GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.3

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.3 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 4 દ્વિઘાત સમીકરણ Ex 4.3

પ્રશ્ન 1.
નીચે આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ, શક્ય હોય તો, પૂર્ણવર્ગની? રીતથી મેળવોઃ
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4√ 3x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0

(i) 2x² – 7x + 3 = 0
ઉત્તરઃ
સમીકરણને 2 વડે ભાગતાં,
x² – \(\frac{7}{2}\) x + \(\frac{3}{2}\) = 0

∴ x² – \(\frac{7}{2}\) x + (\(\frac{7}{4}\))² – (\(\frac{7}{4}\))² + \(\frac{3}{2}\) = 0

∴ (x – \(\frac{7}{4}\))² – \(\frac{49}{16}\) + \(\frac{3}{2}\) = 0

∴ (x – \(\frac{7}{4}\))² – \(\frac{25}{16}\) = 0

∴ (x – \(\frac{7}{4}\))² = (\(\frac{5}{4}\))²

x – \(\frac{7}{4}\) = ± \(\frac{5}{4}\)

∴ x – \(\frac{7}{4}\) = \(\frac{5}{4}\) અથવા x – \(\frac{7}{4}\) = – \(\frac{5}{4}\)
x = 3 અથવા x = \(\frac{1}{2}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ 3 અને \(\frac{1}{2}\) છે.

(ii) 2x² + x – 4 = 0
સમીકરણને 2 વડે ભાગતાં,
x² + \(\frac{1}{2}\) x – 2 = 0

x² + \(\frac{1}{2}\) x + (\(\frac{1}{4}\))² – (\(\frac{1}{4}\))² – 2 = 0

(x + \(\frac{1}{4}\))² – \(\frac{1}{16}\) – 2 = 0

(x + \(\frac{1}{4}\))² – \(\frac{33}{16}\) = 0

(x + \(\frac{1}{4}\))² = \(\frac{33}{16}\)

(x + \(\frac{1}{4}\)))² = \(\left(\frac{\sqrt{33}}{4}\right)^{2}\)

x + \(\frac{1}{4}\) = ± \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)

x + \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{\sqrt{33}}{4}\) અથવા x + \(\frac{1}{4}\) = – \(\frac{\sqrt{33}}{4}\)

x = \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) અથવા x = \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\)

આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) અને \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) છે.

(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
4x+ 4√3x + (√3) = 0
(2x + √3)² = 0
(2x + √3) (2x + √3) = 0
2x + √3 = 0 અથવા 2x + √3 = 0
∴ x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) અથવા x = – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) અને – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) છે.

(iv) 2x² + x+ 4 = 0
સમીકરણને 2 વડે ભાગતાં,
x² + \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) x + 2 = 0

x² + \(\frac{\sqrt{1}}{2}\) x + \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\) – \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\) + 2 = 0

(x + \(\frac{1}{4}\))² – \(\frac{1}{16}\) + 2 = 0

(x + \(\frac{1}{4}\))² + \(\frac{31}{16}\) = 0

(x + \(\frac{1}{4}\))² = – \(\frac{31}{16}\)
પરંતુ કોઈ પણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ ન હોઈ શકે. આથી, આપેલ સમીકરણના વાસ્તવિક બીજનું અસ્તિત્વ નથી.

પ્રશ્ન 2.
પ્રશ્ન 1માં આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજ દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરી મેળવો.

(i) 2x² – 7x+ 3 = 0
અહીં, a = 2; b = – 7 અને c = 3 આથી
b² – 4ac = (- 7)² – 4 (2) (3) = 25
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{7 \pm \sqrt{25}}{2(2)}\)

x = \(\frac{7 \pm 5}{4}\)
∴ x = 3 અથવા x = \(\frac{1}{2}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ ૩ અને \(\frac{1}{2}\) છે.

(ii) 2x² + x – 4 = 0
અહીં, a = 2; b = 1 અને c = – 4
આથી b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (- 4) = 33
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2(2)}\)

x = \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \(\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\) અને \(\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\) છે.

(iii) 4x² + 4√3 x + 3 = 0
અહીં, a = 4; b = 4√3 અને c = 3 આથી
b² – 4ac = (4√3)² – 4 (4) (3) = 0
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-4 \sqrt{3} \pm \sqrt{0}}{2(4)}\)

x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) અથવા x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) અને \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) છે.

(iv) 2x² + x + 4 = 0
અહીં, a = 2, b =1 અને c = 4.
આથી b² – 4ac = (1)² – 4(2) (4) = – 31 < 0
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે b² – 4ac < 0 હોવાથી, આપેલ સમીકરણના વાસ્તવિક બીજનું અસ્તિત્વ નથી.

પ્રશ્ન 3.
નીચેનાં સમીકરણનાં બીજ શોધોઃ
(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\); x ≠ – 4, 7

(i) x – \(\frac{1}{x}\) = 3, x ≠ 0
x² – 1 = 3x
x² – 3x – 1 = 0
અહીં, a = 1; b = – 3 અને c = -1
આથી b² – 4ac = (-3)² – 4 (1) (- 1) = 13
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

∴ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2(1)}\)
.
∴ x = \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\)
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ \(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) અને \(\frac{3-\sqrt{13}}{2}\) છે.

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\); x ≠ – 4, 7

∴ \(\frac{(x-7)-(x+4)}{(x+4)(x-7)}=\frac{11}{30}\)

∴ \(\frac{-11}{x^{2}-3 x-28}=\frac{11}{30}\)

∴ \(\frac{-1}{x^{2}-3 x-28}=\frac{1}{30}\)

– 30 = x² – 3x – 28

x² – 3x + 2 = 0
અહીં, a = 1; b = – 3 અને c = 2
આથી b² – 4ac = (- 3) – 4 (1) (2) = 1
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{3 \pm \sqrt{1}}{2(1)}\)

x = \(\frac{3 \pm \sqrt{1}}{2(1)}\)

x = 2 અથવા x = 1
આમ, આપેલ સમીકરણનાં બીજ 2 અને 1 છે.
નોંધઃ અહીં, અવયવીકરણની રીત ખૂબ જ સરળ પડે.

પ્રશ્ન 4.
રહેમાનની આજથી ત્રણ વર્ષ પહેલાંની ઉંમર(વર્ષમાં)ના વ્યસ્ત અને હવે પછીના 5 વર્ષ પછીની ઉંમરના વ્યસ્તનો સરવાળો \(\frac{4}{4}\) છે. તેની અત્યારની ઉંમર શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, રહેમાનની અત્યારની ઉંમર ૪ વર્ષ છે.
આથી આજથી ત્રણ વર્ષ પહેલાં તેની ઉંમર (x – 3) વર્ષ હતી અને આજથી પાંચ વર્ષ બાદ તેની ઉંમર (x + 5) વર્ષ થશે. આ બે ઉમરતવર્ષમાં)ના વ્યસ્તોનો સરવાળો ; આપેલ છે.
\(\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{x+5+x-3}{(x-3)(x+5)}=\frac{1}{3}\)

∴ 3 (2x + 2) = (x – 3) (x + 5)
∴ 6x + 6 = x2 + 2x – 15
∴ x² – 4x – 21 =0
∴ x² – 7x + 3x – 21 = 0
∴ x(x – 7) + 3(x – 7)= 0
∴ (x – 7) (x + 3)= 0
∴ x – 7 = 0 અથવા x + 3 = 0
∴ x = 7 અથવા x =-3 હવે, x એ રહેમાનની અત્યારની ઉંમર દર્શાવે છે.
આથી x ત્રણ ન હોઈ શકે, એટલે કે x ≠ – 3.
∴ x = 7.
આમ, રહેમાનની અત્યારની ઉંમર 7 વર્ષ છે.

પ્રશ્ન 5.
એક વર્ગકસોટીમાં શેફાલીના ગણિત અને અંગ્રેજીના ગુણનો સરવાળો 30 છે. જો તેને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ અને અંગ્રેજીમાં ૩ ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેમનો ગુણાકાર 210 થયો હોત. તેણે આ બંને વિષયમાં મેળવેલ ગુણ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, શેફાલીએ ગણિતમાં મેળવેલ ગુણ x છે.
આથી શેફાલીના અંગ્રેજીના ગુણ = 30 – x થાય, કારણ કે બે વિષયોમાં મેળવેલ કુલ ગુણ 30 છે.
જો તેને ગણિતમાં 2 ગુણ વધુ મળ્યા હોત, તો તેના ગણિતના ગુણ = (x + 2) થાય.
તે જ રીતે, જો તેને અંગ્રેજીમાં 3 ગુણ ઓછા મળ્યા હોત, તો તેના અંગ્રેજીના ગુણ = 30 – x – 3 = 27 – x થાય.
(x + 2) (27 – x) = 210
27x – x² + 54 – 2x = 210
– x² + 25x + 54 – 210 = 0
– x² + 25x – 156 = 0.
x² – 25x + 156 = 0
x² – 13x – 12x + 156 = 0
x (x – 13) – 12 (x – 13) = 0
(x – 13) (x – 12) = 0
x – 13 = 0 અથવા x – 12 = 0
x = 13 અથવા x = 12
આથી 30 – x = 30 – 13 = 17 અથવા
30 – x = 30 – 12 = 18
આમ, શેફાલીએ ગણિત અને અંગ્રેજીમાં મેળવેલ ગુણ અનુક્રમે 13 અને 17 છે અથવા અનુક્રમે 12 અને 18 છે.

પ્રશ્ન 6.
એક લંબચોરસ ખેતરના વિકર્ણનું માપ તેની નાની બાજુના માપથી 60 મીટર વધુ છે. જો મોટી બાજુ, નાની બાજુ કરતાં 30 મીટર વધુ હોય, તો ખેતરની બાજુઓનાં માપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, લંબચોરસ ખેતરની નાની બાજુનું માપ xમી છે.
આથી તે ખેતરના વિકર્ણનું માપ (x + 60) મી અને મોટી બાજુનું માપ (x + 30) મી થાય.
લંબચોરસના બધા જ ખૂણા કાટખૂણા હોય છે.
આથી પાયથાગોરસ પ્રમેય અનુસાર,
(નાની બાજુ)² + (મોટી બાજુ)² = (વિકર્ણ)²
x² + (x + 30)² = (x + 60)²
x² + x² + 60x + 900 = x² + 120x + 3600
x² – 60x – 2700 = 0
અહીં, a = 1; b = – 60 અને c = – 2700
આથી b² – 4ac = (- 60)² – 4 (1) (- 2700)
= 3600 + 10800 =14400
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{60 \pm \sqrt{14400}}{2(1)}\)

= \(\frac{60 \pm 120}{2}\)

∴ x = \(\frac{60+120}{2}\) x = \(\frac{60-120}{2}\)

∴ x = 90 અથવા x ≠ – 30
અહીં, x એ લંબચોરસ ખેતરની નાની બાજુનું માપ દર્શાવે છે. આથી તે ઋણ ન હોઈ શકે. એટલે કે, x – 30.
∴ x = 90 અને x + 30 = 90 + 30 = 120.
આમ, લંબચોરસ ખેતરની નાની બાજુ (પહોળાઈ) 90 મી અને લાંબી બાજુ (લંબાઈ) 120 મી છે.

પ્રશ્ન 7.
બે સંખ્યાઓના વર્ગોનો તફાવત 180 છે. નાની સંખ્યાનો વર્ગ મોટી સંખ્યા કરતાં 8 ગણો છે. બંને સંખ્યાઓ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નાની સંખ્યા x છે. માટે,
મોટી સંખ્યા = \(\)
હવે, તે બે સંખ્યાના વર્ગોનો તફાવત 180 છે.
\(\left(\frac{x^{2}}{8}\right)^{2}\) – (x)² = 180

\(\frac{x^{4}}{64}\) – x² = 180

x⁴ – 64x² – 11520 = 0
ધારો કે, x² = y
x⁴ = y²
y² – 64y – 11520 = 0
અહીં, a = 1; b = – 64 અને c = – 11520
આથી b² – 4ac = (-64)² 4(1) (- 11520)
= 4096 + 46080 = 50176
હવે, y = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

= \(\frac{64 \pm \sqrt{50176}}{2(1)}\)

= \(\frac{64 \pm 224}{2}\)

∴ y = \(\frac{64+224}{2}\) અથવા y = \(\frac{64-224}{2}\)

∴ y = 144 અથવા y = – 80.
x² = 144 અથવા x² = – 80
પરંતુ, x² = – 80 શક્ય નથી.
x² = 144
x = 12 અથવા x = – 12,
આથી \(\frac{x^{2}}{8}=\frac{144}{8}\) = 18.
આમ, માગેલ સંખ્યાઓ 12 અને 18 અથવા 12 અને 18 છે.

પ્રશ્ન 8.
એક ટ્રેન એકધારી ઝડપે 360 કિમી અંતર કાપે છે. જો તેની ઝડપ 5 કિમી / કલાક વધુ હોય, તો આટલું જ અંતર કાપવા તેને 1 કલાક ઓછો સમય લાગે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ટ્રેનની સામાન્ય એકધારી ઝડપ x કિમી / કલાક છે.
∴ x કિમી/ ક્લાકની સામાન્ય ઝડપે 360 કિમી અંતર કાપતાં

લાગતો

જો ટ્રેનની ઝડપ 5 કિમી / કલાક વધુ હોય, તો તેની નવી ઝડપ (x + 5) કિમી/ કલાક થાય અને આ નવી ઝડપે 360 કિમી
અંતર કાપતાં લાગતો સમય = \(\frac{360}{x+5}\) કલાક.

હવે, નવી ઝડપે લાગતો સમય = સામાન્ય ઝડપે લાગતો સમય – 1
\(\frac{360}{x+5}\) = \(\frac{360}{x}\) – 1

360x = 360x + 1800 – x (x + 5). (x (x + 5) વડે ગુણતાં)
0 = 1800 – x² – 5x
x² + 5x – 1800 = 0
x² + 45x – 40x – 1800 = 0
x (x + 45) – 40 (x + 45) = 0
(x + 45) (x – 40) = 0
x + 45 = 0 અથવા x – 40 = 0
x = – 45 અથવા x = 40
પરંતુ, x એ ટ્રેનની સામાન્ય એકધારી ઝડપ દર્શાવે છે. આથી x = – 45 શક્ય નથી.
∴ x = 40
આમ, ટ્રેનની સામાન્ય એકધારી ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.

પ્રશ્ન 9.
પાણીના બે નળ એકસાથે 9\(\frac{3}{8}\) કલાકમાં એક ટાંકી ભરી શકે છે. મોટા વ્યાસવાળો નળ ટાંકી ભરવા માટે નાના વ્યાસવાળા | નળ કરતાં 10 કલાકનો ઓછો સમય લે છે. બંને નળ દ્વારા ટાંકી ભરવાનો અલગ અલગ સમય શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી x કલાકમાં ભરાય છે.
આથી મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી (x – 10) કલાકમાં ભરાય.
આથી એક કલાકના સમયગાળામાં નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકીનો \(\frac{1}{x}\) ભાગ અને મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા યંકીનો \(\frac{1}{x-10}\) ભાગ ભરાય.
આમ, એક કલાકના સમયગાળામાં બંને નળ એકસાથે ચાલુ કરતાં ટાંકીનો ભરાતો ભાગ = \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{x-10}\)
બંને નળને એકસાથે ટાંકી ભરતાં 9\(\frac{3}{8}\) કલાક, એટલે કે \(\frac{75}{8}\) કલાક લાગે છે.
માટે, બંને નળ એકસાથે એક કલાકમાં યંકીનો \(\frac{8}{75}\) ભાગ ભરે.
75 (x – 10) + 75x = 8x (x- 10) (75x (x – 10) વડે ગુણતાં)
75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
8x² – 230x + 750 = 0
અહીં, a = 8; b = – 230 અને c = 750
b² – 4ac = (- 230)² – 4 (8) (750)
= 52900 – 24000 = 28900
હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{230 \pm \sqrt{28900}}{2(8)}\)

x = \(\frac{230 \pm 170}{16}\)

x = \(\frac{400}{16}\) અથવા x = \(\frac{60}{16}\)
x = 25 અથવા x = 3.75
પરંતુ, x 3.75, કારણ કે x = 3.75 હોય, તો x – 10 < 0.
x = 25 અને x – 10 = 15
આમ, નાના વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરાતાં 25 કલાક લાગે અને મોટા વ્યાસવાળા નળ દ્વારા ટાંકી ભરાતાં 15 કલાક લાગે.

પ્રશ્ન 10.
એક ઝડપી ટ્રેન મૈસૂરુ અને બેંગલુરુ વચ્ચેનું 132 કિમી અંતર કાપવા ધીમી ટ્રેન કરતાં 1 કલાક ઓછો સમય લે છે. (વચ્ચેના સ્ટેશનો પર ઊભા રહેવાનો સમય ધ્યાનમાં ના લો.) જો ઝડપી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ કરતાં 11 કિમી/ કલાક વધુ હોય, તો બંને ગાડીની સરેરાશ ઝડપ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ x કિમી / ક્લાક છે.
માટે, ઝડપી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ (x + 11) કિમી/ કલાક છે.
132 કિમી અંતર કાપવા ધીમી ટ્રેનને લાગતો સમય = \(\frac{132}{x}\) કલાક

132 કિમી અંતર કાપવા ઝડપી ટ્રેનને લાગતો સમય = \(\frac{132}{x+11}\) કલાક

હવે, ઝડપી ટ્રેનને લાગતો સમય = ધીમી ટ્રેનને લાગતો સમય-1
\(\frac{132}{x+11}\) = \(\frac{132}{x}\) – 1

132x = 132 (x + 11) – x (x + 11) (x (x + 11) વડે ગુણતાં)
132x = 132x + 1452 – x² – 11x
x² + 11x- 1452 = 0
અહીં, a = 1; b = 11 અને c =- 1452
b² – 4ac = (11)² – 4 (1) (-1452)
= 121 + 5808 = 5929

હવે, x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

x = \(\frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2(1)}\)

x = \(\frac{-11 \pm 77}{2}\)

x = 33 અથવા x = – 44
એ ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ દર્શાવે છે.
x = – 44 શક્ય નથી.
x = 33 અને x + 11 = 33 + 11 = 44.
આમ, ધીમી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ 33 કિમી/કલાક છે અને ઝડપી ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપ 44 કિમી/ કલાક છે.

પ્રશ્ન 11.
બે ચોરસનાં ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો 468 મી² છે. જો તેમની પરિમિતિનો તફાવત 24 મી હોય, તો બંને ચોરસની બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
ઉત્તરઃ
ધારો કે, નાના ચોરસની લંબાઈ = xમી
નાના ચોરસની પરિમિતિ = 4x મી અને
નાના ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x² મી²
આપેલ માહિતી પરથી, મોટા ચોરસની પરિમિતિ = = (4x + 24) મી
મોટા ચોરસની લંબાઈ = \(\frac{4 x+24}{4}\) = (x + 6) મી
મી – મોટા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ = (x + 6)² મી²
x² + (x + 6)² = 468
x² + x² + 12x + 36 – 468 = 0
2x² + 12x – 432 = 0
x² + 6x – 216 = 0
x² + 18x – 12x – 216 = 0
x (x + 18) – 12 (x + 18) = 0
(x + 18) (x – 12) = 0
x + 18 = 0 અથવા x – 12 = 0
x = – 18 અથવા x = 12
હવે, x એ ચોરસની લંબાઈ દર્શાવે છે. .
x = – 18 શક્ય નથી.
x = 12 અને x + 6 = 12 + 6 = 18
આમ, નાના ચોરસની લંબાઈ 12 મી અને મોટા ચોરસની લંબાઈ 18 મી છે.