GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 14 દોલનો

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 14 દોલનો Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 14 દોલનો

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
પદાર્થની જુદા જુદા પ્રકારની ગતિ ઉદાહરણ સહિત વર્ણવો.
ઉત્તર:
પદાર્થની જુદા જુદા પ્રકારની ગતિઓ નીચે મુજબ છેઃ
1. સુરેખ ગતિ : આ પ્રકારની ગતિમાં પદાર્થ સુરેખ પથ પર ચોક્કસ સમયમાં ચોક્કસ અંતર કાપે છે. દા. ત., સીધા રસ્તા પર ગતિ કરતી કાર.

2. પ્રક્ષિપ્ત ગતિ : સમક્ષિતિજ દિશા સાથે કોઈ ખૂણે ફેંકવામાં આવેલો પદાર્થ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. દા. ત., ટૅન્કના નાળચામાંથી છોડવામાં આવેલ બૉમ્બની ગતિ.
આ બંને ગતિઓ અપુનરાવર્તિત છે. ગતિનું ચોક્કસ સમયગાળા બાદ પુનરાવર્તન થતું નથી.

3. આવર્તગતિ : આ પ્રકારની ગતિમાં પદાર્થ નિશ્ચિત પથ પર કોઈ બિંદુને અનુલક્ષીને નિયત સમયગાળે પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે. દા. ત., પદાર્થની નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ, સૂર્યમંડળના ગ્રહોની ગતિ.

4. દોલિત ગતિ : આ પ્રકારની ગતિમાં પદાર્થ નિયતબિંદુની આસપાસ, આગળ-પાછળ કે ઉપર-નીચે નિયત સમયમાં પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે. દા. ત., ઍન્જિનમાં આગળ-પાછળ થતા પિસ્ટનની ગતિ, લોલકવાળી ઘડિયાળમાં દોલકની ગતિ, નદીમાં ઉપર- નીચે થતી બોટની ગતિ.
આવર્તગતિ અને દોલિત ગતિ પુનરાવર્તિત પ્રકારની ગતિઓ છે.

પ્રશ્ન 2.
દોલિત ગતિનો અભ્યાસ શા માટે જરૂરી છે? તેના અભ્યાસ માટે કઈ કઈ વિભાવનાઓની જરૂર પડે છે?
ઉત્તર:
ભૌતિકશાસ્ત્રની કેટલીક અગત્યની ભૌતિક ઘટનાઓ સમજવા માટે દોલિત ગતિનો અભ્યાસ જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે,

ઘન પદાર્થના અણુઓ તેના નિશ્ચિત સ્થાનને અનુલક્ષીને દોલનો કરે છે. આવા પદાર્થના ગુણધર્મો સમજવા માટે દોલિત ગતિનો અભ્યાસ જરૂરી છે.
AC પાવર સપ્લાયમાંથી મળતો વૉલ્ટેજ કે પ્રવાહ પણ દોલન ક૨ે છે. દોલિત ગતિના અભ્યાસ દ્વારા પ્રવાહ, વૉલ્ટેજ કે ઊર્જાનું મૂલ્ય મેળવી શકાય છે.
સ્પીકર સિસ્ટમમાં સ્પીકરના ડાયાફ્રામના પડદાની ગતિ દોલિત હોય છે. તેના દ્વારા હવાના અણુઓ દોલન કરે છે અને ધ્વનિનું પ્રસરણ થાય છે. આમ, ધ્વનિ-પ્રસરણના અભ્યાસ માટે દોલિત ગતિ ઉપયોગી છે.
સંગીતનાં સાધનો જેવાં કે સિતાર, ગિટાર, વાયોલિન વગેરેમાં તારનાં કંપનો દ્વારા મધુર સંગીત ઉત્પન્ન થાય છે.
રેડિયો, ટીવી દ્વારા થતા સંદેશવ્યવહારમાં વપરાતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર દોલિત ગતિ કરતા હોય છે. આવી અનેક ઘટનાઓ સમજવા માટે દોલિત ગતિનો અભ્યાસ જરૂરી છે.
– દોલિત ગતિના અભ્યાસમાં આવર્તકાળ, આવૃત્તિ, સ્થાનાંતર, કંપવિસ્તાર અને કળા જેવી કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓની જરૂર પડે છે.

પ્રશ્ન 3.
આવર્તગતિની વ્યાખ્યા આપી, ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
આવર્તગતિ : જે ગતિ પોતે સમયના નિયમિત અંતરાલો પર પુનરાવર્તન કરે, તેને આવર્તગતિ કહે છે.
આવી ગતિ નિશ્ચિત પથ પર નિશ્ચિત બિંદુને અનુલક્ષીને હોય છે.
ઉદાહરણો :
(1) એક જંતુ એક ઢોળાવવાળા માર્ગ ૫૨ x જેટલું અંત૨ ઉપ૨ ચડે અને નીચે પડે છે અને તે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછું આવે છે. આ ક્રિયાનું તે સમાનરૂપે પુનરાવર્તન કરે છે. આ માટેનો x – t આલેખ આકૃતિ 14.1માં દર્શાવ્યો છે.

(2) ધારો કે, કોઈ બાળક સીડીના x જેટલી ઊંચાઈનું પગથિયું ઉપર ચડે છે અને નીચે આવે છે. આ ક્રિયાનું તે પુનરાવર્તન કરે છે. બાળકની ગતિ માટે x – t આલેખ આકૃતિ 14.2માં દર્શાવ્યો છે.

(3) સ્થિતિસ્થાપક બૉલને હથેળી અને જમીન વચ્ચે વારંવાર ઊછાળીએ ત્યારે બૉલની ઊંચાઈ વિરુદ્ધ સમય (x – t)નો આલેખ આકૃતિ 14.3માં દર્શાવ્યો છે.

આકૃતિ 14.3માં વક્રભાગો એ પરવલયના ભાગો છે, ગતિના સમીકરણ જે ન્યૂટનના મુજબ મળે છે.
ઉપરના દરેક ઉદાહરણમાં પદાર્થ સમયગાળા T બાદ પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે. આથી આવી ગતિને આવર્તગતિ કહે છે.

પ્રશ્ન 4.
દોલિત ગતિ એટલે શું? ઉદાહરણ સહિત સમજાવો.
ઉત્તર:
દોલિત ગતિ : કોઈ પદાર્થ નિશ્ચિતબિંદુની આસપાસ, આગળ-પાછળ કે ઉપર-નીચે નિયત સમયમાં પુનરાવર્તિત ગતિ કરતો હોય, તો તેવી ગતિને દોલિત ગતિ કહે છે.

ઘણી વખત આવર્તગતિ કરતા પદાર્થને પોતાના પથમાં ક્યાંક એક સંતુલન સ્થિતિ હોય છે. આ સ્થિતિમાં તેના ૫૨ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું નથી. પદાર્થને આ સ્થાનથી નાનું સ્થાનાંતર આપવામાં આવે, તો તેના પર એવું બળ કાર્યરત થાય છે, જે પદાર્થને સંતુલન બિંદુ તરફ લાવવાનો પ્રયાસ કરે છે. પરિણામે દોલનો ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉદાહરણો :
1. વાટકા(બાઉલ)માં મૂકવામાં આવેલો બૉલ તેના તળિયે સંતુલનમાં હોય છે. જો આ બિંદુથી તેને થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, તો તે વાટકામાં દોલિત ગતિ કરે છે.
2. સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગને છેડે લટકાવેલ પદાર્થની ગતિ દોલિત ગતિ છે.
3. સાદા લોલકમાં દોલકની ગતિ.
બધી દોલિત ગતિઓ એ આવર્તગતિ છે, પરંતુ બધી આવર્તગતિઓ દોલિત ગતિ હોતી નથી. દા. ત., સૂર્યની આસપાસ થતી પૃથ્વીની ગતિ એ આવર્તગતિ છે પણ દોલિત ગતિ નથી. કારણ કે તે કોઈ નિયતબિંદુની આસપાસ, આગળ-પાછળ કે ઉપર-નીચે તરફની ગતિ નથી.

પ્રશ્ન 5.
સરળ આવર્તગતિની વ્યાખ્યા લખો.
ઉત્તર:
સરળ આવર્તગતિ એ દોલિત ગતિનું સૌથી સાદું સ્વરૂપ છે.
વ્યાખ્યા : જ્યારે દોલિત પદાર્થ પરનું બળ તેના મધ્યમાન સ્થાન- (સંતુલન સ્થાન)થી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને સંતુલન સ્થાન તરફની દિશામાં હોય ત્યારે પદાર્થ સંતુલન સ્થાનની આસપાસ ગતિ કરે છે. આવી ગતિને સરળ આવર્તગતિ કહે છે.

સરળ આવર્તગતિને સાદી પ્રસંવાદી (Harmonic) ગતિ કહે છે.
સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થને સરળ આવર્તદોલક કહે છે.

પ્રશ્ન 6.
દોલનો અને કંપનો વચ્ચેનો તફાવત જણાવો.
ઉત્તર:
જ્યા૨ે દોલન કરતા પદાર્થની આવૃત્તિ નાની હોય, તો તેને દોલન કહેવાય છે. દા. ત., વૃક્ષની શાખાનાં દોલનો.
જ્યારે આવૃત્તિ ઊંચી હોય છે, તેને કંપનો કહે છે. દા. ત., સિતાર, ગિટાર જેવાં સંગીતનાં સાધનોના તારનાં કંપનો.

પ્રશ્ન 7.
આવર્તગતિ માટે (i) આવર્તકાળ (ii) આવૃત્તિ અને (iii) કોણીય આવૃત્તિ વ્યાખ્યાયિત કરો.
ઉત્તર:
(i) આવર્તકાળ : આવર્તગતિમાં સમયનો લઘુતમ અંતરાલ કે જે પછી આ ગતિનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેને તેનો આવર્તકાળ કહે છે. આવર્તકાળ નીચે મુજબ પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :
એક દોલન પૂર્ણ કરવા માટે દોલકને લાગતા સમયને દોલકનો આવર્તકાળ કહે છે.

આવર્તકાળને ‘T’ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તેનો SI એકમ second (s) છે.
આવર્તકાળના નાના એકમો μs (માઇક્રોસેકન્ડ) અને ns (નેનોસેકન્ડ) છે.

(ii) આવૃત્તિ : એક સેકન્ડમાં પૂર્ણ થતાં પુનરાવર્તનો(દોલનો)ની સંખ્યાને આવર્તગતિની આવૃત્તિ કહે છે.

આવૃત્તિ એ આવર્તકાળ Tનું વ્યસ્ત છે. તેને ‘v’ અથવા ‘f’ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આવૃત્તિ v = \(\frac{1}{T}\)
આવૃત્તિનો SI એકમ s^-1 અથવા Hz (હર્ટ્ઝ) છે.
1 Hz = 1 s^-1

(iii) કોણીય આવૃત્તિ : દોલકની આવૃત્તિને 2π વડે ગુણતાં મળતી રાશિને કોણીય આવૃત્તિ કહે છે. તેને ‘ω’ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ω = 2πv = \(\frac{2 \pi}{T}\)

ωનો SI એકમ rads^-1 છે.
દા. ત., આવર્તગતિ કરતા એક પદાર્થનો x – t આલેખ આકૃતિ 14.4માં દર્શાવ્યો છે.

અહીં, પદાર્થ દર 0.2 sના સમયગાળા બાદ ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે. આથી આવર્તકાળ T = 0.2 s.
પદાર્થ 1 સેકન્ડમાં ગતિનું 5 વાર પુનરાવર્તન કરે છે.
આથી આવૃત્તિ 5 Hz થશે. અથવા
આવૃત્તિ v = \(\frac{1}{T}\) = \(\frac{1}{0.2}\) = 5 Hz
પદાર્થની કોણીય આવૃત્તિ ω = 2πv
= 2 × 3.14 × 5
= 31.4 rad s^-1

પ્રશ્ન 8.
સરળ આવર્તગતિમાં, વ્યાપક સ્વરૂપમાં સ્થાનાંતરનો અર્થ સમજાવો.
ઉત્તર:
રેખીય ગતિમાં કોઈ સમયગાળામાં કણના સ્થાનમાં થતા ફેરફારને સ્થાનાંતર કહે છે. અહીં સ્થાનાંતર ચલ ફક્ત પદાર્થના સ્થાન સાથે સંકળાય છે.

સરળ આવર્તગતિમાં સંતુલન બિંદુથી કોઈ ક્ષણે દોલન કરતા પદાર્થના અંતરને તે ક્ષણે પદાર્થનું સ્થાનાંતર કહે છે.
વ્યાપક અર્થમાં સ્થાનાંતર એ કોઈ પણ ભૌતિક રાશિના સમય સાથેનો બદલાવ માટેનો ઉલ્લેખ છે. .દા. ત., સ્થાન, ખૂણો, દબાણ, પ્રવાહ વગેરે ભૌતિક રાશિનો સમય સાથે થતો બદલાવ એ સ્થાનાંતર ચલથી ઉલ્લેખાય છે.
ઉદાહરણ :
( 1 ) આકૃતિ 14.5 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ સ્પ્રિંગનો એક છેડો દિવાલ સાથે અને બીજો છેડો બ્લૉક સાથે જોડેલો છે. આ બ્લૉકની ગતિને સંતુલન સ્થિતિથી તેનું અંતર અથવા સ્થાનાંતર ના પદમાં મેળવી શકાય છે. સામાન્ય રીતે સ્થાનાંતર સંતુલન સ્થાનથી માપવું વધુ અનુકૂળ છે.

( 2 ) સાદા લોલકમાં સમયના વિધેય તરીકે શિરોલંબથી તેના ખૂણા(θ)ને સ્થાનાંતર ચલ તરીકે લઈ શકાય. (જુઓ આકૃતિ 14.5 (b))
(3) A.C. પરિપથમાં કૅપેસિટર પરનો વૉલ્ટેજ કે અવરોધમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ સમય સાથે બદલાય છે. અહીં, વૉલ્ટેજ અને પ્રવાહને સ્થાનાંતર ચલ તરીકે લઈ શકાય.
( 4 ) ધ્વનિ-પ્રસરણમાં વાયુમાં સમય સાથે થતા દબાણના ફેરફારને સ્થાનાંતર ચલ તરીકે લેવામાં આવે છે.

સરળ આવર્તગતિમાં સ્થાનાંતર ધન અને ઋણ એમ બંને મૂલ્યો ધારણ કરી શકે છે.
સરળ આવર્તગતિમાં સ્થાનાંતર વિધેય એ સમય પર આવર્ત છે. તેને f (t) = A cos ωt અથવા f (t) = A sin ωt અથવા તેમના રેખીય સંયોજનરૂપે રજૂ કરી શકાય છે. અહીં, A એ મહત્તમ સ્થાનાંતર અથવા કંપવિસ્તાર છે.

પ્રશ્ન 9.
આવર્તીય વિધેય (Periodic function) કોને કહે છે? સમજાવો. દર્શાવો કે sine અને cosine વિધેયોનું રેખીય સંયોજન પણ આવર્તય વિધેય છે.
ઉત્તર:
આવર્તગતિમાં આવર્તકાળ બાદ ગતિનું પુનરાવર્તન થાય છે. T, 2T, 3T, ….. સમય બાદ પદાર્થ મૂળ સ્થાન પર આવે છે. આમ, પદાર્થનું સ્થાનાંતર વિધેય આવર્તીય છે તેમ કહેવાય.

જે વિધેય નિયમિત સમય બાદ તેના મૂલ્યનું પુનરાવર્તન કરે તેને આવર્તીય વિધેય કહે છે.
જો f (t) = f (t + T) હોય, તો વિધેય fનો કોણાંક (Argument), t એ Tના પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં વધે કે ઘટે પણ f(t) વિધેયનું મૂલ્ય બદલાતું નથી. f(t)ને આવર્તીય વિધેય કહે છે.
અહીં, f (t) એ આવર્તકાળ T સાથે આવર્ત છે. ત્રિકોણમિતિમાં cosine અને sine વિધેયો આવર્તીય વિધેયો છે.
અતિ સરળ આવર્તવિધેય f (t) = A cos ωt છે. આ વિધેયનો કોણાંક ωt એ 2πradના પૂર્ણાંકમાં વધે તોપણ વિધેયનું મૂલ્ય તેનું તે જ રહે છે. કારણ કે cos (ωt + 2π) = cos ωt. આમ, વિધેય f (t) એ આવર્ત છે.
f (t) = A cos ωt = A cos \(\frac{2 \pi}{T}\) t (∵ ω = \(\frac{2 \pi}{T}\) છે.
∴ f (t + T) = A cos (\(\frac{2 \pi}{T}\) (t + T))
= A cos (\(\frac{2 \pi}{T}\) t + 2π)
= A cos \(\frac{2 \pi}{T}\) t
= f (t)
આમ, વિધેય f (t) એ આવર્તકાળ T સાથે આવર્ત છે. આવર્તકાળ T નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે :
T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\)
આ જ રીતે f (t) = A sin ωt માટે,
f (t + T) = A sin \(\frac{2 \pi}{T}\) (t + T)
= A sin (\(\frac{2 \pi t}{T}\) + 2π)
= f (t)
આમ, sine અને cosine બંને વિધેયો આવર્તકાળ T સાથે આવર્ત છે.
sine અને cosine વિધેયોનું રેખીય સંયોજન ઃ
f (t) = A sin ωt + B cos ωt
ઉપરોક્ત સમીકરણમાં A = D cos Φ અને B = D sin Φ મૂકતાં.
f (t) = (D cos Φ) sin ωt + (D sin Φ) cos ωt
= D (sin ωt cos Φ + cos ωt sin Φ)
= D sin (ωt + Φ) ………… (14.1)
ઉપરોક્ત પરિણામમાં f (t) એ sine વિધેય છે. જે T પર આવર્ત છે. આથી કહી શકાય કે, sine અને cosine વિધેયોનું રેખીય સંયોજન પણ આવર્તીય છે.
સમીકરણ (14.1)ના અચળાંકો D અને Φ નીચે મુજબ મેળવી શકાય :
A અને Bનાં મૂલ્યો પરથી,
A² + B² = D² cos² Φ + D2 sin² Φ
= D² (cos² Φ + sin² Φ )
= D²
∴ D = \(\sqrt{A^2+B^2}\)
B અને Aનો ગુણોત્તર લેતાં,
\(\frac{B}{A}=\frac{D \sin \phi}{D \cos \phi}\) = tan Φ
∴ Φ = tan^-1(\(\frac{B}{A}\))
સરળ આવર્તગતિમાં f (t) એ સ્થાનાંતર, D એ મહત્તમ સ્થાનાંતર (કંપવિસ્તાર) અને Φ એ કળા-અચળાંક દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 10.
આવર્તીય વિધેય માટે ફોરિયર(Fourier)ના પ્રમેયનું કથન લખો.
ઉત્તર:
ફોરિયર પ્રમેયનું કથન : કોઈ પણ આવર્તવિધેયને યોગ્ય સહગુણાંકો સાથેના વિવિધ આવર્તકાળના sine અને cosine વિધેયોના સંપાતપણા તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે.
ગાણિતીય રીતે તેને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય :
F (t) = (A₀ + A₁ cos ωt + A₂ cos 2ωt + A₃ cos 3ωt + … + B₁ sin ωt + B₂ sin 2ωt + B₃ sin 3ot + …
જ્યાં A₀, A₁, A₂, …, B₁, B₂, B₂, … એ ફોરિયર અચળાંકો છે.

પ્રશ્ન 11.
સરળ આવર્તગતિ સમજાવો. સ.આ.ગ. માટે સમય સાથે બદલાતા સ્થાનાંતરનું સૂત્ર લખો. આ પરથી જુદા જુદા સમયે પદાર્થ તેના ગતિપથ પર કયા સ્થાને હશે, તે સમજાવો.
ઉત્તર:
દરેક આવર્તગતિ એ સરળ આવર્તગતિ હોવી જરૂરી નથી. પરંતુ જે આવર્ત (પ્રસંવાદી) ગતિમાં સ્થાનાંતર એ સમયનું sine અથવા cosine પ્રકારનું જ્યાવર્તી વિધેય હોય તે આવર્તગતિ સરળ આવર્તગતિ છે.

આકૃતિ 14.6માં દર્શાવ્યા મુજબ ધારો કે એક કણ એ X-અક્ષના ઊગમબિંદુથી અંત્યબિંદુઓ + A અને – Aની વચ્ચે દોલન કરે છે.

જો કણનું ઊગમબિંદુથી સ્થાન સમય સાથે નીચે આપેલા સંબંધ પ્રમાણે બદલાતું હોય, તો કણની દોલિત ગતિને સરળ આવર્તગતિ કહી શકાય :
x (t) = A cos (ωt + Φ) ……….. (14.2)
જ્યાં, A, ω અને Φ અચળાંકો છે.
સમીકરણ (14.2)ની મદદથી જુદા જુદા સમયે કણનું ઊગમબિંદુથી સ્થાન નીચે મુજબ મેળવી શકાય :
સમીકરણ (14.2)માં Aને અચળ અને Φ = 0 લેતાં,
x (t) = A cos ωt = A cos \(\frac{2 \pi}{T}\) t (∵ ω = \(\frac{2 \pi}{T}\) )

(i) t = 0 સમયે સ્થાન,
x (t) = A cos \(\frac{2 \pi}{T}\) × 0 = A cos 0 = + A

(ii) t = \(\frac{T}{4}\) સમયે સ્થાન,
x (t) = A cos \(\frac{2 \pi}{T}\) × \(\frac{T}{4}\) = A cos \(\frac{\pi}{2}\) = 0

જુદા જુદા સમયે કણનું સ્થાન તેના ગતિપથ પર આકૃતિ 14.7માં દર્શાવ્યું છે. t = T સમયે કણ મૂળ સ્થાન (+ A) પર પાછો આવે છે, એટલે કે તેણે એક દોલન પૂર્ણ કર્યું કહેવાય.

આમ, સરળ આવર્તગતિ માટે x – t આલેખ આકૃતિ 14.8માં દર્શાવ્યા મુજબ છે, જે સ્થાનાંતરના સમય સાથેના સતત વિધેયનાં મૂલ્યો આપે છે.

સરળ આવર્તગતિને દર્શાવતા સૂત્ર x(t) = A cos (ωt + Φ)માં આવતા દરેક પદોના પ્રમાણભૂત નામ નીચે મુજબ છે :
x(t) : સ્થાનાંતર x એ સમય tના વિધેય તરીકે
A : કંપવિસ્તાર
ω : કોણીય આવૃત્તિ
ωt + Φ = કળા (સમય આધારિત)
Φ = કળા-અચળાંક અથવા કળા-કોણ અથવા પ્રારંભિક કળા t = ૦ સમયે)

પ્રશ્ન 12.
સરળ આવર્તગતિના સંદર્ભમાં નીચેનાં પદો સમજાવો : 1. કંપવિસ્તાર 2. કળા 3. કોણીય આવૃત્તિ
ઉત્તર:
સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થના સ્થાનાંતરનું સૂત્ર,
x(t) = A cos (ωt + Φ) ……….. (14.3)
1. કંપવિસ્તાર : સરળ આવર્તગતિ કરતાં કણના મહત્તમ સ્થાનાંતરને કંપવિસ્તાર કહે છે.

cosine વિધેયનું મૂલ્ય + 1 અને – 1ની વચ્ચે બદલાય છે. આથી સમીકરણ (14.3) અનુસાર મહત્તમ સ્થાનાંતર અથવા કંપવિસ્તાર, x_max = ± A
એટલે કે, કણનું સ્થાન બે અંત્યબિંદુઓ + A અને − Aની વચ્ચે બદલાય છે.
કંપવિસ્તારનો SI એકમ metre (m) છે.

2. કળા : સરળ આવર્તગતિ માટે કંપવિસ્તાર A અચળ હોય, તો કોઈ પણ સમયે કણની ગતિની અવસ્થા(સ્થાન અને વેગ)ને cosine વિધેયના કોણાંક (ωt + Φ) વડે શોધી શકાય છે.
આમ, સમય આધારિત રાશિ (ωt + Φ)ને ગતિની કળા કહે છે.
કળા = ωt + Φ

t = 0 સમયે કળા Φને કળા-અચળાંક (Phase constant) અથવા કળા-કોણ (Phase angle) અથવા પ્રારંભિક કળા કહે છે.
કળા-અચળાંક = Φ
જ્યારે કણ એક દોલન પૂર્ણ કરે ત્યારે તેની કળામાં 2π rad જેટલો વધારો થાય છે. n દોલનોનાં અંતે કળામાં 2nπ rad જેટલો વધારો થાય છે.

3. કોણીય આવૃત્તિ : સમીકરણ (14.3)માં Φ = 0 લેતાં,
x(t) = A cos ωt ………. (14.4)
આ ગતિ આવર્તકાળ T સાથે આવર્ત હોવાથી,
x (t) = x (t + T) ………. (14.5)
∴ A cos ωt = A cos ω (t + T)

હવે, cosine વિધેય એ આવર્તકાળ 2π સાથે આવર્ત છે. એટલે કે કળામાં 2π rad જેટલો વધારો થાય ત્યારે પોતાની ગતિનું પુનરાવર્તન કરે છે.
ω(t + T) = ωt + 2π
∴ ωT = 2π
∴ ω = \(\frac{2 \pi}{T}\)
ω ને કોણીય આવૃત્તિ કહે છે. તેનો SI એકમ rad s^-1 છે.
ω = 2π(\(\frac{1}{T}\)) = 2πv
આ દર્શાવે છે કે, ω એ દોલનની આવૃત્તિથી 2π ગણી છે.

પ્રશ્ન 13.
સરળ આવર્તગતિ કરતા બે પદાર્થોના નીચે દર્શાવેલ કિસ્સાઓ માટે x – t(સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ સમય)નો આલેખ દોરો :
(i) ω અને Φ સમાન હોય, પરંતુ જુદા જુદા કંપવિસ્તાર A અને B ધરાવતી બે સરળ આવર્તગતિ (B > A).
(ii) સમાન કંપવિસ્તાર અને ω ધરાવતી પરંતુ જુદા જુદા કળા-અચળાંક (Φ₁ = 0, Φ₂ = – \(\frac{\pi}{4}\) rad) ધરાવતી બે સરળ આવર્તગતિ.
(iii) સમાન A અને સમાન Φ હોય, પરંતુ જુદી જુદી કોણીય આવૃત્તિ (અથવા જુદા જુદા આવર્તકાળ) ધરાવતી બે સરળ આવર્તગતિ.
ઉત્તર:
(i) આ કિસ્સામાં સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થના સ્થાનાંતરનાં સૂત્રો નીચે મુજબ મળશે :
x₁ (t) = A cos ωt, x₂ (t) = B cos ωt
B > A માટે તેમનો x – t આલેખો આકૃતિ 14.9માં દર્શાવ્યા મુજબ મળશે.

(ii) આ કિસ્સામાં સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થનાં સૂત્રો x₁ (t) = A cos ωt અને x₂ (t) = A cos (ωt – \(\frac{\pi}{4}\)) થશે. તેમના x – t આલેખો આકૃતિ (14.10)માં દર્શાવ્યા છે.

(iii) ધારો કે, એક સ.આ.ગ.ની કોણીય આવૃત્તિ ω છે. આથી તેનો આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) થશે. બીજા સ.આ.ગ.ની કોણીય આવૃત્તિ 2ω છે. આથી તેનો આવર્તકાળ T’ = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) થશે.
જો તેમની પ્રારંભિક કળા Φ = 0 હોય, તો તેમનાં સૂત્રો નીચે મુજબ મળશે :
x₁ (t) = A cos ωt, x₂ (t) = A cos 2ωt.
આ માટેના x – t આલેખ આકૃતિ 14.11માં દર્શાવ્યો છે.

પ્રશ્ન 14.
જરૂરી ભૌમિતિક આકૃતિ દોરી દર્શાવો કે સ.આ.ગ.ને યોગ્ય એવી નિયમિત વર્તુળ ગતિની, વર્તુળના વ્યાસ પરના પ્રક્ષેપની ગતિ તરીકે વર્ણવી શકાય છે.
ઉત્તર:

આકૃતિ 14.12માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે O કેન્દ્ર અને A (કંપવિસ્તાર) જેટલી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ω જેટલી અચળ કોણીય ઝડપથી વિષમઘડી દિશામાં ગતિ કરતો કણ P₁ વિચારો.
અહીં, કણને સંદર્ભ કણ અને વર્તુળને સંદર્ભ વર્તુળ કહે છે.
ધારો કે, સંદર્ભ રેખા OX ની સાપેક્ષે, t = 0 સમયે કણનું કોણીય સ્થાન Φ છે. એટલે કે ∠P₁OX = Φ જ્યાં, Φ એ પ્રારંભિક કળા છે.
t જેટલા સમયમાં કણ ωt જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર અનુભવી P₁ બિંદુથી P₂ બિંદુ પર પહોંચે છે.
∴ t = t સમયે કણનું કોણીય સ્થાન ωt + Φ થશે.
t = 0 સમયે OP₁ નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ OP₁‘ છે.
t = t સમયે OP₂ નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ OP₂‘ થશે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,
cos (ωt + Φ) = \(\frac{O P_2^{\prime}}{O P_2}=\frac{x(t)}{A}\)
∴ x (t) = A cos (ωt + Φ) ……….. (14.6)
સમીકરણ (14.6) એ X-અક્ષ પર સ.આ.ગ. કરતા કણનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
જો OP₂નો પ્રક્ષેપ Y-અક્ષ પર લેવામાં આવે, તો
sin (ωt + Φ) = \(\frac{O Q}{O P_2}=\frac{y(t)}{A}\)
∴ y (t) = A sin (ωt + Φ) …… (14.7)
સમીકરણ (14.7) એ Y-અક્ષ પર સ.આ.ગ. કરતા કણનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે.
આમ, કોઈ કણP એ નિયમિત વર્તુળ ગતિ કરે, તો તેનો પ્રક્ષેપ P એ વર્તુળના વ્યાસ ૫૨ સ.આ.ગ. ક૨ે છે.
અહીં, કણ Pને સંદર્ભ કણ અને જે વર્તુળ પ૨ ગતિ કરે તેને સંદર્ભ વર્તુળ કહે છે.
આમ, સરળ આવર્તગતિ એ નિયમિત વર્તુળ ગતિની, સંદર્ભ વર્તુળના વ્યાસ પરના પ્રક્ષેપની ગતિ છે.

પ્રશ્ન 15.
નિયમિત વર્તુળ ગતિ કરતા કણના વેગ અને પ્રવેગની આકૃતિ દોરો. આ પરથી સ.આ.ગ. કરતા કણના વેગ અને પ્રવેગનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:

સ.આ.ગ. કરતા કણનો વેગ : આકૃતિ 14.13માં દર્શાવ્યા મુજબ કણ P એ A કંપવિસ્તારવાળી, ω જેટલી કોણીય આવૃત્તિથી, υ જેટલી ઝડપથી નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરે છે.

સંદર્ભ કણ Pના વેગનું મૂલ્ય υ = ωA થશે.
કોઈ પણ t સમયે વેગ \(\vec{υ}\) ની દિશા એ કણ જે સ્થાને છે, તે વર્તુળ પરના બિંદુના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
t સમયે \(\vec{υ}\) નો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ υ(t) થશે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,
υ(t) = υનો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ
= P’Q’
– PQ
= – υ sin (ωt + Φ)
∴ υ (t)= – Aω sin (ωt + Φ) …………. (14.8)
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે υ (t)ની દિશા એ ધન X-અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. સમીકરણ (14.8) એ સ.આ.ગ. કરતા કણનો t સમયે તાત્ક્ષણિક વેગ આપે છે.
સ.આ.ગ. કરતા કણનો પ્રવેગ : જ્યારે સંદર્ભ કણ નિયમિત વર્તુળમય ગતિ કરે છે, ત્યારે તેનો કેન્દ્રગામી \(\frac{v^2}{A}\) પ્રવેગ અથવા ω²A હોય છે અને તે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફની દિશામાં હોય છે.
a = ω²A

આકૃતિ 14.14માં PQ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ દર્શાવે છે. P’Q’ તેનો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ છે.

t સમયે સ.આ.ગ. કરતા કણનો પ્રવેગ,
a (t) = PQનો X-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ (P’Q’)
= PR
= – a cos (ωt + Φ)
∴ a (t) = – ω² A cos (ωt + Φ) ………… (14.9)
∴ a (t) = – ω² x (t) (∵ x (t) = A cos (ωt + Φ)
સમીકરણ (14.9) દર્શાવે છે કે સ.આ.ગ. કરતા કણનો તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ એ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 16.
સ.આ.ગ. કરતા કણના સ્થાનાંતરનું સૂત્ર લખો અને તે પરથી કણના વેગનું સૂત્ર સ્થાનાંતરના સ્વરૂપમાં મેળવો.
ઉત્તર:
X-અક્ષ પર સ.આ.ગ. કરતા કણ માટે t સમયે સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર વડે આપી શકાય :
x (t) = A cos (ωt + Φ) ………… (14.10)

સ્થાનાંતરનું tની સાપેક્ષે વિકલન કરતા કણનો વેગ મળે.
υ (t) = \(\frac{d}{d t}\) (x(t)) = \(\frac{d}{d t}\)(A cos (ωt + Φ))
= – ω A sin (ωt + Φ)
= – ω A [± \(\sqrt{1-\cos ^2(\omega t+\phi)}\)]
= ± ω \(\sqrt{A^2-A^2 \cos ^2(\omega t+\phi)}\)
∴ υ (t) = ± ω \(\sqrt{A^2-x^2}\) (સમીકરણ (14.10) પરથી) …………. (14.11)
જ્યારે કણ ધન X દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે વેગ υ ધન હોય છે અને ઋણ Y દિશામાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે વેગ ઋણ હોય છે.
ખાસ કિસ્સા :
(1) સંતુલન બિંદુ x = 0 આગળ કણનો વેગ,
υ = ± ω \(\sqrt{A^2-x^2}\) = ± ω A
આમ, સંતુલન બિંદુ આગળ કણનો વેગ મહત્તમ હોય છે.
υ_max = ± ω A

(2) પથનાં અંત્યબિંદુઓ x = ± A આગળ કણનો વેગ,
υ = ± ω \(\sqrt{A^2-A^2}\) = 0
આમ, અંત્યબિંદુઓ આગળ સ.આ.ગ. કરતા કણનો વેગ શૂન્ય હોય છે.
υ_min = 0

પ્રશ્ન 17.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતરનું સૂત્ર લખો. તે પરથી પ્રવેગનું સૂત્ર વિકલનનો ઉપયોગ કરી સ્થાનાંતરના સ્વરૂપમાં મેળવો.
ઉત્તર:
સ.આ.ગ. કરતા કણ માટે t સમયે સ્થાનાંતર,
x (t) = A cos (ωt + Φ) …… (14.12)

સ્થાનાંતર x (t)નું tની સાપેક્ષે બે વાર વિકલન કરતાં પ્રવેગ (a) મળે છે.
કણનો વેગ υ = \(\frac{d}{d t}\) (x (t))
કણનો પ્રવેગ a (t) = \(\frac{d^2}{d t^2}\) (x (t))
= \(\frac{d^2}{d t^2}\) (A cos (ωt + Φ))
\(\frac{d}{d t}\) (- A ω sin (ωt + Φ))
= – A ω \(\frac{d}{d t}\) (sin (ωt + Φ))
= – A ω² cos (ωt + Φ)
∴ a (t) = – ω² x (t) (સમીકરણ (14.12) પરથી)
ઉપરોક્ત સમીકરણમાં ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે પ્રવેગની દિશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. સ્થાનાંતર x ધન હોય, તો પ્રવેગ a ઋણ હોય છે.
– Aથી + Aની વચ્ચેના ના કોઈ પણ મૂલ્ય માટે પ્રવેગ a(t) હંમેશાં સંતુલન સ્થાન તરફની દિશામાં હોય છે.
ખાસ કિસ્સા :
(1) સંતુલન સ્થાન x = 0 આગળ કણનો પ્રવેગ,
a (t) = – ω² (0) = 0
આમ, સંતુલન સ્થાને કણનો પ્રવેગ ન્યૂનતમ a = 0 જેટલો હોય છે.
(2) પથનાં અંત્યબિંદુઓ x = ± A આગળ કણનો પ્રવેગ,
a (t) = – ω² (± A)
= ∓ ω² A
આમ, અંત્યબિંદુઓએ કણનો પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે.
a_max = ∓ ω² A

પ્રશ્ન 18.
સ.આ.ગ. માટે પ્રવેગ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો વક્ર કેવો હશે? આ વક્રનો ઢાળ શું હશે ?
ઉત્તર:
સરળ આવર્તદોલકનો પ્રવેગ,
a = – ω²x
નિયતબિંદુ (x = 0) સ્થાને પ્રવેગ a = 0
અંત્યબિંદુઓ (x = ± A) સ્થાને પ્રવેગ a_max = ∓ A ω².

સ.આ.ગ. માટે પ્રવેગ વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ આકૃતિ 14.15માં દર્શાવ્યો છે.

પ્રવેગ-સ્થાનાંતરના આલેખનો વક્ર સુરેખા છે. આ આલેખનો ઢાળ,
\(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{A \omega^2}{-A}\)
∴ ઢાળ = – ω²
આ આલેખનો ઢાળ કોણીય આવૃત્તિનો વર્ગ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 19.
સરળ આવર્તગતિ કરતા કણ માટે સ્થાનાંતર, વેગ અને પ્રવેગનાં સૂત્રો લખો. આ પરથી x (t) – t, υ (t) – t અને a (t) – tના આલેખ Φ = 0 માટે દોરો.
ઉત્તર:
Φ = 0 માટે સરળ આવર્તગતિ કરતા કણ માટેનાં સૂત્રો :
સ્થાનાંતર : x (t) = A cos ωt
વેગ : υ (t) = – A ω sinωt
પ્રવેગ : a (t) = – A ω² cos ωt
કણના એક પૂર્ણ દોલન દરમિયાન, જુદા જુદા સમય (t) માટે કણની કળા, સ્થાનાંતર (x), વેગ (υ) અને પ્રવેગ (a)નાં મૂલ્યો નીચે કોષ્ટકમાં દર્શાવ્યાં છે :

આ કોષ્ટકનાં મૂલ્યો પરથી x (t) – t, υ (t) – t અને a(t) – tના આલેખો આકૃતિ 14.16માં દર્શાવ્યા મુજબ મળશે.

આલેખ પરથી નીચેના મુદ્દાઓ સ્પષ્ટ થાય છે :

ત્રણેય રાશિઓ સ્થાનાંતર, વેગ અને પ્રવેગ સમય (t) સાથે આવર્ત રીતે બદલાય છે. ત્રણેયના આવર્તકાળ સમાન છે.
xનું મૂલ્ય -A અને + A વચ્ચે, વેગનું મૂલ્ય -Aω અને + Aω વચ્ચે તથા પ્રવેગનું મૂલ્ય -Aω²થી + Aω²ની વચ્ચે સમય સાથે બદલાય છે.
સ્થાનાંતરના કંપવિસ્તાર (A) કરતાં, વેગનો કંપવિસ્તાર ω ગણો અને પ્રવેગનો કંપવિસ્તાર ω² ગણો છે.
કણના વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચે કળા-તફાવત \(\frac{\pi}{2}\) જેટલો છે.
કણના સ્થાનાંતર અને પ્રવેગ વચ્ચે કળા-તફાવત π છે.

પ્રશ્ન 20.
સ.આ.ગ. કરતા કણ પર લાગતા બળનું સૂત્ર મેળવો. આ પરથી કણની કોણીય આવૃત્તિ, આવૃત્તિ અને આવર્તકાળનાં સૂત્રો જણાવો.
ઉત્તર:
સ.આ.ગ. કરતા કણનો પ્રવેગ,
a (t) = – ω²x (t) ……… (14.13)
જો કણનું દળ m હોય, તો ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર તેના પર લાગતું બળ,
F (t) = ma (t)
= – mω² x (t)
∴ F (t) = – kx (t) ………. (14.14)
જ્યાં, k = mω² ……….. (14.15)
કણ પર લાગતું આ બળ હંમેશાં મધ્યમાન સ્થાનની દિશા તરફ હોય છે. આથી તેને પુનઃસ્થાપક બળ પણ કહે છે.

સમીકરણ (14.14)ને સ.આ.ગ.માં બળનો નિયમ કહે છે. આ બળ સ્થાનાંતર x (t)ના સમપ્રમાણમાં છે. જે કણ આવા બળની અસરમાં દોલન કરતા હોય તેને રેખીય આવર્તદોલક કહે છે.
જો આ બળ x², x³ વગેરે જેવી પદાવલિઓ ધરાવતી હોય, તો આવા દોલકોને અરેખીય દોલકો કહે છે.
સમીકરણ (14.15) પરથી,
ω² = કણની કોણીય આવૃત્તિ ω = \(\sqrt{\frac{k}{m}}\)
ω = 2π v મૂકતાં,
કણની આવૃત્તિ v = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\)
v = \(\frac{1}{T}\) મૂકતાં,
કણનો આવર્તકાળ T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)
ઉપરોક્ત સમીકરણોમાં kને બળ-અચળાંક અથવા સ્પ્રિંગ-અચળાંક કહે છે. તેનો SI એકમ Nm^-1 છે. તે એકમ સ્થાનાંતરદીઠ લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 21.
સ.આ.ગ. કરતા કણની ગતિ-ઊર્જા, સ્થિતિ-ઊર્જા અને કુલ ઊર્જાનાં સૂત્રો તારવો. કુલ ઊર્જા શેના પર આધાર રાખે છે, તે જણાવો.
ઉત્તર:
ગતિ-ઊર્જા : સ.આ.ગ. કરતા કણનો વેગ એ સમયનું આવર્તવિધેય છે. તે સ્થાનાંતરનાં અંતિમ સ્થાનોએ શૂન્ય છે. સ.આ.ગ. કરતાં કણનો વેગ,
υ = – Aω sin (ωt + Φ)
આ કણની ગતિ-ઊર્જા નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે :
K = \(\frac{1}{2}\) mυ²
\(\frac{1}{2}\)m (-Aω sin (ωt + Φ)²
\(\frac{1}{2}\)mω²A² sin² (ωt + Φ)
K = \(\frac{1}{2}\)KA² sin² (ωt + Φ) ………… (14.16)
જ્યાં, k = mω² = બળ-અચળાંક

આમ, ગતિ-ઊર્જા એ સમયનું આવર્તવિધેય છે. જ્યારે સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય ત્યારે તે શૂન્ય હોય છે અને સંતુલિત સ્થાને તે મહત્તમ હોય છે.
ગતિ-ઊર્જાનો આવર્તકાળ \(\frac{T}{2}\) છે.
સ્થિતિ-ઊર્જા : સ્થિતિ-ઊર્જા ફક્ત સંરક્ષી બળો માટે જ શક્ય છે. સ.આ.ગ.માં પુનઃસ્થાપક બળ F = -kx એ સંરક્ષી બળ છે. આથી કણ સાથે સંકળાયેલ સ્થિતિ-ઊર્જા,
U = \(\frac{1}{2}\)kx²
પરંતુ, x = A cos (ωt + Φ) છે.
U = \(\frac{1}{2}\)k (A cos (ωt + Φ))²
∴ U = \(\frac{1}{2}\)kA² cos² (ωt + Φ) ……….. (14.17)
આમ, સ.આ.ગ. કરતા કણની સ્થિતિ-ઊર્જા પણ આવર્ત છે.
સંતુલન સ્થાને સ્થિતિ-ઊર્જા શૂન્ય અને અંત્યબિંદુઓએ મહત્તમ હોય છે.
સ્થિતિ-ઊર્જાનો આવર્તકાળ \(\frac{T}{2}\) છે.
કુલ ઊર્જા : સ.આ.ગ. કરતા કણની ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ- ઊર્જાના સ૨વાળાને કુલ ઊર્જા અથવા યાંત્રિક ઊર્જા (E) કહે છે.
કુલ ઊર્જા,
E = K + U
= \(\frac{1}{2}\)kA² sin² (ωt + Φ) + \(\frac{1}{2}\)kA² cos² (ωt + Φ)
= \(\frac{1}{2}\)kA² (sin² (ωt + Φ) + cos² (ωt + Φ))
∴ E = \(\frac{1}{2}\)kA²
આમ, કણની કુલ ઊર્જા એ સમયથી સ્વતંત્ર છે.
E ∝ A²
જો કણનું દળ m અને કોણીય આવૃત્તિ છ અચળ હોય, તો કણની કુલ ઊર્જા કંપવિસ્તારના વર્ગ પર આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 22.
સ.આ.ગ.માં દોલકની સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જાના સમયના વિધેય સ્વરૂપમાં સૂત્રો લખી, આપેલ ગતિ માટે સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જા વિરુદ્ધ સમયના આલેખો દોરો.
ઉત્તર:
સરળ આવર્તદોલકની સ્થિતિ-ઊર્જા,
U = \(\frac{1}{2}\)kx² = \(\frac{1}{2}\)kA² cos² (ωt + Φ)
અથવા
U= \(\frac{1}{2}\) mω²A² cos² (ωt + Φ) …………. (14.18)
સરળ આવર્તદોલકની ગતિ-ઊર્જા,
K = \(\frac{1}{2}\) mυ² = \(\frac{1}{2}\)mA²ω²sin² (ωt + Φ) ………… (14.19)
સરળ આવર્તદોલકની યાંત્રિક ઊર્જા,
E = U + K = \(\frac{1}{2}\)mω²A² અથવા
E = \(\frac{1}{2}\)kA² ………….. (14.20)

સમીકરણ (14.18), (14.19) અને (14.20)નો ઉપયોગ કરી સ.આ.દોલક માટે સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જા વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ આકૃતિ 14.17માં દર્શાવ્યા મુજબ મળશે.

આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, દોલક જ્યારે એક દોલન પૂર્ણ કરે છે ત્યારે K અને U બે દોલનો પૂર્ણ કરે છે. આમ, ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જાની આવૃત્તિ એ સરળ આવર્તગતિ કરતાં બમણી છે. આ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
1. સ.આ.ગ.માં ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા હંમેશાં ધન હોય છે. તેથી કુલ ઊર્જા પણ ધન જ હોય છે.
2. સ.આ.ગ.માં ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા એ બંને પ્રત્યેક આવર્તકાળ દરમિયાન બે વખત મહત્તમ અને બે વખત શૂન્ય બને છે.
3. સ.આ.ગ.માં T સમયગાળા દરમિયાન ગતિ-ઊર્જામાં જેટલો વધારો કે ઘટાડો થાય છે તેટલો સ્થિતિ-ઊર્જામાં અનુક્રમે ઘટાડો કે વધારો થાય છે.
4. કણની કુલ ઊર્જા (E) સમય સાથે અચળ રહે છે.

પ્રશ્ન 23.
સ.આ.ગ.માં દોલકની સ્થિતિ-ઊર્જા,ગતિ-ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જાનાં સૂત્રો લખી; આપેલ ગતિ માટે સ્થિતિ-ઊર્જા, ગતિ- ઊર્જા અને યાંત્રિક ઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરના આલેખો દોરો અને તેની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર :
સ.આ.ગ. કરતા દોલકનો વેગ,
υ = ± ω\(\sqrt{A^2-x^2}\)
ગતિ-ઊર્જા K = \(\frac{1}{2}\) mυ²
= \(\frac{1}{2}\)m (± ω\(\sqrt{A^2-x^2}\))²
= \(\frac{1}{2}\)mω²(A² – x²)
K = \(\frac{1}{2}\)k(A² – x²) ……… (14.21)
સ.આ.ગ. કરતા દોલકની સ્થિતિ-ઊર્જા,
U = \(\frac{1}{2}\) kx² …………. (14.22)
દોલકની કુલ ઊર્જા,
E = K + U
= \(\frac{1}{2}\) k (A² – x²) + \(\frac{1}{2}\) kx²
E = \(\frac{1}{2}\) kA² ………… (14.23)

સમીકરણ (14.21), (14.22) અને (14.23)નો ઉપયોગ કરી સ.આ.દો. માટે ગતિ-ઊર્જા, સ્થિતિ-ઊર્જા અને કુલ યાંત્રિક ઊર્જા વિરુદ્ધ સ્થાનાંતરનો આલેખ દોરી શકાય. (જુઓ આકૃતિ 14.18)

આલેખો પરથી સ્પષ્ટ છે કે,
(i) મધ્યમાન સ્થાન x = 0 આગળ સ્થિતિ-ઊર્જા ન્યૂનતમ (U = 0) અને ગતિ-ઊર્જા મહત્તમ (K = \(\frac{1}{2}\) kA² = E) છે.
(ii) ગતિપથનાં અંત્યબિંદુઓ (x = ±A) આગળ સ્થિતિ-ઊર્જા મહત્તમ (U = \(\frac{1}{2}\) kA² = E) અને ગતિ-ઊર્જા ન્યૂનતમ (K = 0) છે.
(iii) બિંદુઓ P અને Q આગળ સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જાના આલેખો એકબીજાને છેદે છે ત્યાં, U = K = \(\frac{E}{2}\).
(iv) P અને Q બિંદુના યામો અનુક્રમે (- \(\frac{A}{\sqrt{2}}, \frac{E}{2}\) ) અને (+ \(\frac{A}{\sqrt{2}}, \frac{E}{2}\)) છે.

પ્રશ્ન 24.
ઘર્ષણ રહિત સમક્ષિતિજ સપાટી પર એક દળ રહિત સ્પ્રિંગ અને બ્લૉક વડે બનતા તંત્રની સ.આ.ગ. સમજાવો અને તેના આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 14.19માં દર્શાવ્યા મુજબ એક દઢ દિવાલ સાથે દળ રહિત સ્પ્રિંગના એક છેડાને અને બીજા મુક્ત છેડા સાથે m દળનો બ્લૉક જોડેલો છે. આ બ્લૉકને ઘર્ષણ રહિત સપાટી પર મૂકેલ છે.

આ બ્લૉકને એક બાજુએ ખેંચીને છોડવામાં આવે, તો તે મધ્યમાન સ્થાનને અનુલક્ષીને આગળ-પાછળ સરળ આવર્તગતિ કરે છે.
સ્પ્રિંગની સંતુલન સ્થિતિમાં બ્લૉક x = 0 સ્થાને છે. − A અને +A એ મધ્યમાન સ્થાનેથી ડાબી અને જમણી તરફના મહત્તમ સ્થાનાંતરો છે. (જુઓ આકૃતિ 14.19)
સ્પ્રિંગ માટે રૉબર્ટ હૂકે આપેલા નિયમ મુજબ, ‘સ્પ્રિંગને વિરૂપિત કરવામાં (એટલે કે ખેંચવામાં અથવા દબાવવામાં) આવે ત્યારે તેમાં પુનઃસ્થાપક બળ લાગે છે. આ પુનઃસ્થાપક બળનું મૂલ્ય વિરૂપણ અથવા સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને તેની દિશા સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.’’
t સમયે જો મધ્યમાન સ્થાનેથી બ્લૉકનું સ્થાનાંતર x હોય, તો બ્લૉક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ,
F(x) = – kx ……….. (14.24)
જ્યાં, kને સ્પ્રિંગ-અચળાંક અથવા બળ-અચળાંક કહે છે.
સમીકરણ (14.24) એ સ.આ.ગ.ના બળના નિયમ જેવું જ છે. તેથી આ પ્રણાલી સ.આ.ગ. કરે છે. જ્યારે બ્લૉક સંતુલન સ્થાનથી જમણી તરફ હોય ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ ડાબી તરફ લાગે છે અને બ્લૉક ડાબી તરફ હોય ત્યારે પુનઃસ્થાપક બળ જમણી તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ અનુસાર,
F (x) = ma (x)
પરંતુ સ.આ.ગ. માટે a (x) = – ω²x છે.
∴ F (x) = = mω²x ……….. (14.25)
સમીકરણ (14.24) અને (14.25) પરથી,
– mω²x = – kx
∴ ω = \(\sqrt{\frac{k}{m}}\)
∴ \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) (ω = \(\frac{2 \pi}{T}\) છે.)
∴ બ્લૉકનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) ……… (14.26)
બ્લૉકની સ.આ.ગ.ની આવૃત્તિ માટે T = \(\frac{1}{v}\) મૂકતાં,
v = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\) ………….. (14.27)
નું મૂલ્ય સ્વિંગની સ્થિતિસ્થાપકતા પર આધારિત છે. કડક સ્પ્રિંગ માટે નું મૂલ્ય મોટું હોય છે. તેથી બ્લૉકનો આવર્તકાળ નાનો અને આવૃત્તિ મોટી હોય છે. બ્લૉકનાં દોલનો ઝડપથી થાય છે. મૃદુ સ્પ્રિંગ માટે નું મૂલ્ય નાનું હોય છે. તેથી આવર્તકાળ મોટો અને આવૃત્તિ નાની હોય છે. બ્લૉકનાં દોલનો ધીમેથી થાય છે.

પ્રશ્ન 25.
બે સ્પ્રિંગોના શ્રેણી-જોડાણ માટે તેના સમતુલ્ય બળ- અચળાંકનું સૂત્ર તારવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 14.20 (a)માં k₁ અને k₂ બળ-અચળાંકવાળી બે વજન રહિત સ્પ્રિંગોના શ્રેણી-જોડાણને દૃઢ આધાર પરથી શિરોલંબ લટકાવેલ છે. આ જોડાણના મુક્ત છેડા પર m દળ લટકાવેલ છે.

ધારો કે, પદાર્થને y જેટલા નાના અંતર સુધી નીચે તરફ ખેંચતાં, સ્પ્રિંગ 1ની લંબાઈમાં y₁ અને સ્પ્રિંગ 2ની લંબાઈમાં y₂ જેટલો વધારો થાય છે.
∴ y = y₁ + y₂
બંને સ્પ્રિંગોમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ F જેટલું સમાન હોય છે.
∴ F = – k₁y₁ અને F = – k₂y₂
પરંતુ, y = y₁ + y₂
= – \(\frac{F}{k_1}-\frac{F}{k_2}\)
= – F(\(\frac{k_1+k_2}{k_1 k_2}\))
∴ F = – y(\(\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2}\)) …… (14.28)
જો બંને સ્પ્રિંગોના શ્રેણી-જોડાણનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક k હોય, તો સમીકરણ (14.28)ને F = -ky સાથે સરખાવતાં,
k = \(\frac{k_1 k_2}{k_1+k_2}\)
આ તંત્રના દોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)
∴ T = 2π\(\sqrt{m\left(\frac{k_1+k_2}{k_1 k_2}\right)}\)
આ જ પ્રકારનાં પરિણામો આકૃતિ 14.20 (b)માં દર્શાવેલ તંત્ર માટે સાબિત કરી શકાય.

પ્રશ્ન 26.
k₁ અને k₂ બળ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોને સમાંતરમાં જોડી, તેમની સાથે m દળ ધરાવતો પદાર્થ લટકાવી દોલનો
કરાવતાં તેના આવર્તકાળનું સૂત્ર T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\) તારવો.
ઉત્તર:
વજન રહિત અને સમાન લંબાઈ ધરાવતી k₁ અને k₂ બળ-અચળાંકવાળી બે સ્પ્રિંગને આકૃતિ 14.21 (a)માં દર્શાવ્યા મુજબ શિરોલંબ લટકાવેલ છે. તેના મુક્ત છેડે m દળવાળો અને અસમાન ઘનતા વિતરણવાળો બ્લૉક લટકાવેલ છે. આથી તેમની લંબાઈમાં સમાન વધારો થાય છે.

પદાર્થને y જેટલું સ્થાનાંતર આપતાં તે ઊર્ધ્વતલમાં સરળ આવર્તગતિ કરે છે.
અહીં, બંને સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં સમાન વધારો થાય છે, પરંતુ બંને સ્પ્રિંગના બળ-અચળાંક જુદા જુદા હોવાથી બંને સ્પ્રિંગમાં પુનઃસ્થાપક બળ જુદું જુદું હોય છે.
જો F₁ અનેF₂ એ સ્પ્રિંગના ખેંચાણને લીધે ઉત્પન્ન થયેલ પુનઃસ્થાપક બળ હોય, તો F₁ = – k₁y અને F₂ = – k₂y
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ,
F = F₁ + F₂
= – k₁y – k₂y
= – (k₁ + k₂)y ……. (14.29)
જો બંને સ્પ્રિંગના તંત્રનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક k હોય, તો પુનઃસ્થાપક બળ, F = – ky
ઉપરોક્ત સમીકરણને સમીકરણ (14.29) સાથે સરખાવતાં બે સ્પ્રિંગના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય સ્વિંગ-અચળાંક,
k = k₁ + k₂
દોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\)
આકૃતિ 14.21 (b)માં દર્શાવેલ તંત્ર માટે પણ આ પ્રકારનાં પરિણામો સાબિત કરી શકાય.

પ્રશ્ન 27.
m દળ ધરાવતા પદાર્થને k₁ અને k₂ સ્પ્રિંગ- અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગોની વચ્ચે જોડી, એક તરફ y જેટલું સ્થાનાંતર કરાવી છોડી દેતા તે સ.આ.ગ. કરે છે. તેનો આવર્તકાળ T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\) તારવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 14.22 (a)માં k₁ અને k₂ સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગ વચ્ચે m દળવાળો પદાર્થ જોડેલ છે.

હવે પદાર્થને કોઈ એક તરફ ખેંચી છોડી દેતાં તે ઊર્ધ્વતલમાં સ.આ.ગ. કરે છે.
જ્યારે પદાર્થને કોઈ એક તરફ y જેટલું સ્થાનાંતર આપતાં, એક સ્પ્રિંગની લંબાઈમાં y જેટલો વધારો થાય છે અને બીજી સ્પ્રિંગમાં y જેટલો ઘટાડો થશે.
આથી બંને સ્વિંગમાં ઉત્પન્ન થતાં પુનઃસ્થાપક બળો F₁ અને F₂ એક જ દિશામાં લાગશે.
બંને સ્પ્રિંગમાં ઉત્પન્ન થતાં પુનઃસ્થાપક બળ અનુક્રમે F₁ અને F₂ હોય, તો
F₁ = – k₁y અને F₂ = – k₂y
કુલ પુનઃસ્થાપક બળ,
F = F₁ + F₂
= – k₁y – k₂y = – (k₁ + k₂)y
હવે, F = – ky ઘુને ઉપરોક્ત સમીકરણ સાથે સરખાવતાં આપેલી સ્પ્રિંગનો સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k = k₁ + k₂
સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}\)
આ પ્રકારનાં પરિણામો આકૃતિ 14.22 (b)માં દર્શાવેલ તંત્ર માટે સાબિત કરી શકાય. (જુઓ પાઠ્યપુસ્તકના ઉદાહરણ દાખલા નં. (6)) 14.8.2 સાદું લોલક

પ્રશ્ન 28.
સાદું લોલક એટલે શું? તેના આવર્તકાળનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
કોઈ એક સ્થિર (દઢ) આધાર પરથી વજન રહિત અને ખેંચી ન શકાય તેવી વળ રહિત દોરી વડે લટકતી નાની દળદાર વસ્તુથી બનતી રચનાને સાદું લોલક કહે છે.

સાદા લોલકનું સમગ્ર દ્રવ્યમાન લટકતી વસ્તુના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત થયેલું ગણવામાં આવે છે.

આકૃતિ 14.23માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે m દળના નાના ગોળાને વજન રહિત L લંબાઈની દોરી સાથે બાંધવામાં આવેલ છે. દોરીનો બીજો છેડો છત સાથે બાંધેલ છે.
આ ગોળો એક સમતલમાં આધારબિંદુ Oમાંથી પસાર થતી ઊર્ધ્વરેખાને અનુલક્ષીને દોલનો કરે છે. દોરીનો ઊર્ધ્વરેખા સાથે બનતો કોણ θ છે. ગોળાની સંતુલન સ્થિતિમાં θ = 0 હોય છે.
ગોળા પર ફક્ત બે બળો લાગે છે :
1. દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ T
2. ગુરુત્વ બળ mg (અધોદિશામાં)
ગુરુત્વબળ (mg)ના બે ઘટકો :
1. ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક mg cos θ જે દોરીની દિશામાં છે.
2. સ્પર્શીય ઘટક mg sin θ.
અહીં, ગોળો જેનું કેન્દ્ર આધારબિંદુ O હોય તેવા L ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ગતિ કરે છે. આથી ગોળાનો ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ = ω²L આ ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગને પરિણામે બળના બે ઘટકો મળે છે :
1. ત્રિજ્યાવર્તી બળ = T – mg cos θ
2. સ્પર્શીય બળ = mg sin θ
ત્રિજ્યાવર્તી બળની કાર્યરેખા આધારબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી આ બળ શૂન્ય ટૉર્ક આપે છે.
આથી આધારબિંદુને અનુલક્ષીને ટૉર્ક એ સ્પર્શીય બળ દ્વારા મળે છે.
τ = – L (mg sin θ)(τ = rF sin θ પરથી) (14.30)
આ પુનઃસ્થાપક ટૉર્ક છે, જે કોણીય સ્થાનાંતર ઘટાડવા એટલે કે ગોળાને મૂળ સ્થાને લાવવા પ્રયત્ન કરે છે. આથી તેને ઋણ સંજ્ઞા છે.
ન્યૂટનના ચાકગતિના નિયમ અનુસાર,
τ = Iα ……….. (14.31)
જ્યાં, I એ આધારબિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા અને α એ કોણીય પ્રવેગ છે.
સમીકરણ (14.30) અને (14.31) સરખાવતાં,
I α = – mg L sin θ
∴ α = – \(\frac{m g L}{I}\) sin θ
જો θ (radમાં) ખૂબ જ નાનો હોય, તો sin θ ≈ 6 લેતાં,
α = – \(\frac{m g L}{I}\) . θ ……. (14.32)
રેખીય સ.આ.ગ. માટે પ્રવેગ a = – ω²x ………… (14.33)
સમીકરણ (14.32) અને (14.33) ગાણિતિક રીતે સમતુલ્ય છે. અહીં સમીકરણ (14.33)માં ચલ x એ સ્થાનાંતર અને સમીકરણ (14.32)માં ચલ θ એ કોણીય સ્થાનાંતર છે.
આમ કહી શકાય કે, θના નાના મૂલ્ય માટે લોલકની ગતિ સ.આ.ગ. છે. સમીકરણ (14.32) અને (14.33) સરખાવતાં,
ω² = \(\frac{m g L}{I}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{m g L}{I}}\)
આથી આવર્તકાળ T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) = 2π \(\sqrt{\frac{I}{m g L}}\) ……….. (14.34)
સાદા લોલકની દોરી દળ રહિત હોવાથી આઘારબિંદુ Oને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા,
I = mL²
∴ સાદા લોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π \(\sqrt{\frac{m L^2}{m g L}}\)
∴ T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g}}\)
લોલકનો આવર્તકાળ ગોળાના દ્રવ્યની જાત કે દળ પર આધાર રાખતો નથી.

પ્રશ્ન 29.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર લખો. તેનો આવર્તકાળ કઈ બાબતો પર આધાર રાખે છે, તે જણાવો.
ઉત્તર:
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g}}\)
ઉપરોક્ત સમીકરણ દર્શાવે છે કે,

આવર્તકાળ ગોળાના દળથી સ્વતંત્ર છે.
આવર્તકાળ દોરીની લંબાઈ પર આધાર રાખે છે.
(T ∝ √L)
અહીં, T ∝ √L સંબંધ એ L ≥ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા માટે લાગુ પડતો નથી.
જો ગોળો ધાતુના તાર પર લટકાવેલ હોય, તો લોલકની લંબાઈ તાપમાન વધવાની સાથે વધે છે અને તાપમાન ઘટવાથી ઘટે છે. આથી લોલક ઘડિયાળ શિયાળામાં ઝડપી અને ઉનાળામાં ધીમી પડે છે.
લોલકનો આવર્તકાળ ગુરુત્વીય પ્રવેગ પર આધાર રાખે છે.
Τ ∝ \(\frac{1}{\sqrt{g}}\)
આ દર્શાવે છે કે પૃથ્વીની સપાટી કરતાં પહાડો પર કે ખાણોમાં gનું મૂલ્ય ઓછું હોય છે. આથી સાદા લોલકનો આવર્તકાળ પહાડો પર કે ખાણોમાં વધે છે.

પ્રશ્ન 30.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ માટેનું સૂત્ર લખો અને નીચે દર્શાવેલ આલેખો દોરી આલેખનો આકાર જણાવો :
(i) T – √L
(ii) T² – L
(iii) T – \(\frac{1}{\sqrt{g}}\)
(iv) T- \(\sqrt{\frac{L}{g}}\)
(v) T- L
(vi) T² – g
ઉત્તર:
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g}}\)
T અને L વચ્ચે સંબંધ દર્શાવતા આલેખો અને તેના આકાર:

ઉત્તર:
(i) લિફ્ટમાં સાદું લોલકઃ જ્યારે a જેટલા પ્રવેગથી લિફ્ટ ઉપર જતી હોય ત્યારે, લિફ્ટ અજડત્વીય નિર્દેશ-ફ્રેમ હોવાથી સાદા લોલક પ૨ આભાસી બળ (ma) નીચેની તરફ લાગશે. આથી લોલકનો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ,
g_eff = g + a
લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g+a}}\)
આ કિસ્સામાં લોલકનાં દોલનો ઝડપી બને છે.
જ્યારે લિફ્ટ a જેટલા પ્રવેગથી નીચે ઊતરે ત્યારે લોલક પર આભાસી બળ ઉપરની તરફ લાગે છે. આથી લોલકનો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ,
g_eff = g – a
લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g-a}}\)
આ કિસ્સામાં લોલકનાં દોલનો ધીમા પડે છે.

જો લિફ્ટ મુક્તપતન કરે, તો g = a થશે.
આથી T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g-a}}\) = 2π \(\sqrt{\frac{L}{g-g}}\) = ∞
અહીં, આવર્તકાળ અનંત થવાથી લોલક દોલન કરશે નહિ.

(ii) ટ્રેનના ડબામાં સાદું લોલક : a જેટલા પ્રવેગ કે પ્રતિપ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનના ડબામાં જો સાદું લોલક દોલન કરતું હોય, તો gનું અસરકારક મૂલ્ય, g_eff = \(\sqrt{g^2+a^2}\) થશે.
આથી આવર્તકાળ T = 2π \(\sqrt{\frac{L}{\left(g^2+a^2\right)^{\frac{1}{2}}}}\)

પ્રશ્ન 32.
સેકન્ડ લોલક એટલે શું? સમજાવો.
ઉત્તર:
જે લોલકનો આવર્તકાળ બે સેકન્ડ હોય તેવા લોલકને સેકન્ડ લોલક કહે છે. (T = 2s) આ પ્રકારનું લોલક એક અંતિમ સ્થાનેથી બીજા અંતિમ સ્થાને જવા માટે એક સેકન્ડ જેટલો સમય લે છે અને સમતોલન સ્થિતિ આગળથી તે દર સેકન્ડે પસાર થાય છે. પૃથ્વી પર આવા લોલકની લંબાઈ 1 mહોય છે.

પ્રશ્ન 33.
અવમંદિત દોલનો એટલે શું? ઉદાહરણ આપી સમજાવો. અવમંદિત બળ અને અવમંદિત અચળાંકની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
શુદ્ધ સરળ આવર્તગતિ એ આદર્શ પરિસ્થિતિ છે. તંત્ર પર જ્યારે અવરોધક બળ કે ઘર્ષણબળ લાગતું ના હોય ત્યારે જ તે અચળકંપવિસ્તારથી સ.આ.ગ. કરે છે.

વાસ્તવમાં સાદું લોલક હવામાં જ્યારે દોલન ક૨ે છે ત્યારે હવાનું ખેંચાણ (Drag) અને આધારબિંદુ આગળનું ઘર્ષણ તેની ગતિને અવરોધે છે. તેથી સમય સાથે તેનો કંપવિસ્તાર ઘટતો જાય છે અને અંતમાં દોલનો નષ્ટ થઈ જાય છે. આમ, લોલકની ઊર્જાનો ધીમે ધીમે વ્યય થાય છે. આવાં દોલનોને અવમંદિત દોલનો કહે છે.

આકૃતિ 14.26માં દર્શાવ્યા મુજબ k જેટલો સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી સ્પ્રિંગને એક આધારથી શિરોલંબ લટકાવેલ છે અને તેના મુક્ત છેડે m દળનો બ્લૉક જોડેલો છે. દોલનોને નોંધવા માટે બ્લૉક સાથે પેન જોડેલી છે.
બ્લૉકને સહેજ નીચેની તરફ ખેંચીને મુક્ત કરતા તે હવામાં ઊર્ધ્વતલમાં દોલનો કરે છે.
બ્લૉક દોલનની શરૂઆત કરે છે ત્યારે તેનો કંપવિસ્તાર A છે. વ્યવહારમાં બ્લૉકની આસપાસની હવા બ્લૉકની ગતિ પર અવમંદિત બળ (અવરોધક બળ) લગાડે છે અને તેની ગતિને અવરોધે છે. પરિણામે બ્લૉક સ્પ્રિંગ તંત્રની યાંત્રિક ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. ઊર્જાનો આ ઘટાડો આસપાસના માધ્યમમાં ઉષ્મારૂપે વ્યય થાય છે.
દોલકની કુલ ઊર્જા E = \(\frac{1}{2}\) kA² હોવાથી, ઊર્જા ઘટવાની સાથે કંપવિસ્તાર પણ ક્રમશઃ ઘટતો જાય છે. આકૃતિમાં તેને A’, A”, …… તરીકે દર્શાવેલ છે.
અવમંદિત બળ એ આસપાસના માધ્યમની પ્રકૃતિ પર આધારિત હોય છે. જો દોલકને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે, તો અવમંદિત બળ મોટું લાગે છે અને ઊર્જાનો વ્યય ઝડપથી થાય છે.
સામાન્ય રીતે અવમંદિત બળ બહુ મોટા ના હોય તેવા વેગના સમપ્રમાણમાં અને દોલકના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેને F_d વડે દર્શાવાય છે.
F_d ∝ – υ
∴ F_d = – bυ
જ્યાં ‘b’ને અવમંદિત અચળાંક અથવા અવરોધ ગુણાંક કહે છે. bનું મૂલ્ય માધ્યમની લાક્ષણિકતાઓ, બ્લૉકના આકાર અને પરિમાણ વગેરે પર આધાર રાખે છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે F_d એ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
‘b’નો SI એકમ : N s m^-1 અથવા kg s^-1
bનો CGS એકમ : dyne s cm^-1
bનું પારિમાણિક સૂત્ર : M¹ L⁰ T^-1

પ્રશ્ન 34.
અવમંદિત દોલનની ગતિનું વિકલ સમીકરણ મેળવો અને તેનો ઉકેલ જણાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, દૃઢ આધાર પરથી એક સ્પ્રિંગને ઊર્ધ્વદિશામાં લટકાવેલ છે અને તેના છેડે m દળનો બ્લૉક લટકાવેલ છે. બ્લૉકને નીચે ખેંચી છોડી દેતાં તેનાં પર બે બળો લાગે છે :
(1) પુનઃસ્થાપક બળ F_s = – kx
(2) અવમંદિત બળ F_d = – bυ
જ્યાં, x એ બ્લૉકનું સંતુલિત સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે. υ એ બ્લૉકની ગતિનો વેગ છે.

t સમયે બ્લૉક પર લાગતું કુલ બળ,
F = F_s + F_d
F = – kx – bυ ………… (14.35)

ન્યૂટનના ગતિના નિયમ અનુસાર, t સમયે બ્લૉકનો પ્રવેગ a હોય, તો
F = ma ……….. (14.36)
સમીકરણ (14.35) અને (14.36) પરથી,
ma (t) = – kx – bυ …… (14.37)
a = \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) અને υ = \(\frac{d x}{d t}\) મૂકતાં,
m \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) = – kx – b \(\frac{d x}{d t}\)
∴ m \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) + b \(\frac{d x}{d t}\) + kx = 0 …….. (14.38)
અથવા
\(\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{b}{m} \frac{d x}{d t}+\frac{k}{m}\) x = 0
સમીકરણ (14.38) એ અવમંદિત દોલનો માટેનું વિકલ સમીકરણ છે.
વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ :
સમીકરણ (14.38) એ અવમંદિત સરળ આવર્તગતિ માટેનું વિકલ સમીકરણ છે. તેનો ઉકેલ નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે :
x (t) = \(A e^{-\left(\frac{b t}{2 \mathrm{~m}}\right)}\) cos (ω’t + Φ)
જ્યાં, ω’ એ અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ છે. A અને Φ ઉકેલના અચળાંકો છે.
અહીં, ω’ = 2πf’ = \(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4 m^2}}\)
જો b = 0 હોય, તો ω’ = \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) એ આદર્શ સ.આ.ગ. દર્શાવે છે.

પ્રશ્ન 35.
અવમંદિત દોલનો માટેનું વિકલ સમીકરણ લખો. આ સમીકરણનો ઉકેલ લખો અને અવમંદિત દોલનોમાં કંપવિસ્તાર વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ દોરો. દર્શાવો કે સમય સાથે યાંત્રિક ઊર્જા ચરઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
ઉત્તર:
અવમંદિત દોલનો માટેનું વિકલ સમીકરણ નીચે મુજબ છે :
\(\frac{d^2 x}{d t^2}+\frac{b}{m} \frac{d x}{d t}+\frac{k}{m}\) x = 0

તેનો ઉકેલ [ \(\frac{k}{m}\) > (\(\frac{b}{2 m}\))²] શરત સાથે નીચે મુજબ મેળવી શકાય છે :
x (t) = \(\left.A e^{-\left(\frac{b t}{2 m}\right.}\right)\) cos (ω’t + Φ)
જ્યાં, ω’ એ અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ છે. A તથા Φ ઉકેલના અચળાંકો છે, જેનો આધાર તંત્રની ‘પ્રારંભિક અવસ્થા’ પર રહેલો છે.
અહીં, ω’ 2π v’ = \(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4 m^2}}\)

આકૃતિ 14.27માં દોલકનો સ્થાનાંતર-સમયનો આલેખ દર્શાવ્યો છે. આ પ્રકારનાં દોલનોનો કંપવિસ્તાર \(\left.A e^{-\left(\frac{b t}{2 m}\right.}\right)\) હોવાથી તે સમય સાથે \(e^{-\left(\frac{b t}{2 m}\right)}\) મુજબ ચરઘાતાંકીય રીતે ઘટતો હોય છે. આલેખમાં તૂટક રેખાઓ સમય સાથે કંપવિસ્તારમાં થતો ઘટાડો દર્શાવે છે.
ઓછા અવમંદનના કિસ્સામાં (એટલે \(\frac{b}{\sqrt{k m}}\) < < 1) યાંત્રિક ઊર્જા E = \(\frac{1}{2}\) kA² સૂત્રમાં કંપવિસ્તાર A(t) = \(A \cdot e^{-\frac{b t}{2 \mathrm{~m}}}\) લેતાં, અવમંદિત દોલનો માટેની યાંત્રિક ઊર્જા E(t) મળે છે.
E(t) = \(\frac{1}{2}\) kA² (t)
∴ E(t) = \(\frac{1}{2}\) kA²\(e^{-\frac{b_t}{m}}\)
સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, યાંત્રિક ઊર્જા પણ સમય સાથે ચરઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે.
[નોંધ : નાના અવમંદન માટે \(\frac{b}{\sqrt{\mathrm{km}}}\)નું મૂલ્ય 1થી ખૂબ ઓછું હોય છે. આ ગુણોત્તર પરિમાણ રહિત છે.]

પ્રશ્ન 36.
એક પદાર્થની સ.આ.ગ. અને તેની અવમંદિત ગતિનો તફાવત કંપવિસ્તાર અને આવર્તકાળના સંદર્ભમાં આપો.
ઉત્તર:
સરળ આવર્તગતિનું (શુદ્ધ સ.આ.ગ. અથવા પ્રાકૃતિક દોલનોનું) સમીકરણ y = Acos(ωt + Φ) છે. જ્યાં, ω = \(\sqrt{\frac{k}{m}}\) છે.

જ્યારે અવમંદિત ગતિનું સમીકરણ,
y(t) = \(A e^{-\frac{b t}{2 m}}\) cos(ω’t + Φ) છે.
જયાં ω’ = \(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{4 m^2}}\) છે.
આમ, આ બે ગતિ વચ્ચેનો તફાવત નીચે પ્રમાણે છે :

પ્રશ્ન 37.
મુક્ત દોલનો અને પ્રણોદિત દોલનો સમજાવો.
ઉત્તર:
અવરોધક બળની ગેરહાજરીમાં જ્યારે કોઈ પ્રણાલીને (દા. ત., સાદા લોલકને) તેની સંતુલિત અવસ્થામાંથી સ્થાનાંતરિત કરીને મુક્ત કરવામાં આવે, તો તે તેની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ (ω = \(\sqrt{\frac{g}{l}}\)) સાથે દોલનો કરે છે. આ દોલનોને મુક્ત દોલનો (Free oscillation) કહે છે.

પરંતુ વ્યવહારમાં મુક્ત દોલનો (પ્રાકૃતિક દોલનો) શક્ય નથી. અવમંદિત બળોની હાજરીમાં મુક્ત દોલનો સમય જતાં ક્ષય
પામે છે.
આ દોલનોને ટકાવી રાખવા માટે ચોક્કસ બાહ્ય પરિબળ (બાહ્ય બળ) જરૂરી છે. આવાં દોલનોને બળ પ્રેરિત દોલનો (Forced oscillation) અથવા પ્રણોદિત દોલનો કહે છે.
જો બાહ્ય બળની આવૃત્તિ ત હોય, તો પ્રણાલી એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ થી નહિ, પરંતુ બાહ્ય બળની આવૃત્તિ થી દોલન કરે છે. અહીં, પ્રણાલીનાં મુક્ત દોલનો અવમંદનને કારણે અટકી જાય છે. છતને પ્રણોદિત આવૃત્તિ કહે છે.
ઉદાહરણ : હીંચકામાં ઝૂલતો બાળક પગથી સમયાંતરે જમીનને ધક્કો લગાવે છે, જેથી હીંચકો સતત દોલનો કરતો રહે છે. અહીં, બાહ્ય બળ પગ દ્વારા હીંચકાને આપવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 38.
પ્રણોદિત દોલનો માટે વિકલ સમીકરણ મેળવો અને તેનો ઉકેલ જણાવો.
ઉત્તર:
ધારો કે, કોઈ એક અવમંદિત દોલક પર તેનાં દોલનો ચાલુ રાખવા માટે F₀ કંપવિસ્તારનું કોઈ બાહ્ય આવર્તક બળ F (t) લાગુ પડે છે. F (t)ને નીચે મુજબ રજૂ કરી શકાય :
F (t) = F₀ cos ω_d t

પ્રણોદિત દોલનો કરતાં તંત્ર પર નીચે મુજબ ત્રણ પ્રકારના બળ લાગે છે :
1. રેખીય પુનઃસ્થાપક બળF_x (t) = -kx (t)
2. અવમંદન બળ F_d = – bυ (t)
3. બાહ્ય પ્રણોદિત બળ F_e = F₀ cos ω_d t
કુલ બળ F = F_x (t) + F_d + F_e
∴ F = – kx (t) – bυ (t) + F₀ cos ω_d t
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ પરથી,
F = ma (t)
આથી ma (t) = – kx (t) – bυ (t) + F₀ cos ω_d t

સમીકરણ (14.39) એ અવમંદન સાથેનાં પ્રણોદિત દોલનો માટેનું વિકલ સમીકરણ છે. m એ દોલકનું દળ, ω એ દોલનની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ અને ω_d એ પ્રણોદિત આવૃત્તિ છે.
દોલક શરૂઆતમાં પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ ω સાથે દોલનો કરે છે. જ્યારે બાહ્ય આવર્ત બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે પ્રાકૃતિક આવૃત્તિનાં દોલનો ક્ષીણ થાય છે અને પદાર્થ બાહ્ય બળની આવૃત્તિ ω_dથી દોલનો કરે છે.
વિકલ સમીકરણ (14.39)નો ઉકેલ નીચે મુજબ મેળવી શકાય :
x (t) = A cos (ω_d t + Φ) ……. (14.40)
અહીં, x (t) એ t સમયે પ્રણોદિત દોલનનું સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. સમય tને જ્યારથી આપણે આવર્ત બળ લાગુ પાડીએ તે ક્ષણથી માપવામાં આવે છે.
અહીં, A અને Φ ઉકેલના અચળાંકો છે.
જ્યાં,

જ્યાં, x₀ = દોલકનું t = 0 સમયે સ્થાનાંતર
υ₀ = દોલકનો t = ૦ સમયે વેગ

પ્રશ્ન 39.
અવમંદન સાથેનાં પ્રણોદિત દોલનોના કંપવિસ્તારનું સૂત્ર લખો. આ પરથી અનુનાદની ઘટના સમજાવો.
ઉત્તર:
પ્રણોદિત દોલનોના સ્થાનાંતરનું સૂત્ર,
x (t) = A cos (ω_d t + Φ) વડે આપવામાં આવે છે. આ દોલનોનો કંપવિસ્તાર A એ બળ પ્રેરિત આવૃત્તિ ω_d અને પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ નું વિધેય છે.
A = \(\frac{F_0}{\left(m^2\left(\omega^2-\omega_d^2\right)^2+\omega_d^2 b^2\right)^{\frac{1}{2}}}\) ………. (14.41)
જ્યારે ω_d એ ωથી સદંતર અલગ હોય તથા ω_d એ ωની નજીક હોય ત્યારે દોલનના જુદા જુદા વર્તન જોવા મળે છે.

(1) નાનું અવમંદન અને બાહ્ય બળની આવૃત્તિ (ω_d) પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ (ω)થી ખૂબ જુદી હોય : નાના અવમંદન માટે ω_dbનું મૂલ્ય ખૂબ જ નાનું હોવાથી abનું મૂલ્ય એ m (ω² – ω_d²) કરતાં ખૂબ જ નાનું થશે. આથી સમીકરણ (14.41)માં તેને અવગણતાં,
કંપવિસ્તાર A = \(\frac{F_0}{m\left(\omega^2-\omega_{\mathrm{d}}^2\right)}\) ……….. (14.42)

જો ωનું મૂલ્ય બાહ્ય બળની આવૃત્તિ ω_dથી ઘણું જુદું હોય, તો (ω_d – ω) મૂલ્ય ખૂબ મોટું થશે અને કંપવિસ્તાર A નાનો મળે છે.
જેમ ωનું મૂલ્ય ω_dતેની નજીક આવતું જાય છે તેમ કંપવિસ્તાર વધતો જાય છે. ω = ω_d માટે કંપવિસ્તાર મહત્તમ થાય છે. આ ઘટનાને અનુનાદ (Resonance) કહે છે. અહીં, ω_dને અનુનાદીય આવૃત્તિ (Resonance frequency) કહે છે.
આકૃતિ 14.28માં અવમંદન અચળાંક bનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો માટે અનુનાદ વક્રો દર્શાવ્યા છે.

જો b = 0 હોય અને ω = ω_d થાય ત્યારે દોલનોનો કંપવિસ્તાર અનંત થાય છે.
[A = \(\frac{F_0}{\left[m^2\left(\omega^2-\omega_{\mathrm{d}}^2\right)^2+b^2 \omega_{\mathrm{d}}^2\right]^{\frac{1}{2}}}=\frac{F_0}{0}\) = ∞]
શૂન્ય અવમંદન આદર્શ કિસ્સો છે, કારણ કે અવમંદન સંપૂર્ણપણે શૂન્ય ક્યારેય ના હોઈ શકે.
જેમ અવમંદન નાનું તેમ અનુનાદ શિખરો ઊંચા અને સાંકડા હોય છે.

(2) બાહ્ય બળની આવૃત્તિ એ પ્રાકૃતિક આવૃત્તિની નજીક હોય : જો ω_d એ ωની ખૂબ જ નજીક હોય, તો m (ω² – ω_d²) એ ω_db કરતાં ઘણું નાનું થશે. તેથી bના કોઈ પણ વાજબી મૂલ્ય માટે કંપવિસ્તારનું મૂલ્ય,
A = \(\frac{F_0}{\omega_{\mathrm{d}} b}\) …………. (14.43)
સમીકરણ (14.43) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, આપેલ બાહ્ય બળની આવૃત્તિ માટે મહત્તમ કંપવિસ્તાર એ બાહ્ય બળની આવૃત્તિ અને અવમંદન અચળાંક (b) પર આધારિત છે અને તે ક્યારેય અનંત ન થાય.
– જ્યારે બાહ્ય બળની આવૃત્તિ એ દોલકની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિની નજીક હોય ત્યારે કંપવિસ્તારમાં થતા વધારાની ઘટનાને અનુનાદ કહે છે.

પ્રશ્ન 40.
જુદી જુદી લંબાઈના લોલકના સમૂહને લઈને અનુનાદની ઘટના સમજાવો.
ઉત્તર:
આકૃતિ 14.29માં દર્શાવ્યા મુજબ એક જ દોરી પર લટકાવેલ જુદી જુદી લંબાઈનાં સાદાં લોલકોના સમૂહને ધ્યાનમાં લો. લોલક 1 અને લોલક 4ની લંબાઈ સમાન છે અને અન્યની લંબાઈ અલગ અલગ છે.

લોલક 1ને ગતિમાં લાવતાં આ લોલકની ઊર્જા દોરી મારફતે અન્ય લોલકોમાં પ્રસરણ પામે છે અને તેઓ દોલનો શરૂ કરે છે. એટલે કે દોરી દ્વારા બાહ્ય બળ લોલકો પર લગાડવામાં આવે છે.
પ્રારંભમાં લોલક 2, 3 અને 5 તેમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ અને જુદાં જુદાં કંપવિસ્તારથી દોલનો શરૂ કરે છે. ત્યારબાદ તેમની ગતિ ધીમે ધીમે ક્ષય પામે છે.
ત્યારબાદ આ લોલકના દોલનની આવૃત્તિઓ ધીમે ધીમે બદલાય છે અને તેઓ લોલક 1ની આવૃત્તિથી પણ વિવિધ કંપવિસ્તારોથી દોલન કરે છે. તેઓના કંપવિસ્તાર નાના હોય છે.
પરંતુ લોલક 4 એ લોલક 1ની સમાન આવૃત્તિ સાથે દોલન કરે છે અને તેનો કંપવિસ્તાર ધીમે ધીમે વધે છે અને તે ખૂબ મોટો થાય છે. અહીં, બંને લોલકોની લંબાઈ સમાન હોવાથી તેમની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ સમાન હોવાથી તેઓ મોટા કંપવિસ્તાર સાથે દોલનો કરે છે. આમ, અનુનાદની ઘટના સર્જાય છે.

પ્રશ્ન 41.
અનુનાદનાં ઉદાહરણો જણાવો.
ઉત્તર:
(1) ઝૂલતા પુલ પરથી લશ્કર માર્ચ (તાલબદ્ધ પગની ગતિ) કરતું કરતું પસાર થતું હોય અને માર્ચ કરતા સૈનિકોના પગ વડે પુલ પર લાગતા બાહ્ય આવર્ત બળની આવૃત્તિ (ω_d) ઝૂલતા પુલની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ (ω) જેટલી કે તેની નજીક થાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે અને પુલ મોટા કંપવિસ્તારથી દોલનો કરે છે. તેથી પુલ તૂટી પડવાનો ભય રહે છે. (આથી જ પુલ પરથી પસાર થતી વખતે સૈનિકો માર્ચિંગ કરતા નથી.)

(2) ઝૂલતા પુલને ઘણી વખત વહેતા પવનનાં ઝાપટાં લાગતાં હોય છે. વહેતા પવનનાં ઝાપટાં વારંવાર પુલ સાથે અથડાતાં પુલ પર લાગતા બાહ્ય આવર્ત બળની આવૃત્તિ પુલનાં દોલનોની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ જેટલી કે તેની નજીક થાય, તો તેમની વચ્ચે અનુનાદ થવાથી પુલ મોટા કંપવિસ્તારથી દોલનો કરે છે અને તૂટી પડવાનો ભય ઊભો થાય છે.

(3) ઍરોપ્લેનની ડિઝાઇન કરતી વખતે પણ પ્લેનની પાંખનાં દોલનોની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ (ω), પ્લેનના એંજિનની આવૃત્તિ (ω_d) સાથે બંધબેસતી ન આવે (અનુનાદ ના થાય) તેનું ધ્યાન રાખવામાં આવે છે.

( 4 ) ધરતીકંપ વખતે ઓછી ઊંચાઈ અને મોટી ઊંચાઈવાળા બાંધકામને ઓછું નુકસાન થાય છે. મધ્યમ ઊંચાઈવાળા બાંધકામ પડી જાય છે. કારણ કે સેસ્મિક (ધરતીકંપના) તરંગોની આવૃત્તિ, ઓછી ઊંચાઈવાળા બાંધકામની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ કરતાં ઓછી અને વધુ ઊંચાઈવાળા બાંધકામની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ કરતાં વધુ હોય છે.

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
આવર્તગતિ કોને કહે છે?
ઉત્તર:
જે ગતિ સમયના નિયમિત અંતરાલો પર પુનરાવર્તન કરે તેને આવર્તગતિ કહે છે.

પ્રશ્ન 2.
દોલનો અને કંપનો વચ્ચેનો તફાવત જણાવો.
ઉત્તર :
જ્યારે દોલકની આવૃત્તિ નાની હોય છે ત્યારે તેને દોલન કહે છે. જ્યારે આવૃત્તિ ઊંચી હોય ત્યારે તેને કંપન કહે છે.

પ્રશ્ન 3.
રેખીય આવર્તદોલક કોને કહે છે?
ઉત્તર:
જે આવર્તગતિમાં દોલક બળના નિયમ F = – kxની અસર હેઠળ દોલન કરતો હોય તેને રેખીય આવર્તદોલક કહે છે. (અહીં, બળ (F) એ xને રેખીય સમપ્રમાણમાં ચલે છે.)

પ્રશ્ન 4.
બળ-અચળાંક(સ્પ્રિંગ-અચળાંક)ને વ્યાખ્યાયિત કરો અને તેનો SI એકમ જણાવો.
ઉત્તર:
દોલિત કણના એકમ સ્થાનાંતરદીઠ ઉદ્ભવતા પુનઃસ્થાપક બળને બળ-અચળાંક (k) અથવા સ્પ્રિંગ-અચળાંક કહે છે. તેનો SI એકમ Nm^-1 છે.

પ્રશ્ન 5.
સ.આ.ગ. માટે આવર્તકાળ T, સ્થાનાંતર x અને પ્રવેગ વચ્ચેનો સંબંધ જણાવો.
ઉત્તર:
દોલકનો પ્રવેગ a = ω²x
∴ a = (\(\frac{2 \pi}{T}\))²x
∴ T² = (2π)²\(\frac{x}{a}\)
∴ T = 2π\(\sqrt{\frac{x}{a}}\)

પ્રશ્ન 6.
સ.આ.ગ. કરતા કણની ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા
(i) મધ્યમાન સ્થાને
(ii) અંત્યબિંદુઓએ કેટલી હશે?
ઉત્તર:
(i) મધ્યમાન સ્થાને : ગતિ-ઊર્જા = મહત્તમ, સ્થિતિ-ઊર્જા = 0
(ii) અંત્યબિંદુઓએ : ગતિ-ઊર્જા = 0, સ્થિતિ-ઊર્જા = મહત્તમ

પ્રશ્ન 7.
સાદા લોલકની દોરીમાં મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તણાવ ગતિપથનાં કયાં બિંદુઓએ હોય છે?
ઉત્તર:
લોલકની દોરીમાં તણાવ T = mg cos θ.

જ્યારે cos θ = 1 એટલે કે θ = 0° હશે ત્યારે દોરીમાં તણાવ મહત્તમ હશે. આમ જ્યારે લોલક મધ્યમાન સ્થાને હોય ત્યારે દોરીમાં તણાવ મહત્તમ હશે.
જ્યારે cos θ લઘુતમ એટલે કે θ મહત્તમ હશે ત્યારે તે સ્થાને તણાવ લઘુતમ હશે. એટલે કે લોલક અંત્યબિંદુએ હશે ત્યારે તણાવ લઘુતમ હશે.

પ્રશ્ન 8.
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર સાદા લોલકનો આવર્તકાળ કેટલો હશે?
ઉત્તર:
પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર g = 0 હોવાથી લોલકનો આવર્તકાળ T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) = ∞ થશે.

પ્રશ્ન 9.
સ.આ.ગ. કરતા કણ માટે
(i) વેગ અને સ્થાનાંતર
(ii) પ્રવેગ અને વેગ વચ્ચેનો કળા-તફાવત જણાવો.
ઉત્તર:
(i) કણનો વેગ, સ્થાનાંતર કરતાં \(\frac{\pi}{2}\) rad જેટલો આગળ હોય છે.
(ii) કણનો પ્રવેગ પણ વેગથી \(\frac{\pi}{2}\) rad જેટલો આગળ હોય છે.

પ્રશ્ન 10.
સેકન્ડ લોલકની લંબાઈ l છે. જો તેની લંબાઈ અડધી કરવામાં આવે, તો તેનો આવર્તકાળ કેટલો થશે?
ઉકેલ:
સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ 2 s છે.
લોલક માટે T ∝ √l
∴ \(\frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}=\sqrt{\frac{l_1 / 2}{l_1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
∴ T₂ = \(\frac{T_1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} \mathrm{~s}\)

પ્રશ્ન 11.
100 N m^-1 અને 400 N m^-1 સ્પ્રિંગ-અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગને શ્રેણીમાં જોડેલ છે. આ તંત્રનો અસરકારક સ્પ્રિંગ-
અચળાંક કેટલો થશે?
ઉકેલ:
તંત્રનો સ્પ્રિંગ-અચળાંક,
\(\frac{1}{k}=\frac{1}{100}+\frac{1}{400}\)
∴ k = \(\frac{100 \times 400}{100+400}\) = 80 N m^-1

પ્રશ્ન 12.
સ.આ.ગ.ની લાક્ષણિકતાઓ જણાવો.
ઉત્તર:
સ.આ.ગ.ની અગત્યની લાક્ષણિકતાઓ નીચે મુજબ છે :

કણ સુરેખ પથ પર મધ્યમાન સ્થાનની આગળ-પાછળ કે ઉપર-નીચે તરફની ગતિ કરે છે.
કણનું સ્થાનાંતર, વેગ અને પ્રવેગ સમય સાથે આવર્તીય રીતે બદલાય છે. તેઓ સમાન કળામાં નથી હોતા.
કણના પ્રવેગની દિશા હંમેશાં મધ્યમાન સ્થાન તરફ હોય છે.
પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 13.
એક કણ તેના દોલનના કંપવિસ્તારના મધ્યસ્થાનેથી દોલનની શરૂઆત કરે છે, તો તેની પ્રારંભિક કળા કેટલી હશે?
ઉકેલઃ
x = A sin (ωt + Φ₀)
t = 0 સમયે, x = \(\frac{A}{2}\) છે.
∴ \(\frac{A}{2}\) = A sin (ω (0) + Φ₀) = A sin Φ₀
∴ sin Φ₀ = \(\frac{1}{2}\)
∴ Φ₀ = sin^-1[latex]\frac{1}{2}[/latex] = \(\frac{\pi}{6}\) rad

પ્રશ્ન 14.
સાદા લોલકના દોલન દરમિયાન કઈ ભૌતિક રાશિ અચળ રહે છે?
ઉત્તર:
સાદા લોલકની કુલ ઊર્જા દોલનની દરેક ક્ષણે અચળ રહે છે.

પ્રશ્ન 15.
અનુનાદ એટલે શું?
ઉત્તર:
જ્યા૨ે ચાલક બળની આવૃત્તિ એ દોલકની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિની નજીક હોય ત્યારે દોલનમાં કંપવિસ્તારમાં થતાં વધારાની ઘટનાને અનુનાદ કહે છે.

પ્રશ્ન 16.
પદાર્થની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ શેના પર આધાર રાખે છે?
ઉત્તર:
પદાર્થની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ પદાર્થના દ્રવ્યની સ્થિતિસ્થાપકતા તેમજ તેના પરિમાણ પર આધાર રાખે છે.

પ્રશ્ન 17.
ધરતીકંપ ક્યારેક વિનાશકારક કેમ હોય છે?
ઉત્તર:
ધરતીકંપ દરમિયાન પૃથ્વીના પેટાળમાં ઉત્પન્ન થતાં દોલનોની આવૃત્તિ અને કેટલાંક મકાનો અને બ્રિજની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ સમાન હોય ત્યારે અનુનાદ ઉત્પન્ન થાય છે અને મકાનો મોટા કંપવિસ્તારથી દોલનો કરે છે. પરિણામે તે વિનાશ પામે છે.

પ્રશ્ન 18.
એક પૂર્ણ દોલનમાં સાદા લોલક વડે થતું કાર્ય કેટલું હશે?
ઉત્તર:
એક પૂર્ણ દોલન બાદ દોલક મૂળ સ્થાને પાછો આવતો હોવાથી તેનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થાય છે. આથી લોલક વડે થતું કાર્ય પણ શૂન્ય હશે.
લખો.

પ્રશ્ન 19.
મુક્તપતન કરતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ કેટલો થશે?
ઉત્તર:
મુક્તપતન કરતી લિફ્ટમાં રહેલા પદાર્થનો પ્રવેગ,
g’ = g – a = g – g = 0 (∵ a = g)
હવે, લોલકનો આવર્તકાળ,
T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\), 2π\(\sqrt{\frac{l}{0}}\) = ∞
આમ, લોલકનો આવર્તકાળ અનંત થશે.

પ્રશ્ન 20.
U-ટ્યૂબમાં પ્રવાહીના દોલનના આવર્તકાળનું સમીકરણ
ઉત્તર:
T = 2π\(\sqrt{\frac{y}{g}}\) જ્યાં, y = પ્રવાહીનું સ્થાનાંતર છે.

પ્રશ્ન 21.
પ્રારંભિક કળા શું છે? તે કયા એકમમાં મપાય છે?
ઉત્તર:
t = 0 સમયની સ.આ.દોલકની કળાને પ્રારંભિક કળા (હું) અથવા કળા-અચળાંક કહે છે. તેનો એકમ rad છે.

પ્રશ્ન 22.
એક સ.આ.દોલકનો કંપવિસ્તાર 4cm છે. નિયતબિંદુથી કેટલા અંતરે તેની સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જા સરખી થશે ? ઉત્તર ઃ સ.આ.દોલકની કુલ ઊર્જા,
E = K + U
∴ E = U + U = 2U (∵ K = U છે.)
∴ \(\frac{1}{2}\)kA² = 2 × \(\frac{1}{2}\)kx²
∴ x = ± \(\frac{A}{\sqrt{2}}\) = ± \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) = ± 2√2 cm
આમ, નિયતબિંદુથી 2√2 cm અંતરે દોલકની સ્થિતિ-ઊર્જા અને ગતિ-ઊર્જા સમાન થશે.

પ્રશ્ન 23.
બળ-અચળાંકનો SI એકમ શું છે?
ઉત્તર:
બળ-અચળાંકનો SI એકમ Nm^-1 છે. (F = -kx પરથી)

પ્રશ્ન 24.
સ.આ.ગ. માટે પ્રવેગ (a) – કંપવિસ્તાર, સ્થાનાંતર – કંપવિસ્તાર (A) અને કોણીય આવૃત્તિ (ω) વચ્ચેનો સંબંધ લખો.
ઉત્તર:
પ્રવેગ (a)-કંપવિસ્તાર વચ્ચેનો સંબંધ : a_max = ∓ ω²A સ્થાનાંતર, કંપવિસ્તાર (A) અને કોણીય આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધઃ υ = ± ω\(\sqrt{A^2-x^2}\)

પ્રશ્ન 25.
સાદું લોલક આખરે કેમ થંભી જાય છે?
ઉત્તર:
વ્યવહારમાં કોઈ પણ યાંત્રિક પ્રણાલી અવરોધ પેદા કરતા માધ્યમમાં જ દોલનો કરે છે. આ ઉપરાંત, યાંત્રિક પ્રણાલીમાં આંતરિક ઘર્ષણબળો હોય છે. અવરોધક બળની વિરુદ્ધમાં દોલન કરતા તંત્રને કાર્ય કરવું પડતું હોવાથી યાંત્રિક ઊર્જા એ ઉષ્મા-ઊર્જા સ્વરૂપે મુક્ત કરે છે.
હવે, E = \(\frac{1}{2}\) kA² અનુસાર જેમ ઊર્જા ઘટશે તેમ તેનો કંપવિસ્તાર પણ ઘટે છે. અંતે લોલકની ગતિ બંધ પડે છે.

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) નદીમાં ઉ૫૨-નીચે (હાલક-ડોલક) થતી બોટની ગતિ એ દોલિત ગતિ છે.
ઉત્તર:
ખરું

(2) વર્તુળમય ગતિ આવર્તગતિ છે, પરંતુ તે દોલિત નથી.
ઉત્તર:
ખરું

(3) દરેક આવર્તગતિ એ દોલિત ગતિ છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(4) જ્યારે આવૃત્તિ મોટી હોય તેને દોલન કહેવાય અને આવૃત્તિ નાની હોય તેને કંપન કહે છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(5) દરેક આવર્તગતિ સરળ આવર્તગતિ નથી. જે આવર્તગતિ બળના નિયમ F = – kx દ્વારા સંચાલિત હોય તે જ માત્ર સરળ આવર્તગતિ છે.
ઉત્તર:
ખરું

(6) સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ એ કંપવિસ્તાર અથવા ઊર્જા અથવા કળા-અચળાંક પર આધાર રાખતો નથી.
ઉત્તર:
ખરું

(7) સ.આ.ગ. કરતા કણે એક દોલન દરમિયાન કરેલું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) સ.આ.ગ. કરતા કણના ત્રણ દોલન બાદ તેની કળામાં 3 π rad જેટલો વધારો થાય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(9) f આવૃત્તિથી સ.આ.ગ. કણની સ્થિતિ-ઊર્જાની આવૃત્તિ પણ f હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(10) અવમંદિત દોલનોમાં અવરોધક બળ એ વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(11) સ.આ.ગ.માં સંતુલિત સ્થાને કણનો વેગ શૂન્ય અને પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(12) અવમંદન અચળાંકનો SI એકમ kg s^-1 છે.
ઉત્તર:
ખરું

(13) પ્રણોદિત દોલનમાં, કણની આવર્તગતિની કળા પ્રણોદિત બળની કળાથી અલગ હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(14) શૂન્ય અવમંદનની આદર્શ સ્થિતિમાં અનુનાદ સમયે સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(15) x = log (ωt) વિધેયનો આવર્તકાળ \(\frac{2 \pi}{\omega}\) છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(16) જ્યારે ચાલક બળની આવૃત્તિ એ દોલકની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિની નજીક હોય ત્યારે કંપવિસ્તારમાં થતા વધારાની ઘટનાને અનુનાદ કહે છે.
ઉત્તર:
ખરું

(17) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપતન કરતી લિફ્ટમાં ડિત સાદા લોલકની આવૃત્તિ અનંત હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) સરળ આવર્તગતિમાં કણનું સ્થાનાંતર શૂન્ય થશે ત્યારે તેનો પ્રવેગ ………………….. હશે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(2) સરળ આવર્તગતિમાં પ્રવેગ અને સ્થાનાંતર …………………. દિશામાં હોય છે.
ઉત્તર:
વિરુદ્ધ

(3) સ.આ.ગ.કરતા કણની કુલ ઊર્જાની આવૃત્તિ …………………. હોય છે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(4) સરળ આવર્તગતિ કરતા પદાર્થનો મહત્તમ વેગ, υ_max અને મહત્તમ પ્રવેગ a_max હોય, તો તેનો કંપવિસ્તાર …………………. .
ઉત્તર:
υ²_max/a_max

(5) સરળ આવર્તગતિમાં પદાર્થ અંત્યબિંદુ(મહત્તમ સ્થાનાંતર)એથી સંતુલિત સ્થાન તરફ ગતિ કરે ત્યારે તેના વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કોણ …………………. હોય છે.
ઉત્તર:
શૂન્ય

(6) સ.આ.ગ. કરતા કણનો આવર્તકાળ 6 s અને કંપવિસ્તાર 3 cm છે, તો તેની મહત્તમ ઝડપ ……………. cm s^-1 થાય.
ઉત્તર:
π

(7) સ.આ.ગ.નાં બે સમીકરણ y₁ = a sin (ωt – α) અને y = b cos (ωt – α) છે. આ બંને સ.આ.ગ. વચ્ચેનો કળા-તફાવત ……………….. rad હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{\pi}{2}\)

(8) નાના બાળકનું હૃદય એક મિનિટમાં 90 વખત ધબકતું જણાય છે. આ હૃદયના ધબકારાની આવૃત્તિ ………………. Hz હશે.
ઉત્તર:
1.5

(9) સ્પ્રિંગ-અચળાંકનું પારિમાણિક સૂત્ર ………………..
ઉત્તર:
M¹ L⁰ T^-2

(10) બે સ.આ.ગ.ને y₁ = 4 sin (4 π t + \(\frac{\pi}{2}\) ) અને y₂ = 3 cos (4 π t) વડે દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમનો પરિણામી કંપવિસ્તાર ……………….. એકમ થશે.
ઉત્તર:
5

(11) એક પદાર્થ સ.આ.ગ. કરે છે. તેનો કંપવિસ્તાર A છે. આ પદાર્થે એક આવર્તકાળ દરમિયાન કાપેલું કુલ અંતર ………………. હશે.
ઉત્તર:
4A

(12) સાદા લોલકના સંતુલન બિંદુએ ……………….. ઊર્જા મહત્તમ અને …………… ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
ઉત્તર:
ગતિ, સ્થિતિ

(13) સાદા લોલક માટે, લંબાઈ (l) વિરુદ્ધ આવર્તકાળ (T)નો આલેખ ………………. આકારનો હોય છે.
ઉત્તર:
પરવલય

(14) \(\frac{d^2 x}{d t^2}\) + ax = 0 વડે દર્શાવવામાં આવતી સ.આ.ગ.નો આવર્તકાળ ……………… હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{2 \pi}{\sqrt{\alpha}}\)

(15) y = cos² ωtનો આવર્તકાળ …………….. હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{\pi}{\omega}\)

(16) સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થનું સ્થાનાંતર x = α sin ωt + β cos ωt છે. આ દોલનોનો કંપવિસ્તાર ………………. હશે.
ઉત્તર:
A = \(\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\)

(17) અવમંદન અચળાંક (b)નું પારિમાણિક સૂત્ર …………………. છે.
ઉત્તર:
M¹ L⁰ T^-1

(18) આવર્તીય વિધેયf = sin ωt + cos 2ωt + sin 4ωtનો આવર્તકાળ ………………… હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{2 \pi}{\omega}\)

(19) સ.આ.ગ. કરતા પદાર્થનાં પાંચ પૂર્ણ દોલનોને અંતે તેની કળામાં ફેરફાર ……………………. rad થશે.
ઉત્તર:
10 π

(20) સ.આ.ગ. કરતા કણનું દળ અને કંપવિસ્તાર બમણું કરતાં તેની મહત્તમ ઝડપમાં ……………….. ગણો ફેરફાર થશે.
ઉત્તર:
√2

(21) સ.આ.ગ. કરતા કણની કુલ ઊર્જા બે ગણી કરતાં તેના આવર્તકાળમાં …………………. ગણો ફેરફાર થશે.
ઉત્તર:
√2

(22) સ્પ્રિંગ પર સ.આ.ગ. કરતો કણ જ્યારે x = x_max/ 2 સ્થાને હશે ત્યારે તેની ઝડપ એ મહત્તમ ઝડપ કરતાં …………………. હશે.
ઉત્તર:
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

જોડકાં જોડો : (Matrix Match)

પ્રશ્ન 1.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. પૃથ્વીની ફરતે ફરતાં સૅટેલાઇટની ગતિ	p. અવમંદિત સ.આ.ગ.
2. શૂન્યાવકાશમાં લોલકની ગતિ	q. પ્રણોદિત દોલનો
3. સ્વરકાંટાની ચીપિયાની ગતિ	r. આવર્તગતિ
4. સમયાંતરે પગથી ધક્કો મારી ચાલુ રખાતા ઝૂલાની ગતિ	s. સરળ આવર્તગતિ

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – s), (3 – p), (4 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. પૃથ્વીની ફરતે ફરતાં સૅટેલાઇટની ગતિ	r. આવર્તગતિ
2. શૂન્યાવકાશમાં લોલકની ગતિ	s. સરળ આવર્તગતિ
3. સ્વરકાંટાની ચીપિયાની ગતિ	p. અવમંદિત સ.આ.ગ.
4. સમયાંતરે પગથી ધક્કો મારી ચાલુ રખાતા ઝૂલાની ગતિ	q. પ્રણોદિત દોલનો

પ્રશ્ન 2.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ‘a’ પ્રવેગથી ઉપર જતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ	p. T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g-a}}\)
2. ‘a’ પ્રવેગથી નીચે ઊતરતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ	q. T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g+a}}\)
3. મુક્તપતન કરતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ	r. T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\left(a^2+g^2\right)^{\frac{1}{2}}}}\)
4. ‘a’ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનમાં લોલકનો આવર્તકાળ	S. ∞

ઉત્તર:
(1 – q), (2 – p), (3 – s), (4 – r).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. ‘a’ પ્રવેગથી ઉપર જતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ	q. T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g+a}}\)
2. ‘a’ પ્રવેગથી નીચે ઊતરતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ	p. T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g-a}}\)
3. મુક્તપતન કરતી લિફ્ટમાં લોલકનો આવર્તકાળ	S. ∞
4. ‘a’ જેટલા પ્રવેગથી ગતિ કરતી ટ્રેનમાં લોલકનો આવર્તકાળ	r. T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\left(a^2+g^2\right)^{\frac{1}{2}}}}\)

પ્રશ્ન 3.

ઉત્તર:
(1 – s), (2 – p), (3 – q), (4 – r).
Hint : આકૃતિ 1 માટે સમતુલ્ય બળ-અચળાંક,
k = k₁ + k₂

આકૃતિ 4 માટે,
F’ = \(\sqrt{F^2+F^2}\) = √2F
∴ k’y = √2 (ky cos 45°)
∴ k’ = k
આથી T = 2π\(\sqrt{\frac{m}{k}}\)

પ્રશ્ન 4.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક દોલક સંતુલિત સ્થાન O આગળથી દોલનની શરૂઆત કરે છે. આ દોલકનો ગતિપથ 0 – P – 0 – Q – 0 છે.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. બિંદુ P આગળ લોલકની કળા	P. \(\frac{5 \pi}{2}\) rad
2. હિંદુ Q આગળ લોલકની કળા	q. 2π rad
3. એક દોલન પૂરું કર્યા બાદ બિંદુ O આગળ દોલકની કળા	r. \(\frac{3 \pi}{2}\) rad
4. એક દોલન પૂરું કર્યા બાદ બિંદુ P આગળ દોલકની કળા	s. \(\frac{\pi}{2}\) rad

ઉત્તર:
(1 – s), (2 – r), (3 – q), (4 – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. બિંદુ P આગળ લોલકની કળા	s. \(\frac{\pi}{2}\) rad
2. હિંદુ Q આગળ લોલકની કળા	r. \(\frac{3 \pi}{2}\) rad
3. એક દોલન પૂરું કર્યા બાદ બિંદુ O આગળ દોલકની કળા	q. 2π rad
4. એક દોલન પૂરું કર્યા બાદ બિંદુ P આગળ દોલકની કળા	P. \(\frac{5 \pi}{2}\) rad

પ્રશ્ન 5.

કૉલમ A	કૉલમ B
1. સ.આ.ગ. કરતો કણ સંતુલિત સ્થાનથી દૂર જાય ત્યારે તેના વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	p. 0
2. સ.આ.ગ. કરતો કણ સંતુલિત સ્થાન તરફ ગતિ કરે ત્યારે સ્થાનાંતર અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	q. 3π rad
3. અનુનાદ સમયે આવર્તીય ગતિ કરતા કણ અને બાહ્ય બળ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	r. \(\frac{\pi}{2}\) rad
4. \(\frac{3}{2}\) T સમય બાદ કણની કળામાં થતો ફેરફાર	s. π rad

ઉત્તર:
(1 – r), (2 – s), (3 – p), (4 – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
1. સ.આ.ગ. કરતો કણ સંતુલિત સ્થાનથી દૂર જાય ત્યારે તેના વેગ અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	r. \(\frac{\pi}{2}\) rad
2. સ.આ.ગ. કરતો કણ સંતુલિત સ્થાન તરફ ગતિ કરે ત્યારે સ્થાનાંતર અને પ્રવેગ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	s. π rad
3. અનુનાદ સમયે આવર્તીય ગતિ કરતા કણ અને બાહ્ય બળ વચ્ચેનો કળા-તફાવત	p. 0
4. \(\frac{3}{2}\) T સમય બાદ કણની કળામાં થતો ફેરફાર	q. 3π rad

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 14 દોલનો

Leave a Comment Cancel Reply