GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 13 ગતિવાદ

Gujarat Board GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 13 ગતિવાદ Important Questions and Answers.

GSEB Class 11 Physics Important Questions Chapter 13 ગતિવાદ

પ્રશ્નોત્તર
પ્રશ્ન 1.
સ્થૂળ રાશિઓ કોને કહે છે? સ્થૂળ વર્ણન એટલે શું?
ઉત્તર:
વાયુ સાથે દબાણ, તાપમાન, કદ, આંતરિક ઊર્જા જેવી ભૌતિક રાશિઓ સંકળાયેલી હોય છે. આ રાશિઓ તંત્રમાં સૂક્ષ્મ સ્તરે બનતી ઘટનાઓની સરેરાશ સંયુક્ત અસરરૂપે મળતી હોવાથી આ રાશિઓને સ્થૂળ રાશિઓ કહે છે.

• સ્થૂળ રાશિઓ સીધેસીધી માપી શકાય છે અથવા માપી શકાય તેવી બીજી સ્થૂળ રાશિઓની મદદથી ગણી શકાય છે.
  દા. ત., વાયુનું દબાણ સીધેસીધું માપી શકાય છે, જ્યારે વાયુની આંતરિક ઊર્જા તેના દબાણ, કદ અને તાપમાન જેવી સ્થૂળ રાશિઓની મદદથી ગણી શકાય છે.
• જ્યારે તંત્ર અને તેની સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓનું વર્ણન સ્થૂળ રાશિઓના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે ત્યારે તેને સ્થૂળ વર્ણન કહે છે.

પ્રશ્ન 2.
સૂક્ષ્મ રાશિઓ કોને કહે છે? સૂક્ષ્મ વર્ણન એટલે શું?
ઉત્તર:
વાયુતંત્રમાં સૂક્ષ્મ સ્તરે તેના ઘટક કણો વચ્ચે થતી આંત૨- ક્રિયાઓ અને તેના પરિણામે થતી ઘટનાઓ પરથી સ્થૂળ રાશિઓની અને તેમની વચ્ચેના આંતરસંબંધોની સમજૂતી મેળવી શકાય છે.
દા. ત., વાયુનું દબાણ તેના અણુઓની અસ્તવ્યસ્ત ગતિ, તેમની પાત્રની દીવાલો સાથે થતી અથડામણો અને તેમના વેગમાનમાં થતા ફેરફારોના સંદર્ભમાં જાણી શકાય છે.

• આમ, સૂક્ષ્મ સ્તરે તંત્રના ઘટક કણો સાથે સંકળાયેલી રાશિઓ જેવી કે અણુની ઝડપ, અણુનું વેગમાન, અણુની ગતિ-ઊર્જા વગેરેને સૂક્ષ્મ રાશિઓ કહે છે.
• જ્યારે તંત્ર અને તેની સાથે સંકળાયેલી ઘટનાઓનું વર્ણન સૂક્ષ્મ રાશિઓના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે ત્યારે તેને સૂક્ષ્મ વર્ણન કહે છે.

પ્રશ્ન 3.
વાયુનો ગતિવાદ શું છે? તેના પરથી કઈ માહિતી મળે છે?
ઉત્તર:
વાયુનો ગતિવાદ એ વાયુઓની વર્તણૂક અને ગુણધર્મો સમજવા માટેનો એક એવો અભિગમ છે, કે જેમાં તંત્રમાં ઘટક કણોની ગતિને અંકશાસ્ત્રીય નિયમો લગાડી, ગાણિતીય યોજના વડે સૂક્ષ્મ રાશિઓ પરથી તંત્રની સ્થૂળ રાશિઓ મેળવી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં વાયુ એ ઝડપથી ગતિ કરતા પરમાણુઓ અને અણુઓનો બનેલો છે તેવા અનુમાનના આધારે વાયુઓની વર્તણૂક, વાયુના ગતિવાદમાં સમજાવવામાં આવે છે.

વાયુનો ગતિવાદ વાયુના દબાણ, તાપમાન અને કદ ઉપરાંત તે વાયુઓના શ્યાનતા, વહન, પ્રસરણ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા જેવા ગુણધર્મો વિશે માહિતી પૂરી પાડે છે.

પ્રશ્ન 4.
રિચાર્ડ ફિનમૅનના મતે દ્રવ્ય શાનું બનેલું છે? પરમાણુ અધિતર્ક લખો.
ઉત્તર:
રિચાર્ડ ફિનમૅનના મતે દ્રવ્ય પરમાણુઓનું બનેલું છે.

પરમાણુ અધિતર્ક : બધા પદાર્થો પરમાણુઓના બનેલા છે. સૂક્ષ્મ કણો અવકાશમાં નિરંતર ગતિ કરે છે તથા જ્યારે તેઓ એકબીજાથી થોડા અંતરે હોય ત્યારે એકબીજાને આકર્ષે છે, પરંતુ તેઓ ખૂબ નજીક જાય ત્યારે એકબીજાને અપાકર્ષે છે.

નોંધ : ભારતમાં કણાદ અને ગ્રીસમાં ડૅમોક્રિટસે દર્શાવ્યું હતું કે, દ્રવ્યનું બંધારણ અવિભાજ્ય છે.

પ્રશ્ન 5.
વૈજ્ઞાનિક પદ પરમાણુવાદ’ અંગે જ્હૉન ડાલ્ટને આપેલા બે નિયમો લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
ડાલ્ટને, મૂળ તત્ત્વો ચોક્કસ અને અલગ અલગ માત્રામાં ભેગા થઈને કેવી રીતે સંયોજન બનાવે છે, તે સમજાવતો પરમાણુવાદ આપ્યો.

પહેલો નિયમ : આપેલ સંયોજનમાં રહેલાં તત્ત્વોનું દળ ચોક્કસ પ્રમાણમાં હોય છે.

બીજો નિયમ : જ્યારે બે તત્ત્વો ભેગા થઈને એક કરતાં વધારે સંયોજનો બનાવે ત્યારે કોઈ એક તત્ત્વના ચોક્કસ દળ માટે, બીજા તત્ત્વોના દળ નાના પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તરમાં હોય છે.

• આ નિયમો સમજાવવા ડાલ્ટને સૂચવ્યું કે, કોઈ તત્ત્વ કે સંયોજનના નાનામાં નાના કણો પરમાણુઓ છે.
• કોઈ એક તત્ત્વના પરમાણુઓ એકસમાન હોય છે, પરંતુ તે બીજાં તત્ત્વો કરતાં જુદા હોય છે.
• દરેક તત્ત્વના ઓછી સંખ્યાના પરમાણુઓ ભેગા મળીને (સંયોજાઈને) સંયોજનનો અણુ બનાવે છે.
  મોટા ભાગે તત્ત્વો અણુઓનાં રૂપમાં હોવાથી ડાલ્ટનના ૫૨માણુવાદને ક્યારેક દ્રવ્ય માટેનો અણુવાદ પણ કહે છે.

પ્રશ્ન 6.
પરમાણુવાદ અંગેનો ગૅલ્યુસેકનો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
જ્યારે વાયુઓ રાસાયણિક પ્રક્રિયા વડે સંયોજાઈને બીજો વાયુ બનાવે છે ત્યારે તેમના કદનો ગુણોત્તર નાની પરંતુ ચોક્કસ પૂર્ણાંક સંખ્યામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 7.
પરમાણુવાદ (અથવા અણુવાદ) અંગેનો ઍવોગેડ્રોનો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
‘‘સમાન (અથવા આપેલા) તાપમાને અને દબાણે રહેલા, એકસરખું કદ ધરાવતા બધા વાયુઓમાં અણુઓની સંખ્યા એકસરખી હોય છે.”
આ નિયમ ઍવોગેડ્રો અધિતર્ક તરીકે પણ ઓળખાય છે.
નોંધ : ઍવોગેડ્રોનો નિયમ ડાલ્ટનના નિયમ | સિદ્ધાંત સાથે મળીને ગૅલ્યુસેકનો નિયમ સમજાવે છે.

પ્રશ્ન 8.
પરમાણુવાદના સંદર્ભમાં દ્રવ્યનાં મુખ્ય ત્રણ સ્વરૂપો સમજાવો.
ઉત્તર:
અણુઓ (જે એક કરતાં વધુ પરમાણુઓના બનેલા છે), સંયોજાઈને દ્રવ્ય (સંયોજન) બનાવે છે.

• ઇલેક્ટ્રૉન માઇક્રોસ્કોપ અને સ્કેનિંગ ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપની મદદથી અણુઓને જોઈ શકાય છે.
• દ્રવ્યનાં મુખ્ય ત્રણ સ્વરૂપો ઘન, પ્રવાહી અને વાયુ છે.
• પરમાણુનું પરિમાણ (Size) લગભગ 1 Å = 10^-10 m જેટલું હોય છે.
• ઘન પદાર્થોની અંદર પરમાણુઓ ખૂબ ગીચોગીચ હોય છે અને પાસપાસેના પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર લગભગ 2 Å જેટલું જ હોય છે.
  ઘન પદાર્થોમાં આંત૨-પરમાણુ બળો ખૂબ પ્રબળ હોવાના કારણે તેઓ ચોક્કસ આકાર, પરિમાણ અને કદ ધરાવે છે.
• પ્રવાહી પદાર્થોની અંદર પણ પાસપાસેના બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર આશરે 2 Å જેટલું જ હોય છે.
  પણ ઘન પદાર્થોની જેમ પ્રવાહી પદાર્થોમાં પરમાણુઓ દૃઢ રીતે બંધાયેલા હોતા નથી, પરંતુ આસપાસ ગતિ કરી શકે છે. આ કારણથી જ પ્રવાહી વહી શકે છે. તેથી તેને તરલ (Fluid) પણ કહે છે. પ્રવાહી પદાર્થો ચોક્કસ કદ ધરાવે છે, પણ ચોક્કસ આકાર અને પરિમાણ ધરાવતા નથી.
• વાયુઓમાં પાસપાસેના ૫૨માણુઓ વચ્ચેનું અંતર 10 Å ના ક્રમનું હોય છે. તેથી આંતર-૫૨માણ્વીય બળો ખૂબ નબળા હોય છે. પરિણામે વાયુઓમાં પરમાણુઓ વધારે મુક્ત હોય છે અને એકબીજાને અથડાયા વગર લાંબું અંતર કાપી શકે છે. અથડામણ પહેલાં અણુએ કાપેલ સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્તપથ કહે છે. વાયુઓમાં આ સરેરાશ મુક્તપથ હજારો ઍન્ગેસ્ટ્રોમના ક્રમનો હોય છે. જો વાયુ બંધપાત્રમાં ન હોય, તો તેના પરમાણુઓ વિખેરાઈ જાય છે. તેથી વાયુઓ ચોક્કસ કદ, આકાર અને પરિમાણ ધરાવતા નથી.
• ઘન અને પ્રવાહી પદાર્થોમાં અણુઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હોવાથી આંતર-અણુ બળોનું મહત્ત્વ વધી જાય છે. લાંબા અંતર માટે આ બળ આકર્ષી અને ટૂંકા અંતર માટે તે અપાકર્ષી હોય છે. અર્થાત્ પરમાણુઓ એકબીજાથી અમુક ઍન્ગેસ્ટ્રોમના અંતરે હોય તો એકબીજાને આકર્ષે છે, પરંતુ જ્યારે તેઓ નજીક આવે ત્યારે અપાકર્ષે છે.
• વાયુ સ્થિર નથી, પણ ક્રિયાશીલ છે અને તેની ગતિશીલતા સંતુલિત હોય છે.
  વાયુનું ગતિકીય સંતુલન એટલે તેમાં અણુઓ અથડાય તો છે અને અથડામણ દરમિયાન તેમની ઝડપ પણ બદલાય છે, પરંતુ વાયુના સરેરાશ ગુણધર્મો જેવા કે દબાણ, તાપમાન અને કદ અચળ જ રહે છે.

પ્રશ્ન 9.
નીચેનું વિધાન સમજાવો :
પરમાણુઓ ભાગ પાડી શકાય તેવા વિઘટનીય છે.
ઉત્તર:
તટસ્થ પરમાણુઓ ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રૉનના બનેલા છે. પણ ઇલેક્ટ્રૉનને પરમાણુમાંથી બહાર કાઢી શકાય છે. ન્યુક્લિયસ પોતે પણ ન્યૂટ્રૉન અને પ્રોટોનનું બનેલું છે.

• આધુનિક વિજ્ઞાન મુજબ પ્રોટોન અને ન્યૂટ્રૉન પણ ક્વાર્ક્સ નામના કણોના બનેલા છે.
• ઉપરોક્ત હકીકત દર્શાવે છે કે, ૫૨માણુઓ જ દ્રવ્યના નાનામાં નાના કણો નથી, પરંતુ તેઓ ભાગ પાડી શકાય તેવા વિઘટનીય છે.

પ્રશ્ન 10.
નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને રહેલા કોઈ વાયુ માટે દબાણ, તાપમાન અને કદને સાંકળતું સમીકરણ લખો અને તેના પરથી ઍવોગેડ્રોનો અધિતર્ક પ્રસ્થાપિત કરો.
ઉત્તર:
નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને આપેલ વાયુના અણુઓ એકબીજાથી દૂર હોય છે અને અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા નહિવત્ હોય છે. આ પરિસ્થિતિમાં આપેલ વાયુના નમૂના માટે દબાણ, તાપમાન અને કદને સાંકળતું સમીકરણ નીચે મુજબ છે :
PV = KT ……………. (13.1)
અહીં, તાપમાન T કેલ્વિન એકમમાં છે.

• વાયુના આપેલ નમૂના માટે K અચળ હોય છે, પરંતુ વાયુના કદ સાથે તે બદલાય છે.
• વાયુના આપેલ નમૂના માટે K, વાયુના અણુઓની સંખ્યા Nના સમપ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે, K ∝ N
  ∴ K = kN …………. (13.2)
  અહીં, સમપ્રમાણતા અચળાંક k દરેક વાયુ માટે સમાન છે. આ અચળાંકને બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક કહે છે અને તેને k_B વડે દર્શાવાય છે.
  ∴ K = k_BN
• સમીકરણ (13.3) અને (13.1) પરથી,

• બે જુદા જુદા વાયુઓ માટે સમીકરણ (13.4) પરથી,
  \(\frac{P_1 V_1}{N_1 T_1}=\frac{P_2 V_2}{N_2 T_2}\) = k_B = અચળ …………….. (13.5)
• જો બધા વાયુઓ માટે P, V અને T સમાન હોય, તો તેમના અણુઓની સંખ્યા N પણ સમાન જ હોય છે. આને ઍવોગેડ્રો અધિતર્ક કહે છે.
  ઍવોગેડ્રો અધિતર્ક : નિયત તાપમાને અને દબાણે રહેલા બધા જ વાયુઓમાં એકમ કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા એકસમાન હોય છે.

પ્રશ્ન 11.
વાયુનો 1 મોલ (mol) જથ્થો એટલે શું? ઍવોગેડ્રો અંક કોને કહે છે?
ઉત્તર:
22.4 લિટર (L) કદ ધરાવતા બધા વાયુનું આણ્વીય/ પરમાણ્વીય દળ STPએ (પ્રમાણભૂત તાપમાન 273 K અને દબાણ 1 atm) ગ્રામમાં તેના અણુભાર / પરમાણુભાર જેટલું હોય છે. પદાર્થના આટલા જથ્થાને 1 મોલ (mol) કહે છે.

ઍવોગેડ્રોએ દર્શાવ્યું કે, STPએ વાયુના 22.4 લિટર કદમાં (અર્થાત્ 1 mol જથ્થામાં) અણુઓની સંખ્યા 6.02 × 10²³ હોય છે, જે તેના માનમાં ઍવોગેડ્રો અંક કહેવાય છે અને તેને NA વડે દર્શાવાય છે.

આમ, ઍવોગેડ્રો અંક NA = 6.02 × 10²³ mol^-1

પ્રશ્ન 12.
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ લખો અને તેનાં વિવિધ સ્વરૂપો મેળવો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ નીચે મુજબ છે :
PV = μ RT ………….. (13.6)
જ્યાં,
μ = વાયુની મોલ-સંખ્યા (વાયુનો જથ્થો) છે.
R = N_Ak_B એ સાર્વત્રિક વાયુ-નિયતાંક છે. તેનું મૂલ્ય 8.314 J mol^-1 K^-1 છે.

• જે વાયુ, દબાણ અને તાપમાનનાં બધાં મૂલ્યો માટે સમીકરણ (13.6)નું સંપૂર્ણ પાલન કરે છે, તેને આદર્શ વાયુ કહે છે.
• વાસ્તવમાં કોઈ પણ વાયુ બધા સંજોગોમાં આદર્શ વાયુ નથી.
• જો વાયુપાત્રમાંના વાયુનું કુલ દળ M અને તેના અણુઓની કુલ સંખ્યા N તથા વાયુનું મોલર દળ (= 1 mol જથ્થાનું દળ)
  (એટલે કે અણુભાર અથવા પરમાણુભાર) M₀ અને ઍવોગેડ્રો અંક N_A લઈએ, તો
  વાયુની મોલ-સંખ્યા μ = \(\frac{M}{M_0}=\frac{N}{N_{\mathrm{A}}}\) …………. (13.7)
• સમીકરણ (13.6)માં સમીકરણ (13.7) પરથી,
  μ = \(\frac{N}{N_{\mathrm{A}}}\) મૂકતાં,
  PV = (\(\frac{N}{N_{\mathrm{A}}}\)) × (N_Ak_B)T (∵ R = N_Ak_B)
  = k_BNT …………. (13.8)
  ∴ P = = k_B(\(\frac{N}{V}\))T ………… (13.9)
  = k_BnT
  જ્યાં, n = \(\frac{N}{V}\) = વાયુના એકમ કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા
  = વાયુની સંખ્યા-ઘનતા
  k_B એ બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક છે અને તેનું મૂલ્ય 1.38 × 10^-23 J molecule^-1K^-1 છે.
• સમીકરણ (13.6)માં સમીકરણ (13.7) પરથી,
  μ = \(\frac{M}{M_0}\) મૂકતાં,
  PV = (\(\frac{M}{M_0}\))RT
  ∴ P = \(\frac{1}{M_0}\)(\(\frac{M}{V}\))RT
  ∴ P = \(\frac{\rho R T}{M_0}\) ……… (13.10)
  જ્યાં,, ρ = \(\frac{M}{V}\) વાયુની દળ-ઘનતા છે.

પ્રશ્ન 13.
વાસ્તવિક વાયુની આદર્શ વાયુ સાથેની સરખામણી, \(\frac{P V}{\mu T}\) વિરુદ્ધ Pનાં ત્રણ જુદાં જુદાં તાપમાને મળેલા પ્રાયોગિક આલેખોની મદદથી કરો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μ RT પરથી,
\(\frac{P V}{\mu T}\) = R = સાર્વત્રિક વાયુ-અચળાંક

તેનો અર્થ આદર્શ વાયુ માટે \(\frac{P V}{\mu T}\) વિરુદ્ધ P નો આલેખ P-અક્ષને સમાંતર સુરેખા મળે.

• આકૃતિ 13.1માં ત્રણ જુદાં જુદાં (T₁ > T₂ > T₃) તાપમાને વાસ્તવિક વાયુની વર્તણૂક દર્શાવી છે, જે આદર્શ વાયુ કરતાં જુદી
  પડે છે.
• આકૃતિ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને, વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુની માફક વર્તે છે.
• નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને વાયુના અણુઓ એકબીજાથી દૂર હોય છે અને અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા નહિવત્ હોય છે. આંતરક્રિયાની ગેરહાજરીમાં આપેલ વાયુ આદર્શ રીતે વર્તે છે.
• આદર્શ વાયુ એ ખરેખર તો એક સૈદ્ધાંતિક (પ્રાયોગિક નહીં) નમૂનો છે.

પ્રશ્ન 14.
બૉઇલનો નિયમ લખો અને ત્રણ જુદાં જુદાં તાપમાને વરાળ માટેના P વિરુદ્ધ Vના આલેખો દોરીને તેની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μRTમાં, જો μ અને T અચળ રાખીએ, તો PV = અચળ (અચળ જથ્થો દળ, અચળ તાપમાન) મળે, જે બૉઇલનો નિયમ છે.
બૉઇલનો નિયમ : અચળ તાપમાને પૂરતી ઓછી ઘનતાવાળા નિશ્ચિત દળના (જથ્થાના) વાયુનું દબાણ તેના કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે.

• આકૃતિ 13.2માં વરાળ માટે પ્રાયોગિક રીતે મેળવેલ P – V વક્રો અને બૉઇલના નિયમ વડે મેળવેલ સૈદ્ધાંતિક વક્રોની સરખામણી દર્શાવી છે.
• વરાળ માટે T₁ > T₂ > T₃ તાપમાને, પ્રાયોગિક P – V વક્રો સળંગ રેખાઓ વડે અને બૉઇલના નિયમની મદદથી મેળવેલ સૈદ્ધાંતિક P – V વક્રો તૂટક રેખાઓ વડે દર્શાવ્યાં છે.
• ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે પ્રાયોગિક P – V વક્રોઅને બૉઇલના નિયમ વડે મેળવેલાં P – V વક્રો એકબીજાને (લગભગ) મળતાં આવે છે.
  તેથી કહી શકાય કે, ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે (એટલે કે ઘનતા ખૂબ ઓછી હોય ત્યારે) વાસ્તવિક વાયુ (અહીં વરાળ) બૉઇલના નિયમને અનુસરે છે.
  બૉઇલના નિયમ માટેના વિવિધ આલેખો :

પ્રશ્ન 15.
ચાર્લ્સનો નિયમ લખો અને ત્રણ જુદાં જુદાં દબાણે CO₂ માટે T વિરુદ્ધ Vના આલેખો દોરીને તેની સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μRTમાં, જો μ અને P અચળ રાખીએ, તો V ∝ T (અચળ જથ્થો દળ, અચળ દબાણ) મળે, જે ચાર્લ્સનો નિયમ છે.
ચાર્લ્સનો નિયમ : અચળ દબાણે પૂરતી ઓછી ઘનતાવાળા નિશ્ચિત દળના (જથ્થાના) વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

• આકૃતિ 13.4માં CO₂ માટે પ્રાયોગિક રીતે મેળવેલ T – V વક્રો અને ચાર્લ્સના નિયમ વડે મેળવેલ સૈદ્ધાંતિક વક્રોની સરખામણી દર્શાવી છે.
• CO₂ માટે P₁ > P₂ > P₃ દબાણે પ્રાયોગિક T – V વક્રો સળંગ રેખાઓ વડે અને ચાર્લ્સના નિયમની મદદથી મેળવેલ સૈદ્ધાંતિક T – V વક્રો તૂટક રેખાઓ વડે દર્શાવ્યાં છે.
• ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે પ્રાયોગિક T – V વક્રો અને ચાર્લ્સના નિયમ વડે મેળવેલાં T – V વક્રો એકબીજાને (લગભગ) મળતાં આવે છે.
  તેથી કહી શકાય કે, ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે (એટલે કે ઘનતા ખૂબ ઓછી હોય ત્યારે) વાસ્તવિક વાયુ (અહીં CO₂) ચાર્લ્સના નિયમને અનુસરે છે.
  ચાર્લ્સના નિયમ માટેના વિવિધ આલેખો :
• જો m અને P = અચળ ⇒ \(\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}\) …….. (13.12)

પ્રશ્ન 16.
ગૅલ્યુસેકનો નિયમ લખો અને તેનું ગાણિતિક સ્વરૂપ જણાવો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μRT માં, જો μ અને V અચળ રાખીએ, તો P ∝ T (અચળ જથ્થો / દળ, અચળ કદ) મળે, જે ગૅલ્યુસેકનો નિયમ છે.
ગૅલ્યુસેકનો નિયમ : અચળ કદે પૂરતી ઓછી ઘનતાવાળા નિશ્ચિત દળના (જથ્થાના) વાયુનું દબાણ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના
સમપ્રમાણમાં હોય છે.
જો_m અને V = અચળ ⇒ \(\frac{P_1}{P_2}=\frac{T_1}{T_2}\) …………… (13.13)

પ્રશ્ન 17.
ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ લખો અને સમજાવો.
ઉત્તર:
ડાલ્ટનના આંશિક દબાણના નિયમની સમજૂતી :

• એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા ન કરી શકે તેવા આદર્શ વાયુઓના મિશ્રણમાં વાયુ 1ના μ₁ મોલ, વાયુ 2ના μ₂ મોલ … વગેરે, V કદના પાત્રમાં T તાપમાને P જેટલા દબાણે રહેલા છે.
• આ મિશ્રણમાં જુદા જુદા આદર્શ વાયુની મોલ-સંખ્યા μ₁, μ₂, વગેરે મળીને કુલ μ મોલ વાયુ હોય, તો આદર્શ વાયુના અવસ્થા સમીકરણ PV = μRT પરથી,
  PV = (μ₁ + μ₁ + …) RT
  = μ₁ \(\frac{R T}{V}\) + μ₂ \(\frac{R T}{V}\) + ……..
  = P₁ + P₂ + …. ………. (13.14)
  અહીં, P₁ = \(\frac{\mu_1 R T}{V}\) એ જ્યારે બીજા વાયુઓ હાજર ન હોય ત્યારે, આ જ કદ અને તાપમાનની પરિસ્થિતિઓમાં, વાયુ 1 વડે લાગતું દબાણ છે. તેને વાયુનું આંશિક દબાણ કહે છે.
  ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ : ‘‘એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા ન કરી શકે તેવા જુદા જુદા આદર્શ વાયુઓના મિશ્રણનું કુલ દબાણ એ મિશ્રણમાંના પ્રત્યેક વાયુના આંશિક દબાણોના સરવાળા જેટલું હોય છે.”

પ્રશ્ન 18.
આદર્શ વાયુના ગતિવાદની પૂર્વધારણાઓ લખો.
અથવા
આદર્શ વાયુના ગતિવાદના અભ્યાસમાં કઈ બાબતોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે?
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુનો ગતિવાદ દ્રવ્યના વાયુના અણુ સ્વરૂપ પર આધારિત છે.
પૂર્વધારણાઓ / ધારણાઓ :

1. આપેલ જથ્થાનો વાયુ એ મોટી સંખ્યાનો (લગભગ ઍવોગેડ્રો અંકના ક્રમનો) અણુ સમૂહ છે, જે સતત અસ્તવ્યસ્ત ગતિ કરતાં હોય છે.
2. સામાન્ય દબાણ અને તાપમાને અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર, અણુના સામાન્યતઃ પરિમાણ (2 Å) કરતાં 10 ગણું કે તેથી વધુ હોય છે. આથી અણુઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયા નહિવત્ હોય છે અને પરિણામે એવું માની શકાય કે તેઓ ન્યૂટનના પહેલા નિયમ મુજબ મુક્ત રીતે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
3. ઘણી વાર અણુઓ એકબીજાની નજીક આવે છે, ત્યારે આંતર-આણ્વિક બળ અનુભવે છે અને તેમના વેગ બદલાય છે. આવી આંતરક્રિયાઓ સંઘાત (અથડામણ) કહેવાય છે.
4. વાયુના અણુઓ એકબીજા સાથે અને પાત્રની દીવાલો સાથે અવિરત સંઘાત અનુભવતા હોય છે અને તેમના વેગ બદલાતા રહે છે. અણુઓની આ અથડામણોને સ્થિતિસ્થાપક માનવામાં આવે છે. એનો અર્થ અણુઓની કુલ ગતિ-ઊર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. અણુઓના કુલ વેગમાનનું સંરક્ષણ તો થતું જ હોય છે.

પ્રશ્ન 19.
આદર્શ વાયુના દબાણનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
ધારો કે l એકમ લંબાઈવાળી બાજુઓ ધરાવતા સમઘનમાં એક આદર્શ વાયુ ભરેલો છે.

• આકૃતિ 13.7માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સમઘનની ત્રણ બાજુઓને સમાંતર ત્રણ અક્ષો x, y અને z લો.
• (υ_x, υ_y, υ_z) વેગ ધરાવતો એક અણુ uz સમતલને સમાંતર રહેલી સમતલ દીવાલના ક્ષેત્રફળ A (= l²)ને અથડાય છે.
• અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી, આ અણુ તેટલા જ વેગથી પાછો પડે છે. અથડામણમાં આ અણુના વેગના y અને z ઘટકો બદલાતાં નથી, પરંતુ વેગના x-ઘટકની સંજ્ઞા (દિશા) ઊલટાય છે. એટલે કે, અથડામણ બાદ આ અણુનો વેગ (υ_x, υ_y, υ_z થાય છે.
• તેથી આ અણુના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર = – mυ_x – (mυ_x) = – 2mυ_x
• વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ અનુસાર, આ એક અણુની દીવાલ સાથેની અથડામણને લીધે દીવાલને મળતું વેગમાન = + 2mυ_x
• હવે, આ દીવાલ પર લાગતું દબાણ શોધવા માટે સૌપ્રથમ આ દીવાલ પર લાગતું બળ શોધવું પડે, જે નીચે મુજબ મળે છે :
  અહીં, Δ t જેટલા સૂક્ષ્મ સમયમાં, x-દિશામાંના ઘટક υ_x જેટલો વેગ ધરાવતો અણુ દીવાલથી υ_x Δ t જેટલા અંતર સુધીમાં હશે તો જ દીવાલને અથડાશે. એટલે કે, A υ_x Δ t કદમાં રહેલા બધા અણુઓ જ Δt સમયમાં દીવાલને અથડાઈ શકે.
• પરંતુ સરેરાશ રીતે, આમાંના અડધા દીવાલ તરફ અને બાકીના અડધા દીવાલથી દૂર તરફ ગતિ કરતા હોય છે.
• આમ, દીવાલને Δ t સમયમાં અથડાતાં, (υ_x, υ_y, υ_z) વેગ ધરાવતા અણુઓની સંખ્યા \(\frac{1}{2}\)(nAυ_x Δ t) હશે. જ્યાં, n = એકમ કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા એટલે કે સંખ્યા-ઘનતા છે.
  ∴ \(\frac{1}{2}\)(nAυ_x Δ t) અણુઓ દ્વારા Δ t સમયમાં દીવાલને મળતું વેગમાન,
  P = (2mυ_x) × (\(\frac{1}{2}\)nAυ_x Δ t)) ………. (13.15)
  ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ અનુસાર, દીવાલ પર લાગતું બળ F એ દીવાલના વેગમાનમાં થતા ફેરફારનો દર \(\frac{p}{\Delta t}\) છે.
  ∴ આ દીવાલ પર લાગતું બળ F = nmAυ_x² …………. (13.16)
• હવે, દબાણ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળદીઠ લંબરૂપે લાગતું બળ છે.
  ∴ આ દીવાલ પર લાગતું દબાણ P_x = \(\frac{F}{A}\) = nmAυ_x² ………. (13.17)
• હકીકતમાં, વાયુમાં રહેલા બધા જ અણુઓનો વેગ સમાન હોતો નથી. પરંતુ ત્યાં વેગ-વિતરણ (Velocity-distribution) હોય છે. આથી સમીકરણ (13.17), x દિશામાંના વેગ υ_x ધરાવતાં અણુ-સમૂહને કારણે લાગતું દબાણ દર્શાવે છે અને તેમાં ‘n’ આ અણુ-સમૂહની સંખ્યા-ઘનતા દર્શાવે છે.
• આમ, બધા જ અણુ-સમૂહોના ફાળાનો સરવાળો કરતાં આ દીવાલ પર લાગતું કુલ દબાણ p_x = \(n m \overline{v_{\mathrm{x}}^2}\) ……… (13.18)
  જ્યાં, \(\overline{v_{\mathrm{x}}^2}\) એ υ_x² નું સરેરાશ છે.
• આદર્શ વાયુ સદિગ્ધર્મી છે. તેથી પાત્રમાં અણુઓના વેગની કોઈ ચોક્કસ / માનીતી દિશા હોતી નથી. તેથી સંમિતિ મુજબ દરેક દિશામાં અણુઓની સરેરાશ વર્ગત ઝડપ એકસમાન હશે.
  એટલે કે, \(\overline{v_{\mathrm{x}}^2}=\overline{v_{\mathrm{y}}^2}=\overline{v_{\mathrm{z}}^2}\) ………… (13.19)
  પણ
  υ = (υ_x, υ_y, υ_z) હોવાથી
  \(\overline{v^2}=\overline{v_{\mathrm{x}}^2}+\overline{v_{\mathrm{y}}^2}+\overline{v_{\mathrm{z}}^2}\)
  = \(3 \overline{v_{\mathrm{x}}^2}\)
  ∴ \(\overline{v_{\mathrm{x}}^2}=\frac{1}{3} \overline{v^2}\) ………….. (13.20)
• સમીકરણ (13.20)ની કિંમત સમીકરણ (13.18)માં મૂકતાં તથા આદર્શ વાયુના બધા અણુઓના બધી દિશાઓમાંના વેગોને ધ્યાનમાં લેતાં, આદર્શ વાયુનું કુલ દબાણ,
  P = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}\) (13.21)
  = \(\frac{1}{3} \rho \overline{v^2}\) ………. (13.22)
  જ્યાં nm = \(\frac{N}{V}\) (m) = \(\frac{M}{V}\) = ρ = વાયુની ઘનતા
  દબાણના સૂત્ર P = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}=\frac{1}{3} \rho \overline{v^2}\) ની તારવણીમાં નીચેના મુદ્દાઓ ધ્યાનમાં લીધેલા છે :
  1. આપણે પાત્રને સમઘન ધાર્યું છે, પરંતુ પાત્રના આકારનું કોઈ મહત્ત્વ નથી, કારણ કે દબાણના સૂત્રમાં ક્ષેત્રફળ A અને સમયગાળો Δ t આવતાં નથી.(∵ P = \(\frac{F}{A}=\frac{d p / d t}{A}\))
     અનિયમિત આકારના પાત્ર માટે હંમેશાં અતિસૂક્ષ્મ એવું નાનું (સમતલ) ક્ષેત્રફળ વિચારી શકાય અને ઉપર સમજાવ્યા મુજબ ગણતરી કરીને દબાણનું સૂત્ર મેળવી શકાય છે.
  2. પાસ્કલના નિયમ મુજબ સંતુલન સ્થિતિમાં રહેલા વાયુના એક ભાગમાં લાગતું દબાણ બીજે બધે પણ એટલું જ હોય છે.
  3. દબાણના સૂત્રની તારવણીમાં અણુ-અણુ વચ્ચેની અથડામણો ધ્યાનમાં લીધી નથી, કારણ કે જો તે ધ્યાનમાં લેવામાં આવે, તો અણુઓના વેગની વહેંચણી (Velocity – Distribution) સ્થિર રહે નહીં અને તેથી વાયુ સ્થાયી સ્થિતિમાં રહી શકે નહીં. પરિણામે આપણે \(\overline{v_{\mathrm{x}}^2}\) શોધી શકીએ નહીં. આમ, અહીં અણુ-અણુ વચ્ચેની અથડામણો ધ્યાનમાં લીધી નથી.

આમ, સર્વાંગી રીતે, જો અણુ-અણુ વચ્ચેની અથડામણો થોડા થોડા સમયાંતરે વારંવાર (Frequently) ન થતી હોય અને અથડામણ દરમિયાનનો સમયગાળો, બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમય કરતાં નહિવત્ હોય, તો દબાણના સૂત્રની ઉપરોક્ત તારવણી / ગણતરી પર કોઈ જ અસર થતી નથી (આદર્શ વાયુનો ગતિવાદ).

પ્રશ્ન 20.
સાબિત કરો કે, આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
અથવા
જરૂરી સૂત્ર તારવીને દર્શાવો કે આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા, આદર્શ વાયુના દબાણ, કદ અને વાયુની પ્રકૃતિથી સ્વતંત્ર છે.
અથવા
આદર્શ વાયુની સ્થૂળ રાશિ – તાપમાન અને સૂક્ષ્મ રાશિ – એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જાને એકબીજા સાથે બોલ્ટ્સમૅનના અચળાંક વડે સાંકળતું સમીકરણ મેળવો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુના દબાણનું સૂત્ર P = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}\) છે.

• આ સમીકરણની બંને બાજુને વાયુના કદ V વડે ગુણતાં,
  PV = \(\frac{1}{3} n V m \overline{v^2}\)
  ∴ PV = \(\frac{1}{3} N m \overline{v^2}\) ………… (13.23)
  જ્યાં, nV = N = વાયુના નમૂનામાં રહેલા અણુઓની કુલ સંખ્યા
• સમીકરણ (13.23)ની જમણી બાજુને 2 વડે ગુણતાં અને ભાગતાં,
  PV = \(\frac{2}{3}\) (N × \(\frac{1}{2} m \overline{v^2}\)) ……………. (13.24)
• સમીકરણ (13.24)ની જમણી બાજુના કૌંસમાંની રાશિ વાયુના બધા અણુઓની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા છે.
• હવે, આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા E, સંપૂર્ણ ગતિકીય હોવાથી
  E = N × \(\frac{1}{2} m \overline{v^2}\) ……….. (13.25) લખાય.
• સમીકરણ (13.24) અને (13.25) પરથી,
  PV = \(\frac{2}{3}\) (E) ………….. (13.26)
• આ સમીકરણ (13.26)ને આદર્શ વાયુના અવસ્થા સમીકરણ
  PV = k_BNT સાથે સરખાવતાં,
  \(\frac{2}{3}\) E = k_BNT
  ∴ E = \(\frac{3}{2}\) k_BNT ………… (13.27)
• સમીકરણ (13.27) દર્શાવે છે કે, સમગ્ર આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા ફક્ત તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે નહીં કે તેના દબાણ પર અને કદ પર.
  ∴ \(\frac{E}{N}=\frac{3}{2}\) k_BT ………….. (13.28)
• હવે, સમીકરણ (13.25) પરથી,
  \(\frac{E}{N}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}\) હોવાથી
  \(\frac{E}{N}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}=\frac{3}{2}\) k_BT ……….. (13.29)
  ઉપરોક્ત સમીકરણ (13.29) દર્શાવે છે કે …
  1. આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
  2. આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા, આદર્શ વાયુના દબાણ, કદ અને વાયુની પ્રકૃતિથી સ્વતંત્ર છે.
  3. આદર્શ વાયુની સ્થૂળ રાશિ – તાપમાન અને સૂક્ષ્મ રાશિ – એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા એકબીજા સાથે બોલ્ટ્સમૅનના અચળાંક વડે સંકળાયેલા છે.

1 mol આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા :

• આદર્શ વાયુના N અણુઓની કુલ આંતરિક ઊર્જા
  E = N(\(\frac{1}{2} m \overline{v^2}\)) છે.
• જો આદર્શ વાયુનો જથ્થો 1 mol લેવામાં આવે, તો વાયુના અણુઓની સંખ્યા N = N_A (ઍવોગેડ્રો અંક જેટલી) થાય.
  ∴ 1 mol આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા
  = \(\frac{1}{2}\) (N_A m) \(\overline{v^2}\) = \(\frac{3}{2}\) k_BN_AT
  = \(\frac{1}{2}\) M₀\(\overline{v^2}\) = \(\frac{3}{2}\) RT …………. (13.30)
  જ્યાં, M₀ = N_Am = વાયુનું મોલ૨ દળ
  R = k_BN_A = સાર્વત્રિક વાયુ-િ -નિયતાંક
  = 8.314 J mol^-1 K^-1

પ્રશ્ન 21.
આદર્શ વાયુના દબાણનું સૂત્ર P = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}\) સ્વીકારો અને વાયુની સંતુલનની સ્થિતિમાં ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ મેળવો.
અથવા
P = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:
અક્રિયાશીલ એવા આદર્શ વાયુઓના મિશ્રણ માટે મિશ્રણમાં રહેલ દરેક વાયુ કુલ દબાણમાં ફાળો આપે છે. તેથી આદર્શ વાયુના દબાણના સૂત્ર P = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}\) પરથી
P = \(\frac{1}{3}\left(n_1 m_1 \overline{v_1^2}+n_2 m_2 \overline{v_2^2}+\ldots \ldots\right)\) …….. (13.31)

• વાયુની સંતુલનની સ્થિતિમાં, મિશ્રણમાંના જુદા જુદા દરેક વાયુના અણુઓની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા સમાન હોય છે. એટલે કે,
  \(\frac{1}{2} m_1 \overline{v_1^2}=\frac{1}{2} m_2 \overline{v_2^2}\) = ….. ….. = \(\frac{3}{2}\)k_BT
  ∴ P = (n₁ + n₂ + …. …) k_BT = nk_BT ……. . (13.32)
  જ્યાં, n = n₁ + n₂ + …. …….
  = મિશ્રણમાંના બધા વાયુઓની સ્વતંત્ર સંખ્યા ઘનતાઓનો સરવાળો
• સમીકરણ (13.32)એ ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ છે.

પ્રશ્ન 22.
300 K તાપમાને નાઇટ્રોજન (N₂) વાયુના અણુની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપ શોધો. (N₂નું મોલર દળ 28.0 g mol^-1)
ઉકેલ:
N₂નું મોલ૨ દળ = 28.0 g mol^-1 છે.
∴ N₂ના એક અણુનું દળ m = \(\frac{M_{\mathrm{N}_2}}{N_{\mathrm{A}}}\)
= \(\frac{28 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}}{6.02 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}}\)
= 4.65 × 10^-23 g
= 4.65 × 10^-26 kg
કોઈ પણ આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2} m \overline{v^2}=\frac{3}{2}\)k_BT હોય છે.
∴ \(\overline{v^2}=\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}\)
= \(\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}{4.65 \times 10^{-26}}\)
= 267.0967 × 10³m²s^-2

નોંધ :
(1) N₂નો અણુભાર (અથવા આણ્વિક દળ) 28.0 u છે.
પણ, 1 u = 1.66 × 10^-27 kg છે.
∴ N₂ના એક અણુનું દળ m
= 28.0 u × 1.66 × 10^-27 kg
= 46.48 × 10^-27 kg
= 4.648 × 10^-26 kg
= 4.65 × 10^-26 kg

(2) 1 gmol^-1 = \(\frac{1 \mathrm{~g}}{6.023 \times 10^{23}}\)
= 1.66 × 10^-24 g
= 1.66 × 10^-27 kg
= 1 u
= 1 atomic mass unit (amu)

પ્રશ્ન 23.
આદર્શ વાયુના અણુઓની rms ઝડપ એટલે શું? બોલ્ટ્સમૅનના અચળાંકના પદમાં તેનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુના અણુઓની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપ \(\overline{v^2}\)ના વર્ગમૂળને, સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ (Root Mean Square (rms) Speed) એટલે કે અણુઓની rms ઝડપ કહે છે.

• આદર્શ વાયુના એક અણુની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા \(\frac{1}{2} m \overline{v^2}=\frac{3}{2}\) k_BT છે.
  ∴ \(\overline{v^2}=\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}\)
  બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતાં,
  \(\sqrt{v^2}=\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}\)
  ∴ υ_rms = \(\sqrt{\frac{3 k_{\mathrm{B}} T}{m}}\) …………. (13.33)
• ઉપરોક્ત સમીકરણ (13.33) પરથી સ્પષ્ટ છે કે, સમાન તાપમાને રહેલા ભારે અને હલકા અણુઓ પૈકી, હલકા (Lighter) અણુઓની rms ઝડપ વધુ હોય છે.

નોંધ :
(1) આદર્શ વાયુના દબાણના સૂત્ર p = \(\frac{1}{3} n m \overline{v^2}\)
પરથી,
υ_rms = \(\sqrt{\frac{3 p}{n m}}\)
= \(\sqrt{\frac{3 p}{\rho}}\) ……….. (13.34)
જ્યાં, ρ = nm = વાયુની ઘનતા

(2) 1 mol આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જાના સૂત્ર
\(\frac{1}{2} M_0 \overline{v^2}=\frac{3}{2}\)RT પરથી,
υ_rms = \(\sqrt{\frac{3 R T}{M_0}}\) …………. (13.35)

પ્રશ્ન 24.
કોઈ વાયુના અણુના મુક્તતાના અંશો કોને કહે છે? એક- પરમાણ્વિક વાયુના એક અણુના મુક્તતાના અંશો સમજાવો. અથવા મુક્તતાના અંશો એટલે શું? એક-પરમાણ્વિક વાયુના એક અણુના મુક્તતાના અંશો વિશે સમજૂતી આપો.
ઉત્તર:
કોઈ વાયુનો એક અણુ જેટલા પ્રકારની સ્વતંત્ર ગતિ કરી શકે છે, તેને આપેલ વાયુના અણુના મુક્તતાના અંશો કહે છે.
અથવા

• કોઈ વાયુના એક અણુના કુલ ઊર્જાના સૂત્રમાં, જુદી જુદી શક્ય ગતિઓને અનુરૂપ આવતા ઊર્જાનાં દ્વિઘાત પદોની સંખ્યાને આપેલ વાયુના અણુના મુક્તતાના અંશો કહે છે.
  સમજૂતી : આદર્શ વાયુના એક અણુની રેખીય ગતિ-ઊર્જા,
  ε_t = \(\frac{1}{2}\)υ_x² + \(\frac{1}{2}\)υ_y² + \(\frac{1}{2}\)υ_z² ………… (13.36)
• T કેલ્વિન તાપમાને, ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા આદર્શ વાયુના અણુની સરેરાશ ઊર્જાને <ε_t> વડે દર્શાવીએ, તો

• હવે, કોઈ અણુની ગતિની દિશા નિશ્ચિત (અથવા ઇચ્છિત) હોતી નથી. તેથી તેની રેખીય ગતિના x-ઘટક, પુ-ઘટક અને z-ઘટક સાથે એકસમાન (ગતિ) ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)k_BT સંકળાયેલી હશે, એટલે કે,

• અવકાશમાં ગતિ કરી શકે તેવા મુક્ત અણુનું સ્થાન દર્શાવવા ત્રણ યામો જરૂરી છે. જો તે કોઈ સમતલમાં ગતિ કરવા માટે બંધિત હોય, તો તેને બે અને જો કોઈ એક રેખા પર તિ કરવા માટે બંધિત હોય, તો તેનું સ્થાન નક્કી કરવા માટે ફક્ત એક જ યામ જરૂરી છે.
• આમ, એક અણુ જો
  1. એક રેખા પર રેખીય ગતિ કરે, તો તે 1;
  2. સમતલમાં ગતિ કરે, તો તે 2 અને
  3. અવકાશમાં ગતિ કરે, તો તે 3 મુક્તતાના અંશો ધરાવે છે.
• સમગ્ર પદાર્થની (as a whole), એક બિંદુથી બીજા બિંદુ સુધીની ગતિને રેખીય ગતિ કહે છે. તેથી અવકાશમાં ગતિ કરવા માટે મુક્ત એવા ણને રેખીય ગતિના મુક્તતાના અંશો 3 હોય છે.
• કુલ રેખીય (ગતિ) ઊર્જાના સૂત્રમાં, રેખીય ગતિની મુક્તતાનો દરેક અંશ, રેખીય ગતિના કોઈ એક ચલના વર્ગ દા. ત., \(\frac{1}{2}\)υ_x² + \(\frac{1}{2}\)υ_y² + \(\frac{1}{2}\)υ_z² પદો, પોતાનો ફાળો આપે છે.
• સમીકરણ (13.38) દર્શાવે છે કે, ઉષ્મીય સંતુલનની અવસ્થામાં આવા દરેક પદનું સરેરાશ \(\frac{1}{2}\)k_BT હોય છે.
  ટૂંકમાં, એક અણુની કુલ રેખીય ગતિ-ઊર્જાના સૂત્રમાં જુદી જુદી શક્ય ગતિઓને અનુરૂપ ઊર્જાનાં દ્વિઘાત પદોની સંખ્યા 3 છે અને તેથી એક-પરમાણ્વિક વાયુના એક અણુના મુક્તતાના અંશો 3 છે. દા. ત.,
  1. આર્ગન (Ar) વાયુનો એક અણુ
  2. હીલિયમ (He) વાયુનો એક અણુ
  3. નિયૉન (Ne) વાયુનો એક અણુ

પ્રશ્ન 25.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુના એક અણુના મુક્તતાના અંશો સમજાવો.
ઉત્તર:
O₂ અને N₂ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુના અણુઓની રેખીય ગતિ માટેના મુક્તતાના અંશો 3 હોય છે. તદ્ઉપરાંત આ અણુઓ તેમના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર(CM)ને અનુલક્ષીને ચાકગતિ (અને કંપનગતિ) પણ કરતા હોય છે.

આકૃતિ 13.10માં ઑક્સિજનના બે પરમાણુઓને જોડતી રેખા / અક્ષને લંબરૂપે રહેલી બે સ્વતંત્ર ચાકગતિની અક્ષો 1 અને 2 દર્શાવી છે, જેમની આસપાસ (અનુલક્ષીને) આ દ્વિ-૫૨માણ્વિક અણુ ચાકગતિ કરી શકે છે.
આમ, આ અણુને ચાકગતિ માટેના મુક્તતાના અંશો 2 છે અને તેમને સંબંધિત ઊર્જાનાં પદો પણ બે જ છે, જે અણુના કુલ ઊર્જાના સૂત્રમાં પોતાનો ફાળો આપે છે.
એટલે કે,
દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુની કુલ ઊર્જા
= ε_t + ε_r
= (\(\frac{1}{2}\)mυ_x² + \(\frac{1}{2}\)mυ_y² + \(\frac{1}{2}\)mυ_z²) + (\(\frac{1}{2}\)I₁ω₁² + \(\frac{1}{2}\)I₂ω₂² ………. (13.39)
જ્યાં ω₁ અને ω₂ એ અનુક્રમે અક્ષો 1 અને 2 ને અનુલક્ષીને અણુની કોણીય ઝડપ છે તથા I₁ અને I₂ એ અણુની અનુરૂપ અક્ષોને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાઓ છે.

અહીં પણ ચાકગતિનો દરેક મુક્તતાનો અંશ, અણુની કુલ ઊર્જાના પદમાં પોતાનો ફાળો આપે છે, જેમાં ચાકગતિના ચલ(ω₁ અને ω₂)નો વર્ગ આવેલા છે.

સમીકરણ (13.39)માં દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુની કુલ ઊર્જાના સૂત્રમાં, ઊર્જાનાં 5 દ્વિઘાત પદો સમાવિષ્ટ છે. તેથી દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ O₂ ના મુક્તતાના અંશો 5 છે.

ઉપરની ચર્ચામાં O₂ અણુને rigid rotator સ્વીકારેલ છે, એટલે કે તેની કંપનગતિ ધ્યાનમાં લીધી નથી. પરંતુ, આ બાબત હંમેશાં સત્ય નથી.

ખૂબ ઊંચા તાપમાને O₂ અને સામાન્ય તાપમાને CO જેવા અણુઓ કંપનગતિ પણ કરતા હોય છે, એટલે કે તેમના પરમાણુઓ આંતર-પરમાણ્વિક અક્ષ પર એક-દિશ દોલકની જેમ કંપન કરતા હોય છે, (આકૃતિ 13.11) જે કુલ ઊર્જાના સૂત્રમાં કંપન-ઊર્જા ε_v નું પદ પ્રદાન કરે છે.
અહીં, કંપન-ઊર્જા
ε_v = \(\frac{1}{2}\) m (\(\frac{d y}{d t}\))² + \(\frac{1}{2}\) ky² ………… (13.40)
જ્યાં, m = બે પરમાણુઓથી બનેલા અણુનું રિડ્યુ માસ (\(\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\)) છે.
k = દોલકનો બળ-અચળાંક
y = કંપન-યામ (ચલ)
\(\frac{d y}{d t}\) = કંપનનો તાત્ક્ષણિક વેગ

આમ, વ્યાપક રીતે દ્વિ-પરમાણ્વિક O₂, N₂ જેવા અણુઓની કુલ ઊર્જા,
ε = ε_t + ε_r + ε_v …………. (13.41)

સમીકરણ (13.40)માં કંપન-ઊર્જા (ε_v)નાં પદો કંપન-ગતિના ચલો y અને \(\frac{d y}{d t}\) ના વર્ગના પદ ધરાવે છે.

આમ, સ્પષ્ટ થાય છે કે સમીકરણ (13.41)માં રેખીય અને ચાકગતિનો મુક્તતાનો એક અંશ (અથવા ગતિનો એક પ્રકાર) ફક્ત એક વર્ગીય પદ પ્રદાન કરે છે. પણ કંપન-ગતિનો એક પ્રકાર (Mode) બે વર્ગીત પદો પ્રદાન કરે છે, એટલે કે એક કંપન (One vibration) બે જુદા જુદા પ્રકારની ઊર્જાઓ પ્રદાન કરે છે. એક ગતિ-ઊર્જા (\(\frac{1}{2}\)m(\(\frac{d y}{d t}\))²) અને બીજી સ્થિતિ-ઊર્જા (\(\frac{1}{2}\)ky²)

સમીકરણ (13.41) પરથી એ પણ સ્પષ્ટ થાય છે કે, દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ કુલ સાત (3 + 2 + 2) મુક્તતાના અંશો ધરાવે છે. દા. ત.,

1. સામાન્ય તાપમાને CO વાયુનો એક અણુ
2. ખૂબ ઊંચા તાપમાને O₂ નો એક અણુ
3. ખૂબ ઊંચા તાપમાને N₂ નો એક અણુ

પ્રશ્ન 26.
ઊર્જાના સમવિભાજનનો નિયમ ટૂંકમાં સમજાવો.
ઉત્તર:
વ્યાપક રૂપે દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુના કુલ ઊર્જાના સૂત્રમાં આવતું દરેક દ્વિઘાત પદ (કુલ સાત પદો) એ અણુની ઊર્જાના શોષણનો પ્રકાર દર્શાવે છે.
T. જેટલા નિરપેક્ષ તાપમાને તાપીય સંતુલનમાં રહેલ દરેક રેખીય ગતિના પ્રકાર (Mode) સાથે સંકળાયેલી ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)k_B T હોય છે, પરંતુ આંકડાકીય પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્રનો મૅક્સવેલે દર્શાવેલો સિદ્ધાંત સૂચવે છે કે,
કોઈ વાયુના એક અણુની કુલ ઊર્જા, ખરેખર તો દરેક પ્રકારની ઊર્જાઓમાં (રેખીય, ચક્રીય અને કંપનમાં) સમાન રીતે વિતરિત થયેલ હોય છે. એટલે કે દરેક પ્રકારની ગતિની સરેરાશ ઊર્જા \(\frac{1}{2}\)k_B T જેટલી હોય છે, જેને ઊર્જાના સમવિભાજનનો નિયમ કહે છે.

દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુનો દરેક રેખીય અને ચાકગતિ માટેનો મુક્તતાનો અંશ અણુની કુલ ઊર્જાના સૂત્રમાં \(\frac{1}{2}\)k_B T ઊર્જા (પદ) પ્રદાન કરે છે. પરંતુ દરેક કંપન, 2 × \(\frac{1}{2}\)k_B T = k_B T પદ (ઊર્જા) પ્રદાન કરે છે, કારણ કે એક કંપનમાં ગતિ-ઊર્જા અને સ્થિતિ-ઊર્જા એમ બંને પ્રકારની ઊર્જાઓ સમાવિષ્ટ હોય છે.

પ્રશ્ન 27.
એક-પરમાણ્વિક વાયુઓ માટે C_v C_p અને γનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:
એક-પરમાણ્વિક વાયુના એક અણુને રેખીય મુક્તતાના માત્ર 3 અંશ હોય છે.
∴ T જેટલા નિરપેક્ષ તાપમાને, આવા એક અણુની સરેરાશ રેખીય (ગતિ)ઊર્જા \(\frac{3}{2}\)k_B T હોય છે.

• ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં, આવા 1 mol આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા,
  U = \(\frac{3}{2}\)k_B T × N_A = \(\frac{3}{2}\) RT …… (13.42)
• હવે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા,
  C_v = \(\frac{d U}{d T}\)
  ∴ એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,
  C_v = \(\frac{d}{d T}\)(\(\frac{3}{2}\) RT)
  = \(\frac{3}{2}\) R …… (13.43)
• આદર્શ વાયુ માટે,
  C_p – C_v = R જ્યાં, C_p = અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા
  ∴ C_p = R + C_v
  = R + \(\frac{3}{2}\) R = \(\frac{5}{2}\) R …….. (13.44)
  હવે, γ = \(\frac{C_{\mathrm{p}}}{C_{\mathrm{v}}}=\frac{\frac{5}{2} R}{\frac{3}{2} R}=\frac{5}{3}\) ………. (13.45)

પ્રશ્ન 28.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુના અણુઓ, rigid ratotor (દઢ અણુ) તરીકે વર્તતા હોય તેવા સંજોગોમાં તેના માટે C_v, C_p અને જનાં સૂત્રો મેળવો. જો દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ દૃઢ ન હોય અને કંપન પણ ધરાવતો હોય, તો C_v, C_p અને γ નાં સૂત્રો જણાવો.
ઉત્તર:
ડમ્બેલની જેમ નિરૂપિત કરેલ rigid rotator એવા, દ્વિ-પરમાણ્વિક દઢ અણુને મુક્તતાના અંશો 5 (3 રેખીય + 2 ચક્રીય) હોય છે.
∴ T જેટલા નિરપેક્ષ તાપમાને, આવા એક અણુની સરેરાશ
(ગતિ)ઊર્જા \(\frac{5}{2}\)k_B T હોય છે.

• ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં, આવા 1 mol આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા,
  U = \(\frac{5}{2}\)k_B T × N_A = \(\frac{5}{2}\) RT …………. . (13.46)
• હવે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા,
  C_v = \(\frac{d U}{d T}\)
  ∴ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,
  C_v = \(\frac{d}{d T}\)(\(\frac{5}{2}\) RT)
  = \(\frac{5}{2}\) R ………… (13.47)
• આદર્શ વાયુ માટે, C_p – C_v = R જ્યાં, C_p = અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા
  ∴ C_p = R + C_v
  = R + \(\frac{5}{2}\) R
  = \(\frac{7}{2}\) R …….. (13.48)
  હવે, γ = \(\frac{C_{\mathrm{p}}}{C_{\mathrm{v}}}\)
  = \(\frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R}\)
  = \(\frac{7}{5}\) …….. (13.49)
• જો દ્વિ-પરમાણ્વિક અણુ દૃઢ ન હોય અને કંપન પણ ધરાવતો હોય, તો
  1 mol આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા
  U = (\(\frac{5}{2}\)k_BT + k_B T) × N_A = \(\frac{7}{2}\) RT ……… (13.50)
  ∴ C_v = \(\frac{d U}{d T}\) = \(\frac{7}{2}\) R …….. (13.51)
  અને C_p – C_v = R પરથી,
  C_p = R + C_v = R + \(\frac{7}{2}\) R \(\frac{9}{2}\) R ….. (13.52)
  γ = \(\frac{C_{\mathrm{p}}}{C_{\mathrm{v}}}=\frac{\frac{9}{2} R}{\frac{7}{2} R}=\frac{9}{7}\) ……….. (13.53)

પ્રશ્ન 29.
બહુપરમાણ્વિક આદર્શ વાયુ માટે C_v, C_p અને γનાં સૂત્રો મેળવો.
ઉત્તર:
સામાન્ય રીતે બહુપરમાણ્વિક અણુને 3 રેખીય, 3 ચક્રીય મુક્તતાના અંશો અને અમુક સંખ્યા (f)ના કંપનના પ્રકારો (Modes) હોય છે.
તેથી ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ પરથી આવા 1 mol વાયુની કુલ આંતિરક ઊર્જા,
U = (\(\frac{3}{2}\)k_BT + \(\frac{3}{2}\)k_B T + f k_B T) × N_A
= (3 + f) RT ………… (13.54)
∴ C_v = \(\frac{d U}{d T}\) = (3 + f) R ……… (13.55)
અને C_p = R + C_v = R + (3 + f) R = (4 + f) R …….. (13.56)
γ = \(\frac{C_{\mathrm{p}}}{C_{\mathrm{v}}}=\frac{(4+f)}{(3+f)}\) ………. (13.57)

પ્રશ્ન 30.
ઘન પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા-ક્ષમતા C = 3R હોય છે તેમ સાબિત કરો.
ઉત્તર:
ધારો કે, એક ઘન પદાર્થ N પરમાણુઓનો બનેલો છે, જેઓ તેમના મધ્યમાન સ્થાનની આસપાસ કંપન (Vibration) કરતા હોય.

• એક-પરિમાણમાં એક અણુના કંપનની સરેરાશ
  ઊર્જા = 2 × \(\frac{1}{2}\)k_B T = k_BT હોય છે.
  ∴ ત્રિપરિમાણમાં આ અણુની સરેરાશ ઊર્જા = 3k_B T
• હવે, ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતાં, 1 mol ઘન પદાર્થ માટે N = N_A હોવાથી તેની કુલ ઊર્જા,
  U = 3k_BT × N_A = 3RT ………… (13.58)
• થરમૉડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ Δ Q = Δ U + P Δ V પરથી અચળ દબાણે ઘન પદાર્થ માટે Δ V અવગણ્ય હોવાથી Δ Q = Δ U થાય.
  ∴ ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા-ક્ષમતા,
  C = \(\frac{\Delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U}{\Delta T}\) = 3R …….. (13.59)
  કોષ્ટક 13.3 : ઓરડાના તાપમાને અને વાતાવરણના દબાણે કેટલાક ઘન પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા-ક્ષમતા

પદાર્થ	વિશિષ્ટ ઉષ્મા (J kg-1 K-1)	મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા (J mol-1 K-1)
ઍલ્યુમિનિયમ	900.0	24.4
કાર્બન	506.5	6.1
તાંબું	386.4	24.5
સીસું	127.7	26.5
ચાંદી	236.1	25.5
ટંગસ્ટન	134.4	24.9

પ્રશ્ન 31.
પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા-ક્ષમતા ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમની મદદથી સમજાવો.
ઉત્તર:
પાણી(H₂O)ને ઘન પદાર્થની જેમ ગણવામાં આવે, તો પાણીના દરેક પરમાણુની આંદોલનની સરેરાશ ઊર્જા 3k_BT હોય.
પણ પાણીના એક અણુમાં ત્રણ પરમાણુઓ હોય છે : બે હાઇડ્રોજનના અને એક ઑક્સિજનનો.
∴ 1 mol પાણી માટે N = N_A હોવાથી તેની કુલ ઊર્જા,
U = 3 × 3 k_BT × N_A = 9RT ……… (13.60)
∴ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા-ક્ષમતા,
C = \(×[latex] = 9R ……. (13.61)
પણ, SI એકમ પદ્ધતિમાં R = 8.314J mol^-1 K^-1 હોવાથી,
C = 9 × 8.314 = 74.826 J mol K^-1

હવે, CGS એકમ પદ્ધતિમાં કૅલરી, ગ્રામ, ડિગ્રી એકમોમાં પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા 1 એકમ વ્યાખ્યાયિત કરેલ છે, એટલે કે C = 1 cal g^-1 °C^-1
પરંતુ, 1 cal = 4.179 J હોવાથી પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા C = 4.179 J g^-1°C^-1
હવે, 1 mol પાણીનું દળ = 2 (1) + 16 = 18 g છે.
∴ પાણીની 1 mol દીઠ વિશિષ્ટ ઉષ્મા,
C = 18 × 4.179 = 75.222 J mol^-1 °C^-1
= 75.222 J mol^-1 K^-1
= 9R
આમ, સૈદ્ધાંતિક રીતે મળેલ પાણીની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા અવલોકન દ્વારા મળેલ વિશિષ્ટ ઉષ્મા સાથે બંધબેસતી આવે છે.

પ્રશ્ન 32.
આપેલ પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્માની કઈ વર્તણૂક, પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્ર નહીં, પણ ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્રની મદદથી સમજાવી શકાય છે? સ્પષ્ટતા કરો.
અથવા
આપેલ પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્માની કઈ વર્તણૂક, પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્રની મર્યાદા દર્શાવે છે? સમજાવો.
ઉત્તર:
ઊર્જાના સમવિભાજનના પ્રચલિત નિયમના આધારે જુદા જુદા પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ અનુમાનિત (અંદાજિત) કરી શકાય છે અને અનુમાનિત કરેલ વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય છે.
દા. ત., વિવિધ ઘન પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા C = 3R અને પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા C = 9R.

પરંતુ જેમ જેમ આપેલ પદાર્થનું તાપમાન ઘટાડતાં જઈએ તેમ તેમ આ અનુમાનિત મૂલ્યમાં થોડો તફાવત પડે છે.
જેમ કે, જો ΔT → 0 કરીએ તો, બધા પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા શૂન્ય સુધી પહોંચે છે.

• આ બાબત, એ હકીકત સાથે સંકળાયેલ છે કે નીચા તાપમાને મુક્તતાના અંશો શિથિલ (Frozen) થઈ જાય છે અને બિન- અસરકારક બને છે.
  પરંતુ, પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્ર મુજબ મુક્તતાના અંશો કોઈ પણ સમયે બદલાવા જોઈએ નહીં.
• વિશિષ્ટ ઉષ્માની આ વર્તણૂક પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્રની મર્યાદા દર્શાવે છે, અર્થાત્ પ્રચલિત યંત્રશાસ્ત્રની મદદથી સમજાવી શકાતી નથી. પણ ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્રની મદદથી આ હકીકત સમજાવી શકાય છે, જે સૌપ્રથમ આઇન્સ્ટાઇને દર્શાવ્યું હતું.
• ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્ર મુજબ, મુક્તતાના અંશો લાગુ પડે તે પહેલાં, પદાર્થની / અણુની લઘુતમ ઊર્જા અશૂન્ય હોવી જોઈએ.
  કેટલાક કિસ્સાઓમાં જ, કંપનને લગતા મુક્તતાના અંશો લાગુ પાડવા માટેનું આ પણ એક કારણ છે.

પ્રશ્ન 33.
વાયુના અણુઓનો ગતિમાર્ગ સતત ફંટાતો રહે છે. શા માટે? ઉદાહરણ દ્વારા સ્પષ્ટતા કરો.
ઉત્તર:
ઘણી વાર વાયુના અણુઓની ઝડપ, અવાજની (ધ્વનિની) ઝડપના ક્રમની હોય છે એટલે કે વધુ હોય છે.
છતાં પણ,

1. રસોડામાં ગૅસના બાટલામાંથી ચુવાતો / લીક થતો ગૅસ (વાયુ) ઓરડાના બીજા ખૂણાઓ સુધી પહોંચવા માટે સારો એવો સમય લે છે.
2. ધુમાડાની – વાદળની ટોચ / ઉપલો ભાગ ઘણા કલાકો સુધી જળવાઈ રહે છે.
   આમ થવાનું કારણ એ છે કે, વાયુના અણુઓને ચોક્કસ પણ નાનું કદ હોય છે. આથી તેઓ એકબીજા સાથે અથડામણ કરે જ છે.
   પરિણામે તેઓ અથડાયા વગર સીધી રેખામાં ગતિ કરી શકતા નથી અને તેમનો ગતિમાર્ગ સતત ફંટાતો રહે છે.

પ્રશ્ન 34.
મુક્તપથ એટલે શું? સરેરાશ મુક્તપથ કોને કહે છે? સમજાવો.
ઉત્તર:
મુક્તપથ : બે ક્રમિક અણુ-અણુ સંઘાતો વચ્ચે વાયુનો અણુ સરેરાશ ઝડપે જેટલું સુરેખ અંતર કાપે છે, તે અંતરને તે અણુનો તે બે ક્રમિક સંઘાતને અનુલક્ષીને મુક્તપથ કહે છે.
સરેરાશ મુક્તપથ : વાયુના અણુએ કાપેલા જુદા જુદા મુક્તપથોના સરેરાશ મૂલ્યને સરેરાશ મુક્તપથ કહે છે.

• આકૃતિ 13.12 (a)માં વાયુના કોઈ એક અણુનો ગતિપથ દર્શાવવામાં આવ્યો છે.
• અણુના ગતિપથના માર્ગમાં જ્યારે બીજો અણુ આવે છે ત્યારે તે સંઘાત અનુભવે છે અને પરિણામે તેની ગતિની ઝડપ અને દિશા બંને બદલાય છે.
• પરંતુ એક સંઘાત બાદ તે અણુ જ્યાં સુધી બીજો સંઘાત ન અનુભવે ત્યાં સુધી <υ> જેટલી સરેરાશ ઝડપે સુરેખ પથ પર ગતિ કરે છે. બે ક્રમિક સંઘાતો વચ્ચે અણુના સુરેખ ગતિપથની લંબાઈને મુક્તપથ કહી શકાય.
  આકૃતિ 13.12 (b)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ધારો કે અણુ ‘O’ બિંદુઓ A, B, C, … આગળના અણુઓ જોડે સંઘાત અનુભવે છે. આ દરમિયાન તેમના મુક્તપથ અનુક્રમે l₁, l₂, l₃, … વગે૨ે છે. તો, અણુ Oનો સરેરાશ મુક્તપથ નીચેના સૂત્ર દ્વારા રજૂ કરી શકાય :
  l = ……… (13.62)

પ્રશ્ન 35.
વાયુના કોઈ અણુનો સરેરાશ મુક્તપથ એટલે શું? જરૂરી આકૃતિની મદદથી સરેરાશ મુક્તપથનું સૂત્ર મેળવો.
ઉત્તર:
બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સરેરાશ સમયમાં, વાયુના અણુએ સરેરાશ ઝડપથી કાપેલા સરેરાશ સુરેખ અંતરને તે અણુનો સરેરાશ મુક્તપથ કહે છે.
અથવા
અણુ-અણુ વચ્ચેની બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સમયગાળામાં વાયુનો અણુ સરેરાશ ઝડપે જેટલું સુરેખ અંતર કાપે તેને તે અણુનો તે બે ક્રમિક અથડામણોને અનુલક્ષીને મુક્તપથ (Free path) કહે છે. વાયુના અણુએ કાપેલા આવા જુદા જુદા મુક્તપથોના સરેરાશ મૂલ્યને તે અણુનો સરેરાશ મુક્તપથ (Mean free path) કહે છે.

• ધારો કે, વાયુના અણુઓ d વ્યાસના ગોળાઓ છે. તેથી જે બે અણુઓનાં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર d હશે તેઓ જ એકબીજા સાથે અથડામણ અનુભવી શકે.
• હવે, આકૃતિ 13.13માં દર્શાવ્યા મુજબ, તે ત્રિજ્યાવાળા કાલ્પનિક નળાકારમાં, નળાકારની અક્ષ પર, સરેરાશ ઝડપ <υ>થી ગતિ કરતા એક અણુનો વિચાર કરો અને તેની આસપાસના બીજા અણુઓ સ્થિર છે તેમ ધારો.
• આ ગતિમાન અણુ, માત્ર તે જ અણુઓ સાથે અથડાશે કે જેમનાં કેન્દ્રો, આ અણુના કેન્દ્રથી d અંતર સુધીમાં આવેલા હશે.
• સરેરાશ ઝડપ <υ>થી ગતિ કરતો આ અણુ Δt સમયમાં <υ> Δt જેટલું સુરેખ અંતર કાપે છે તેથી πd²<υ>Δt કદ ધરાવતા કાલ્પનિક નળાકારમાં આવેલ કોઈ પણ અણુ તેની સાથે અથડાશે.
• જો એકમ કદમાં આવેલ અણુઓની સંખ્યા n હોય, તો Δt સમયમાં આ ગતિમાન અણુ nπd² <υ> Δt જેટલી અથડામણો અનુભવશે.
  ∴ આ ગતિમાન અણુના અથડામણનો દર (એટલે એકમ સમયમાં થતી અથડામણોની સંખ્યા) nπd²<υ> થશે અને બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમય સરેરાશ રૂપે,
  τ = [latex]\frac{1}{n \pid^2}\) થશે. …….. (13.63)
  (τ ને અણુનો રીલૅક્સેશન સમય પણ કહે છે.)
• તેથી બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર, જે સરેરાશ મુક્તપથ l કહેવાય છે, તે નીચે મુજબ મળે :
  l = <υ> τ
  = \(\frac{1}{n \pi d^2}\) ……….. (13.64)
• સમીકરણ (13.64)ની તારવણીમાં આપણે ગતિમાન અણુની આસપાસના બીજા બધા અણુઓ સ્થિર છે તેમ ધાર્યું હતું.
  પરંતુ ખરેખર બધા જ અણુઓ ગતિમાં હોય છે. તેથી અણુના અથડામણનો દર અણુઓના સરેરાશ સાપેક્ષ વેગ પરથી મેળવી શકાય છે.
• આમ, સમીકરણ (13.63)માં <υ>ની જગ્યાએ <υ_r> લખવું જોઈએ અને વધુ ચોક્કસ ગણતરી કરવાથી
  l = \(\frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}\) મળે છે. ………. (13.65)

પ્રશ્ન 36.
STPએ 2 × 10^-10 m (= 2 Å) વ્યાસ ધરાવતા અને 485 m s^-1 જેટલી સરેરાશ ઝડપ (<υ>) ધરાવતા અણુઓ માટે રીલૅક્સેશન સમય τ અને સરેરાશ મુક્તપથ l, અણુના વ્યાસ તના પદમાં શોધો.
ઉત્તર:
STPએ 22.4 લિટર (= 22.4 × 10^-3 m³) કદ ધરાવતા પદાર્થમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા ઍવોગેડ્રો અંક N_A જેટલી હોય છે. તેથી STPએ વાયુના એકમ કદમાં રહેલા અણુઓની સંખ્યા,
n = \(\frac{N_{\mathrm{A}}}{22.4 \times 10^{-3}}=\frac{6.023 \times 10^{23}}{22.4 \times 10^{-3}}\)
= 2.688 × 10²⁵m^-3
≈ 2.7 × 10²⁵ m^-3
અણુનો રીલૅક્સેશન સમય,

= 6.080 × 10^-5 × 10^-5
≈ 6.1 × 10^-10s
સરેરાશ મુક્તપથ,
l = <υ> τ
= 485 × 6.1 × 10^-10
= 2958.5 × 10^-10 m
= 2.958 × 10^-7m
≈ 1500 d (જ્યાં, d = અણુનો વ્યાસ = 2 × 10^-10 m)

હેતુલક્ષી પ્રશ્નોત્તર
નીચેના પ્રશ્નોના ટૂંકમાં ઉત્તર આપો :

પ્રશ્ન 1.
કયા અનુમાનના આધારે ગતિવાદમાં વાયુઓની વર્તણૂક સમજાવવામાં આવે છે?
ઉત્તર:
વાયુ એ ઝડપથી ગતિ કરતા પરમાણુઓ અને અણુઓનો બનેલો છે તેવા અનુમાનના આધારે વાયુઓની વર્તણૂક સમજાવવામાં આવે છે.

પ્રશ્ન 2.
દ્રવ્યના આણ્વિક સ્વરૂપને લગતો પરમાણુ અધિતર્ક જણાવો.
ઉત્તર:
દરેક વસ્તુ / પદાર્થ પરમાણુઓનો બનેલો છે. સૂક્ષ્મ કણો અવકાશમાં નિરંતર ગતિ કરે છે તથા જ્યારે એકબીજાથી થોડા અંતરે હોય ત્યારે આકર્ષે છે, પરંતુ ખૂબ નજીક જાય ત્યારે એકબીજાને અપાકર્ષે છે.

પ્રશ્ન 3.
દ્રવ્યના આણ્વિક રૂપ અંગે શૅલ્યુસેકનો નિયમ શું દર્શાવે છે?
ઉત્તર:
જ્યારે વાયુઓ રાસાયણિક પ્રક્રિયા વડે સંયોજાઈને બીજા વાયુ બનાવે છે, ત્યારે તેમના કદનો ગુણોત્તર નાની પરંતુ ચોક્કસ પૂર્ણાંક સંખ્યામાં હોય છે.

પ્રશ્ન 4.
ઍવોગેડ્રોનો નિયમ શું દર્શાવે છે?
ઉત્તર:
સમાન તાપમાન અને સમાન દબાણે રહેલા એકસરખું કદ ધરાવતા, દરેક વાયુઓમાં અણુઓની સંખ્યા એકસરખી હોય છે. (આને ઍવોગેડ્રોનો અધિતર્ક પણ કહે છે.)

પ્રશ્ન 5.
દબાણ અને તાપમાનનાં કેવાં મૂલ્યો માટે વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે?
ઉત્તર:
નીચા દબાણ અને ઊંચા તાપમાને વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુની માફક વર્તે છે.

પ્રશ્ન 6.
આદર્શ વાયુ કોને કહે છે?
ઉત્તર:
જે વાયુ દબાણ અને તાપમાનનાં બધાં જ મૂલ્યો માટે PV = μRT સમીકરણનું સંપૂર્ણપણે પાલન કરતો હોય તેવા (કાલ્પનિક) વાયુને આદર્શ વાયુ કહે છે.

પ્રશ્ન 7.
ઍવોગેડ્રો અંક એટલે શું?
ઉત્તર:
1 mol પદાર્થમાં રહેલા ઘટક કણો(પરમાણુઓ કે અણુઓ)ની સંખ્યાને ઍવોગેડ્રો અંક કહે છે.

પ્રશ્ન 8.
બૉઇલના નિયમનું વિધાન લખો.
ઉત્તર:
અચળ તાપમાને પૂરતી ઓછી ઘનતાવાળા નિશ્ચિત દળના (જથ્થાના) વાયુનું દબાણ તેના કદના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 9.
ચાર્લ્સના નિયમનું વિધાન લખો.
ઉત્તર:
અચળ દબાણે પૂરતી ઓછી ઘનતાવાળા નિશ્ચિત દળના (જથ્થાના) વાયુનું કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

પ્રશ્ન 10.
ડાલ્ટનનો આંશિક દબાણનો નિયમ લખો.
ઉત્તર:
એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા ન કરી શકે તેવા જુદા જુદા આદર્શ વાયુઓના મિશ્રણનું કુલ દબાણ એ મિશ્રણમાંના પ્રત્યેક વાયુના આંશિક દબાણના સરવાળા જેટલું હોય છે.

પ્રશ્ન 11.
એક આદર્શ વાયુનું કદ V, દબાણ P અને તાપમાન T છે. તેના દરેક અણુનું દળ m છે, તો વાયુની ઘનતાનું સૂત્ર દબાણ અને તાપમાનના પદમાં મેળવો.
ઉત્તર:
આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = Nk_BT પરથી,
PV = \(\frac{N m}{m}\)k_BT
∴ ઘનતા ρ = \(\frac{N m}{V}=\frac{M}{V}=\frac{P m}{k_{\mathrm{B}} T}\)

પ્રશ્ન 12.
એક વાયુપાત્રમાં 2kg હવા ભરેલી છે. તેનું દબાણ 10⁵ Pa છે. જો પાત્રમાં 2 kg જેટલી વધારાની હવા અચળ તાપમાને ભરવામાં આવે, તો હવે દબાણ કેટલું થશે?
ઉકેલ:
અહીં, કદ V અને તાપમાન T અચળ છે. તેથી PV = μRT ૫૨થી P ∝ μ
∴ \(\frac{P_2}{P_1}=\frac{\mu_2}{\mu_1}=\frac{\frac{(2+2)}{M_0}}{\frac{(2)}{M_0}}\) = 2
∴ P₂ = 2P₁
= 2 × 10⁵ Pa

પ્રશ્ન 13.
બૂચથી બંધ કરેલી એક શીશીમાં 7°C તાપમાને હવાનું દબાણ 1 atm છે. આ બૂચ 1.3 atm જેટલું દબાણ સહન કરી શકે તે રીતે શીશી પર ફીટ કરેલો છે, તો શીશીને ઓછામાં ઓછા કેટલા તાપમાન સુધી તપાવીએ તો બૂચ શીશી પરથી ઉખડી જાય? શીશીનું તાપીય વિસ્તરણ અવગણો.
ઉકેલ:
P₁V = μ RT₁ અને P₂V = μ RT₂
∴ \(\frac{P_1}{P_2}=\frac{T_1}{T_2}\)
∴ T₂ = \(\frac{P_2}{P_1}\) T₂
\(=\frac{1.3 \mathrm{~atm} \times 280 \mathrm{~K}}{1 \mathrm{~atm}}\) (∵ P₁ = 1 atm P₂ = 1.3 atm T₂ = 7 °C = 280 K)
= 364 K
= 91 °C

પ્રશ્ન 14.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા શેના પર આધાર રાખતી નથી?
ઉત્તર:
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા વાયુના દબાણ, કદ, પ્રકા૨ (પ્રકૃતિ) અને જથ્થા પર આધાર રાખતી નથી.

પ્રશ્ન 15.
કોઈ વાયુના અણુના મુક્તતાના અંશો કોને કહે છે?
ઉત્તર:
આપેલ વાયુનો અણુ જેટલી સ્વતંત્ર પ્રકારની ગતિ કરી શકે છે, તેને તે વાયુના અણુના મુક્તતાના અંશો કહે છે.

પ્રશ્ન 16.
ત્રણ અણુઓના વેગ અનુક્રમે 3υ, 4υ અને 5υ હોય, તો તેમના માટે υ_rms નું મૂલ્ય શોધો.
ઉકેલ:
υ_rms = \(\sqrt{\frac{(3 v)^2+(4 v)^2+(5 v)^2}{3}}\)
= \(\sqrt{\frac{50}{3}}\) υ
= 4.08 υ

પ્રશ્ન 17.
મુક્તપથ એટલે શું?
ઉત્તર:
બે ક્રમિક અણુ-અણુ સંઘાતો વચ્ચે વાયુનો અણુ સરેરાશ ઝડપે જે સુરેખ અંતર કાપે છે, તેને તે અણુનો તે બે ક્રમિક સંઘાતોને અનુલક્ષીને મુક્તપથ કહે છે.

પ્રશ્ન 18.
સરેરાશ મુક્તપથ એટલે શું?
ઉત્તર:
વાયુના અણુએ કાપેલા જુદા જુદા મુક્તપથોના સરેરાશ મૂલ્યને તે અણુનો સરેરાશ મુક્તપથ કહે છે.

પ્રશ્ન 19.
39.4 g સોનામાં પરમાણુઓની સંખ્યા ગણો. સોનાનું મોલર દળ 197 g mol^-1 છે.
ઉકેલ:
સોનાનું મોલ૨ દળ 197 g mol^-1 છે. તેથી 197g સોનાની અંદર પરમાણુઓની સંખ્યા 6.023 × 10²³ છે.
∴ 39.4g સોનાની અંદર પરમાણુઓની સંખ્યા
= \(\frac{6.023 \times 10^{23} \times 39.4}{197}\)
= 1.2 × 10²³

પ્રશ્ન 20.
જો આદર્શ વાયુના બે અણુઓની ઝડપ 9 × 10⁶ m s^-1 અને 7 × 10⁶m s^-1 હોય, તો આ અણુઓની સરેરાશ વર્ગીત ઝડપનું વર્ગમૂળ કેટલું હશે?
ઉકેલઃ
υ₁ = 9 × 10⁶ m s^-1, υ₂ = 7 × 10⁶ m s^-1,
υ_rms = ?
υ_rms = \(\sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2}{2}}\)
= \(\sqrt{\frac{\left(9 \times 10^6\right)^2+\left(7 \times 10^6\right)^2}{2}}\)
= \(\frac{10^6 \sqrt{130}}{\sqrt{2}}\)
= \(\sqrt{65}\) × 1010⁶ m s^-1

પ્રશ્ન 21.
એક બલૂનમાં 7°C તાપમાને 5.0 mol હીલિયમ વાયુ છે, તો આ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા શોધો. બોલ્ટ્સમૅનનો અચળાંક 1.38 × 10^-23 J molecule^-1K^-1
ઉકેલઃ
µ = 5.0 mol, T = 7 °C = 280 K
બલૂનની અંદર પરમાણુઓની કુલ સંખ્યા
N = µN_A
= 5.0 × 6.023 × 10²³
= 30.115 × 10²³
વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા
E = \(\frac{3}{2}\) k_BT × N
= \(\frac{3}{2}\) × (1.38 × 10^-23) × 280 × (30.115 × 10²³)
= 1.74 × 10⁴J

પ્રશ્ન 22.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ અતિ હલકા વાયુપાત્રમાં દ્વિ-પરમાણ્વિક આદર્શ વાયુ ભરેલો છે અને આ પાત્ર υ જેટલા અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. વાયુનું દળ M, મોલ-સંખ્યા µ અને તાપમાન T છે.

(i) આ તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્ર(CM)ની સાપેક્ષે આ આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
(ii) જમીનની સાપેક્ષે આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા કેટલી હશે?
ઉકેલઃ
(i) સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા = \(\frac{5}{2}\)µRT
(ii) (જમીનની સાપેક્ષે આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા) = (તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રની સાપેક્ષે આદર્શ વાયુની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા) + (જમીનની સાપેક્ષે તંત્રના દ્રવ્યમાન-કેન્દ્રનીગતિ-ઊર્જા)
= \(\frac{5}{2}\)µRT + \(\frac{1}{2}\)Mυ²

પ્રશ્ન 23.
અચળ કદે વાયુના પ્રારંભિક તાપમાનમાં 5°Cનો વધારો કરતાં તેના દબાણમાં પ્રારંભિક દબાણ કરતાં 0.5 %નો વધારો થાય છે, તો આ વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન કેટલું હશે? ઉકેલ:
આદર્શ વાયુનું કદ અચળ હોય, તો
T ∝ P
∴ \(\frac{\Delta T}{T}\) × 100 = \(\frac{\Delta P}{P}\) × 100
∴ \(\frac{5}{T}\) × 100 = 0.5
∴ T = \(\frac{5 \times 100}{0.5}\)
= 1000 K

પ્રશ્ન 24.
0.02 m³ કદ ધરાવતું બંધપાત્ર 27°C તાપમાને અને 1 × 10⁵ N m^-2 દબાણે નીયૉન (Ne) અને આર્ગન (Ar) વાયુનું મિશ્રણ ધરાવે છે. આ મિશ્રણનું કુલ દળ 28 g છે. જો નીયૉન અને આર્ગનનાં ગ્રામ અણુભાર અનુક્રમે 20 અને 40 હોય, તો પાત્રમાં બંને વાયુઓના સ્વતંત્ર દ્રવ્યમાન શોધો. વાયુઓને આદર્શ ધારો. R = 8.314 J mol^-1 K^-1.
ઉકેલ:
ધારો કે નીયૉન વાયુનું દળ m ગ્રામ છે, તો આર્ગન વાયુનું દળ (28 – m) g થશે.

• મિશ્રણમાં વાયુઓના કુલ મોલ
  μ = \(\frac{m}{20}+\frac{28-m}{40}=\frac{28+m}{40}\) ………. (1)
• હવે આદર્શ વાયુ-સમીકરણ PV = μ RT પરથી,
  μ = \(\frac{P V}{R T}=\frac{\left(1 \times 10^5\right) \times(0.02)}{(8.314) \times(300)}\) = 0.8 ………. (2)
• સમીકરણ (1) અને (2) પરથી,
  \(\frac{28+m}{40} \) = 0.8
  ∴ 28 + m = 32
  ∴ m = 4 g
  આમ, નીયૉન વાયુનું દળ = 4 g અને આર્ગન વાયુનું દળ = (28 – 4) g = 24 g

પ્રશ્ન 25.
2 atm દબાણે રહેલા 500 cc કદ ધરાવતા ઑક્સિજન વાયુને તેનું કદ 400 cc થાય ત્યાં સુધી દબાવવામાં આવે છે. અચળ તાપમાને આ પ્રક્રિયા ઉપજાવવા માટે દબાણ કેટલું વધારવું જોઈએ? ઉકેલ : તાપમાન અચળ હોવાથી,
P₁V₁ = P₂V₂
∴ P₂ = P₁(\(\frac{V_1}{V_2}\))
= 2(\(\frac{500}{400}\)) = 2.5 atm
∴ દબાણમાં કરવો પડતો જરૂરી વધારો
= P₂ – P₁ = 2.5 – 2 = 0.5 atm

પ્રશ્ન 26.
8.0 × 10^-3m³ કદ ધરાવતા વાયુપાત્રમાં 300 K તાપમાને અને 200 kPa દબાણે આદર્શ વાયુ ભરેલો છે. આ વાયુનું દબાણ 125 kPa થાય ત્યાં સુધી વાયુને પાત્રમાંથી લીક કરવામાં આવે છે. તાપમાન અચળ ધારીને લીક થયેલા વાયુની મોલ-સંખ્યા શોધો.
ઉકેલ:
અહીં, પાત્રમાંથી વાયુ જેમ લીક થાય છે તેમ તેના કદ અને તાપમાનમાં ફેરફાર થતો નથી.

• આદર્શ વાયુ-સમીકરણ પરથી,
  વાયુની મોલ-સંખ્યા μ = \(\frac{P V}{R T}\)
• વાયુ લીક થયા પહેલાંના વાયુના મોલ μ₁ = \(\frac{P_1 V}{R T}\) અને લીક થયા પછી વાયુના મોલ μ₂ = \(\frac{P_2 V}{R T}\)
  ∴ લીક થયેલા વાયુના મોલ
  μ₁ – μ₂ (∵ અહીં P₁ > P₂ ⇒ μ₁ > μ₂)
  = \(\frac{\left(P_1-P_2\right) V}{R T}[latex]
  = [latex]\frac{(200-125) \times 10^3 \times\left(8.0 \times 10^{-3}\right)}{8.314 \times 300}\)
  = 0.24 mol

પ્રશ્ન 27.
23 °C જેટલા ઓરડાના તાપમાને એક વ્યક્તિ કે જેના શરીરનું તાપમાન 37°C છે, તે 1500 ml વાયુ શ્વસન મારફતે પોતાના શરીરમાં લે છે. જો વાયુનું દબાણ અને દળ અચળ રહેતું હોય, તો વ્યક્તિનાં ફેફસાંમાં સમાયેલ વાયુનું કદ શોધો.
ઉકેલ:
T₁ = 23 + 273 = 296 K
T₂ = 37 + 273 = 310 K
અહીં, વાયુનું દબાણ અને તેની મોલ-સંખ્યા અચળ રાખેલ છે.
V ∝ T
∴ \(\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\)
∴ V₂ = V₁ × \(\frac{T_2}{T_1}\)
= 1500 × \(\frac{310}{296}\)
= 1570.95 ml

પ્રશ્ન 28.
100 ml કદવાળા O₂ વાયુનું દબાણ 1 atm અને તાપમાન 27 °C છે. જો વાયુનું કદ 100 ml જેટલું અચળ રાખવામાં આવે અને તેનું દબાણ વધારીને 2 atm કરવામાં આવે, તો વાયુનું નવું તાપમાન કેટલું થશે?
ઉકેલ:
T₁ = 27 + 273 = 300 K
વાયુનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,
\(\frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}\)
∴ T₂ = T₁ × \(\frac{P_2}{P_1}\)
= 300 × \(\frac{2}{1}\)
= 600 K
= (600 – 273) °C
= 327°C

પ્રશ્ન 29.
આદર્શ વાયુના 10 કણોનો વેગ m s^-1 એકમમાં અનુક્રમે 0, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6 અને 9 છે, તો અણુઓની ( i ) સરેરાશ ઝડપ (ii) rms ઝડપ અને (iii) સૌથી વધુ શક્યતા ધરાવતી ઝડપ શોધો.
ઉકેલ:
(i) અણુઓની સરેરાશ ઝડપ,
υ_av = \(\frac{0+2+3+4+4+4+5+5+6+9}{10}\)
= \(\frac{42}{10}\)
= 4.2 m s^-1

(ii) અણુઓની rms ઝડપ,

= 4.77 m s^-1

(iii) અણુઓની સૌથી વધુ શક્યતા ધરાવતી ઝડપ
(Most probable speed),
υ_p = 4 ms^-1

પ્રશ્ન 30.
2 × 10⁵ Pa દબાણે અને 300 K તાપમાને હીલિયમ (He) વાયુનું કદ 0.04 m³ છે, તો તેનું દ્રવ્યમાન (ગ્રામમાં) શોધો. (હીલિયમ વાયુને આદર્શ ધારો.)
ઉકેલ:
PV = μ RT પરથી,
μ = \(\frac{P V}{R T}\)
= \(\frac{2 \times 10^5 \times 0.04}{8.314 \times 300}\)
= 3.2 mol
∴ હીલિયમ વાયુનું દળ M = μ M₀
= (3.2 mol) × 4 g mol^-1 (∵ Heનું મોલર દળ 4gmol^-1 છે.)
= 12.8 g

પ્રશ્ન 31.
3 mol H₂ વાયુની T તાપમાને કુલ આંતરિક ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા E = \(\frac{\mu f R T}{2}\)
અહીં, μ = 3 mol, f = 5
∴ E = \(\frac{3 \times 5 R T}{2}\)
= 7.5 RT

પ્રશ્ન 32.
એક નિશ્ચિત તાપમાને દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ વાયુની ચાકગતિ-ઊર્જા K₀ છે, તો તેની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા અને કુલ ગતિ-ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
\(\frac{f_{\mathrm{t}}}{f_{\mathrm{r}}}=\frac{3}{2}\)
∴\(\frac{K_{\mathrm{t}}}{K_{\mathrm{r}}}=\frac{f_{\mathrm{t}}}{f_{\mathrm{r}}}=\frac{3}{2}\) થશે.
∴ \(\frac{K_{\mathrm{t}}}{K_0}=\frac{3}{2}\)
∴ K_t = \(\frac{3}{2}\) K₀
કુલ ગતિ-ઊર્જા K = K_t + K_r
= \(\frac{3}{2}\) K₀ + K₀
= \(\frac{5}{2}\) K₀

પ્રશ્ન 33.
T તાપમાને વાયુના મિશ્રણમાં, 2 mol O₂ વાયુ અને 4 mol Ar વાયુ છે. બધા જ પ્રકારના કંપન અવગણતાં, મિશ્રણની કુલ આંતરિક ઊર્જા શોધો.
ઉકેલ:
T તાપમાને μ મોલ આદર્શ વાયુની કુલ આંતરિક ઊર્જા,
E = \(\frac{\mu f R T}{2}\)
અહીં, f = મુક્તતાના અંશો
= O₂ માટે 5 અને Ar માટે 3
∴ E = E_O2 + E_aR
= \(\frac{2 \times 5 R T}{2}\) + \(\frac{4 \times 3 R T}{2}\)
= 11 RT

પ્રશ્ન 34.
3.0 mol હીલિયમ વાયુનું તાપમાન 2.0 K જેટલું વધારવામાં આવે, તો તેની આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર શોધો.
ઉકેલ:
હીલિયમ વાયુ એક-પરમાણ્વિક છે.
μ મોલ હીલિયમ વાયુની આંતરિક ઊર્જા E = \(\frac{3}{2}\) μ RT
Δ E = \(\frac{3}{2}\) μ R Δ T
= \(\frac{3}{2}\) × 3 × 8.314 × 2.0
= 74.8 J

પ્રશ્ન 35.
આદર્શ વાયુનું દબાણ, એકમ કદદીઠ તેની સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જાના \(\frac{3}{2}\) ગણું હોય છે તેમ દર્શાવો.
ઉકેલ:
એકમ કદદીઠ સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા,
(E)_{એકમ કદ} = \(\frac{1}{2}\) (એકમ કદદીઠ દળ) \(\overline{v^2}\)
= \(\frac{1}{2}\) (ρ) (\(\frac{3 P}{\rho}\))
= \(\frac{3}{2}\)P
P = \(\frac{2}{3}\) (E)_{એકમ કદ}

નીચેનાં વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો :

(1) આદર્શ વાયુનું દબાણ શોધવા માટે વાયુપાત્ર કોઈ પણ આકારનું લઈ શકાય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(2) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા E સંપૂર્ણ ગતિકીય હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(3) આદર્શ વાયુના અણુઓ વચ્ચે આંતર-આણ્વિક બળો લાગતાં હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(4) Tજેટલા નિરપેક્ષ તાપમાને, આદર્શ વાયુની 1 mol દીઠ સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા \(\frac{3}{2}\)k_BT જેટલી હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(5) આદર્શ વાયુની આપેલા દબાણે υ_rms તેની ઘનતાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(6) એક જાડી દીવાલવાળા છિદ્રાળુ નળાકારની અંદર નિશ્ચિત તાપમાને, હાઇડ્રોજન અને ઑક્સિજન વાયુનું મિશ્રણ ભરવામાં આવેલ છે. આ નળાકારમાંથી હાઇડ્રોજન વાયુ ઝડપથી અને વધુ પ્રમાણમાં બહાર નીકળશે.
ઉત્તર:
ખરું

(7) એક વાયુપાત્રમાં અચળ તાપમાને આદર્શ વાયુના અણુઓની સંખ્યા N છે. અણુઓની સંખ્યા 2N જેટલી કરવામાં આવે તો દબાણ બમણું થશે.
ઉત્તર:
ખરું

(8) CO જેવા અણુઓ સામાન્ય તાપમાને પણ કંપન (Vibration) કરતા હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(9) દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ વાયુ માટે C_v = \(\frac{3}{2}\)R હોય છે.
ઉત્તર:
ખોટું

(10) ઘન પદાર્થોની વિશિષ્ટ ઉષ્મા C = 3R જેટલી હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

(11) બહુપરમાણ્વિક વાયુઓ માટે C_v = (3 + f )R હોય છે.
ઉત્તર:
ખરું

ખાલી જગ્યા પૂરો :

(1) પરમાણુનું પિરમાણ લગભગ ……………… જેટલું હોય છે.
ઉત્તર:
1 Å

(2) 22.4 લિટર જેટલું કદ ધરાવતા દરેક વાયુનું આણ્વીય દળ STPએ ગ્રામમાં તેના …………….. જેટલું હોય છે.
ઉત્તર:
અણુભાર

(3) વાયુનો એક અણુ υ_x વેગથી વાયુપાત્રની એક દીવાલને લંબરૂપે અથડાય, તો અણુની આ અથડામણના લીધે દીવાલને મળતું વેગમાન ……………. હશે.
ઉત્તર:
+ 2mυ_x

(4) P × Vનો SI એકમ ……………….. છે.
ઉત્તર:
J

(5) O₂ વાયુના એક અણુને ચાકગતિ કરી શકે તેવા દૃઢ અણુ તરીકે સ્વીકારીએ, તો તેના માટે મુક્તતાના અંશો ………………… હોય છે.
ઉત્તર:
5

(6) આદર્શ વાયુ માટે PV = …………….. (E).
ઉત્તર:
\(\frac{2}{3}\)

(7) કોઈ પણ આદર્શ વાયુ માટે ………………… K તાપમાને તેના અણુ માટે υ_rmsનું મૂલ્ય, 16°C તાપમાને મળતાં υ_rmsના મૂલ્ય કરતાં બમણું થશે.
ઉત્તર:
1156

(8) એક વાયુપાત્રમાં આદર્શ વાયુનું દબાણ P₀ છે. જો તેના અણુઓનું દળ અડધું કરવામાં આવે અને તેમની ઝડપ બમણી કરવામાં આવે, તો નવું દબાણ …………………. થશે.
ઉત્તર:
2P₀

(9) અચળ કદે વાયુનું નિરપેક્ષ તાપમાન ચાર ગણું કરતાં તેનું દબાણ …………….. થશે.
ઉત્તર:
ચાર ગણું

(10) 127 °C તાપમાને 1 ગ્રામ અણુભાર જેટલા આર્ગન વાયુની સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા, R અને Tના પદમાં ………………. હશે.
(1 ગ્રામ અણુભાર જેટલો વાયુ = 1 mol વાયુ)
ઉત્તર:
\(\frac{3}{2}\) R

(11) સૈદ્ધાંતિક રીતે પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા C = ……………… હોય છે.
ઉત્તર:
9 R

(12) બહુપરમાણ્વિક વાયુ માટે γ = ………………………
ઉત્તર:
\(\frac{(4+f)}{(3+f)}\)

(13) દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ વાયુ માટે સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા અને ચાકગતિ-ઊર્જાનો ગુણોત્તર …………………… છે.
ઉત્તર:
\(\frac{3}{2}\)

જોડકાં જોડો : (Matrix Match)

પ્રશ્ન 1.
કૉલમ Aમાં જુદા જુદા અચળાંકો / રાશિઓ દર્શાવી છે અને કૉલમ Bમાં જુદા જુદા SI એકમો છે. કૉલમ Aમાંના વિકલ્પોનું કૉલમ Bમાંના વિકલ્પો સાથે યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. NA	p. mol
b. kB	q. J mol-1 K-1
c. R	r. J molecule-1 K-1
	s. mol-1
	t. એકમ રહિત

ઉત્તર:
(a – s), (b – r), (c – q), (d – t).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. NA	s. mol-1
b. kB	r. J molecule-1 K-1
c. R	q. J mol-1 K-1
d. γ	t. એકમ રહિત

પ્રશ્ન 2.
એક આદર્શ વાયુ માટે કૉલમ Aમાંની ભૌતિક રાશિઓનું યથાર્થ જોડાણ કૉલમ Bમાંના વિકલ્પો સાથે કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. 1 mol દીઠ સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા	p. \(\frac{1}{2}\) RT
b. 1 અણુદીઠ સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા	q. \(\frac{3}{2}\) RT
	r. \(\frac{3}{2}\) kBT

ઉત્તર:
(a – q), (b – r).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. 1 mol દીઠ સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા	q. \(\frac{3}{2}\) RT
b. 1 અણુદીઠ સરેરાશ ગતિ-ઊર્જા	r. \(\frac{3}{2}\) kBT

પ્રશ્ન 3.
કૉલમ Aમાં આદર્શ વાયુના પ્રકાર આપેલા છે અને કૉલમ Bમાં C_pનાં જુદાં જુદાં સૂત્રો છે. કૉલમ A અને કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. એક-પરમાણ્વિક વાયુ	p. CP = \(\frac{3}{2}\) R
b. દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ વાયુ	q. CP = \(\frac{7}{2}\) R
c. દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ ન હોય તેવો વાયુ	r. CP = \(\frac{3}{2}\) R
	s. CP = \(\frac{3}{2}\) R

ઉત્તર:
(a – r), (b – q), (c – p).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. એક-પરમાણ્વિક વાયુ	r. CP = \(\frac{3}{2}\) R
b. દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ વાયુ	q. CP = \(\frac{7}{2}\) R
c. દ્વિપરમાણ્વિક દૃઢ ન હોય તેવો વાયુ	p. CP = \(\frac{3}{2}\) R

પ્રશ્ન 4.
એક આદર્શ વાયુ માટે કૉલમ Aમાં તેના દબાણ અને કદનો ગુણાકાર તથા તેનું દબાણ એવા બે વિકલ્પો આપેલા છે, તો આદર્શ વાયુ-સમીકરણ બને એવી રીતે તેમનું યથાર્થ જોડાણ કૉલમ Bમાંના વિકલ્પો સાથે કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. P × V	p. kBnT
b. P	q. kBNT
	r. \(\frac{\rho R T}{M_0}\)
	s. μRT

ઉત્તર :
(a – q, s), (b – p, r).

પ્રશ્ન 5.
એક 2 mol દ્વિપરમાણ્વિક આદર્શ વાયુ(O₂)ને ઓરડાના T જેટલા તાપમાને રાખેલ છે. તેના માટે કૉલમ A અને કૉલમ Bમાંના વિકલ્પોનું યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા	p. \(\frac{3}{2}\) RT
b. ચાકગતીય ઊર્જા	q. 2RT
c. સ્થિતિ-ઊર્જા	r. 3RT
d. કુલ આંતરિક ઊર	s. 4RT
	t. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ

ઉત્તર:
(a – r), (b – q), (c – t), (d – t).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. સરેરાશ રેખીય ગતિ-ઊર્જા	r. 3RT
b. ચાકગતીય ઊર્જા	q. 2RT
c. સ્થિતિ-ઊર્જા	t. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ
d. કુલ આંતરિક ઊર	t. આપેલ પૈકી એક પણ નહિ

Hint :
a. K_T = \(\frac{\mu f_{\mathrm{T}} R T}{2}\)
જ્યાં, f_T = રેખીય ગતિ માટેના મુક્તતાના અંશો
= \(\frac{(2)(3) R T}{2}\)
= 3RT

b. K_R = \(\frac{\mu f_{\mathrm{R}} R T}{2}\)
જ્યાં, f_R = ચાકગતિ માટેના મુક્તતાના અંશો
= \(\frac{(2)(2) R T}{2}\)
= 2RT

c. સ્થિતિ-ઊર્જા = 0 (∵ આપેલ વાયુ આદર્શ વાયુ છે.)

d. કુલ આંતરિક ઊર્જા,
E = K_R + K_T = 3RT + 2RT = 5RT

પ્રશ્ન 6.
પૂરતી ઓછી ઘનતાવાળા નિશ્ચિત જથ્થાના આદર્શ વાયુ માટે કૉલમ Aમાં જુદા જુદા નિયમોનાં નામ આપેલાં છે. કૉલમ Bમાં આ આદર્શ વાયુની જુદી જુદી ભૌતિક રાશિઓ વચ્ચેનો ગાણિતીક સંબંધ આપેલ છે, તો કૉલમ Aમાંના વિકલ્પોનું કૉલમ Bમાંના વિકલ્પો સાથે યથાર્થ જોડાણ કરો :

કૉલમ A	કૉલમ B
a. બૉઇલનો નિયમ	p. P ∝ V
b. ચાર્લ્સનો નિયમ	q. P ∝ T
c. ગૅલ્યુસેકનો નિયમ	r. V ∝ T
	s. P ∝ V-1

ઉત્તર:
(a – s), (b – r), (c – q).

કૉલમ A	કૉલમ B
a. બૉઇલનો નિયમ	s. P ∝ V-1
b. ચાર્લ્સનો નિયમ	r. V ∝ T
c. ગૅલ્યુસેકનો નિયમ	q. P ∝ T