GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 3 સુરેખપથ પર ગતિ

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
મિકેનિક્સ એટલે શું? તેના પ્રકાર જણાવો અને તેમની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
પદાર્થની ગતિ અંગેનો સર્વાંગી અભ્યાસ કરતી ભૌતિક વિજ્ઞાનની શાખાને મિકેનિક્સ (યંત્રશાસ્ત્ર) કહે છે.

• મિકેનિક્સ(Mechanics)ના બે પ્રકાર છે :
  (i) કાઇનેમેટિક્સ (Kinematics) : ભૌતિક વિજ્ઞાનની જે શાખામાં ગતિની ચર્ચા, તે માટેનાં કારણોની ચિંતા કર્યા સિવાય કરવામાં આવે છે; તેને કાઇનેમેટિક્સ કહે છે. (કાઇનેમેટિક્સ એટલે શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાન.)
  (ii) ડાઇનેમિક્સ (Dynamics) : ભૌતિક વિજ્ઞાનની જે શાખામાં ગતિની ચર્ચા, તે માટેનાં કારણો તથા ગતિ કરતી વસ્તુના ગુણધર્મો સહિત કરવામાં આવે છે; તેને ડાઇનેમિક્સ કહે છે. (ડાઇનેમિક્સ એટલે ગતિવિજ્ઞાન.)
• કાઇનેમેટિક્સ અને ડાઇનેમિક્સને સંયુક્ત રીતે મિકેનિક્સ (Mechanics) કહે છે.

Kinematics શબ્દ ગ્રીક ભાષાના શબ્દ ‘Kinema’ પરથી આવેલ છે. તેનો અર્થ ગતિ’ થાય છે.
Dynamics શબ્દ પણ ગ્રીક ભાષાના શબ્દ ‘Dynamis’ પરથી આવેલ છે. તેનો અર્થ ‘પાવર’ થાય છે.

પ્રશ્ન 2.
બિંદુવત્ પદાર્થ (કણ) એટલે શું? ઉદાહરણ આપી સમજાવો.
ઉત્તર:
જ્યારે પદાર્થનું પરિમાણ, માફકસર સમયગાળામાં તેણે કાપેલ અંતરની સરખામણીમાં ખૂબ જ નાનું હોય ત્યારે ગતિ કરતા પદાર્થને બિંદુવત્ પદાર્થ અથવા કણ તરીકે લઈ શકાય.
ઉદાહરણ તરીકે,

1. સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંત૨ કરોડો કિલોમીટર હોવાથી તેમની ગતિની ચર્ચામાં સૂર્ય તેમજ પૃથ્વી બંનેને કણ તરીકે લઈ શકાય.
2. બે સ્ટેશનો વચ્ચેનું અંતર ખૂબ જ વધારે હોય તે કિસ્સામાં ગતિ કરતી ટ્રેનનું પિરમાણ આ અંતરની સાપેક્ષે અવગણ્ય છે. આથી ટ્રેનને કણ તરીકે લઈ શકાય.

પ્રશ્ન 3.
પદાર્થની સ્થિર અવસ્થા અને ગતિ એટલે શું? ગતિના પ્રકારો જણાવો.
ઉત્તર:
સ્થિર અવસ્થા : જ્યારે પદાર્થ આસપાસના બીજા પદાર્થોની સાપેક્ષે સમયની સાથે પોતાનું સ્થાન બદલતો નથી, ત્યારે પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં છે તેમ કહેવાય. દા. ત., ઝાડ પર બેઠેલું પક્ષી, ટેબલ પર પડેલું પુસ્તક.

ગતિ : આસપાસના પદાર્થોની સાપેક્ષ, પદાર્થના સ્થાનમાં સમય સાથે થતા ફેરફારને ગતિ કહે છે. દા. ત., રેલવે ટ્રૅક પર ગતિ કરતી ટ્રેન, હવામાં ઊડતું પક્ષી.

ગતિના ત્રણ પ્રકાર છે :

1. રેખીય ગતિ : પદાર્થની સુરેખ રેખા પર થતી ગતિને સુરેખ ગતિ કહે છે. દા. ત., મુક્તપતન કરતો દડો
2. ચાકગતિ : જ્યારે પદાર્થ કોઈ એક બિંદુને અનુલક્ષીને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે તેને ચાકગતિ કહે છે. દા. ત., ઘડિયાળના કાંટાની ગતિ
3. દોલનગતિ : જ્યારે કોઈ પદાર્થ સંદર્ભસ્થાનની આસપાસ ગતિ કરતો હોય તેને દોલનગતિ કહે છે. દા. ત., સાદા લોલકની ગતિ

પ્રશ્ન 4.
નિર્દેશ-ફ્રેમ એટલે શું? ઉદાહરણ આપી સમજાવો. ઉત્તર ઃ આસપાસના પદાર્થોની સાપેક્ષે, પદાર્થના સ્થાનમાં સમય સાથે થતા ફેરફારને ગતિ કહે છે. પદાર્થનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે એક સંદર્ભબિંદુ અને અક્ષોના સમૂહની જરૂર પડે છે. આ માટે લંબ-યામાક્ષ પદ્ધતિની ત્રણ પરસ્પર લંબ-અક્ષો X, Y અને Z અક્ષો પસંદ કરી શકાય.

• આ ત્રણેય અક્ષોના છેદનબિંદુને ઉગમબિંદુ (O) કહે છે, જે સંદર્ભબિંદુ તરીકે લઈ શકાય. કોઈ પણ પદાર્થના યામો (x, y, z) આ યામાક્ષ પદ્ધતિની સાપેક્ષે તેનું સ્થાન દર્શાવે છે. સમયના માપન માટે આ તંત્રમાં જો ઘિડયાળ મૂકવામાં આવે, તો ઘડિયાળ સહિત આ તંત્રને નિર્દેશ-ફ્રેમ (Frame of reference) કહે છે.
• આમ, નિર્દેશ-ફ્રેમ એ અવલોકનકાર સાથે સંકળાયેલ તંત્ર છે, જેમાં અક્ષોનો સમૂહ અને ઘડિયાળનો સમાવેશ થાય છે. તેની સાપેક્ષે અવલોકનકાર ગતિમાન પદાર્થનું સ્થાન, સ્થાનાંતર, વેગ અને પ્રવેગ જેવી બાબતો નક્કી કરે છે.
• કોઈ ઘટનાના વર્ણનનો આધાર, વર્ણન માટે પસંદ કરેલી નિર્દેશ-ફ્રેમ પર છે.
• ઉદાહરણ તરીકે, અચળ વેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનમાં રહેલી બૅગનું ટ્રેનમાંથી અવલોકન કરતાં તે સ્થિર જણાય છે અને ટ્રેનની બહારના ઝાડ, મકાન વગેરે ગતિમાં જણાય છે. આ કિસ્સામાં ગતિમાન ટ્રેન નિર્દેશ-ફ્રેમ છે.
• આ જ બૅગનું રસ્તા પરથી અવલોકન કરતાં તે ગતિમાં જણાય છે; જ્યારે રસ્તા પરના ઝાડ, મકાન વગેરે સ્થિર જણાય છે. આ કિસ્સામાં ‘સ્થિર’ પૃથ્વી નિર્દેશ-ફ્રેમ છે.
• આમ, કોઈ પદાર્થની ગતિ એ પદાર્થ અને અવલોકનકારનો સંયુક્ત ગુણધર્મ છે. ગતિ એ સાપેક્ષ ખ્યાલ છે.

પ્રશ્ન 5.
નિર્દેશ-ફ્રેમમાં ગતિ કરતા કણનું સ્થાન કેવી રીતે નક્કી કરી શકાય? સમજાવો.
ઉત્તર:
કોઈ પણ કણની ગતિનું વર્ણન કરવા માટે સમયની દરેક ક્ષણે કણનું સ્થાન જાણવું પડે.

• કણનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે નિર્દેશ-ફ્રેમની જરૂર પડે છે.
• આ માટે પરસ્પર લંબ એવા ત્રણ અક્ષોવાળી નિર્દેશ-ફ્રેમ લઈ શકાય. ધારો કે આ નિર્દેશ-ફ્રેમના ત્રણ અક્ષો X, Y અને Z (અનુક્રમે વિષમઘડી દિશામાં) છે; જેને યામાક્ષો કહે છે.
• આ અક્ષોના છેદનબિંદુ (ઉગમબિંદુ) Oને સંદર્ભબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે.
• આ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષે કણના યામો (x, y, z) તે કણનું તે નિર્દેશ-ફ્રેમની સાપેક્ષે સ્થાન દર્શાવે છે.

• જુદા જુદા સમયે કણના સ્થાન જાણવા માટે સમયનો યામ ઉમેરવામાં આવે છે.
• આકૃતિ 3.1માં ગતિમાન કણના t₁ સમયે સ્થાનયામ (x₁, y₁, z₁) છે અને t₂ સમયે સ્થાનયામ (x₂, y₂, z₂) છે, જે આપેલ નિર્દેશ-ફ્રેમની સાપેક્ષે સ્થાન દર્શાવે છે.
• જો સમય સાથે કણના બધા જ યામો અફર રહેતા હોય, તો કણ સ્થિર છે તેમ કહેવાય.
• જો સમય સાથે એક કે એક કરતાં વધુ યામો બદલાતા હોય, તો તે કણ નિર્દેશ-ફ્રેમની સાપેક્ષે ગતિમાં કહેવાય.

પ્રશ્ન 6.
એક-પરિમાણમાં, દ્વિ-પરિમાણમાં અને ત્રિ-પરિમાણમાં કણની ગતિ યોગ્ય ઉદાહરણ સાથે સમજાવો.
ઉત્તર:
ગતિ કરતા કણનું સ્થાન નિર્દેશ-ફ્રેમમાં (x, y, z) યામો દ્વારા દર્શાવી શકાય.

1. જો કણની ગતિ દરમિયાન તેના સ્થાનયામોમાંથી ફક્ત કોઈ એક યામ સમય સાથે બદલાતો હોય, તો તેને એક-પારિમાણિક ગતિ અથવા સુરેખ ગતિ કહે છે.
2. દા. ત., ટાવરની ટોચ પરથી મુક્તપતન કરતા પથ્થરની ગતિ, સીધી સડક પર ગતિ કરતી કાર.
3. જો કણની ગતિ દરમિયાન તેના સ્થાનયામોમાંથી કોઈ પણ બે યામો સમય સાથે બદલાતા હોય, તો તેને દ્વિ-પારિમાણિક ગતિ કહે છે. દા. ત., કૅરમબોર્ડની કૂકીની ગતિ, વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતો કણ.
4. જો કણની ગતિ દરમિયાન તેના સ્થાનયામોના ત્રણેય યામો સમય સાથે બદલાતા હોય, તો તેને ત્રિ-પારિમાણિક ગતિ કહે છે. દા. ત., આકાશમાં ઊડતું પક્ષી, બગીચામાં ઊડતાં પતંગિયાં.

પ્રશ્ન 7.
પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ભેદ ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
પથલંબાઈ (Path length) : કોઈ સમયગાળામાં કણે કાપેલા અંતરને પથલંબાઈ અથવા કુલ અંતર કહે છે.

ધારો કે, એક કાર સુરેખ ગતિ કરે છે. અહીં આપણે X-અક્ષની પસંદગી એવી કરીશું કે જેથી તે કારના ગતિમાર્ગ પર સંપાત થાય. ઉગમબિંદુ Oની સાપેક્ષે જમણી બાજુના સ્થાન ધન અને ડાબી બાજુના સ્થાન ઋણ લેવામાં આવે છે.

• ધારો કે, કાર t₁ સમયે A સ્થાન પર છે અને તે ગતિ કરીને t₂ સમયે B સ્થાન પર જાય છે.
  Δ t = t₂ – t₁ સમયગાળામાં કા૨ે કાપેલું કુલ અંતર,
  પથલંબાઈ = AB = (80 – 20) km = + 60 km
• હવે, જો કાર B સ્થાન પરથી ગતિ કરીને t₃ સમયે C સ્થાન પર આવે, તો Δt = t₃ – t₁ સમયગાળામાં કાપેલું કુલ અંતર,
  પથલંબાઈ = AB + BC
  = (80 – 20) + (80 – 40) = + 100 km
• પથલંબાઈ અદિશ રાશિ (Scalar quantity) છે. તેને દિશા હોતી નથી, ફક્ત મૂલ્ય હોય છે. પથલંબાઈ ક્યારેય શૂન્ય કે ઋણ ના હોઈ શકે. તે હંમેશાં ધન હોય છે. SI એકમપદ્ધતિમાં તેનો એકમ metre છે.
  સ્થાનાંતર (Displacement) : કોઈ સમયગાળામાં કણના સ્થાનમાં થતા ફેરફારને સ્થાનાંતર કહે છે.
• જો કણનું t₁ સમયે પ્રારંભિક સ્થાન x₁ હોય અને t₂ સમયે અંતિમ સ્થાન x₂ હોય, તો Δt = t₃ – t₁ સમયગાળામાં કણનું સ્થાનાંતર,
  સ્થાનાંતર = અંતિમ સ્થાન – પ્રારંભિક સ્થાન
  Δx = x₂ – x₁
• સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક સ્થાન અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર દર્શાવે છે. તેની દિશા પ્રારંભિક સ્થાનથી અંતિમ સ્થાન તરફ હોય છે. સ્થાનાંતર સદિશ રાશિ છે. તેને માન અને દિશા બંને હોય છે.
• એક-પારિમાણિક ગતિમાં માત્ર બે દિશાઓ (આગળ તરફ અને પાછળ તરફ, ઉપર તરફ અને નીચે તરફ) છે, જ્યાં કણ ગતિ કરી શકે છે. આ બંને દિશાઓને ‘+’ અથવા ‘–’ સંજ્ઞાથી દર્શાવવામાં આવે છે.
• ઉદાહરણમાં કાર t₁ સમયે A સ્થાને અને t₂ સમયે B સ્થાને છે. આ સમયગાળામાં કારનું સ્થાનાંતર,
  Δx = અંતિમ સ્થાન (B) – પ્રારંભિક સ્થાન (A)
  = 80 km – 20 km = + 60 km
• અહીં, સ્થાનાંતરનું માન 60 km છે અને દિશા ધન X-દિશામાં છે, જે ‘+’ સંજ્ઞા વડે દર્શાવેલ છે.
• જો કાર B સ્થાન પરથી C સ્થાન પર આવે તો કારનું સ્થાનાંતર,
  Δx = બિંદુ Cનું સ્થાન – બિંદુ Bનું સ્થાન
  = 40 km – 80 km
  = – 40 km
  અહીં, સ્થાનાંતર ઋણ છે. તે ઋણ X-દિશામાં છે.
• સ્થાનાંતરનું માન ગતિમાન પદાર્થે કાપેલ પથલંબાઈ જેટલું હોઈ પણ શકે અને ના પણ હોય. જ્યારે કાર A સ્થાનેથી B સ્થાને જાય છે ત્યારે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર બંને 60 km છે. આ કિસ્સામાં પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતરનું માન બંને સમાન છે.
• જો કાર A સ્થાનેથી B સ્થાને અને ત્યાંથી C સ્થાને પરત આવે, તો પથલંબાઈ = AB + BC = 60 km + 40 km = 100 km
  સ્થાનાંતર = બિંદુ Cનું સ્થાન – બિંદુ Aનું સ્થાન
  = 40 km – 20 km
  = + 20 km
  આમ, સ્થાનાંતરનું માન અને પથલંબાઈ સમાન નથી.
• સ્થાનાંતરનું માન ગતિની કોઈ વર્તણૂક માટે શૂન્ય હોઈ શકે છે, પરંતુ પથલંબાઈ શૂન્ય હોતી નથી.
  દા. ત., જો તાર A સ્થાનેથી B સ્થાને જઈ A સ્થાને પરત આવે, તો
  પથલંબાઈ = AB + BA = 60 km + 60 km = 120 km
  સ્થાનાંતર = અંતિમ સ્થાન (A) – પ્રારંભિક સ્થાન (A) = 0
  અહીં, કારનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે, પણ તેની મુસાફરીની પથલંબાઈ 120 km છે.
• આમ, સ્થાનાંતર ધન, ઋણ કે શૂન્ય હોઈ શકે છે. તેનો SI એકમ metre છે.

પ્રશ્ન.
નીચે દર્શાવેલ ત્રણેય કિસ્સામાં કાર બિંદુ Aથી ગતિની શરૂઆત કરી બિંદુ B પર થઈ બિંદુ C પર પહોંચે છે. દરેક કિસ્સામાં કારે કાપેલ અંતર (પથલંબાઈ) અને સ્થાનાંતર ગણો.

ઉત્તર:
(1) આકૃતિ 3.3 (a) માં,
પથલંબાઈ = AB + BC
= 3 + 4
= 7 km
સ્થાનાંતર = AC = \(\sqrt{A B^2+B C^2}\)
= \(\sqrt{3^2+4^2}\)
= 5 km

(2) આકૃતિ 3.3 (b)માં,
પથલંબાઈ = \(\frac{1}{2}\)(2πr)
= \(\frac{1}{2}\) (2 × 3.14 × 1)
= 3.14 km
(અહીં, કાર અર્ધવર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.)
સ્થાનાંતર = AC = AO + OC = 1 + 1 = 2 km

(3) આકૃતિ 3.3 (c)માં,
પથલંબાઈ = 2πr
= 2 × 3.14 × 1 = 6.28 km
(અહીં, કાર વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.) સ્થાનાંતર = 0 (∵ કાર મૂળસ્થાન પર પાછી આવે છે.)

પ્રશ્ન 8.
ગતિમાન પદાર્થનો x – t આલેખ એટલે શું? પદાર્થ સ્થિર હોય, નિયમિત ગતિ કરતો હોય અને અનિયમિત ગતિ કરતો હોય તે માટેના x – t આલેખ સમજાવો.
ઉત્તર:
પદાર્થની ગતિને સ્થાન-સમય (x – t) આલેખ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. x – t આલેખ દ્વારા પદાર્થની ગતિના અલગ અલગ પાસાઓનું સરળતાથી વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.
સુરેખ રેખા પર થતી ગતિને X – અક્ષ પર લેવામાં આવે, તો સમય સાથે ફક્ત તેનો x-યામ બદલાય છે. આ પરથી x – t આલેખ દોરી શકાય.

1. પદાર્થ સ્થિર હોય : જો પદાર્થ સ્થિર હોય, તો સમય સાથે તેના ૪-યામ બદલાશે નહિ. આ કિસ્સામાં સ્થાન-સમય (x – t) આલેખ આકૃતિ (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ સમય-અક્ષને સમાંતર રેખા મળશે.

2. પદાર્થની નિયમિત ગતિ : જ્યારે પદાર્થ સુરેખ પથ પર એકસરખા સમયગાળામાં એકસરખું અંતર કાપે, તો તેની ગતિ નિયમિત ગતિ કહેવાય. આવી ગતિ માટેનો x – t આલેખ આકૃતિ (b)માં દર્શાવ્યો છે.
દા. ત., કોઈ કાર પહેલી દસ સેકન્ડમાં 50 mનું અંતર કાપે છે. ત્યારબાદની 10 sમાં પણ તે 50m અંતર કાપે, તો તેની ગતિ નિયમિત ગતિ છે.

3. પદાર્થની અનિયમિત ગતિ : જ્યારે પદાર્થ એકસરખા સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપતો ના હોય, તો તેની ગતિ અનિયમિત ગતિ કહેવાય.
દા. ત., કોઈ કાર t = 0 સમયે સ્થિર અવસ્થામાંથી ગતિની શરૂઆત કરે છે અને t = 10 s સુધી તેની ઝડપ વધે છે. ત્યારબાદ તે t = 18 s સુધી નિયમિત ઝડપથી ગતિ કરે છે. પછી બ્રેક લગાવતાં તે t = 20 sને અંતે સ્થિર થાય છે.

પ્રશ્ન 9.
સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
સરેરાશ ઝડપ : પદાર્થની મુસાફરીની અવિધમાં કપાયેલ કુલ પથલંબાઈ અને તે માટે લાગતા સમયગાળાના ગુણોત્તરને સરેરાશ ઝડપ કહે છે.
સરેરાશ ઝડપ =

• સરેરાશ ઝડપ અદિશ રાશિ છે. પદાર્થ કઈ દિશામાં ગતિ કરે છે તે દર્શાવતું નથી. તે હંમેશાં ધન હોય છે.
• સરેરાશ ઝડપ એ જુદી જુદી ઝડપોની સરેરાશ નથી.
• સરેરાશ ઝડપનો SI એકમ ms^-1 છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર [M⁰LT^-1] છે.
  સરેરાશ વેગ : પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફાર અથવા સ્થાનાંતર (Δx) અને તે માટે લાગતા સમયગાળા (Δt)ના ગુણોત્તરને સરેરાશ વેગ કહે છે.
  સરેરાશ વેગ \(\bar{v}\) =
• જો પદાર્થ t₁ સમયે x₁ સ્થાને અને t₂ સમયે x₂ સ્થાને હોય, તો Δt = t₂ – t₁ સમયગાળામાં તેનો સરેરાશ વેગ,
  \(\bar{v}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
• સરેરાશ વેગ સદિશ રાશિ છે. સરેરાશ વેગમાં મૂલ્ય ઉપરાંત દિશાનું મહત્ત્વ છે. સ્થાનાંતરની દિશા એ સરેરાશ વેગની દિશા છે.
• સરેરાશ વેગ ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય પણ હોઈ શકે છે. તેનો SI એકમ m s^-1 છે. રોજિંદા ઉપયોગમાં km h^-1 વપરાય છે.
• સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય એ સરેરાશ ઝડપ જેટલું અથવા તેના કરતાં ઓછું હોય છે.
  સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગનું ઉદાહરણ : (i) આકૃતિ 3.5માં દર્શાવ્યા મુજબ, ધારો કે કાર t = 0 સમયે A પર છે અને તે બિંદુ B પર જઈને 2 કલાકમાં C પર આવે છે.
  
  આ બે કલાકમાં કારની સરેરાશ ઝડપ,
  
  અહીં ‘+’ સંજ્ઞા દર્શાવે છે કે કારનો સરેરાશ વેગ ધન X-દિશામાં છે.

(ii) જો કાર 3 કલાકમાં A-B-C-૦ માર્ચે ગતિ કરી બિંદુ O પર આવે, તો

અહીં, ‘-’ સંજ્ઞા દર્શાવે છે કે કારનો સરેરાશ વેગ ઋણ X-દિશામાં છે.

(iii) જો કાર 3 કલાકમાં A – B – A માર્ગે ગતિ કરી પ્રારંભિક સ્થાન A પર આવે, તો

આમ, સરેરાશ વેગ ધન, ત્રણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે. તે સ્થાનાંતરની સંજ્ઞા પર આધારિત છે. સરેરાશ ઝડપ હંમેશાં ધન હોય છે.

જુદી જુદી પરિસ્થિતિમાં સરેરાશ ઝડપની ગણતરી :
(1) પદાર્થ જુદાં જુદાં અંતરો જુદી જુદી ઝડપથી કાપે ત્યારે : જો પદાર્થ x₁, x₂, x₃ … જેવાં અંતરો અનુક્રમે υ₁, υ₂, υ₃… જેવી જુદી જુદી ઝડપથી કાપતો હોય, તો પદાર્થની સરેરાશ ઝડપ,

ખાસ કિસ્સો : જો પદાર્થ જુદી જુદી ઝડપથી સમાન અંતર કાપે, તો x₁ = x₂ = x.
\(\bar{v}=\frac{2 x}{x\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right)}=\frac{2 v_1 v_2}{v_1+v_2}\)

(2) પદાર્થને જુદા જુદા સમયગાળામાં જુદી જુદી ઝડપ હોય ત્યારે :
ધારો કે, જુદા જુદા સમયગાળા t₁, t₂, t₃ … દરમિયાન પદાર્થની ઝડપ અનુક્રમે υ₁, υ₂, υ₃….. હોય, તો
પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર = υ₁t₁ + υ₂t₂ + υ₃t₃ + ……. કુલ સમય= t₁ + t₂ + t₃ +…….

ખાસ કિસ્સો : જો t₁ = t₂ = t₃ = …… = t_n = t હોય, તો
\(\bar{v}=\frac{\left(v_1+v_2+v_3+\ldots+v_{\mathrm{n}}\right) t}{n t}\) = \(\frac{v_1+v_2+v_3+\ldots+v_{\mathrm{n}}}{n}\)
આ કિસ્સામાં સરેરાશ ઝડપ એ જુદી જુદી ઝડપોનું સરેરાશ છે.

પ્રશ્ન 10.
x – t આલેખ પરથી ગતિમાન પદાર્થ વિશે કયા પ્રકારની માહિતી મળે છે?
અથવા
x – t આલેખ પરથી ગતિમાન પદાર્થ માટે સરેરાશ વેગ કેવી રીતે શોધી શકાય? સમજાવો.
ઉત્તર:
x – t આલેખ (અંતર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ) જેવા powerful tool વડે પદાર્થની ગતિના અલગ અલગ પાસાઓનું સરળતાથી નિરૂપણ તેમજ વિશ્લેષણ કરી શકાય છે.

ધારો કે, કોઈ પદાર્થ ધન X-દિશામાં સુરેખ પથ પર ગતિ કરી રહ્યો છે. આ માટેનો x – t આલેખ આકૃતિ 3.6માં દર્શાવ્યો છે.

આ આલેખ પરથી નીચેની માહિતીઓ મળે છે :
(1) ગતિમાન પદાર્થનું પ્રારંભિક સ્થાન, અંતિમ સ્થાન તેમજ કોઈ પણ ક્ષણે તેનું સ્થાન જાણી શકાય છે.
દા. ત., આપેલ x – t આલેખમાં પદાર્થનું પ્રારંભિક સ્થાન એટલે કે t = 0 સમયે તે x₀ સ્થાને હતો. કોઈ પણ ક્ષણે પદાર્થનું સ્થાન એટલે કે t₁ સમયે તે x₁ અને t₂ સમયે તે x₂ સ્થાન પર છે.

(2) × – t આલેખના ઢાળ પરથી આપેલા સમયગાળા માટે પદાર્થના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય મેળવી શકાય છે.

• દા. ત., આપેલ x – t આલેખ માટે,
  પદાર્થના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય (સરેરાશં ઝડપ)
  = x – t આલેખનો ઢાળ = \(\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\)
• જો x – t આલેખ સુરેખા હોય અને સમય-અક્ષ સાથે θ કોણ બનાવતો હોય, તો આ રેખાનો ઢાળ tan θ જેટલો થાય છે.
  પદાર્થના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય = tan θ
  [આકૃતિ 3.6માં ΔPQR પરથી,
  tan θ = \(\frac{P Q}{Q R}=\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\) = સરેરાશ વેગ]
• જો સુરેખાનો ઢાળ ધન મળે, તો પદાર્થનો વેગ ધન છે અને તે ધન X-દિશામાં ગતિ કરે છે.
• જો સુરેખાનો ઢાળ ઋણ મળે, તો પદાર્થનો વેગ ઋણ છે અને તે ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરે છે.
• જો આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર મળે, તો રેખાનો ઢાળ શૂન્ય થશે અને પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં હશે.
• x – t આલેખના પ્રકાર પરથી પદાર્થ નિયમિત કે અનિયમિત ગતિ કરે છે, તે જાણી શકાય છે.

પ્રશ્ન 11.
નીચે દર્શાવેલા કિસ્સાઓ માટે x – t આલેખ દોરો અને તેના પરથી સરેરાશ વેગ કેવી રીતે શોધી શકાય?
(i) પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં હોય.
(ii) પદાર્થ નિયમિત ગતિ કરતો હોય.
(iii) પદાર્થ અનિયમિત ગતિ કરતો હોય.
ઉત્તર:
(i) પદાર્થ સ્થિર અવસ્થામાં હોય : આ કિસ્સામાં પદાર્થ સમયની સાથે પોતાનું સ્થાન બદલતો નથી. આથી તેનો x – t આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર એવી સુરેખા મળશે. (જુઓ આકૃતિ 3.7) આ સુરેખાનો ઢાળ શૂન્ય મળતો હોવાથી તેનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય છે, એટલે કે પદાર્થ x₀ આગળ સ્થિર છે.

(ii) પદાર્થ નિયમિત ગતિ કરતો હોય : પદાર્થ સુરેખ પથ પર સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે, તો પદાર્થ સુરેખ પથ પર નિયમિત (અચળવેગી) ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય. આ પ્રકારની ગતિ માટે x – t આલેખ હંમેશાં સુરેખા મળે છે.

• આકૃતિ 3.8 (a)માં દર્શાવેલ x – t આલેખ માટે સુરેખાનો ઢાળ = \(\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\) ધન મળે છે. આથી પદાર્થનો સરેરાશ વેગ ધન છે અને તે ધન X-દિશામાં ગતિ કરે છે.
• આકૃતિ 3.8 (b)માં દર્શાવેલ x – t આલેખ માટે સુરેખાનો ઢાળ ઋણ મળે છે. આથી પદાર્થનો સરેરાશ વેગ ઋણ છે અને તે ઋણ X-દિશામાં ગતિ કરે છે.
• યાદ રાખો કે, પદાર્થ નિયમિત ગતિ કરતો હોય, તો સુરેખા પર કોઈ પણ જગ્યાએ ઢાળનું મૂલ્ય સમાન મળે.

(iii) પદાર્થ અનિયમિત ગતિ કરતો હોય : જો ગતિમાન પદાર્થનો x – t આલેખ સળંગ રેખાને બદલે ચઢાવ-ઉતારવાળો કે વક્ર મળે, તો વક્રના દરેક બિંદુએ ઢાળ અલગ અલગ મળે છે, એટલે કે જુદા જુદા સમયે તેનો સરેરાશ વેગ જુદો જુદો હોય છે. તેને પદાર્થની અનિયમિત ગતિ કહે છે.

આકૃતિ 3.9માં પદાર્થની અનિયમિત ગતિ દર્શાવી છે. ધારો કે, પદાર્થ t₁ સમયે x₁ સ્થાને અને t₂ સમયે x₂ સ્થાને છે, જે આલેખમાં અનુક્રમે બિંદુ A અને B વડે દર્શાવેલ છે. આ બંને બિંદુઓને જોડતી રેખાABનો ઢાળ એ (t₂ – t₁) સમયગાળામાં પદાર્થનો સરેરાશ વેગ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 12.
તત્કાલીન વેગની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
સરેરાશ વેગ એ પદાર્થ આપેલ સમયગાળામાં કેટલી ઝડપથી ગતિ કરે છે તેની માહિતી આપે છે. આ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થના વેગમાં વધારો કે ઘટાડો પણ થતો હોય તેના વિશે માહિતી મળતી નથી. આથી આ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થ જુદા જુદા તાત્ક્ષણિક સમયે કેટલી ઝડપે ગતિ કરે છે તે જાણવા માટે તત્કાલીન વેગ વ્યાખ્યાયિત કરવો પડે.

• કોઈ પણ ક્ષણે પદાર્થનો વેગ શોધવો હોય, તો સમયગાળો ખૂબ જ નાનો લેવો પડે. પદાર્થને પોતાનો વેગ બદલવા માટે જેમ ઓછો ને ઓછો સમયગાળો Δt આપીએ તેમ તેના વેગ વિશે ચોક્કસ માહિતી મળે છે.
• તત્કાલીન વેગને, સરેરાશ વેગના અતિ સૂક્ષ્મ સમયગાળા (Δt)ના લક્ષ વડે દર્શાવાય છે. t સમયે તત્કાલીન વેગ,
  υ = \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\)
  ∴ υ = \(\frac{d x}{d t}\)
• જ્યાં, \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\) નો સંકેત તેની જમણી બાજુ રહેલી રાશિ પર Δt → 0ના લક્ષમાં ક્રિયા દર્શાવે છે. \(\frac{d x}{d t}\)ને xનો tની સાપેક્ષે વિકલિત ગુણક કહે છે. તે સમયની સાપેક્ષે તે ક્ષણે સ્થાનના ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.
  [Δt નો ગાળો અત્યંત નાનો, એટલે કે લગભગ શૂન્યવત્ લેવો જોઈએ. કલનશાસ્ત્રની ભાષામાં Δtનું લક્ષ શૂન્ય થવું જોઈએ. તેની સંજ્ઞા \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\) છે.]

પ્રશ્ન 13.
તત્કાલીન વેગની વ્યાખ્યા આપો અને તેનું મૂલ્ય x – t આલેખ પરથી કેવી રીતે મેળવી શકાય છે તે સમજાવો.
ઉત્તર:
જો પદાર્થ Δt સમયમાં Δx જેટલું સ્થાનાંતર કરે, તો સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય,
\(\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
\(\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\) લેતાં, t સમયે મળતા પદાર્થના સરેરાશ વેગને તત્કાલીન વેગ અથવા વેગ કહે છે.
υ = \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{d x}{d t}\)

• આકૃતિ 3.10 એ ગતિમાન પદાર્થ માટેનો x – t આલેખ દર્શાવે છે.
• ધારો કે, આપણે t = 4 સેકન્ડે પદાર્થનો તત્કાલીન વેગ શોધવો છે. આ માટે t = 4 sને કેન્દ્રમાં રાખી, Δt = 4 s લેતાં, આલેખ પર t = 2 s અને t = 6 sને અનુરૂપ બે બિંદુઓ P₁ અને P₂ મળશે. આ બિંદુઓને જોડતી રેખા P₁P₂નો ઢાળ એ Δt = 4 sના સમયગાળા દરમિયાન મળતા સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય આપે છે.
• હવે સમયગાળો નાનો કરીએ, એટલે કે Δt = 2 s લેતાં, તેને અનુરૂપ રેખા Q₁Q₂ મળશે અને તેનો ઢાળ t = 3 s અને t = 5 sના સમયગાળા દરમિયાનના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય આપે છે.
• આમ, t સેકન્ડ પછીનો સમયગાળો નાનો ને નાનો કરતા જઈએ, એટલે કે \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\) ના લક્ષમાં રેખાP₁P₂ એ x – t આલેખના વક્રમાં P બિંદુએ સ્પર્શક બને છે. આ સ્પર્શકનો ઢાળ t = 4 s માટે પદાર્થના તત્કાલીન વેગનું મૂલ્ય આપે છે.
• બિંદુ P આગળ દોરેલ સ્પર્શક, સમય-અક્ષ સાથે θ કોણ બનાવતો હોય, તો સ્પર્શકનો ઢાળ tan θ જેટલો હોય છે.
  t સમયે તત્કાલીન વેગ = સ્પર્શકનો ઢાળ = tan θ = \(\frac{d x}{d t}\)
• નિયમિત ગતિ માટે x – t આલેખ સુરેખા હોય છે. આથી કોઈ પણ ક્ષણે તત્કાલીન વેગનું મૂલ્ય અને સરેરાશ વેગ સમાન હોય છે.
• x – t વક્રમાં દોરેલ સ્પર્શક ઉપરની તરફ હોય, તો ઢાળ ધન મળે છે અને તત્કાલીન વેગ પણ ધન મળે છે. જો સ્પર્શક નીચેની તરફ હોય, તો ઢાળ ઋણ મળે છે અને તત્કાલીન વેગ પણ ઋણ મળે છે. જો સ્પર્શક સમય-અક્ષને સમાંતર હોય, તો ઢાળ શૂન્ય મળે છે અને પદાર્થનો તત્કાલીન વેગ શૂન્ય મળે છે.

પ્રશ્ન 14.
તત્કાલીન ઝડપ સમજાવો.
ઉત્તર:
જો પદાર્થ Δt સમયગાળામાં Δx જેટલું અંતર કાપે, તો Δt સમયગાળામાં સરેરાશ ઝડપ,
<υ> = \(\frac{\Delta x}{\Delta t}\)
\(\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\) લેતાં, t સમયે મળતી પદાર્થની સરેરાશ ઝડપને તત્કાલીન ઝડપ અથવા ઝડપ કહે છે.

• તત્કાલીન ઝડપ એ ગતિમાન પદાર્થના તત્કાલીન વેગ અથવા વેગનું મૂલ્ય છે.
• દા. ત., + 10.0 m s^-1 તથા − 10.0 ms^-1ના બંને વેગો માટે ઝડપ 10.0 ms^-1 છે. તે હંમેશાં ધન હોય છે.
• નિશ્ચિત સમયગાળા પર મેળવેલ સરેરાશ ઝડપ એ સરેરાશ વેગના મૂલ્ય કરતાં વધુ અથવા સમાન હોઈ શકે છે. પરંતુ કોઈ પણ ક્ષણે મેળવેલ તત્કાલીન ઝડપ અને તત્કાલીન વેગનાં મૂલ્યો સમાન હોય છે.

પ્રશ્ન 15.
પ્રવેગ એટલે શું? સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે સરેરાશ પ્રવેગ અને તત્કાલીન પ્રવેગ સમજાવો.
ઉત્તર:
જો કણનો વેગ સમય સાપેક્ષે બદલાતો હોય, તો કણની ગતિને પ્રવેગી ગતિ કહે છે.

• કણના વેગમાં થતા ફેરફારના સમયદરને પ્રવેગ કહે છે.
  સરેરાશ પ્રવેગ : કણના વેગમાં ફેરફાર અને સમયગાળાના ગુણોત્તરને આપેલ સમયગાળા માટે સરેરાશ પ્રવેગ કહે છે.
• ધારો કે, સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણનો t₁ સમયે વેગ υ₁ અને t₂ સમયે વેગ υ₂ છે. Δt = t₂ – t₁ સમયગાળામાં કણના વેગમાં થતો ફેરફાર υ₂ – ₁ થશે.
• સરેરાશ પ્રવેગની વ્યાખ્યા અનુસાર,

= \(\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\) ………… (3.1)

• સરેરાશ પ્રવેગ સદિશ રાશિ છે. તે વેગના ફેરફારની દિશામાં હોય છે. તેનો SI એકમ ms^-2 છે.

• ગતિમાન કણ માટે વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિ 3.11માં દર્શાવ્યો છે. બિંદુઓ A અને Bને જોડતી રેખાનો ઢાળ એ Δt સમયગાળામાં કણનો સરેરાશ પ્રવેગ દર્શાવે છે.
• સરેરાશ પ્રવેગ જાણવાથી t₁ અને t₂ – આ બે ક્ષણો વચ્ચેના ક્ષણે વેગ કઈ રીતે બદલાય છે, તેની માહિતી મળતી નથી. આથી તત્કાલીન પ્રવેગ નામની રાશિ વ્યાખ્યાયિત કરવી પડે.
• સમીકરણ (3.1)માં \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\) લેતાં, t સમયે પદાર્થનો તત્કાલીન
  પ્રવેગ a મળે છે.
  t સમયે તત્કાલીન પ્રવેગ a = \(\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{d v}{d t}\)
  ∴ a = \(\frac{d v}{d t}\) ………….. (3.2)
• તત્કાલીન પ્રવેગને માત્ર પ્રવેગ પણ કહે છે.
• υ – tવક્રના કોઈ એક ક્ષણ માટે દોરેલા સ્પર્શકનો ઢાળ તે ક્ષણે પ્રવેગ દર્શાવે છે. આકૃતિ 3.11માં બિંદુ Pએ દોરેલ સ્પર્શકનો ઢાળ t સમયે કણનો પ્રવેગ દર્શાવે છે.
• વેગ દિશ રાશિ છે. આથી વેગનો ફેરફાર એ દિશા અને મૂલ્ય બંને ધરાવે છે. કણના વેગના મૂલ્યમાં કે તેની ગતિની દિશામાં અથવા બંનેમાં ફેરફાર થાય ત્યારે કણમાં પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે.
• પ્રવેગ ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.
• નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે તત્કાલીન પ્રવેગ અને સરેરાશ પ્રવેગ સમાન હોય છે.

પ્રશ્ન 16.
એક-પારિમાણિક ગતિ માટે તત્કાલીન પ્રવેગ / પ્રવેગને સ્થાનાંતરના સ્વરૂપમાં દર્શાવો. પ્રવેગી અને પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કોને કહેવાય? સમજાવો.
ઉત્તર:
તત્કાલીન પ્રવેગની વ્યાખ્યા અનુસાર,
a = \(\frac{d v}{d t}\)
પરંતુ વેગની વ્યાખ્યા અનુસાર, υ = \(\frac{d x}{d t}\)
∴ a = \(\frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t}\right)\)
∴ a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) …………… (3.3)

• સમીકરણ (3.3) દર્શાવે છે કે, કણનો કોઈ પણ ક્ષણે પ્રવેગ એટલે સ્થાન (x)નું સમય (t)ની સાપેક્ષે બે વાર વિકલન.
• જો \(\frac{d v}{d t}\) ધન હોય, તો કણના પ્રવેગની દિશા ધન X-અક્ષ અને \(\frac{d v}{d t}\) ઋણ હોય, તો ણના પ્રવેગની દિશા ઋણ X-અક્ષ તરફ હોય છે.
• જો વેગ અને પ્રવેગ બંને ધન અથવા બંને ઋણ હોય, તો કણની ઝડપમાં વધારો થાય છે. આવા કિસ્સામાં કણ પ્રવેગિત ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય. પ્રવેગની દિશા વેગની દિશામાં જ હોય છે.
• જો વેગ અને પ્રવેગ બંને વિરુદ્ધ સંજ્ઞાના હોય, તો કણની ઝડપમાં ઘટાડો થાય છે. આવા કિસ્સામાં કણ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે તેમ કહેવાય. પ્રતિપ્રવેગની દિશા વેગની દિશાથી વિરુદ્ધ હોય છે.

પ્રશ્ન 17.
કણનો પ્રવેગ ધન, ઋણ અને શૂન્ય હોય તે માટેના x – t આલેખો દોરો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
કણના સ્થાન (x)નું tની સાપેક્ષે દ્વિતીય વિકલન એટલે કણનો પ્રવેગ,
a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\)

• કોઈ પણ વિધેયનું દ્વિતીય વિકલન તે વિધેયના આલેખની વક્રતા સાથે સીધો સંબંધ ધરાવે છે.
• x – t આલેખના જે બિંદુ આગળ આલેખની વક્રતા વધુ હશે, તે બિંદુએ \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = a પ્રવેગનું મૂલ્ય વધુ અને ઓછી વક્રતાવાળા બિંદુએ પ્રવેગનું મૂલ્ય ઓછું હોય છે.

• કણ માટેના x – t આલેખમાં જો વક્ર ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ આકારનો હોય, તો તે બિંદુએ પ્રવેગ ધન હોય છે. તે સ્થાને કણ પ્રવેગી ગતિ કરે છે અને કણનો વેગ વધતો જાય છે.
• જો વક્ર નીચેની તરફ અંતર્ગોળ આકારનો હોય, તો તે બિંદુએ પ્રવેગ ઋણ હોય છે. તે સ્થાને કણ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે અને કણનો વેગ ઘટતો જાય છે.
• x – t આલેખ સુરેખા અથવા જે બિંદુ આગળ વક્ર ન હોય, તે સમયે અને સ્થાને કણનો પ્રવેગ શૂન્ય અને વેગ અચળ હોય છે.

વધુ જાણકારી માટે નીચેના આલેખનો અભ્યાસ કરો :

પ્રશ્ન 18.
નિયમિત ગતિમાન પદાર્થ માટે વેગ વિરુદ્ધ સમય (υ – t) આલેખની ઉપયોગિતા સમજાવો.
ઉત્તર:
υ – t આલેખની ઉપયોગિતા :

(1) υ – t આલેખ પરથી પદાર્થના વેગના મૂલ્યમાં થતા ફેરફારો વિશે જાણી શકાય છે. υ – t આલેખના ઢાળ પરથી સરેરાશ પ્રવેગ અને તત્કાલીન પ્રવેગનું મૂલ્ય મેળવી શકાય છે.

• આકૃતિ 3.14 (a) અને (b)માં, Δt સમયગાળા પ૨ કણનો સરેરાશ પ્રવેગ = OA રેખાનો ઢાળ
  = \(\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\)
  
• આકૃતિ 3.14 (c)માં દર્શાવેલ υ – t આલેખના વક્ર માટે બિંદુ P પાસે દોરેલા સ્પર્શકનો ઢાળ, તે ક્ષણનો તત્કાલીન પ્રવેગ દર્શાવે છે. t ક્ષણે પ્રવેગ = સ્પર્શકનો ઢાળ = \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\) = tan θ .
  આકૃતિ 3.14 (a)માં આલેખનો ઢાળ છે કે, કણ ધન પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. આકૃતિ 3.14 (b)માં આલેખનો ઢાળ ઋણ મળે છે, જે દર્શાવે છે કે, કણ ઋણ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.

(2) υ – t આલેખ પરથી ગતિમાન પદાર્થ નિયમિત ગતિ કરે છે કે અનિયમિત, તે જાણી શકાય છે.

• જો υ – t આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર સુરેખા હોય, તો કણ અચળ વેગથી ગતિ કરશે અને. તેનો પ્રવેગ શૂન્ય થશે. આવી ગતિને કણની નિયમિત ગતિ કહે છે. (જુઓ આકૃતિ 3.14 (d))
• આકૃતિ 3.14 (a) અને (b)માં આલેખ સુરેખા હોવાથી કોઈ પણ સમયગાળા પર મેળવેલ ઢાળ સમાન હોય છે. આવા પ્રકારની ગતિને અચળપ્રવેગી ગતિ અથવા નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કહે છે.
• જો કણનો વેગ આકૃતિ 3.14(c)માં દર્શાવ્યા મુજબ સતત બદલાતો હોય, તો જુદા જુદા સમયગાળા પર ઢાળનું મૂલ્ય જુદું જુદું મળવાથી તેનો સરેરાશ પ્રવેગ પણ જુદો જુદો મળે છે. આવી ગતિને અનિયમિત પ્રવેગી ગતિ કહે છે.

(3) કોઈ ગતિમાન કણના υ – t આલેખ પરથી કોઈ પણ સમયગાળામાં કણે કરેલું સ્થાનાંતર તેમજ કાપેલ અંતર શોધી શકાય છે.
કોઈ પણ સમયગાળામાં ગતિમાન કણે કરેલું સ્થાનાંતર, તે સમયગાળામાં υ – t આલેખ નીચે ઘેરાતા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.

પ્રશ્ન 19.
પદાર્થની નીચેના કિસ્સાઓની ગતિ માટે υ – t આલેખ દોરો :
(a) પદાર્થ ધન પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરે.
(b) પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરે.
(c) પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ઋણ દિશામાં ગતિ કરે.
(d) પદાર્થ ધન દિશામાં t₁ સમય સુધી ગતિ કરે અને પછી તેટલા જ ઋણ પ્રવેગથી પાછો ફરે.
ઉત્તર:
(a) પદાર્થ ધન પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરે : પદાર્થની આ પ્રકારની ગતિનો υ – t આલેખ આકૃતિ 3.15 (a)માં દર્શાવેલ છે. અહીં, પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ અને અંતિમ વેગ υ છે. υ > υ₀ હોવાથી આલેખનો ઢાળ ધન છે આથી પદાર્થ ધન પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. પદાર્થનો વેગ υ₀ અને υ બંને ધન હોવાથી તે ધન X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(b) પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ધન દિશામાં ગતિ કરે : પદાર્થની આ પ્રકારની ગતિનો υ – t આલેખ 3.15 (b)માં દર્શાવેલ છે. અહીં પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ અને અંતિમ વેગ υ છે, પરંતુ υ₀ > υ હોવાથી આલેખનો ઢાળ ઋણ છે. આથી પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. પદાર્થનો વેગ υ₀ અને υ બંને ધન હોવાથી તે ધન X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(c) પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ઋણ દિશામાં ગતિ કરે : પદાર્થની આ પ્રકારની ગતિનો υ – t આલેખ આકૃતિ 3.15 (c)માં દર્શાવેલ છે. અહીં, પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ અને અંતિમ વેગ છ છે. υ < υ₀ હોવાથી આલેખનો ઢાળ ઋણ છે. આથી પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. પદાર્થનો વેગ υ₀ અને υ બંને ઋણ હોવાથી તે ઋણ X-અક્ષની દિશામાં ગતિ કરે છે.

(d) પદાર્થ ધન દિશામાં t₁ સમય સુધી ગતિ કરે અને પછી તેટલા જ ઋણ પ્રવેગથી પાછો ફરે : પદાર્થની આ પ્રકારની ગતિનો υ – t આલેખ આકૃતિ 3.15 (d)માં દર્શાવ્યો છે. અહીં પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ ધન છે અને t₁ સમયે શૂન્ય થાય છે. આથી પદાર્થ t₁ સમયગાળા દરમિયાન ધન X-દિશામાં ગતિ કરે છે. t₁ સમયબાદ વેગ ઋણ થાય છે. આથી આ સમય પછી પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. આ બંને કિસ્સામાં આલેખનો ઢાળ ઋણ છે. આથી પદાર્થ ઋણ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 20.
“ υ – t આલેખ નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ તે સમયગાળા માટે પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે” આ કથન ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર :
ધારો કે, કોઈ પદાર્થ સુરેખ પથ પર નિયમિત વેગથી ગતિ કરે છે. આ માટેનો υ – t આલેખ આકૃતિ 3.16માં દર્શાવ્યો છે. નિયમિત ગતિ માટે આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર મળશે.

Δt = t₂ – t₁ સમયગાળામાં પદાર્થે કરેલું સ્થાનાંતર શોધવા માટે સમાંતર રેખા તેમજ t₁ અને t₂ દ્વારા ઘેરાતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધો.
લંબચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ = લંબાઈ × પહોળાઈ
= AD × DC
= (υ – 0) × (t₂ – t₁)
= υ Δ t
= વેગ × સમયગાળો
= સ્થાનાંતર
આમ, υ – t આલેખ નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ તે સમયગાળા માટે પદાર્થનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

• υ – t આલેખમાં X-અક્ષની ઉપરના ભાગનું ક્ષેત્રફળ ધન અને નીચેના ભાગનું ક્ષેત્રફળ ઋણ મળે છે.
• પદાર્થનું ચોખ્ખું સ્થાનાંતર શોધવા માટે આ બંને ક્ષેત્રફળનો બૈજિક સરવાળો કરવો જોઈએ.
• પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર શોધવા માટે ઋણ ક્ષેત્રફળને ધન ગણીને બંને ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો કરવો જોઈએ.

ઉદાહરણ : આકૃતિ 3.17માં ગતિમાન પદાર્થનો υ – t આલેખ દર્શાવ્યો છે. આ આલેખ પરથી Δt = 20 sના સમયગાળામાં પદાર્થે કરેલું સ્થાનાંતર અને કાપેલ કુલ અંતર નીચે મુજબ મેળવી શકાય :
પદાર્થનું સ્થાનાંતર = OABCનું ક્ષેત્રફળ – Δ CDEનું ક્ષેત્રફળ
= (AB × BC) – \(\frac{1}{2}\)(DF × CE)
= (10 × 5) – \(\frac{1}{2}\) (5 × 10)
= 25 m
પદાર્થે કાપેલ કુલ અંતર (પથલંબાઈ)
= OABC નું ક્ષેત્રફળ + Δ CDEનું ક્ષેત્રફળ
= (10 × 5) + – \(\frac{1}{2}\)(5 × 10)
= 75 m

પ્રશ્ન 21.
અચળપ્રવેગી ગતિ(નિયમિત પ્રવેગી ગતિ)નાં સમીકરણો આલેખની રીતે મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, કોઈ કણ ધન X-દિશામાં અચળ પ્રવેગ ‘a’ થી સુરેખ ગતિ કરે છે. t = 0 સમયે તેનો વેગ υ₀ અને t = t સમયે વેગ υ છે.
આ ગતિ માટેનો υ – t આલેખ આકૃતિ 3.18માં દર્શાવ્યો છે.

• પ્રવેગ અચળ હોવાથી કોઈ પણ સમયગાળામાં કણનો સરેરાશ પ્રવેગ અને પ્રવેગ સમાન હશે.
• υ – t આલેખ પરથી,
  પ્રવેગ a = રેખા ABનો ઢાળ
  ∴ a = \(\frac{v-v_0}{t-0}=\frac{v-v_0}{t}\)
  ∴ at = υ – υ₀ …………. (3.4)
  અથવા υ = υ₀ + at …………. (3.5)
• t સમયમાં કણે કરેલું સ્થાનાંતર, υ – t આલેખ નીચે ઘેરાતા પ્રદેશ OABCD ના ક્ષેત્રફળ જેટલું થાય.
  ∴ x =  OACDનું ક્ષેત્રફળ + Δ ACBનું ક્ષેત્રફળ
  = (OA) (OD) + \(\frac{1}{2}\)(BC) (AC)
  υ₀t + \(\frac{1}{2}\) (υ – υ₀) (t – 0) ……….. (3.6)
  સમીકરણ (3.4) પરથી,υ – υ₀ = at મૂકતાં,
  x = υ₀t + = \(\frac{1}{2}\)at² …………. (3.7)
• સમીકરણ (3.6) પરથી,
  x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)(υ – υ₀)t = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)υt – \(\frac{1}{2}\)υ₀t
  x = \(\frac{v+v_0}{2} t=\bar{v} t\) ………… (3.8)
  જ્યાં, સરેરાશ વેગ \(\bar{v}=\frac{v+v_0}{2}\) (ફક્ત અચળ પ્રવેગ માટે)
• સમીકરણ (3.4)માંથી t = \(\frac{v-v_0}{a}\) સમીકરણ (3.8)માં મૂકતાં,
  x = \(\left(\frac{v+v_0}{2}\right)\left(\frac{v-v_0}{a}\right)\)
  ∴ x = \(\frac{v^2-v_0^2}{2 a}\)
  અથવા 2ax = υ² – υ₀²…… (3.9)
• સમીકરણ (3.5), (3.7) અને (3.9) એ કણની અચળપ્રવેગી રેખીય ગતિનાં સમીકરણો છે.
• ઉપરોક્ત સમીકરણો મેળવતી વખતે આપણે માની લીધું છે કે, t =0 સમયે કણ x = 0 સ્થાન પર છે.
• જો કણ t = 0 સમયે x₀ સ્થાન પર હોય, તો ઉપરોક્ત ગતિનાં સમીકરણો નીચે મુજબ લખી શકાય :
  υ = υ₀ + at
  x = x₀ + υ₀t + at²
  2a (x – x₀) = υ² – ₀²
  નોંધ : ગતિનાં સમીકરણોનો ઉપયોગ કરતી વખતે υ₀, υ અને વની સંજ્ઞાઓ; તેઓ ગતિપથ પર ધન કે ઋણ દિશામાં છે તે મુજબ લેવી.

પ્રશ્ન 22.
કલનશાસ્ત્રની રીતનો ઉપયોગ કરીને નિયમિત પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણો મેળવો.
ઉત્તર:
1. વેગ-સમય વચ્ચેનો સંબંધ:
તત્કાલીન પ્રવેગની વ્યાખ્યા અનુસાર,
a = \(\int_{v_0}^v d v=\int_0^t a d t\)
∴ dυ = adt
પદાર્થનો વેગ t = 0 સમયે υ = υ₀ અને t = t સમયે υ = υ છે. બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
\([v]_{v_0}^v=a[t]_0^t\) (a અચળ છે.)
∴ υ – υ₀ = at
અથવા υ = υ₀ + at ………… (3.10)

2. સ્થાન-સમય વચ્ચેનો સંબંધ :
તત્કાલીન વેગની વ્યાખ્યા અનુસાર,
υ = \(\frac{d x}{d t}\)
∴ dx = υ dt
પદાર્થ t = 0 સમયે x₀ સ્થાન ૫૨ અને t = t સમયે x સ્થાન પર છે. બંને બાજુ સંકલન કરતાં,
\(\int_{x_0}^x d x=\int_0^t v d t\)
\(\int_0^t\left(v_0+a t\right) d t\) (સમીકરણ (3.10) પરથી)

3. વેગ-સ્થાન વચ્ચેનો સંબંધ :

સમીકરણ (3.10), (3.11) અને (3.12) એ નિયમિત પ્રવેગી ગતિનાં સમીકરણો છે. આ રીતનો ફાયદો એ છે કે તે અનિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે પણ વાપરી શકાય છે.

પ્રશ્ન 23.
મુક્તપતન એટલે શું? મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે ગતિનાં સમીકરણો લખો. (હવાનો અવરોધ અવગણો.)
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટીથી કોઈક ઊંચાઈએથી પદાર્થને મુક્ત કરતાં, પૃથ્વીના ગરુત્વાકર્ષણ બળને લીધે તેમાં અધોદિશામાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે, જેને ગુરુત્વપ્રવેગ (g) કહે છે. હવાના અવરોધને અવગણવામાં આવે, તો પદાર્થ છુ જેટલા પ્રવેગથી મુક્તપતન કરે છે તેમ કહેવાય.

• પદાર્થ જે ઊંચાઈએથી મુક્તપતન પામે છે, તે ઊંચાઈ પૃથ્વીની ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવી હોય, તો તેનો પ્રવેગ g = 9.8 ms^-2 જેટલો અચળ લઈ શકાય.
• મુક્તપતન કરતો પદાર્થ નિયમિત પ્રવેગી ગતિનું ઉદાહરણ છે.
• જે સ્થાનેથી પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે તે સ્થાનેથી ઊર્ધ્વદિશાને ધન Y – અક્ષ તરીકે લેતાં, ગુરુત્વપ્રવેગ (g)ની દિશા ઋણ Y – અક્ષ થશે. આથી ગતિનાં સમીકરણોમાં a = -g મૂકતાં,
  υ = υ + at ⇒ υ = υ₀ – gt ……………… (3.13)
  x = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at² ⇒ y = υ₀t – \(\frac{1}{2}\)gt² …………. (3.14)
  υ² – υ₀² = 2ax ⇒ ? – υ² – υ₀²
  = – 2gy ………… (3.15)
• મુક્તપતન કરતા પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ = 0 હોવાથી, સમીકરણ (3.13), (3.14) અને (3.15) શકાય :

સમીકરણ (3.16)ને મુક્તપતન કરતા પદાર્થની ગતિનાં સમીકરણો

પ્રશ્ન 24.
મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે y – t (સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમય), υ – t અને a – t આલેખો સમજાવો.
ઉત્તર:
મુક્તપતન કરતા પદાર્થનું સ્થાનાંતર,
y = \(\frac{1}{2}\)gt² એટલે કે y ∝ t²
આથી મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે y – t આલેખ દોરતાં તે પરવલય આકારનો મળે છે. (જુઓ આકૃતિ 3.19 (a)).

• મુક્તપતન કરતા પદાર્થનો વેગ,
  υ = -gt હોવાથી υ ∝ t, જે દર્શાવે છે કે તેનો υ – t આલેખ સુરેખા છે અને તેનો ઢાળ -g જેટલો છે. (જુઓ આકૃતિ 3.19 (b))
• મુક્તપતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ g = -9.8 m s^-2 જેટલો અચળ
  હોવાથી તેનો પ્રવેગ વિરુદ્ધ સમય (a – t) આલેખ સમય-અક્ષને સમાંતર સુરેખા મળશે. (જુઓ આકૃતિ 3.19 (c)).

પ્રશ્ન 25.
સાપેક્ષ વેગ એટલે શું?
ઉત્તર:
ગતિ એ સાપેક્ષ ખ્યાલ છે. સંદર્ભના અસ્તિત્વ વિના પદાર્થની ગતિનું વર્ણન ન કરી શકાય. અવલોકનકાર કઈ નિર્દેશ- ફ્રેમમાંથી પદાર્થની ગતિનું અવલોકન કરે છે, તે મહત્ત્વનું છે. જુદી જુદી નિર્દેશ-ફ્રેમોની સાપેક્ષે પદાર્થનો વેગ અલગ અલગ હોઈ શકે છે.

• ઉદાહરણ તરીકે, ગતિમાન ટ્રેનમાં ટ્રેનની ગતિની દિશામાં ચાલી રહેલી વ્યક્તિની ઝડપ, ટ્રેનમાં બેઠેલી વ્યક્તિને ઓછી લાગે છે. પરંતુ જમીન પર સ્થિર ઊભેલી વ્યક્તિને ટ્રેનમાં ચાલી રહેલી વ્યક્તિની ઝડપ ટ્રેનની ઝડપ કરતાં વધુ લાગે છે.
• આમ, ટ્રેનની સાપેક્ષે વ્યક્તિની ઝડપ ઓછી માલૂમ પડે છે, પરંતુ જમીનની સાપેક્ષે વધુ માલૂમ પડે છે.
• આમ, પદાર્થનો સાપેક્ષ વેગ એ બીજા પદાર્થની સાપેક્ષે કેટલા વેગથી ગતિ કરે છે તે દર્શાવે છે.
• પહેલા પદાર્થની સાપેક્ષે બીજા પદાર્થના સ્થાનમાં થતા ફેરફારના સમયદરને પહેલા પદાર્થની સાપેક્ષે બીજા પદાર્થનો સાપેક્ષ વેગ કહે છે.

પ્રશ્ન 26.
એક-પરિમાણમાં નિયમિત ગતિ કરતા બે પદાર્થોમાંથી પહેલા પદાર્થની સાપેક્ષે બીજા પદાર્થના સાપેક્ષ વેગનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, બે પદાર્થો A અને B અનુક્રમે υ_A અને υ_B જેટલા નિયમિત વેગથી ધન x-દિશામાં ગતિ કરે છે. υ_A અને υ_B એ પદાર્થના જમીનની સાપેક્ષે વેગ છે.

• t = 0 સમયે પદાર્થ A અને B અનુક્રમે x_A(0) અને x_B(0) સ્થાને છે.
• t = t સમયે પદાર્થ A અને B સ્થાનાંતર કરી અનુક્રમે x_A(t) અને _B(t) સ્થાને આવે છે.

• t = t સમયે તેમના સ્થાન x_A(t) અને x_B(t) નીચે મુજબ મળશે :
  x_A(t) = x_A(0) + υ_At …….. (3.17)
  x_B(t) = x_B(0) + υ_Bt …………….. (3.18)
• t = t સમયે પદાર્થ Bનું પદાર્થ Aથી સ્થાનાંતર એટલે કે પદાર્થ Bનું પદાર્થ Aની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર,
  X_BA(t) = x_B(t) – x_A(t)
  = (x_B(0) + υ_Bt) – (x_A(0) + υ_At)
  = (x_B(0) – x_A(0)) + (υ_B – υ_A)t ……….. (3.19)
  = x_BA(0) + (υ_B – υ_A)t …………. (3.20)
  અહીં, x_BA(0) એ t = 0 સમયે B પદાર્થનું A પદાર્થની સાપેક્ષે પ્રારંભિક સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

સમીકરણ (3.20) પરથી,
સ્થાનાંતરમાં વધારો = x_BA(t) – x_BA(0)
= (υ_B – υ_A)t

• પદાર્થ B નો પદાર્થ Aની સાપેક્ષે વેગ,

∴ υ_BA = υ_B – υ_A અથવા υ_BA = υ_BE – υ_AE
આ જ રીતે પદાર્થ Aનો પદાર્થ Bની સાપેક્ષે વેગ,
υ_AB = υ_A – υ_B અથવા υ_AB = υ_AE – υ_BE
[નોંધ : υ_A અને υ_B જમીનની સાપેક્ષે વેગ છે. તેને અનુક્રમે υ_AE અને υ_BE વડે પણ દર્શાવાય છે.]

• અહીં, સ્પષ્ટ છે કે, υ_BA = -υ_AB

પ્રશ્ન 27.
સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા બે પદાર્થો A અને Bના વેગ અનુક્રમે υ_A અને υ_B છે. નીચેના કિસ્સાઓ માટે તેમના x – t આલેખ દોરો અને સાપેક્ષ વેગ ચર્ચોઃ
(i) υ_A = υ_B
(ii) υ_A > υ_B
(iii) υ_B > υ_A
(iv) υ_A અને υ_B વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
ઉત્તર:
સુરેખ ૫થ ૫૨ ગતિ કરતા પદાર્થો A અને Bના વેગ અનુક્રમે υ_A અને υ_B હોય, તો પદાર્થ Bનું પદાર્થ Aની સાપેક્ષે t સમયે સ્થાનાંતર,
x_B(t) – x_A(t) = x_B(0) – x_A(0) + (υ_B – υ_A)t …… (3.21)
જ્યાં, x_B(0) – x_A(0) એ પદાર્થ Bનું પદાર્થ Aની સાપેક્ષે પ્રારંભિક સ્થાનાંતર છે. υ_B – υ_A એ પદાર્થ B નો પદાર્થ Aની સાપેક્ષે વેગ છે.

(i) υ_A = υ_B : જ્યારે બંને પદાર્થોના વેગ સમાન હશે, એટલે ર્ક υ_A – υ_b હશે ત્યારે સમીકરણ (3.21) પરથી,
x_B(t) – x_A(t) = x_B(0) – x_A(0), એટલે કે કોઈ પણ સમયે બંને પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર એ પ્રારંભિક સ્થાનાંતર જેટલું જ હશે અને તેમનો (x – t) આલેખ આકૃતિ 3.21માં દર્શાવ્યા મુજબ એકબીજાને સમાંતર સુરેખા હશે. આ કિસ્સામાં બંને પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ υ_AB = υ_BA = 0 થશે.

(ii) υ_A = υ_B : જો υ_A > υ_B હશે, તો પદાર્થ B નો પદાર્થ Aની સાપેક્ષે વેગ (υ_B – υ_A) ઋણ થશે.

x – t આલેખમાં પદાર્થ A માટેનો ઢાળ એ પદાર્થ B કરતાં વધુ હશે. કોઈ એક સમય t આગળ X_B(t) – X_A(t)
= 0 થશે, એટલે કે t સમયે બંને પદાર્થો ભેગા મળશે. ત્યારબાદ પદાર્થ A એ પદાર્થ B થી આગળ નીકળી જશે. (જુઓ આકૃતિ 3.22)

(iii) υ_B > υ_A : જો υ_B > υ_A હશે, તો પદાર્થ Bનો પદાર્થ Aની સાપેક્ષે વેગ (υ_B – υ_A) ધન થશે.

પદાર્થ B નું સ્થાનાંતર x_B(t) – x_A(t) સમયની સાથે વધતું જશે અને તેમના ગતિપથ પર ક્યારેય મળશે નહિ. (જુઓ આકૃતિ 3.23)

(iv) બંને પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય : ધારો કે, પદાર્થ Aનો વેગ υ_A અને પદાર્થ Bનો વેગ υ_B છે. આથી Aની સાપેક્ષે Bનો વેગ υ_BA = (- υ_B – υ_A) = – (υ_B + υ_A) થશે. આ જ રીતે Bની સાપેક્ષે Aનો વેગ υ_AB = (υ_A -(-υ_B)) = + (υ_B + υ_A) થશે.

આમ, તેમના સાપેક્ષ વેગનું માન υ_A અને υ_B કરતાં મોટું હોય છે, એટલે કે Aની સાપેક્ષે Bનો વેગ વધુ જણાય છે. તેવી જ રીતે Bની સાપેક્ષે Aનો વેગ વધુ જણાય છે.
કોઈ એક સમયે x_B(t) – x_A(t) = 0 થશે, એટલે કે x_B(t) = x_A(t). આમ, ‘t’સમયે બંને પદાર્થો ભેગા થશે. ત્યારબાદ તેઓ પણ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે. આ માટેનો x – t આલેખ આકૃતિ 3.21માં દર્શાવ્યો છે.

વિશેષ માહિતી
સાપેક્ષ વેગ : ગતિ એ સાપેક્ષ ખ્યાલ છે. સંદર્ભના અસ્તિત્વ વિના પદાર્થની ગતિનું વર્ણન ન કરી શકાય. અવલોકનકાર કઈ નિર્દેશ-ફ્રેમમાંથી પદાર્થનું અવલોકન કરે છે, તે મહત્ત્વનું છે. જુદી જુદી નિર્દેશ-ફ્રેમની સાપેક્ષે પદાર્થનો વેગ અલગ અલગ હોઈ શકે છે.
હવે નીચેનું ઉદાહરણ સમજો :

• ધારો કે, એક ટ્રેન જમીનની સાપેક્ષે 10 m/s ના વેગથી ગતિ કરે છે. આ ટ્રેનમાં એક મુસાફર ટ્રેનની સાપેક્ષે 2 m/s ના વેગથી ટ્રેનમાં ટ્રેનની ગતિની દિશામાં ચાલે છે.
• ટ્રેનમાં બેઠેલી (સ્થિર) વ્યક્તિને આ મુસાફરનો વેગ 2 m/s જેટલો લાગે છે, પરંતુ જમીન પર ઊભેલી વ્યક્તિને ટ્રેનની ગતિને લીધે મુસાફરનો વેગ 12 m/s જેટલો લાગે છે.
• હવે જો મુસાફર ટ્રેનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં 2 m/sના વેગથી ટ્રેનમાં ચાલે, તો જમીન પર ઊભેલ વ્યક્તિને તે મુસાફરનો વેગ 8 m/s જેટલો હોય તેમ લાગે છે.
  આમ, ટ્રેન અને જમીનને નિર્દેશ-ફ્રેમ તરીકે લેતાં, બંને કિસ્સામાં મુસાફરનો વેગ અલગ અલગ મળે છે.
• આ સાપેક્ષ વેગની ગણતરીમાં વેગોના સરવાળા-બાદબાકી ક્યારે થાય તે હવે સમજીએ.
  (1) બે પદાર્થો સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય ત્યારે : આકૃતિ 3.25 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે બે પદાર્થો A અને B સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે. તેમના વેગ અનુક્રમે υ_A અને υ_B છે.
• આપણે જો પદાર્થ Bની સાપેક્ષે પદાર્થ A નો વેગ શોધવો હોય, તો આપણે પદાર્થ B પર બેસીને પદાર્થ A નો વેગ માપવો પડે અથવા પદાર્થ Bને સ્થિર કરીને પદાર્થ Aનો પરિણામી વેગ માપવો પડે.

• આમ કરવા માટે -υ_B જેટલો વેગ બંને પદાર્થોના વેગમાં ઉમેરવો પડે. આથી પદાર્થ B સ્થિર થશે અને Bની સાપેક્ષે A નો વેગ,
  υ_AB = υ_A + (- υ_B) = υ_A – υ_B
  υ_AB, υ_A અને υ_Bની દિશા સમાન હોવાથી,
  υ_AB = υ_A – υ_B
  આમ, જ્યારે બે પદાર્થો એક જ દિશામાં ગતિ કરતા હોય ત્યારે,
  Bની સાપેક્ષે Aના વેગનું મૂલ્ય
  = (પદાર્થ Aના વેગનું મૂલ્ય) – (પદાર્થ Bના વેગનું મૂલ્ય)

(2) બે પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે : આકૃતિ 3.26 માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે A અને B વિરુદ્ધ દિશામાં અનુક્રમે υ_A અને υ_B જેટલા વેગથી ગતિ કરે છે. Bની સાપેક્ષે Aનો વેગ શોધવા Bને સ્થિર કરવો પડે. આ માટે -υ_B જેટલો વેગ બંને પદાર્થોના વેગમાં ઉમેરતાં, પદાર્થ A નો વેગ υ_A + ( – υ_B) અને પદાર્થ B નો વેગ υ_B + (- υ_B) = 0 થશે.

∴ પદાર્થ Aનો Bની સાપેક્ષે વેગ,
υ_AB = υ_A – υ_B
પરંતુ વેગ υ_B એ υ_Aની વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,
υ_AB = υ_A + υ_B
આમ, જ્યારે બે પદાર્થો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય ત્યારે,
Bની સાપેક્ષે Aના વેગનું મૂલ્ય
= (પદાર્થ Aના વેગનું મૂલ્ય) + (પદાર્થ Bના વેગનું મૂલ્ય)

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ઉત્તર ટૂંકમાં આપો :

પ્રશ્ન 1.
સરેરાશ ઝડપ અને સરેરાશ વેગ વચ્ચેનો ભેદ જણાવો. ઉત્તર : પદાર્થની પથલંબાઈ અને તે માટે લાગતા સમયના ગુણોત્તરને સરેરાશ ઝડપ કહે છે.
પદાર્થના સ્થાનાંતર અને તે માટે લાગતા સમયના ગુણોત્તરને સરેરાશ વેગ કહે છે.
સરેરાશ ઝડપ અદિશ રાશિ છે. જ્યારે સરેરાશ વેગ સદિશ રાશિ છે. સરેરાશ વેગ સ્થાનાંતરની દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 2.
પ્રવેગ એટલે શું? તે કઈ દિશામાં હોય છે?
ઉત્તર:
વેગમાં થતા ફેરફારના સમયદરને પ્રવેગ કહે છે. પ્રવેગની દિશા વેગના ફેરફારની દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 3.
Stopping distance કોને કહે છે ?
ઉત્તર:
જ્યારે ગતિમાન વાહનને બ્રેક મારવામાં આવે ત્યારે, તે ઊભું રહે તેની પહેલાં અમુક અંતર કાપે છે, જેને Stopping distance કહે છે. તે વાહનના પ્રારંભિક વેગ અને બ્રેકની ક્ષમતા પર આધારિત છે.

પ્રશ્ન 4.
શું કોઈ ગતિમાન પદાર્થ માટે x – t આલેખ સ્થાન-અક્ષને સમાંતર હોઈ શકે?
ઉત્તર:
ના, કારણ કે આ પ્રકારનો આલેખ એવું દર્શાવે છે કે કોઈ એક જ સમયે પદાર્થ જુદા જુદા સ્થાને રહેલો છે, જે શક્ય નથી. આથી x – t આલેખ સ્થાન-અક્ષને સમાંતર ના હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 5.
ગતિમાન એવી બે કારનો સાપેક્ષ વેગ ક્યારે શૂન્ય થાય?
ઉત્તર:
જ્યારે બે કાર સમાન વેગથી એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોય ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય.

પ્રશ્ન 6.
એક પદાર્થને ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર નીચે પડતો મૂકવામાં આવે છે, તો 1 સેકન્ડના અંતે તેણે કાપેલું અંતર કેટલું હશે?
ઉત્તર:
પદાર્થે t સમયમાં કાપેલું અંતર,
y = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
હવે, υ₀ = 0, t = 1 s અને a = g મૂકતાં,
d = 0 + \(\frac{1}{2}\) (9.8)(1)² = 4.9 m
પદાર્થ 1 સેકન્ડના અંતે 4.9m જેટલું અંતર કાપ્યું હશે.

પ્રશ્ન 7.
υ – t આલેખનો ઢાળ અને તે આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ શું દર્શાવે છે?
ઉત્તર:
υ – t આલેખનો ઢાળ \(\frac{d v}{d t}\) થાય છે, જે પદાર્થના પ્રવેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે. આ આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ચોખ્ખું ક્ષેત્રફળ પદાર્થે કરેલું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 8.
ઊદિશામાં ફેંકેલા દડાની મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ અને પ્રવેગ કેટલો હશે?
ઉત્તર:
મહત્તમ ઊંચાઈએ દડાનો વેગ શૂન્ય અને પ્રવેગ g જેટલો હોય છે.

પ્રશ્ન 9.
એક-પરિમાણમાં ગતિ કરતા પદાર્થને શું કોઈ એક ક્ષણે શૂન્ય વેગ અને અશૂન્ય પ્રવેગ હોઈ શકે? ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
હા, જ્યારે પદાર્થને ઊદિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ શૂન્ય અને પ્રવેગ અશૂન્ય (g જેટલો) હોય છે.

પ્રશ્ન 10.
મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે વેગ વિરુદ્ધ સમય અને પ્રવેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દોરો.
ઉત્તર:
મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે υ – t અને a – t આલેખ :

પ્રશ્ન 11.
આપેલા સમયગાળા માટે પ્રવેગ વિરુદ્ધ સમયના આલેખ નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ શું દર્શાવે છે?
ઉત્તર:
પ્રવેગ વિરુદ્ધ સમયના આલેખ નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ એ આપેલ સમયગાળામાં પદાર્થના વેગમાં થતાં ફેરફારનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.
[a – t આલેખનું ક્ષેત્રફળ = at = \(\frac{v-v_0}{t}\) × t = υ – υ₀]

પ્રશ્ન 12.
નિર્દેશ-ફ્રેમ એટલે શું?
ઉત્તર:
પદાર્થનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે X, Y, Z એમ ત્રણ અક્ષોના સમૂહની જરૂર પડે છે. આ અક્ષોના છેદનબિંદુને સંદર્ભબિંદુ તરીકે લઈ આ યામાક્ષ પદ્ધતિમાં પદાર્થનું સ્થાન નક્કી થાય છે. આ યામાક્ષ પદ્ધતિમાં સમયના માપન માટે ઘડિયાળ મૂકી બનતાં તંત્રને નિર્દેશ-ફ્રેમ કહે છે.

પ્રશ્ન 13.
કણના સરેરાશ વેગ પરથી કઈ માહિતી મળતી નથી?
ઉત્તર:
ણના સરેરાશ વેગ પરથી કણના ગતિપથ તેમજ ગતિપથ પર જુદાં જુદાં બિંદુ પાસે તેના વેગની માહિતી મળતી નથી.

પ્રશ્ન 14.
પ્રતિપ્રવેગ એટલે શું? તે કઈ દિશામાં હોય છે?
ઉત્તર:
વેગમાં થતા ઘટાડાના સમયદરને પ્રતિપ્રવેગ કહે છે. તે વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 15.
પદાર્થના વેગનો ફેરફાર કેટલી અને કેવી રીતે સંભવી શકે?
ઉત્તર:
પદાર્થના વેગનો ફેરફાર ત્રણ રીતે સંભવી શકે :

1. માત્ર વેગના મૂલ્યમાં ફેરફાર થવાથી,
2. માત્ર વેગની દિશામાં ફેરફાર થવાથી તથા
3. વેગની દિશા અને મૂલ્ય બંનેમાં ફેરફાર થવાથી.

પ્રશ્ન 16.
સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે દ્વિતીય વિકલિત કઈ ભૌતિક રાશિ આપે છે?
ઉત્તર:
પ્રવેગ, કારણ કે a = \(\frac{d v}{d t}=\frac{d^2 x}{d t^2}\)

પ્રશ્ન 17.
જો કણનો વેગ અને પ્રવેગ બંને ઋણ હોય, તો કણ કેવી રીતે ગતિ કરતો હશે?
ઉત્તર:
કણનો વેગ અને પ્રવેગ બંને ઋણ હોય તો, વેગ અને પ્રવેગ બંને એક જ દિશામાં હશે. આથી કણ પ્રવેગિત ગતિ કરતો હશે.

પ્રશ્ન 18.
કણને પ્રતિપ્રવેગ ક્યારે હોય?
ઉત્તર:
જ્યા૨ે ણના વેગ અને પ્રવેગની સંજ્ઞા વિરુદ્ધ હોય, એટલે કે બંને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય ત્યારે કણ પ્રતિપ્રવેગી ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 19.
x – t આલેખમાં જો વક્ર ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ હોય, તો પદાર્થનો પ્રવેગ કેવો હશે?
ઉત્તર:
x – t આલેખમાં જો વક્ર ઉપરની તરફ અંતર્ગોળ હોય, તો પદાર્થનો પ્રવેગ ધન હોય છે અને આ સ્થાન આગળ કણનો વેગ વધતો જાય છે.

પ્રશ્ન 20.
ગતિમાન પદાર્થનો x – t આલેખ સુરેખા અથવા જે બિંદુ આગળ વક્ર ન હોય તે બિંદુએ પદાર્થનો પ્રવેગ કેટલો હોય છે? તેનો વેગ કેવો હોય છે?
ઉત્તર:
ગતિમાન પદાર્થનો x – t આલેખ સુરેખા અથવા જે બિંદુ આગળ વક્ર ન હોય તે બિંદુએ પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય અને વેગ અચળ હોય છે.

પ્રશ્ન 21.
અચળપ્રવેગી અથવા નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કોને કહે છે?
ઉત્તર:
જે પદાર્થનો વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધતો હોય અથવા ઘટતો હોય, તે પદાર્થની ગતિને અચળપ્રવેગી અથવા નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કહે છે.

પ્રશ્ન 22.
મુક્તપતન એટલે શું?
ઉત્તર:
પૃથ્વીની સપાટીથી કોઈક ઊંચાઈએથી પદાર્થને મુક્ત કરતાં, પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળને લીધે તેમાં અધોદિશામાં પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે, જેને ગુરુત્વપ્રવેગ કહે છે. હવાના અવરોધને અવગણવામાં આવે, તો તે પદાર્થ તુ જેટલા પ્રવેગથી મુક્તપતન કરે છે તેમ કહેવાય.

પ્રશ્ન 23.
“સ્થિર અવસ્થા અને ગતિ સાપેક્ષ પદો છે.” સમજાવો.
ઉત્તર:
કોઈ પદાર્થ, એક પદાર્થની સાપેક્ષે સ્થિર હોઈ શકે છે, પરંતુ તે જ સમયે બીજા પદાર્થની સાપેક્ષે ગતિમાં હોઈ શકે છે. દા. ત., ટ્રેનમાં પડેલી બૅગ એ ટ્રેનમાં બેઠેલ વ્યક્તિની સાપેક્ષે સ્થિર છે. પરંતુ જમીન પર ઊભેલી વ્યક્તિની સાપેક્ષે તે ગતિમાં છે. આમ, સ્થિર અવસ્થા અને ગતિ સાપેક્ષ પદો છે.

પ્રશ્ન 24.
કણ Aનો પશ્ચિમ દિશામાં વેગ 5m s^-1 છે. કણ Bનો પૂર્વ દિશામાં વેગ 3 m s^-1 છે. કણ Aની સાપેક્ષે કણ Bનો વેગ કેટલો થશે? કણ Bની સાપેક્ષે કણ Aનો વેગ કેટલો થશે?
ઉત્તર:
υ_A = + 5 ms^-1 (પશ્ચિમ દિશાને ધન લેતાં)
υ_B = – 3 m s^-1
કણ Aની સાપેક્ષે કણ Bનો વેગ,
υ_BA = υ_B – υ_A
= – 3 – 5
= – 8 ms^-1 (પૂર્વ દિશા તરફ)
કણ Bની સાપેક્ષે કણ Aનો વેગ,
υ_AB = υ_A – υ_B
= 5 – (- 3)
= 8m s^-1 (પશ્ચિમ દિશા તરફ)

પ્રશ્ન 25.
બે પદાર્થો A અને Bના υ – t આલેખો સમય-અક્ષ સાથે અનુક્રમે 30° અને 60° નો ખૂણો બનાવે છે, તો તેમના પ્રવેગનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
ઉત્તર:
\(\frac{v_{\mathrm{A}}}{v_{\mathrm{B}}}=\frac{\tan 45^{\circ}}{\tan 30^{\circ}}=\frac{1}{1 / \sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

પ્રશ્ન 26.
બે પદાર્થો A અને Bના x – t આલેખો સમય-અક્ષ સાથે અનુક્રમે 45° અને 30° નો ખૂણો બનાવે છે, તો તેમના વેગનો ગુણોત્તર કેટલો થશે?
ઉત્તર:
\(\frac{v_{\mathrm{A}}}{v_{\mathrm{B}}}=\frac{\tan 45^{\circ}}{\tan 30^{\circ}}=\frac{1}{1 / \sqrt{3}}=\sqrt{3}\)

પ્રશ્ન 27.
શું કોઈ પદાર્થનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય અને સરેરાશ ઝડપ અશૂન્ય હોઈ શકે? ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
હા, ઉદાહરણ તરીકે જો કોઈ એક કણ r ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર T સમયમાં એક પરિભ્રમણ પૂરું કરે, તો તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થશે. આથી તેનો સરેરાશ વેગ શૂન્ય થશે.
પરંતુ એક પરિભ્રમણ દરમિયાન તે 2πr જેટલું અંતર કાપતું હોવાથી તેની સરેરાશ ઝડપ \(\frac{2 \pi r}{T}\) થશે.

પ્રશ્ન 28.
જો પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય, તો તેની ગતિ કેવી હશે?
ઉત્તર:
પદાર્થનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય, તો તે અચળવેગથી ગતિ કરતો હશે અથવા સ્થિર હશે.

પ્રશ્ન 29.
બે કાર A અને B અનુક્રમે υ_A અને υ_B અચળ વેગથી એકબીજા તરફ ગતિ કરી રહી છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર 10 m/sના દરથી ઘટે છે. જ્યારે બંને કાર એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે ત્યારે તેમની વચ્ચેનું અંતર 5 m/s ના દરથી વધે છે, તો તેમના વેગ υ_A અને υ_B કેટલા હશે?
ઉત્તર:
અહીં, υ_A + υ_B = 10 m/s અને
υ_A – υ_B = 5 m/s છે.
આ પરથી, υ_A = 7.5 m/s અને υ_B = 2.5 m/s

પ્રશ્ન 30.
10 m/sના વેગથી જતી કાર 5 સેકન્ડમાં ‘U’ turn (વળાંક) લે છે. આ કારનો પ્રવેગ કેટલો હશે ?
ઉત્તર:
5 sમાં કારના વેગમાં થતો ફેરફાર,
Δ υ = 10 – (- 10) = 20 m s^-1
∴ કારનો પ્રવેગ = \(\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{20}{5}\) = 4m s^-2

પ્રશ્ન 31.
એક દડાને ઊર્ધ્વદિશામાં υ₀ જેટલા વેગથી ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે કેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે?
ઉત્તર:
મહત્તમ ઊંચાઈએ દડાનો વેગ શૂન્ય હોય છે. આથી υ = 0 થશે.
υ² – υ₀² = 2gh
∴ υ₀ = 2gh અથવા h = \(\frac{v_0^2}{2 g}\)

પ્રશ્ન 32.
એક દડાને h ઊંચાઈએથી મુક્તપતન કરાવવામાં આવે છે. દડાને જમીન પર પહોંચતાં કેટલો સમય લાગશે?
ઉત્તર:
y = υ₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
અહીં, y = h, υ₀ = 0 અને a = g મૂકતાં,
h = \(\frac{1}{2}\)gt² ∴ t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)

પ્રશ્ન 33.
એક કાર સ્થિર અવસ્થામાંથી નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરે છે. આ કાર માટે x – t, υ – t અને a – t આલેખ કેવા પ્રકારના હશે?
ઉત્તર:

1. x – t આલેખ પરવલય આકારનો હશે.
2. υ – t આલેખ સુરેખા હશે, જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હશે.
3. a – t આલેખ સુરેખા હશે, જે સમય-અક્ષને સમાંતર હશે.

પ્રશ્ન 34.
ગતિમાન પદાર્થ માટે તેનું સ્થાનાંતર સમયના વર્ગના સમપ્રમાણમાં બદલાય છે. શું પદાર્થનો પ્રવેગ નિયમિત હશે કે અનિયમિત? શા માટે?
ઉત્તર:
સ્થાનાંતર x ∝ t² = ct² જ્યાં, c અચળાંક છે.
∴ પદાર્થનો વેગ υ = \(\frac{d x}{d t}\) = 2ct
∴ પદાર્થનો પ્રવેગ a = \(\frac{d v}{d t}=\frac{d}{d t}\) (2ct) = 2c = અચળ
આમ, પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ હોવાથી તે નિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરે છે.

પ્રશ્ન 35.
સુરેખ પથ પર નિયમિત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે નીચેના કિસ્સાઓ માટે x – t આલેખ દોરો :
(i) x₀ = + ve, υ = + ve
(ii) x₀ = + ve, υ = – ve
(iii) x₀ = – ve, υ = + ve
(iv) x₀ = -ve, υ = – ve
જ્યાં, x₀ એ t = 0 સમયે પદાર્થનું સ્થાન છે.
ઉત્તર:

પ્રશ્ન 36.
પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ભેદ જણાવો.
ઉત્તર:
પથલંબાઈ એ પદાર્થો ખરેખર કાપેલું કુલ અંતર છે. સ્થાનાંતર એ પદાર્થના અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન વચ્ચેનું લઘુતમ અંતર છે.
પથલંબાઈ અદિશ રાશિ છે, જ્યારે સ્થાનાંતર સદિશ રાશિ છે. પથલંબાઈ હંમેશાં ધન હોય છે; જ્યારે સ્થાનાંતર ધન, ઋણ અથવા શૂન્ય હોઈ શકે છે.

પ્રશ્ન 37.
એક દડો 30 ms^-1ના વેગથી દીવાલને અથડાય છે અને તેટલા જ વેગથી પાછો આવે છે. આ દડાના વેગમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે?
ઉત્તર:
ધારો કે, દડો + X-દિશામાં ગતિ કરી દીવાલને અથડાય છે. અને -X-દિશામાં પાછો આવે છે.
વેગમાં ફેરફાર = અંતિમ વેગ – પ્રારંભિક વેગ
= – 30 m s^-1 – (+ 30 m s^-1)
= – 60 m s^-1

પ્રશ્ન 38.
પદાર્થને ઋણ પ્રવેગ હોય અને તેની ઝડપમાં વધારો થતો હોય – આ પ્રકારની ગતિનું ઉદાહરણ આપો.
ઉત્તર:
મુક્તપતન કરતા પદાર્થને ઋણ પ્રવેગ (-g) હોય છે. જ્યારે તે મુક્તપતન કરે છે ત્યારે તેની ઝડપ શૂન્ય હોય છે, પરંતુ જમીન પર આવતા ઝડપ વધીને υ જેટલી થાય છે.

પ્રશ્ન 39.
એક કણની ગતિ માટેનો υ – t આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. કણે 2T સમયગાળા દરમિયાન કેટલું સ્થાનાંતર કર્યું હશે?

ઉત્તરઃ
υ – t આલેખના ઉપરના વિસ્તાર (1) અને (૩) દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ એ નીચેના વિસ્તાર (2) અને (4) દ્વારા ઘેરાતા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. આથી કુલ ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થશે, જે દર્શાવે છે કે કણનું 2T સમયગાળા દરમિયાન સ્થાનાંતર શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન 40.
શું બે પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ એ પદાર્થોના નિરપેક્ષ વેગ કરતાં વધુ હોઈ શકે?
ઉત્તર:
હા, જ્યારે બે પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ એ બે પદાર્થોના વેગના સરવાળા બરાબર હોય છે.
υ_BA = υ_B + υ_A
એટલે કે બે પદાર્થોનો સાપેક્ષ વેગ એ પદાર્થોના નિરપેક્ષ વેગ કરતાં વધુ હોઈ શકે.

પ્રશ્ન 41.
એક હલકા પદાર્થ અને એક ભારે પદાર્થને સમાન પ્રારંભિક વેગથી ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે છે. કયો પદાર્થ સૌથી વધુ ઊંચાઈએ જઈ શકશે?
ઉત્તર:
બંને પદાર્થો સમાન ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે. બંને પદાર્થોના પ્રારંભિક વેગ અને પ્રવેગ સમાન છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ h = \(\frac{v_0^2}{2 g}\) સૂત્ર અનુસાર, h એ પદાર્થના દળ પર આધારિત નથી. આથી બંને પદાર્થો સમાન ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે.

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) આપેલ સમયગાળામાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર ધન, ઋણ કે શૂન્ય હોઈ શકે.
ઉત્તર:
ખરું

(2) પદાર્થ વડે બે બિંદુ વચ્ચે કપાયેલ પથલંબાઈ સામાન્ય રીતે સ્થાનાંતરના માન જેટલી અથવા તેના કરતાં ઓછી હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(3) જો ણની ઝડપ વધતી હોય તો પ્રવેગ, વેગની દિશામાં હોય અને ઝડપ ઘટતી હોય તો પ્રવેગ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય.
ઉત્તર:
ખરું

(4) જો કણ ગુરુત્વની અસર હેઠળ પતન પામતો હોય, તો તેનો ઋણ પ્રવેગ તેની ઝડપમાં ઘટાડો કરે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(5) ઊદિશામાં ફેંકેલા પદાર્થનો મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ અને પ્રવેગ બંને શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(6) અમદાવાદ અને મુંબઈ વચ્ચે સુરેખ માર્ગે નિયમિત ઝડપથી ગતિ કરતી ટ્રેનને બિંદુવત્ પદાર્થ તરીકે ગણી શકાય.
ઉત્તર:
ખરું

(7) 100 km/hની ઝડપે ગતિ કરતી ટ્રેનમાં બેઠેલી વ્યક્તિનો ટ્રેનની સાપેક્ષે વેગ શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) Stopping distance ફક્ત વાહનના પ્રારંભિક વેગ પર આધારિત છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(9) આપેલ સમયગાળા માટે υ – t આલેખ દ્વારા ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ એ પદાર્થે કાપેલું કુલ અંતર દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(10) નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે x – t આલેખ પરવલય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(11) નિયમિત ગતિ કરતા પદાર્થ માટે x – t આલેખ સમય-અક્ષ સાથે સમાંતર હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(12) નિયમિત પ્રવેગી ગતિ માટે પદાર્થનો છ−t આલેખ સુરેખા મળે છે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યાઓ પૂરો :

(1) એક વ્યક્તિ 70 m ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર પથ પર એક છેડેથી ચાલતાં ચાલતાં બીજા છેડે જાય છે, તો તેણે કરેલ સ્થાનાંતર ……………….. .
ઉત્તર:
140 m

(2) એક કાર r ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર પથ પર એક છેડેથી બીજા છેડે જાય છે. આ કાર માટે પથલંબાઈ અને સ્થાનાંતરના મૂલ્યનો ગુણોત્તર ………………… થશે.
ઉત્તર:
π/2

(3) એક કણ 10 m ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકારનો પથ 5 sમાં પૂર્ણ કરે છે. આ કણના સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય …………………… ms^-1 હશે.
ઉત્તર:
4

(4) અચળ પ્રવેગ 2 m s^-2 સાથે ગતિ કરતા એક પદાર્થ માટે υ – tનો આલેખ દર્શાવેલ છે. આ પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ …………………. હશે.

ઉત્તર:
10 m s^-1

(5) એક પદાર્થનો સ્થાનાંતર (m) – સમય (s)નો . આલેખ -અક્ષ સાથે 60નો કોણ રચે છે. આ પદાર્થનો વેગ ………………… હશે.
ઉત્તર:
√3 ms^-1

(6) એક દડાને ઊદિશામાં પ્રારંભિક વેગ υ₀થી ફેંકવામાં આવે છે. થોડી વાર બાદ તે પોતાના મૂળ સ્થાને પાછો આવે છે. આ દડાનો સરેરાશ વેગ ……………….. હશે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(7) ટાવરની ટોચ પરથી મુક્તપતન કરતો પથ્થર 4 s બાદ જમીન પર આવે છે. આ ટાવરની ઊંચાઈ ……………………. m હશે.
ઉત્તર:
80

(8) ………………….. ગતિવિજ્ઞાનમાં પદાર્થની ગતિનાં કારણોની ચર્ચા કર્યા સિવાય માત્ર તેની ગતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.
ઉત્તર:
શુદ્ધ

(9) એક કણ υ₁‚ ઝડપથી d₁ અંતર કાપે છે અને ત્યારબાદ υ₂ ઝડપથી d₂ અંતર કાપે છે. આ ણની સરેરાશ ઝડપ ………………….. હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{d_1+d_2}{\frac{d_1}{v_1}+\frac{d_2}{v_2}}\)

(10) ગતિ કરતા કણનો સ્થાન-સમયનો આલેખ સ્થાન-અક્ષને સમાંતર છે. આ કણનો વેગ …………………. હશે.
ઉત્તર:
અનંત

(11) ધન પ્રવેગ ધરાવતા કણની ઝડપ સમય સાથે ધીમી પડતી હોય, તો તેનો …………………….. ઋણ હોય.
ઉત્તર:
પ્રારંભિક વેગ

(12) કોઈ પદાર્થ માટે વેગ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ વેગની અક્ષને લંબ હોય, તો પદાર્થનો પ્રવેગ ………………… હશે.
ઉત્તર:
અચળ

(13) υ – t આલેખ નીચે ઘેરાતું ક્ષેત્રફળ તે સમયગાળા માટે પદાર્થનું …………………….. દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
સ્થાનાંતર

(14) બે પદાર્થો A અને B વિરુદ્ધ દિશામાં સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા હોય અને તેમનો જમીનની સાપેક્ષે વેગ અનુક્રમે υ_A અને υ_B હોય, તો પદાર્થ Bની સાપેક્ષે પદાર્થ Aનો વેગ …………………… થાય.
ઉત્તર:
υ_A + υ _B

(15) અનિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરતા કણ માટે તેના પ્રવેગ પરનું સંકલન …………………… દર્શાવે છે અને વેગ પરનું સંકલન …………………….. દર્શાવે છે.
ઉત્તર:
વેગ, સ્થાનાંતર

(16) મુક્તપતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ …………………… હોય છે.
ઉત્તર:
અચળ

(17) એક પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ υ₀ અને તેનો પ્રવેગ at² છે, તો t સેકન્ડ બાદ તેનો વેગ ………………………. થશે.
ઉત્તર:
υ₀ + at³

(18) x-દિશામાં ગતિ કરતા કણના સ્થાનાંતરનું સૂત્ર x = 2t² – 4t + 9 m છે. તેનો પ્રવેગ …………………… હશે.
ઉત્તર:
4m s^-2

(19) 50 m લાંબી બે ટ્રેન અલગ ટ્રૅક પ૨ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહી છે. તેમના વેગ અનુક્રમે 10m/s અને 15m/s છે. બંને ટ્રેનને એકબીજાને ક્રૉસ કરવા માટે લાગતો સમય ………………. હશે.
ઉત્તર:
4 s

(20) કોઈ કણને ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવે, તો તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ ……………………… શૂન્ય હશે અને ……………… અચળ રહેશે.
ઉત્તર:
વેગ, પ્રવેગ

યોગ્ય જોડકાં જોડો :

પ્રશ્ન 1.

ઉત્તર:
(1 – s), (2 – 1), (3 – p), (4 – q).

પ્રશ્ન 2.

કૉલમ I	કૉલમ II
1. વેગ-સમયનો સંબંધ	p. xn = υ0 + \(\frac{a}{2}\)(2n – 1)
2. સ્થાન-સમયનો સંબંધ	q. υ2 = υ02 + 2ax
3. વેગ-સ્થાનાંતરનો સંબંધ	r. υ = υ0 + at
4. nમી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર	s. x = υ0t + \(\frac{1}{2}\)at2

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – s), (3 – q), (4 – p).

કૉલમ I	કૉલમ II
1. વેગ-સમયનો સંબંધ	r. υ = υ0 + at
2. સ્થાન-સમયનો સંબંધ	s. x = υ0t + \(\frac{1}{2}\)at2
3. વેગ-સ્થાનાંતરનો સંબંધ	q. υ2 = υ02 + 2ax
4. nમી સેકન્ડમાં કાપેલ અંતર	p. xn = υ0 + \(\frac{a}{2}\)(2n – 1)

પ્રશ્ન 3.
એક ફુગ્ગો 10 m s^-2ના અચળ પ્રવેગથી ઉપર ચઢી રહ્યો છે. 2 s બાદ એક કણ ફુગ્ગા પરથી નીચે પડે છે, તો યોગ્ય જોડકાં
જોડો. (g = 10 m s^-2 લો.)

કૉલમ I	કૉલમ II
1. જમીનથી કણની ઊંચાઈ	p. શૂન્ય
2. કણની ઝડપ	q. 10 SI એકમ
3. કણનું સ્થાનાંતર	r. 40 SI એકમ
4. કણનો પ્રવેગ	S. 20 SI એકમ

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – p), (3 – s), (4 – q).

પ્રશ્ન 4.

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – p), (3 – q), (4 – s).