GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.1Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 8 ત્રિકોણમિતિનો પરિચય Ex 8.1

પ્રશ્ન 1.
∆ ABCમાં, ∠B કાટખૂણો છે. AB = 24 સેમી, BC = 7 સેમી, હોય, તો નીચેના ગુણોત્તરોનું મૂલ્ય શોધોઃ
(i) sin A, cos A અને
(ii) sin C, cos C
ઉત્તરઃ

∆ ABCમાં, ∠B = 90°, AB = 24 સેમી A અને BC = 7 સેમી.
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}\)

= \(\sqrt{(24)^{2}+(7)^{2}}\)

= \(\sqrt{576+49}\)

= \(\sqrt{625}\) = 25 સેમી.

(1) હવે, sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{25}\) અને

cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{24}{25}\)

(2) વળી, sin C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{24}{25}\) અને

cos C = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{25}\).

પ્રશ્ન 2.
આપેલ આકૃતિમાં tanP – cot R શોધો.
ઉત્તરઃ
∆ PQRમાં, ∠Q = 90° PR = 13 સેમી અને PQ = 12 સેમી.

આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
QR = \(\sqrt{\mathrm{PR}^{2}-\mathrm{PQ}^{2}}\)

= \(\sqrt{(13)^{2}-(12)^{2}}\)

= \(\sqrt{169-144}\)

= \(\sqrt{25}\) = 5 સેમી
હવે, tan P = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{12}\) અને cot R = \(\frac{\mathrm{QR}}{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{12}\)

આથી tan P – cot R = \(\frac{5}{12}-\frac{5}{12}\) = 0.

પ્રશ્ન 3.
જો sin A = 1 હોય, તો cos A અને tan Aની ગણતરી કરો.
ઉત્તરઃ

આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં ∠B = 90° હોય.

આથી sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{4}\)

\(\frac{\mathrm{BC}}{3}=\frac{\mathrm{AC}}{4}\) = k (ધારો) (જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.)
BC = 3k અને AC = 4k

∆ ABCમાં, ∠B = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AB = \(\sqrt{\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}}\)

=\(\sqrt{(4 k)^{2}-(3 k)^{2}}\)

= \(\sqrt{16 k^{2}-9 k^{2}}\) = k√7

હવે, cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{k \sqrt{7}}{4 k}=\frac{\sqrt{7}}{4}\) અને

tan A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3 k}{k \sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}\)

પ્રશ્ન 4.
જો 15 cot A = 8 હોય, તો sin A અને sec A શોધો.
ઉત્તરઃ

આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC લઈએ, જેમાં ∠B = 90° હોય.
હવે, 15 cot A = 8
cot A = \(\frac{8}{15}\)

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{8}{15}\)
આથી જો AB = 8k, તો BC = 15k. જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

હવે, ∆ ABCમાં, ∠B = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}\)

= \(\sqrt{(8 k)^{2}+(15 k)^{2}}\)

= \(\sqrt{64 k^{2}+225 k^{2}}\) = 17k

હવે, sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15 k}{17 k}=\frac{15}{17}\) અને

sec A = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{17 k}{8 k}=\frac{17}{8}\)

પ્રશ્ન 5.
જો sec θ = 8 હોય, તો બાકીના બધા જ ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તરો શોધો.
ઉત્તરઃ
આપણે કાટકોણ ત્રિકોણ ABC A લઈએ, જેમાં ∠B = 90° હોય અને ∠C = θ.

હવે, sec θ = \(\frac{13}{12}\)

\(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{13}{12}\)

આથી જો AC = 3k, તો BC = 12k.
જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
હવે, ∆ ABCમાં, ∠B = 90°
પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ, AB = \(\sqrt{\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2}}\)

= \(\sqrt{(13 k)^{2}-(12 k)^{2}}\)

= \(\sqrt{169 k^{2}-144 k^{2}}\) = 5k

હવે, sin θ = sin C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5 k}{13 k}=\frac{5}{13}\)

cos θ = cos C = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{12 k}{13 k}=\frac{12}{13}\)

tan θ tan C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{5 k}{12 k}=\frac{5}{12}\)

cot θ = cot C = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{12 k}{5 k}=\frac{12}{5}\)

cosec θ = cosec C = \(\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{13 k}{5 k}=\frac{13}{5}\)

પ્રશ્ન 6.
∠A અને ∠B એવા લઘુકોણો છે કે જેથી cos A = cos B સાબિત કરો કે, ∠A = ∠B.
ઉત્તરઃ

ધારો કે, ∆ APQમાં ∠P = 90°
અને ∆ BMNમાં ∠M = 90°.
હવે, cos A = \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AQ}}\) છે અને cos B = \(\frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BN}}\).

આથી cos A = cos B પરથી \(\frac{\text { PA }}{\text { AQ }}=\frac{\text { BM }}{\text { BN }}\) મળે.

∴ \(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{A} Q}{\mathrm{BN}}\) = k (ધારો). જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

આથી PA = k· BM અને AQ = k : BN.
બંને ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
PQ = \(\sqrt{\mathrm{AQ}^{2}-\mathrm{PA}^{2}}\) અને MN = \(\sqrt{\mathrm{BN}^{2}-\mathrm{BM}^{2}}\)

હવે, \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{MN}}=\frac{\sqrt{\mathrm{AQ}^{2}-\mathrm{PA}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{BN}^{2}-\mathrm{BM}^{2}}}=\frac{\sqrt{k^{2} \mathrm{BN}^{2}-k^{2} \mathrm{BM}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{BN}^{2}-\mathrm{BM}^{2}}}\)

∴ \(\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{MN}}=\frac{k \sqrt{\mathrm{BN}^{2}-\mathrm{BM}^{2}}}{\sqrt{\mathrm{BN}^{2}-\mathrm{BM}^{2}}}\) = k

આમ, ∆ APO અને ∆ BMNમાં,

\(\frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{BM}}=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{BN}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{MN}}\) = k

∴ બાબાબા શરત મુજબ, ∆ APQ ~ ∆ BIN
∠A = ∠B

પ્રશ્ન 7.
જો cot = હોય તો,
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot² θ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ∆ ABCમાં, ∠B = 90° અને ∠C = θ.

હવે, cot θ = \(\frac{7}{8}\)

∴ \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{7}{8}\)
આથી જો BC = 7k, તો AB = 8k. જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}\)

= \(\sqrt{(8 k)^{2}+(7 k)^{2}}\)

= \(\sqrt{64 k^{2}+49 k^{2}}\)

= k \(\sqrt{(8 k)^{2}+(7 k)^{2}}\)

(i)

(ii) cot θ = \(\frac{7}{8}\)

∴ cot² θ = \(\left(\frac{7}{8}\right)^{2}\)

∴ cot² θ = \(\frac{49}{64}\)

પ્રશ્ન 8.
જો ૩cot A = 4 હોય, તો નક્કી કરો કે \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}\) = cos² A – sin² A છે કે નહીં.
ઉત્તરઃ

3 cot A = 4
cot A = \(\frac{4}{3}\)
ધારો કે, ∆ ABCમાં ∠B કાટખૂણો છે.
આથી cotA = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{3}\)
આથી જો AB = 4k, તો BC = 3k. જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°.
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}\)

= \(\sqrt{16 k^{2}+9 k^{2}}\)

= \(\sqrt{25 k^{2}}\) = 5k

હવે, sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3 k}{5 k}=\frac{3}{5}\)

cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{4 k}{5 k}=\frac{4}{5}\)

tan A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3 k}{4 k}=\frac{3}{4}\)

આમ, ડા. બા. = જ.બા.
∴ \(\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}\) = cos²A – sin² A સાચું છે.

પ્રશ્ન 9.
∆ ABCમાં, ∠B કાટખૂણો છે. જો tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) હોય, તો નિમ્નલિખિત મૂલ્ય શોધોઃ
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
ઉત્તરઃ

∆ ABCમાં, ∠B = 90° અને tan A = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)

∴ \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
આથી જો BC = √3k, તો જ્યાં, k કોઈ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
∆ ABCમાં, ∠B = 90°,
∴ પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ,
AC = \(\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{3 k^{2}+k^{2}}=\sqrt{4 k^{2}}\) = 2k

હવે, sin A = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{k}{2 k}=\frac{1}{2}\)

cos A = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3} k}{2 k}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

sin C = \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3} k}{2 k}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

cos C = \(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{k}{2 k}=\frac{1}{2}\)

(1) sin A cos C + cos A sin C = \(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
= \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\) = 1

(2) cos A cos C – sin A sin C = \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}\) = 0

પ્રશ્ન 10.
∆ PQRમાં, ∠Q કાટખૂણી છે અને PR + QR = 25 સેમી અને PQ = 5 સેમી હોય, તો છine cosP અને tane શોધો.
ઉત્તરઃ

PR + QR = 25 સેમી
PR = (25 – QR) સેમી
∆ PORમાં, ∠Q = 90°
PQ² + QR² = PR²
(5)² + QR² = (25 – QR)²
25 + QR² = 625 – 50 QR + QR²
50 QR = 600
QR = 12 સેમી
હવે, PR = (25 – 12) સેમી = 13 સેમી
હવે,

પ્રશ્ન 11.
નીચેના વિધાનો સત્ય છે કે નહીં તે કારણ આપી જણાવો:
(i) tan Aનું મૂલ્ય હંમેશાં 1 કરતાં ઓછું હોય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે tan A એ સામેની : બાજુ તથા પાસેની બાજુનો ગુણોત્તર છે. હવે, સામેની : બાજુ એ પાસેની બાજુ કરતાં મોટી અથવા સરખી અથવા નાની હોઈ શકે. આથી tan A નું મૂલ્ય 1 કરતાં અધિક, 1 અથવા 1 કરતાં ઓછું હોઈ શકે.

(ii) A માપવાળા કોઈક ખૂણા માટે sec A = \(\frac{12}{5}\) સત્ય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય છે, કારણ કે કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે અને .
આથી sec Aનું મૂલ્ય હંમેશાં 1થી અધિક હોય છે. (Aની અમુક વિશિષ્ટ કિંમત માટે તે મૂલ્ય 1 હોય છે.)

(iii) ખૂણા ના cosecantને સંક્ષિપ્તમાં cos A તરીકે લખાય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે cosA એ ખૂણા Aના cosineનું સંક્ષિપ્ત રૂપ છે. ખૂણા Aના cosecant સંક્ષિપ્તમાં cosec A તરીકે લખાય છે.

(iv) cot અને Aનો ગુણાકાર cot A છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે cot A એ cot અને Aનો ગુણાકાર નથી. cotને Aથી અલગ કરીએ, તો તેનો કોઈ જ અર્થ નથી.

(v) θ માપવાળા કોઈ એક ખૂણા માટે sin θ = \(\frac{4}{3}\) શક્ય છે.
ઉત્તરઃ
આપેલ વિધાન સત્ય નથી, કારણ કે sin o એ સામેની બાજુ અને કર્ણનો ગુણોત્તર છે અને કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ એ સૌથી મોટી બાજુ છે. આથી sin oનું મૂલ્ય કદી પણ 1થી વધુ ન હોઈ શકે.