GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Miscellaneous Exercise

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Miscellaneous Exercise Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 13 લક્ષ અને વિકલન Miscellaneous Exercise

પ્રશ્ન 1.
વ્યાખ્યાની મદદથી નીચેના વિકલિત મેળવો :
(1) – x
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = -x
આથી f(x+h) = − (x + h)

(2) (-x)^-1
ઉત્તરઃ

(3) sin (x + 1)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, f(x) = sin (x + 1)
આથી f(x + h) = sin (x + h + 1)

(4) cos (x – \(\frac{\pi}{8}\))
ઉત્તરઃ

નીચેનાં વિધેયોના વિકલિત મેળવો :
(એ માની લો કે તૂ, b, c, d, p, g, r અને s નિશ્ચિત શૂન્યેતર અચળ અને m તથા n પૂર્ણાંક છે.)

પ્રશ્ન 2.
(x + a)
ઉત્તરઃ
\(\frac{d}{d x}\)(x + a) = \(\frac{d}{d x}\)(x) + \(\frac{d}{d x}\)(a) = 1 + 0 = 1

પ્રશ્ન 3.
(px + q)(\(\frac{r}{x}\) + s)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 4.
(ax + b) (cx + d)²
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 5.
\(\frac{a x+b}{c x+d}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 6.
\(\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 7.
\(\frac{1}{a x^2+b x+c}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 8.
\(\frac{a x+b}{p x^2+q x+r}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 9.
\(\frac{p x^2+q x+r}{a x+b}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 10.
\(\frac{a}{x^4}-\frac{b}{x^2}\) + cos x
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 11.
4√x – 2
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 12.
(ax + b)ⁿ
ઉત્તરઃ
ધારો કે y = (ax + b)ⁿ
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(ax + b)ⁿ
= n(ax + b)^n-1. \(\frac{d}{d x}\)(ax + b)
= n(ax + b)^n-1. (a × 1 + 0)

પ્રશ્ન 13.
(ax + b)ⁿ(cx + d)^m
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = (ax + b)ⁿ(cx + d)^m

પ્રશ્ન 14.
sin(x + a)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = sin (x + a)
= sin x cos a + cos x sin a
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(sin x cos a + cos x sin a)
= cos a.\(\frac{d}{d x}\)(sin x) + sin a.\(\frac{d}{d x}\)(cos x)
= cos a. cos x + sin a (- sin x)
= cos x cos a – sin x. sin a
= cos (x + a)

પ્રશ્ન 15.
cosec x cotx
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = cosec x cot x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(cosec x cot x)
= cosec x. \(\frac{d}{d x}\)(cot x) + cot x.\(\frac{d}{d x}\)(cosec x)
= cosec x. (-cosec²x) + cot x (- cosec x cot x)
= -cosec³ x – cosecx cot²x

પ્રશ્ન 16.
\(\frac{\cos x}{1+\sin x}\)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = \(\frac{\cos x}{1+\sin x}\)

પ્રશ્ન 17.
\(\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 18.
\(\frac{\sec x-1}{\sec x+1}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 19.
sinⁿx
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = sinⁿx
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)(sin x)ⁿ
= n (sin x)^n-1.\(\frac{d}{d x}\)(sin x)
= n sin^n-1.\(\frac{d}{d x}\)(sin x)

પ્રશ્ન 20.
\(\frac{a+b \sin x}{c+d \cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 21.
\(\frac{\sin (x+a)}{\cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 22.
x⁴(5 sin x – 3 cos x)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = x⁴(5 sin x – 3 cos x)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)[x⁴(5 sin x – 3 cos x)]
= x² (5 sin x – 3 cos x) + (5 sin x – 3 cos x) + (5 sin x – 3 cos x)\(\frac{d}{d x}\)(x⁴)
= x⁴ [5 cos x -3 (- sin x)] + (5 sin x – 3 cos x) (4x³)
= x³ (5x cos x + 3x sin x + 20 sin x – 12 cos x)

પ્રશ્ન 23.
(x² + 1) cos x
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = (x² + 1) cos x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\) [(x² + 1) cos x]
= (x² + 1) · \(\frac{d}{d x}\)(cos x) + cos x \(\frac{d}{d x}\)(x² + 1)
= (x² + 1) · (−sin x) + cos x (2x + 0)
= -x² sin x – sin x + 2x cos x

પ્રશ્ન 24.
(ax² + sin x) (p + q cos x)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = (ax² + sin x) (p + q cos x)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)[(ax² + sin x) (p + q cos x)]
= (ax² + sin x) ·\(\frac{d}{d x}\)(p + q cos x) + (p + q cos x) ·(ax² + sin x)
= (ax² + sin x) · [0 + q (− sin x)] + (p + q cos x) · (a × 2x + cos x)
= q sin x (ax² + sin x) + (p + q cos x) (2ax + cos x)

પ્રશ્ન 25.
(x + cos x) (x – tan x)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = (x + cos x) (x – tan x)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)[(x + cos x) (x – tan x)]
= (x + cos x)\(\frac{d}{d x}\)(x- tan x) + (x − tan x) ·\(\frac{d}{d x}\)(x + cos x)
= (x + cos x) · (1 − sec²x) + (x − tan x) · (1 − sin x)
= (sec²x – 1)(x + cos x) + (x – tan x) (1 – sin x)
= -tan²x(x + cos x) + (x – tan x) (1 – sin x)

પ્રશ્ન 26.
\(\frac{4 x+5 \sin x}{3 x+7 \cos x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 27.
\(\frac{x^2 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)}{\sin x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 28.
\(\frac{x}{1+\tan x}\)
ઉત્તરઃ

પ્રશ્ન 29.
(x + sec x) (x – tan x)
ઉત્તરઃ
ધારો કે, y = (x + sec x) (x – tan x)
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\)[(x + sec x) (x – tan x)]
= (x + sec x). \(\frac{d}{d x}\)(x – tan x) + (x – tan x). \(\frac{d}{d x}\)(x + sec x)
= (x + sec x)(1 – sec²x) + (x – tan x) (1 + sec x tan x)

પ્રશ્ન 30.
\(\frac{x}{\sin ^n x}\)
ઉત્તરઃ