GSEB Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.4

Gujarat Board GSEB Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 11 Maths Chapter 11 શાંકવો 11.4

પ્રશ્ન 1થી 6માં આપેલ અતિવલયો માટે નાભિઓ, શિરોબિંદુઓના યામ, ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ મેળવો :

પ્રશ્ન 1.
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણને \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 16 અને b² = 9
∴ a = 4 અને b = 3
∴ c = \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+9}\) = 5
(1) નાભિઓ (±c, 0) = (±5, 0)
(2) શિરોબિંદુઓ (±a, 0) = (±4, 0)
(3) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{5}{4}\)
(4) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 9}{4}=\frac{9}{2}\)

પ્રશ્ન 2.
\(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{27}\) = 1
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણને \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 9 અને b² = 27
∴ a = 3 અને b = 3√3
c = \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9+27}\) = 6
(1) નાભિઓ (0, ±c) = (0, ±6)
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ±a) = (0, ±3)
(3) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{6}{3}\) = 2
(4) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2(27)}{3}\) = 18

પ્રશ્ન 3.
9y² – 4x² = 36
ઉત્તરઃ
આપેલ સમીકરણ 9y² – 4x² = 36 એટલે કે, \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}\) = 1ને \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = = 4 અને b² = 9
∴ a = 2 અને b = 3
∴ c = \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\)
(1) નાભિઓ (0, ±c) = (0, ± √13)
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ±a) = (0, ±2)
(3) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
(4) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2(9)}{2}\) = 9

પ્રશ્ન 4.
16x² – 9y² = 576
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમીકરણ 16x² – 9y² = 576
એટલે કે, ૐ \(\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}\) = 1ને \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 36 અને b² = 64
∴ a = 6 અને b = 8
∴ c = \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{36+64}\)

(1) નાભિઓ (±c, 0) = (±10, 0)
( 2 ) શિરોબિંદુઓ (±a,0) = (± 6, 0)
(3) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\)
(4) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2(64)}{6}=\frac{64}{3}\)

પ્રશ્ન 5.
5y² – 9x² = 36
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમીકરણ 5y² – 9x² = 36
એટલે કે, \(\frac{y^2}{\left(\frac{36}{5}\right)}-\frac{x^2}{4}\) = 1ને \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,

પ્રશ્ન 6.
49y² – 16x² = 784
ઉત્તરઃ
અહીં, આપેલ સમીકરણ 49y² – 16x² = 784
એટલે કે, \(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{49}\) = 1ને \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 સાથે સરખાવતાં,
a² = 16 અને b² = 49
∴ a = 4 અને b = 7
∴ c = \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{16+49}=\sqrt{65}\)
(1) નાભિઓ (0, ±c) = (0, ±/65)
(2) શિરોબિંદુઓ (0, ±a) = (0, ±4)
(3) ઉત્કેન્દ્રતા e = \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\frac{\sqrt{65}}{4}\)
(4) નાભિલંબની લંબાઈ = \(\frac{2 b^2}{a}=\frac{2 \times 49}{4}=\frac{49}{2}\)

પ્રશ્ન 7થી 15માં આપેલ શરતોનું પાલન કરતા અતિવલયોનાં સમીકરણ મેળવોઃ

પ્રશ્ન 7.
શિરોબિંદુઓ (±2, 0), નાભિઓ (±3, 0)
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
અહીં, a = 2 અને c = 3 આપેલ છે.
હવે, c² = a² + b² પરથી,
9 = 4 + b²
∴ b² = 5
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}\) = 1

પ્રશ્ન 8.
શિરોબિંદુઓ (0, +5), નાભિઓ (0, ±8)
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ Y-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) =1 થશે.
અહીં, a = 5 અને b = 8 આપેલ છે.
હવે, c² = a² + b² પરથી,
64 = 25 + b²
∴ b = 39
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{39}\) = 1

પ્રશ્ન 9.
શિરોબિંદુઓ (0, ±3), નાભિઓ (0, ±5)
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ Y-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 થશે.
અહીં, a = 3 અને c = 5 આપેલ છે.
હવે, c² = a² + b² પરથી,
25 = 9 + b²
∴ b² = 16
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}\) = 1

પ્રશ્ન 10.
નાભિઓ (±5, 0). મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ 8
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
અહીં, c = 5 અને 2a = 8 ∴ a = 4 આપેલ છે.
હવે, c² = a² + b² પરથી,
25 = 16 + b²
∴ b² = 9
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}\) = 1

પ્રશ્ન 11.
નાભિઓ (0, +13), અનુબદ્ધ અક્ષની લંબાઈ 24
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ Y-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, c = 13 અને 2b = 24 આપેલ છે.
∴ b = 12
હવે, c² = a² + b² પરથી,
169 = a² + 144
∴ a² = 25
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{144}\) = 1

પ્રશ્ન 12.
નાભિઓ (±3√5, 0), નાભિલંબની લંબાઈ 8
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ X-અક્ષ ૫૨ છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, c = 3√5 અને \(\frac{2 b^2}{a}\) = 8 આપેલ છે.
b² = 4a
હવે, c² = a² + b² પરથી,
(3√5 )² = a² + 4a
∴ a² + 4a – 45 = 0
∴ (a + 9) (a – 5) = 0
∴ a = −9 અથવા a = 5
∴ પણ a ≮ 0
∴ a = 5
∴ b² = 4a = 4 (5) = 20
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{20}\) = 1

પ્રશ્ન 13.
નાભિઓ (±4, 0) નાભિલંબની લંબાઈ 12
ઉત્તરઃ
અહીં નાભિઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1 થશે.
હવે, c = 4 અને \(\frac{2 b^2}{a}\) = 12 આપેલ છે.
∴ b² = 6a
હવે, c² = a² + b² પરથી,
16 = a² + 6a
∴ a² + 6a – 16 = 0
∴ (a + 8) (a – 2) = 0
∴ a = – 8 અથવા a = 2
∴ પણ a ≮ 0
∴ a = 2
∴ b² = 6a = 6 (2) = 12
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}\) = 1

પ્રશ્ન 14.
શિરોબિંદુઓ (±7, 0), e = \(\frac{4}{3}\)
ઉત્તરઃ
અહીં, શિરોબિંદુઓ X-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) = 1
હવે, a = 7 અને e = \(\frac{4}{3}\) આપેલ છે.

પ્રશ્ન 15.
નાભિઓ (0, ± \(\sqrt{10}\)), (2, 3)માંથી પસાર થતાં
ઉત્તરઃ
અહીં, નાભિઓ Y-અક્ષ પર છે.
∴ અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}\) = 1 ..(1)
હવે, c = \(\sqrt{10}\) આપેલ છે.
∴ c² = 10
a² + b² = 10 …..(2)
∴ હવે, આ અતિવલય તે (2, 3)માંથી પસાર થાય છે.
\(\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{5}\) = 1
∴ 9b² – 4a² = a²b² ……(3)
હવે, b² = 10 – a (∵ (2) પરથી)
∴ 9 (10 – a²) – 4a² = a² (10 – a²) (·: (3) પરથી)
∴ 90 – 9a² – 4a² = 10a² – a⁴
∴ a⁴ – 23a² + 90 = 0
∴ (a² – 18) (a2 – 5) = 0
a² = 18
a² = 5
હવે, જો a = 18 તો (2) પરથી,
18 + b² = 10
b² = –8, જે શક્ય નથી.
a² = 5
∴ (2) પરથી, 5 + b² = 10
∴ b² = 5
∴ માગેલા અતિવલયનું સમીકરણ \(\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{5}\) = 1