GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

Gujarat Board GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ Important Questions and Answers.

GSEB Class 12 Physics Important Questions Chapter 6 વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ

પ્રશ્ન 1.
વિધુતચુંબકીય પ્રેરણની શોધનો ટૂંકો ઇતિહાસ જણાવી વિધુતચુંબકીય પ્રેરણની વ્યાખ્યા આપો.
ઉત્તર:

• વિદ્યુત અને ચુંબકત્વને ઘણા લાંબા સમય સુધી અલગ-અલગ અને એ કબીજ઼ સાથે સંબંધિત ન હોય તેવી ઘટનાઓ ગલવામાં આવતી હતી.
• ઓગણીસમી સદીના પ્રારંભિક દાયકામાં  એંડ, ઍમ્પિયર અને અન્ય કેટલાક વૈજ્ઞાનિકોએ વિદ્યુતપ્રવાહ પરના પ્રયોગો દ્વારા એક હકીકત પ્રસ્થાપિત કરી કે વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ આંતર સંબંધી છે તેમણે શોધી કાઢયું કે ગતિમાન વિધુતભારોને લીધે ચુંબકીય ક્ષેત્રો ઉત્પન્ન થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, વિધુતપ્રવાહ તેની નજીકમાં મૂકવામાં આવેલ ચુંબકીય (હોકાયંત્રની) સૌયમાં કોણાવર્તન ઉત્પન્ન કરે છે.
• 1830 ની આસપાસ ઇંગ્લેન્ડમાં માઈક્લ ફેરેડે અને USA માં જોસેફ હેવી દ્વારા કરવામાં આવેલા પ્રયોગો દર્શાવે છે કે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોની અસર નીચે બંધ ગૂંચળાઓમાં વિદ્યુતપ્રવાહ પ્રેરિત થાય છે.
• એ ઘટના કે જેમાં બદલાતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા વિદ્યુતપ્રવાહ ઉત્પન થાય છે તેને વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ (Electromagnetic Induction) કહેવાય છે.”

પ્રશ્ન 2.
ફેરેએ વિધુતચુંબકીય ક્ષેત્ર અંગેની સૌપ્રથમ કઈ શોધ જાહેર કરી. વિધુતચુંબકીય પ્રેરણની શોધનું મહત્ત્વ જણાવો.
ઉત્તર:

• ફેરેએ સૌપ્રથમ તેમની શોધ જાહેર કરી કે ગજિયો ચુંબક અને વાયર સૂપ (તારનો બંધ ગાળો) વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ એ બંધ ગાળામાં એક સૂક્ષ્મ વિદ્યુતપ્રવાહ ઉત્પન કરે છે.
• વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણની ઘટના માત્ર સૈદ્ધાંતિક અથવા શૈક્ષશ્વિક રસ ધરાવવા પૂરતી નથી પરંતુ તેની વ્યાવહારિક ઉપયોગિતા પન્ન છે, એવા વિશ્વની કલ્પના કરો કે જ્યાં વીજળી નથી, ના કોઈ વિદ્યુત પ્રકાશ, ના કોઈ ટ્રેન, ના કોઈ ટેલિફોન અને ના કોઈ પર્સનલ કમ્યુટર.
• ફેરેડે અને હેનીના પ્રારંભિક પ્રયોગોના આધુનિક સમયના જનરેટર્સ અને ટ્રાન્સફૉમર્સના વિકાસમાં સીધો જ ફાળો રહ્યો છે. આજની પ્રગતિમાં વિદ્યુત ચુંબકીય પ્રેરણની શોધનો મહત્ત્વનો ફાળો છે.

પ્રશ્ન 3.
ફેડે અલગ કરેલ વાહક તારના ગૂંચળા અને ગજિયા ચુંબકની મદદથી કરેલો પ્રયોગ સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિમાં એક વાહક તારના ગૂંચળા C₁ ને ગેલ્વેનોમીટર G સાથે જોડેલું દર્શાવ્યું છે.

• જ્યારે ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તરધ્રુવ ગૂંચળા તરફ રહે તેમ રાખીને ગૂંચળાની નજીક લઈ જવામાં આવે, ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાં દર્શકનું કોબ્રાવર્તન થાય છે, જે ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહની હાજરી સૂચવે છે.
• જે ગજિયા ચુંબકને ગૂંચળાથી દૂર લઈ જવામાં આવે, તો ગેલ્વેનોમીટરનો દર્શક પહેલાં કરતાં વિરુદ્ધ દિશામાં કોણાવર્તન દર્શાવે છે, જે વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા ઊલટાઈ હોવાનું સૂચવે છે.
• ગજિયો ચુંબક જયાં સુધી ગતિમાં હોય ત્યાં સુધી જ ગેલ્વેનોમીટર કોણાવર્તન દેશવિ છે પણ ચુંબક સ્થિર રાખવામાં આવે તો ગેલ્વેનોમીટર કોઈ આવર્તન દર્શાવતું નથી.
• જયારે ગજિયા ચુંબક્ના દક્ષિણgવને ગૂંચળા તરફ રાખીને તેને ગૂંચળાની નજીક કે દૂર લઈ જવામાં આવે ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરનું કોલ્લાવર્તન, ચુંબકના ઉત્તવને ગૂંચળાની નજીક કે દૂર લઈ જતાં મળતાં કોલ્લાવર્તન કરતાં વિરુદ્ધ દિશાનું કોબ્રાવર્તન મળે છે.
• જયારે ચુંબકને ઝડપથી (પ્રવેગથી) ગૂંચળા તરફ કે દૂર લઈ જવામાં આવે છે, ત્યારે કૉણાવર્તન મૌટું મળે છે એટલે પ્રેરિત પ્રવાહ મોટો મળે છે.
• જે ગૂંચળાનું પરિમાણ મોટું લેવામાં આવે અને આંટાની સંખ્યા વધુ હોય તો પ્રેરિત પ્રવાહનું મૂલ્ય વધુ મળે છે. હવે ચુંબકને સ્થિર રાખીને ગૂંચળાને તેની નજીક કે દૂર લઈ જવામાં આવે ત્યારે પણ પહેલાંની જેવી જ સમાન અસર જોવા મળે છે.

નિષ્કર્ષ :

1. ચુંબક અને ગૂંચળા વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ એ ગૂંચળોમાં વિદ્યુતપ્રવાહના પ્રેરણ માટે જવાબદાર છે.
2. ગૂંચળા અને ચુંબક વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિમાં ફેરફાર કરતાં પ્રેરિત પ્રવાહમાં ફેરફાર થાય છે.
3. ગૂંચળા અને ચુંબક વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ અટકી જતાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ઉદ્ભવતો નથી.

પ્રશ્ન 4.
ફેરઠેના વિધુતચુંબકીય પ્રેરણ અંગેના બે ગૂંચળાઓની સાપેક્ષ ગતિના પ્રયોગનું વર્ણન કરો.
ઉત્તર:

• ગેલ્વેનોમીટર સાથે જોડેલાં વાહક તારના ગૂંચળા C₁ ની નજીક એકબીજાની અક્ષો સંપાત થાય તેમ વાહક તારનું બૅટરી જોડેલું બીજું ગૂંચળું C₂ મૂકેલું છે, જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

• C₂ ગૂંચળા સાથે બૅટરી જોડેલી હોવાથી તેમાં સ્થિર પ્રવાહ વહે છે, તેથી સ્થિર ચુંબકીય ક્ષેત્ર પેદા થાય છે. (એટલે કે, C₂ ગૂંચળું ચુંબક તરીકે વર્તે છે.)
• ગૂંચળા C₁ ને સ્થિર રાખી ગૂંચળા C₂ ને તેની નજીક કે દૂર લઈ જઈએ ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર કૌણાવર્તન દર્શાવે છે.
  જે C₂ ને સ્થિર રાખીએ તો ગેલ્વેનૌમીટર કોષાવર્તન દર્શાવતું નથી.
• જે C₂ સાથે જોડેલી બૅટરીની પોલારિટી ઊલાવીને તેને C₁ ની નજીક કે દૂર લઈ જઈએ તો ગૅલ્વેનોમીટરમાં પહેલાં કરતાં વિરુદ્ધ દિશામાં કૌણાવર્તન મળી છે.
• જે બૅટરીના વોલ્ટેજ વધારીએ અને C₁ તથા C ₂ને સાપેક્ષ ગતિ આપીએ તો ગેલ્વેનોમીટરનું કોણાવર્તન મોટું મળે છે.

નિષ્કર્ષ :

1. ગૂંચળાઓની સાપેક્ષ ગતિ ગૂંચળામાં વિધુતપ્રવાહના પ્રેરણા માટે જવાબદાર છે.
2. ગૂંચળાઓની સાપેક્ષ ગતિ ઊલટાવતાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા પણ ઉલટાય છે.

પ્રશ્ન 5.
“વિધુતચુંબકીય પ્રેરણ માટે સાપેક્ષ ગતિ જ અનિવાર્ય જરૂરિયાત નથી” આ વિઘાન સમજાવતા ફેરડેએ કરેલા પ્રયોગની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
કેરેએ એક પ્રયોગ દ્વારા દર્શાવ્યું હતું કે આ સાપેક્ષ ગતિ એ અનિવાર્ય (જરૂરિયાતો નથી. આકૃતિમાં સ્થિર રાખેલ બે ગૂંચળાઓ C₁ અને C₂ ને દર્શાવ્યા છે, ગૂંચળું C₁ ગેલ્વેનોમીટર G સાથે જોડાયેલ છે જયારે બીજું ગૂંચળું C₂ ટેપિંગ કી (દાબ-કળ) K દ્વારા બૅટરી સાથે જોડાયેલ છે.

એવું જોવા મળ્યું કે, જયારે ટેપિંગ કી K દબાવવામાં આવે ત્યારે ગેલ્વેનોમીટર શણિક કોણાવર્તન બતાવે છે અને ત્યારબાદ ગૅલ્વેનોમીટરમાં દર્શક તરત જ શૂન્ય પર આવી જાય છે.

જો કળ સતત દબાવી રાખવામાં આવે, તો ગેલ્વેનોમીટર કોઈ કોણાવર્તન દર્શાવતું નથી. જ્યારે આ કળ મુક્ત કરવામાં આવે છે ત્યારે ફરીથી, પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં ક્ષણિક કોલ્લાવર્તન જોવા મળે છે. એવું પણ જોવા મળ્યું કે જયારે ગૂંચળાઓમાં તેઓની ધરી પર લોખંડનો એક સળિયો મૂકવામાં આવે છે ત્યારે કૌણાવર્તન અકલ્પનીય (નાટ્યાત્મક રીતે વધે છે.
નિષ્કર્ષ : વિધુતપ્રવાહના પ્રેરણ માટે સાપેક્ષ ગતિ એ આવશ્યક જરૂરિયાત નથી.

પ્રશ્ન 6.
ફેરેડેએ અલગ કરેલા વાહક તારના ગૂંચળા આને ગજ્યિય ચુંબકની મદદથી કરેલા પ્રયોગના પરિણામો ( નિષ્કર્ષ) જણાવો.
ઉત્તર:

1. ચુંબક અને ગૂંચળા વચ્ચેની (અથવા બે ગૂંચળાઓ વચ્ચેની) સાપેક્ષ ગતિ ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહના પ્રેરણા માટે જવાબદાર છે.
2. ચુંબક અને ગૂંચળા વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ વધારતાધટાડતાં ગૂંચળામાં અનુક્રમે વધુ ઓછો પ્રવાહ પ્રેરિત થાય છે.
3. સાપેક્ષ ગતિની દિશા ઊલયવતાં પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા પણ ઊલટાય છે.
4. જે ચુંબક અને ગૂંચળું (અથવા બે ગૂંચળાઓ) સમાન વગથી એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોય તેમનો સાપેહૂ વેગ શૂન્ય હોય તો ગૂંચળામાં પ્રવાહ પ્રેરિત થતો નથી.
5. જ્યારે બંધ પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય ત્યારે જ emf પ્રેરિત થાય છે.
6. પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફારના દેરના સમપ્રમાણમાં પ્રેરિત emf ઉદ્ભવે છે.

પ્રશ્ન 7.
ચુંબકીય ફલક્સ સમજાવો.

ઉત્તર:
એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માં મૂકવામાં આવેલા A ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સમતલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: Φ_B = \(\overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{A}}\) = BAcosθ ……………….. (1) જ્યાં, θ એ \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે. સમીકરણ (1) ને વક સપાટી અને અનિયમિત ક્ષેત્રો માટે પણ વિસ્તારી શકાય છે, જે નીચે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે.

જો સપાટી પરના વિવિધ ભાગોમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રને અલગ અલગ માન અને દિશાઓ હોય, તો સપાટીમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ,
Φ_B = \(\overrightarrow{\mathrm{B}}_1 \cdot d \overrightarrow{\mathrm{A}}_1+\overrightarrow{\mathrm{B}}_2 \cdot d \overrightarrow{\mathrm{A}}_2+\ldots=\sum_{\text {all }} \overrightarrow{\mathrm{B}}_i \cdot d \overrightarrow{\mathrm{A}}_i\) …………………………………. (2)
વડે આપવામાં આવે છે.

જયાં, “all’ એ સપાટીના સમાવિષ્ટ તમામ પૃષ્ઠખંડ d\(\overrightarrow{\mathrm{A}}_i\) પરનો સરવાળો દર્શાવે છે અને B_i એ પૃષ્ઠખંડ dA_i પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. સમીકરણ (2) નીચે મુજબ લખી શકાય.
Φ = \(\lim _{\left|\Delta \vec{a}_i\right| \rightarrow 0} \sum_{\text {all }} \overrightarrow{\mathrm{B}}_i \cdot \overrightarrow{d \mathrm{~A}_i} \) જયાં i = 1, 2, 3,………………., n
આ સરવાળાને સંકલનના રૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય,
Φ = \(\int_{\mathrm{S}} \overrightarrow{\mathrm{B}} \cdot \overrightarrow{d \mathrm{~A}} \)

ચુંબકીય ફ્લક્સ એ અદિશ રાશિ છે. ચુંબકીય ક્ષક્સનો SI એકમ વેબર (WD) અથવા ટેસ્લા મીટર વર્ગ (Tm²) અથવા વોલ્ટ × સેકન્ડ (VS) છે અને પારિમાણિક સૂત્ર [M¹L²T^-2A^-1] છે.

વેબરની વ્યાખ્યા : Im² ક્ષેત્રફળ પર લંબરૂપે 1 ટેસ્લાનું નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર લગાડતાં ઉત્પન્ન થતાં લક્સને એક વેબર કહે છે.
∴ 1 વેબર = 1 ટેસ્લા × 1 મીટર
∴ 1 Wb = 1 Tm²

ચુંબકીય ફલક્સનો CGS એકમ : ચુંબકીય લક્સનો CGS એકમ મેક્સવેલ છે.
1 મેક્સવેલ (M_x) = 1 ગોંસ x 1 cm²
1M_x = 1 G cm² [∵ G એ ગૉસ એકમ છે.]
તેથી 1 Wb = IT x 1m² = 10⁴G x 10⁴ cm²
1 Wb = 10⁸ M_x

જ્યારે \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) એક જ દિશામાં હોય તો ફુલક્સ ધન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય તો ફુલક્સ ઋણ અને \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) લંબ હોય તો ફુલક્સ શૂન્ય.

θ = 0°
∴Φ = +AB
θ = 180°
∴ Φ = -AB
θ = 90°
∴ Φ = 0

પ્રશ્ન 8.
વિધુતચુંબકીય પ્રેરણ અંગેનો ફેરનો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
ફેરેડનો નિયમ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય આપે છે.
નિયમ : “બંધ પરિપથમાં (ગૂંચળામાં) ઉદભવતું પ્રેરિત emf તેની સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષક્સના ફેરફારના સમયદરના અા મૂલ્ય બરાબર હોય છે.” અથવા પરિપથમાં પ્રેરિત emf નું માન તે પરિપથમાંના ચુંબકીય લક્સના ફેરફારના સમય દર જેટલું હોય છે.”
ગાણિતિક રીતે, આ પ્રેરિત emf ને
દ = – \(\frac{d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t} \) ………………………….. (1)
ઋણ સંકેત દ ની દિશા અને તેથી બંધ લૂપમાં વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા પન્ન સૂચવે છે.
ખૂબ જ નજીક વીટાળેલ N ટાઓ ધરાવતા ગૂંચળાના કિસ્સામાં, દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સનો ફેરફાર પણ એકસમાન છે. તેથી, કુલ પ્રેરિત emf ને નીચેના સૂત્ર વડે
દર્શાવી શકાય છે :
દ = – \(\mathrm{N} \frac{d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t}\) …………………………. (2)
બંધ ગૂંચળાના આંટઓની સંખ્યા N માં વધારો કરીને પ્રેરિત emf માં વધારો કરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 9.
વાદક ગૃગળામાં વિધુતપ્રવાહ પસાર થતાં તેનો કયો છેડો કેવા સંબકીય ઘવ તરીકે વર્તશે તે સમજાવો.
ઉત્તર:
વાહક ગૂંચળામાંથી પ્રવાહ પસાર કરતાં ગૂંચળું પોતે એક ચુંબક તરીકે વર્તે છે, તેથી તેનો એક છેડો ઉત્તર ધ્રુવ અને બીજો છેડો દક્ષિણ ધ્રુવ બને છે. આ ગૂંચળાનો કયો છેડો ઉત્તર અને કયો છેડો દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે વર્તે તેની સમજૂતી નીચે મુજબ આપી શકાય. ગૂંચળાના કોઈ એક છેડા આગળથી તેના આડછેદને લંબરૂપે જોતાં ગૂંચળામાંથી પસાર થતાં પ્રવાહની દિશા,

1.જો વિષમઘડી હોય તો આપણી આંખ સામેનો ગૂંચળાનો છેડો ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે અને બીજી બાજુનો છેડો દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.

2. જો સમઘડી હોય તો આપણી આંખ સામેનો ગૂંચળાનો છેડો દક્ષિણ ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે અને બીજી બાજુનો છેડે ઉત્તર ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે, જે આકૃતિમાં બતાવ્યું છે.

પ્રશ્ન 10.
લેન્ડઝનો નિયમ લખો અને તે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું વિશિષ્ટ કથન છે તે સમજવો.
ઉત્તર:
જર્મન ભૌતિકવિજ્ઞાની હેનરિચ ફ્રેડરિક લેન્કે 1834 માં એક નિયમ તારવ્યો, જેને લૅન્ઝનો નિયમ કહે છે.
જે પ્રેરિત ermf ની દિશા આપે છે. જે નીચે મુજબ છે. પ્રેરિત emf ની દિશા (સંજ્ઞા) એવી હોય છે કે તે એવો વિધુતપ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે કે જે તેને ઉત્પન કરતા ચુંબકીય ઉલક્સમાં ફેરફારનો વિરોધ કરે.”
કેરેડેના નિયમ પરથી પ્રેરિત emf દ = – \(\frac{d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t}\) છે. અહીં અન્ન સંજ્ઞા લેન્કના નિયમની હાજરી દર્શાવે છે.

• આકૃતિમાં ગૂંચળા તરફ ગજિયા ચુંબકનો ઉત્તર ધ્રુવ રહે તેમ રાખીને ચુંબકને, ગૂંચળા તરફ ગતિ કરાવવામાં આવે તો ગૂંચળામાં ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે, તેથી ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહ એવી દિશામાં પ્રેરિત થાય કે જે લગ્નના ફેરફારનો વિરોધ કરે.
• આવું ત્યારે જ શક્ય છે કે જયારે ચુંબક તરફ રહેલા નિરીક્ષકને ગૂંચળામાં વહેતો પ્રવાહ વિષમપડી દિશામાં દેખાય.
• આથી પ્રેરિત પ્રવાહ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ચોકમાત્રાનો ઉત્તર ધ્રુવ ગૂંચળાની નજીક જતાં ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવ તરફ હોય છે.
• જો ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવને ગૂંચળા તરફ રાખી ચુંબકને દૂર લઈ જવામાં આવે તો ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ફુલક્સમાં ઘટાડો થશે અને આ ઘટાડાનો વિરોધ કરવા ગૂંચળામાં સમડી વિદ્યુતપ્રવાહ પ્રેરિત થશે.
• આ સ્થિતિમાં ગૂંચળામાં દક્ષિણ ધ્રુવ, દૂર જતા ચુંબકના ઉત્તર ધ્રુવ તરફ હશે તેથી આકર્ષણ બળ લાગશે જે ચુંબકની ગતિ અને ફ્લેક્સમાં થતાં ઘટાડાનો વિરોધ કરશે.
• જે બંધ ગૂંચળાના સ્થાને પન સર્કિટ લેવામાં આવે તો સર્કિટના ખુલ્લા છેડાઓ વચ્ચે emf પ્રેરિત થશે. જેની દિશા પણ લેન્સના નિયમથી શોધી શકાય છે.
• લેન્સના નિયમની સત્યાર્થતા નીચેના ઉદાહરણ વડે મળી શકે.

ધારો કે, આકૃતિ (a) અને આકૃતિ (b) માં દર્શાવેલ દિશાની વિરુદ્ધમાં વિદ્યુતપ્રવાહ હોય તો ચુંબક અને ગુંગળાના વિજાતીય ધ્રુવો વચ્ચે આકર્ષણ થતાં કોઈ પન્ન ઊર્જાના વ્યય વગર ચુંબકના વૈગમાં વધારો થાય તેથી ગતિઊર્જા વધે જે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું ઉલ્લંઘન કરે છે, તેથી આ ધારણા શક્ય નથી.
પણ જો આકૃતિ (a) અને (b) માં દર્શાવ્યા અનુસાર ચુંબકને ગૂંચળાથી નજીક અને દૂર જતાં વિદ્યુતપ્રવાહ અનુક્રમે વિષમધડી અને સમઘી મળે તો ચુંબકના અને ગૂંચળાના કુવો સજાતીય થાય અને અપાકર્ષણ બળ વિરુદ્ધ તેમને નજીક લાવવા કે દૂર લઈ જવા કંઈક કાર્ય કરવું પડે અને આ કાર્યના લીધે પ્રેરિત વિધુતપ્રવાહ મળે અને આ વિદ્યુતપ્રવાહના લીધે જૂલ ઉષ્મા (I²Rt) વ્યય પામે આ ધારણા ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ સાથે સુસંગત છે.

પ્રશ્ન 11.
ચુંબકીય’ ફોઝમાં ફોગને લંબરૂપે U આકારના વાહકની બે ભુજાઓ પર ગતિ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતા ગતિકીય emf માટેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
જો કોઈ ગતિને કારણે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરવાથી emf ઉત્પન થાય તો, તેને ગતિકીય emf કહે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર U આકારના વાહક તારને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B}\) માં એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી તેનાથી બનતું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રહે. જો બે સમાંતર બાજુઓ પર સરકી શકે તેવો સળિયો PQ રાખીએ કે જેથી આ રચના લંબચોરસ PQRS બને. જો સળિયા PQ ને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અચળ વેગથી ડાબી બાજુ તરફ ગતિ કરાવવામાં આવે ત્યારે, ધારો કે, ઘર્ષણને કારણે ઊર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.

આ PQRS ઍક બંધ પરિપથ બનાવે છે જે PQ ની ગતિ સાથે બદલાતું ક્ષેત્રફળ અંતરે છે, આ ગોઠવણના સમતલને લંબરૂપ એવા એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\vec{B}\) માં મૂકવામાં આવેલ છે. જો લંબાઈ RQ = x અને Rs = l હોય, તો ગાળા PQRS દ્વારા ઘેરાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ, ક્ષેત્રફળ A = lx અને θ = 0°
Φ_B = Blx ………………………… (1)
[∵Φ_B = ABcosθ)

સમય સાથે x બદલાતું હોવાથી ફ્લક્સ Φ_B ના ફેરફારનો દર emf પ્રેરિત કરશે, જેને નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે.
સમીકરન્ન (1) નું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
ε = \(\frac{-d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t}=-\frac{d}{d t}(\mathrm{~B} l x)\) [∵ સમીકરણ (1) પરથી]
= -Bl\(\frac{d x}{d t}\) જિયાં B, l અચળ]
દ = Blv જયાં \(\frac{d x}{d t}\) = – v સળિયાની ઝડપ છે

અને સમય સાથે x ધટે છે તેથી v ઋણ લીધા છે.
પ્રેરિત Blv ને ગતિકીય emf કહેવામાં આવે છે.
આમ, ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વાહક સળિયાને યોગ્ય રીતે ગતિ કરાવીને ઉદ્ભવતાં પ્રેરિત emf ને ગતિકીય emf કહે છે.
આમ, આપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રને બદલ્યા વગર વાહકને ખસેડીને અર્થાતુ પરિપથ દ્વારા ઘેરાયેલા ચુંબકીય લક્સને બદલીને પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન કરી શકીએ છીએ.

પ્રશ્ન 12.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે મુક્ત વિધુતભાર પર લાગતાં લોરેઝ બળ પરથી ગતિકીય emf સમજાવો.
ઉત્તર:
જયારે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લબંરૂપે U આકારનો વાહક તાર મૂકેલો હોય તેમ તેની ખુલ્લી સમાંતર બાજુ પર વાહક સળિયો PQ સરકી શકે તેમ મૂકેલો છે.

જ્યારે સળિયો વેગ v થી જમન્ની તરફ ગતિ કરે છે ત્યારે તેમાં રહેલા વિદ્યુતભારો પણ v વેગથી જમણી તરફ ગતિ કરે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) માં \(\vec{v}\) છે વૈગથી ગતિ કરતાં વિદ્યુતભાર પર લાગતું લોરેન્સ બળ
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q[\overrightarrow{\mathrm{E}}+(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})]\)
અહીં \(\overrightarrow{\mathrm{E}}\) = 0 તેથી \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) લાગે છે.
∴F = Bqvsin90° = Bqv ……………………………………… (1)

સળિયામાંના વિદ્યુતભારો પૈકી ઇલેક્ટ્રૉન જ ગતિ કરે છે અને તેના પર લાગતાં લોરેન્જ બળ F = Bqv ના લીધે Q થી P તરફ ઈલેક્ટ્રૉન ગતિ કરે છે અને P છેડે એકઠાં થાય છે. તેથી, તે ઋણ ધ્રુવ તરીકે અને Q છેડા આગળથી ઇલેક્ટ્રૉન ગુમાવીને તે છેડો ધન ધ્રુવ તરીકે વર્તે છે.

વિધુતભાર (ઇલેક્ટ્રૉનને) Q થી P સુધી સ્થાનાંતર કરાવવા માટે થતું કાર્ય W = Fl = Bqul [ ∵ પરિણામ (1) પરથી]
હવે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ થતું કાર્ય,
દ= \(\frac{\mathrm{W}}{q}=\frac{\mathrm{Bq} v l}{q}\)
∴ દ = Bvl જે ગતિકીય emf નું સૂત્ર છે.

પ્રશ્ન 13.
સ્થિર વાહકને સમય સાથે બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગોઠવતાં તેમાં emf ઉદ્ભવે છે. આ હકીકત પરથી શું તારણ મળી શકે ? પ્રેરિત વિધુતક્ષેત્ર વિશે માહિતી આપો.
ઉત્તર:
ફેરેએ અસંખ્ય પ્રયોગો દ્વારા એ હકીકત ચકાસી હતી કે, જયારે વાહક સ્થિર હોય અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે બદલાતો હોય ત્યારે પણ તેમાં emf પ્રરિત થાય છે. વાહકમાંના વિદ્યુતભારો પર લાગતું કુલ બળ (લોરેન્ડ બળ),
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q[\overrightarrow{\mathrm{E}}+\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})] \)
વાહક સ્થિર હોવાથી વિદ્યુતભારનો વેગ v = 0
∴ બળ \(\overrightarrow{\mathrm{F}}, q \overrightarrow{\mathrm{E}}\) વડે મળે છે.

આથી, પ્રેરિત emf અથવા પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહના અસ્તિત્વને સમજવા માટે સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે તેવું ધારવું પડે.
સ્થિર વિદ્યુતભારથી ઉદ્ભવતાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સમય સાથે બદલાતા જતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા ઉદ્દભવતાં વિદ્યુતક્ષેત્રને અલગ અલગ ગુન્નધર્મો છે.
ગતિમાન વિધુતભાર (વિદ્યુતપ્રવાહ), સ્થિર ચુંબક પર બળ, ટોર્ક લગાડી શકે છે.
આનાથી ઊલટું, ગતિમાન ગજિયો ચુંબક (બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર) સ્થિર વિદ્યુતભાર પર બળ લગાડી શકે છે, ફેરેડેની શોધિનું વિદ્યુત અને ચુંબકત્વ સંબંધિત મૂળભૂત મહત્ત્વ છે,

પ્રશ્ન 14.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લંબરૂપે ગતિ કરતાં વાહકમાં બાણ બળ વડે અપાતો પાવર અને જૂલ ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામતો પાવર સમાન છે, તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:
ખાકૃતિમાં દાવ્યા પ્રમાણે એક લંબચોરસ (PQRS) વાહક લુપ લો કે જેમાં સળિયો PQ જમણી બાજુ સરકી શકે છે.

ધારો કે, PQ સળિયાનો (લંબચોરસ ગૂંચળાનોઅવરોધ છે. U આકારની ફ્રેમની બાજુઓ SR, OR અને SP ના અવરોધ rની તુલનામાં અવગણ્ય છે,
∴ ઓહમના નિયમ પરથી પરિપથમાં પ્રવાહ,
I = \(\frac{\varepsilon}{r}=\frac{\mathrm{B} v l}{r}\) [∵ PQ ને ખસેડવા છતાં r બદલાતો નથી]
ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે રાખેલા PQ સળિયાની લંબાઈ l છે જેના પર લાગતું બળ \(\mathrm{I}(\vec{l} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) બહારની તરફ સળિયાના વેગથી વિરુદ્ધ દિશામાં લાગે છે.
આ બળનું મૂલ્ય F = BIlsin90° = BIl
∴ F = \(\mathrm{B}\left(\frac{\mathrm{B} v l}{r}\right) \cdot l\)
∴F = \(\frac{\mathrm{B}^2 v l^2}{r}\)
આ બળ સળિયાની દિશામાં વિદ્યુતભારોના ડ્રિફ્ટ વેગ અને તેના પર લાગતાં લોરેનઝ બળના કારણે છે.
લેના નિયમ અનુસાર PQ સળિયા પર, સળિયાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લાગે. તેથી સળિયાને અચળ વેગથી ગતિ . કરાવવા સળિયાને આટેલાં જ અચળ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખેંચવો જોઈએ.
બાહ્ય બળ વડે અપાતા પાવરની તારવણી : બાજુ PQ ને અચળ ઝડપ v સાથે ગતિ ચાલુ રાખવા માટે જરૂરી પાવર,
P = Fv
= \(\frac{\mathrm{B}^2 v l^2}{r} \cdot v \)
P= \(\frac{\mathrm{B}^2 v^2 l^2}{r}\) ……………………… (1)
જલ ઉમરૂપે વ્યય પામતો પાવર : લૂપમાં જૂલ ઉસ્મારૂપે | ખર્ચાતો પાવર,
P_J = I² x r
= \(\left(\frac{\mathrm{B} v l}{r}\right)^2 r\)
= \(\frac{\mathrm{B}^2 v^2 l^2}{r}\) ………………………………. (2)
આમ, સમીકરણ (1) અને (2) પરથી P_J = P છે. એટલે ગતિ કરતી બાજુ યાંત્રિકઊર્જાનું પ્રથમ વિદ્યુતઊર્જા (પ્રેરિત emf) અને ત્યારબાદ કુમાઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે અને ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું પાલન થાય છે.

પ્રશ્ન 15.
પસ્પિચમાંથી વક્ત પામતા વિધુતભાર અને ચુંબકીય લક્સમાં ફેરફાર વચ્ચેનો સંબંધ મેળવો.
અથવા
બતાવો કે, પ્રેરિત વિધુતભાર એ ચુંબકીય ક્લક્સના ફેરફારના દર પર આધારિત નથી.
ઉત્તર:
ફેરેડેના નિયમ પરથી પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય,
\(|\varepsilon|=\frac{\Delta \Phi_{\mathrm{B}}}{\Delta t}\)
પણ |ε| = Ir
જયાં r એ બંધ લૂપનો કુલ અવરોધ છે.
∴ Ir = \(\frac{\Delta \Phi_{\mathrm{B}}}{\Delta t}\) ……………………… (1)

પણ I = \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta t}\)
∴ \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta t} \cdot r=\frac{\Delta \Phi_{\mathrm{B}}}{\Delta t} \) પરથી,
∴ ΔQ = \(\frac{\Delta \Phi_{\mathrm{B}}}{r}\) એકમ \( \frac{\mathrm{Wb}}{\Omega}\)
∴ΔQ ∝ ΔΦ_B અને ΔQ ∝ \(\frac{1}{r}\)
એટલે કે, પ્રેરિત વિધુતભાર, ચુંબકીય લક્સના કુલ ફેરફાર પર આધાર રાખે છે ઉપરાંત પરિપથના કુલ અવરોધ પર પણ આધાર રાખે છે,

પ્રશ્ન 16.
ઘૂમરી પ્રવાહો શું છે ? અને તેનું અસ્તિત્વ દર્શાવતો પ્રયોગ સમજાવો અને તેની અસર ઘટાડવાના ઉપાયો વર્ણવો.
ઉત્તર:
જયારે વાહકની મોટી શીટ (તકતી) અથવા બ્લોકને બદલાતાં ચુંબકીય ક્ષક્સમાં મૂકવામાં આવે છે ત્યારે તેમાં પણ પ્રેરિત પ્રવાહો ઉત્પન્ન થાય છે. જો કે, તેમના વહનની પૅટર્ન ભિાત, પ્રકાર) પાણીમાં ઘૂમરતાં વમળો જેવી હોય છે, આ અસર ભૌતિકશાસ્ત્રી ફૂકો (1819 – 1068) દ્વારા શોધવામાં આવી હતી અને આ પ્રવાહોને ઘૂમરી પ્રવાહ અથવા ફૂકો પ્રવાહ અથવા એડી પ્રવાહ પણ કહેવામાં આવે છે.
એડી પ્રવાહની વ્યાખ્યા : “જ્યારે ધાતુના દ્રવ્યમાંથી પસાર થતાં ચુંબકીય ફલક્સમાં ફેરફાર થાય ત્યારે પ્રેરિત થતાં પ્રવાહને એડી પ્રવાહ (ધૂમરી પ્રવાહ) કહે છે.”

આકૃતિ (a) માં બતાવ્યા પ્રમાણે એક પ્રબળ ચુંબકના બે કુવો વચ્ચે તાંબાની પ્લેટને એક સાદા લોલકની જેમ દોલન કરવા દેવામાં આવે છે. ત્યારે એવું જોવા મળ્યું કે દોલન ગતિનું અવમંદન થાય છે અને થોડાક સમયમાં પ્લેટ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થિર થઈ જાય છે. આ ઘટનાને વિદ્યુત ચુંબકીય અવમંદન કહે છે. કારણ કે, જયારે પ્લેટ ચુંબકીય ધ્રુવો વચ્ચેના વિસ્તારમાં પ્રવેશ કરે છે અને બહાર જાય છે ત્યારે આ પ્લેટ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ બદલાતું રહે છે. આ લક્સનો ફેરફાર પ્લેટમાં ઘૂમરી પ્રવાહ પ્રેરિત કરે છે જે દોલ કની ગતિનો વિરોધ કરે છે. જ્યારે પ્લેટ, ધ્રુવો વચ્ચેના વિસ્તારમાં પ્રવેશે છે ત્યારે અને જયારે તે આ વિસ્તારમાંથી બહાર જાય છે ત્યારે ઘૂમરી પ્રવાહોની દિશા વિરુદ્ધ હોય છે.

એડી પ્રવાહની અસર ઘટાડવાની પ્રધમ રીત : આકૃતિ (b) માં બતાવ્યા પ્રમાણે જે કૉપર પ્લેટમાં લંબચોરસ ખાંચા પાડવામાં આવે તો ઘૂમરી પ્રવાહોના વહન માટે ઉપલબ્ધ વિસ્તાર ઓછો થાય છે. આમ, છિદ્ર અથવા ખાંચા ધરાવતી લોલ કની પ્લેટ વિદ્યુતચુંબકીય અવમંદન ઘટાડે છે અને પ્લેટ વધુ મુક્તપણે લાંબા સમય સુધી દોલનો કરે છે.

નોંધો કે, પ્રેરિત પ્રવાહની ચુંબકીય ચાકમાત્રાઓ, (જે ગતિનો વિરોધ કરે છે. પ્રવાહો દ્વારા ઘેરાતા ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખે છે.
\(\overrightarrow{[\mathrm{m}}=\overrightarrow{\mathrm{IA}}]\)

એડી પ્રવાહની અસર ઘટાડવાની બીજી રીત : ઇલેક્ટ્રિક મોટર, ડાયનેમો અને ટ્રાન્સફોર્મર જેવાં અન્ય ઉપકરણોમાં ધાતુના ગર્ભ પર વાહક તારનું ગૂંચળું વીંટાળેલું હોય છે.
ધૂમરી પ્રવાહો અનિચ્છનીય છે કારણ કે, ઘૂમરી પ્રવાહથી ગર્ભ ગરમ થાય છે અને ઉષ્માના સ્વરૂપમાં વિદ્યુતઊર્જાનો વ્યય થાય છે.
ઘૂમરી પ્રવાહોની અસર ઘટાડવા તેમના ગર્ભને એક જ ટુકડાના બદલે લૅમિનેટેડ (આવરફ્લો)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,

આ આવરડ્યો વાર્નિશ (Lacquer) જેવા અવાહક પદાર્થથી અલગ પાડેલા હોય છે.
આ આવરણોનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર જ ગોઠવવું જોઈએ કે જેથી તેઓ ઘૂમરી પ્રવાહના પથો કાપી શકે.
આવી રચના ઘૂમરી પ્રવાહની તીવ્રતા ઘટાડે છે, વિદ્યુતઊર્જા \(\frac{\mathrm{I}^2 \mathrm{R} t}{\mathrm{~J}}\) અનુસાર વિદ્યુતપ્રવાહની તીવ્રતાના વર્ગ પર આધારિત છે. તેથી વિદ્યુત ઊર્જાનું ઉષ્મામાં વ્યય ઘટાડી શકાય છે.

પ્રશ્ન 17.
ઘૂમરી (ડી) પ્રવાહોના ઉપયોગો જણાવો.
ઉત્તર:
1. ટ્રેનમાં મૅગ્નેટિક બ્રેકિંગ : પ્રબળ (શક્તિશાળી) વિદ્યુતચુંબકી કેટલીક વિદ્યુત સંચાલિત ટ્રેનમાં પાટાઓની. ઉપર સ્થિત હોય છે. જયારે વિદ્યુતચુંબકો સક્રિય થાય છે, ત્યારે ટ્રેનમાં પ્રેરિત ઘૂમરી પ્રવાહ ટ્રેનની ગતિનો વિરોધ કરે છે. આમાં કોઈ યાંત્રિક જોડાણો ન હોવાથી બ્રેકિંગ અસર ઝટકારહિત છે.

2. વિધુતચું બકીય અવમંદન (Electromagnetic Damping) : કેટલાંક ગેલ્વેનોમીટરમાં બિનચું બકીય ધાતુની સામગ્રીમાંથી બનેલો સ્થિર ગર્ભ (કોર) હોય છે. જયારે ગૂંચળું દોલન કરે છે ત્યારે ગર્ભમાં ઉત્પન્ન થયૅલ ઘૂમરી પ્રવાહો ગતિનો વિરોધ કરે છે અને ગૂંચળાને ઝડપથી સ્થિર સ્થિતિમાં લાવે છે.

3. પ્રેરણ-ભઠ્ઠી (Induction Furnace) :ઇન્ડીન ફેસનો ઉપયોગ ઉચ્ચ તાપમાન ઉત્પન્ન કરી અને ધટેક ધાતુઓને પિગાળીને મિશ્રધાતુ તૈયાર કરવા માટે થાય છે. જે ધાતુઓને ઓગાળવાની છે તેની આસપાસ વીંટાળેલ ગૂંચળામાંથી ઉચ્ચ આવૃત્તિવાળો ઑલ્ટરનેટિંગ પ્રવાહ (AC) પસાર કરવામાં આવે છે. ધાતુઓમાં ઉત્પન્ન થતા ઘૂમરી પ્રવાહો તેને પિગાળી શકે તેટલા ઊંચા તાપમાનો ઉત્પન્ન કરે છે.

4. ઈલેક્ટ્રિક પાવર મીટર : ઇલેક્ટ્રિક પાવર મીટર (એનાલગ ટાઈપ) માં ચમકતી ધાતુની તકતી (ડિસ્ક) ઘૂમરી પ્રવાહોને કારણે ફરે છે, ગૂંચળામાં જયાવર્તી (sinusdidally) બદલાતાં પ્રવાહો દ્વારા ઉત્પન્ન ચુંબકીય ક્ષેત્રો દ્વારા તકતીમાં વિદ્યુતપ્રવાહો પ્રેરિત કરવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 18.
વિદ્યુતચુંબકીય અવમંદન. (Electromagnetic Damping)
ઉત્તર:

• ઍલ્યુમિનિયમ અને પીવીસીના બનેલા સમાન આંતરિક વ્યાસના બે પોલા પાતળા નળાકાર પાઈપ લો, રિટર્ટ સ્ટેન્ડસ પર ક્લેમ્પ વડે તેમને ઊભા રાખો.
• પાઈપના આંતરિક વ્યાસ કરતાં નાના વ્યાસનું નળાકાર ચુંબક લો અને તેને દરેક પાઈપમાં એવી રીતે પડેવા દો કે ચુંબક તેના પતન દરમિયાન પાઈપોની બાજુઓને ન સ્પર્શે.
• તમે જોશો કે પીવીસી પાઈપમાં છોડવામાં આવેલું ચુંબક પાઈપમાંથી બહાર આવવા માટેનો તેટલો જ સમય લે છે. જેટલો પાઈપ વગર તે જ ઊંચાઈથી છોડવામાં આવે ત્યારે તે લેશે. જો કે, તમે જોશો કે ઍલ્યુમિનિયમ પાઈપના કિસ્સામાં ચુંબક વધારે સમય લે છે. આમ, શા માટે છે.
• ઘૂમરી પ્રવાહોને કારણે છે કે જે એલ્યુમિનિયમ પાઈપમાં પૈદા થાય છે. જે ચુંબકીય ફ્લક્સ ફેરફારનો એટલે કે ચુંબકની ગતિનો વિરોધ ધૂમરી પ્રવાહને કારણે ગતિરોધક બળ ચુંબકની ગતિને અવરોધે છે.
• આવી ઘટનાઓને વિદ્યુતચું બકીય અવમંદન (ઈલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ડેમ્પિગ) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, નોંધો કે, પીવીસી પાઈપમાં ઘૂમરી પ્રવાહો પૈદા થતા નથી કારણ કે તેનું દ્રવ્ય અવાહક છે જયારે ઍલ્યુમિનિયમ વાહક છે,

પ્રશ્ન 19.
પ્રેક કોને કહે છે ? તેના મૂલ્યનો આધાર કઈ બાબત પર છે ? અને તે સદિશ છે કે અદિશ ? તથા તેનું પારિમાણિક સૂત્ર લખો અને SI એકમ જણાવો.
ઉત્તર:
નજીક રાખેલા બે ગૂંચળાઓ પૈકી કોઈ એક ગુંચળા સાથે સંળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર કરીને અથવા કોઈ એક જ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્લક્સમાં ફેરફાર કરીને વિધુતપ્રવાહ પ્રેરિત કરી શકાય છે. આ બંને કિસ્સામાં પ્રેરિત થતો પ્રવાહ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
∴ Φ_B ∝ I

જો ગૂંચળાનો આકાર સમય સાથે ન બદલાતો હોય તો
\(\frac{d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t} \propto \frac{d \mathrm{I}}{d t} \)
જે ગૂંચળાને N અય હોય અને દરેક ટ સાથે સમાન ચુંબકીય ફ્લક્સ સંકળાયેલ હોય તો,
∴ N આંટાવાળા ગૂંચળા માટે કુલ ફુલક્સ NΦ_B ∝ I
∴ આ સંબંધમાં સપ્રમાણતાના અચળાંકને પ્રેરકત્વ કહે છે.

પ્રેરકત્વનો માપાર ગૂંચળાના આકાર અને દ્રવ્યની આંતરિક ગુણધર્મ પર જ હોય છે. (કેપેસિટન્સના જેવી)
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે પ્રેરકત્વ પ્લેટના ક્ષેત્રફળ, પ્લેટ વચ્ચેના અંતરે અને તેમની વચ્ચે રહેલા માધ્યમના પરાવિદ્યુત (ઇઇલેક્ટ્રિક) અચળાંક K પર આધારિત છે.

પ્રેરવ એ અદિશ રાશિ છે. તેનો SI એકમ હેન્રી (H) છે, જે જોસેફ હેન્રી નામના વૈજ્ઞાનિકના માન માં રાખવામાં આવ્યું છે, કારણ કે, વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણની શોધ તેણે કરી હતી જે ઇલૅન્ડમાં ફેરેડેની શોધથી સ્વતંત્ર હતું.
પ્રેરકત્વનું પારિભાષિક સૂત્ર : [M¹L²T^-2 A^-2]

પ્રેરકત્વના મુખ્ય બે પ્રકાર છે.

1. અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ અને
2. આત્મપ્રેરકત્વ

પ્રશ્ન 20.
એકબીજાની નજીક રાખેલા ગૂંચળા માટે પ્રેરિત emf નું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:

સાહુતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર ગૂંચળા C₂ માંથી વહેતા પ્રવાહમાં ફેરફાર કરવાથી ગૂંચળા C₁ માં પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન થશે.
જો C₁ ગૂંચળાના આંય N₁ હોય, તો તેની સાથે સંકળાયેલ લક્સ N₁Φ₁ હોય તો,
N₁Φ₁ ∝ I₂
∴ N₁Φ₁ =MI₂
બંને બાજુનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d\left(\mathrm{~N}_1 \Phi_1\right)}{d t}=\mathrm{M} \frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\)
પણ ફેરેડેના નિયમ પરથી,
-ε₁ = \(\mathrm{M} \frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\)
∴ ε₁ = – \(\mathrm{M} \frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\)
આમ, નજીકમાં રાખેલાં ગૂંચળા પૈકી કોઈ એકમાં વિદ્યુતપ્રવાહ બદલાય તો બીજા ગૂંચળામાં emf પ્રેરિત થાય છે. આ પ્રેરિત emf નું મૂલ્ય વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારના દરે અને બે ગૂંચળાના અન્યોન્ય પ્રેરકત્વના મૂલ્ય પર આધારિત છે.

પ્રશ્ન 21.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વની બે વ્યાખ્યા લખો. તે કઈ કઈ બાબતો પર આધારિત છે ?
ઉત્તર:
Φ₂ = M₂₁I₁ સમીકરણમાં જો I₁ = 1 એકમ લેવામાં આવે, તો Φ₂ = M₂₁ પરથી વ્યાખ્યા આ મુજબ અપાય.
વ્યાખ્યા : “એ ગૂંચળાઓના તંત્રમાંના એક ગૂંચળામાં વહેતા એકમ વિધુતપ્રવાહ દીઠ બીજી ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલા ફ્લક્સને તે બે ગૂંચળાઓના તંત્રનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ કહે છે.”
દ₂ = – M₂₁ \(\frac{d \mathrm{I}_1}{d t}\) “ માં જો \(\frac{d \mathrm{I}_1}{d t} \) = 1 એ કમ લઈએ તો
દ₂ = – M₂₁ઝ થાય તેના પરથી વ્યાખ્યા આપતાં,

વ્યાખ્યા : “બે ગૂંચળાઓના તંત્રમાંના એક ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારનો દર એકમ હોય, તો તે સ્થિતિમાં બીજા ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતા પ્રેરિત emf ને બે ગૂંચળાઓના તંત્રનું અન્યોન્ય રકત્વ કહેવાય છે.” અન્યોન્ય પ્રે૨કત્વને અન્યોન્ય પ્રેરણ અચળાંક તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનો અન્યોન્ય પ્રેરણ અચળાંક તરીક પણા ઓળખવામાં આવે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરક્ત્વનો એકમ Wb/A અથવા Vs/A અથવા હેઝી અથવા as છે, અન્યોન્ય પ્રેરકત્વનું પરિમાણિક સૂત્ર : M¹L²T^-2A^-2 (માર્ચ – 2020)

અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ નીચેની બાબતો પર આધારિત છે.

1. ગૂંચળાઓના આકાર
2. તેમના પરિમાણ
3. તેમના આંટાઓની સંખ્યા
4. ગૂંચળાઓ વચ્ચેના માધ્યમના ચુંબકીય ગુણધર્મ
5. તેમના સાનિયન
6. તેમની સાપેક્ષ ગોઠવણ. (તેમની વચ્ચેના અંતર)

પ્રશ્ન 22.
લાંબા સમઅક્ષીય સોલેનોઇડ માટે અન્યોન્ય પ્રેરકવ સમજાવી સૂગ મેળવો.
ઉત્તર:
સમાન લંબાઈ l ના બે લાંબા સમઅક્ષીય સોલેનોઇડ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબના છે. અંદરના સોલેનોઇડ S₁ ની ત્રિજયા r₁ અને એકમ લંબાઈ દીઠ આટાની સંખ્યા n₁ તથા બાહ્ય સૌલેનોઇડ S₂ ની ત્રિજયા r₂ અને એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા n₂ છે.

S₁ સોલેનોઇડના કુલ આંટા N₁ = n₁l અને
S₂ સૌલેનોઇડના કુલ આંટા N₂ = n₂l થાય.
જયારે S₂ માં વિદ્યુતપ્રવાહ I₂ પસાર થાય ત્યારે તેની અંદર સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર B₂ = μ₀n₂I₂ ઉત્પન્ન થાય. તેથી, S₁ સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફુલન્સ N₁Φ₁
હવે S₁ સોલેનોઇડ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય લક્સ S₂ સોલેનોઇડમાંથી વહેતા પ્રવાહના સમપ્રમાણમાં છે.
∴ N₁Φ₁ ∝ I₂
∴N₁Φ₁ = M₁₂I₂

જ્યા M₁₂ એ ચલનનો અચળાંક છે અને તેને S₂ ની સાપેક્ષે S₁ નું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ કહે છે.
પણ N₁Φ₁ = N₁A₁B₂
N₁Φ₁ = n₁l × πr²₁ × μ₀n₂I₂
[∵ N₁ = n₁l, A₁ = πr²₁ B₂ = μ₀n₂I₂]
∴ M₁₂ = \(\frac{\mathrm{N}_1 \Phi_1}{\mathrm{I}_2}\)
= \( \frac{n_1 l \times \pi r_1^2 \times \mu_0 n_2 \mathrm{I}_2}{\mathrm{I}_2}\)
∴ M₁₂ = μ₀n₁n₂πr₁²l ………………… (1)

આ ગન્નતરી કરવામાં સૉલેનોઇડના છેડાની અસર અવગણી છે અને તેની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન ધારેલું છે.
હવે સોલેનોઇડ S₁ માંથી I₁ પ્રવાહ પસાર થાય તો તેની અંદરના વિસ્તારમાં ઉદ્દભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર B₁ = μ₀n₁I₁અને S₂ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ,
N₂Φ₂ = N₂A₁B₁
= n₂l × πr₁² × μ₀n₁I₁ [∵ A₂ ના બદલે A₁ લેવાં પડે]
= μ₀n₁n₂πr₁²lI₁ અને
N₂Φ₂∝ I₁
∴ N₂Φ₂ = M₂₁I₁

જયાં M₂₁ ને S₁ ની સાપેક્ષે S₂ નું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ કહે છે.
S₁ માં ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર S₂ ના મર્યાદિત વિસ્તાર સાથે સંકળાય છે તેથી A₂ ના બદલે A₁ લીધા છે.
∴ M₂₁ = \(\frac{\mathrm{N}_2 \Phi_2}{\mathrm{I}_1}\)
= \(\frac{n_2 l \times \pi r_1^2 \times \mu_0 n_1 \mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_1}\)
∴ M₂₁ = μ₀n₁n₂πr₁² ……………….. (2)

અને જો સૉલેનોઇડની લંબાઈ l >> r₂ તો તેવાં સોલેનોઇડને લાંબા સૉલેનોઇડ કહે છે.
આમ, પરિણામ (1) અને (2) પરથી લાંબા સોલેનોઇડ માટે M₁₂ = M₂₁ = M લઈ શકાય આ સંબંધને પારસ્પરિકતા પ્રમેય (Reciprocity Theorem) કહે છે.
જો સોલેનોઇડના માધ્યમ હવાના બદલે જ μ_r સાપેક્ષ પરમિએ બિલિટીવાળું માધ્યમ હોય તો અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ M = μ_rμ₀n₁n₂πr₁²l સૂત્રથી મળે જયાં μ = μ₀μ_r
જયારે બહારના સોલેનોઇડ કરતાં અંદરનું સૉલેનોઇડ ખૂબ ટૂંકું હોય ત્યારે N₁Φ₁, ગણી શકાય, પણ N₂Φ₂ ગણવું મુશ્કેલ હોય ત્યારે આ Reciprocity Theorem ખૂબ જ ઉપયોગી થાય છે.

પ્રશ્ન 23.
આત્મપ્રેરણ સમજાવો. ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતા આત્મપ્રેરિત emf નું સૂત્ર મેળવો. (માર્ચ – 2020)
ઉત્તર:
“કોઈ એકલ ગૂંચળામાં પ્રવાહમાં થતાં ફેરફારના કારણે તે જ ગૂંચળામાં લક્સના ફેરફારથી આ એકલ ગૂંચળામાં પ્રેરિત થતા emf ની ઘટનાને આત્મપ્રેરણ કહે છે.”
અથવા
કોઈ એક અલગ કરેલાં ગૂંચળામાં, તેમાંથી જ વહેતા પ્રવાહમાં ફેરફાર કરીને થતા ફલક્સના ફેરફારથી તે ગૂંચળામાં પ્રેરિત થતા emf ની ઘટનાને આત્મપ્રેરણ કહે છે,

N આંટાવાળા ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ક્લક્સ એ ગૂંચળામાંના વિદ્યુતપ્રવાહના સમપ્રમાણ હોય છે અને તેને NΦ_B = LI ………………. (1)
જયાં, સમપ્રમાણ અચળાંક L ને ગૂંચળાનું આત્મપ્રેરકત્વ કહેવામાં આવે છે, તેને ગૂંચળાનો આત્મપ્રેરણ અચળાંક પન્ન કહેવાય છે. જયારે વિદ્યુતપ્રવાહ બદલાય છે ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ક્લક્સ પણ બદલાય છે તેથી ફેરેડેના નિયમ અનુસાર ગૂંચળામાં emf પ્રેરિત થાય છે. સમીકરણ (1) નો ઉપયોગ કરીને, પ્રેરિત emf ને,
દ = \(-\frac{d\left(\mathrm{N \Phi}_{\mathrm{B}}\right)}{d t}\)
દ= – \(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\) ………………………… (2)
આમ, આત્મપ્રેરિત emf ગૂંચળામાં વિદ્યુતપ્રવાહના કોઈ પન્ન ફેરફાર વિધારો અથવા ઘટાડો)નો હંમેશાં વિરોધ કરે છે. તેને Back ermf પણ કહે છે. તેથી દ અને Iની કળાનો તફાવત
π rad છે.

પ્રશ્ન 24.
L = \(\frac{\mathrm{N} \Phi}{\mathrm{I}}\) અને દ =-\(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\) ની મદદથી આત્મપ્રેરકત્વની વ્યાખ્યા તથા એકમ લખો.
ઉત્તર:
L = \(\frac{\mathrm{N} \Phi}{\mathrm{I}}\) પરથી જો I = 1A તો L = NΦ થાય.
“ગૂંચળામાં એકમ પ્રવાહ દીઠ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સને ગૂંચળાનું આત્મપ્રેરકત્વ કહે છે.”
દ =-\(\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\) પરથી જે લી \(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\) = I
એકમ લઈએ તો દ =-L થાય.
“પરિપથમાં ગૂંચળામાં) વિધુતપ્રવાહના ફેરફારના એકમ દર દીઠ ઉત્પન થતા આત્મપ્રેરિત emf ને પરિપથનું (ગૂંચળાનું આત્મપ્રેરકત્વ કહે છે.”
આત્મપ્રેરકત્વનો એકમ Vs/A અથવા H અથવા 2િs છે અથવા WbA, પારિમાણિક સૂત્ર : [M¹L²T^-2A^-2].

પ્રશ્ન 25.
લાંબા સોલેનોઇડના આત્મપ્રેરકવાનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ A, લંબાઈ l અને એકમ લંબાઈ દીઠ n આંટા ધરાવતા એક લાંબા સોલેનોઈડનો વિચાર કરો.
આ સોલેનોઈડમાં વહેતા પ્રવાહ I ના કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર, B = μ_onI
આ સોલેનોઇડ સાથે જોડાયેલા કુલ ફુલક્સ,
NΦ_B = NBA
NΦ_B = (nl) (μ_onI) (A) (∵ n = \(\frac{\mathrm{N}}{l}\))
= μ_on²AlI

જયાં, nl એ આંટાઓની કુલ સંખ્યા છે.
આમ, આત્મપ્રેરકત્વ,
L = \(\frac{\mathrm{N} \Phi_{\mathrm{B}}}{\mathrm{I}} \)
L = μ_on²Al ………………………. (1)
પણ n = \(\frac{\mathrm{N}}{l}\) મૂકતાં
L = \(\frac{\mu_0 \mathrm{~N}^2 \mathrm{~A}}{l}\) મળે.
જો આપણે સોલેનોઇડની અંદર સાપેક્ષ પરમિએબિલિટી, μ_r, વાળું દ્રવ્ય ભરીએ
L’ = μn²Al [∵ μ = μ_rμ₀]
L = μ_rμ₀n²Al અથવા L’ = \(\frac{\mu_r \mu_0 \mathrm{~N}^2 \mathrm{~A}}{l}\) ………………………… (2)
∴ L’ = μ_rL
આમ, ગૂંચળાનું આત્મરકત્વ તેની ભૂમિતિ પર અને માધ્યમની પરમિએબિલિટી પર આધારિત છે.

પ્રશ્ન 26.
આત્મપેકત્વનો એકમ જણાવી તેના એકમની વ્યાખ્યા આપો તથા આત્મપ્રેફત્વનો આધાર કઈ-કઈ બાબતો પર છે તે જણાવો.
ઉત્તર:
આત્મરિકત્વ (L) નો SI એકમ henry છે. તેની વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે અપાય.
હેઝી (વ્યાખ્યા) : “આપેલ પરિપથમાં વિદ્યુતપ્રવાહના ફેરફારનો દર \(\left(\frac{d \mathrm{I}}{d t}\right)\) = 1 As^-1 હોય અને ઉત્પન થતું આત્મપ્રેરિત emf દ =1V હોય, તો તે પરિપથનું આત્મપ્રેરકત્વ 1H કહેવાય છે.”
આત્મરકત્વ L એ એકમપ્રવાહ દીઠ ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ લક્સ દેશવિ છે, જે નીચેની બાબતો પર આધારિત છે :

1. ગૂંચળાના પરિમાણ (Size)
2. ગૂંચળાના આકાર અને આંટાઓની સંખ્યા (N)
3. ગુંચળાના સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષક્સ જે માધ્યમમાં પ્રવર્તતું હોય તે માધ્યમ પર.

સોલેનોઇડનું આત્મપ્રેરકત્વ :

• સોલેનોઇડની લંબાઈના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
• રાખીએ તો તેનું આત્મપ્રેરકત્વ વધે છે.
• સોલેનોઈડના આંટાની સંખ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે.
• સોલેનોઈડની અંદર હવાના બદલે કોઈ ચુંબકીય દ્રવ્ય રાખીએ તો તેનું આત્મપ્રેરકત્વ વધે છે.

પ્રશ્ન 27.
ઇન્ડક્ટસ્તી વ્યાખ્યા આપો તથા ગૂંચળા (ઇન્ડક્ટર) માટે
U = \(\frac{1}{2}\) LI² સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ઇન્ડક્ટર : પરિપથનો જે ઘટક આત્મપ્રેરકત્વનો ગુણધર્મ ધરાવે છે તેને ઇન્ડક્ટર કહે છે.
સંજ્ઞા :
આત્મપ્રેરિત emf ને Back emf (પ્રતિ emf) તરીકે પન્ન ઓળખવામાં આવે છે, કારણ કે તે પરિપથમાં પ્રવાહમાં થતાં કોઈ પન્ન ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
ભૌતિક રીતે, આત્મપ્રેરકત્વ એ જડત્વની ભૂમિકા ભજવે છે. તે યંત્રશાસ્ત્રમાંના દ્રવ્યમાનને સમતુલ્ય છે. તેથી પ્રવાહ પ્રસ્થાપિત કરવા માટે બેક emf (ε) વિરુદ્ધ કાર્ય કરવાની જરૂર પડે છે. આમ કરવામાં આવેલ કાર્ય એ ચુંબકીય સ્થિતિઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. કોઈ પણ ક્ષણે પરિપથમાં પ્રવાહ I માટે, કાર્ય થવાનો દર છે,
\(\frac{d \mathrm{~W}}{d t}=|\varepsilon| \mathrm{I}\)

જો આપણે અવરોધકમાં થતાં વયની અવગન્નના કરીએ અને માત્ર પ્રેરણની (ઈન્ડક્ટિવ અસરને ધ્યાનમાં લઈએ, તો સમીકરન્ન દ = -L\(\frac{d \mathrm{I}}{d t} \) નો ઉપયોગ કરીને,
\( \frac{d \mathrm{~W}}{d t}=\mathrm{LI} \frac{d \mathrm{I}}{d t}\)
⇒ dW = LIdI

આ પ્રવાહને પ્રસ્થાપિત કરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્યનો કુલ જથ્થો,
W = \(\int d \mathrm{~W}=\int_0^1 \mathrm{LI} d l=\mathrm{L}\left[\frac{\mathrm{I}^2}{2}\right]_0^{\mathrm{I}} \)
∴ W = \(\frac{\mathrm{L}\left[\mathrm{I}^2\right]}{2}\)
∴ W = \(\frac{1}{2}\) LI²
આમ, પ્રવાહ I પ્રસ્થાપિત કરવા માટે જરૂરી ઊર્જા,
U = \(\frac{1}{2}\) LI²

આ સૂત્ર આપણને m દ્રવ્યમાન ધરાવતા કણાની યાંત્રિક) ગતિઊર્જા માટે mv²/2 ની યાદ અપાવે છે અને દર્શાવે છે કે L એ m ને સમતુલ્ય છે (એટલે કે, L એ વિદ્યુત જડત્વ છે અને પરિપથમાં પ્રવાહની વૃદ્ધિ (વધારા) અને શયનો (ધટાડાનો) વિરોધ કરે છે. આથી, તેને Back emf (પ્રતિ emf) પણ કહે છે.

પ્રશ્ન 28.
એકબીજાની નજીક રહેલ્લા બે ગૂંચળાયોમાં કોઈ પણ સમયે વહેતા પ્રવાહોના કારણે મળતું emf મેળવો.
ઉત્તર:
નજીક રહેલા બે ગૂંચળાઓમાં કોઈ સમયે જુદો જુદો પ્રવાહ પસાર કરવામાં આવે તો એક વચળી સાથે સંકળાયેલ ક્લક્સ સ્વતંત્ર રીતે અસ્તિત્વ ધરાવતા બે લક્સના સરવાળા જેટલું હશે,
∴ N₁Φ₁ = M₁₁I₁+M₁₂I₂ ………………… (1)
જયાં M₁₁ = ગૂંચળામાંથી પસાર થતાં પ્રવાહને કારણે પોતાની સાથે સંકળાયેલ પ્રેરકત્વ છે.
સમીકરણ (1) નું સમય t ની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
\(\mathrm{N}_1 \frac{d \Phi_1}{d t}=\mathrm{M}_{11} \frac{d \mathrm{I}_1}{d t}+\mathrm{M}_{12} \frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\)

ફેરેડેના નિયમ પરથી,
-ε₁ = \(\mathrm{M}_{11} \frac{d \mathrm{I}_1}{d t}+\mathrm{M}_{12} \frac{d \mathrm{I}_2}{d t} \)
જયાં M₁₁ એ આત્મપ્રેરકત્વ છે તેને L₁ વડે લખતાં,
∴ε₁ = \(-\mathrm{L}_1 \frac{d \mathrm{I}_1}{d t}-\mathrm{M}_{12} \frac{d \mathrm{I}_2}{d t} \)

પ્રશ્ન 29.
પ્રેરિત emf ઉત્પન કરવાની જુદી જુદી રીતો જણાવો.
ઉત્તર:
પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય લક્સમાં ફેરફાર કરીને પ્રેરિત emf ઉત્પન્ન કરી શકાય છે.
નીચેનામાંથી કોઈ એક રીતે પરિપથ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફુલક્સમાં [Φ= ABcosθ] ફેરફાર કરી શકાય છે.

1. ચુંબકીય ક્ષેત્ર B માં ફેરફાર કરીને.
2. ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ A માં ફેરફાર કરીને.
3. \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેના સાપેક્ષ ખૂણા θ માં ફેરફાર કરીને.

પ્રશ્ન 30.
AC જનરેટરનો સિદ્ધાંત, રચના, આકૃતિ દોરીને પ્રેરિત enf નું સૂત્ર મેળવો.
(પેટા પ્રશ્ન :
(A) AC જનરેટરનો સિદ્ધાંત અને ચના જણાવો.
(B) AC જનરેટરની આકૃતિ દોરી, પ્રેરિત emf નું સૂગ મેળવો.)
ઉત્તર:
સિદ્ધાંત : જ્યારે \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) તે ક્ષેત્રફળ ધરાવતું વાહક તારનું ગૂંચળું ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં અમલ કરે છે ત્યારે ગૂંચળાનું અસરકારક ક્ષેત્રફળ Acosθ છે. જ્યાં θ એ \(\overrightarrow{\mathrm{A}}\) અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) વચ્ચેનો ખૂણો છે. ફલક્સમાં ફેરફાર કરવાની આ પદ્ધતિ એ AC જનરેટરનો સિદ્ધાંત છે. AC જનરેટર યાંત્રિકઊર્જાને વિદ્યુતઊર્જામાં રૂપાંતરિત કરે છે.

રચના : આકૃતિમાં AC જનરેટરની રૂપરેખા દર્શાવી છે.

• તેમાં શાફટ પર જડિત કરેલું એક વાહક ગૂંચળું (રીટર) છે તેને આર્મેચર કહે છે.
• આ ગૂંચળાની ભ્રમણાક્ષ ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને લંબ હોય છે.
• આ ગૂંચળા (આર્મેચર)ને યાંત્રિક રીતે બાહ્ય માધ્યમ દ્વારા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે ત્યારે ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય છે. તેથી ગૂંચળામાં emf પ્રેરિત થાય છે.
• આ ગૂંચળાના છેડાઓ બે સ્લીપ રિંગ અને બે બા સાથે જોડાયેલા હોય છે અને તેમને બાહ્ય પરિપથ સાથે જોડેલા હોય છે.
• જયારે આ ગૂંચળાને ω જેટલી અચળ કોણીય ઝડપથી ભ્રમણ કરાવવામાં આવે છે ત્યારે કોઈ પન્ન t ક્ષણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ [atex]\overrightarrow{\mathrm{B}}[/latex] અને ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ સદિશ [atex]\overrightarrow{\mathrm{A}}[/latex]
• વચ્ચેનો કોણ θ છે તથા θ = ωt છે. (t = 0 સમર્થ θ = 0° ધારેલ છે)
• પરિણામે ગૂંચળા સાથે કોઈ પણ સમયે સંકળાયેલ ફ્લેક્સ,
  Φ_B = BAcosθ = BAcosωt

સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરતાં,
\(\frac{d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t}=\mathrm{BA} \frac{d}{d t}[\cos \omega t]\)
જો ગૂંચળાને N આંટા હોય તો,
\(\mathrm{N} \frac{d \Phi_{\mathrm{B}}}{d t}=\mathrm{NBA} \frac{d}{d t}(\cos \omega t)\)
ફે3ના નિયમ પરથી ગૂંચળામાં પ્રેરિત emf,
ε = -NBAω(-sinωt)
∴ ε = NBAωsinωt …………………….. (1)
જયાં sinωt = 1 હોય તો દ = દ₀, જયાં દ₀ = મહત્તમ emf
∴ emf નું મહ્તમ મૂલ્ય દ₀ =NBAω
∴ε = દ₀sinωt …………………………… (2)

સમીકરણ (2) પરથી પ્રેરિત emf ની દિશા sin વિધેયના વિસ્તાર + 1 અને -1 ની વચ્ચે સમય સાથે બદલાય છે.
પ્રેરિત ermf ની દિશા આવર્ત રીતે બદલાતી હોવાથી પ્રેરિત પ્રવાહની દિશા પણ આવર્ત રીતે બદલાય છે તેથી આવા વિદ્યુતપ્રવાહને ઊલટસૂલટ (પ્રત્યાવર્તી-ઓલ્ટરનેટિંગ) પ્રવાહ કહે છે. ટૂંકમાં, તેને AC પ્રવાહ કહે છે.
ω = 2πv હોવાથી, જયાં v આવૃત્તિ છે,
દ = દ₀ sin(2πvt)
જે AC emf નું તાત્વલિક મૂલ્ય આપે છે.

પ્રશ્ન 31.
AC જનરેટમાં પ્રેરિત emf નું સૂત્ર લખો અને તે સમય સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તેની ચર્ચા કરો. અથવા AC જનરેટરમાં પ્રેરિત emf ની લાક્ષણિકતા જણાવો.
ઉત્તર:
AC જનરેટરમાં પ્રેરિત emf દ = દ_osinωt = દ₀ sin(2πvt)
AC જનરેટરમાં પ્રેરિત emf સમય સાથે આવર્ત રીતે + દ_o અને -દ_o વચ્ચે બદલાય છે.
આ માટે ચાર તબક્કા નીચે મુજબ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા છે.

તબક્કો 1: t = 0 સમયે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે તેથી θ = ωt = 0
∴ε = દ_osin0°=0

તબક્કો 2: t = \(\frac{\mathrm{T}}{4}\) સમયે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર છે તેથી θ = ωt = 90°
∴ε = દ_osin90°
દ = દ_o

તબક્કો 3 : t = \(\frac{\mathrm{T}}{2}\) સમયે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ છે તેથી θ = ωt = 180°
∴ε = દ_osin 180° = 0

તબક્કો 4: t = \(\frac{3 \mathrm{~T}}{4}\) સમયે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે પ્રતિસમાંતર છે તેથી θ = 270° = ωt
∴ε = દ_osin270°
= -દ_o [∵ sin270° = -1]

તબક્કો 5: t = T સમયે ગૂંચળાનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે લંબરૂપે ગોઠવાય છે, તેથી θ = ωt= 2π = 360°
∴ દ = દ_osin360° = 0 [∵ sin360° =0]

ગૂંચળાના બમશ્નો સતત ચાલુ રહેતાં ઉપરના દર્શાવેલ તબક્કાઓનું પુનરાવર્તન થયા કરે છે અને પ્રેરિત emf +દ_o અને – દ_o ની વચ્ચે બદલાયા કરે છે, જેને AC વોલ્ટેજ કહે છે.
આ પ્રેરિત emf વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબનો મળે છે જે sine વિષયના આલેખ જેવો છે.

પ્રશ્ન 32.
જનરેટરના પ્રકારો જણાવો. તે કેટલો પાવર ઉત્પન કરે છે ? AC પ્રવાહની આવૃત્તિ લખો.
ઉત્તર:
(1) વ્યાવસાયિક જનરેટરમાં આર્મેચરને જમા કરાવવા માટે જે યાંત્રિક ઊજ જરૂરી છે તે ઊંચાઈ પરથી પડી રહેલા પાણી દ્વારા (દા.ત., ડેમમાંથી) પૂરી પાડવામાં આવે છે, આને હાઇડ્રોઇલેક્ટ્રિક જનરેટર કહેવામાં આવે છે.

(2) વૈકલ્પિક રીતે, કોલસો અથવા અન્ય સ્ત્રોતોનો ઉપયોગ કરીને પાણી ગરમ કરી વરાળનું ઉત્પાદન કરવામાં આવે છે. ઊંચા દબાણમાં રહેલ પાણીની વરાળ આર્મેચરમાં પરિજામેલ ઉત્પન્ન કરે છે. જેને થર્મલ પાવર જનરેટર કહે છે.

(૩) કોલસાની જગ્યાએ જો અણુ (ન્યુકિલય૨) બળતત્તનો ઉપયોગ થાય તો આપણને ન્યુક્લિયર પાવર જનરેટર મળે છે.
આધુનિક સમયના જનરેટર 500 MW જેટલો ઊચ્ચ ઇલેક્ટ્રિક પાવર પૈદા કરે છે, એટલે કે તે કોઈ 100 W ના 50 લાખ બલ્બને પ્રકાશિત કરી શકે છે ! મોટા ભાગના જનરેટર્સમાં ગૂંચળા સ્થિર રહે છે અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટ્સને બમણ કરાવવામાં આવે છે. આ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ ભારતમાં 50 Hz ની છે, યુ.એસ.એ, જેવા અમુક દેશોમાં તે 60 Hz છે,

પ્રશ્ન 33.
પક્ષીઓની સ્થળાંતર પદ્ધતિ જીવવિજ્ઞાન (બાયોલૉજી)ના ક્ષેત્રમાંના અને ખરેખર તમામ વિજ્ઞાનના રહસ્યોમાનું એક છે. સમજાવો.
ઉત્તર:
પક્ષીઓની સ્થળાંતર પદ્ધતિ બાયોલૉજીના ક્ષેત્રમાંના અને ખરેખર તમામ વિજ્ઞાનના રહસ્યોમાંનું એક છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રત્યેક શિયાળામાં સાઇબીરિયાના પક્ષીઓ ભારતીય ઉપખંડના પાન્નીના સ્થળો માટે યોગ્ય રીતે ઉડાન ભરે છે. એવું સૂચવવામાં આવ્યું છે કે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ આ સ્થળાંતર પેટર્નનો સંકેત આપી શકે છે.

પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્ક્રાંતિ ઇતિહાસમાં હર-હંમેશ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, દિશા નિર્ધારિત કરવા માટે આ ક્ષેત્રનો ઉપયોગ થાયાવર પક્ષીઓને મહત્તમ લાભદાયી હોઈ શકે છે. જયાં સુધી આપણે જાણીએ છીએ ત્યાં સુધી પક્ષીઓમાં કોઈ લોહચુંબકીય પદાર્થ નથી. તેથી વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ એ દિશા નિર્ધારિત કરવાની એકમાત્ર યોગ્ય પદ્ધતિ જણાય છે. શ્રેષ્ઠ દ્રષ્ટિકોણને ધ્યાનમાં લો કે જયાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર B પશીનો વેગ છે અને એના શરીર રચનાના બે સંબંધિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર / જેટલા દૂર છે, જે ત્રણેય પરસ્પર લંબ છે. ગતિકીય emf માટેના સૂત્ર સમીકરણ દ = Blv પરથી,
ε = Blv
B = 4 x 10^-5T , l = 2 cm પહોળાઈ અને v= 10 m/ s લેવાથી, આપણને
દ = 4 x 10^-5 x 2 x 10^-2 x 10V
= 8 x 10^-6V
= 8µV મળે છે.

આ અત્યંત નાની સ્થિતિમાન તફાવત સૂચવે છે કે આપણી પૂર્વધારણા શાંકાસ્પદ માન્યતા ધરાવે છે, કેટલાંક પ્રકારની | માછલીઓ નાના સ્થિતિમાન તફાવતો શોધી શકે છે. જો કે, આ માછલીમાં ખાસ કોશિકાઓ ઓળખી કાઢવામાં આવી છે જે નાના વો હન્ટેજ તફાવતોને શોધે છે. પક્ષીઓમાં આવી કૌશિકાઓની ઓળખ થઈ શકી નથી. આમ, પક્ષીઓની સ્થળાંતર પેટર્ન રહસ્યમય છે

દર્પણના પરીક્ષાલક્ષી દાખલા

પ્રશ્ન 1.
એક વર્તુળાકાર વાહક લૂપને તેનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે રહે તેમ 0.04 T ના સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકેલ છે. જો કોઇક રીતે લૂપની ત્રિજ્યા 2 mm/s ના અચળ દરથી સંકોચાવા લાગે, તો લૂપની ત્રિજ્યા 2 cm થાય ત્યારે લૂપમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf શોધો.
ઉત્તર:
ધારો કે t સમયે લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ,
Φ = AB
[જ્યિાં A = πr² લૂપનું ક્ષેત્રફળ અને r = લૂપની ત્રિજ્યા B = ચુંબકીય ક્ષેત્ર]
∴Φ = πr²B
t સમયે લૂપમાં પ્રેરિત emf,
\(|\varepsilon|=\frac{d \Phi}{d t}\)
= \(\frac{d}{d t}\left[\pi r^2 \mathrm{~B}\right] \)
= 2πrB\(\frac{d r}{d t}\)

અહીં, B = 0.04 T,
r = 2 cm
= 2 × 10^-2cm
\(\frac{d r}{d t}=2 \frac{\mathrm{mm}}{\mathrm{s}}\)
= 2 × 10^-3 \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\)
= 2π × 2 × 10^-2 × 0.04 × 2 × 10^-3
∴ |ε| = 0.32 π × 10^-5 V
∴ |ε| = 0.32 π × 10^-6 V = 3.2 π µV

પ્રશ્ન 2.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે પુસ્તકના પાનમાં રહેલા એક ઊર્ધ્વ તારમાંથી વિધુતપ્રવાહ I પસાર થાય છે. એક સુવાહક રિંગ પુસ્તકના પાનમાં રહી તાર તરફ \(\vec{v} \) વેગથી ગતિ કરે છે, તો રિંગ જ્યારે તારથી r જેટલા લંબઅંતરે હોય, ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું emf શોધો. રિંગની ત્રિજ્યા a છે. a << r.

ઉત્તર:
તારથી r અંતરે તારમાં a ત્રિજયાવાળા લૂપમાં વહેતા પ્રવાહના લીધે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = \(\frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\)
∴ રિંગ સાથે સંકળાયેલું ચુંબકીય ક્ષક્સ,
Φ = B(πa²)

પ્રશ્ન 3.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે r પ્રિયાની એક સુવાહક રિંગને સમય સાથે બદલાતાં જતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ક્ષેત્રને લંબરૂપે મૂકી છે. ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમય સાથે, B = B₀ + αt અનુસાર બદલાય છે, જ્યાં B₀ અને α ધન અચળાંકો છે, તો રિંગના પરિઘ પર ઉદ્ભવતું વિધુતોબ શોધો.
ઉત્તર:

t સમયે ચુંબકીય ક્ષેત્ર B = B₀ + αt હોવાથી રિંગ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ક્ષક્સ,
Φ = B(πr²) = (B₀ + αt)πr² ……………………… (i)
ફેરેડેના નિયમ અનુસાર, રિંગમાં ઉદ્ભવતું emf
ε = \(-\frac{d \phi}{d t}\)
= \(-\frac{d}{d t}\left[\left(\mathrm{~B}_0+\alpha t\right) \pi r^2\right]\)
∴ ε = – απr² ………………………… (ii)

હવે, emf ની વ્યાખ્યા અનુસાર, એકમ ધન વિદ્યુતભારને (અહીં) રિંગના પરિઘ પર એક પૂર્ણ બમશ્ન કરાવતાં વિદ્યુતક્ષેત્ર વડે થતું કાર્ય. જો વિદ્યુતક્ષેત્ર \( \overrightarrow{\mathrm{E}}\) હોય તો આ કાર્ય = \(\int \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \vec{l}\) અહીં, \( \overrightarrow{\mathrm{E}}\) અને \(d \vec{l}\)

સમગ્ર માર્ગ પર સમાન દિશામાં હોવાથી,
\(\int \overrightarrow{\mathrm{E}} \cdot d \vec{l}=\mathrm{E} \int d l\) = E(2πr) ………………………… (iii)
સમીકરણ (ii) અને (ii) સરખાવતાં,
E(2πr) = απr² (ઋણ નિશાની અવગણતાં)
∴ E = \(\frac{\alpha r}{2}\)

પ્રશ્ન 4.
વાહક આરાઓ ધરાવતું એક પૈડું પોતાની ભૌમિતિક અક્ષાને અનુલક્ષીને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને પોતાનું સમતલ લંબ રહે તે રીતે ω કોણીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે, તો સાબિત કરો કે પૈડાના કેન્દ્ર અને પૈડાની ઘાર વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf \(\frac{\omega \mathrm{BR}^2}{2}\) છે, જ્યાં R પૈડાની ત્રિજ્યા છે અને B સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે. પૈડાની ધાર વાહક છે અને બધા આરાઓ કેન્દ્ર પાસે મળે છે, તેમ સ્વીકારો.
ઉત્તર:

કોઈ એક આરા પર કેન્દ્રથી r અંતરે dr જેટલી સૂક્ષ્મ લંબાઈનો આરો વિચારો.
આ સૂક્ષ્મ લંબાઈના આરાનો રેખીય વેગ v = rω
∴ આ સૂક્ષ્મ લંબાઈના આરામાં પ્રેરિત emf
dદ = Brω dr [∵ દ= B pl પરથી]
આ સમગ્ર આરામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf,

∴દ = Bω\(\left[\frac{\mathrm{R}^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right]\)
∴દ = \(\frac{\mathrm{B} \omega \mathrm{R}^2}{2}\) જે સાબિત થાય છે,
અહીં જમણા હાથના ઝૂના નિયમ પરથી આરામાંના ઇલેક્ટ્રૉન પર \(-e(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) જેટલું ચુંબકીય બળ લાગવાથી આ મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન 0 બિંદુ એટલે કેન્દ્ર પાસે જમા થશે જયારે પૈવની ધાર પરના બિંદુ પાસે ધન વિધુતભાર ખૂલ્લો થશે. તેથી તે
\(\frac{\mathrm{B} \omega \mathrm{R}^2}{2}\) ના emf ની બેટરી તરીકે વર્તશે.
અહીં બધા જ આરાઓથી મળતા વોલ્ટેજ સમાંતરમાં હોવાથી પરિણામી emf = \(\frac{\mathrm{B} \omega \mathrm{R}^2}{2}\)મળીશે .

પ્રશ્ન 5.
U આકારની સુવાહક ફ્રેમને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં એવી રીતે મૂકી છે કે જેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર (B) તેના સમતલને લંબરૂપે હોય. આ ફ્રેમની બે સમાંતર ભુજાઓ પર, ભુજાઓને લંબરૂપે રહે તેમ t = 0 સમયે v₀ વેગથી એક સળિયાને ગતિ આપવામાં આવે છે, તો t સમયે તેનો વેગ v_t = v₀exp\( \left(\frac{-\mathrm{B}^2 l^2}{m \mathrm{R}} t\right)\) છે, તેમસાબિત કરો. જ્યાં R = પરિપથનો અવરોધ અને m સળિયાનું દળ છે. બે ભુજા વચ્ચેનું અંતર l છે.

ઉત્તર:
સળિયામાં જ સમયે પ્રેરિત emf,
દ = – Bv_tl
∴ IR =- Bv_tl
∴ I = \(-\frac{\mathrm{B} v_t l}{\mathrm{R}} \cdot \rightarrow t\) સમયે પ્રવાહ

લેન્સના નિયમ પરથી સળિયા પર લાગતું બળ,
F = BIl sin90°
∴ F = BIl [∵ sin 90° = 1].
∴ F = –\( \frac{\mathrm{B}^2 l^2}{\mathrm{R}} \cdot v_t\)
∴ m. \(\frac{d v_t}{d t}=\frac{\mathrm{B}^2 l^2}{\mathrm{R}} v_t\) [∵ F = ma = m. \(\frac{d v_t}{d t}\)
∴ \(\frac{d v_t}{v_t}=-\frac{\mathrm{B}^2 l^2}{m \mathrm{R}} \cdot d t\)
સંકલન કરતાં,

પ્રશ્ન 6.
l લંબાઇની બાજુવાળી એક નાની ચોસ્ટ લૂપને L લંબાઇની બાજુ ધરાવતી મોટી ચોસ્ટ લૂપની અંદર મૂકવામાં આવી છે. (L >> l) બંને લૂપ એક સમતલસ્ય છે અને તેમનાં કેન્દ્રો સંપાત થાય છે. આ તંત્રનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ શોધો. [IIT – 1998]

ઉત્તર:
ધારો કે, L લંબાઈની મોટી ચોરસ લૂપમાં પસાર થતો પ્રવાહ I છે.
લેન્સના નિયમ પરથી સળિયા પર લાગતું બળ,
લૂપના કેન્દ્ર 0 પાસે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = 4 × એક બાજુ વડે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, .
∴ B = 4 × \(\frac{\mu_0 I}{4 \pi y}\)[sin45 +sin45°]
∴ B = 4 × \(\frac{\mu_0 I}{4 \pi \times \frac{L}{2}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\)
= \(\frac{2 \mu_0 \mathrm{I}}{\pi \mathrm{L}}\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\right)\)
∴ B = \(\frac{2 \sqrt{2} \mu_0 I}{\pi L}\) ………………………………. (1)

L >>>>> I હોવાથી A = l² ક્ષેત્રફળના વિસ્તારમાં B સમાન ગણી શકાય.
∴ l લંબાઈની ચોરસ લૂપ સાથે સંકળાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ,
Φ = AB
∴ Φ = \(l^2 \times \frac{2 \sqrt{2} \mu_0 \mathrm{I}}{\pi \mathrm{L}}\) ………………………. (2)
[∵ પરિણામ (1) પરથી]
બે લૂપોના તંત્રનું અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ,
M = \(\frac{\phi}{I}\)
∴ M = \(\frac{2 \sqrt{2} \mu_0 l^2}{\pi \mathrm{L}}\)
[∵ પરિબ્રામ (2) પરથી]
∴ M ∝ \(\frac{l^2}{\mathrm{~L}}\)

પ્રશ્ન 7.
50 m ઊંચા એક ટાવરની ટોય પરથી 2 m લંબાઈના એક સુવાહક સળિયાને પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં રાખી મુક્ત પતના કસ્વા દેવામાં આવે છે. પતન દરમિયાન સળિયો સમક્ષિતિજ રહે છે, તો ટાવરની ટોયથી નીચે 20 m ના અંતરે સળિયામાં ઉત્પન થતું પ્રેરિત emf શોધો. 8 = 10 ms ^-2 લો, પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે, 7x 10^-4T છે અને એંગલ ડીપ = 60° નો છે.
ઉત્તર:
h = 50 m, l = 2 m, d = 20 m, g = 10 ms^-2
H_E = 0.7 x 10^-4 ટેસ્લા, θ = 60°, N = 100, emf = ?
મુક્ત પતન માટે ગતિના સમી.
2ad = v² – v₀² માં v₀ = 0
2gd = v² [∵ a = g]
2 x 10 x 20 = v²
400 =v²
∴ v = 20 ms

હવે, ફેરેડેના નિયમ પરથી પ્રેરિત emf,
∴ દ = H_Evl [∵ ઋણ નિશાની અવગણતાં]
∴ દ= B_Evlcosθ [∵ H_E = H_Ecosθ]
∴ દ = 0.7 x 10^-4 x 20 x 2 x cos 60°
∴ દ = 1.4 x 10^-3વોલ્ટ
[∵ cos60° = \(\frac{1}{2}\) ]
= 1.4mV

પ્રશ્ન 8.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે l લંબાઈનો, m દળનો અને R જેટલા અવરોધવાળો એક સુવાહક સળિયો પુસ્તકના પાનને. લંબ એવા નિયમિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathbf{B}} \) માં મુક્ત પતન કરે છે, તો આ સળિયા માટે ટર્મિનલ વેગ (v_t) શોધો.

ઉત્તર:
જયારે સળિયાનો વેગ છ હોય ત્યારે,
સળિયામાં, પ્રેરિત emf = Bvl (ઋણ નિશાની અવગણતાં),
∴ સળિયામાં પ્રેરિત પ્રવાહ = I= \(\frac{\mathrm{B} v l}{\mathrm{R}}\) ……………………. (i)
સળિયા પર, તેની ગતિની વિરુદ્ધ લાગતું બળ,
F_B = IlB

સમીકરણ (i)માંથી I નું મૂલ્ય મૂકતાં,
F_B = \(\frac{\mathrm{B}^2 v l^2}{\mathrm{R}}\) ……………………….. (ii)
જયારે આ બળ સળિયાના વજન જેટલું થાય, ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય થાય અને પછી સળિયો અચળ ર્મિનલ વૈગ(v_t)થી ગતિ ચાલુ રાખે,
∴mg = \(\frac{\mathrm{B}^2 v_t l^2}{\mathrm{R}}\)
∴ v_t = \(\frac{m g \mathrm{R}}{\mathrm{B}^2 l^2}\)

પ્રશ્ન 9.
યોગ્ય DC પરિપથ ધ્યાનમાં લઇને એકબીજાને સમાંતર જોડેલા l₁ અને L₂ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતાં બે ઇન્ડક્ટર્સના તંત્રનું સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ શોધો.
ઉત્તર:
ધાર કે આકૃતિમાં જેનું emf સતત બદલી શકાય, તેવી આંતરિક અવરોધરહિત એક બૅટરીને સમાંતર, ઇન્ડક્ટર્સ L₁ અને L₂ જોડેલા છે,

ધારો કે t સમયે L₁ અને L₂ માંથી વહેતા પ્રવાહનાં મૂલ્યો અનુક્રમે I₁ અને I₂ છે, તથા તેમના ફેરફારના દર અનુક્રમે
\(\frac{d \mathrm{I}_1}{d t}\) અને \(\frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\) છે.
∴ L₁ અને L₂ ના બે છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્દભવતા p.d. અનુક્રમે
\(-\mathrm{L}_1 \frac{d \mathrm{I}_1}{d t}\) અને \(-\mathrm{L}_2 \frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\) છે.

મુખ્ય પરિપથમાં t સમયે વહેતો પ્રવાહ I છે. જો સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ L હોય, તો
દ = \(-\mathrm{L} \frac{d \mathrm{I}}{d t} \) = \(-\mathrm{L}\left(\frac{d \mathrm{I}_1}{d t}+\frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\right)\) ………………………. (i)
પલ, L₁\(\frac{d \mathrm{I}_1}{d t}\) = -દ સને L₂ \(\frac{d \mathrm{I}_2}{d t}\) = -દ
∴ \(\frac{d \mathrm{I}_1}{d t}=-\frac{\varepsilon}{\mathrm{L}_1}\) સને \(\frac{d \mathrm{I}_2}{d t}=-\frac{\varepsilon}{\mathrm{L}_2}\)

આ મૂલ્યો સમીકરણ (i) માં મૂક્તાં,
દ = \(-\mathrm{L}\left(-\frac{\varepsilon}{\mathrm{L}_1}-\frac{\varepsilon}{\mathrm{L}_2}\right)\)
∴ \(\frac{1}{\mathrm{~L}}=\frac{1}{\mathrm{~L}_1}+\frac{1}{\mathrm{~L}_2}\)

પ્રશ્ન 10.
ચોક ટોરોઇડલ રિંગ પર કરેલા વાઇડિંગમાં 1.5 x 10⁴ આંટાઓ છે. રિંગની અક્ષ, જે વસ્તુળ બનાવે છે તેની ત્રિજ્યા 10 cm છે અને રિંગના આડછેદની ત્રિજ્યા 2.0 cm છે, તો રિંગનું ઇન્ડક્ટન્સ શોધો. (માર્ચ – 2014)
ઉત્તર:
N = 1.5 x 10⁴
R = 2 સેમી = 2 x 10^-2 મીટર
A = πR² = π × 4 x 10^-4 મીટર²
r = 10 સેમી = 0,1 મીટર

ટૉરી ઇડલ રિંગમાં ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર,
B = µ_onl
B = \(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{2 \pi r}\) [જિયાં n = \(\frac{\mathrm{N}}{2 \pi r}\) …………………….. (i)

વૈરોઇડલ રિંગ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ Φ = NAB
∴ Φ =NA\(\left(\frac{\mu_0 \mathrm{NI}}{2 \pi r}\right)\)
∴ Φ = \(\frac{\mu_0 \mathrm{~N}^2 \mathrm{IA}}{2 \pi r}\)
. ટૉરોઇડલનું આત્મપ્રેરકત્વ, L = \(\frac{\Phi}{I}\)

વિરોષ માહિती: Higher Order Thinking Skills (HOTS)
વાહક સળિયાનો વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રહે તેમ સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતો હોય, તો આવા કિસ્સામાં પ્રેરિત ermf ઉત્પન થવાના કારણોની ચર્ચા કરો. એક વાહકે સળિયો PQ જયારે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા અનુસાર, ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે, ત્યારે સળિયામાં ના નું વિધુતભારિત આયનો અને કહ્યું વિધુતભારિત ઇલેક્ટ્રોન્સ જાણે કે સળિયા નામની ટ્રેનમાં પેસેન્જર હોય તેમ સળિયાની ગતિની દિશામાં ગતિ કરે છે.

પ્રસ્તુત ગતિમાં તેઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) ને લંબરૂપે \(\vec{v}\) વેગથી ગતિ કરે છે. આથી, તેમના પર ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=q(\vec{v} \times \overrightarrow{\mathrm{B}})\) જેટલું લોરેન્સ બળ લાગે છે. આ બળની દિશા જમણા નાથના નિયમનો ઉપયોગ કરી શોષી શકાય છે જે \(\vec{v}\)અને \(\overrightarrow{\mathrm{B}}\) થી બનતા સમતલને લંબ દિશામાં હોય છે.

પ્રસ્તુત કિસ્સામાં ધન આયનો પર લાગતું બળ Q થી P તરફ છે પણ સળિયામાં તેઓ તેમનાં નિશ્ચિત લેટિસ બિંદુઓ પર જ રહેતા હોવાથી તેમની આ બળની અસર હેઠળ ગતિ થતી નથી.

હવે, ઉપર્યુક્ત સૂત્ર અનુસાર, ઇલેક્ટ્રૉન પર લાગતું બળ P થી 7 તરફ છે. ઈલેક્ટ્રૉન સળિયામાં ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોવાથી તેઓ સળિયાના Q છેડે જમા થાય છે. આમ થતાં P છેડા પાસેના વિસ્તારમાં આયનોનો ધન વિધુતભારે ખુલ્લો થાય છે અને P છેડા પાસે પરિણામ ધન વિદ્યુતભાર મળે છે.

આમ, સળિયાનો Q છેડો અણ અને P છેડો ધન બને છે અને સળિયો BM જેટલા emf વાળી બૅટરીની જેમ વર્તે છે.

લેઝ બળ કોને કહેવાય ?
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે વાહક સળિયાને ગતિ આપતાં તેમાં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ઉત્પન્ન થાય છે. તેથી સળિયાના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં બળ F = BIl લાગે છે. સળિયાને અચળ વેગથી ગતિ કરાવવા માટે સળિયાની ગતિની દિશામાં તેના પર જેટલું અચળ બળ લગાડવું પડે છે. આ બળને લેન્સ બળ કહે છે.