશમાં કેટલાં બિંદુ છે?
(b) પત્તું કાળીનો એક્કો હોય તેની સંભાવના શું છે?
(c) પત્તું (1) એક્કો હોય (2) કાળા રંગનું હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
(a) તાસની 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું યાદચ્છિક રીતે ખેંચવામાં આવે, તો નિદર્શાવકાશમાં નિદર્શ બિંદુઓની સંખ્યા 52 હોય.
∴ n (S) = 52
(b) ધારો કે, A = પસંદ કરેલું પત્તું કાળીનો એક્કો હોય તે ઘટના છે.
∴ n (A) = 1
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{52}\)
(c ) (1) ધારો કે, B = પસંદ થયેલું પત્તું એક્કો હોય તે ઘટના છે.
હવે, 52 પત્તાંની થોકડીમાં ચાર એક્કા હોય છે.
∴ n (B) = 4
∴ P (B) = \(\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
(2) ધારો કે, C = પસંદ થયેલું પત્તું કાળા રંગનું હોય તે ઘટના છે.
હવે, 52 પત્તાંની થોકડીમાં 26 કાળા રંગનાં પત્તાં હોય છે.
∴ n (C) = 26
∴ P (C) = \(\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)
પ્રશ્ન 5.
એક સમતોલ સિક્કો જેની એક બાજુ પર 1 અને બીજી બાજુ પર 8 અંકિત કરેલ છે. આ સિક્કો તથા એક સમતોલ પાસો બંનેને ઉછાળવામાં આવે છે. મળતી સંખ્યાઓનો સરવાળો ( 1 ) 3 હોય ( 2 ) 12 હોય, તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક સમતોલ સિક્કો જેની એક બાજુ પર 1 અને બીજી બાજુ પર 6 અંકિત કરેલ છે. આ સિક્કો તથા એક સમતોલ પાસો, બંનેને એકસાથે ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ,
S= {1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
∴ n (S) = 12
(1) ધારો કે, A = તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 3 હોય, તે ઘટના છે.
∴ A = {(1, 2)}
∴ n (A) = 1
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{12}\)
(2) ધારો કે, B = તેમની પરની સંખ્યાઓનો સરવાળો 12
હોય, તે ઘટના છે.
∴ B = {(6, 6)}
∴ n (B) = 1
∴ P (B) = \(\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{12}\)
પ્રશ્ન 6.
શહેર પરિષદમાં ચાર પુરુષો અને છ સ્ત્રીઓ છે. જો એક સમિતિ માટે યાદચ્છિક રીતે એક પરિષદ-સભ્ય પસંદ કરવામાં આવ્યા છે, તો એક સ્ત્રી-સભ્યની પસંદ થવાની સંભાવના કેટલી?
ઉત્તરઃ
અહીં, કુલ વ્યક્તિઓ = 4 + 6 = 10 આ પૈકી એક પરિષદ- સભ્યની પસંદગી 10 રીતે કરી શકાય.
∴ n (S) = 10
ધારો કે, A = પસંદ કરેલ પરિષદ-સભ્ય સ્ત્રી હોય તે ઘટના છે.
∴n (A) = 6
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}\)
= \(\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)
પ્રશ્ન 7.
એક સમતોલ સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવે છે અને એક વ્યક્તિ પ્રત્યેક છાપ (H) પર ફ્ 1 જીતે છે અને પ્રત્યેક કાંટા (T) પર ફ્ 1.50 હારે છે. આ પ્રયોગના નિદર્શાવકાશ પરથી શોધો કે ચાર વાર સિક્કાને ઉછાળ્યા પછી તે કેટલી રકમ પ્રાપ્ત કરી શકે છે તથા આ પ્રત્યેક રકમની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
એક સિક્કાને ચાર વખત ઉછાળવાથી મળતો નિદર્શાવકાશ
S = {HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT}
ધારો કે, E (ω), જ્યારે નિદર્શાવકાશનો ઘટક ω હોય ત્યારે વ્યક્તિને મળતી રકમ છે.
હવે, વ્યક્તિ પ્રત્યેક છાપ (H) પર ₹ 1 જીતે છે અને પ્રત્યેક કાંટા (T) પર ₹ 1.50 હારે છે. તેથી,
E (HHHH) = ₹(1 + 1 + 1 + 1) = ₹ 4
E (HHHT) = ₹ (1 + 1 + 1 – 1.50) = ₹ 1.50
E (HHTH) = ₹ (1 + 1 – 1.50 + 1) = ₹ 1.50
E (HTHH) = ₹ (11.50 + 1 + 1) = ₹ 1.50
E (THHH) = ₹ ( − 1.50 + 1 + 1 + 1) = ₹ 1.50
E (HHTT) = ₹ (1 + 1 − 1.50 – 1.50) = − ₹ 1
E (HTHT) = ₹ (1 – 1.50 + 1 – 1.50) = – ₹ 1
E (HTTH) = ₹ (1 – 1.50 – 1.50 + 1) = – ₹ 1
E (THHT) = ₹ ( − 1.50 + 1 + 1 − 1.50) = − ₹ 1
E (THTH) = ₹ ( − 1.50 + 1 − 1.50 + 1) = − ₹ 1
E (TTHH) = ₹ (-1.50 -1.50 + 1 + 1) = – ₹ 1
E (HTTT) = ₹ (1 – 1.50 – 1.50 – 1.50) = – ₹ 3.50
E (THTT) = ₹ (– 1.50 + 1 – 1.50 -1.50) = – ₹ 3.50
E (TTHT) = ₹ ( – 1.50 – 1.50 + 1 – 1.50) = – ₹ 3.50
E (TTTH) = ₹ ( – 1.50 -1.50 – 1.50 + 1) = – ₹ 3.50
E (TTTT) = ₹ (-1.50 -1.50 -1.50 -1.50) = -₹ 6
હવે, P (વ્યક્તિ ₹ 4 જીતે) = P ({HHHH}) = \(\frac{1}{16}\)
P (વ્યક્તિ ₹ 1.50 જીતે)
= P({HHHT, HHTH, HTHH, THHH})
= \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
P (વ્યક્તિ ₹ 1 હારે)
= P({HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHH})
= \(\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)
P (વ્યક્તિ ₹ 3.50 હારે)
P({HTTT, THTT, TTHT, TTTH})
= \(\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\)
P (વ્યક્તિ ₹ 6 હારે)
= P ({TTTT}) = \(\frac{1}{16}\)
પ્રશ્ન 8.
ત્રણ સિક્કા એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. નીચે આપેલ ઘટનાની સંભાવના શોધો :
(1) 8 છાપ મળે.
(2) 2 છાપ મળે.
(૩) ઓછામાં ઓછી 2 છાપ મળે.
(4) વધુમાં વધુ 2 છાપ મળે.
(5) એક પણ છાપ નહિ.
(6)8 કાંટા મળે.
(7) માત્ર બે જ કાંટા મળે.
(9) વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે.
(8) એક પણ કાંટો નહિ,
ઉત્તરઃ
ત્રણ સિક્કાઓને એક વાર ઉછાળતાં મળતો નિદર્શાવકાશ,
S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
∴ n (S) = 8
(1) ધારો કે, A = 3 છાપ મળે તે ઘટના
∴ A = {HHH}
∴ n (A) = 1
∴ P (A) = \(\frac{n(\mathrm{~A})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{8}\)
(2) ધારો કે, B = 2 છાપ મળે તે ઘટના
∴ B = {HHT, HTH, THH}
∴ n (B) = 3
∴ P (B) = \(\frac{n(\mathrm{~B})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{8}\)
(3) ધારો કે, C = ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે તે ઘટના .
∴ C = {HHT, HTH, THH, HHH}
∴ n (C) = 4
∴ P (C) = \(\frac{n(C)}{n(S)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
(4) ધારો કે, D = વધુમાં વધુ બે છાપ મળે તે ઘટના
∴ D = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
∴ n (D) = 7
∴ P (D) = \(\frac{n(\mathrm{D})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{7}{8}\)
(5) ધારો કે, E = એક પણ છાપ ન મળે તે ઘટના
∴ E = {TTT}
∴ n (E)
∴ P (E) = \(\frac{n(\mathrm{E})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{8}\)
(6) ધારો કે, F = 3 કાંટા મળે તે ઘટના
∴ F = {TTT}
∴ n (F)
∴ P (F) = \(\frac{n(\mathrm{~F})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{8}\)
(7) ધારો કે,
∴ G = {HTT, THT, TTH}
G = માત્ર બે કાંટા જ મળે તે ઘટના
∴ n (G)
∴ P (G) = \(\frac{n(\mathrm{G})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{3}{8}\)
(8) ધારો કે, H = એક પણ કાંટો ન મળે તે ઘટના
∴ H = {HHH}
∴ n (H) = 1
∴ P (H) = \(\frac{n(\mathrm{H})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{1}{8}\)
(9) ધારો કે, I = વધુમાં વધુ બે કાંટા મળે તે ઘટના
∴ I = {TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH}
∴ n (I) = 7
∴ P (I) = \(\frac{n(\mathrm{I})}{n(\mathrm{~S})}=\frac{7}{8}\)
પ્રશ્ન 9.
જો કોઈ ઘટના A ની સંભાવના \(\frac{2}{11}\) હોય, તો ઘટના ‘A – નહિ’ની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, P (A) = \(\frac{2}{11}\) આપેલ છે.
∴ P (A – નહિ) = P (A’) = 1 − P (A)
= 1 – \(\frac{2}{11}=\frac{9}{11}\)
પ્રશ્ન 10.
શબ્દ ASSASSINATION’માંથી એક અક્ષર યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. (1) તે એક સ્વર હોય, (2) એક વ્યંજન હોય, તો પસંદ કરેલા અક્ષરની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
ASSASSINATION’ શબ્દમાં 13 અક્ષરો છે.
જેમાં છ સ્વર A, A, I, A, I, O અને 7 વ્યંજન S, S, S, S, N, T, N છે.
(1) P (એક સ્વર હોય) = \(\frac{6}{13}\)
(2) P (એક વ્યંજન હોય) = \(\frac{7}{13}\)
પ્રશ્ન 11.
એક લૉટરીમાં એક વ્યક્તિ 1થી 20 સુધીની સંખ્યાઓમાંથી છ જુદી જુદી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરે છે અને જો એ પસંદ કરેલી છ સંખ્યાઓ લૉટરી સમિતિએ પૂર્વનિર્ધારિત કરેલ છ સંખ્યાઓ સાથે મેળ ખાતી હોય, તો એ વ્યક્તિ ઇનામ જીતી જાય છે. આ લૉટરીની રમતમાં ઇનામ જીતવાની સંભાવના શું છે? [ સૂચન : સંખ્યાઓ પ્રાપ્ત થવાનો ક્રમ મહત્ત્વપૂર્ણ નથી.]
ઉત્તરઃ
પ્રથમ 20 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી 6 સંખ્યાઓ પસંદ કરવાનો કુલ પ્રકાર 20C6 છે.
આ પૈકી ફક્ત એક જ પ્રકાર ઇનામ જીતવા યોગ્ય છે. (કારણ કે, તે પૂર્વનિર્ધારિત કરેલ છે.)
પ્રશ્ન 12.
ચકાસો કે, નીચેની સંભાવનાઓ P (A) અને P (B) સુસંગત રીતે વ્યાખ્યાયિત છે :
(1) P (A) = 0.5, P (B) = 0.7, P (A ∩ B) = 0.6
(2) P (A) = 0.5, P (B) = 0.4,P (A ∪ B) = 0.8
ઉત્તરઃ
(1) A ∩ B ⊂ A હોવાથી, P (A ∩ B) ≤ P (A) થાય.
પરંતુ P (A ∩ B) = 0.6 ≰ P (A) = 0.5
આથી આપેલી સંભાવનાઓ સુસંગત રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી.
(2) અહીં, P (A) = 0.5, P (B) = 0.4, P (A ∪ B) = 0.8 આપેલ છે.
હવે, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
∴ 0.8 = 0.5 + 0.4 – P (A ∩ B)
∴ P (A ∩ B) = 0.9 – 0.8 = 0.1
∴ P (A ∩ B) < P (A) અને P (AB) < P (B) આથી આપેલ સંભાવનાઓ સુસંગત છે.
પ્રશ્ન 13.
નીચે આપેલા કોષ્ટકમાં ખાલી જગ્યા ભરોઃ
ઉત્તરઃ
(1) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= \(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{15}\)
= \(\frac{5+3-1}{15}=\frac{7}{15}\)
( 2 ) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
∴ 0.6 = 0.35 + P (B) – 0.25
∴ P (B) = = 0.6 – 0.1 = 0.5
(3) P (A ∪ B) = P(A) + P (B) − P (A ∩ B)
∴ 0.7 = 0.5 +0.35 – P (A ∩ B)
∴ P(A ∩ B) = 0.85 – 0.7 = 0.15
આમ, ખાલી જગ્યાના જવાબ સાથેનું કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે છેઃ
પ્રશ્ન 14.
P (A) = \(\frac{3}{5}\) અને P (B) = \(\frac{1}{5}\) આપેલ છે. જો A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોય, તો P (A અથવા B) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, A અને B પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
∴ A ∩ B = Φ ∴ P(A ∩ B) = 0
∴ P(A અથવા B)
= P(A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= \(\frac{3}{5}+\frac{1}{5}\) – 0
= \(\frac{4}{5}\)
પ્રશ્ન 15.
ઘટનાઓ E અને F એવા પ્રકારની છે કે P (E) = \(\frac{1}{4}\), P(F) = \(\frac{1}{2}\) અને P (E અને F) = \(\frac{1}{8}\), તો (1) P (E અથવા F), (2) P (E – નહિ અને F – નહિ) શોધો.
ઉત્તરઃ
P (E) = \(\frac{1}{4}\), P(F) = \(\frac{1}{2}\), P (E અને F) = \(\frac{1}{8}\) આપેલ છે.
(1) P (E અથવા F) = P(E ∪ F)
= P(E) + P(F) – P(E ∩ F)
= \(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\)
= \(\frac{2+4-1}{8}=\frac{5}{8}\)
(2) P(E – નહિ અને F – નહિ) = P(E’ ∩ F’)
= P(E ∪ F)’
= 1 – P(E ∪ F)
= 1 – \(\frac{5}{8}\)
= \(\frac{3}{8}\)
પ્રશ્ન 16.
ઘટનાઓ E અને F એવા પ્રકારની છે કે P (E – નહિ અથવા F – નહિ) = 0.25, ચકાસો કે ‘E’ અને F પરસ્પર નિવારક છે કે નહિ?
ઉત્તરઃ
P (E – નહિ અને F – નહિ) = 0.25
∴ P (E’ ∪ F’) = 0.25
∴ P (E ∩ F)’ = 0.25
∴ 1 – P (E ∩ F) = 0.25
∴ P (E ∩ F) = 1 − 0.25 = 0.75 ± 0
∴ E અને F પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ નથી.
પ્રશ્ન 17.
ઘટનાઓ A અને B એવા પ્રકારની છે કે P (A) = 0.42, P (B) = 0.48 અને P (A અને B) = 0.16
(1) P (A − નહિ), (2) P (B – નહિ) અને (3) P (A અથવા B) શોધો.
ઉત્તરઃ
અહીં, P (A) = 0.42, P (B) = 0.48,
P (A અને B) = P (A ∩ B) = 0.16 આપેલ છે.
(1) P (A – નહિ) = P (A’) = 1 − P (A)
= 1 0.42 = 0.58
(2) P (B – નહિ)= P (B’) = 1 − P (B)
= 1 0.48 0.52
(3) P (A અથવા B) = P (A ∪ B)
= P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= 0.42 + 0.48 – 0.16
= 0.90 – 0.16
= 0.74
પ્રશ્ન 18.
એક શાળાના ધોરણ XIના 40 % વિદ્યાર્થી ગણિત ભણે છે અને 30 % જીવવિજ્ઞાન ભણે છે. વર્ગના 10% વિદ્યાર્થી ગણિત અને જીવવિજ્ઞાન બંને ભણે છે. આ ધોરણનો એક વિદ્યાર્થી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે, તો આ વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય તેની સંભાવના શોધો.
ઉત્તરઃ
M = વિદ્યાર્થી ગણિત ભણે તે ઘટના છે.
B = વિદ્યાર્થી જીવવિજ્ઞાન ભણે તે ઘટના છે.
આથી P (M) = 40 % = \(\frac{40}{100}\), P (B) = 30% = \(\frac{30}{100}\)
અને P (MOB) = 10% = \(\frac{10}{100}\)
∴ P (વિદ્યાર્થી ગણિત અથવા જીવવિજ્ઞાન ભણતો હોય)
= P (M ∪ B) = P (M) + P (B) – P (M ∩ B)
= \(\frac{40}{100}+\frac{30}{100}-\frac{10}{100}=\frac{60}{100}\)
= 0.6
પ્રશ્ન 19.
એક પ્રવેશ કસોટીને બે પરીક્ષાના આધાર પર શ્રેણીબદ્ધ કરવામાં આવે છે. યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા વિદ્યાર્થીની પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.8 છે અને બીજી પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.7 છે. બંનેમાંથી ઓછામાં ઓછી એક પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના 0.95 છે. બંને પરીક્ષામાં પાસ થવાની સંભાવના શું છે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A = વિદ્યાર્થી પહેલી પરીક્ષામાં પાસ થાય તે ઘટના.
B = વિદ્યાર્થી બીજી પરીક્ષામાં પાસ થાય તે ઘટના.
આથી P (A) = 0.8, P (B) = 0.7 અને P (A ∪ B) = 0.95
હવે, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
∴ 0.95 = 0.8 + 0.7 – P (A ∩ B)
∴ P (A ∩ B) = 1.5 – 0.95 = 0.55
આમ, P (વિદ્યાર્થી બંને પરીક્ષામાં પાસ થાય)
= P (A ∩ B) = 0.55
પ્રશ્ન 20.
એક વિદ્યાર્થીની અંતિમ પરીક્ષાના અંગ્રેજી અને હિંદી બંને વિષયો પાસ કરવાની સંભાવના 0.5 છે અને બંનેમાંથી કોઈ પણ વિષય પાસ ન કરવાની સંભાવના 0.1 છે. જો અંગ્રેજીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના 0.75 હોય, તો હિંદીની પરીક્ષા પાસ કરવાની સંભાવના શું છે?
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A = વિદ્યાર્થી અંગ્રેજીમાં પાસ થાય તે ઘટના. B વિદ્યાર્થી હિંદીમાં પાસ થાય તે ઘટના.
આથી P (A ∩ B) = 0.5, P (A’ ∩ B’) = 0.1 અને
P (A) = 0.75
હવે, P (A’ ∩ B’) = 0.1
∴ P (A ∪ B)’ = 0.1
∴ 1 – P (A ∪ B) = 0.1
∴ P (A ∪ B) = 0.9
પરંતુ P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
∴ 0.9 = 0.75 + P (B) – 0.5
∴ P (B) = 0.9 – 0.25 = = 0.65
આમ, P (વિદ્યાર્થી હિંદીમાં પાસ થાય) = P (B) = 0.65
પ્રશ્ન 21.
એક ધોરણના 60 વિદ્યાર્થીઓમાંથી NCCને 30, NSSને 32 અને બંનેને 24 વિદ્યાર્થીઓએ પસંદ કર્યા છે. જો આ બધામાંથી એક વિદ્યાર્થી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે, તો આપેલ ઘટનાઓની સંભાવના શોધો.
(1) વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSSને પસંદ કર્યા છે.
(2) વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSSમાંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી.
(૩) વિદ્યાર્થીએ NSSને પસંદ કર્યું છે, પરંતુ NCCને પસંદ કર્યું નથી.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, A : વિદ્યાર્થી NCC પસંદ કરે તે ઘટના
B: વિદ્યાર્થી NSS પસંદ કરે તે ઘટના
આથી P (A) = \(\frac{30}{60}=\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{32}{60}=\frac{8}{15}\)
અને P (A ∩ B) = \(\frac{24}{60}=\frac{2}{5}\)
(1) P (વિદ્યાર્થીએ NCC અથવા NSSને પસંદ કર્યા છે.)
= P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= \(\frac{1}{2}+\frac{8}{15}-\frac{2}{5}\)
= \(\frac{15+16-12}{30}=\frac{19}{30}\)
(2) P (વિદ્યાર્થીએ NCC અને NSSમાંથી એક પણ પસંદ કર્યા નથી.)
= P (A’ ∩ B’) = P (A ∪ B)’
= 1 − P (A U B) = 1 – \(\frac{19}{30}=\frac{11}{30}\)
(3) P (વિદ્યાર્થીએ NSS ને પસંદ કર્યું છે, પરંતુ NCCને પસંદ કર્યું નથી.)
= P (B ∩ A’) = P (B – A)
= P (B) – P (A ∩ B) = \(\frac{8}{15}-\frac{2}{5}=\frac{2}{15}\)