GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Ex 13.1

Gujarat Board GSEB Solutions Class 10 Maths Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Ex 13.1 Textbook Questions and Answers.

Gujarat Board Textbook Solutions Class 10 Maths Chapter 13 પૃષ્ઠફળ અને ઘનફળ Ex 13.1

(જો નું મૂલ્ય આપેલ ન હોય, તો π = \(\frac{22}{7}\) લો.)

પ્રશ્ન 1.
બે ઘન પૈકી પ્રત્યેકનું ઘનફળ 64 સેમી³ હોય તેવા બે ઘનને જોડવાથી બનતા લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે, આપેલ બે ઘન પૈકી પ્રત્યેકની ધારનું માપ 3 સેમી છે.
ઘનનું ઘનફળ = a³
64 = a³
a = 4 સેમી

આપેલ બે ઘનને જોડતાં બનતા લંબઘન માટે, લંબાઈ 1 = (4 + 4) સેમી = 8 સેમી, પહોળાઈ b = 4 સેમી અને ઊંચાઈ h = 4 સેમી

લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ = 2 (lb + bh + hl)
= 2 (8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8) સેમી²
= 2(80) સેમી
= 160 સેમી²
આમ, બે ઘનને જોડતાં બનતા લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ 160 સેમી થાય.

પ્રશ્ન 2.
એક અર્ધગોલક ઉપર એક પોલો નળાકાર બેસાડેલો હોય તેવું એક પાત્ર છે. અર્ધગોલકનો વ્યાસ 14 સેમી છે અને પાત્રની કુલ ઊંચાઈ 13 સેમી છે. પાત્રની અંદરની સપાટીનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
ઉત્તર:

નળાકારની તેમજ અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા r =
= \(\frac{14}{2}\) સેમી = 7 સેમી
નળાકારની ઊંચાઈ h = પાત્રની કુલ ઊંચાઈ – અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા
= 13 સેમી – 7 સેમી = 6 સેમી
પાત્રની અંદરની સપાટીનું પૃષ્ઠફળ = નળાકારનું CSA + અર્ધગોલકનું CSA
= 2πrh + 2πr² = 2πr (h + r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 (6 + 7) સેમી²
= 44 × 13 સેમી² = 572 સેમી²
આમ, આપેલ પાત્રની અંદરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ 572 સેમી² છે.

પ્રશ્ન ૩.
અર્ધગોલકની ઉપર શંકુ લગાવેલો હોય તેવું એક રમકડું છે. તે બંનેની ત્રિજ્યા 3.5 સેમી છે. રમકડાની કુલ ઊંચાઈ 15.5 સેમી હોય, તો રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
ઉત્તર:

અર્ધગોલક તેમજ શંકુ માટે, ત્રિજ્યા r = 3.5 સેમી = \(\frac{7}{2}\) સેમી
શંકુની ઊંચાઈ h = રમકડાની કુલ ઊંચાઈ – અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા
= (15.5 – 3.5) સેમી = 12 સેમી
શંકુની તિર્ધક ઊંચાઈ,
l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{(3.5)^{2}+12^{2}}\)
= \(\sqrt{12.25+144}\)
= \(\sqrt{156.25}\) = 12.5 સેમી
રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ = શંકુની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ + અર્ધગોલકની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ
= πrl + 2πr²
= πr (l + 2r)
= \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) (12.5 + 2 × \(\frac{7}{2}\)) સેમી²
= 11 × 19.5 સેમી² = 214.5 સેમી²
આમ, રમકડાનું કુલ પૃષ્ઠફળ 214.5 સેમી² છે.

પ્રશ્ન 4.
7 સેમી બાજુના માપવાળા સમઘનની ઉપર અર્ધગોલક મૂકેલો છે, તો અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ શું હોઈ શકે? આ રીતે બનેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.

ઉત્તર:
અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ = સમઘનની બાજુ વ = 7 સેમી
આથી અર્ધગોલકની ત્રિજ્યા r = \(\frac{7}{2}\) સેમી
બનતા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ = સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ + અર્ધગોલકનું વક્ર પૃષ્ઠફળ – અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ
= 6a² + 2πr² – πr²
= 6a² + πr²
= (6 × 7 × 7 + \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) × \(\frac{7}{2}\)) સેમી
= (294 + 38.5) સેમ²
= 332.5 સેમી²
આમ, અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ 7 સેમી અને બનતા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ 332.5 સેમી² થાય.

પ્રશ્ન 5.
એક સમઘન લાકડાના ટુકડાના એક પૃષ્ઠમાંથી એક અર્ધગોલક કાપવામાં આવે છે. અર્ધગોલકનો વ્યાસ l એ સમઘનની બાજુના માપ બરાબર છે, તો બાકી પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
ઉત્તર:

સમઘનની બાજુ = l
સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ = 6l²
કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકનો વ્યાસ = સમઘનની બાજુ = l
કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ = 2πr²
= 2π (\(\frac{l}{2}\))² = \(\frac{1}{2}\) πl²
કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ = πr²
= π (\(\frac{1}{2}\))² = \(\frac{1}{4}\) πl²
બાકી પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ = સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ + કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ – કાપવામાં આવેલ અર્ધગોલકના પાયાનું ક્ષેત્રફળ
= 6l² + \(\frac{1}{2}\) π l² – \(\frac{1}{4}\) π l²
= 6l² + \(\frac{1}{4}\) πl²
= \(\frac{1}{4}\) l² (24 + π)
આમ, બાકી પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ રે (24 + π) થાય.

પ્રશ્ન 6.
દવાની એક કૅસ્યુલનો આકાર નળાકારની બંને બાજુએ અર્ધગોલક લગાડેલા હોય તે રીતનો છે. (જુઓ આકૃતિ) કૅણૂલની લંબાઈ ? 14 મિમી છે અને તેનો વ્યાસ 5 મિમી છે, તો કૅસૂલનું પૃષ્ઠફળ શોધો.
ઉત્તર:

14 મિમી નળાકાર તેમજ બંને અર્ધગોલકોનો વ્યાસ = 5 મિમી
∴ નળાકારની તેમજ બંને અર્ધગોલકોની ત્રિજ્યા = r = \(\frac{5}{2}\) મિમી
નળાકારની ઊંચાઈ h = કૅણૂલની કુલ લંબાઈ – 2 × અર્ધગોલકોની ત્રિજ્યા = (14 – 2 × \(\frac{5}{2}\)) મિમી = 9 મિમી

કૅસૂલનું પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ + 2 × અર્ધગોલકની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ
= 2πrh + 2 × 2πr²
= 2π (h + 2 r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{5}{2}\) (9 + 2 × \(\frac{5}{2}\)) મિમી²
= \(\frac{110}{7}\) × 14 મિની² = 220 મિમી²
આમ, કૅણૂલનું પૃષ્ઠફળ 220 મિમી² છે.

પ્રશ્ન 7.
એક તંબુનો આકાર નળાકાર ઉપર શંકુ મૂકવામાં આવેલ હોય તેવો છે. જો નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ અને વ્યાસ અનુક્રમે 2.1 મીટર અને 4 મીટર હોય તથા ઉપરના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ 2.8 મીટર હોય, તો આ તંબુ બનાવવા વપરાતા કૅન્વાસનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને જો કેન્વાસનો ભાવ ₹ 500 પ્રતિ મીટર હોય, તો તેમાં વપરાતા કેન્વાસની કિંમત પણ શોધો. (તંબુના તળિયાને કેન્વાસથી ઢાંકવામાં આવતો નથી તે ધ્યાનમાં લેવું.)
ઉત્તર:

નળાકાર ભાગની તેમજ શંકુ આકારના ભાગની ત્રિજ્યા, r = = \(\frac{4}{2}\) મી = 2 મી
નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ h = 2.1 મી
શંકુ આકારના ભાગની તિર્ધક ઊંચાઈ = 2.8મી
તંબુ બનાવવા વપરાતા કૅન્વાસનું કુલ ક્ષેત્રફળ = નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ + શંકુની વકસપાટીનું ક્ષેત્રફળ
= 2πrh + πrl
= πr(2h + l)
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × (2 × 2.1 + 2.8) મી²
= \(\frac{22}{7}\) × 2 × 7 ²
= 44 મી²
1 મી² કેન્વાસની કિંમત = ₹ 500
44 મી² કેન્વાસની કિંમત = ₹ (44 × 500)
= ₹ 22,000
આમ, તંબુ બનાવવા વપરાતા કેન્વાસનું ક્ષેત્રફળ 44 મ² થાય અને કૅન્વાસની કિંમત 22,000 થાય.

પ્રશ્ન 8.
નળાકાર પદાર્થની ઊંચાઈ 2.4 સેમી અને વ્યાસ 1.4 સેમી છે છે. તેમાંથી તેટલી જ ઊંચાઈ અને વ્યાસવાળો શંકુ કાપી લેવામાં રે આવે, તો વધેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ નજીકના સેમી²માં શોધો.
ઉત્તર:

નળાકારની તેમજ તેમાંથી કાપી લીધેલ શંકુની ત્રિજ્યા, r = = \(\frac{1.4}{2}\) સેમી = 0.7 સેમી
નળાકારની તેમજ તેમાંથી કાપી લીધેલ શંકુની ઊંચાઈ, h = 2.4 સેમી
કાપી લીધેલ શંકુ માટે,
તિર્ધક ઊંચાઈ l = \(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\)
= \(\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}\) સેમી
= \(\sqrt{0.49+5.76}\) સેમી
= \(\sqrt{6.25}\) સેમી = 2.5 સેમી
વધેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારનું વક્ર પૃષ્ઠફળ + નળાકારના પાયાનું ક્ષેત્રફળ + શંકુનું વક્ર પૃષ્ઠફળ
= 2πrh + πr² + πrl
= πr (2h + r + l)
= \(\frac{22}{7}\) × 0.7 (2 × 2.4 + 0.7 + 2.5) સેમી
= 2.2 × 8 સેમી²
= 17.6 સેમી²
= 18 સેમી² (નજીકના સેમીમાં)
આમ, વધેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ 18 સેમી² (નજીકના સેમીમાં) છે.

પ્રશ્ન 9.
આપેલ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે લાકડાના નળાકારમાંથી બંને બાજુએથી અર્ધગોલક કાઢી એક લાકડાનો શો-પીસ બનાવ્યો છે. જો નળાકારની ઊંચાઈ 10 સેમી હોય અને પાયાની ત્રિજ્યા 3.5 સેમી હોય, તો શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.
ઉત્તર:

નળાકારની તેમજ કાઢી લીધેલ અર્ધગોલકોની ત્રિજ્યા, r = 3.5 સેમી = \(\frac{7}{2}\) સેમી
નળાકારની ઊંચાઈ h = 10 સેમી
શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ = નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ + 2 × અર્ધગોલકની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ
= 2π rh + 2 × 2πr²
= 2πr (h + 2r)
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × \(\frac{7}{2}\) (10 + 2 × \(\frac{7}{2}\)) સેમી
= 22 × 17 સેમી² = 374 સેમી²
આમ, શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ 374 સેમી² છે.