GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4

   

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4

પ્રશ્ન 1.
∆ ABC ~ ∆ DEF છે. તેમનાં ક્ષેત્રફળો અનુક્રમે 64 સેમી અને 121 સેમી છે. જો EF = 15.4 સેમી2 હોય, તો BC શોધો.
ઉત્તરઃ
∆ ABC ~ ∆ DEF
\(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DEF}}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{EF}}\right)^{2}\) (પ્રમેય 6.6)

\(\frac{64}{121}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{15.4}\right)^{2}\) \(\frac{8}{11}=\frac{\mathrm{BC}}{15.4}\)

∴ BC = \(\frac{8 \times 15.4}{11}\)
∴ BC = 8 × 1.4
∴ BC = 11.2 સેમી

પ્રશ્ન 2.
સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં AB || CD છે. તેના વિકર્ણો એકબીજાને બિંદુ 0માં છેદે છે. જો AB = 2CD હોય, તો ∆ AOB અને ∆ CODનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 1

સમલંબ ચતુષ્કોણ ABCDમાં, AB || CD છે અને વિકણ AC તથા BD પરસ્પર 0માં છેદે છે.
હવે, ∆ AOB અને ∆ CODમાં,
∠OAB = ∠OCD (યુગ્મકોણ)
∠OBA = ∠ODC (યુગ્મકોણ)
∠AOB = ∠COD (અભિકોણ)
∴ ખૂખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ AOB ~ ∆ COD

\(\frac{\mathrm{AOB}}{\mathrm{COD}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CD}}\right)^{2}\)

\(\frac{\mathrm{AOB}}{\mathrm{COD}}=\left(\frac{2 \mathrm{CD}}{\mathrm{CD}}\right)^{2}\) (∵ AB = 2CD)

\(\frac{\mathrm{AOB}}{\mathrm{COD}}=\frac{4}{1}\)

∴ AOB : COD = 4 : 1

પ્રશ્ન 3.
આપેલ આકૃતિમાં, ABC અને DBC એક જ પાયા BC પરના બે ત્રિકોણો છે. જો AD એ BCને 2માં છે, તો સાબિત કરો કે \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\).

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 2

ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 3
AM ⊥ BC અને DN ⊥ BC દોરો.
આથી ABC = \(\frac{1}{2}\) × BC × AM અને
DBC = \(\frac{1}{2}\) × BC × DN
∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DN}}\)

∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}\) ………..(1)
∆ AMO અને ∆ DNOમાં,
∠AMO = ∠DNO (કાટખૂણા)
∠AOM = ∠DON (અભિકોણ)
∴ ખૂબૂ શરત મુજબ, ∆ AMO ~ ∆ DNO ………… (2)

∴ \(\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\)

(1) અને (2) પરથી, \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}\).

પ્રશ્ન 4.
જો બે સમરૂપ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળો સમાન હોય, તો સાબિત કરો ? કે તે એકરૂપ છે.
ઉત્તરઃ
પક્ષ: ∆ ABC ~ ∆ POR અને ∆ ABC = ∆ POR
સાધ્ય: ∆ ABC ~ ∆ POR

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 4

સાબિતી: ∆ ABC ~ ∆ PQR

∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\right)^{2}\) ……………..(1)

ABC = PQR

∴ \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}\) = 1 …………..(2)

(1) અને (2) પરથી,
\(\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\right)^{2}=\left(\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\right)^{2}\) = 1

\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{RP}}\) = 1

AB = PQ, BC = QR અને CA = RP
એકરૂપતાની બાબાબા શરત મુજબ,
∆ ABC ≅ ∆ PQR.

પ્રશ્ન 5.
D, E અને F અનુક્રમે ∆ ABCની બાજુઓ AB, BC અને CA નાં મધ્યબિંદુઓ છે. ∆ DEF અને ∆ ABCનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર શોધો.
ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 5

∆ ABC માં D, E અને F અનુક્રમે AB, BC અને CA નાં મધ્યબિંદુઓ છે.
આથી EF || AB અને DE || AC
EF || AD અને DE || AF
∆DEF સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
∠A = ∆ DEF (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સામસામેના ખૂણા)
તે જ રીતે, આપણે સાબિત કરી શકીએ કે ∆B = ∆EFD અને ∠C = ∠EDF.
હવે, ∆ ABC અને ∆ EFD માં,
∠A = ∠E, ∠B = ∠F અને ∠C = ∠D
∴ ખૂબૂબૂ શરત મુજબ, ∆ ABC ~ ∆ EFD
\(\frac{\mathrm{DEF}}{\mathrm{ABC}}=\left(\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{AB}}\right)^{2}\) …………(1)
∆ ABCમાં, E અને F એ અનુક્રમે BC અને CAનાં મધ્યબિંદુઓ છે.
EF = \(\frac{1}{2}\) AB
(1) અને (2) પરથી, …………… (2)
∴ \(\frac{\mathrm{DEF}}{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{4}\)
∴ DEF : ABC = 1 : 4

પ્રશ્ન 6.
સાબિત કરો કે, બે સમરૂપ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ મધ્યગાના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે.
ઉત્તરઃ
પક્ષ: ∆ ABC ~ ∆ PQR, AD અને મધ્યગા PM ∆ ABC અને ∆ PQRની મધ્યગાઓ છે.

સાધ્ય: \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}=\left(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\right)^{2}\)

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 6

સાબિતી: ∆ ABCમાં, AD મધ્યગા છે.
∴ BD = \(\frac{1}{2}\) BC

∆ PQRમાં, PM મધ્યગા છે.
∴ QM = \(\frac{1}{2}\) QR

∆ ABC ~ ∆ PQR

∴ ∠B = ∠Q અને \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{QR}}\)

∴ ∠ABD = ∠PQM અને \(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{QM}}\)
આથી બાખૂબા શરત મુજબ, ∆ ABD ~ ∆ POM
\(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{PM}}\) ………… (1)

હવે, ∆ ABC ~ ∆ POR
\(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{PQR}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{PQ}}\right)^{2}\)

\(\frac{A B C}{P Q R}=\left(\frac{A D}{P M}\right)^{2}\) (1) પરથી)

પ્રશ્ન 7.
સાબિત કરો કે, ચોરસની કોઈ એક બાજુ પર દોરેલા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ, તે ચોરસના વિકર્ણ પર દોરેલા સમબાજુ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળથી અડધું હોય છે.
ઉત્તરઃ

GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 6 ત્રિકોણ Ex 6.4 7

ABCD ચોરસ છે. ∆ PAB એ ચોરસની બાજુ AB પર દોરેલ સમબાજુ ત્રિકોણ છે તથા ∆ QAC એ ચોરસના વિષ્ણુ AC પર દોરેલ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
∆ ABC માં, ∠B = 90° અને AB = BC (ચોરસના ગુણધર્મો)
હવે, AC2 = AB2 + BC2 (પાયથાગોરસ પ્રમેય)
AC2 = AB2 + AB2
∴ AC2 = 2AB2
\(\frac{\mathrm{AB}^{2}}{\mathrm{AC}^{2}}=\frac{1}{2}\)

∴ \(\left(\frac{A B}{A C}\right)^{2}=\frac{1}{2}\) …………. (1)
∆ PAB એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
∴ ∠P = ∠A = ∠B = 60°
∆ QAC એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
∠Q = ∠A = ∠C = 60°
આમ, ∆ PAB અને ∆ BACમાં,
∠P = ∠Q, ∠A = ∠A અને ∠B = ∠C
ખૂબુખૂ શરત મુજબ, ∆ PAB ~ ∆ QAC
\(\frac{\mathrm{PAB}}{\mathrm{QAC}}=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)^{2}\)

\(\frac{\mathrm{PAB}}{\mathrm{QAC}}=\frac{1}{2}\) ((1) પરથી,)

∴ PAB = \(\frac{1}{2}\) QAC
સાચા જવાબ જણાવો, અને ચકાસણી કરો: (દાખલો 8, 9)

પ્રશ્ન 8.
જેમાં D એ BCનું મધ્યબિંદુ છે, એવા બે સમબાજુ ત્રિકોણો ABC અને BDE છે. ત્રિકોણ ABC અને BDEનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર ………. થાય.
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
ઉત્તરઃ
સાચો વિકલ્પ (C) 4 : 1 છે.
∆ ABC અને ∆ BDE સમબાજુ ત્રિકોણો છે. આથી તેઓ વચ્ચેની કોઈ પણ સંગતતા સમરૂપતા છે.
∆ ABC ~ ∆ EBD …………. (1)
હવે, D એ BCનું મધ્યબિંદુ છે.
BD = \(\frac{1}{2}\) BC
BC = 2BD …………… (2)
(1) અને (2) પરથી,

\(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{EBD}}=\left(\frac{2 \mathrm{BD}}{\mathrm{BD}}\right)^{2}\) \(\frac{\mathrm{ABC}}{\mathrm{EBD}}=\frac{4}{1}\)

ABC : EBD = 4 : 1

પ્રશ્ન 9.
બે સમરૂપ ત્રિકોણોની બાજુઓનો ગુણોત્તર 4 : 9. છે. આ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર ……….. થાય.
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
ઉત્તરઃ
સાચો વિકલ્પ (D) 16 : 81 છે.
પ્રમેય 6.6 મુજબ,
બે સમરૂપ ત્રિકોણોનાં ક્ષેત્રફળોનો ગુણોત્તર = (તેમની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર) = (4 : 9)2
= (\(\frac{4}{9}\))2
= \(\frac{16}{81}\)
= 16 : 81

Leave a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *